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2013年全国中考试卷几何动态题组卷

2013年全国中考试卷几何动态题组卷
2013年全国中考试卷几何动态题组卷

中考几何动态题

1.在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF.(1)若E是线段AC的中点,如图1,易证:BE=EF(不需证明);

(2)若E是线段AC或AC延长线上的任意一点,其它条件不变,如图2、图3,线段BE、EF有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;并选择一种情况给予证明.

2.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,若点D在线段BC上,以AD为边长作正方形ADEF,如图1,易证:

∠AFC=∠ACB+∠DAC;

(1)若点D在BC延长线上,其他条件不变,写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系,并结合图2给出证明;

(2)若点D在CB延长线上,其他条件不变,直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式.

3.已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点,一动点P从B开始,沿射线BC运动,连接DP,作CN⊥DP于点M,且交直线AB于点N,连接OP,ON.(当P在线段BC上时,如图1:当P在BC的延长线上时,如图2)

(1)请从图1,图2中任选一图证明下面结论:①BN=CP;②OP=ON,且OP⊥ON;

(2)设AB=4,BP=x,试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系.

4.探究问题:

(1)方法感悟:

如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证DE+BF=EF.感悟解题方法,并完成下列填空:

将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得:

AB=AD,BG=DE,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,

因此,点G,B,F在同一条直线上.

∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°.

∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=45°.

即∠GAF=∠_________.

又AG=AE,AF=AF

∴△GAF≌_________.

∴_________=EF,故DE+BF=EF.

(2)方法迁移:

如图②,将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=∠DAB.试猜想DE,BF,

EF之间有何数量关系,并证明你的猜想.

(3)问题拓展:

如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点,满足∠EAF=∠DAB,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时,可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由).

5.(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF 的度数.

(2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A

逆时针旋转90°至△ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由.

(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3,求AG,MN的长.

6.已知菱形ABCD的边长为5,∠DAB=60°.将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG,设∠EAB=α,且0°<α<90°,连接DG、BE、CE、CF.

(1)如图(1),求证:△AGD≌△AEB;

(2)当α=60°时,在图(2)中画出图形并求出线段CF的长;

(3)若∠CEF=90°,在图(3)中画出图形并求出△CEF的面积.

7.Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板,按如图(一)所示拼在一起,CB与DE重合.(1)求证:四边形ABFC为平行四边形;

(2)取BC中点O,将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图(二)中△A′B′C′位置,直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点,猜想OQ、OP长度的大小关系,并证明你的猜想;

(3)在(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形?(不要求证明)

8.如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2,如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断;

(2)将原题中正方形改为矩形(如图4﹣6),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb(a≠b,k>0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要说明理由;

(3)在第(2)题图5中,连接DG、BE,且a=3,b=2,k=,求BE2+DG2的值.

9.某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:

如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E.(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现:若AD平分∠BAM,则AE也平分∠MAC.请你证明小敏发现的结论;

(2)当0°<α≤45°时,小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系:BD2+CE2=DE2.

同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决;小颖的想法:将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF(如图2)

小亮的想法:将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG,连接EG(如图3);

小敏继续旋转三角板,在探究中得出当45°<α<135°且α≠90°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立,先请你继续研究:当135°<α<180°时(如图4)等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.

10.如图1,在边长为5的正方形ABCD中,点E、F分别是BC、DC边上的点,且AE⊥EF,BE=2.

(1)求EC:CF的值;

(2)延长EF交正方形外角平分线CP于点P(如图2),试判断AE与EP的大小关系,并说明理由;

(3)在图2的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.

11.已知,在△ABC中,AB=AC.过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ,直线a交BC边于点P(点P不与点B、点C重合),△BMN的边MN始终在直线a上(点M在点N的上方),且BM=BN,连接CN.

(1)当∠BAC=∠MBN=90°时,

①如图a,当θ=45°时,∠ANC的度数为_________;

②如图b,当θ≠45°时,①中的结论是否发生变化?说明理由;

(2)如图c,当∠BAC=∠MBN≠90°时,请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系,不必证明.

12.在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上(不含点B),∠BPE=∠ACB,PE交BO于

点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交AC于点G.

(1)当点P与点C重合时(如图1).求证:△BOG≌△POE;

(2)通过观察、测量、猜想:=_________,并结合图2证明你的猜想;

(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图3),若∠ACB=α,求的值.(用含α的式子表示)

13.如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.

(1)如图1,求证:A,G,E,F四点围成的四边形是菱形;

(2)如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时,求证:点N是线段BC的中点;

(3)如图2,在(2)的条件下,求折痕FG的长.

14.如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2,AC,BD相交于点O.

(1)求边AB的长;

(2)如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60°角的两边分别与边BC,CD相交于点E,F,连接EF与AC相交于点G.

①判断△AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由;

②旋转过程中,当点E为边BC的四等分点时(BE>CE),求CG的长.

15.已知△ABC是等边三角形.

(1)将△ABC绕点A逆时针旋转角θ(0°<θ<180°),得到△ADE,BD和EC所在直线相交于点O.

①如图a,当θ=20°时,△ABD与△ACE是否全等?_________(填“是”或“否”),∠BOE=_________度;

②当△ABC旋转到如图b所在位置时,求∠BOE的度数;

(2)如图c,在AB和AC上分别截取点B′和C′,使AB=AB′,AC=AC′,连接B′C′,将△AB′C′绕点A 逆时针旋转角(0°<θ<180°),得到△ADE,BD和EC所在直线相交于点O,请利用图c探索∠BOE的度数,直接写出结果,不必说明理由.

16.感知:如图①,点E在正方形ABCD的边BC上,BF⊥AE于点F,DG⊥AE于点G,可知△ADG≌△BAF.(不要求证明)

拓展:如图②,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,点E、F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC,求证:△ABE≌△CAF.

应用:如图③,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为9,则△ABE与△CDF的面积之和为_________.

17.如图1,在正方形ABCD中,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=45°,易证MN=AM+CN

(1)如图2,在梯形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=CD,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=∠ABC,试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系?请写出猜想,并给予证明.

(2)如图3,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M、N分别在DA、CD的延长线上,若∠MBN=∠ABC,试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系?请直接写出猜想,不需证明.

18.如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,长方形AEFG的宽AE=,长EF=.将长方形AEFG绕点

A顺时针旋转15°得到长方形AMNH(如图),这时BD与MN相交于点O.

(1)求∠DOM的度数;

(2)在图中,求D、N两点间的距离;

(3)若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上?并说明理由.

19.(1)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.

①当点D在AC上时,如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论;

②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.

(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立?不必说明理由.

甲:AB:AC=AD:AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°;

乙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°;

丙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°.

20.(1)操作发现:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC 上方作等边△DCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.

(2)类比猜想:如图②,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,猜想AF与BD 在(1)中的结论是否仍然成立?

(3)深入探究:

Ⅰ.如图③,当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF、BF′,探究AF、BF′与AB有何数量关系?并证明你探究的结论.Ⅱ.如图④,当动点D在等边△边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论.

21.如图,点E是线段BC的中点,分别以BC为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形,且在BC同侧.(1)AE和ED的数量关系为_________;AE和ED的位置关系为_________;

(2)在图1中,以点E为位似中心,作△EGF与△EAB位似,点H是BC所在直线上的一点,连接GH,HD.分别得到图2和图3.

①在图2中,点F在BE上,△EGF与△EAB的相似比1:2,H是EC的中点.求证:GH=HD,GH⊥HD.

②在图3中,点F在的BE延长线上,△EGF与△EAB的相似比是k:1,若BC=2,请直接写CH的长为多少时,恰好使GH=HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示).

22.如图①,有一张矩形纸片,将它沿对角线AC剪开,得到△ACD和△A′BC′.

(1)如图②,将△ACD沿A′C′边向上平移,使点A与点C′重合,连接A′D和BC,四边形A′BCD是_________形;

(2)如图③,将△ACD的顶点A与A′点重合,然后绕点A沿逆时针方向旋转,使点D、A、B在同一直线上,则旋转角为_________度;连接CC′,四边形CDBC′是_________形;

(3)如图④,将AC边与A′C′边重合,并使顶点B和D在AC边的同一侧,设AB、CD相交于E,连接BD,四边形ADBC是什么特殊四边形?请说明你的理由.

23.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC的中点.

(1)若E、F分别是AB、AC上的点,且AE=CF,求证:△AED≌△CFD;

(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动,到点A、B时停止;设△DEF的面积为y,F点运动的时间为x,求y与x的函数关系式;

(3)在(2)的条件下,点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动,求此时y与x的函数关系式.

24.如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.

(1)求证:∠APB=∠BPH;

(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论;

(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.

25.如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;

(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当BP=a,CQ=时,P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示).

26.在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.

(1)如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC1A1的度数;

(2)如图2,连接AA1,CC1.若△ABA1的面积为4,求△CBC1的面积;

(3)如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的最大值与最小值.

27.如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF 成立.

(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.

①求证:BD⊥CF;

②当AB=4,AD=时,求线段BG的长.

28.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点,线段EF交AD于点H,把△FDE沿EF折叠,使点D落在D′处,点D′恰好与点A重合.

(1)求证:△ABG≌△C′DG;

(2)求tan∠ABG的值;

(3)求EF的长.

29.课本中,把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题:

(1)将一张标准纸ABCD(AB<BC)对开,如图1所示,所得的矩形纸片ABEF是标准纸.请给予证

明.

(2)在一次综合实践课上,小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB<BC)进行如下操作:

第一步:沿过A点的直线折叠,使B点落在AD边上点F处,折痕为AE(如图2甲);

第二步:沿过D点的直线折叠,使C点落在AD边上点N处,折痕为DG(如图2乙),此时E点恰好落在AE边上的点M处;

第三步:沿直线DM折叠(如图2丙),此时点G恰好与N点重合.

请你探究:矩形纸片ABCD是否是一张标准纸?请说明理由.

(3)不难发现:将一张标准纸按如图3一次又一次对开后,所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD,AB=1,BC=,问第5次对开后所得标准纸的周长是多少?探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长.

2013年全国中考试卷几何动态题组卷

参考答案与试题解析

1.(2012?佳木斯)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF.

(1)若E是线段AC的中点,如图1,易证:BE=EF(不需证明);

(2)若E是线段AC或AC延长线上的任意一点,其它条件不变,如图2、图3,线段BE、EF有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;并选择一种情况给予证明.

1,易证:∠AFC=∠ACB+∠DAC;

(1)若点D在BC延长线上,其他条件不变,写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系,并结合图2给出证明;(2)若点D在CB延长线上,其他条件不变,直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式.

连接DP,作CN⊥DP于点M,且交直线AB于点N,连接OP,ON.(当P在线段BC上时,如图1:当P在BC的延长线上时,如图2)

(1)请从图1,图2中任选一图证明下面结论:①BN=CP;②OP=ON,且OP⊥ON;

(2)设AB=4,BP=x,试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系.

×

的函数关系是:

4.(2011?永州)探究问题:

(1)方法感悟:

如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证DE+BF=EF.感悟解题方法,并完成下列填空:

将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得:

AB=AD,BG=DE,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,

因此,点G,B,F在同一条直线上.

∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°.

∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=45°.

即∠GAF=∠FAE.

又AG=AE,AF=AF

∴△GAF≌△EAF.

∴GF=EF,故DE+BF=EF.

(2)方法迁移:

如图②,将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=∠DAB.试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系,并证明你的猜想.

(3)问题拓展:

如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点,满足∠EAF=∠DAB,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时,可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由).

EAF=

长相等,求∠EAF的度数.

(2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由.

(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3,求AG,MN的长.

﹣)

∠EAB=α,且0°<α<90°,连接DG、BE、CE、CF.

(1)如图(1),求证:△AGD≌△AEB;

(2)当α=60°时,在图(2)中画出图形并求出线段CF的长;(3)若∠CEF=90°,在图(3)中画出图形并求出△CEF的面积.

∠CF

×=

CF=2CH=5

DAO=

AC=2AO=5.

FC=AC=5

,.

AC=5

MC==

ME=

()

?.

重合.

(1)求证:四边形ABFC为平行四边形;

(2)取BC中点O,将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图(二)中△A′B′C′位置,直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点,猜想OQ、OP长度的大小关系,并证明你的猜想;

(3)在(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形?(不要求证明)

中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析

中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析 在中考中,几何综合题主要考察了利用图形变换(平移、旋转、轴对称)证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上,将几何综合题目分解为基本问题,转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比,从而使问题得到解决。 在解决几何综合题时,重点在思路,在老师讲解及学生解题时,对于较复杂的图形,根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形,将新题目与已有经验建立联系从而找到思路,之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络;在做完题之后,注重解题反思,总结题目中的基本图形及辅助线添加方法,将题目归类整理;对于典型的题目,可以解析题目条件,通过拓展题目条件或改变条件,给出题目的变式,从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时,在授课过程中,将同一类型的几何综合题成组出现,分析讲解,对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。 一.考试说明要求 图形与证明中要求:会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求:会运用几何图形的相关知识和方法(两点之间的距离,等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识,全等三角形的知识和方法,平行四边形的知识,矩形、菱形和正方形的知识,直角三角形的性质,圆的性质)解决有关问题;能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题;能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题;能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求:能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题,是需要厚积而薄发,所谓的“几何感觉”,是建立在足够的知识积累的基础上的,熟悉基本图形及常用的辅助线,在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型,找到“新”问题与“旧”模型间的关联,明确努力方向,才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例: 1、与相似及圆有关的基本图形

专题九几何综合体、代数和几何综合题(含问题详解)

2012年中考第二轮专题复习九:几何综合体、代数和几何综 合题 1(2011省)如图,四边形ABCD是正方形,点E,K分别在BC,AB上,点G在BA的延长线上,且CE=BK=AG. (1)求证:①DE=DG;②DE⊥DG (2)尺规作图:以线段DE,DG为边作出正方形DEFG (要求:只保留作图痕迹,不写作法和证明); (3)连接(2)中的KF,猜想并写出四边形CEFK是怎样的 特殊四边形,并证明你的猜想: (4)当时,请直接写出的值. 考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定;作图—复杂作图。分析:(1)由已知证明DE、DG所在的三角形全等,再通过等量代换证明DE⊥DG; (2)根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F,得到正方形DEFG;(3)由已知首先证四边形CKGD是平行四边形,然后证明四边形CEFK为平行四边形; (4)由已知表示出的值. 解答:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴DC=DA,∠DCE=∠DAG=90°. 又∵CE=AG, ∴△DCE≌△GDA, ∴DE=DG, ∠EDC=∠GDA, 又∵∠ADE+∠EDC=90°, ∴∠ADE+∠GDA=90°, ∴DE⊥DG. (2)如图. (3)四边形CEFK为平行四边形. 证明:设CK、DE相交于M点, ∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形, ∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG, ∵BK=AG, ∴KG=AB=CD, ∴四边形CKGD是平行四边形,

∴CK=DG=EF,CK∥DG, ∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°, ∴∠KME+∠DEF=180°, ∴CK∥EF, ∴四边形CEFK为平行四边形. (4)=. 点评:此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图,解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论,此题较复杂 2(2011建设兵团)如图,在等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,∠B=45°.动点P从点B出发沿BC向点C运动,动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动. (1)求AB的长; (2)设BP=x,问当x为何值时△PCQ的面积最大, 并求出最大值; (3)探究:在AB边上是否存在点M,使得四边形PCQM为 菱形?请说明理由. 考点:等腰梯形的性质;二次函数的最值;菱形的性质;解直角三角形。 分析:(1)作AE⊥BC,根据题意可知BE的长度,然后,根据∠B的正弦值,即可推出AB 的长度; (2)作QF⊥BC,根据题意推出BP=CQ,推出CP关于x的表达式,然后,根据∠C的正弦值推出高QF关于x的表达式,即可推出面积关于x的二次函数式,最后根据二次函数的最值即可推出x的值; (3)首先假设存在M点,然后根据菱形的性质推出,∠B=∠APB=∠BAP=45°,这是不符合三角形角和定理的,所以假设是错误的,故AB上不存在M点. 解答:解:(1)作AE⊥BC, ∵等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9, ∴BE=(BC﹣AD)÷2=2.5, ∵∠B=45°, ∴AB=, (2)作QF⊥BC, ∵等腰梯形ABCD, ∴∠B=∠C=45°, ∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同,BP=x, ∴BP=CQ=x, ∵BC=9, ∴CP=9﹣x,QF=, 设△PQC的面积为y,

初二动态几何问题.

初二动态几何问题 一、动态几何问题涉及的几种情况 动态几何问题就其运动对象而言,有: 1、点动(有单动点型、多动点型). 2、线动(主要有线平移型、旋转型)。线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生形动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解. 3、形动(就其运动形式而言,有平移、旋转、翻折、滚动) 二、解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法: 动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时要特别注意以下七点: 1、把握运动变化的形式及过程; 2、思考运动初始状态时几何元素的关系,以及可求出的几何量; 3、动中取静:(最重要的一点) 要善于在“动”中取“静”(让图形和各个几何量都“静”下来),抓住变化中的“不变量”和不变关系为“向导”,求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量; 4、找等量关系:利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系,找出基本的等量关系式; 5、列方程:将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型; (某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化,所以在求变量之间的关系时,通常建立函数模型或不等式模型求解。在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解) 6、是否以及怎么分类讨论: 将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍,从动态的角度去分析观察可能出现的情况,看图形的形状是否改变,或图形的有关几何量的计算方法是否改变,以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决, 7、确定变化分界点: 若需分类讨论,要以运动到达的特殊点为分界点,画出与之对应情况相吻合的图形,找到情况发生改变的时刻,确定变化的范围分类求解。

初中数学动态几何问题

[导读] 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体,运动变化为主线 摘要:本文结合笔者的教学实践对初中数学教学中的动态几何问题进行了探讨。 关键词:二次函数;动点;动线;动态 作者简介:郭兴淑,任教于云南腾冲一中。 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体,运动变化为主线,函数为背景,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题。这类题综合性强,能力要求高,它能全面的考查学生的实践操作能力,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.本类问题主要有动点、动线、动面三个方面的问题。其中动点问题有单动点和双动点两种类型,无论是动点、动线、单动点还是双动点,我们都要注意到如何在动中求静,在静中求解,找到相应的关系式,把想知道的量用常量或含自变量的关系式表示出来。下面就以二次函数为背景的动态问题和单纯几何图形变化的动态问题采撷几例加以分类浅析,供读者参考。 动态问题在中考中占有相当大的比重,主要由综合性问题构成,就运动而言,可以分为三类:动点、动线、动形;就题型而言,包括计算题、证明题和应用题等。它的题型特点和考查功能决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。一般的,解题设计要因题定法。无论是整体考虑还是局部联想,确定方法都必须遵循的原则是:熟悉化原则、具体化原则;简单化原则、和谐化原则等。 动态问题一直是近几年数学中考的一个热点,随着编者的不断刨新,动态问题又有升温,比如双动问题就是中考中的最新风景区,他可以培养同学们在运动变化中发展空间想象能力.这类问题只要我们掌握“动中有静,静观其变,动静结合”的基本解题策略,我们就能以不变碰多变.以下列举近几年数学中考的两类双动问题供读者参考交流. 随着新课程改革的进行,全国各地的中考试卷异彩纷呈,尤其是解答题中的动态问题,集数与代数、空间与图形两大内容于一体,题型新颖,阅读量大,考查面广.为体现中考试

中考数学几何图形旋转试题经典问题及解答

中考数学几何图形旋转典型试题 一、填空题 1.(日照市)如图1,把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,则它们的公共部分的面积等于. 2.(成都市)如图2,将一块斜边长为12cm,∠B=60°的直角三角板ABC,绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置,再沿CB向右平移,使点B′刚好落在斜边AB 上,那么此三角板向右平移的距离是cm. 3.(连云港市)正△ABC的边长为3cm,边长为1cm的正△RPQ的顶点R 与点A重合,点P,Q分别在AC,AB上,将△RPQ沿着边AB,BC,CA顺时针 连续翻转(如图3所示),直至点P第一次回到原来的位置,则点P运动路径 的长为cm. 4.(泰州市)如图4,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC= 3,∠BCD=45°,将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED,连结AE,CE,则△ADE的面积是. 二、解答题 5.(资阳市)如图5-1,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F. (1) 求证:BP=DP; (2) 如图5-2,若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请给予证明;若不是,请用反例加以说明; (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与四边形PECF的两个顶点连结,使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等,并证明你的结论 . 6.(武汉市)如图6-1是一个美丽的风车图案,你知道它是怎样画出来的吗?按下列步骤可画出这个风车图案:在图6-2中,先画线段OA,将线段OA平移至CB处,得到风车

初中数学几何图形综合题(供参考)

初中数学几何图形综合题 必胜中学2018-01-30 15:15:15 题型专项几何图形综合题 【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用. 【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等. 【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决. 【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势. 为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.

类型1操作探究题 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置,点E在斜边AB上,连接BD,过点D作DF⊥AC于点F. (1)如图1,若点F与点A重合,求证:AC=BC;

中考数学综合专题训练【以圆为基础的几何综合题】精品专题解析

中考数学综合专题训练【以圆为基础的几何综合题】精品专题解析 几何综合题一般以圆为基础,涉及相似三角形等有关知识;这类题虽较难,但有梯度,一般题目中由浅入深有1~3个问题,解答这种题一般用分析综合法. 【典型例题精析】 例1.如图,已知⊙O的两条弦AC、BD相交于点Q,OA⊥BD. (1)求证:AB2=AQ·AC: (2)若过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点P,求证:PC=PQ. P 分析:要证A B2=AQ·AC,一般都证明△ABQ∽△ACB.∵有一个公共角∠QAB=∠BAC,?∴只需再证明一个角相等即可. 可选定两个圆周角∠ABQ=∠ACB加以证明,以便转化,题目中有垂直于弦的直径,可知AB=AD,AD和AB所对的圆周角相等. (2)欲证PC=PQ, ∵是具有公共端点的两条线段, ∴可证∠PQC=∠PCQ(等角对等边) 将两角转化,一般原地踏步是不可能证明出来的,没有那么轻松愉快的题目给你做,因为数学是思维的体操. ∠BQC=∠AQD=90°-∠1(充分利用直角三角形中互余关系) ∵∠PCA是弦切角,易发现应延长AO与⊙交于E,再连结EC,?利用弦切角定理得∠PCA=∠E,同时也得到直径上的圆周角∠ACE=90°, ∴∠PCA=∠E=90°-∠1. 做几何证明题大家要有信心,拓展思维,不断转化,寻根问底,不断探索,?充分发挥题目中条件的总体作用,总能得到你想要的结论,同时也要做好一部分典型题,?这样有利于做题时发生迁移,联想. 例2.如图,⊙O1与⊙O2外切于点C,连心线O1O2所在的直线分别交⊙O1,⊙O2于A、E,?过点A作⊙O2的切线AD交⊙O1于B,切点为D,过点E作⊙O2的切线与AD交于F,连结BC、CD、?DE. (1)如果AD:AC=2:1,求AC:CE的值; (2)在(1)的条件下,求sinA和tan∠DCE的值; (3)当AC:CE为何值时,△DEF为正三角形?

最新初中数学动态几何探究题汇总大全

最新初中数学动态几何探究题汇总大全 【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角 函数等知识的综合运用. 【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解 决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等. 【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、 覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含 的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决. 【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综 合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势. 为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题. 类型1 操作探究题 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置,点E在斜边AB上,连接BD,过点D 作DF⊥AC于点F. (1)如图1,若点F与点A重合,求证:AC=BC; (2)若∠DAF=∠DBA. ①如图2,当点F在线段CA的延长线上时,判断线段AF与线段BE的数量关系,并说明理由; ②当点F在线段CA上时,设BE=x,请用含x的代数式表示线段AF.

中考专题几何探究题(图形变换)

中国最负责的教育品牌 河南省数学中考专题----几何图形变换 1、(09年河南中考题)21. (10分)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB =90°, ∠B =60°,BC =2.点 0是AC 的中点,过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始,绕点0作逆时针旋转, 交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ,设直线l 的旋转角为α. (1)①当α=________度时,四边形EDBC 是等腰梯形,此时AD 的长为_________; ②当α=________度时,四边形EDBC 是直角梯形,此时AD 的长为_________; (2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形,并说明理由. 2、(10年河南中考题)19.(9分)如图,在梯形ABCD 中,AD //BC ,E 是BC 的中点,AD =5,BC =12,CD =42,∠C =45°,点P 是BC 边上一动点,设PB 的长为x . (1)当x 的值为____________时,以点P 、A 、D 、E 为顶 点的四边形为直角梯形; (2)当x 的值为____________时,以点P 、A 、D 、E 为顶 点的四边形为平行四边形; (3)点P 在BC 边上运动的过程中,以P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形?试 说明理由. 3、(11年河南中考题)22. (10分)如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°,BC =53,∠C =30°.点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动,同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒(t >0).过点D 作DF ⊥BC 于点F ,连接DE 、EF . (1)求证:AE =DF ; (2)四边形AEFD 能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t 值;如果不能,说明理由. (3)当t 为何值时,△DEF 为直角三角形?请说明理由. A D B P E C

中考数学几何综合题汇总.doc

如图 8,在Rt ABC中,CAB 90,AC 3 , AB 4 ,点 P 是边 AB 上任意一点,过点 P 作PQ AB 交BC于点E,截取 PQ AP ,联结 AQ ,线段 AQ 交BC于点D,设 AP x ,DQ y .【2013徐汇】 (1)求y关于x的函数解析式及定义域;( 4 分) (2)如图 9,联结CQ,当CDQ和ADB相似时,求x的值;( 5 分) (3)当以点C为圆心,CQ为半径的⊙C和以点B为圆心,BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边 AB 上时,求 AP 的长.( 5 分) C Q D E A P B (图 8) C Q D E A (图 9) P B C A B (备用图) 【2013 奉贤】如图,已知AB是⊙O的直径,AB=8,点C在半径OA上(点C与点O、A不重合),过点 C作 AB的垂线交⊙ O于点 D,联结 OD,过点 B 作 OD的平行线交⊙ O于点 E、交射 线CD于点 F. (1)若 ⌒ ED BE⌒ ,求∠ F 的度数; (2)设CO x, EF y,写出y 与x之间的函数解析式,并写出定义域;

(3)设点 C 关于直线 OD 的对称点为 P ,若△ PBE 为等腰三角形,求 OC 的长. 第 25 题 【 2013 长宁】△ ABC 和△ DEF 的顶点 A 与 D 重合,已知∠ B = 90 . ,∠ BAC = 30 . , BC=6,∠ FDE = 90 , DF=DE=4. (1)如图①, EF 与边 、 分别交于点 ,且 . 设 DF a ,在射线 上取 AC AB G 、H FG=EH DF 一点 P ,记: DP xa ,联结 CP. 设△ DPC 的面积为 y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写 出定义域; (2)在( 1)的条件下,求当 x 为何值时 PC // AB ; ( 3)如图②,先将△ DEF 绕点 D 逆时针旋转,使点 E 恰好落在 AC 边上,在保持 DE 边与 AC 边完 全重合的条件下, 使△ DEF 沿着 AC 方向移动 . 当△ DEF 移动到什么位置时, 以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 图① 图② 【 2013 嘉定】已知 AP 是半圆 O 的直径,点 C 是半圆 O 上的一个动点 (不与点 A 、P 重合),联结 AC ,以直线 AC 为对称轴翻折 AO ,将点 O 的对称点记为 O 1 ,射线 AO 1 交半圆 O 于 点 B ,联结 OC . (1)如图 8,求证: AB ∥ OC ; (2)如图 9,当点 B 与点 O 1 重合时,求证: AB CB ;

折叠几何综合专题---16道题目(含答案)

01如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG. (1)求证:四边形EFDG是菱形; (2)探究线段EG,GF,AF之间的数量关系,并说明理由; (3)若AG=6,EG=25,求BE的长.

(1)证明:由折叠性质可得,EF =FD ,∠AEF =∠ADF =90°,∠ EFA =∠DFA ,EG =GD ,∵EG ∥DC ,∴∠DFA =∠EGF , ∴∠EFA =∠EGF ,∴EF =EG =FD =GD ,∴四边形EFDG 是菱形; (2)解:EG 2 =1 2 GF ·AF .理由如下: 如解图,连接ED ,交AF 于点H , ∵四边形EFDG 是菱形, ∴DE ⊥AF ,FH =GH =12GF ,EH =DH =1 2 DE , ∵∠FEH =90°-∠EFA =∠FAE ,∠FHE =∠AEF =90°, ∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ,∴EF AF =FH EF ,即EF 2=FH ·AF , 又∵FH =12GF ,EG =EF ,∴EG 2 =12 GF ·AF ; (3)解:∵AG =6,EG =25,EG 2 =12AF ·GF ,∴(25)2 =12 (6+GF )·GF , 解得GF =4或GF =-10(舍),∴GF =4,∴AF =10. ∵DF =EG =25,∴AD =BC =AF 2-DF 2=45, DE =2EH =2 EG 2 -(1 2 GF )2=8,

∵∠CDE+∠DFA=90°,∠DAF+∠DFA=90°,∴∠CDE=∠DAF,∵∠DCE=∠ADF=90°, ∴Rt△DCE∽Rt△ADF,∴EC DF = DE AF ,即 EC 25 = 8 10 , ∴EC=85 5 ,∴BE=BC-EC= 125 5 . 02如图,将矩形ABCD沿对角线BD对折,点C落在E处,BE与AD相交于点F,若DE=4,BD=8. (1)求证:AF=EF; (2)求证:BF平分∠ABD.

初中数学动态几何问题

MC NC EC CD (这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键) 中考数学专题 动态几何问题 第一部分真题精讲 【例1】如图,在梯形 ABCD 中,AD II BC , AD 3 , DC 5 , BC 10,梯形的高为4 ?动 点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点 C 运动;动点N 同时从C 点 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动?设运动的时间为t (秒)? (1 )当MN I AB 时,求t 的值; (2)试探究:t 为何值时,△ MNC 为等腰三角形. 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题,自然有一定难度,题目中出现了两个动点,很多同 学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题,首先就是要找谁在动,谁没在动,通过分析 动态条件和静态条件之间的关系求解。 对于大多数题目来说, 都有一个由动转静的瞬间, 就 本题而言,M , N 是在动,意味着 BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现,和 这些动态的条件密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的,而且动态条件之间也是有关系的。 所以当题中设定 MN//AB 时,就变成了一个静止问题。 由此,从这些条件出发,列出方程, 自然得出结果。 【解析】 解:(1 )由题意知,当 M 、N 运动到t 秒时,如图①,过 D 作DE II AB 交BC 于E 点,则 四边形 ABED 是平行四边形. ??? AB II DE , AB II MN ? ??? DE II MN ? (根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法,成功将 MN 放在三角形 内,将动态问题转化成平行时候的静态问题)

八年级数学动态几何综合探究题训练大全

八年级数学动态几何综合探究题训练大全 1.如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别是边BC ,AB 上的点,且CE=BF .连接DE ,过点E 作EG ⊥DE ,使EG=DE ,连接FG ,FC . (1)请判断:FG 与CE 的数量关系是________,位置关系是________; (2)如图2,若点E ,F 分别是边CB ,BA 延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明; (3)如图3,若点E ,F 分别是边BC ,AB 延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断. 2.如图,在△ABC 中,点O 是AC 边上的一个动点,过点O 作直线MN ∥BC ,设MN 交 ∠BCA 的角平分线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F . (1)求证:EO =FO ; (2)当点O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形?并证明你的结论. A B C E F M N O (第19题图) B C

3.在平面直角坐标系中,O为原点,点A(4,0),点B(0,3),把△ABO绕点B逆时针旋转,得△A′BO′,点A,O旋转后的对应点为A′,O′,记旋转角为α. (1)如图①,若α=90°,求AA′的长; (2)如图②,若α=120°,求点O′的坐标; (3)在(Ⅱ)的条件下,边OA上的一点P旋转后的对应点为P′,当O′P+BP′取得最小值时, 求点P′的坐标(直接写出结果即可) 4.正方形ABCD的顶点A在直线MN上,点O是对角线AC、BD的交点,过点O作OE ⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F. (1)如图1,当O、B两点均在直线MN上方时,求证:AF+BF=2OE; (2)当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2时.线段AF,BF与OE具有什么数量关系?并说明理由. (3)当运动到图3的位置时,线段AF、BF、OE之间又有怎样的数量关系?请直接写出你 的猜想.

专题十-与几何图形有关的探究题

专题十与几何图形有关的探究题 图形变化问题 【例1】(2016·沈阳)在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转,得到△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连接BD,BE. (1)如图,当α=60°时,延长BE交AD于点F. ①求证:△ABD是等边三角形; ②求证:BF⊥AD,AF=DF; ③请直接写出BE的长; (2)在旋转过程中,过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当∠DAG=∠ACB,且线段DG与线段AE无公共点时,请直接写出BE+CE的值.

分析:(1)①由旋转性质知AB =AD ,∠BAD =60°即可得证;②由BA =BD ,EA =ED 根据垂直平分线的性质即可得证;③分别求出BF ,EF 的长即可得答案;(2)由等量代换可证∠BAE =∠BAC ,根据三线合一可得CE ⊥AB ,从而可得CE =2CH =8,BE =5,即可得答案. 解:(1)①∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ,∴AB =AD ,∠BAD =60°,∴△ABD 是等边三角形 ②由①得△ABD 是等边三角形,∴AB =BD ,∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ,∴AC =AE ,BC =DE ,又∵AC =BC ,∴EA =ED ,∴点B ,E 在AD 的垂直平分线上,∴BE 是AD 的垂直平分线,∵点F 在BE 的延长线上,∴BF ⊥AD ,AF =DF ③由②知BF ⊥AD ,AF =DF ,∴AF =DF =3,∵AE =AC =5,∴EF =4,∵在等边三 角形ABD 中,BF =AB ·sin ∠BAF =6×32=33,∴BE =BF -EF =33-4 (2)如图,∵∠DAG =∠ACB ,∠DAE =∠BAC ,∴∠ACB +∠BAC +∠ABC =∠DAG +∠DAE +∠ABC =180°,又∵∠DAG +∠DAE +∠BAE =180°,∴∠BAE =∠ABC , ∵AC =BC =AE ,∴∠BAC =∠ABC ,∴∠BAE =∠BAC ,∴AB ⊥CE ,且CH =HE =12 CE ,∵AC =BC ,∴AH =BH =12 AB =3,则CE =2CH =8,BE =AE =5,∴BE +CE =13

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后,最后一题普遍为抛物线和几何结合(主要是与三角形结合)的 代数几何综合题,计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔,而代数题则可以 想到哪里写到哪里,这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此,课改之后,武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少,而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨,因此也会继续下去。要做好这最后一题,主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点,一是要加强本身的观察力,二 是需要在平时要多积累一些好的算法,并能够熟练运用,最后就是培养计算的耐 心,做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 (1)第一问通常为求点坐标、解析式:本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式,属于送分题。 (2)第二问为代数几何综合题,题型不固定。解题偏代数,要求学生能够熟练 掌握函数的平移,左加右减,上加下减。要求学生有较好的计算能力,能够把题 目中所给的几何信息进行转化,得到相应的点坐标,再进行相应的代数计算。 (3)第三问为几何代数综合,题型不固定。解题偏几何,要求学生能够对题目 所给条件进行转化,合理设参数,将点坐标转化为相应的线段长,再根据题目条 件合理构造相似、全等,或者利用锐角三角函数,将这些线段与题目构建起联系, 再进行相应计算求解,此处要求学生能够熟练运用韦达定理,本小问综合性较强。
在我们解题时,往往有一些几何条件,我们直接在坐标系中话不是很好用, 这时我们需要对它进行相应的条件转化,变成方便我们使用的条件,以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件:a.不规则图形先进行分割,变成规则的图形面积;b.在第一 步变化后仍不是很好使用时,根据同底等高,或者等底同高的三角形面积相等这 一性质,将面积进行转化;c.当面积转化为一边与坐标轴平行时,以这条边为底, 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件:找到所有与这些角相等的角,以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数,转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. (2012 武汉中考)如图 1,点 A 为抛物线 C1:y= x2﹣2 的顶点,点 B 的坐标为(1,
0)直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C

中考数学专题复习教学案几何综合题

几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲: 几何综合题是中考试卷中常见的题型,大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题,它主要考查学生综合运用几何知识的能力,这类题往往图形较复杂,涉及的知识点较多,题设和结论之间的关系较隐蔽,常常需要添加辅助线来解答.解几何综合题,一要注意图形的直观提示;二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件,为解题创造条件打好基础;同时,也要由未知想需要,选择已知条件,转化结论来探求思路,找到解决问题的关键. 解几何综合题,还应注意以下几点: ⑴ 注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形. ⑵ 掌握常规的证题方法和思路. ⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等). Ⅱ、典型例题剖析 【例1】(南充,10分)⊿ABC 中,AB =AC ,以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ,点F 是BE 的中点. (1)求证:DF 是⊙O 的切线.(2)若AE =14,BC =12,求BF 的长. 解:(1)证明:连接OD ,AD . AC 是直径, ∴ AD ⊥BC . ⊿ABC 中,AB =AC , ∴ ∠B =∠C ,∠BAD =∠DAC . 又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角, ∴∠C =∠BED . 故∠B =∠BED ,即DE =DB . 点F 是BE 的中点,DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径, 即∠DAC =∠BAD =∠ODA . 故OD ⊥DF ,DF 是⊙O 的切线. (2)设BF =x ,BE =2BF =2x . 又 BD =CD =21 BC =6, 根据BE AB BD BC ?=?,2(214)612x x ?+=?. 化简,得 27180x x +-=,解得 122,9x x ==-(不合题意,舍去).

专题二:动态几何型压轴题(中考压轴解析)

C 专题二:动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。)动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题 (一)点动问题. 1.(09年徐汇区)如图,ABC ?中,10==AC AB ,12=BC ,点D 在边BC 上,且 4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ,交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时,求AF 的长; (2)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时, 求BE 的长; (3)当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE 的长. [题型背景和区分度测量点] 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E 点在AB 边上运动时,渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题.区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解. [区分度性小题处理手法] 1.直线与圆的相切的存在性的处理方法:利用d=r 建立方程. 2.圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法:利用d=R ±r(r R >)建立方程. 3.解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. 解:(1) 证明CDF ?∽EBD ?∴BE CD BD CF = ,代入数据得8=CF ,∴AF=2 (2) 设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用(1)的方法 x CF 32 = , 相切时分外切和内切两种情况考虑: 外切, x x 32 1010+ -=,24=x ; 内切, x x 32 1010- -=,17210±=x .100<

中考数学几何综合题汇总

如图8,在ABC Rt ?中,?=∠90CAB ,3=AC ,4=AB ,点P 是边AB 上任意一点,过点P 作AB PQ ⊥交BC 于点E ,截取AP PQ =,联结AQ ,线段AQ 交BC 于点D ,设x AP =,y DQ =.【2013徐汇】 (1)求y 关于x 的函数解析式及定义域; (4分) (2)如图9,联结CQ ,当CDQ ?和ADB ?相似时,求x 的值; (5分) (3)当以点C 为圆心,CQ 为半径的⊙C 和以点B 为圆心,BQ 为半径的⊙B 相交的另一 个交点在边AB 上时,求AP 的长. (5分) 【2013奉贤】如图,已知AB 是⊙O 的直径,AB =8, 点C 在半径OA 上(点C 与点O 、A 不重合),过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ,联结OD ,过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F . (1)若 ,求∠F 的度数; (2)设,,y EF x CO ==写出y 与x 之间的函数解析式,并写出定义域; (图8) C A B D E P Q C A B D E P Q (图9) (备用图) C A B BE ED =⌒ ⌒

第25题 (3)设点C 关于直线OD 的对称点为P ,若△PBE 为等腰三角形,求OC 的长. 【2013长宁】△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合,已知∠B =?90. ,∠BAC =?30. ,BC=6,∠ FDE =?90,DF=DE=4. (1)如图①,EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ,且FG=EH . 设a DF =,在射线DF 上取一点P ,记:a x DP =,联结CP. 设△DPC 的面积为y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域; (2)在(1)的条件下,求当x 为何值时 AB PC //; (3)如图②,先将△DEF 绕点D 逆时针旋转,使点E 恰好落在AC 边上,在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下,使△DEF 沿着AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时,以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 【2013嘉定】已知AP 是半圆O 的直径,点C 是半圆O 上的一个动点(不与点A 、P 重合),联结AC ,以直线AC 为对称轴翻折AO ,将点O 的对称点记为1O ,射线1AO 交半圆O 于点B ,联结OC . (1)如图8,求证:AB ∥OC ; (2)如图9,当点B 与点1O 重合时,求证:CB AB =; 图① 图②

几何综合(习题)

几何综合(习题) ? 例题示范 例:如图,在四边形ABCD 中,AB =2,BC =CD =B =90°, ∠C =120°,则AD 的长为_______. D C B A 解:如图,连接AC . D C B A 在Rt △ABC 中,∵∠B =90°,AB =2,BC =∴tan ∠ACB = 3 AB BC = ∴∠ACB =30° ∴AC =2AB =4 ∵∠BCD =120° ∴∠ACD =∠BCD -∠ACB =90° 在Rt △ADC 中,AC =4,CD =∴AD = ? 巩固练习 C D B A

1. 如图,在△ABC 中,AB =15 m ,AC =12 m ,AD 是∠BAC 的外角平分线,DE ∥ AB 交AC 的延长线于点E ,那么CE =________. 2. 在△ABC 中,AB =12,AC =10,BC =9,AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所 示的方式折叠,使点A 与点D 重合,折痕为EF ,则△DEF 的周长为________. D B A 3. 如图,矩形EFGD 的边EF 在△ABC 的BC 边上,顶点D ,G 分别在边AB ,AC 上.已知AB =AC=5,BC=6,设BE =x ,EFGD S y 矩形,则y 关于x 的函数关系式为________________. (要求写出x 的取值范围) G F E D C B A N M G F E D C B A 第3题图 第4题图 4. 如图,在△ABC 中有一正方形DEFG ,其中D 在AC 上,E ,F 在AB 上,直线 AG 分别交DE ,BC 于M ,N 两点.若∠B =90°,AB =4,BC =3,EF =1,则BN 的长度为( ) A .43 B .32 C .85 D .127 5. 如图,在△ABC 中,AB =BC =10,AC =12,BO ⊥AC ,垂足为O ,过点A 作射线 AE ∥BC ,点P 是边BC 上任意一点,连接PO 并延长与射线AE 相交于点Q ,设B ,P 两点之间的距离为x ,过点Q 作直线BC 的垂线,垂足为R .小明同学思考后给出了下面五条结论:①△AOB ≌△COB ; ②当0<x <10时,△AOQ ≌△COP ;

热点专题8 动态几何问题(解析版)

热点专题8动点几何问题 考向1图形的运动与最值 1. (2019 江苏省连云港市)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以点C为圆心作⊙C与直线BD相切,点P是⊙C上一个动点,连接AP交BD于点T,则的最大值是.

【解析】如图, 过点P作PE⊙BD交AB的延长线于E, ⊙⊙AEP=⊙ABD,⊙APE⊙⊙ATB, ⊙, ⊙AB=4, ⊙AE=AB+BE=4+BE, ⊙, ⊙BE最大时,最大, ⊙四边形ABCD是矩形, ⊙BC=AD=3,CD=AB=4, 过点C作CH⊙BD于H,交PE于M,并延长交AB于G,⊙BD是⊙C的切线, ⊙⊙GME=90°, 在Rt⊙BCD中,BD==5, ⊙⊙BHC=⊙BCD=90°,⊙CBH=⊙DBC, ⊙⊙BHC⊙⊙BCD,

⊙, ⊙, ⊙BH=,CH=, ⊙⊙BHG=⊙BAD=90°,⊙GBH=⊙DBA, ⊙⊙BHG⊙⊙BAD, ⊙=, ⊙, ⊙HG=,BG=, 在Rt⊙GME中,GM=EG?sin⊙AEP=EG×=EG, 而BE=GE﹣BG=GE﹣, ⊙GE最大时,BE最大, ⊙GM最大时,BE最大, ⊙GM=HG+HM=+HM, 即:HM最大时,BE最大, 延长MC交⊙C于P',此时,HM最大=HP'=2CH=,⊙GP'=HP'+HG=, 过点P'作P'F⊙BD交AB的延长线于F, ⊙BE最大时,点E落在点F处,

即:BE 最大=BF , 在Rt⊙GP 'F 中,FG ====, ⊙BF =FG ﹣BG =8, ⊙ 最大值为1+=3, 故答案为:3. 2. (2019 江苏省无锡市)如图,在ABC ?中,5AB AC ==,BC =D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF ,连接BE ,则BDE ?面积的最大值为 . 【解析】过D 作DG ⊙BC 于G ,过A 作AN ⊙BC 于N ,过E 作EH ⊙HG 于H ,延长ED 交BC 于M .

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