【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第五章 数列 5.5 数列的
综合应用课时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练]
1．(2016·孝感模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，过点P (n ，S n )和Q (n ＋1，S n ＋1)(n ∈N ＋)的直线的斜率为3n －2，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( )
A ．52
B ．40
C ．26
D ．20
解析：由题意，知S n ＋1－S n
n ＋1 －n
＝3n －2，
∴S n ＋1－S n ＝3n －2，即a n ＋1＝3n －2.∴a n ＝3n －5. 因此数列{a n }是等差数列，a 5＝10. ∴a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝2(a 3＋a 7)＝4a 5＝40. 答案：B
2．(2016·重庆模拟)数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32
a 3＋…＋3n －1
a n ＝n
2
，则a n ＝( )
A.
1
3·2
n －1 B.12·3
n －1 C.12
n D.n
3
n 解析：令n ＝1，得a 1＝1
2，排除A 、D ；
再令n ＝2，得a 2＝1
6，排除C ，故选B.
答案：B
3．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )
A ．①和?
B ．⑨和⑩
C ．⑨和?
D ．⑩和?
解析：法一：设树苗放在第n 个坑，且不妨设相邻两坑相距1米，则前n 个坑到第n 个坑的距离分别为|n －1|，|n －2|，…，2,1,0.
其和为S 1＝|n －1|＋|n －2|＋…＋2＋1＋0 ＝(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＋0＝ n －1 n 2
.
后面各坑到第n 个坑的距离分别为1,2，…，20－n ， 其和为S 2＝1＋2＋3＋…＋20－n ＝
1＋20－n 20－n
2
，
∴各坑到第n 个坑的距离和为
S ＝S 1＋S 2＝12
(n 2－n ＋n 2－41n ＋420)＝n 2－21n ＋210.
当n ＝21
2
时，S 最小．
又∵n ∈N ＋，∴n ＝10或n ＝11时，S 最小．
法二：(估算法)分别计算树苗放在第1,9,10,11个坑时，各坑到其距离之和． 当树苗放在第一个坑时，各坑到其距离和为
S 1＝1＋2＋3＋…＋19＝190；
当树苗放在第九个坑时，各坑到其距离和为
S 2＝8＋7＋6＋…＋1＋0＋1＋2＋3＋…＋11＝36＋66＝102；
当树苗放在第十个坑时，各坑到其距离和为
S 3＝9＋8＋7＋…＋1＋0＋1＋2＋…＋10＝100.
易知树苗放在第十一个坑时，各坑到其距离和S 4＝S 3＝100.故D. 答案：D
4．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n －1，a n )(n >1且n ∈N ＋)满足y ＝2x －1，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.
解析：a n ＝2a n －1－1?a n －1＝2(a n －1－1)， ∴{a n －1}是等比数列，则a n ＝2
n －1
＋1.
∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝10＋(20
＋21
＋22
＋…＋29
) ＝10＋1－210
1－2＝1 033.
答案：1 033
5．设关于x 的不等式x 2
－x <2nx (n ∈N ＋)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．
解析：由x 2
－x <2nx (n ∈N ＋)，得0 2 ＝10 100. 答案：10 100 6．(2015·南宁模拟)某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推都得到余下的一半多一万元， 到第十名恰好分完，则此单位共拿出________万元资金进行奖励． 解析：设第十名到第一名得到的资金分别是a 1，a 2，…，a 10，则a n ＝1 2S n ＋1， ∴a 1＝2，又a n －1＝1 2S n －1＋1(n ≥2)， 故a n －a n －1＝1 2 a n . ∴a n ＝2a n －1则每人所得资金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S 10＝2 1－210 1－2 ＝2 046. 答案：2 046 7．(2015·高考四川卷)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且 a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记数列???? ?? 1a n 的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)由已知S n ＝2a n －a 1，有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2. 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1. 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2. 所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n . (2)由(1)得1a n ＝1 2 n ， 所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12????? ?1－? ????12n 1－12 ＝1－1 2 n . 8．(2014·高考湖北卷)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2 ＝2(2＋4d )， 化简得d 2 －4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2； 当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2， 从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝ n [2＋ 4n －2 ] 2 ＝2n 2 . 令2n 2 >60n ＋800，即n 2 －30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)， 此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ； 当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41. [B 级 能力突破] 1．(2016·淮安模拟)已知a n ＝sin n π 6 ＋ 162＋sin n π 6 (n ∈N ＋)，则数列{a n }的最小值为 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D.193 解析：令t ＝2＋sin n π 6 (1≤t ≤3)，则a n ＝f (t )＝t ＋16t －2，f ′(t )＝1－16 t 2<0，∴f (t ) 在其定义域上单调递减，∴当t ＝3，即sin n π 6＝1时，a n 取得最小值19 3 ，故选D. 答案：D 2．(2016·赣州模拟)已知函数f (n )＝????? n 2 当n 为奇数时 －n 2 当n 为偶数时 ，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)， 则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( ) A ．0 B ．100 C ．－100 D ．10 200 解析：∵a n ＝f (n )＋f (n ＋1)， ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝[f (1)＋f (2)]＋[f (2)＋f (3)]＋[f (3)＋f (4)]＋…＋[f (100)＋f (101)] ＝[(32 －22 )＋(52 －42 )＋(72 －62 )＋…＋(1012 －1002 )]＋[(12 －22 )＋(32 －42 )＋(52 －62 )＋…＋(992 －1002 )] ＝(5＋9＋13＋…＋201)－(3＋7＋11＋…＋199)＝100. 答案：B 3．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间为( ) A ．10秒钟 B ．13秒钟 C ．15秒钟 D ．20秒钟 解析：设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n n －1 d 2 ＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15. 答案：C 4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为 n n ＋1 2 ＝12 n 2＋1 2 n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部 分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋1 2n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2 ， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－1 2n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， …… 可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 解析：由N (n,4)＝n 2 ，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝? ??? ?k 2－1n 2－? ?? ??k 2 －2n ，于是N (n ，24)＝11n 2－10n ，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000. 答案：1 000 5．(2016·泉州模拟)设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1 ，n ∈N ＋.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________. 解析：根据等比数列的前n 项和公式S n ＝a 1 1－q n 1－q ， 则T n ＝17×a 1 1－q n 1－q － a 1 1－q 2n 1－q a 1q n ＝q 2n －17q n ＋16 1－q q n ＝11－q ? ?? ??q n ＋16q n －17，令q n ＝ (2)n ＝t ，则函数g (t )＝t ＋16t ，当t ＝4时函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝ 11－2<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4. 答案：4 6．(2016·黄冈模拟)某企业2014年初贷款a 万元，年利率为r ，按复利计算，从2014年末开始，每年偿还一定金额，计划第5年还清，则每年应偿还的金额为________万元． 解析：假设每年还x 万元，则有x (1＋r )4 ＋x (1＋r )3 ＋x (1＋r )2 ＋x (1＋r )＋x ＝a (1＋r )5 ， ∴x [ 1＋r 5－1]r ＝a (1＋r )5 ， 即x [(1＋r )5 －1]＝ar (1＋r )5 ，∴x ＝ar 1＋r 5 1＋r 5 －1 . 答案：ar 1＋r 5 1＋r 5 －1 7．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n 天 的利润a n ＝???? ? 1， 1≤n ≤251 25 n ， 26≤n ≤60(单位：万元，n ∈N ＋)，记第n 天的利润率b n ＝ 第n 天的利润前n 天投入的资金总和，例如b 3＝a 338＋a 1＋a 2 . (1)求b 1，b 2的值； (2)求第n 天的利润率b n ； (3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率． 解：(1)当n ＝1时，b 1＝138；当n ＝2时，b 2＝1 39. (2)当1≤n ≤25时，a 1＝a 2＝…＝a n －1＝a n ＝1. ∴b n ＝ a n 38＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＝138＋n －1＝137＋n . 当26≤n ≤60时， b n ＝ a n 38＋a 1＋…＋a 25＋a 26＋…＋a n －1 ＝n 2563＋ n －26 n ＋25 50 ＝2n n 2－n ＋2 500， ∴第n 天的利润率b n ＝????? 137＋n ， 1≤n ≤25 2n n 2 －n ＋2 500， 26≤n ≤60 (n ∈N ＋)． (3)当1≤n ≤25时， b n ＝ 137＋n 是递减数列，此时b n 的最大值为b 1＝1 38 ； 当26≤n ≤60时， b n ＝2n n 2－n ＋2 500 ＝ 2n ＋2 500n －1 ≤22 2 500－1＝2 99 ? ?? ??当且仅当n ＝2 500n ，即n ＝50时，“＝”成立. 又∵138>299 ， ∴n ＝1时，(b n )max ＝1 38 . ∴该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大，且该天的利润率为1 38. 高中复习系列资料 专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 答案部分 2019年 1.解析：对于B ，令2 104x λ-+=，得12 λ=， 取112a = ，所以211 ,,1022n a a == 当4n …时，11 13 2122 n n n n a a a a +=+>+=， 所以54 65109 3 23232a a a a a a ?>???> ???? ?>??M ，所以6 10432a a ??> ???，所以107291064a > >故A 正确．故选A ． 2.解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得 11124,333a d a d a d +=+=+， 解得10,2a d ==． 从而* 22,n a n n =-∈N ． 由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得 () ()()2 12n n n n n n S b S b S b +++=++． 解得()2 121n n n n b S S S d ++= -． 所以2* ,n b n n n =+∈N ． （2 ）*n c n = ==∈N ． 我们用数学归纳法证明． ①当n =1时，c 1=0<2，不等式成立； ②假设() *n k k =∈N 时不等式成立，即12h c c c +++ 专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 一、选择题 1．（2017新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家 学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是0 2，接下来的两项是0 2，1 2，再接下来的三项是0 2，1 2，2 2，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 2．（2016年全国Ⅲ）定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项 为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数．若m =4，则不同 的“规范01数列”共有 （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个 3．(2015湖北)设12,, ,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,, ,n a a a 成等比数列；q ： 22 2121()n a a a -++ +?22 2 22312231()()n n n a a a a a a a a a -+++=++ +，则 A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C ．p 是q 的充分必要条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．（2014新课标2）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = A ．()1n n + B ．()1n n - C ． ()12 n n + D ． ()12 n n - 5．（2014浙江）设函数21)(x x f =，),(2)(2 2x x x f -=|2sin |31)(3x x f π= ，99 i i a =， 0,1,2,,99i =???，记10|()()|k k k I f a f a =-+21|()()|k k f a f a -+???+ 9998|()()|k k f a f a -，.3,2,1=k 则 第五章 第五节 数列的综合应用 (时间60分钟，满分80分) 一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．(2011·济南模拟)已知数列{a n }是首项为a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D. 2 解析：依题意有2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4 ＝4a 1－2a 1q 2 ，整理得q 4 ＋q 2 －2＝0，解得q 2 ＝1(q 2 ＝－2舍去)，所以q ＝1或－1. 答案：C 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 4＝36，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N * )的直线的一个方向向量的坐标可以是( ) A ．(－1 2，－2) B ．(－1，－1) C ．(－1 2 ，－1) D ．(2，1 2 ) 解析：设数列{a n }的公差为d ，则有????? 2a 1 ＋2×12 d ＝104a 1 ＋4×3 2 d ＝36，解得d ＝4，于是直线PQ 的 斜率k ＝ a n ＋2－a n n ＋2－n ＝d ＝4，故直线的一个方向向量的坐标可以是(－1 2 ，－2)． 答案：A 3．(2011·福州模拟)等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( ) A ．156 B ．52 C ．26 D ．13 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4， ∴S 13＝13a 1＋a 13 2＝13a 4＋a 102 ＝26. 答案：C 4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2 －b n x ＋2n 的两个零点，则 b 10等于( ) A ．24 B ．32 三、解答题 6. (2016 山西太原市二模)数列｛a n ｝的前n 项和记为S n , a 1 = t,点(S n , a n +1)在直线y = 3x + 1 上，n € N . (1) 当实数t 为何值时，数列｛a n ｝是等比数列； 第14讲 数列求和及数列的综合应用 1111专题突破，限时训练 |||| [P 82] 一、选择题 1 1.设函数f(x) = x m + ax 的导函数f ' (x)= 2x + 1,则数列｛f-^｝ (n € N )的前n 项和是(C ) n + 2 B.^ 解析：因为 f ' (x)= 2x + 1,所以 f(x)= x 2 + x, 1 111 乔=1 —市,易求得其和为 C. f(n 2.右正项数列｛ a n ｝满足 Ig a n +1 = 1 + l g a n ,且玄2001 + a 2002 + a 2003 +…+ a 2010= 2013,则 a 2011 + a 2012 + a 2013 + …+ a 2°2o 的值为(A ) 10 11 A. 2013 X 10 B.2013 X 10 C. 2014X 1010 D.2014 X 1011 a n +i “ a n +i 解析：由 lg a n +1= 1 + lg a n ,可得 lg = 1, = 10, a n a n 10 10 a 2011 + a 2012 + a 2013+ …+ a 2020 =(82001 + 82002+ a 2oo3 + …+ a 2O1o ) X 10 = 2013 X 10 . 3.设某商品一次性付款的金额为 a 元,以分期付款的形式等额地分成 n 次付清，若每期 利率r 保持不变，按复利计算，则每期期末所付款是(B ) a n 一 口 ar(1+ r ￡ 一 A .;(1+「)元 B. 1+宀1 元 C.a (1 + r )n —1 元 D.屮二元 n' ' 1 + r — 1 解析：设每期期末所付款是 x 元，则各次付款的本利和为 x(1 + r)n — 1 + x(1 + r)n —2+ x(1 + r)n 3 + …+ x(1 + r)+ x = a(1 + r)n ,即 x 「十「) = a(1 + r)n ,故 x =\ . r (1 + r ) — 1 二、填空题 4.(原创题)已知数列｛a .｝满足a 1=— 1, ? n € N *, a n + a *+1= 2,其前n 项和为S n ,则 屜仃 2015 . m - 2016 - __________________________________________________________ 解析：S 2017= a 1+ (a 2 + a 3)+ (a 4 + a 5)+ …+ (a 2016+ a 2017)= — 1 + ~2 x 2 = 2015. 5.(2016湖南十三校联考)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S n = 2n — a .,则数列｛a n ｝的 1 通项公式a n = 2—(1)n —1 . 解析：当n = 1时，a 1= 1; 当 n >2 时,a n = S n — S n -1,所以 2a n = a n -1+ 2, 则 2(a n — 2) = a n - 1— 2, n. 所以 a n — 2 = (a i — n — 1,a n = 2—(捫1 第2讲 数列求和及数列的综合应用 自主学习导引 真题感悟 1．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列??? ? ? ? 1a n a n ＋1的前100项和为 A. 100101 B.99101 C.99100 D.101 100 解析 利用裂项相消法求和． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15， ∴? ???? a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×5－1 2d ＝15，， ∴???? ? a 1＝1d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴ 1 a n a n ＋1＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴数列{1 a n a n ＋1}的前100项和为1－12＋12－13＋…1100－1101＝1－1101＝100101 . 答案 A 2．(2012·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N ＋，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N ＋. (1)求a n ，b n ； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解析 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1. 所以a n ＝4n －1，n ∈N ＋. 由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N ＋. (2)由(1)知a n b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N ＋， 第十一讲 数列的综合应用 【复习要求】 灵活运用等差数列、等比数列公式与性质解决一些综合性问题． 【复习重难点】 掌握一些简单的递推数列、子数列问题的处理方法及一些数列证明题的证明方法． 一、【基础训练】 1． 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________． 答案：56n 2－76 n 解析：由条件得 ???S 6＝6a 1＋6× 52d ＝23，S 9＝9a 1 ＋9×82d ＝57，即???a 1＝－13，d ＝53，故a n ＝56n 2 －76n ． 2．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和．若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________． 答案：64 解析：a 22＝a 1a 5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，所以d ＝2，故S 8＝8＋8×72 ×2＝64． 3． 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足关 系式S n ＝n 90 (21n －n 2－5)(n ＝1，2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是________． 答案：7、8 解析：由S n 解出a n ＝130 (－n 2＋15n －9)， 再解不等式130 (－n 2＋15n －9)>1．5，得6 第五节 数列的综合应用 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，1 2a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4 的值为( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5－12或5＋12 解析 设{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 3＝a 2＋a 1，得q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.而a 4＋a 5a 3＋a 4 ＝q ＝1＋5 2. 答案 B 2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( ) A ．10秒钟 B ．13秒钟 C ．15秒钟 D ．20秒钟 解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…a n 则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d 2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15. 答案 C 3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列???? ?? 1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析 由f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1得m ＝2，a ＝1. ∴f (x )＝x 2 ＋x ，则1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 . ∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1 n ＋1 ＝1－ 1n ＋1＝n n ＋1 . 答案 A 4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1 n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( ) A ．有最小值63 B ．有最大值63 C ．有最小值31 D ．有最大值31 解析 ∵a n ＝log 2n ＋1 n ＋2 ＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 22－log 23＋log 23－log 24＋…＋log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)＝1－log 2(n ＋2)． 由S n <－5，得log 2(n ＋2)>6， 即n ＋2>64，∴n >62，∴n 有最小值63. 答案 A 5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2 －b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( ) A ．24 B ．32 2020年高考文科数学二轮复习： 专题三 第二讲 数列的综合应用 一、选择题 1．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3 ＝( ) A ．2 B ．4 C ．5 D.52 解析：因为a n ＋1a n ＋2a n ＋3a n ＋4a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝a n ＋4a n ＝2n ＋1·2n ＋32n ·2 n ＋2＝22，所以令n ＝3，得a 7a 3＝22＝4，故选B. 答案：B 2．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24 D ．23 解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23 的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473 >0，得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值为23. 答案：D 3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝????? 2a n (n 为正奇数)，a n ＋1(n 为正偶数)，则其前6项之和为( ) A ．16 B ．20 C ．33 D ．120 解析：a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C. 答案：C 4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．44 D ．44＋1 解析：因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ， 即a n ＋1a n ＝4(n ≥2)， 所以数列a 2，a 3，a 4，…构成以a 2＝3S 1＝3a 1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a 6＝ 一、填空题 1．设等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝4d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 的值为________．解析：由条件知a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4d ＋(n －1)d ＝(n ＋3)d ，即a n ＝(n ＋3)d (n ∈N *)．又a 2k ＝a 1·a 2k ，所以(k ＋3)2d 2＝4d ·(2k ＋3)d ，且d ≠0，所以(k ＋3)2＝4(2k ＋3)，即k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1(舍去)． 答案：3 2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线 连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12 n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________． 解析：由已知可得第n 年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2；当n ＝1时也适合．据题意令a n ≥150?n ≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年． 答案：7 3．等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是________． 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4， ∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2 ＝26.答案：26 4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于________． 解析：依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64. 答案：64 5．有限数列A ：a 1，a 2，…，a n ，S n 为其前n 项和，定义S 1＋S 2＋…＋S n n 为A 的“凯森和”，若有99项的数列a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为________． 解析：设a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为 2021年高考数学第五节数列的综合应用教材 考点串串讲 1．用数学模型解题的基本模式 (1)日常生活中涉及到的利息、产量、繁殖等与增长率有关的实际问题，以及经济活动中的分期付款、期货贸易等问题均可转化为相应的数列问题，利用数列的有关知识去解决． (2)建立数学模型的一般步骤 ①认真审题，准确理解题意，明确问题属于哪类应用问题，弄清题目的已知事项，明确题目所求的结论； ②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达出来； ③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学表达式．2．常见的数列模型 (1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题． (2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题． (3)递推数列模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推关系式表达出来，然后通过分析递推关系式求解． 注意 ①认真阅读题干，明确所给条件是组成等差数列、等比数列还是一个递推关系式，确定出相应的数列模型． ②如果是等差数列、等比数列，应明确a1，an ，n ，d ，q ，Sn 这些基本量，已知哪几个，要求哪几个；如果是递推关系式，应明确关系式是关于Sn 的还是an 的，又或者是二者综合的，然后再确定要求解的量． 3．数列与其他知识的综合 (1)数列与函数、不等式的综合主要是由函数解析式得到数列递推关系式，或利用函数的单调性证明数列中的不等关系． (2)数列与解析几何的综合主要是利用曲线上点的坐标满足曲线的方程，利用解析几何的有关知识，如中点坐标公式，弦长公式等建立递推关系式，然后用数列知识求解． 注意 ①数列与其他知识的综合，关键是根据题中条件，结合相关知识的概念与公式，列出递推关系式． ②数列与其他知识的综合是近几年高考命题的热点，除了传统的数列与函数、不等式的综合外，数列与解析几何、三角函数、程序框图等的综合也经常出现，对此需要引起注意. 典 例 对 对 碰 题型一等差数列模型 例1如图，在一直线上共插有13面小旗，相邻两面间距离为10m ，在第一面小旗处某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？ 分析 本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和． 解析 设将旗集中到第x 面小旗处，则从第一面旗到第x 面旗处，共走路程为10(x －1)，然后回到第二面处再到第x 面处是20(x －2)，……，从第x 面处到第(x ＋1)面处的路程为20，从第x 面处到第(x ＋2)面取旗再到第x 面处，路程为20×2，…… 总的路程为 S ＝10(x －1)＋20(x －2)＋20(x －3)＋…＋20×2＋20×1＋20＋20×2＋…＋20×(13－x) ＝10(x －1)＋20×x －1x －22＋20×13－x 14－x 2 ＝10[(x －1)＋(x －2)(x －1)＋(13－x)(14－x)] ＝10(2x2－29x ＋183) ＝20(x －294)2＋31154 ∵x ∈N*，∴x ＝7时，S 有最小值S ＝780(m)． 答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短． 点评 本题属等差数列应用问题，应用等差数列前n 项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程. 变式迁移1 某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的 课时规范练 A 组基础对点练 3 * 1. （2018嘉兴调研）已知a n =亦二而（n € N ），数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,则使 各>0的n 的 最小值为（ ） A . 99 B . 100 C . 101 D . 102 、 、 3 解析： 由通项公式得 a 1 + a 100= a 2 + a ?9= a 3+ a 98 =??? = a 50 + a 51 = 0, a 1°1 = 101>0，故选 C. 答案：C 2. （2018昆明七校调研）在等比数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和，若q = 2，且a ?与2a 4的等 差中项为18,则S 5=（ ） A . 62 B . - 62 D . - 32 62,选 A. 答案：A 5 3. 已知等差数列｛a n ｝的各项均为正数，a 1= 1，且a 3, a °+ ?, an 成等比数列?若p -q = 10, 则 a p — a q = （ ） A . 14 B . 15 C . 16 D . 17 5 解析：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,由题意分析知d>0，因为a 3, a °+ ?, an 成等比数列， 所以 a 4 + 5 2 = a 3an ，即 §+ 3d 2= (1 + 2d) (1 + 10d)，即 44d — 36d — 45 = 0,所以 d =号 15谷土 I 才「、『 3n — 1 3 d =— 22舍去，所以 a n = — ?所以 a p — a q = ^(p — q)= 15. 答案：B 4. 已知数列｛a n ｝满足 a n + 2— a n +1= a n +1 — a n , n € N *，且 a 5 =寸，若函数 f(x)= sin 2x + 2cos^, 记y n = f(a n )，则数列｛y n ｝的前 9项和为( ) A . 0 B . — 9 C . 9 D . 1 C . 32 解析: 依题意得 a 2 + 2a 4= 36, q = 2，则 2a 1 + 16a 1 = 36,解得 a 1 = 2, 因此S 5 = 5 2X( 1 — 25 )_ 1-2 = () ,(),, ,. 1(1),,()(2),,第五讲、数列的综合应用主讲：叶导数列的综合应用题一般包括数列的求和数列不等式的证明 通常用放缩法或数学归纳法数列规律的探索、归纳分析一般结合方程、函数和不等式是考试的难点之一一、知识要点 、数列和函数的综合问题：已知函数解决数列问题这类问题一般利用函数的图像和性质奇偶性、对称性、周期性等来研究数列的问题；已知数列条件解决函数问题这类问题一般要利用数列的范围、(1),(2),2,(1,1,2,1,1,2,3,2,1,), 1 35714 6810357()(791113 91113110121416通项公式、求和方法、对式子进行适当的变形. 方法：深刻理解等差、等比数列的性质熟悉它们的推导过程. 不但熟知数列的概念和基本方法而且熟悉中常见的思想方法；“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”. 、规律探索问题：形式比较多有直线型比如：…矩阵型、金字塔型2149(,)).51719212325272931 (1),()1()1,2,1()1,2,3,2,1.1,1,1,. (2),(324). (3)n k m n I II III a a a a a m n a m n =====+-方法：直线型一般要分组通过每一组的首项或末项寻找规律.比如以上例子可分组：；；发现每一组的末项都是即得出这样就可以推算出矩阵型一般研究每一行或每一列的首项可以推导出第行第列的通项公式比如以上例子金字塔型2(,),(2421,121). 3(),4(1)()m n m n a n n m n m I =-++≤≤-一般研究每一行的首项或末项可以推导出第行第个数的通项公式比如以上例子其中、实际应用问题：充分利用观察、归纳分析、猜想的方法建立等差数列、等比数列、递推数列等模型得出通项公式或递推公式然后结合函数与方程、不等式的方法解决问题. 、数列不等式的证明： 构造函数法：一般根据通项公式的特点构造函数用导数证明.常见的不等式：111ln(1)(0)()ln(1)(0).1(2)1,,1.1,. x x x II x x x x n n k n k n k k >+><+<>+===++；数学归纳法：首先验证时成立接着假设时成立再根据已知条件和已验证的条件推导出也成立必须要注意：从变为所增加的项数不一定只有一项有时有很多项 第5讲数列的综合应用 一、考点、热点回顾 1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题。 2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力。 【复习指导】 1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算。 2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等。 3．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法。 基础梳理 1．等比数列与等差数列比较表 不同点相同点 等差数列(1)强调从第二项起每一项 与前项的差； (2)a1和d可以为零； (3)等差中项唯一 (1)都强调从第二项起每一项与 前项的关系； (2)结果都必须是同一个常数； (3)数列都可由a1，d或a1，q 确定 等比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比； (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值 2.解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意。 (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么。 (3)求解——求出该问题的数学解。 (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中。 3．数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差。 (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比。 (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n ＋1 的递推关系，还是S n与S n＋1之间的递推关系。 一条主线 数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解。 两个提醒 (1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题． (2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注． 三种思想 (1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)． [基础题组练] 1．(2020·开封市定位考试)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋4S 2＝0，则公比q ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 解析：选C.法一：因为a 3＋4S 2＝0，所以a 1q 2＋4a 1＋4a 1q ＝0，因为a 1≠0，所以q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2，故选C. 法二：因为a 3＋4S 2＝0，所以a 2q ＋4a 2q ＋4a 2＝0，因为a 2≠0，所以q ＋4 q ＋4＝0，即(q ＋2)2＝0，所以q ＝－2，故选C. 2．(2020·宁夏银川一中一模)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且b 7＝a 7，则S 13＝( ) A ．26 B ．52 C ．78 D ．104 解析：选B.设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3a 11＝4a 7，所以a 27＝4a 7≠0，解得a 7＝4， 因为数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7， 所以S 13＝13×（b 1＋b 13） 2 ＝13b 7＝13a 7＝52.故选B. 3．(2020·吉林长春5月联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ＞0，a 6和a 8 是函数f (x )＝154ln x ＋1 2 x 2－8x 的极值点，则S 8＝( ) A ．－38 B ．38 C ．－17 D ．17 解析：选 A.因为f (x )＝154ln x ＋12x 2－8x ，所以f ′(x )＝15 4x ＋x －8＝x 2－8x ＋ 15 4x ＝ ????x －12??? ? x －152x ， 令f ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝15 2 . [限时规范训练] 单独成册 一、选择题 1．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7 a 3 ＝( ) A ．2 B ．4 C ．5 D.52 解析：因为a n ＋1a n ＋2a n ＋3a n ＋4a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝a n ＋4a n ＝2n ＋1·2n ＋32n ·2n ＋2＝22，所以令n ＝3，得a 7 a 3＝22＝4， 故选B. 答案：B 2．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24 D ．23 解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－2 3，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473>0，得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值为23. 答案：D 3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝??? 2a n (n 为正奇数)，a n ＋1(n 为正偶数)，则其前6项之和为( ) A ．16 B ．20 C ．33 D ．120 解析：a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C. 答案：C 4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．44 D ．44＋1 解析：因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ， 第五节 数列的综合应用 题型一 数列在数学文化与实际问题中的应用 [典例] (1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了( ) A ．60里 B ．48里 C ．36里 D ．24里 (2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元 的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元． [解析] (1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为1 2的等比数列{a n }， 设等比数列的首项为a 1，则a 1() 1－1 26 1－ 12＝378， 解得a 1＝192，所以a 4＝192×18＝24，a 5＝24×1 2＝12， 则a 4＋a 5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里． (2)2022年1月1日可取出钱的总数为 a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p ) ＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4] 1－(1＋p ) ＝a p [(1＋p )5－(1＋p )] ＝a p [(1＋p )5－1－p ]． [答案] (1)C (2)a p [(1＋p )5－1－p ] [方法技巧] 1．数列与数学文化解题3步骤 1．在我国古代著名的数学名著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( ) A ．9日 B ．8日 C ．16日 D ．12日 解析：选A 由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝103，d ＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1＝97，d ＝－0.5.设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋ m (m －1)×13 2 第2讲 数列的综合应用 一、 填空题 1. 设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和,且S 1,S 2,S 4成等比数列,则 21 a a = . 2. 设等差数列 {}n a 的前n 项和为S n ,若S m-1 =-2,S m =0,S m+1=3,则m= . 3. 某种产品三次调价,单价由原来的每克512元降到216元,则这种产品平均每次降价的百分率为 . 4. 在等差数列{a n }中,a n >0,且a 1+a 2+…+a 10=30,则a 5·a 6的最大值等于 . 5. 已知数列{}n a 为等差数列,若11 10a a <-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使得S n >0的n 的最大值 为 . 6. 在数列 {}n a 中,a 1 =1,a 2 =2,且a n+2 =a n +1+(-1)n (n ∈N * ),则S 100= . 7. (2013·南京、淮安二模)已知数列{a n }的通项公式为a n =7n+2,数列{b n }的通项公式为b n =n 2 .若将数列{a n },{b n }中相同的项按从小到大的顺序排列后看做数列{c n },则c 9的值为 . 8. 已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5,若存在两项a n ,a m ,使得m n a a =4a 1,则1m +4 n 的最小值 为 . 二、 解答题 9. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,满足8S n =2 n a +4a n +3(n ∈N *),且a 1 ,a 2 ,a 7 依次是等 比数列{b n }的前三项. 第四章 数列 §4.3数列的综合应用 一、知识导学 1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型. 2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求S n 还是求a n .一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q. 二、疑难知识导析 1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式??? ? ?????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或解决； 2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比数列前n 项和公 式时，勿忘分类讨论思想； 3.等差数列中, a m =a n + (n －m)d, n m a a d n m --=; 等比数列中，a n =a m q n-m ; m n m n a a q = - 4.当m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈+N ）时，对等差数列｛a n ｝有：a m +a n =a p +a q ；对等比数列｛a n ｝有：a m a n =a p a q ； 5.若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n +bb n }(k 、b 是非零常数)是等差数列；若{a n }、{b n }是等比数列，则｛ka n ｝、{a n b n }等也是等比数列； 6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如 a 1+a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9…）仍是等差（或等比）数列； 7.对等差数列｛a n ｝,当项数为2n 时，S 偶-S 奇＝nd ；项数为2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中（n ∈+N ）； 8.若一阶线性递推数列a n =ka n －1+b （k ≠0,k ≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:) 1 (1 1-+ =-+ -k b a k k b a n n (n ≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式； 三、经典例题导讲 [例1]设{}n a 是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和.证明： 12 12 2 12 1l o g 2 l o g l o g +++n n n S S S ＞。理科数学高考真题分类训练专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用答案
第18讲 数列的综合应用
2012届高三数学一轮复习 5.5 数列的综合应用课时训练解析 新人教A版
第14讲数列求和及数列的综合应用
2013届高三数学二轮复习 专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用教案
第11讲 数列的综合应用(教案)
5-5第五节 数列的综合应用练习题(2015年高考总复习)
2020年高考文科数学二轮复习：专题三 第二讲 数列的综合应用
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