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MWorks多目标优化

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MWorks试验设计工具

模型优化

苏州同元软控信息技术有限公司

2010年10月

目录

1. 概述 (1)

2. 功能特征 (1)

3. 基于仿真的多目标优化 (1)

4. 单目标优化 (2)

4.1 简单的数学算例 (2)

4.1.1 问题描述 (2)

4.1.2 使用前的准备 (3)

4.1.3 参数优化 (4)

4.2 典型的OPB算例 (15)

4.2.1 问题描述 (15)

4.2.2 使用前的准备 (16)

4.2.3 参数优化 (17)

5. 多目标优化 (20)

5.1 多领域仿真模型F14 (20)

5.1.1 问题描述 (21)

5.1.2 使用前的准备 (23)

5.2 单个调节参数情况 (24)

5.3 多个调节参数 (29)

5.3.1 优化最大超调量(Overshoot) (29)

5.3.2 优化上升时间(RiseTime) (33)

5.4 多目标优化 (36)

5.4.1 使用不同的参数初值 (36)

5.4.2 改变目标权值 (38)

5.4.3 使用不等式约束条件 (40)

5.4.4 结果分析与小结 (42)

6. 多实例优化 (42)

6.1 定义实例参数 (42)

6.2 检查目标变量指标 (43)

6.3 优化上升时间(RiseTime) (44)

6.4 优化最大超调量(Overshoot) (48)

6.5 结果分析与小结 (51)

7. 高级选项 (51)

7.1 复用先前的设置 (51)

7.2 使用命令接口 (52)

7.3 多目标聚合方式 (53)

8. 参考文献 (53)

1.概述

针对物理系统开发的仿真模型包含许多决定系统行为的参数,例如变速箱的传动比、弹簧系数、控制器的结构参数等,调节这些参数值可以改变系统行为,寻找使得系统整体性能趋向最优的参数值是建模与仿真的关键问题之一。

常见的“启发式”方式,即反复进行“修改参数→仿真→比较结果”,可以起到一定的参数优化效果,但得到的结果精度不高,而且显得效率低下。对线性SISO系统,一般的分析方法(例如最小二乘法)也能得到近似优化的结果。

MWorks参数优化采用基于仿真的多目标优化方法进行参数分析,帮助解决复杂系统建模与仿真中的参数调节问题。在数学上,参数调节过程实为一种优化过程:将调节参数视为优化变量,通过不断改变参数值,如果优化目标达到某种意义上的“最小”,则将当前参数值视为最优参数值。其中,优化目标通常根据仿真结果来计算,例如针对某种响应的最大超调量、上升时间等。

参数优化工具在仿真环境(MWorks Simulator)中运行,与物理模型的编译结果(仿真实例及其对应的求解器)紧密集成,参见“试验→模型优化”菜单。

2.功能特征

MWorks参数优化工具提供向导式的窗口,支持设置参数研究所要求的各种细节规则,主要特征如下。

(1).允许多个调节参数,每个参数可设置不同的上下界。

(2).支持针对多个优化变量定义相应的优化目标,并使用“权值”进行多目标聚合。

(3).通过多实例优化,使得不同工作条件下的产品性能均达到最优。

(4).输出调节参数和目标变量迭代过程,优化结束时生成结果变量差异图。

3.基于仿真的多目标优化

考虑优化问题的三要素:优化变量、目标函数、约束条件,其中,优化变量对应仿真模型中的参数,通过优化算法进行调整;目标函数作为优化算法的计算准则,是对模型性能的一种期望;约束条件限制了变量的变动范围,是必须满足的性能指标。

在基于仿真的优化过程中,优化目标通常根据仿真结果来计算,实际上是将模型求解器作为目标函数来调用,参数优化的执行过程大致如下。

(1).根据算法需要收集优化变量、目标函数和约束条件,建立优化模型。

(2).执行(3)—(6)的过程。

(3).将参数初值或优化算法返回的参数值作为输入参数送入求解器。

(4).运行求解器得到目标变量的时间序列。

(5).调用变量估值函数对时序数据进行分析,计算得到一个标量值,将该值作为目标函数值提交给优化算法。更复杂的计算可借助其他分析过程实现,例如频域分析、特征值分析等。

(6).根据优化变量值和目标函数值判断算法是否达到期望目标,如果达到则迭代过程终止;否则,根据目标函数和约束条件计算得到新的参数值(其中决策过程因算法而异),转(3)继续迭代。

(7).算法运行结束。

对于多目标优化情况,通常情况下最优解不是唯一的。为此需要对优化目标进行权衡,以获得一种使所有目标“最小化”并且符合用户设计意图的最优解。实际应用一般采用“加权法”将多个目标函数值聚合为一个标量值,将该值作为最终的目标函数值提交给优化算法进行处理。

MWorks在具体操作时,也使用“加权法”这种比较实用的方法支持多目标优化与多实例优化。

4.单目标优化

下面结合具体实例介绍MWorks参数优化工具的使用方法。

4.1简单的数学算例

4.1.1问题描述

首先看一个简单的算例。已知一个矩形的周长,求当长度和宽度分别为何值时矩形的面积最大?

这个问题的答案是众所周知的:当长度等于宽度时矩形的面积是最大的。

下面建立该问题对应的Modelica模型,使用参数优化工具进行求解。

对应的模型文件参考“MWorks\Samples\rectangle_area.mo”。

model rectangle_area

parameter Real perimeter = 400 "矩形周长";

parameter Real length = 10 "矩形长度";

Real width "矩形宽度";

Real area "矩形面积";

equation

width = perimeter / 2 - length;

area = length * width;

end rectangle_area;

其中,矩形初值设为:周长perimeter = 400,长度length = 10;此时,宽度width = 190,面积area = 1900。

该问题的精确解为:length = width = 100,面积最大值area = 10000。

对上述问题,可取参数length为优化变量、area为优化目标建立优化模型,该问题视为无约束的单目标优化问题。

4.1.2使用前的准备

进行参数优化之前的操作步骤如下:

(1).启动MWorks Studio,点击菜单“文件→打开”,选择“MWorks\Samples\ rectangle_area.mo”打开rectangle_area模型,初始界面如图4-1所示。

图4-1 打开rectangle_area模型并进行编译

(2).点击菜单“仿真→编译”,编译生成可运行的求解器。

(3).点击菜单“仿真→转到仿真环境”,MWorks Simulator在启动时自动更新求解器,生成对应的仿真实例“rectangle_area-1”,结果如图4-2所示。

图4-2 生成仿真实例rectangle_area-1

提示:如果MWorks Simulator正在运行,点击菜单“文件→更新求解器”,也可生成仿真实例“rectangle_area-1”。

至此准备工作结束,点击“试验→模型优化”菜单进行参数优化。

4.1.3参数优化

下面介绍如何通过参数优化求解矩形面积问题,并详细说明参数配置过程。

从图4-2开始,点击菜单“试验→模型优化”,弹出图4-3所示的参数配置界面。

图4-3 模型优化参数配置向导

模型优化参数配置向导包括8个属性页。

(1).源模型:选择将要进行参数优化的仿真实例,当参数变动时,系统自动调用与该实例关联的求解器。

(2).调节参数:选择一个或多个进行调节的参数,对应优化问题的优化变量。显然,所选择的参数必须对目标变量有影响才是可行的,如果改变调节参数之后目标变量输出不变,参数优化将失败。

(3).优化目标:选择一个或多个目标变量。目标变量泛指模型所需要优化的性能指标,对于优化问题来说,目标变量既可用来计算目标函数值,也可以用来计算约束条件值。

(4).实例:设置进行多实例优化的实例选项。这里,“实例”对应仿真模型所处的工作条件,由实例参数来定义,例如不同的产品型号、运行工况等。多实例优化是通过改变调节参数,使得仿真模型在不同情况的性能指标均达到最优。

(5).实例参数:选择一个或多个固定不变的参数,设置各个实例所对应的参数值,这些参数在优化过程中是保持不变的。在多实例优化中,通过不同的实例参数来区分“实例”。

(6).期望值:设置目标变量对应的期望值。目标变量用来计算目标函数值时,该值视为“权值”;否则视为约束值。对于单目标优化问题,“权值”被忽略。

(7).求解设置:设置求解起止时间、步长、算法、误差等选项。

(8).选项:设置优化算法选项,例如收敛误差、最大迭代步数等。

下面结合rectangle_area模型介绍具体的操作步骤(其中部分属性页在后续的实例中进行说明)。

A.选择源模型

首先选择进行参数优化的仿真实例。如图4-3所示,“源模型”列表中显示了当前候选的仿真实例,其中,当前实例“rectangle_area-1”缺省已被选中。B.选择调节参数

下一步,点击图4-3左侧列表中的“调节参数”切换属性页,选择进行优化的参数,如图4-4所示。

图4-4 调节参数属性页(参数集为空)

调节参数来自仿真模型,通过交互方式进行选择。点击“选择”按钮,弹出图4-5所示的选择变量对话框。

图4-5 选择调节参数

按本例要求,从中勾选参数“length”(矩形长度)。注意,选择变量对话框与MWorks Simulator变量浏览器面板中的显示内容有点不同,这一步中只列出允许修改的参数(非独立参数和非参数节点已排除)。

完成参数选择之后,点击“确定”回到调节参数属性页,在其中的列表框中显示出已选中的参数集,如图4-6所示。

图4-6 调节参数属性页

图4-6中列出了选中的参数列表及其全部属性。

(1).名字:即参数全名。为避免出错,限制不能修改参数名。

(2).是否生效:指定该参数是否要进行调节(缺省为true)。如果选择不生效(设为false),该参数在模型优化过程中视为固定参数(将调节参数设为不生效实际上改变了模型参数的缺省值,对应改变了模型的运行状态)。MWorks参数优化工具要求必须提供至少1个有效的调节参数。

(3).名义值:调节参数初始值,缺省来自仿真模型实例,允许修改。

(4).最小值:设置调节参数的下界,“-1e100”表示不作限制。

(5).最大值:设置调节参数的上界,“+1e100”表示不作限制。

调节参数由优化算法根据优化目标来确定,并且保证不会超出所指定的参数范围。另外,调节参数的最小值和最大值可以简化算法运行,建议总是设置参数上下界。

本例中,调节参数“length”的名义值设为“10.0”,参数上下界均不作限制。

提示:使用“上移”、“下移”按钮可以改变调节参数生效顺序;使用“删除”按钮可以去除多余的参数。

C.设置优化目标

下一步,点击图4-3左侧列表中的“优化目标”切换属性页,选择目标变量,如图4-7所示。

图4-7 优化目标属性页(变量集为空)

结果变量同样来自仿真模型,点击“选择”按钮,弹出图4-8所示对话框。

图4-8 选择优化目标变量

按本例要求,从中勾选变量“area”(矩形面积)。注意,这一步的显示内容与图4-5不同,树形列表中不显示参数。

完成选择之后,点击“确定”回到结果变量属性页,在其中的列表框中显示出已选中的变量集,如图4-9所示。

图4-9 优化目标属性页

图4-9中列出了选中的变量列表及其全部属性。

(1).名字:即变量全名。为避免出错,限制不能修改变量名。

(2).是否生效:缺省为true,如果选择不生效(设为false),该变量在模型优化过程中将不参与计算目标函数(或约束条件)。

(3).估值:选择变量估值函数,本例中的仿真模型为一般非线性时不变模型,选择缺省选项“FinalValue”表示使用变量在求解终止时刻的值计算目标函数(或约束条件)。更多其他选项参考MWorks_Toolkit_Parameter_Analysis.pdf。

(4).约束:根据“估值”一栏中选择的变量估值函数对仿真结果进行处理后得到一个标量值,“约束”一栏中的属性确定该值的用途,或者是目标函数值,或者是约束条件值。图中选择“Maximize”(最大化)是根据优化问题来确定的,表示矩形面积越大越好。对应的目标权值或约束值在“期望值”属性页设置。

提示:使用“上移”、“下移”按钮可以改变目标变量在列表中的显示顺序,同时改变了其计算顺序;使用“删除”按钮可以去除多余的变量。

与约束相关的目标类型和约束条件参考表4-1。

表4-1 变量约束类型

D.设置优化实例

下一步,点击图4-3左侧列表中的“实例”切换属性页,设置实例及其选项,如图4-10所示。

图4-10 优化实例属性页

其中,

(1).名字:用于标识不同的优化实例,允许修改。如果有多个实例,实例名不能重复。

(2).是否生效:缺省为true。如果选择不生效(设为false),该实例将不参与优化过程计算,等同于没有定义。MWorks参数优化工具要求必须提供至少1个有效的优化实例。

(3).权值:使用“权值”设置优化实例对于优化目标的不同期望,只有1个实例时,该值被忽略。显然,权值必须大于0。

本例中使用缺省实例“Normal”,关于多实例优化相关的应用场景以及界面操作详见第6节——多实例优化。

提示:使用“上移”、“下移”按钮可以改变优化实例在列表中的显示顺序,同时改变了其生效顺序;使用“增加”按钮设置新的(缺省)实例;使用“删除”按钮可以去除多余的实例。

E.选择实例参数

下一步,点击图4-3左侧列表中的“实例参数”切换属性页,选择实例参数并赋值,如图4-11所示。

图4-11 实例参数属性页

如前所述,实例参数与优化实例对应的工作条件相关,对于一个具体的实例来说,实例参数是固定不变的。

本例中实际不需要设置实例参数,但为了说明界面元素,选择“perimeter”(矩形周长)作为示例(更一般的情况参考5.4节——多目标优化、第6节——多实例优化)。

(1).实例参数列表栏目根据实例参数和优化实例建立,横向对应:参数名字、实例1、实例2、…;纵向逐行显示所选择的实例参数,行列顺序与对应属性页中的参数和实例保持一致,例如本例中的缺省实例“Normal”。

(2).对本例中的优化问题,改变“perimeter”没有使问题的性质发生变化,但直接影响最终的优化结果。为了不破坏前述假设,仍然设置perimeter = 400。

提示:使用“上移”、“下移”按钮可以改变实例参数在列表中的显示顺序;使用“选择”按钮选择实例参数;使用“删除”按钮可以去除多余的参数。

F.设置期望值

下一步,点击图4-3左侧列表中的“期望值”切换属性页,设置优化目标权值或约束条件值,如图4-12所示。

图4-12 期望值属性页

其中,

(1).期望值列表栏目根据“优化目标”和“实例”属性页中设置的目标变量和优化实例建立,横向对应:目标变量名字、实例1、实例2、…;纵向逐行显示具体的目标变量,行列顺序与对应属性页中的变量和实例保持一致,例如本例中的目标变量“area”和实例“Normal”。更一般的情况参考5.4节——多目标优化、第6节——多实例优化。

(2).目标变量作为优化目标使用时,期望值视为“权值”(要求大于0);如果作为约束条件,期望值根据优化问题进行赋值。

本例中优化实例为1个缺省实例“Normal”(见图4-10),目标变量有1个“area”(见图4-9),并且作为优化目标使用,故期望值视为“权值”,此处设为缺省值“1.0”(单目标优化时该值被忽略)。

G.设置模型求解选项

下一步,点击图4-3左侧列表中的“求解设置”切换属性页,设置求解器运行选项,如图4-13所示。

图4-13 求解设置属性页

考虑本例中的仿真模型为非线性时不变模型,故全部属性取缺省选项。

提示:对于其他时变模型,需要根据所选目标变量的变化趋势、对应的变量估值函数等因素设置合理的仿真区间、输出步长和积分选项。

H.设置优化算法选项

最后一步,点击图4-3左侧列表中的“选项”切换属性页,设置优化算法选项,如图4-14所示。

图4-14 优化算法选项

其中,

(1).优化方法:选择优化算法,缺省为“CVM”(约束变尺度法)。

(2).相对误差:作为迭代收敛误差,该值范围为1e-8—0.1,缺省值为1e-3。

(3).最大迭代步数:不能小于10,缺省为100。

(4).目标聚合方式:适用于多目标优化,只有1个优化目标时该选项被忽略。缺省为“Default”,表示由优化算法决定如何处理。可选的多目标聚合方式参考表7-1。

(5).步长因子:控制调节参数变更精度,该值范围为1e-6—1.0,缺省为5e-3。

(6).分步显示迭代信息:缺省true,这样,在迭代过程中输出栏将分步显示调节参数的变动细节,以及对应的优化目标和约束条件在该步的结果。

本例中,步长因子设为1e-4,其余取缺省选项。

I.查看模型优化结果

参数配置完成,建议将本次参数配置结果保存为外部脚本文件,以便复用。

点击“确定”执行模型优化,经过7次迭代之后得到结果,如图4-15所示。

图4-15 参数优化的输出结果

其中,

(1).曲线窗口中显示了目标变量在优化前后的结果,分别用蓝色曲线和红色曲线表示。本例中优化前后area(矩形面积)分别等于1900、9999.9999,优化结果对比精确解的相对误差为1e-8。

(2).在输出栏中给出了调节参数的最优解。本例中length = 100.01,优化结果对比精确解的相对误差为1e-4。如果选中了“分步显示迭代信息”(参考图4-14),在迭代过程中输出栏还将分步显示调节参数的变动细节,以及对应的优化目标值和约束条件值。

(3). 变量浏览器中生成了模型标定之后的仿真实例“rectangle_area-2”,其中调节参数已设为其最优解(如果存在实例参数,其参数值也并入实例中),可以从中观察模型其他变量指标在优化前后的差异情况。

从图4-15看出,参数优化后得到期望的结果。

4.2 典型的OPB 算例

4.2.1 问题描述

接下来测试OPB 算法库中的考题7,这是一个典型的非线性、单目标约束优化问题,数学模型如下。

4

,3 ,2 ,1 ,5x 1 0

40x x 0

x *x *x *x - 25 s.t.x )x x (x *x *x f(x) min i 2423222143213

32141=≤≤=?+++≤+++=i x x

该问题的理论最优值如下:

} 1.3794082 3.8211503, 4.7429994, 1, {x[]=;17.0140173f(x) min =。 下面建立该问题对应的Modelica 模型,使用参数优化工具进行求解。对应的模型文件参考“MWorks\Samples\opb_cvm_ex7.mo ”。 model opb_cvm_ex7

parameter Real x1 = 1 "参数1";

parameter Real x2 = 5 "参数2";

parameter Real x3 = 5 "参数3";

parameter Real x4 = 1 "参数4";

Real f "目标函数";

Real eq_c "等式约束 == 40";

Real ne_c "不等式约束 >= 25";

equation

f = x1 * x4 * (x1 + x2 + x3) + x3;

eq_c = x1 * x1 + x2 * x2 + x3 * x3 + x4 * x4;

ne_c = x1 * x2 * x3 * x4;

end opb_cvm_ex7;

本例中,取参数 4321x ,x ,x ,x 为优化变量,初值 {1,5,5,1}x[]=、f 为优化目标(初始时极值等于16)、ne_c eq_c, 为约束条件建立优化模型。

注意所选的参数初值不满足等式约束条件ne_c,因而是“不可行点”。4.2.2使用前的准备

进行参数优化之前的操作步骤如下:

(1).启动MWorks Studio,点击菜单“文件→打开”,选择“MWorks\Samples\ opb_cvm_ex7.mo”打开opb_cvm_ex7模型,初始界面如图4-16所示。

图4-16 打开opb_cvm_ex7模型并进行编译

(2).点击菜单“仿真→编译”,编译生成可运行的求解器。

(3).点击菜单“仿真→转到仿真环境”,MWorks Simulator在启动时自动更新求解器,生成对应的仿真实例“opb_cvm_ex7-1”,结果如图4-17所示。

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组合优化问題简卉习题一第二章 最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章 线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章 一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章 常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章 常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章 动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章 多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章 现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章 最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献 更多 最优化方法及其应用 相关pdf电子书下载

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浅析多目标优化问题 【摘要】本文介绍了多目标优化问题的问题定义。通过对多目标优化算法、评估方法和测试用例的研究,分析了多目标优化问题所面临的挑战和困难。 【关键词】多目标优化问题;多目标优化算法;评估方法;测试用例 多目标优化问题MOPs (Multiobjective Optimization Problems)是工程实践和科学研究中的主要问题形式之一,广泛存在于优化控制、机械设计、数据挖掘、移动网络规划和逻辑电路设计等问题中。MOPs有多个目标,且各目标相互冲突。对于MOPs,通常存在一个折衷的解集(即Pareto最优解集),解集中的各个解在多目标之间进行权衡。获取具有良好收敛性及分布性的解集是求解MOPs的关键。 1 问题定义 最小化MOPs的一般描述如下: 2 多目标优化算法 目前,大量算法用于求解MOPs。通常,可以将求解MOPs的算法分为两类。 第一类算法,将MOPs转化为单目标优化问题。算法为每个目标设置权值,通过加权的方式将多目标转化为单目标。经过改变权值大小,多次求解MOPs 可以得到多个最优解,构成非支配解集[1]。 第二类算法,直接求解MOPs。这类算法主要依靠进化算法。进化算法这种面向种群的全局搜索法,对于直接得到非支配解集是非常有效的。基于进化算法的多目标优化算法被称为多目标进化算法。根据其特性,多目标进化算法可以划分为两代[2]。 (1)第一代算法:以适应度共享机制为分布性策略,并利用Pareto支配关系设计适应度函数。代表算法如下。VEGA将种群划分为若干子种群,每个子种群相对于一个目标进行优化,最终将子种群合并。MOGA根据解的支配关系,为每个解分配等级,算法按照等级为解设置适应度函数。NSGA采用非支配排序的思想为每个解分配虚拟适应度值,在进化过程中,算法根据虚拟适应度值采用比例选择法选择下一代。NPGA根据支配关系采用锦标赛选择法,当解的支配关系相同时,算法使用小生境技术选择最优的解进入下一代。 (2)第二代算法:以精英解保留机制为特征,并提出了多种较好的分布性策略。代表算法如下。NSGA-II降低了非支配排序的复杂度,并提出了基于拥挤距离的分布性策略。SPEA2提出了新的适应度分配策略和基于环境选择的分布性策略。PESA-II根据网络超格选择个体并使用了基于拥挤系数的分布性策略。

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NSGA-II 算法实例 目前的多目标优化算法有很多, Kalyanmoy Deb 的带精英策略的快速非支配排序遗传算法(NSGA-II) 无疑是其中应用最为广泛也是最为成功的一种。本文用的算法是MATLAB 自带的函数gamultiobj ,该函数是基于NSGA-II 改进的一种多目标优化算法。 一、 数值例子 多目标优化问题 424221********* 4224212212112 12min (,)10min (,)55..55 f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x s t x =-++-=-++-≤≤??-≤≤? 二、 Matlab 文件 1. 适应值函数m 文件: function y=f(x) y(1)=x(1)^4-10*x(1)^2+x(1)*x(2)+x(2)^4-x(1)^2*x(2)^2; y(2)=x(2)^4-x(1)^2*x(2)^2+x(1)^4+x(1)*x(2); 2. 调用gamultiobj 函数,及参数设置: clear clc fitnessfcn=@f; %适应度函数句柄 nvars=2; %变量个数 lb=[-5,-5]; %下限 ub=[5,5]; %上限 A=[];b=[]; %线性不等式约束 Aeq=[];beq=[]; %线性等式约束 options=gaoptimset('paretoFraction',0.3,'populationsize',100,'generations', 200,'stallGenLimit',200,'TolFun',1e-100,'PlotFcns',@gaplotpareto); % 最优个体系数paretoFraction 为0.3;种群大小populationsize 为100,最大进化代数generations 为200, % 停止代数stallGenLimit 为200, 适应度函数偏差TolFun 设为1e-100,函数gaplotpareto :绘制Pareto 前端 [x,fval]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)

最优化方法及应用

陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授,曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是:最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。 现陆吾生教授计划在 2007 年 10-11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”(每周两次,每次两节课),对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生,以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程,修毕的研究生及本科生可给学分。 上课地点及时间:每周二及周四下午2:00开始,在闵行新校区第三教学楼326教室。(自10月11日至11月8日) 下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注:这是一门约二十学时左右的短期课程,旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法,及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系

最优化方法及其Matlab程序设计

最优化方法及其Matlab程序设计 1.最优化方法概述 在生活和工作中,人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案,并通过各方面的论证,从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。最优化是每个人,每个单位所希望实现的事情。对于产品设计者来说,是考虑如何用最少的材料,最大的性能价格比,设计出满足市场需要的产品。对于企业的管理者来说,则是如何合理、充分使用现有的设备,减少库存,降低能耗,降低成本,以实现企业的最大利润。 由于优化问题无所不在,目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域,如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等,并取得了显著的经济效益和社会效益。 用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术,它包含两个方面的内容: 1)建立数学模型。 即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2)数学求解。 数学模型建好以后,选择合理的最优化算法进行求解。 最优化方法的发展很快,现在已经包含有多个分支,如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 2.最优化方法(算法)浅析 最优化方法求解很大程度上依赖于最优化算法的选择。这里,对最优化算法做一个简单的分类,并对一些比较常用的典型算法进行解析,旨在加深对一些最优化算法的理解。 最优化算法的分类方法很多,根据不同的分类依据可以得到不同的结果,这里根据优化算法对计算机技术的依赖程度,可以将最优化算法进行一个系统分类:线性规划与整数规划;非线性规划;智能优化方法;变分法与动态规划。 2.1 线性规划与整数规划 线性规划在工业、农业、商业、交通运输、军事和科研的各个研究领域有广泛应用。例如,在资源有限的情况下,如何合理使用人力、物力和资金等资源,以获取最大效益;如何组织生产、合理安排工艺流程或调制产品成分等,使所消耗的资源(人力、设备台时、资金、原始材料等)为最少等。 线性规划方法有单纯形方法、大M法、两阶段法等。 整数规划有割平面法、分枝定界法等。 2.2 非线性规划 20世纪中期,随着计算机技术的发展,出现了许多有效的算法——如一些非线性规划算法。非线性规划广泛用于机械设计、工程管理、经济生产、科学研究和军事等方面。

最优化方法及其应用课后答案

1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为: 习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出: s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 (1) 无约束最优点,并求出最优值。 (2) 约束最优点,并求出其最优值。 (3) 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ,其约束最优解是什么? * 解 :(1)在无约束条件下, f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上,不难看出,当 x =(3,4) 时, f (x ) 取最小值,即,最优点为 x * =(3,4):且最优值为: f (x * ) =0 (2)在约束条件下, f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示,此时,求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ,使其落在半径最小的同心圆上,显然,从图示中可 以看出,当 x * = 15 , 5 ) 时, f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中:点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点,令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到: ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) :最优值为: f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 (3).若增加一个等式约束,则由图可知,可行域为空集,即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ,怎样设计可使油箱的容量最大?试列出这个优 化问题的数学模型,并回答这属于几维的优化问题. 解:列出这个优化问题的数学模型为: max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S

多目标优化算法与求解策略

多目标优化算法与求解策略 2多目标优化综述 2.1多目标优化的基本概念 多目标优化问题(Multi-objective Optimization Problem,MOP)起源于许多实际复杂系统的设计、建模和规划问题,这些系统所在的领域包括工业制造、城市运输、资本预算、森林管理、水库管理、新城市的布局和美化、能量分配等等。几乎每个重要的现实生活中的决策问题都要在考虑不同的约束的同时处理若干相互冲突的目标,这些问题都涉及多个目标的优化,这些目标并不是独立存在的,它们往往是祸合在一起的互相竞争的目标,每个目标具有不同的物理意义和量纲。它们的竞争性和复杂性使得对其优化变得困难。 多目标最优化是近20多年来迅速发展起来的应用数学的一门新兴学科。它研究向量目标函数满足一定约束条件时在某种意义下的最优化问题。由于现实世界的大量问题,都可归结为含有多个目标的最优化问题,自70年代以来,对于多目标最优化的研究,在国内和国际上都引起了人们极大的关注和重视。特别是近10多年来,理论探索不断深入,应用范围日益广泛,研究队伍迅速壮大,显示出勃勃生机。同时,随着对社会经济和工程设计中大型复杂系统研究的深入,多目标最优化的理论和方法也不断地受到严峻挑战并得到快速发展。近几年来,将遗传算法(Genetic Algorithm,GA)应用于多目标优化问题成为研究热点,这种算法通常称作多目标优化进化算法或多目标优化遗传算法。由于遗传算法的基本特点是多方向和全局搜索,这使得带有潜在解的种群能够一代一代地维持下来。从种群到种群的方法对于搜索Pareto解来说是十分有益的。 一般说来,科学研究与工程实践中许多优化问题大都是多目标优化问题。多目标优化问题中各目标之间通过决策变量相互制约,对其中一个目标优化必须以其它目标作为代价,而且各目标的单位又往往不一致,因此很难客观地评价多目标问题解的优劣性。与单目标优化问题的本质区别在于,多目标优化问题的解不是唯一的,而是存在一个最优解集合,集合中

多目标优化问题

多目标优化方法 基本概述 几个概念 优化方法 一、多目标优化基本概述 现今,多目标优化问题应用越来越广,涉及诸多领域。在日常生活和工程中,经常要求不只一项指标达到最优,往往要求多项指标同时达到最优,大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。例如:在机械加工时,在进给切削中,为选择合适的切削速度和进给量,提出目标:1)机械加工成本最低2)生产率低3)刀具寿命最长;同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。 多目标优化的数学模型可以表示为: X=[x1,x2,…,x n ]T----------n维向量 min F(X)=[f1(X),f2(X),…,f n(X)]T----------向量形式的目标函数s.t. g i(X)≤0,(i=1,2,…,m) h j(X)=0,(j=1,2,…,k)--------设计变量应满足的约束条件多目标优化问题是一个比较复杂的问题,相比于单目标优化问题,在多目标优化问题中,约束要求是各自独立的,所以无法直接比较任意两个解的优劣。

二、多目标优化中几个概念:最优解,劣解,非劣解。 最优解X*:就是在X*所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(X*)≤f(X),则X*为优化问题的最优解。 劣解X*:在D中存在X使其函数值小于解的函数值,即f(x)≤f(X*), 即存在比解更优的点。 非劣解X*:在区间D中不存在X使f(X)全部小于解的函数值f(X*). 如图:在[0,1]中X*=1为最优解 在[0,2]中X*=a为劣解 在[1,2]中X*=b为非劣解 多目标优化问题中绝对最优解存在可能性一般很小,而劣解没有意义,所以通常去求其非劣解来解决问题。

多目标优化的求解方法

多目标优化的求解方法 多目标优化(MOP)就是数学规划的一个重要分支,就是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下: 多目标优化方法本质就是将多目标优化中的各分目标函数,经处理或数学变换,转变成一个单目标函数,然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法: (1)评价函数法。常用的方法有:线性加权与法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质就是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。 (2)交互规划法。不直接使用评价函数的表达式,而就是使决策者参与到求解过程,控制优化的进行过程,使分析与决策交替进行,这种方法称为交互规划法。常用的方法有:逐步宽容法、权衡比替代法,逐次线性加权与法等。 (3)分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序,然后按这个排序依次进行单目标的优化求解,以最终得到的解作为多目标优化的最优解。 而这些主要就是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法与蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。 在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都就是多目标优化问题, 它的应用很广泛。 1)物资调运车辆路径问题 某部门要将几个仓库里的物资调拨到其她若干个销售点去, 在制定调拨计划时一般就要考虑两个目标, 即在运输过程中所要走的公里数最少与总的运输费用最低, 这就是含有两个目标的优化问题。利用首次适配递减算法与标准蚁群算法对救灾物资运输问题求解, 求得完成运输任务的最少时间, 将所得结果进行了比较。 2)设计 如工厂在设计某种新产品的生产工艺过程时, 通常都要求产量高、质量好、成本低、消耗少及利润高等, 这就就是一个含有五个目标的最优化问题; 国防部门在设计导弹时, 要考虑导弹的射程要远、精度要最高、重量要最轻以及消耗燃料要最省等,这就就是一个含有四个目标的最优化问题。Jo等人将遗传算法与有限元模拟软件结合

多目标最优化模型

第六章 最优化数学模型 §1 最优化问题 1.1 最优化问题概念 1.2 最优化问题分类 1.3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2.1 无约束条件极值 2.2 等式约束条件极值 2.3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3.1 线性规划 3.2 整数规划 §4 最优化问题数值算法 4.1 直接搜索法 4.2 梯度法 4.3 罚函数法 §5 多目标优化问题 5.1 多目标优化问题 5.2 单目标化解法 5.3 多重优化解法 5.4 目标关联函数解法 5.5 投资收益风险问题 第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题 1.1 最优化问题概念 (1)最优化问题 在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中,我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题,这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个:①求出满足一定条件下,函数的极值或最大值最小值;②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多,有的十分复杂,但是它们都有共同的关键因素:变量,约束条件和目标函数。 (2)变量 变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说,它们都有一些限制条件(约束条件),与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ;我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。 (3)约束条件 在最优化问题中,求目标函数的极值时,变量必须满足的限制称为约束条件。 例如,许多实际问题变量要求必须非负,这是一种限制;在研究电路优化设

最优化方法在计算机专业的应用

动态规划方法在计算机专业的应用 科目:最优化方法 姓名:*** 专业:计算机科学与技术 学号:201320405 指导老师:*** 日期:2014/1/9

动态规划方法在计算机专业的应用 摘要:最优化方法是一门很有用的学科,本文结合计算机专业,讨论了用动态规划方法解决计算最长公共子序列、最大字段和、背包问题的过程,并对比其它算法以说明动态规划方法的高效、实用。 关键词:动态规划,最优化,算法分析 Abstract: The optimization method is a useful discipline, this paper, a computer professional, discusses the process used to calculate the dynamic programming method to solve the longest common subsequence, the maximum field and, knapsack problem, and compared to other algorithms to illustrate the dynamic programming method efficient and practical. Keywords: dynamic programming, optimization, algorithm analysis 动态规划(dynamic programming)是通过结合子问题的解而解决整个问题的。(此处“programming”是指一种规划,而不是指写计算机代码。)动态规划适用于子问题不是独立的情况,也就是各子问题包含公共的子子问题。在这种情况下,若用分治法则会做很多不必要的工作,即重复地求解公共的子子问题。动态规划算法对每个公共的子子问题只求解一次,将其结果保存在一张表中,从而避免了每次遇到各个子问题时重新计算答案。 一、算法设计与优化 动态规划通常应用于最优化问题。此类问题可能有很多可行解。

多目标最优化模型

第六章最优化数学模型 §1最优化问题 1.1最优化问题概念 1.2最优化问题分类 1.3最优化问题数学模型 §2经典最优化方法 2.1无约束条件极值 2.2等式约束条件极值 2.3不等式约束条件极值 §3线性规划 3.1线性规划 3.2整数规划 §4最优化问题数值算法 4.1直接搜索法 4.2梯度法 4.3罚函数法 §5多目标优化问题 5.1多目标优化问题 5.2单目标化解法 5.3多重优化解法 5.4目标关联函数解法 5.5投资收益风险问题 第六章最优化问题数学模 §1最优化问题 1.1最优化问题概念 (1)最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中,我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题,这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个:①求出满足一定条件下,函数的极值或最大值最小值; ②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多,有的十分复杂,但是它们都有共同的关键因素:变量,约束条件和目标函数。 (2)变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。 一般来说,它们都有一些限制条件(约束条件),与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为x1,x2, , x n ;我们常常也用X (x1,x2, ,x n)表示。 3)约束条件 在最优化问题中,求目标函数的极值时,变量必须满足的限制称为约束条件例如,许多实际问题变量要求必须非负,这是一种限制;在研究电路优化设

多目标最优化数学模型

第六章最优化数学模型 §1 最优化问题 1.1 最优化问题概念 1.2 最优化问题分类 1.3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2.1 无约束条件极值 2.2 等式约束条件极值2.3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3.1 线性规划 3.2 整数规划 §4 最优化问题数值算法4.1 直接搜索法 4.2 梯度法 4.3 罚函数法 §5 多目标优化问题 5.1 多目标优化问题 5.2 单目标化解法 5.3 多重优化解法 5.4 目标关联函数解法5.5 投资收益风险问题

第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题 1.1 最优化问题概念 (1)最优化问题 在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中,我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题,这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个:①求出满足一定条件下,函数的极值或最大值最小值;②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多,有的十分复杂,但是它们都有共同的关键因素:变量,约束条件和目标函数。 (2)变量 变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说,它们都有一些限制条件(约束条件),与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ;我们常常也用),,,(21n x x x X =表示。 (3)约束条件 在最优化问题中,求目标函数的极值时,变量必须满足的限制称为约束条件。 例如,许多实际问题变量要求必须非负,这是一种限制;在研究电路优化设计问题时,变量必须服从电路基本定律,这也是一种限制等等。在研究问题时,这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。 用数学语言描述约束条件一般来说有两种: 等式约束条件 m i X g i ,,2,1,0)( == 不等式约束条件 r i X h i ,,2,1, 0)( =≥ 或 r i X h i ,,2,1, 0)( =≤ 注:在最优化问题研究中,由于解的存在性十分复杂,一般来说,我们不考虑不等式约束条件0)(>X h 或0)(

多目标优化问题

多目标优化方法 基本概述几个概念优化方法 一、多目标优化基本概述 现今,多目标优化问题应用越来越广,涉及诸多领域。在日常生活和工程中,经常要求不只一项指标达到最优,往往要求多项指标同时达到最优,大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。例如:在机械加工时,在进给切削中,为选择合适的切削速度和进给量,提出目标:1)机械加工 成本最低2)生产率低3)刀具寿命最长;同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。 多目标优化的数学模型可以表示为: X=[x i,x 2,…,x n ] T ---------------------------------- n 维向量 min F(X)=[f i(X),f 2(X),…,f n(X)] T- --------- 向量形式的目标 函数 s.t. g i(X) < 0,(i=1,2,…,m) h j (X)=0,(j=1,2,…,k) ------ 设计变量应满足的约 束条件 多目标优化问题是一个比较复杂的问题,相比于单目标优化问题,在 多目标优化问题中,约束要求是各自独立的,所以无法直接比较任意两个解的优劣。 二、多目标优化中几个概念:最优解,劣解,非劣解。 最优解X*:就是在乂所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(X *)

如图:在[0,1] 中 X*=1为最优解 在[0,2] 中X*=a为劣解 在[1,2] 中X*=b为非劣解 多目标优化问 题中绝对最优解存 在可能性一般很 小,而劣解没有 意义,所以通常去 求其非劣解来解决 问题。 三、多目标优化方法 多目标优化方法主要有两大类: 1)直接法:直接求出非劣解,然后再选择较好的解 将多目标优化问题转化为单目标优化问题。 2)间接法女口:主要目标法、统一目标法、功效系数法等。 将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。女口:分层系列法等。 1、主要目标法 求解时从多目标中选择一个目标作为主要目标,而其他目标只需满足一定要求即可,因此可将这些目标转化成约束条件,也就是用约束条件的形式保证其他目标不致太差,这样就变成单目标处理方法。 例如:多目标函数f 1(X),f 2(X),.?…,f n(X)中选择f k(X)作为主 要目标,这时问题变为求min f k(x) D={x|f min < f i(X)< f ma》,D为解所对应的其他目标函数应满足上下限。 2、统一目标法 通过某种方法将原来多目标函数构造成一个新的目标函数,从而将多目标函数转变为单目标函数求解。 ①线性加权和法 根据各目标函数的重要程度给予相应的权数,然后各目标函数与

多目标优化的求解方法

多目标优化的求解方法 多目标优化(MOP)是数学规划的一个重要分支,是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下: 多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数,经处理或数学变换,转变成一个单目标函数,然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法: (1)评价函数法。常用的方法有:线性加权和法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。 (2)交互规划法。不直接使用评价函数的表达式,而是使决策者参与到求解过程,控制优化的进行过程,使分析和决策交替进行,这种方法称为交互规划法。常用的方法有:逐步宽容法、权衡比替代法,逐次线性加权和法等。 (3)分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序,然后按这个排序依次进行单目标的优化求解,以最终得到的解作为多目标优化的最优解。 而这些主要是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法和蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。

在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都是多目标优化问题, 它的应用很广泛。 1)物资调运车辆路径问题 某部门要将几个仓库里的物资调拨到其他若干个销售点去, 在制定调拨计划时一般就要考虑两个目标, 即在运输过程中所要走的公里数最少和总的运输费用最低, 这是含有两个目标的优化问题。利用首次适配递减算法和标准蚁群算法对救灾物资运输问题求解, 求得完成运输任务的最少时间, 将所得结果进行了比较。 2)设计 如工厂在设计某种新产品的生产工艺过程时, 通常都要求产量高、质量好、成本低、消耗少及利润高等, 这就是一个含有五个目标的最优化问题; 国防部门在设计导弹时, 要考虑导弹的射程要远、精度要最高、重量要最轻以及消耗燃料要最省等,这就是一个含有四个目标的最优化问题。Jo等人将遗传算法与有限元模拟软件结合应用于汽车零件多工序冷挤压工艺的优化。Chung等人也成功应用遗传算法对锻件工艺进行了优化。 3)投资 假设某决策部门有一笔资金要分配给若干个建设项目, 在确定投资方案时, 决策者总希望做到投资少收益大。Branke等人采用基于信封的多目标进化算法成功地解决了计划投资地选择问题。 4)模拟移动床过程优化与控制 一个工业化模拟移动床正常运行时, 一般有七股物料进、出吸附塔, 其中起关键作用的物料口将作为决策量引起目标值的变化。根据实际生产要求通常包括生产率、产品纯度、吸附剂消耗量等多个目标。模拟移动床分离过程由于其过程操作变量的强耦合性、工艺机理的复杂性及分离性能的影响因素繁多性, 需要众多学者对其操作优化和过程控制进行深入的研究。Huang等人利用TPS 算法解决了模拟移动床多个冲突目标的最大最小的问题, 并与NSGA2 算法的结果进行了比较。吴献东等人运用粒子群算法开发出一种非线性模拟移动床( SMB )色谱分离过程的优化策略。 5)生产调度 在离散制造生产系统中, 一个工件一般经过一系列的工序加工完成, 每道工序需要特定机器和其他资源共同完成, 各工件在各机器上的加工顺序(称技术约束条件)通常是事先给定的。车间调度的作用

多目标优化进化算法比较综述

龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/955764179.html, 多目标优化进化算法比较综述 作者:刘玲源 来源:《决策与信息·下旬刊》2013年第07期 摘要多目标优化是最优化领域的一个重要研究方向,本文简要介绍了多目标优化的模型和几种多目标优化的进化算法,并对算法进行了简要比较。 关键词多目标优化粒子群遗传算法蚁群算法人工免疫系统 中图分类号:TP391 文献标识码:A 一、背景 多目标优化(Multiobjective OptimizaTionProblem,MOP)是最优化的一个重要分支,多目标问题中的各目标往往是有着冲突性的,其解不唯一,如何获得最优解成为多目标优化的一个难点,目前还没有绝对成熟与实用性好的理论。近年来,粒子群算法、遗传算法、蚁群算法、人工免疫系统、等现代技术也被应用到多目标优化中,使多目标优化方法取得很大进步。本文将其中四种多目标优化的进化算法进行一个简单的介绍和比较。 二、不同算法介绍 (一)多目标遗传算法。 假定各目标的期望目标值与优先顺序已给定,从优先级最高的子目标向量开始比较两目标向量的优劣性,从目标未满足的子目标元素部分开始每一级子目标向量的优劣性比较,最后一级子目标向量中的各目标分量要全部参与比较。给定一个不可实现的期望目标向量时,向量比较退化至原始的Pareto排序,所有目标元素都必须参与比较。算法运行过程中,适应值图景可由不断改变的期望目标值改变,种群可由此被引导并集中至某一特定折中区域。当前种群中(基于Pareto最优概念)优于该解的其他解的个数决定种群中每一个向量解的排序。 (二)人工免疫系统。 人工免疫算法是自然免疫系统在进化计算中的一个应用,将抗体定义为解,抗原定义为优化问题,抗原个数即为优化子目标的个数。免疫算法具有保持个体多样性、搜索效率高、群体优化、避免过早收敛等优点。其通用的框架是:将优化问题的可行解对应抗体,优化问题的目标函数对应抗原,Pareto最优解被保存在记忆细胞集中,并采取某种机制对记忆集进行不断更新,进而获得分布均匀的Pareto最优解。 (三)多目标PSO约束算法。

多目标优化实例和matlab程序

NSGA -II 算法实例 目前的多目标优化算法有很多, Kalyanmoy Deb 的带精英策略的快速非支配排序遗传算法(NSGA-II) 无疑是其中应用最为广泛也是最为成功的一种。本文用的算法是MATLAB 自带的函数gamultiobj ,该函数是基于NSGA-II 改进的一种多目标优化算法。 一、 数值例子 多目标优化问题 424221********* 4224212212112 12min (,)10min (,)55..55 f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x s t x =-++-=-++-≤≤??-≤≤? 二、 Matlab 文件 1.适应值函数m 文件: function y=f(x) y(1)=x(1)^4-10*x(1)^2+x(1)*x(2)+x(2)^4-x(1)^2*x(2)^2; y(2)=x(2)^4-x(1)^2*x(2)^2+x(1)^4+x(1)*x(2); 2.调用gamultiobj 函数,及参数设置: clear clc fitnessfcn=@f; %适应度函数句柄 nvars=2; %变量个数 lb=[-5,-5]; %下限 ub=[5,5]; %上限 A=[];b=[]; %线性不等式约束

Aeq=[];beq=[]; %线性等式约束 options=gaoptimset('paretoFraction',0.3,'populationsize',100, 'generations',200,'stallGenLimit',200,'TolFun',1e-100,'Plo tFcns',@gaplotpareto); % 最优个体系数paretoFraction 为0.3;种群大小populationsize 为100,最大进化代数generations 为200, % 停止代数stallGenLimit 为200, 适应度函数偏差TolFun 设为1e-100,函数gaplotpareto :绘制Pareto 前端 [x,fval]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,option s) 3. 计算结果 图1. 实例1对应的Pareto 前沿图 -40-35-30-25-20 -15-10-5-50 5 10 15 202530 35 Objective 1O b j e c t i v e 2 Pareto front

最优化方法及其应用

最优化方法及其应用

第一章 最优化问题总论 无论做任何一件事,人们总希望以最少的代价取得最大的效益,也就是力求最好,这就是优化问题.最优化就是在一切可能的方案中选择一个最好的方案以达到最优目标的学科.例如,从甲地到乙地有公路、水路、铁路、航空四种走法,如果我们追求的目标是省钱,那么只要比较一下这四种走法的票价,从中选择最便宜的那一种走法就达到目标.这是最简单的最优化问题,实际优化问题一般都比较复杂. 概括地说,凡是追求最优目标的数学问题都属于最优化问题.作为最优化问题,一般要有三个要素:第一是目标;第二是方案;第三是限制条件.而且目标应是方案的“函数”.如果方案与时间无关,则该问题属于静态最优化问题;否则称为动态最优化问题. §1.1 最优化问题数学模型 最简单的最优化问题实际上在高等数学中已遇到,这就是所谓函数极值,我们习惯上又称之为经典极值问题. 例1.1 对边长为a 的正方形铁板,在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大? 解 设剪去的正方形边长为x ,由题意易知,与此相应的水槽容积为 x x a x f 2 )2()(-=. 令 0)6)(2()2()2)(2(2)('2 =--=-+--=x a x a x a x x a x f , 得两个驻点: a x a x 6 121== ,.

第一个驻点不合实际,这是因为剪去4个边长为2 a 的正方形相当于将铁板全部剪去.现在来判断第二个驻点是否为极大点. ∵ a x f 824)(''-=, 4)6 (''<-=a a f , ∴ 6 a x = 是极大点. 因此,每个角剪去边长为6 a 的正方形可使所制成的水槽容积最大. 例 1.2 求侧面积为常数)0(62 >a a ,体积最大的长方体体积. 解 设长方体的长、宽、高分别为z y x ,, 体积为v ,则依题意知体积为 xyz z y x f v ==)(,,, 条件为 06)(2)(2 =-++=a xy xz yz z y x ,,?. 由拉格朗日乘数法,考虑函数 )6222()(2 a xy xz yz xyz z y x F -+++=λ,,, 2()02()02()0x y z F yz y z F xz z x F xy x y λλλ'=++='=++='=++=,, , 由题意可知z y x ,, 应是正数,由此0≠λ,将上面三个等式分别乘以z y x ,, 并利用条件2 3a xy zx yz =++,得到 22 22(3)02(3)02(3)0xyz a yz xyz a zx xyz a xy λλλ?+-=?+-=??+-=? ,,. 比较以上三式可得 xy a zx a yz a -=-=-222333, 从而a z y x ===.又侧面积固定的长方体的最大体积客观存在,因此侧面积固定的长方体中以正方

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