选修2-2 1.7 定积分的简单应用
一、选择题
1．如图所示，阴影部分的面积为( )
A.??a b f (x )d x
B.??a b g (x )d x
C.??a
b [f (x )－g (x )]d x
D.??a
b [g (x )－f (x )]d x
[答案] C
[解析] 由题图易知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )，所以阴影部分的面积为??a
b [f (x )－
g (x )]d x .
2．如图所示，阴影部分的面积是( )
A ．2 3
B ．2－ 3 C.32
3
D.353
[答案] C
[解析] S ＝??1－3(3－x 2
－2x )d x
即F (x )＝3x －13x 3－x 2
，
则F (1)＝3－1－13＝5
3
，
F (－3)＝－9－9＋9＝－9.
∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝32
3
.故应选C.
3．由曲线y ＝x 2
－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A.??0
2(x 2
－1)d x
B ．|??0
2(x 2
－1)d x |
C.??02|x 2
－1|d x
D.??0
1(x 2－1)d x ＋??1
2(x 2
－1)d x
[答案] C
[解析] y ＝|x 2
－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C. 4．设f (x )在[a ，b ]上连续，则曲线f (x )与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成图形的面积为( ) A.??a b f (x )d x
B ．|??a
b f (x )d x |
C.??a
b |f (x )|d x
D ．以上都不对
[答案] C
[解析] 当f (x )在[a ，b ]上满足f (x )<0时，??a
b f (x )d x <0，排除A ；当阴影有在x 轴上方
也有在x 轴下方时，??a
b f (x )d x 是两面积之差，排除B ；无论什么情况C 对，故应选C.
5．曲线y ＝1－1681x 2
与x 轴所围图形的面积是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D.52
[答案] B
[解析] 曲线与x 轴的交点为? ????－94，0，? ??
??94，0
故应选B.
6．一物体以速度v ＝(3t 2
＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是
( )
A ．31m
B ．36m
C ．38m
D ．40m
[答案] B
[解析] S ＝??0
3(3t 2
＋2t )d t ＝(t 3
＋t 2
)| 3
0＝33
＋32
＝36(m)，故应选B.
7．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3
围成的封闭图形面积为( ) A.
1
12
B.1
4 C.1
3
D.712
[答案] A
[解析] 由????
?
y ＝x 2
y ＝x
3
得交点为(0,0)，(1,1)．
∴S ＝??0
1(x 2
－x 3
)d x ＝
????
????13x 3－14x 410
＝112.
8．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )
A ．8J
B ．10J
C ．12J
D ．14J
[答案] D
[解析] 由变力做功公式有：W ＝??1
3(4x －1)d x ＝(2x 2
－x )| 3
1＝14(J)，故应选D.
9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t
，
那么从3小时到6小时期间内的产量为( )
A.1
2
B ．3－32 2
C ．6＋3 2
D ．6－3 2
[答案] D [解析] ??36
3
6t
dt ＝
66
t | 6
3＝6－32，故应选D.
10．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2
－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程
为( )
A ．y ＝±ax
B ．y ＝ax
C ．y ＝－ax
D ．y ＝－5ax
[答案] B
[解析] 设直线l 的方程为y ＝kx ，
由?
????
y ＝kx y ＝x 2
－2ax 得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2
) 图形面积S ＝∫2a ＋k
[kx －(x 2
－2ax )]d x
＝? ????k ＋2a 2
x 2－x 3
3| 2
a ＋k 0 ＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33＝(2a ＋k )3
6＝92a 3
∴k ＝a ，∴l 的方程为y ＝ax ，故应选B. 二、填空题
11．由曲线y 2
＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________． [答案] 18
[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组
?
??
??
y 2
＝2x
y ＝x －4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．
因此所求图形的面积S ＝?
?4－2(y ＋4－y 2
2)d y
取F (y )＝12y 2＋4y －y 3
6，则F ′(y )＝y ＋4－y
2
2
，从而S ＝F (4)－F (－2)＝18.
12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．
13．由两条曲线y ＝x 2
，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．
[答案] 4
3
[解析] 如图，y ＝1与y ＝x 2
交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 2
4
交点B (2,1)，由对称性可知面
积S ＝2(??0
1x 2
d x ＋??1
2d x －??0
214
x 2d x )＝43.
14．一变速运动物体的运动速度v (t )＝???
??
2t (0≤t ≤1)
a t
(1≤t ≤2)
b t (2≤t ≤e )
则该物体在0≤t ≤e 时间段内运动的路程为(速度单位：m/s ，时间单位：s)______________________．
[答案] 9－8ln2＋2
ln2
[解析] ∵0≤t ≤1时，v (t )＝2t ，∴v (1)＝2； 又1≤t ≤2时，v (t )＝a t
， ∴v (1)＝a ＝2，v (2)＝a 2
＝22
＝4； 又2≤t ≤e 时，v (t )＝b
t
， ∴v (2)＝b
2
＝4，∴b ＝8.
∴路程为S ＝??0
12t d t ＋??1
22t
d t ＋??2
e 8t
d t ＝9－8ln2＋2ln2 .
三、解答题
15．计算曲线y ＝x 2
－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积． [解析] 由???
?
?
y ＝x ＋3y ＝x 2
－2x ＋3
解得x ＝0及x ＝3.
从而所求图形的面积
S ＝??03(x ＋3)d x －??0
3(x 2－2x ＋3)d x
＝??03[(x ＋3)－(x 2
－2x ＋3)]d x
＝??0
3(－x 2
＋3x )d x
＝? ????－13
x 3＋32x 2| 30＝92.
16．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；
(2)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．
[解析] (1)设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2
＋2x ＋c .
又方程f (x )＝0有两个相等实根． ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.
(2)依题意有??－1
－t (x 2
＋2x ＋1)d x ＝?
?0－t (x 2
＋2x ＋1)d x ，
∴? ????13x 3＋x 2＋x | －t －1＝? ??
??13x 3＋x 2＋x | 0
－t 即－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2
＋t .
∴2t 3
－6t 2
＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3
＝－1，∴t ＝1－
13
2
.
17．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t (m/s)，到C 点的速度达24m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：
(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；
(3)电车从A 站到B 站所需的时间． [解析] (1)设A 到C 经过t 1s ， 由1.2t ＝24得t 1＝20(s)，
所以AC ＝∫20
01.2t d t ＝0.6t 2
| 20
0＝240(m)．
(2)设从D →B 经过t 2s ， 由24－1.2t 2＝0得t 2＝20(s)， 所以DB ＝∫20
0(24－1.2t )d t ＝240(m)． (3)CD ＝7200－2×240＝6720(m)． 从C 到D 的时间为t 3＝6720
24＝280(s)．
于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．
18．在曲线y ＝x 2
(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，
试求：
(1)切点A 的坐标； (2)过切点A 的切线方程．
[解析] 如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，
即y ＝2x 0x －x 20.
令y ＝0得x ＝x 0
2，即C ? ??
??
x 0
2，0.
设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，
S ＝S
曲边△AOB －S △ABC . S 曲边△AOB ＝∫x 00x 2d x ＝13
x 30， S △ABC ＝12
|BC |·|AB | ＝12? ?
???x 0－x 02·x 20＝14
x 30，
即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝1
12
.
所以x 0＝1，从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1.
例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}? (2){1，2，3}＝{3，2，1} (3){0}??≠ (4)0∈{0} (5){0}(6){0} ??∈＝ 分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的． 说明：含元素0的集合非空． 例2 列举集合{1，2，3}的所有子集． 分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个． 解含有个元素的子集有：； 0? 含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}； 含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个． 说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ? 例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ?? ________． 分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}． 答 共3个． 说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束． 例设为全集，集合、，且，则≠ 4 U M N U N M ?? [ ] 分析 作出4图形． 答 选C ． 说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．
点击思维 例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 [ ] A A B B A B C A B D A B ．＝．．．≠≠ ??? 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上 x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1， y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ． 答 选A ． 说明：要注意集合中谁是元素． M 与P 的关系是 [ ] A ．M ＝ U P B ．M ＝P C M P D M P ．．≠?? 分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补 集的性质：M ＝ U N ＝ U ( U P)＝P ；三是利用画图的方法． 答 选B ． 说明：一题多解可以锻炼发散思维． 例7 下列命题中正确的是 [ ] A ． U ( U A)＝{A}
A.( ) B.( ) C.( ) D. ( ∫ ∫t 高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 班级： 姓名： 学号： 2 2 2 1．(2010·ft 东日照模考)a ＝ ∫ x d x ，b ＝ ∫ e x d x ，c ＝ ∫ sin x d x ，则 a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a 定积分 练习与解析1 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内 1.根据定积分的定义，dx x ?2 02=( ) A. n n i n i 112 1???? ??-∑= B. n n i n i n 1 12 1lim ??? ? ??-∑=∞→ C. n n i n i 2 22 1??? ? ??∑= D. n n i n i n 222 1lim ??? ? ??∑=∞→ 解析：由求定积分的四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限.可知选项为D 2、?-+22 )cos (sin π πdx x x 的值为（ ） A 0 B 4 π C 2 D 4 解析：?-+22 )cos (sin π πdx x x =() 22 sin cos ππ- +-x x ?? ? ?????? ??-+??? ??---??? ??+-2sin 2cos 2sin 2cos ππππ=2， 故选C. 3、直线4-=x y 与抛物线x y 22=所围成的图形面积是（ ） A 15 B 16 C 17 D 18 解析：直线4-=x y 与抛物线x y 22=的交点为()().4,8,2,2-结合图像可知面积 ()()[]1812303 1213021248221 4 2 3242=-=?-=---?+= --?y dy y s .此题选取y 为积分变量较容易. 选D. 4.以初速度40m/s 素质向上抛一物体，ts 时刻的速度 21040t v -= ，则此物体达到最高时的高度为（ ） A . m 3160 B. m 380 C. m 340 D. m 320 解析：由 2 1040t v -==0，得物体达到最高时 t =2.高度 () ()m t t dt t h 3160310401040203202= ??? ? ? -=-=? 5.一物体在力()5232+-=x x x F （力单位：N ，位移单位:m ）作用下沿与()x F 相同的方向由m x 5=直线运动到 m x 10=处作的功是（ ） 定积分典型例题 例1 求33322 321lim (2)n n n n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322321lim (2)n n n n n →∞L =333112lim ()n n n n n n →∞+L =334 xdx =?． 例2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故20 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin t tdt ππ- -? =2 2 21sin t tdt π -=220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 数学高考选择题训练一 1.给定集合=M {4 |πθθk =，∈k Z }，}02cos |{==x x N ，}12sin |{==a a P ，则下列关系式中，成立 的是 A.M N P ?? B.M N P ?= C.M N P =? D.M N P == 2.关于函数2 1)3 2(sin )(||2+-=x x x f ，有下面四个结论： （1）)(x f 是奇函数； （2）当2003>x 时，2 1)(>x f 恒成立； （3）)(x f 的最大值是2 3； （4）)(x f 的最小值是2 1-． 其中正确结论的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.过圆01022=-+x y x 内一点P （5，3）的k 条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列 的首项1a ，最大弦长为数列的末项k a ，若公差∈d [3 1，2 1]，则k 的取值不可能是 A.4 B.5 C.6 D.7 4.下列坐标所表示的点不是函数)6 2 tan(π-=x y 的图象的对称中心的是 （A ）（3 π，0） B.（3 5π-，0） C.（3 4π，0） D.（3 2π，0） 5.与向量=l （1，3）的夹角为o 30的单位向量是 A.21（1，3） B.21（3，1） C.（0，1） D.（0，1）或2 1 （3 ，1） 6.设实数y x ，满足10< 1.设Sn是等差数列｛An｝的前n项和,又S6=36,Sn=324,S(n-6)=144,则n=? ①Sn是等差数列 S6=a1*6+6(6-1)/2*d=36，则2a1+5d=12......& 最后六项的和S=an*6-6(6-1)/2*d=6an-15d S(n-6)=Sn-S=324-(6an-15d)=144,则2an-5d=60......@ &+@:a1+an=36 Sn=(a1+an)/2*n n=18 ②解:Sn-S(n-6)=a(n-5)+a(n-4)+......an=324-144=180 而 S6=a1+a2+...a6=36 有 Sn-S(n-6)+S6= a1+a2+...a6+ a(n-5)+a(n-4)+....an =6(a1+an)=180+36=216 那么 (a1+an)=36 Sn=n(a1+an)/2=324 即 36n/2 =324 所以 n=18 2.已知f(x)=(x-1)^2,g(x)=4(x-1),f(an)和g(an)满足，a1=2,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0 (1)是否存在常数C，使得数列｛an+C｝为等比数列？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由。 （2）设bn=3f(an)-[g(an+1)]^2，求数列｛bn｝的前n项和Sn (1)存在 C=-1 证明如下 (an+1-an)g(an)+f(an)=0 将f(x)、g（x)带入并化简 得4an+1 - 3an -1 =0 变形为4(an+1 -1)=3(an -1) 所以an-1是以3/4为等比 1为首项的等比数列 (2)an-1=(3/4)^n bn=3f(an)-[g(an+1)]^2 将f(an) g(an+1)带入不要急着化简先将an+1 - 1换成 3/4 (an-1) 化简后bn=-6(an -1)^2=-6*(9/16)^n bn是首项为-27/8等比是9/16的等比数列 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=54/7(9/16)^n-54/7 已知函数f(x)=x^2+ax+b,当实数p,q满足p+q=1,试证明pf(x)+qf(y)>=f(px+qy) pf(x)+qf(y)>=f(px+qy) <=> px^2+pax+pb+qy^2+qay+qb>=(px+qy)^2+apx+aqy+b 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如 定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1． a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程： 规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。高中数学 定积分练习与解析1 苏教版选修2-2
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