高三数学第二轮专题复习系列(7)
直线与圆的方程
一、重点知识结构
本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。
直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；
两条直线平行和垂直的充要条件、直线l 1到l 2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；
用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意； 曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据； 圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。 二、高考要求
1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；
3、会用二元一次不等式表示平面区域；
4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；
5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；
6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。 三、热点分析
在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。 四、复习建议
本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。
直线
【例题】
【例1】已知点B （1，4），C （16，2），点A 在直线x －3y ＋3 = 0上，并且使?ABC 的面积等于21，求点A 的坐标。
解：直线BC 方程为2x ＋5y －22 = 0,|BC| = 29，设点A 坐标(3y －3,y)，则可求A 到BC
的距离为29
|
2811|-y ，∵?ABC 面积为21，∴
2129
|2811|2921=-?y ， ∴11141170-=
或y ，故点A 坐标为（1170,
11177）或（11
14
,1175--）.
【例2】已知直线l 的方程为3x+4y －12=0, 求直线l ′
的方程, 使得：
(1) l ′
与l 平行, 且过点(－1,3) ;
(2) l ′与l 垂直, 且l ′
与两轴围成的三角形面积为4.
解：(1) 由条件, 可设l ′
的方程为 3x+4y+m=0, 以x=－1, y=3代入,
得 －3+12+m=0, 即得m=－9, ∴直线l ′
的方程为 3x+4y －9=0;
(2) 由条件, 可设l ′
的方程为4x －3y+n=0, 令y=0, 得4n x -=, 令x=0, 得3
n
y =, 于是由三角形面积43
421=?-?=
n n S , 得n 2
=96, ∴64±=n ∴直线l ′
的方程是06434=+-y x 或06434=--y x
【例3】过原点的两条直线把直线2x ＋3y －12 = 0在坐标轴间的线段分成三等分，求这二
直线的夹角。
解：设直线2x ＋3y －12 = 0与两坐标轴交于A ，B 两点，
则A （0，4），B （6，0），设分点C ，D ，设θ=∠COD 为所求角。
∵2=CA BC ，∴??
??
?
=+?+==+=38212402216c c y x ，∴C （2，38
）. 又2=DB AD ，∴??
??
?=+==+?+=3421442162000y x ，∴D(4,34)，∴31,34==OD OC k k . ∴1393
13413134|1|
=?+-=
+-=OD
OC OD
OC k k k k tg θ，∴139arctg =θ. 【例4】圆x 2
＋y 2
＋x －6y ＋c = 0与直线x ＋2y －3 = 0相交于P,Q 两点,求c 为何值时,OP ⊥OQ(O 为原点).
解：解方程组消x 得5y 2
－20y ＋12＋c = 0,)12(5
1
21c y y +=?,
消y 得5x 2
＋10x ＋4c －27 = 0,)274(5
121-=?c x x , ∵OP ⊥OQ,∴
12211-=?x y x y ,∴5
274512--=+c c ，解得c = 3. 【例5】已知直线y =－2x ＋b 与圆x 2
＋y 2
－4x ＋2y －15 = 0相切,求b 的值和切点的坐标.
解：把y =－2x ＋b 代入x 2＋y 2
－4x ＋2y －15 = 0,
整理得5x 2－4(b ＋2)x ＋b 2
＋2b －15 = 0,令?= 0得b =－7或b =13,]
∵方程有等根，5
)
2(2+=
b x ，得x =－2或x = 6， 代入y = －2x －7与y = －2x ＋13得y =－3或y = 1， ∴所求切点坐标为（－2，－3）或（6，1）.
【例6】已知|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,求证：abc+2＞a+b+c.
证明：设线段的方程为y=f(x)=(bc －1)x+2－b －c,其中|b|＜1,|c|＜1,|x|＜1,且－1
＜b ＜1.
∵f(－1)=1－bc+2－b －c=(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0 f(1)=bc －1+2－b －c=(1－b)(1－c)＞0
∴线段y=(bc －1)x+2－b －c(－1＜x ＜1)在x 轴上方，这就是说，当|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1时，恒有abc+2＞a+b+c. 【例7】某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距 a m,b m,(a ＞b).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？
解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为
下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C(x,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值.
由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(acos α,asin α)、 (bcos α,bsin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为：
k AC =tanxCA=
x
a a -αcos α
sin ,
.αcos α
sin tan x
b b xCB k BC -=
=
于是tanACB=
AC BC AC BC k k k k ?+-1α
cos )(α
sin )(αcos )(αsin )(2?+-+?-=++-?-=b a x x
ab b a x x b a ab x b a 由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则tanACB ≤α
cos )(2αsin )(b a ab b a +-?-,当且仅当
x
ab
=x ，即x=ab 时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C(ab ,0),因此，学生距离镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最佳.
【例8】预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？ 解：设桌椅分别买x,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件
为??
?????≥≥≤≥≤+0
,05.120002050y x x y x y y x 由???????
==???==+72007200,20002050y x x y y x 解得
∴A 点的坐标为(
7200，7
200
) 由??
???==???==+27525
,5.120002050y x x y y x 解得
∴B 点的坐标为(25，
2
75
) 所以满足约束条件的可行域是以A(
7200，7
200
)，B(25，275)，
O(0，0)为顶点的三角形区域(如右图
)
由图形直观可知，目标函数z=x+y 在可行域内的最优解为(25，
2
75
)，但注意到x ∈N,y ∈N *
,故取y=37.
故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.
【例9】已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x 千克，y 千克，z 千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B.
甲 乙 丙 维生素A （单位/千克） 600 700 400 维生素B （单位/千克） 800 400 500 成本（元/千克）
11
9
4
（Ⅰ）用x ，y 表示混合食物成本c 元； （Ⅱ）确定x ，y ，z 的值，使成本最低．
解：（Ⅰ）由题，1194c x y z =++，又100x y z ++=，所以，40075c x y =++．
（Ⅱ）由60070040056000, 10080040050063000x y z z x y x y z ++≥?=--?
++≥?及得，46320
3130
x y x y +≥??-≥?，
所以，75450.x y +≥
所以，40075400450850,c x y =++≥+=
当且仅当4632050
, 313020
x y x x y y +==???
?-≥=??即时等号成立．
所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元．
点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，
问题的解实际上是由四条直线所围成的区域
00463203130
x y x y x y ≥??≥?
?
+≥??-≥?上使得40075c x y =++最大的点．不难发现，应在点M （50，20）处取得．
【直线练习1】 一、选择题
1．设M=1
201
10,1101102002
200120012000++=++N ，则M 与N 的大小关系为( ) A.M ＞N B.M=N C.M ＜N D.无法判断
2．三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( )
x
y
3x-y=130
4x+6y=320
M
A.15
B.30
C.36
D.以上都不对 二、填空题
3．直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P 点坐标是_________.
4．自点A(－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2
－4x －4y+7=0相切，则光线l 所在直线方程为_________.
5．函数f(θ)=
2
cos 1
sin --θθ的最大值为_________，最小值为_________.
6．设不等式2x －1＞m(x 2
－1)对一切满足|m|≤2的值均成立，则x 的范围为_________. 三、解答题
7．已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点. (1)证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. (2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.
8．设数列{a n }的前n 项和S n =na+n(n －1)b ，(n=1,2,…),a 、b 是常数且b ≠0. (1)证明：{a n }是等差数列.
(2)证明：以(a n ,n S
n －1)为坐标的点P n (n=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.
(3)设a=1,b=2
1
,C 是以(r,r)为圆心，r 为半径的圆(r ＞0)，求使得点P 1、P 2、P 3都落在圆C
外时，r 的取值范围.
【参考答案】
一、1.解析：将问题转化为比较A(－1，－1）与B(102001，102000）及C(102002，102001
）连线的
斜率大小，因为B 、C 两点的直线方程为y=10
1
x ，点A 在直线的下方，∴k AB ＞k AC ,即M
＞N. 答案：A
2.解析：设三角形的另外两边长为x,y,则
??
?
??>+≤<≤<11110110y x y x 点(x,y ）应在如右图所示区域内
当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11；
当x=3时，y=9,10,11；当x=4时，y=8,9,10,11; 当x=5时，
y=7,8,9,10,11.
以上共有15个，x,y 对调又有15个，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六组，所以共有36个. 答案：C
二、3.解析：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点.
答案：P(5，6）
4.解析：光线l 所在的直线与圆x 2+y 2
－4x －4y+7=0关于x 轴对称的圆相切. 答案：3x+4y －3=0或4x+3y+3=0
5.解析：f(θ)=2
cos 1
sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率.
答案：
3
4
0 6.解析：原不等式变为(x 2－1)m+(1－2x)＜0,构造线段f(m)=(x 2
－1)m+1－2x,－2≤m ≤2,则f(－2)＜0,且f(2)＜0.
答案：
2
1
3217+<
<-x 三、7.(1)证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，由题设知x 1＞1,x 2＞1,
点A(x 1,log 8x 1),B(x 2,log 8x 2).
因为A 、B 在过点O 的直线上，所以
2
2
8118log log x x x x =
,又点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1）、(x 2,log 2x 2).
由于log 2x 1=3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,则
2
2
8222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC =
===
由此得k OC =k OD ,即O 、C 、D 在同一直线上.
(2)解：由BC 平行于x 轴，有log 2x 1=log 8x 2,又log 2x 1=3log 8x 1
∴x 2=x 13
将其代入
2
28118log log x x x x =
,得x 13
log 8x 1=3x 1log 8x 1, 由于x 1＞1知log 8x 1≠0,故x 13
=3x 1x 2=3,于是A(3，log 83).
9.(1)证明：由条件，得a 1=S 1=a,当n ≥2时，
有a n =S n －S n －1=［na+n(n －1)b ］－［(n －1)a+(n －1)(n －2)b ］=a+2(n －1)b. 因此，当n ≥2时，有a n －a n －1=［a+2(n －1)b ］－［a+2(n －2)b ］=2b. 所以{a n }是以a 为首项，2b 为公差的等差数列.
(2)证明：∵b ≠0,对于n ≥2,有2
1)1(2)1()1(2)1()11()1(11=--=--+--+=----b n b n a b n a a
a b n n na a a S n S n n
∴所有的点P n (a n ,
n
S n －1)(n=1,2,…)都落在通过P 1(a,a －1)且以21
为斜率的直线上.
此直线方程为y －(a －1)= 2
1
(x －a),即x －2y+a －2=0.
(3)解：当a=1,b=21时，P n 的坐标为(n,2
2-n ),使P 1(1,0)、P 2(2, 21)、P 3(3,1)都落在圆C 外的条件是
???????>-+->-+->+-2222
22222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r ??
?
??
??>+->+
->-0
108041750
)1(222r r r r r 即
由不等式①,得r ≠1 由不等式②，得r ＜
25－2或r ＞2
5
+2 由不等式③，得r ＜4－6或r ＞4+6 再注意到r ＞0,1＜
25－2＜4－6=2
5
+2＜4+6 故使P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围是(0，1)∪(1,2
5
－2)∪(4+6,+∞). 【直线练习2】
1．l 1的方程为032=--y x ，l 1关于x 轴对称的直线为l 2，l 2关于y 轴对称的直线为l 3，那么直线l 3的方程为 ( B )
A ．032=+-y x
B ．032=+-y x
C ．032=-+y x
D ．062=+-y x
2．与圆x y x 2
2
430+-+=相外切，且与y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是
。??
?
??
-=2162x y
3．已知定点A(1,1)，B(3,3)，点P 在x 轴上，且∠APB 取得最大值，则P 点坐标为（ B ）
A ．()02，
B ．
()06，
C ．??
?
??03
7
，
D ．()04，
解：P 点即为过A 、B 两点且与x 轴相切的圆的切点，设圆方程为
222)()(b b y a x =-+- )0,0(>>b a
所以有?????==??????=-+-=-+-06
)3()3()1()1(222222b a b
b a b b a 4．圆022=++x y x 上的点到直线033=-+y x 的最知距离为（ A ）
A ．
2
3
B ．
4
5
C ．
4
3
D ．
4
9 5．条件甲：方程12
2=-n
y m x 表示一双条双曲线，
条件乙：m n >>00且则乙是甲的（ A ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
①
② ③
6．设点P 在有向线段的延长线上,点P 分
所成的比为λ, 则 ( A )
A ．1-<λ
B ．01<<-λ
C ．10<<λ
D ．1>λ
7．如果AC<0且BC<0, 那么直线Ax + By +C = 0, 不通过 ( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．若点(4, m)到直线431x y -=的距离不大于3, 则m 的取值范围是 ( B )
A ．(0, 10)
B ．[]010,
C ．??
?
???331,
31 D ．()[
)-∞+∞,,010 9．原点关于直线8625x y +=的对称点坐标为 ( D )
A ．232,?? ?
?
?
B ．258256,?? ??
?
C ．(3, 4)
D ．(4, 3)
10．如果直线y a x =+2与直线y x b =-3关于直线y = x 对称, 那么 ( A ) A ．a b ==1
3
6,
B ．a b ==-1
3
6,
C ．a = 3, b = －2
D ．a = 3, b = 6
11．已知直线l l 12和的夹角的平分线为y x =, 如果l 1的方程是a xb yc a b ++=>00(),那么l 2的方程是 ( A ) A ．b x a y c ++=0 B ．a x b y c -+=0 C ．b x a y c +-=0 D ．b x a y c -+=0 12．如果直线a x y ++=220 与直线320x y --=平行, 那么系数a = ( B ) A ．－3 B ．－6 C ．-
32 D ．2
3
13．两条直线A xB yC 1110++=, A x B yC 2220++=垂直的充要条件是 ( A ) A ．A A B B 12120+= B ．A A B B 1212
0-= C ．
A A
B B 12
12
1=- D ．
B B A A 12
12
1= 14．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位, 再沿y 轴正方向平移1个单位, 又回到原来的位置, 那么直线l 的斜率是 ( A )
A ．-13
B ．－3
C ．1
3 D ．3
15．设a 、b 、c 分别是△ABC 中, ∠ A 、∠B 、∠C 所对边的边长, 则直线s i n Ax a y c ·++=0
与b x B y C -+=s i n s i n ·0的位置关系是 ( C ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．相交但不垂直
16．求与点A(1, 2)的距离等于4, 且到x 轴的距离等于2的点的坐标: 。（3,
2）
17．直线L ：y=kx-1与曲线
y x --=211
2
不相交，则k 的取值范围是 ( A ) A ．12或3 B ．12 C ．3 D ．[1
2
，3]
18．2．如果a ·c<0，b ·c<0，那么直线ax+by+c=0不通过 （ C ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
19．直线y=－x －1被圆25)1()3(22=++-y x ，所截的弦长为 （ C ） A ．98 B ．40
1
4
C ．82
D ．9843+ 20．斜率为1的直线与两直线2x+y －1=0，022=-+y x 分别相交于A ，B 两点，线段AB 的
中点的轨迹方程为 （ B ） A 、01=+-y x B 、01=-+y x
C 、032=+-y x
D 、032=--y x
21．已知双曲线1C 和椭圆2C ：124
)1(49)2(2
2=-++y x 有公共的焦点，它们的离心率分别是1
e 和2e ，且
21
11
1=+e e 。
（1）求双曲线1C 的方程；（2）圆D 经过双曲线1C 的两焦点，且 与x 轴有两个交点，这两个交点间的距离等于8，求圆D 的方程。 解：（1）椭圆2C 的两个焦点坐标是)1,3(),1,7(21F F -离心率7
52=
e 由
21
121=+e e 可知双曲线1C 的离心率3
51=e ∴16,9,2522222=-===a c b a c 故双曲线1C 的方程为116
)1(9)2(22=--+y x
（2）∵圆D 经过双曲线的两个焦点，∴圆心D 在直线x= –2上 设圆D 的方程为2222)1(5)()2(-+=-++b b y x 整理得：02222422=-+-++b by x y x 令y=0，得022242=-++b x x
设圆D 与x 轴的两个交点为（0,1x ），（0,2x ），则 222,42121-=-=+b x x x x
依题意|21x x -|=84)(21221=-+x x x x 即16–4（2b –22）=64，解得b=5 所以圆的方程为41)5()2(22=-++y x
高三数学专题复习
圆
【例题】
【例1】设正方形ABCD 的外接圆方程为x 2+y 2
–6x+a=0(a<9)，Ｃ、Ｄ点所在直线l 的斜率为3
1
,求外接圆圆心Ｍ点的坐标及正方形对角线AC 、BD 的斜率。 解：由(x –3)2+y 2
=9－a(a<9)可知圆心Ｍ的坐标为（3,0）
依题意：.3
1
,4==
∠=∠AB k BAM ABM π
MA,MB 的斜率k 满足:1131
3
1=+-k
k 解得:k AC =2,2
1
=-BD k
【例2】设圆1C 的方程为2224)23()2(m m y x =--++，直线l 的方程为2++=m x y ． （1）求1C 关于l 对称的圆2C 的方程；
（2）当m 变化且0≠m 时，求证：2C 的圆心在一条定直线上，并求2C 所表示的一系列圆的公切线方程． 解：（1）圆C 1的圆心为C 1（－2，3m+2），设C 1关于直线l 对称点为C 2（a ，b ）
则??
???++-=++-=+--2
22223122
3m a b m a m b 解得：???+=+=112m b m a
∴圆C 2的方程为2224)1()12(m m y m x =--+-- （2）由?
?
?+=+=11
2m b m a 消去m 得a －2b+1=0
即圆C 2的圆心在定直线x －2y+1=0上。
设直线y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切，则
m k
b
m m k 21)1()12(2
=+++-+
即0)1()1)(12(2)34(22=-++-+-+--b k m b k k m k
∵直线y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m 值都成立，所以有：
?????=-+=-+-=--
0)1(0)1)(12(20342b k b k k k 解之得：??
???=-=47
43b k 所以2C 所表示的一系列圆的公切线方程为：4
74
3
+
-=x y 【例3】已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。 解：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x
假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（a ，b ）
y
x
M
A
B
C
O
由于CM ⊥l ，∴k CM ?k l = －1 ∴k CM =
11
2
-=-+a b ， 即a+b+1=0，得b= －a －1 ① 直线l 的方程为y －b=x －a ， 即x －y+b －a=0 CM=
2
3
+-a b
∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA == 2
)3(92
2
2
2
+--
=-=a b CM
CB MB ，222
b a OM +=
∴222
2
)3(9b a a b +=+-- ②
把①代入②得 0322=--a a ，∴12
3
-==a a 或 当2
5
,23-==
b a 时此时直线l 的方程为x －y －4=0； 当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x －y+1=0
故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y+1=0
【例4】已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m 2
，当圆C 与线段．．AB 没有公共 点时，求m 的取值范围.
解：∵过点A 、B 的直线方程为在l ：x －y ＋1 = 0,
作OP 垂直AB 于点P ，连结OB.
由图象得：|m|＜OP 或|m|＞OB 时，线段AB 与圆x 2＋y 2 = m 2
无交点. （I ）当|m|＜OP 时，由点到直线的距离公式得：
22|m |2
|1||m |<
?<
，即22m 22<<-. （II ）当m ＞OB 时, 2
2
||32||13m m >+?>,
即 13m 13m >-<或.
∴当2
2m 2
2<<-和0m 13m 13m ≠>-<且与时，
圆x 2＋y 2 = m 2
与线段AB 无交点.
【例5】已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点， （1）如果3
2
4||=
AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.
P B A
O
P n
P n+1
y
o
x
解：（1）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P
由3
24||=AB ，
可得,3
1)3
22(1)2
||(||||2222=-=-=AB MA MP
由射影定理，得 ,3|||,|||||2=?=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，
523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，
故55-==a a 或，所以直线AB 方程是 ;0525205252=+-=-+y x y x 或
（2）由点M ，P ，Q 在一直线上， 得(*)
,22x y a -=-
由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ?= 即(**),14)2(222=+?-+a y x 把（*）代入（**）消去a ， 并注意到2 1 )4 7 (22≠= -+y y x 【例6】有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得 商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A 、B 两地相距10km ，居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点. 解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系， 则A （－5，0），B （5，0）. 设某地P 的坐标为（x ，y ），且P 地居民选择A 地购买商品的费用较低，并设A 地的运费为3a 元/km ，则B 地运费为a 元/km. 由于P 地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A 地运费≤价格+B 地运费 ， 即22)5(3y x a ++22)5(y x a +-≤，整理得222)4 15()4 25(≤++y x . 所以，以点C )0,4 25(-为圆心，4 15为半径的圆就是两地居民购货的分界线. 圆内的居民从A 地购货费用较低； 圆外的居民从B 地购货费用较低； 圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等，因此可以随意从A 、B 两地之一购货. 【例7】例8、在xoy 平面上有一系列点,),,(),,(222111???y x P y x P ),,(n n n y x P 对每个自然数n ,点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与 x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切．若11=x ,且n n x x <+1 ()n N +∈． （1）求证：数列}1 { n x 是等差数列； （2）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +???++=21,求证：2 3π < n T 解：（1）依题意，⊙n P 的半径2 n n n x y r ==， ⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切， 11+++=∴n n n n r r P P , 12121)()(++++=-+-∴n n n n n n y y y y x x , 两边平方，化简得1214)(++=-n n n n y y x x , 即2 12 2 14)(++=-n n n n x x x x . 01>>+n n x x ， ∴112++=-n n n n x x x x , 111 2()n n n N x x ++? -=∈． ∴ 数列? ?? ?? ?n x 1是等差数列． (2) 由题设，11=x ，∴ 1 212)1(111-=??-+=n x n x x n n , 4 4 2 2 )12(-= ===n x y r S n n n n π πππ, n n S S S T +???++=21 ??????-++++=222)12(1513 11n π≤? ?????-?-++?+?+)12()32(15313111n n π ＝??? ?????????---++-+-+)121321()5131()311(211n n π ＝?? ????--+)1211(211n π 23)12(223πππ<--=n ． 【例8】已知圆C ：2 2 (1)1x y +-=和圆1C ：2 2 (2)(1)1x y -+-=,现在构造一系列的圆 123,,,,,n C C C C ,使圆1+n C 同时与n C 和圆C 都相切,并都与OX 轴相切.回答： (1)求圆n C 的半径n r ; (2)证明：两个相邻圆1-n C 和n C 在切点间的公切线长为2 1 n C ; (3)求和)1 1 1 ( lim 223 22 n n C C C + ++ ∞ → . 解：(1)在直角梯形1n ODC C -中, AC=1－n r ,n CC =1＋n r ,1n CC -=1＋1-n r ,n C 1-n C =n r ＋1-n r .1n C B -=1-n r －n r . ∴有n AC = ()() 22 11n n r r +-- ，()() 22 11n n n n n BC r r r r --= +-- ()()2 2 11111n n n EC r r ---= +--，1n EC AB -==n n AC BC + ∴()()()()()()2 1212 121221111------+= --++ --+n n n n n n n n r r r r r r r r ∴11444--=+n n n n r r r r .即11--=-n n n n r r r r . 由此可得1111 =--n n r r . ∴{n r 1}成等差数列, 11r =. ∴ n n r r n =?-+=1)1(111 ,∴2 1n r n = . 2.42.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2-0.2-0.4 -1-0.5 0.5 1 1.52 2.53 C1 C O Cn-1Cn D B A E (2)公切线长为n l = ()() 22 111221 2(1)n n n n n n n r r r r r r n n C ---+--== =-. (3) 22223111n C C C +++ 111112(1)2()2()2231n n =-+-++-- ＝12(1)n -. ∴)1 11(lim 22322 n n C C C +++∞→ =2. 【圆·练习】 一、选择题 1、直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是 （ ） (A)直线与圆相切 (B) 直线与圆相交但不过圆心 (C)直线与圆相离 (D) 直线过圆心 2、点() M x y 00，是圆()0222>=+a a y x 内不为圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系是 ( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．相切或相交 3、直线()00≠=++ab c by ax 截圆52 2 =+y x 所得弦长等于4，则以|a|、|b|、|c|为边 长的确良三角形一定是 （ ） （A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不存在 4、已知两点A(–2,0),B(0,2), 点C 是圆x 2+y 2 –2x=0上的任意一点,则△ABC 面积的最小值是 （ ） (A)23- (B) 23+ (C) 226- (D) 2 2 3- 5、已知集合? ??? ??∈--==R y x x y y x p 、,25),(2 及{} Φ≠∈+==Q P R y x b x y y x Q 若、,,),(，则实数b 的取值范围是 （ ） （Ａ）[–5,5] （Ｂ）)5,25(- （Ｃ）]5,25[- （Ｄ）]25,25[- 6、若曲线x 2 +y 2 +a 2 x=(1–a 2 )y –4=0关于直线y –x=0的对称曲线仍是其本身，则实数a=（ ） （Ａ）2 1 ± （Ｂ）22± （Ｃ）2221-或 （Ｄ）2221或- 7、若圆222)1()1(R y x =++-上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径R 的取值范围是 （ ） （A ）R>1 （B ）R<3 （C ）1 8、已知圆50)3()6(10)1()2(222221=+++=-+-y x C y x C ：与圆：交于A 、B 两点，则AB 所在的直线方程是_______________________。 9、直线1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 的最近距离是 。 10、已知圆的方程是x 2 ＋y 2 ＝1，则在y 轴上截距为2的切线方程为 。 11、过P （－2，4）及Q （3，－1）两点，且在X 轴上截得的弦长为6的圆方程是 三、解答题 12、半径为5的圆过点A(－2, 6)，且以M(5, 4)为中点的弦长为25，求此圆的方程。 13、已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若?=∠90APB 。 求m 的值。 14、已知定点)0,2(A ，P 点在圆122=+y x 上运动，AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，其中O 为坐标原点，求Q 点的轨迹方程． 【参考答案】 一、选择题 1、A 2、C 3、A 4、A 5、C 6、B 7、C 二、填空题 8、2x+y=0 9、122- 10、22+-=+=x y x y 或 11、(x －1)2 ＋(y －2)2 =13或(x －3)2 ＋(y －4)2 =25 三、解答题 12、解：设圆心坐标为P(a, b), 则圆的方程是(x －a)2＋(y －b)2 =25, ∵ (－2, 6)在圆上，∴ (a ＋2)2 ＋(b －6)2 =25, 又以M(5, 4)为中点的弦长为25， ∴ |PM|2 =r 2 －52 , 即(a －5)2 ＋(b －4)2 =20, 联立方程组?????=-+-=-++20 )4()5(25)6()2(2 222b a b a , 两式相减得7a －2b=3, 将b=237-a 代入 得 53a 2 －194a ＋141=0, 解得a=1或a= 53141, 相应的求得b 1=2, b 2=53414 , ∴ 圆的方程是(x －1)2 ＋(y －2)2 ＝25或(x － 53141)2＋(y －53 414)2 ＝25 13、解：由题设△APB 是等腰直角三角形，∴圆心到y 轴的距离是圆半径的 2 2 倍 将圆方程02422=++-+m y x y x 配方得：m y x -=++-5)1()2(22 圆心是P(2,－1)，半径r=m -5 ∴225?=-m 解得m= －3 14、解：在△AOP 中，∵OQ 是∠AOP 的平分线 ∴ 21 2 == = OP OA PQ AQ 设Q 点坐标为（x ，y ）；P 点坐标为（x 0，y 0） ∴????? =-=?? ?? ? ++=++= 即y y x x y y x x 23 2232 12021220000 ∵ P （x 0，y 0）在圆x 2 +y 2 =1上运动，∴x 02 +y 02 =1 即1232232 2 =??? ??+??? ??-y x ∴94322 2 = +??? ? ?-y x 此即Q 点的轨迹方程。 x y O A P Q 人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套 直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力． (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想． 二、教材分析 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫． 2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了． 3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？ 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习． 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上． 初中我们是这样解答的： ∵A(1，2)的坐标满足函数式， ∴点A在函数图象上． ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上． 现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的方程 引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？ 一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是． 一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应． 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线． 上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的． 显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如 y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究． (四)直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°． 直线与圆的方程 一、直线的方程 1、倾斜角： ，围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00 。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022 二、两直线的位置关系 （说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则1 21 21tan k k k k ?+-= θ（121-≠k k ） 3、夹角：1 21 21tan k k k k +-= θ 4、点到直线距离：2 2 00B A c By Ax d +++= （已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0） ①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0?2 221B A c c d +-= ②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022 =+B A d ③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是 02 2 1=++ +C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --' 直线和圆的方程知识关系 直线的方程一、直线的倾斜角和斜率 1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0o,故直线倾斜角α的范围是0180 α< o o ≤. 2.直线的斜率:倾斜角不是90o的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即 tan kα =. 注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. ②当ο 90 = α时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在. ③过两点 111 (,) P x y、 222 (,) P x y 12 () x x ≠的直线斜率公式21 21 tan y y k x x α - == - 二、直线方程的五种形式及适用条件 名称方程说明适用条件 斜截式y=kx+b k—斜率 b—纵截距 倾斜角为90°的直线 不能用此式 点斜式y-y0=k(x-x0) (x0，y0)—直线上已 知点， k ──斜率 倾斜角为90°的直线 不能用此式 两点式1 21 y y y y - - =1 21 x x x x - - (x1，y1)，(x2，y2) 是直线上两个已知 点 与两坐标轴平行的直 线不能用此式 截距式 x a + y b =1 a—直线的横截距 b—直线的纵截距 过（0，0）及与两坐 标轴平行的直线不能 用此式 一般式 A x+ B y+C=0 (A、B不全为零) A、B不能同时为零 直线和圆的方程 简单的线性规划例13. 若点（3，1）和（4 -，6）在直线0 2 3= + -a y x的两侧，则实数a的取值范围是 ()724 A a a <-> 或()724 B a -<<()724 C a a =-= 或（D）以上都不对例14. ABC ?的三个顶点的坐标为(2,4) A，(1,2) B-，(1,0) C，点(,) P x y在ABC ?内部及边界上运动，则2 y x -的最大值为，最小值为。 例15. 不等式组： 10 x y x y y -+ + ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≥ 表示的平面区域的面积是； 例16.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？ 例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下： 根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜. 高二数学《直线和圆的方程》综合测试题 一、 选择题： 1．如果直线l 将圆：04222=--+y x y x 平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率取值范围是（ ） A ．]2,0[ B ．)2,0( C ．),2()0,(+∞-∞ D ．),2[]0,(+∞-∞ 2.直线083=-+y x 的倾斜角是( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 3. 若直线03)1(:1=--+y a ax l ，与02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直， 则a 的值为（ ） A ．3- B ．1 C ．0或2 3 - D ．1或3- 4. 过点)1,2(的直线中被圆04222=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程 是( ) A.053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 053=+-y x 5.过点)1,2(-P 且方向向量为)3,2(-=的直线方程为( ) A.0823=-+y x B. 0423=++y x C. 0132=++y x D. 0732=-+y x 6.圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 3 3 = 的距离是( ) A. 2 1 B. 23 C.1 D. 3 7.圆4)1()3(:221=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( ) A. 4)1()3(22=-++y x B. 4)3()1(22=-++y x C. 4)3()1(22=++-y x D. 4)1()3(22=++-y x 8.过点)1,2(且与两坐标轴都相切的圆的方程为（ ） A ．1)1()1(22=-+-y x B ．25)5()5(22=-++y x C ．1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-+-y x D ．1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-++y x 9. 直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点，若≥||MN 则k 的取值范围是( ) A ．3 [,0]4 - B ．[ C ．[ D ．2 [,0]3 - 10. 下列命题中，正确的是（ ） A ．方程 11 =-y x 表示的是斜率为1，在y 轴上的截距为2的直线； B ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是5=y ； C ．已知ABC ?三个顶点)0,3(),0,2(),1,0(-C B A ，则 高AO 的方程是0=x ； D ．曲线023222=+--m x y x 经过原点的充要条件是0=m . 11.已知圆0:22=++++F Ey Dx y x C ,则0==E F 且0 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 高中数学复习讲义第八章直线和圆的方程 【方法点拨】 1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题． 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3．熟练运用待定系数法求圆的方程． 4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想． 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识． 第1课直线的方程 【考点导读】 理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程． 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考. 【基础练习】 1. 直线x cos α＋ 3y ＋2＝0 的倾斜角范围是50,,66πππ????????????? 2. 过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 10320-+=-=或x y x y 3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为42=-=-+或y x y x 4.无论k 取任何实数，直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为（2，2） 【范例导析】 例1.已知两点A （－1，2）、B （m ，3） （1）求直线AB 的斜率k ； （2）求直线AB 的方程； （3）已知实数m 1? ?∈???? ，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况. 解:（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在． 当m ≠－1时，1 1 k m = +， （2）当m =－1时，AB ：x =－1， 当m ≠1时，AB ：()1 211 y x m -= ++. （3）①当m =－1时，2 π α=； ②当m ≠－1时， ∵( 1,1k m ?=∈-∞?+∞??+?? 专题六、解析几何（一） 直线和圆 1.直线方程：0=+++=c by ax t kx y 或 2.点关于特殊直线的对称点坐标： （1）点),(00y x A 关于直线方程x y =的对称点),(n m A '坐标为：0y m =，0x n =； （2） 点),(00y x A 关于直线方程b x y +=的对称点),(n m A '坐标为：b y m -=0，b x n +=0； （3）点),(00y x A 关于直线方程x y -=的对称点),(n m A '坐标为：0y m -=，0x n -=； （4）点),(00y x A 关于直线方程b x y +-=的对称点),(n m A '坐标为：b y m +-=0，b x n +-=0； 3.圆的方程：()()2 2 2 x a y b r -+-=或() 2 2 2 2 040x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 无xy 。 4.直线与圆相交： （1）利用垂径定理和勾股定理求弦长: 弦长公式：222d r l -=（d 为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后，化简为：02 =++c bx ax ，其判别式为?，则 弦长公式（万能公式）：12l x =-= a k a c a k ? +=--+=2 2214b 1）（ 注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可， 再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧，它可以简化运算，降低思考难度，在解析几何中具有十分广泛的应用。 5.圆的切线方程： （1）点在圆外： 如定点()00,P x y ，圆：()()2 2 2 x a y b r -+-=，[()()2 2 2 00x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =，求出k ，从而得到切线方程，这里的切线方程的有两条。特别注意：当k 不存在时，要单独讨论。 （2）点在圆上： 若点P ()00x y ，在圆()()2 2 2 x a y b r -+-=上，利用点法向量式方程求法，则切线方程为： ?=--+--0)(()((0000b y y y a x x x ））()()()()200x a x a y b y b r --+--=。 点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。 由（1）（2）分析可知：过一定点求某圆的切线方程，要先判断点与圆的位置关系。 （3）若点P ()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=外，即()()22 200x a y b r -+->， 过点P ()00x y ，的两条切线与圆相交于A 、B 两点，则AB 两点的直线方程为： 200))(())((r b y b y a x a x =--+--。 6.两圆公共弦所在直线方程： 圆1C ：2 2 1110x y D x E y F ++++=，圆2C ：2 2 2220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程。 7.圆的对称问题： （1）圆自身关于直线对称：圆心在这条直线上。 （2）圆C 1关于直线对称的圆C 2：两圆圆心关于直线对称，且半径相等。 （3）圆自身关于点P 对称：点P 就是圆心。 第1讲直线与圆(小题) 热点一直线的方程及应用 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.求直线方程 要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线. 3.两个距离公式 (1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝ |C 1－C 2|A 2 ＋B 2 (A 2＋B 2≠0). (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 (A 2 ＋B 2≠0). 例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A.1 B.－2 C.1或－2 D.－32 答案 A 解析 ①当m ＝－1时，两直线分别为x －2＝0和x －2y －4＝0，此时两直线相交，不合题意. ②当m ≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得??? －11＋m ＝－m 2， 2 1＋m ≠－2 解得m ＝1. 综上可得m ＝1. (2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A.x ＋(2－1)y －2＝0 B.(1－2)x －y ＋2＝0 C.x －(2＋1)y ＋2＝0 D.(2－1)x －y ＋2＝0 答案 C 解析 如图所示可知A (2，0)， B (1,1)， C (0，2)， D (－1,1)， 高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 第8章直线和圆的方程 练习8.4.1 圆的标准方程 1.圆心在原点，半径为3的圆的标准方程为 2.圆22(3)(2)13x y -++=的周长是 3.以C(-1,2)为圆心，半径为5的圆的标准方程是 练习8.4.2 圆的一般方程 1.圆224240x y x y +-+-=的圆心坐标是 2.求下列圆的圆心坐标和半径： （1）2210150x y y +-+= （2）22241x x y y -++=- 练习8.4.3 确定圆的条件 1． 求以点(4,1)-为圆心，半径为1的圆的方程． 2． 求经过直线370x y ++=与32120x y --=的交点，圆心为(1,1)C -的圆的方程． 3． 求经过三点(0,0)O ，(1,0)M ，(0,2)N 的圆的方程． 练习8.4.4 直线与圆的位置关系 1．判断下列直线与圆的位置关系： （1）直线2x y +=与圆222x y +=； （2）直线 y =与圆22(4)4x y -+=； （3）直线51280x y +-=与圆22(1)(3)8x y -++=． 2．求以(2,1)C -为圆心，且与直线250x y +=相切的圆的方程． 练习8.4.5 直线方程与圆的方程应用举例 1． 光线从点M （?2，3）射到点P （1，0），然后被x 轴反射，求反射光线所在直线的方程 2． 赵州桥圆拱的跨度是37.4米，圆拱高约为7.2米，适当选取坐标系求出其拱圆 的方程． 3．某地要建造一座跨度为8米，拱高为2米的圆拱桥，每隔1米需要一根支柱支撑，求第二根支柱的长度(精确到0.01m)． 高中数学必修内容复习(7)---直线和圆的方程 一、 选择题（每题3分，共54分） 1、在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 6 5π D ． 3 2π 2、若圆C 与圆1)1()2(2 2 =-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（ ） A ．1)1()2(2 2 =++-y x B ．1)1()2(2 2=-+-y x C ．1)2()1(2 2 =++-y x D ．1)2()1(2 2 =-++y x 3、直线0=++c by ax 同时要经过第一、第二、第四象限，则c b a 、、应满足（ ） A ．0,0<>bc ab B ．0,0<>bc ab C ．0,0>>bc ab D ．0,0< 《直线和圆的方程》练习题 一、选择题 1、三角形ABC 中，A(－2，1)，B(1，1)，C(2，3)，则k AB ，k BC 顺次为 （ ） A ． － 71，2 B ． 2，－1 C ． 0，2 D ． 0，－7 1 2、斜率为－21，在y 轴上的截距为5的直线方程是 （ ） A ． x －2y = 10 B ． x + 2y = 10 C ． x －2y + 10 = 0 D ． x + 2y + 10 = 0 3、经过(1，2)点，倾斜角为135?的直线方程是 （ ） A ． y －2 = x －1 B ． y －1 =－(x －2) C ． y －2 = －(x －1) D ． y －1 =x －2 4、原点在直线l 上的射影是P (－2，1)，则直线l 的方程为 （ ） A ． x + 2y = 0 B ． x + 2y －4 = 0 C ． 2x －y + 5 = 0 D ． 2x + y + 3 = 0 5、如果直线ax + 2y + 2 = 0与3x －y －2 = 0直线平行，那么系数a = （ ） A ． －3 B ． －6 C ． －23 D ． 3 2 6、点(0，10)到直线y = 2x 的距离是 （ ） A ． 25 B ． 5 C ． 3 D ． 5 7、到点C(3，－2)的距离等于5的轨迹方程为 （ ） A ．(x －3)2 + (y + 2)2 = 5 B ． (x －3)2 + (y + 2)2 = 25 C ． (x + 3)2 + (y －2)2 = 5 D ．(x + 3)2 + (y －2)2 = 25 8、已知圆的方程为x 2 + y 2－4x + 6y = 0，下列是通过圆心直线的方程为（ ） A ． 3x + 2y + 1 = 0 B ． 3x －2y + 1= 0 C ．3x －2y = 0 D ． 3x + 2y = 0 9、已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB 为直径的圆的方程为 （ ） A ．(x + 1)2 + (y －1)2 = 25 B ．(x －1)2 + (y + 1)2 = 100 C ．(x －1)2 + (y + 1)2 = 25 D ．(x + 1)2 + (y －1)2 = 100 10、直线3x + 4y + 2 = 0与圆x 2 + y 2 + 4x = 0交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是 （ ） A ． 4x －3y －2 = 0 B ． 4x －3y －6 = 0 C ． 4x + 3y + 6 = 0 D ． 4x + 3y + 8 = 0 11、直线3x －4y －5 = 0和(x －1)2 + (y + 3)2 = 4位置关系是 ( ) A ． 相交但不过圆心 B ． 相交且过圆心 C ． 相切 D ． 相离 12、点P (1，5)关于直线x + y = 0的对称点的坐标是 （ ） A ． (5，1) B ． (1，－5) C ．(－1，5) D ． (－5，－1) 13、过点P(2，3)且在两坐标轴有相等截距的直线方程是 （ ） A ．x + y －5 = 0 B ．x + y + 5 = 0 C ．x + y －5 = 0 或x + y + 5 = 0 D ．x + y －5 = 0 或3x －2y = 0 高考能力测试数学基础训练25 基础训练25 圆的方程、直线和圆的位置关系 ●训练指要 掌握圆的标准方程及一般方程，会用待定系数法，求圆的方程. 熟练掌握直线与圆的位置关系的代数确定方法与几何确定方法. 一、选择题 1.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是 A.a ＜－2或a ＞3 2 B.－32＜a ＜0 C.－2＜a ＜0 D.－2＜a ＜ 32 2.圆x 2＋y 2－４x ＋４y ＋６＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于 A.6 B.2 25 C.1 D.5 3.方程x 4－y 4－４x 2＋４y 2＝0表示的曲线是 A.两个圆 B.四条直线 C.两条平行线和一个圆 D.两条相交直线和一个圆 二、填空题 4.经过点M (1，3)的圆x 2＋y 2＝1的切线方程是_________. 5.若圆经过点A (a ,0),B (2a ,0),C (0,a )(a ≠0),则这个圆的方程为_________. 三、解答题 6.求过直线2x＋y＋４＝0和圆x2＋y2＋2x－４y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程. 7.当C为何值时，圆x2+y2+x-6y+C=0与直线x+2y-3=0的两交点P、Q满足OP⊥OQ？(其中O为坐标原点) 8.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1=0， (1)求证：对m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点； (2)设l与圆C交于A、B两点，若|AB|=17，求l的倾斜角； (3)求弦AB的中点M的轨迹方程. 高考能力测试数学基础训练25答案 一、1.D 2.A 3.D 二、4.x =1或4x －3y +5=0 5.x 2+y 2－3ax －3ay +2a 2=0 三、6.5 4)56()513(22=-++y x 提示：求得直线与圆的交点A (－5 2,511)，B (－3，2)，利用圆的直径式方程得所求圆方程为.5 4)56()513(.0)2)(52()3)(511(22=-++=--+++y x y y x x 即 7.C =3 提示：联立直线与圆方程，消去x 得5y 2－20y +12+C=0. 由Δ＞0?c ＜8. 设P (x 1,y 1),Q (x 2，y 2),则y 1+y 2=4,y 1y 2=5 12C +. x 1·x 2=(3－2y 1)(3－2y 2)=－15+5 4(12+C ). OP ⊥OQ ?x 1x 2+y 1y 2=0?C =3. 满足C ＜8. ∴C =3为所求. 8.(1)略；(2)60°或120° (3)x 2+y 2－x －2y +1=0(x ≠1) 提示：(1)l 方程化为y －1=mx , 第八章 直线和圆的方程复习题 一、选择题： 1. 点 关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标分别为（ ）． （A ） 、 （ B ） 、 （ C ） 、 （ D ） 、 2．设直线 l 的方程为 y 3 2(x 4) ，则直线 l 在 y 轴上的截距是（ ） A ．5 B ． -5 5 5 C ． D ． 2 2 3．已知直线 l 过点 M (1, 1) 和 N k , 2 ，且直线 l 的斜率为 -1, 则 k 的值是（ ） A ．1 B ． -1 C ． 2 D ． -2 4. 如果两条不重合直线 、 的斜率都不存在，那么（ ）． （A ） （B ） 与 相交但不垂直 （ C ） // （D ）无法判定 5. 若点 到直线 的距离为 4，则 m 的值为（ ）． （A ） （ B ） （C ） 或 （ D ） 或 6. 直线 ： 与圆 的位置关系为（ ） （A ）相交 （ B ）相离 （C ）相切 （ D ）无法确定 7．已知 l 1 ： 2x y 5 与 l 2 ： x 2 y 4 , 则位置关系是（ ） A ． l 1 l 2 B ． l 1 // l 2 C ． l 1与 l 2重 合 D ．不确定 8．直线 3x y 6 0 与 x 3 y 0 的夹角的正切值为（ ） 3 B ． 1 C ． 3 D ．不存在 A ． 3 9．若直线 3x 6 y 1 0 与 3x 6 y m 0 平行，则 m 的值不为（ ） A ． 4 B ． 2 C ．1 D ． 0 10．若直线 x y m 0（其中 m 为常数）经过圆 ( x 1) 2 ( y 3)2 25 的圆心， 则 m 的值为（ ） A ． -2 B ． 2 C ． -1 D ． 1 11. 圆 x 2 y 2 10 y 的圆心到直线 l ：3x+4y-5=0 的距离等于（ ）。 A. 2 B.3 C. 5 5 7 D.15 直线和圆--知识总结 一、直线的方程 1、倾斜角： ，围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00 。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022 直线与圆的方程 (时间：90分钟__分数：120分) 一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分) 1．(2015·河南安阳期末，3)x cos α＋y sin α＋1＝0，α∈? ? ???0，π2的倾斜角为( ) A ．α B.π2＋α C ．π－α D.π 2－α 【答案】 B 设直线x cos α＋y sin α＋1＝0的倾斜角为θ， 则斜率 k ＝tan θ＝－cos αsin α＝sin ? ??? ?π2＋αcos ? ?? ?? π2＋α＝tan ? ???? π2＋α. 又α∈? ? ???0，π2，所以θ＝π2＋α. 2．(2015·山西太原二模，3)“a ＝2”是“直线y ＝－ax ＋2与y ＝a 4x －1垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A 由a ＝2得两直线斜率满足(－2)×2 4＝－1，即两直线垂直；由两直线垂直得(－a )×a 4＝－1，解得a ＝±2，故选A. 3．(2014·吉林长春调研，5)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A.1710 B.17 5 C ．8 D ．2 【答案】 D ∵直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行， ∴63＝m 4≠－14 3，∴m ＝8，即直线6x ＋my ＋14＝0为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行直线间的距离为|7＋3| 32＋42 ＝2.故选D. 4．(2015·福建泉州一模，5)已知圆C ：x 2＋y 2＝25，直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为6和8，则圆上的点到直线l 的最大值为( ) A.245 B ．5 C ．10 D.495 【答案】 D 由题意知，直线l 的方程为4x ＋3y －24＝0，则圆心到直线的距离为d ＝ |0＋0－24| 42＋32 直线和圆的方程 一、直线方程 1. 直线的倾斜直角和斜率: (1) 倾斜角:一条直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角,叫直线的倾斜角.围 为[)0,π (2) 斜率:不等于的倾斜角的正切值叫直线的斜率,即k=tana(a ≠90°). (3) 过两点P1(x1.y1)、P2（x2.y2）(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=tana=21 21 y y x x -- 2. 直线方程的五种表示形式： 斜截式：y=kx+b ； 点斜式：y-y0=k(x-x0)； 两点式： 11 2121 y y x x y y x x --=-- 截距式： 1x y a b +=； 一般式：Ax+By+C=0 3. 有斜率的两条直线的平行期、垂直的充要条件： 若L1: y=k 1x+b 1 L2: y=k 2x+b 2 则: (1) L1∥L2?k 1=k 2且b 1≠b 2; (2) L1⊥L2?k 1×k 2 = -1 4. 两条直线所成的角的概念与夹角公式 两条直线相交所成的锐角或直角，叫做这两条直线所成的角，简称夹角，如果直线L1、L2的斜率分别是k1、k2，L1和L2所成的角是θ，且0 90θ≠ 则有夹角公式：tan= 12 12 1k k k k -+ 5. 点到直线的距离公式：点P （x0.y0）到直线Ax+By+C=0（A 、B 不同时为零）的距离 题型1 直线的倾斜角与斜率 1.（2004.）设直线ax+by+c=0的倾斜角为a ，且sin α+cos α=0,则a,b 满足（ ） A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0 2.（2004.启东）直线经过点A （2.1），B （1，m 2 ）两点（m ∈R ），那么直线L 的倾斜角取值围是（ ） A.[)0,π B 0, ,42πππ???? ??????? .C 0,4π?????? . D ,,422ππππ???? ? ?????? . 3.（2004.）函数y=asinx+bcosx 的一条对称轴方程是x= 4 π ，那么直线ax+by-c=0的倾斜角为 。 题型2 直线方程 4.（2001.新课程）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且PA=PB ，若直线PA 的方程为x-y+1=0,则直线PB 的方程是（ ） 第2课时 系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系 一、学前明考情——考什么、怎么考 [真题尝试] 1.[考查与圆有关的最值问题](2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A ．[2,6] B ．[4,8] C ．[2，32] D ．[22，32] 解析：选A 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距 离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2 ＝22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的 最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12 |AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]． 2.[考查圆的一般方程](2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43 B ．－34 C. 3 D ．2 解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1 ＝1，解得a ＝－43. 3.[考查直线与圆相交](2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________. 解析：如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0，∴k AB ＝33 ，∴∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°.在Rt △BOD 中，∵|OB |＝23，∴ |OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ，∴OH 为直角梯形 ABDC 的中位线，∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4. 答案：4 [把握考情] 常规角度 1.圆的方程．主要考查圆的方程的求法，圆的最值问题． 2.直线与圆的位置关系．主要考查圆的切线方程、圆的弦长问题． 主要以选择题、填空题形式考查，有时也会以解答题形式考查，难度中低档人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套
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