第七章 弯曲变形 一、 选择题 1、等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率最大发生在（ ）处。 A. 挠度最大 B. 转角最大 C. 剪力最大 D. 弯矩最大 2、将桥式起重机的主钢梁设计成两端外伸的外伸梁较简支梁有利，其理由是（ ）。 A. 减小了梁的最大弯矩值 B. 减小了梁的最大剪力值 C. 减小了梁的最大挠度值 D. 增加了梁的抗弯刚度值 3、图示两梁的抗弯刚度EI相同，载荷q相同， 则下列结论中正确的是（ ）。 A. 两梁对应点的内力和位移相同 B. 两梁对应点的内力和位移不相同 C. 两梁对应点的内力相同，位移不同 D. 两梁对应点的内力不同，位移相同 4、为提高梁的抗弯刚度，可通过（ ）来实现。 A. 选择优质材料 B. 合理安排梁的支座，减小梁的跨长 C. 减少梁上作用的载荷 D. 选择合理截面形状 5、图示梁的边界条件为 。 A. w A =0，θA =0 B. w B =0，θB =0 C. w A =0，w B =0 D. w A =0，θA =0 6、图示悬臂梁在BC 二处承受大小相等、方向相反的一对力偶，其数值为M 0。试分析判断下列挠度曲线中哪一种是正确的。（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）
二、计算题 1、图示梁，弯曲刚度EI为常数。试绘制挠曲轴的大致形状，并用积分法计算截面C的转角。 2、图示简支梁，左右端各作用一个力偶矩分别为M1和M2的力偶，欲使挠曲轴拐点位于离左端l/3处，则M1和M2应保持何种关系。
3、图示梁，弯曲刚度EI为常数。试用叠加法计算截面B的转角和截面C的挠度。 4、图示电磁开关，由铜片AB与电磁铁S组成。为使端点A与触点C接触，试求磁铁S所需吸力的最小值F以及间距a的尺寸。铜片横截面的惯性矩I z=0.18×10-12m4，弹性模量E=101GPa。
第七章弯曲变形 一、是非题 1 梁内弯矩为零的横截面其挠度也为零。 （ ） 2 梁的最大挠度处横截面转角一定等于零。 （ ） 3梁的最大挠度必然发生在梁的最大弯矩处。（ ） 4若两梁的抗弯刚度相同，弯矩方程也相同，则两梁的挠曲线形状完全相同。（ ） 5 绘制挠曲线的大致形状，既要根据梁的弯矩图，也要考虑梁的支承条件。（ ） 6 静不定梁的基本静定系必须是静定的和几何不变的。 （ ） 二、选择或填空 1 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率最大发生在（ ）处。 A. 挠度最大 B. 转角最大 C. 剪力最大 D. 弯矩最大 2 将桥式起重机的主钢梁设计成两端外伸的外伸梁较简支梁有利，其理由是（ ）。 A. 减小了梁的最大弯矩值 B. 减小了梁的最大剪力值 C. 减小了梁的最大挠度值 D. 增加了梁的抗弯刚度值 3 图示两梁的抗弯刚度EI相同，载荷q相同， 则下列结论中正确的是（ ）。 A. 两梁对应点的内力和位移相同 B. 两梁对应点的内力和位移不相同 C. 内力相同，位移不同 D. 内力不同，位移相同 4 为提高梁的抗弯刚度，可通过（ ）来实现。 A. 选择优质材料 B. 合理安排梁的支座，减小梁的跨长 C. 减少梁上作用的载荷 D. 选择合理截面形状 三计算题 1 图示梁，弯曲刚度EI为常数。试绘制挠曲轴的大致形状，并用积分法计算截面C的转角。
2 图示简支梁，左右端各作用一个力偶矩分别为M1和M2的力偶，欲使挠曲轴拐点位于离左端l/3处，则M1和M2应保持何种关系。 3图示梁，弯曲刚度EI为常数。试用叠加法计算截面B的转角和截面C的挠度。
4 图示电磁开关，由铜片AB与电磁铁S组成。为使端点A与触点C接触，试求磁铁S所需吸力的最小值F以及间距a的尺寸。铜片横截面的惯性矩I z=0.18×10-12m4，弹性模量E=101GPa。
第七章 弯曲变形 7-2 图示外伸梁AC ，承受均布载荷q 作用。已知弯曲刚度EI 为常数，试计算横截面 C 的挠度与转角，。 题7-2图 解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分 支座A 与B 的支反力分别为 2 3 ,2qa F qa F By Ay = = AB 段（0≤x 1≤a ）： 12 1 122d d x EI qa x w -= 12 1114d d C x EI qa x w +-= (a) 1113 1112D x C x EI qa w ++- = (b) BC 段（0≤x 2≤a ）： 2 22 2 222d d x EI q x w -= 23 2226d d C x EI q x w +-= (c) 2224 2224D x C x EI q w ++- = (d) 2. 确定积分常数 梁的位移边界条件为 0 0 11==w x 处，在 (1)
0 11==w a x 处，在 (2) 连续条件为 2121 w w a x x ===处，在 (3) 2 21121d d d d x w x w a x x -===处，在 (4) 由式（b ）、条件（1）与（2），得 01=D ， EI qa C 123 1= 由条件（4）、式（a ）与（c ），得 EI qa C 33 2= 由条件（3）、式（b ）与（d ），得 EI qa D 2474 2- = 3. 计算截面C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c ）与（d ），得CB 段的转角与挠度方程分别为 EI qa x EI q 363 32+ -=2θ EI qa x EI qa x EI q w 2473244234 22- +-= 将x 2=0代入上述二式，即得截面C 的转角与挠度分别为 () 33EI qa C =θ ()↓ -= 2474 EI qa w C 7-3 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数。试根据梁的弯矩图与约束条件画出挠曲轴的 大致形状。
第8章 弯曲变形 本章要点 【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。 剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。 【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：y ερ = 物理关系：E y σρ = 静力关系：0N A F dA σ==?，0y A M z dA σ==?，2z z A A EI E M y dA y dA σρ ρ == =?? 中性层曲率： 1 M EI ρ = 弯曲正应力应力：，M y I σ= ，max max z M W σ= 弯曲变形的正应力强度条件：[]max max z M W σσ=≤ 2. 弯曲切应力 矩形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F bh F S S 2323max ==τ 工字形梁弯曲切应力：d I S F y z z S ??=* )(τ，A F dh F S S ==max τ 圆形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F S 34max =τ 弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max
3. 梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程：()''EIw M x =- 梁的转角方程：1()dw M x dx C dx EI θ= =-+? 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ??=-++ ??? ?? 练习题 一. 单选题 1、 建立平面弯曲正应力公式z I My /=σ,需要考虑的关系有（ ）。查看答案 A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系 B 、变形几何关系，物理关系，静力关系； C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系 D 、平衡关系, 物理关系，静力关系； 2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（ ）来确定积分常 数。 查看答案 A 、平衡条件 B 、边界条件 C 、连续性条件 D 、光滑性条件 3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（ ）。 A ．剪力相同，弯矩不同 B ．剪力不同，弯矩相同 C ．剪力和弯矩均相同 D ．剪力和弯矩均不同 图1 图2 4、 图2悬臂梁受力，其中（ ）。 A ．A B 段是纯弯曲，B C 段是剪切弯曲
ASTM D648-07 塑料侧立式弯曲负荷下变形温度的标准测试方法 1范围 1.1本试验方法适用于测试在特定的条件下试样发生特定变形时的温度。 1.2本试验方法适用于测试在常温下刚性或者半刚性的，厚度在3mm[1/8in]或以上的模具成型或者薄片的试样。 注1-薄片厚度少于3mm[0.125in]但大于1mm[0.040in]可以用几片薄片复合试样来测试，但最小厚度为3mm。一种制备复合试样的方式是用砂纸把薄片的面打磨平，用胶 水粘合。施加载荷的方向需垂直于每个薄片的边缘。 1.3在SI的单位的评估值将视为标准。给定值仅提供一些信息。 1.4本标准无意涉及所有使用过程中的安全问题。本标准是帮助用户建立适当的安全标准和卫生管理办法，并且在规定的期限内使用。 注2-这个测试方法描述为本测试办法的B方法，在技术上，方法Ae和Be分别与ISO75-1和ISO75-2，1993，等价。 2参考文献 2.1ASTM标准 D618测试用塑料调质实施规范。 D883塑料相关术语。 D1898塑料抽样实施规范。 D5947固体塑料试样外形尺寸测试方法。 E1在液体中的玻璃温度计ASTM说明。 E77温度计的检查和检验测试方法。 E608/E608M矿物隔热，金属屏蔽的基体金属热电偶。 E691为测定试验方法精密度开展的实验室间研究的实施规范。 E1137/E1137M工业用铂阻尼式温度计。 2.2ISO标准 ISO75-1塑料-负荷变形温度的测定-第1部分：通用试验方法。 ISO75-2塑料-负荷变形温度的测定-第2部分：塑料和硬橡胶。 2.3NIST文件 NBS特别出版250-22。
第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点 薄板的基本概念 薄板的位移与应变分量 薄板广义力 薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化 薄板的莱维解 矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设 薄板应力 广义位移与薄板的平衡 薄板的典型边界条件 薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解 一、内容介绍 薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。 根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。 根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。 对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。 二、重点 1、基尔霍夫假设； 2、薄板的应力、广义力和广义位移； 3、薄板小 挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。 §12.1 薄板的基本概念和基本假设
学习要点: 本节讨论薄板的基本概念和基本假设。 薄板主要几何特征是板的中面和厚度。首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。 根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。 薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。 根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。实践证明是完全正确的。 学习思路： 1、薄板基本概念； 2、基尔霍夫假设 1、薄板基本概念 薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板 薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。 薄板的上下两个平行面称为板面，垂直于平行面的柱面称为板边，如图所示。两个平行面之间的距离称为板厚，用δ 表示。平分板厚的平面称为板的中面。 设薄板宽度为a、b，假如板的最小特征尺寸为b，如果δ/b≥1/5，称为厚板；
弯曲变形 基本概念题 一、选择题 1.梁的受力情况如图所示，该梁变形后的 挠曲线如图（）所示(图中挠曲线的虚线部 分表示直线，实线部分表示曲线)。 2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标 系，则由积分法求得的挠度和转角的正负号为 （）。 题2图题1图 A．两组结果的正负号完全一致 B．两组结果的正负号完全相反 C．挠度的正负号相反，转角正负号一致 D．挠度正负号一致，转角的正负号相反 3.已知挠曲线方程y = q0x(l3 - 3lx2 +2 x3)∕(48EI)，如图所示，则两端点的约束可能为下列约束中的（）。 题3图 4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（ ）是错误的。 A．该梁应分为AB、BC两段进行积分 B．挠度积分表达式中，会出现4个积分常数 -26-
题4图 题5图 C ．积分常数由边界条件和连续条件来确定 D ．边界条件和连续条件表达式为x = 0，y = 0；x = l ，0==右左y y ，0='y 5. 用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为( ) A ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0；x = a ，右左y y =，右左 y y '=' B ．x = 0，y = 0；x = a + l ，0='y ；x = a ，右左y y =，右左 y y '=' C ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y = D ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左 y y '=' 6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ，所受荷载及截面尺寸如图所示。关于它们的最大挠度有如 下结论，正确的是（ ）。 A ． I 梁最大挠度是Ⅱ梁的 41倍 B ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2 1 倍 C ． I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍 题6图 题7图 7. 如图所示等截面梁，用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为（ ）。 A ． EI Pa 323 B ． EI Pa 33 C ．EI Pa 3 D ．EI Pa 233 8. 已知简支梁，跨度为l ，EI 为常数，挠曲线方程为)24)2(323EI x lx l qx y +-=， -27-
Engineering Mechanics （第3版） 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 高等教育出版社
第9章弯曲应力与弯曲变形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力 9.3 弯曲切应力简介 9.4 弯曲变形的概念 9.5 梁的挠曲线近似微分方程 9.6 用积分法求弯曲变形 9.7 用叠加法求弯曲变形 9.8 梁的刚度校核 9.9 提高梁强度和刚度的措施 小结 思考题
第9章 弯 曲 应 力 与 弯 曲 变 形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.1.1 梁的纯弯曲 前一章讨论了梁弯曲时梁横截面上的内力——剪力和弯矩。但要解决梁的强度问题，必须进一步了解横截面上应力的分布规律。剪力和弯矩是横截面上分布内力的 合成结果。切应力对应的内力为剪力，正应力对应的内力为弯矩。 梁（或某段梁）的各个横截面上仅有弯矩而无剪力，从而仅有正应力而无切应力的弯曲，称为纯弯曲。而横截面上同时存在弯矩和剪力，即既有正应力又有切应力的弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。 例如，图9 - 1a 所示简支梁。由图可知梁的CD 段为纯弯曲，AC 和DB 段为横力弯曲。 图9 – 1 y a a F F B x z A C (a) D x F S F F (c) a a F F B C D (b) A F A F B (d) Fa M x
9.1.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 研究纯弯曲时梁横截面上的正应力，需从几何、物理和静力关系等三方面考虑。 由以上试验结果可作如下假设：原为平面的横截面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面内某一轴旋转一角度。这就是弯曲变形的平面假设。 1. 变形几何关系 取截面具有纵向对称轴（例如矩形截面）的等直梁，在其侧面画两条横向直线mm 及nn ，并在横向线间靠近顶面和底面画两条纵向线段aa 与 bb （图9 – 2a ）。然后在梁的纵向对称面内两端施加一对等值、 反向的力偶，作梁的纯弯曲变形试验（图9 – 2b ）。 a a b b m m n n (a) (b) m m n n y ρ M e M e O' O' b' b' a' a' d θy y z b' 中性轴 中性层 对称轴 (c) 图9 – 2 b' a a '' b b ''可观察到： （1）横向直线变形后仍为直线，且仍然垂直于已经变成弧线的 和 ，只是相对旋转了一个角度。 （2）靠近顶面的纵向线段aa 缩短，靠近底面的纵向线段bb 伸长。
第七章 梁弯曲时的变形 §7?1 概 述 图7?1所示的简支梁，任一横截面的形心即轴线上的点在垂直于x 轴方向的线位移，称为挠度，用y 表示；横截面绕中性轴转动的角度，称为该截面的转角，用θ表示，如图中C 截面转过的角度θ即为C 截面的转角。 （7?1） 称为挠曲线方程。 （7?2） 称为转角方程。 §7?2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 在小变形情况下，梁的挠曲线为一平坦的曲线，挠曲线近似微分方程为 EI x M x y )(d d 2 2±= （7?3） 式中的正负号取决于22d d x y 与)(x M 的正负号的规定。在如图11?2所示的坐标系中，y 轴以 向下为正，当M (x )>0时，梁的挠曲 的（7?3） ?+-== C x x M EI x d )(d θ （7?5） 再积分一次，可得 ()[]??++-=D Cx x x M EI y 2d 1 （7?6） 以上两式中，C 、D 为积分常数，可通过梁的边界条件及变形连续条件确定。例如在简支梁（图7?3a ）中，A 、B 支座处的挠度都等于零；在悬臂梁（图7?3b ）中，固定端处挠度和转角都等于零。积分常数C 、D 确定后，代入式（7?5）、（7?6），便可求得梁的转角方程和挠曲线方程，进而可求得梁上任一横截面的转角和挠度。 例题7?1 图示等截面悬臂梁AB EI ，试 (b)
求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度y max 和最大转角θmax 。 解 b ），弯矩方程为： （a ） （2 （b ） （3积分一次，得： ??? ??+-==C Fx Flx EI x y 2211d d θ （c ） 再积分一次，得： ??? ??++-= D Cx Fx Flx EI y 3261211 （d ） （4）利用梁的边界条件确定积分常数 在梁的固定端，横截面的转角和挠度都等于零，即： 0=x 时，0=y ，0=θ 代入式（c ）、（d ），求得C =0，D =0。 （5）给出转角方程和挠曲线方程 ??? ??-==2211d d Fx Flx EI x y θ （e ） ??? ??-=3261211Fx Flx EI y （f ） （6）求最大挠度和最大转角 根据梁的受力情况和边界条件，可知此梁的最大挠度和最大转角都在自由端即x =l 处。将x =l 代入（e ）、（f ）两式，则可求得最大转角及最大挠度分别为： 挠度为正，说明梁变形时B 点向下移动，转角为正，说明横截面B 沿顺时针方向转动。 用积分法计算梁的位移时，应先写出梁的弯矩方程，建立梁的挠曲线近似微分方程，然后通过积分得到转角和挠曲线方程式，积分中出现的积分常数可通过边界条件确定。当全梁的弯矩不能用统一的方程式表示时，应分段列出其弯矩方程和挠曲线近似微分方程，并分段 积分。积分常数的确定除了利用梁的边界条件 外，还需利用梁的变形连续条件。 §7?3 叠加法 当梁上同时作用几种荷载时，所引起的梁 的位移可采用叠加法计算，即先分别求出每一项荷载单独作用时所引起的位移，然后计算这些位移的代数和，即为各荷载同时作用时所引起的位移。 例题7?4 图示简支梁AB ，受均布荷载 和集中力偶作用，梁的弯曲刚度为EI ，试用叠加法求梁跨中点C 的挠度值和A 、B 截面的转角。 解：此梁上的荷载可以分为两项简单荷载，如图（b ）、(c )所示。 （a ） （b ） （c ）
材料力学电算大作业 题目名称：求梁的弯曲变形通用程序 作者班号： 作者学号： 作者姓名： 指导教师： 完成时间：2014年06月07日 评语： 成绩（满分10分）： 签名：
1 算法 在如图所示的悬臂梁中，杆件为圆杆。杆长为L ，直径为D ，材料弹性模量为E 。输入集中力F 大小，作用点a ，弯矩M ，作用点b ，即可求得悬臂梁的挠度曲线图。 二、程序代码 clear all disp('请给定材料信息'); %输入材料信息 L=input('圆杆长度L(/m)='); while L<=0 %判断L 的值 L=input('圆杆长度错误 再次输入圆杆长度L(/m)='); end D=input('圆杆直径D(/m)='); while D<=0 %判断D 的值 L=input('圆杆直径错误 再次输入圆杆直径D(/m)='); end E=input('弹性模量E(/GPa)='); while E<=0 %判断E 的值 L=input('弹性模量错误 再次输入弹性模量E(/GPa)='); end I=double(D^4*3.14/32); disp('请给定受力情况'); %输入受力情况 F=input('切向集中力大小F(/N)='); a=input('切向集中力作用位置(/m)='); while a>L||a<0 %判断a 的值 a=input('集中力位置错误 再次输入切向集中力作用位置(/m)='); end M=input('弯矩大小M(/N*m)='); b=input('弯矩作用位置(/m)='); while b>L||b<0 %判断b 的值 b=input('弯矩位置错误 再次输入弯矩作用位置(/m)='); end a b L F M
第七章 弯 曲 变 形 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 挠度、转角、挠曲线、挠曲线近似微分方程、直接积分法、叠加法。 1.2 挠度和转角 梁弯曲变形后，梁轴线将弯曲成一条光滑而连续的曲线，称为挠曲线。以梁在变形前的轴线为x 轴，y 轴向上为正。梁的挠曲线为xy 平面内的一条平面曲线。 梁的弯曲变形用两个基本量来度量： 1 挠度：横截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，用w 表示；向上的挠度为正，反之为负。 2 转角：横截面变形后绕中性轴转过的角度，用θ表示。逆时针转动为正，顺时针转动为负。挠度和转角之间有如下关系： () dw x dx θ= 可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程()w f x =。 1.3 挠曲线近似微分方程 梁弯曲时，曲率和弯矩的关系为 1() ()() M x x EI x ρ=，式中)(x EI 为梁的抗弯刚度。在小变形的情况下，挠曲线近似微分方程为 22() d w M x dx EI = 1.4 梁变形的求解 1 直接积分法 对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程 ()() ()dw x M x x dx C dx EI θ= =+? （a ） 再积分一次，得挠度方程 () ()M x w x dxdx Cx D EI =++?? （b ） 其中C 、D 为积分常数，可利用梁的边界条件和挠曲线连续条件确定。 2 叠加法 在小变形和弹性范围内，梁的挠度与载荷为线性关系，可以用叠加法求梁的挠度：即将梁的载荷分为若干种简单载荷，分别求出各种简单载荷作用下的位移，将它们叠加起来即为原载荷产生的位移。
1.5 梁的刚度条件 梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将变形限制在一定范围内，即满足刚度条件 max max [] [] w w θθ≤≤ 式中的[]w 和][θ分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。 1.6 简单超静定梁 由于多余约束的存在，某些梁的约束反力只用静力平衡方程并不能完全确定，这种梁称为超静定梁。求解方法之一为变形比较法，主要有以下步骤： （1）解除多余约束，视此约束反力为未知外力，选取静定基，得到原超静定梁的相当系统； （2）将相当系统的变形与原系统比较，找到变形所应满足的条件，即变形协调方程； （3）由变形协调方程求解未知的约束反力。 多余约束反力解出后，利用平衡方程求解其它约束反力。 1.7 提高梁刚度的措施 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件、梁截面的惯性矩I 、材料的弹性模量E 有关。故提高梁刚度的措施为： （1）改善结构形式，减小弯矩M ； （2）增加支承，减小跨度l ； （3）选用合适的材料，增加弹性模量E ： （4）选择合理的截面形状，提高惯性矩I ，如工字形截面、空心截面等。 2 重点与难点及解析方法 2.1挠曲线近似微分方程 梁弯曲变形后，曲率和弯矩之间的关系EI x M x ) ()(1= ρ是弯曲变形的基本方程，可直接用来解决梁的一些变形问题。 解析方法：梁的挠曲线近似微分方程是建立在以梁左端为原点的右手坐标系上的， 求解梁的弯曲变形时应特别注意。 2.2梁变形的求解 1 直接积分法是求解梁的变形的基本方法。
管道在外力或自重作用下产生弹性弯曲变形，施工中利用这种变形，改变管道走向或适应高程变化的管道敷设方式叫作弹性敷设。利用弹性敷设可以减少弯头数量，降低造价。 在燃气管道施工图设计中，在平面和立面经常采用弹性敷设的方式。本文仅介绍燃气管道纵向施工图设计中弹性敷设参数的计算。 1 弹性敷设设计条件 在燃气管道纵向施工图设计时，一般要根据测量的各里程地面标高、燃气管道设计埋深，绘制出管道敷设纵断面图，标注出各桩点对应的管道埋设深度。纵向弹性敷设设计时，前后各桩点地面标高、弹性敷设管道管径、拟设计埋深及各桩点里程为已知条件，确定弹性敷设起止点及弹性敷设形成的曲线上各节点的设计埋深，是设计中要解决的问题。 2 弹性敷设的要求及相关参数计算 《输气管道工程设计规范》(GB 50251—2003)第4.3.14条规定：弹性敷设管道的曲率半径应满足管子强度要求，且不得小于钢管外径的1000倍。垂直面上弹性敷设管道的曲率半径尚应大于管道在自重作用下产生的挠度曲线的曲率半径。该规范中规定的曲率半径按下式计算： 式中R——管道弹性弯曲曲率半径，m α——管道的转角，(°) D——管道的外径，cm 在垂直面上弹性敷设管道曲率半径要同时满足大于等于1000D和大于管道在自重作用下产生的挠度曲线的曲率半径两个条件。 在管道纵向施工图设计时，已知各桩点地面标高、弹性敷设管道管径、管道拟设计埋深、各桩点里程和弹性敷设相邻点的管道标高，据已知条件求解弹性敷设曲率半径、弹性敷设弧形管长、切线长度、弹性敷设管道上任意里程点的标高、埋深等参数。
以过点M、N的切线交点0为坐标原点，以管道敷设方向水平线为x轴，以纵向垂线为z轴，建立坐标系，见图1。 图中M——弹性敷设起点 N——弹性敷设终点 0——管道弹性弯曲形成圆在点M、N的切线的交点 P——管道弹性弯曲形成圆的圆心 R——管道弹性弯曲曲率半径，m α——管道的转角，(°) α1——MO与x轴夹角，(°) α2——NO与x轴夹角，(°) β——0P与z轴夹角，(°) L——MD、N0的长度，m E——外矢矩，m ① 计算α 据拟定管道拐点0的埋设深度、地面标高，可求点0的标高，再据邻近桩点管道标高、里程，通过三角函数可求得α1、α2。 当OM、ON在x轴同侧时： α=α1+α2 当OM、ON在x轴不同侧时： α=︱α1-α2︱ ② 确定弹性敷设曲率半径R 1000D及式(1)的计算结果中的较大值即为弹性敷设曲率半径R。 ③ 计算切线长度L
弯曲变形 1. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为： (A) M e1/M e2=2； (B) M e1/M e2=3； (C) M e1/M e2=1/2； (D) M e1/M e2=1/3。 答：(C) 2. 外伸梁受载荷如 致形状有下列(A)(B)、(C)，(D)答：(B) 3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： (A)EI x M x w q x F F x M ) (d d ,d d , d d 2 2S S ===； (B)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2 S S =-=-=； (C)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -==-=； (D)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -=-==。 答：(B) 4. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示，自由端的挠度EI l M EI Fl w B 232 e 3 +=
（↓） 则截面C 处挠度为： (A)2 e 3 322323??? ??+??? ??l EI M l EI F （↓）； (B)2 3 3223/323??? ??+??? ??l EI Fl l EI F （↓） ； (C)2 e 3 322)3/(323??? ??++??? ??l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2 e 3 322)3/(323? ? ? ??-+??? ??l EI Fl M l EI F （↓）。 答：(C) 5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。 答： 6. 7. (a)、(b) 刚度关系为下列中的哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)； (C) (a)=(b)； (D) 不一定。 答：(C) 8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。 答：x =0, w 1=0, 1w '=0；x =2a ，w 2=0 =2a ， 32 w w '='。 9. 试画出图示静定组合梁在集中力F 作用下挠曲线的大致形状。 (a) (b) (c) w ===θw w
第7章 梁的弯曲变形与刚度 7.1 梁弯曲变形的基本概念 7.1.1 挠度 在线弹性小变形条件下，梁在横力作用时将产生平面弯曲，则梁轴线由原来的直线变为纵向对称面内的一条平面曲线，很明显，该曲线是连续的光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线（图7-2）。 梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。在小变形情况下，梁轴线上各点在梁变形后沿轴线方向的位移（水平位移）可以证明是横向位移的高阶小量，因而可以忽略不计。 挠曲线的曲线方程： )(x w w = （7-1） 称为挠曲线方程或挠度函数。实际上就是轴线上各点的挠度，一般情况下规定：挠度沿y 轴的正向（向上）为正，沿y 轴的负向（向下）为负（图7-4）。 必须注意，梁的坐标系的选取可以是任意的，即坐标原点可以放在梁轴线的任意地方，另外，由于梁的挠度函数往往在梁中是分段函数，因此，梁的坐标系可采用整体坐标也可采用局部坐标。 7.1.2 转角 梁变形后其横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动的角度称为转角（图7-3）。 转角随梁轴线变化的函数： )(x θθ= （7-2） 称为转角方程或转角函数。 由图7-3可以看出，转角实质上就是挠曲线的切线与梁的轴线坐标轴x 的正方向之间的夹角。所以有：x x w d ) (d tan = θ,由于梁的变形是小变形，则梁的挠度和转角都很小，所以θ和θtan 是同阶小量，即：θθtan ≈，于是有： 图7-2 梁的挠曲线 图7-3 梁的转角 ) (x
x x w x d ) (d )(= θ （7-3） 即转角函数等于挠度函数对x 的一阶导数。一般情况下规定：转角逆时针转动时为正，而顺时针转动时为负（图7-4）。 需要注意，转角函数和挠度函数必须在相同的坐标系下描述，由式（7-3）可知，如果挠度函数在梁中是分段函数，则转角函数亦是分段数目相同的分段函数。 7.1.3 梁的变形 材料力学中梁的变形通常指的就是梁的挠度和转角。但实际上梁的挠度和转角并不是梁的变形，它们和梁的变形之间有联系也有本质的差别。 如图7-5（a ）所示的悬臂梁和图7-5（b ）所示的中间铰梁，在图示载荷作用下，悬臂梁和中间铰梁的右半部分中无任何内力，在第二章曾强调过：杆件的内力和杆件的变形是一一对应的，即有什么样的内力就有与之相应的变形，有轴力则杆件将产生拉伸或压缩变形，有扭矩则杆件将产生扭转变形，有剪力则杆件将产生剪切变形，有弯矩则杆件将产生弯曲变形。若无某种内力，则杆件也没有与之相应的变形。因此，图示悬臂梁和中间铰梁的右半部分没有变形，它们将始终保持直线状态，但是，悬臂梁和中间铰梁的右半部分却存在挠度和转角！ 事实上，材料力学中所说的梁的变形，即梁的挠度和转角实质上是梁的横向线位移以及梁截面的角位移，也就是说，挠度和转角是梁的位移而不是梁的变形。回想拉压杆以及圆轴扭转的变形，拉压杆的变形是杆件的伸长l ?，圆轴扭转变形是截面间的转角?，它们实质上也是杆件的位移，l ?是拉压杆一端相对于另一端的线位移，而?是扭转圆轴一端相对于另一端的角位移，但拉压杆以及圆轴扭转的这种位移总是和其变形共存的，即只要有位移则杆件一定产生了变形，反之只要有变形就一定存在这种位移（至少某段杆件存在这种位移）。但梁的变形与梁的挠度和转角之间就不一定是共存的，这一结论可以从上面对图7-5（a ）所示的悬臂梁和图7-5（b ）所示的中间铰梁的分析得到。 图7-4 梁的挠度和转角的符号 x x (a) 正的挠度和转角 (b) 负的挠度和转角 (a) 悬臂梁的变形 (b)中间铰梁的变形 图7-5 挠度和转角实质上是梁的位移 无变形
一、填空题： 1 的作用。 3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。 5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________ 力矩的代数和。 7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。 9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力 为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。 10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中 力偶的力偶矩。 11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。 18、在梁的某一段内，若无分布载荷q（X）的作用，则剪力图是__________于X轴的直线。 19、在梁的弯矩图上，某一横截面上的弯矩有极值（极大值或极小值），该极值必发生在对应于剪力___________的横 截面上。 21、梁在发生弯曲变形的同时伴有剪切变形,这种平面弯曲称为__________弯曲。 24、梁在弯曲时的中性轴，就是梁的___________与横截面的交线。 28、梁弯曲时,横截面中性轴上各点的正应力等于零,而距中性轴________处的各正应力为最大。 29、梁弯曲变形后，以中性层为界，靠__________边的一侧纵向纤维受压力作用,而靠__________边的一侧纵向纤维受 拉应力作用。 31、等截面梁内的最大正应力总是出现在最大___________所在的横截面上。 32、在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线将成为一条连续而光滑的平面曲线，此曲线被称为_______。 33、梁在平面弯曲变形时的转角，实际上是指梁的横截面绕其________这条线所转动的角度。 二、判断题： 1、以弯曲为主要变形的杆件，只要外力均作用在过轴的纵向平面内，杆件就有可能发生平面弯曲。（） 3、梁发生平面弯曲时，其轴线必然弯成位于外力作用面内的平面曲线。（） 4、通常将安装在车床刀架上的车刀简化为悬臂梁。（） 5、梁横截面上的剪力，在数值上等于作用在此截面任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力的代数和。（） 6、用截面法确定梁横截面的剪力或弯矩时，若分别取截面以左或以右为研究对象，则所得到的剪力或弯矩的符号通常 是相反的。（） 9、梁的最大弯矩值必定出现在剪力为零的截面处。（） 10、在简支梁上有一移动的集中载荷作用，要使梁内产生的弯矩为最大，此集中载荷并不一定作用在梁跨度中央。（） 11、梁上某一横截面的弯矩等于作用于此截面任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力对截面形心力矩的代数和，利用此 规律，可不列出平衡方程，就能直接确定横截面弯矩值的大小。（） 14、若梁某段内各横截面上的弯矩均为零，则该段内各横截面上的剪力也均为零。（） 17、在梁某一段内的各个横截面上的，若剪力均为零，则该段内的弯矩必为常量。（） 20、梁的弯矩图上某一点的弯矩值为零，该点所对应的剪力图上的剪力值也一定为零。（） 23、从左向右检查所绘剪力图的正误时，可以看出，凡集中力作用处，剪力图发生突变，突变值的大小与方向和集中 力相同，若集中力向上，则剪力图向上突变，突变值为集中力大小。（） 24、在梁上集中力偶作用处，其弯矩图有突变，而所对应的剪力图为水平线，并由正值变为负值或由负值变为正值， 但其绝对值是相同的。（） 30、梁弯曲时，梁内有一层既不受拉又不受压的纵向纤维就是中性层。（） 35、弯曲正应力公式是由矩形截面梁推导出的，故只适用于纯弯曲，而不适用于横力弯曲。（） 三、选择题： 1、工程实际中产生弯曲变形的杆件，如火车机车轮轴、房屋建筑的楼板主梁，在得到计算简图时，需将其支承方式简 化为：（）
9—1 弯曲变形的概念 一、弯曲与平面弯曲 1、弯曲：直杆在垂直于杆轴的外力作用下，杆的轴线变为曲线，这种变形叫弯曲。 2、梁：以弯曲为主变形的构件称为梁。其特点：a、形状：轴线是直的，横截面至少有一个对称3 m m 由∑x=0 ∑y=0；—Q m+R A=0 Q ∑y=0 ∑m=0 0 ∑m=0；—R A+M m=0， Q m——剪力 M m——弯曲 梁平面弯曲时截面产生两种内力 : 剪力Q 二、Q，M正负号的规定
四、讨论： 1、要正确区别性质符号和运算符号。所谓正，负Q，M是指性质符号而言 2、Q x=∑左·y 或 Q x =∑右·y， M x=∑左·M 或M x=∑右·M 3、可用“简便方法”计算截面内力 六、求剪力和弯矩的基本规律 （1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向，转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析 （2）梁内任一截面上的剪力Q的大小，等于这截面左边（或右边）的与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有与y轴同向的外力使该截面产生正剪力，而所有与y轴反向的外力使该截面产生负剪力；若考虑右段为脱离体时，在此段梁所有与y轴同向的外力
梁上作用任意荷载q （x ）：（1）取出梁中一微段d x （d x 上认为荷载是均匀的）；（2）设截面内力：Q （x ），M （x ）。利用 ∑y =0。则： Q （x ）+q （x ）d x —[Q （x ）+d Q （x ）]=0 d Q （x ）=q （x ）d x 即 d Q （x ）/d x =q （x ） 剪力对x 的一阶导数等于荷载 ∑0M =0 M （x ）—[M （x ）+d M （x ）]+Q （x ）d x +q （x ）d x d x /2=0 即； d M （x ）/d x =Q （x ） 弯矩对x 的一次导等于剪力 （1） q （x ）=0 （无线荷载） d Q （x ）/d x =q （x ）=0 说明剪力方程是常数。只有常数导数才为零，所以此时剪力图是一条水 平线。 d M （x ）/d x =Q （x ） 而剪力是常数，说明原弯矩方程是x 的一次函数，所以弯矩图是一 条斜直线 （2） q （x ）=常数（有线载） d Q （x ）/d x =q （x ）=常数 说明剪力方程是x 的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。 即 d M （x ）/d x =Q （x ） 而剪力又是x 的一次函数，说明原弯矩方程是x 的二次函数。所以弯矩 图是二次抛物线。 M 极植 在Q （x ）=0处。由于 d M （x ）/d x =Q （x ）=0处有极植 ) x d l )=（q 0/l ）?l x xd 0 =q 0l 2/l2=q 0l/2 （三角形面积）
翘曲、弯曲和扭曲 注射成型时塑料的成型收缩率随流动方向的不同而不同，就是说流动方向的收缩率远比垂直方向大（收缩率各向异性），有时收缩率在方向上的差值达1％以上；成型收缩率还受成型制件壁厚和温度的影响，由于收缩率的不同，致使制件产生变形。注射成型是把粘流态的高聚物挤压到模腔中成型的一种方法，所以不可避免在成型制件内部残留有内部应力，此应力也将引起制件的变形。此外还有一些原因也往往引起变形。如制件未完全硬化就顶出的变形；还有顶杆推力造成的变形。由于上述原因，将成型制件从模腔顶出后，就达不到内部应变最小的理想形状，而出现翘曲、弯曲和扭曲等现象。可采用辅助工具来矫正冷却变形。即把从模腔内顶出的且内部尚柔软的成型制件放在辅助工具中，随着辅助工具一起冷却，从原始状态限定变形。根据冷却方式来确定冷却时间，一般需冷却10min 以上，能稍微防止变形，但不能抱有太大的期望。 避免制品厚度的差异，在制品厚度大的地方设置浇口（1-1），因直线容易引起翘曲，做成大的R曲线（图A），制品可逆弯曲的模具（图B），增加顶出杆个数，增加脱模斜度。 在薄形的箱子成型中，因成型温度引起的弯曲，这常见于单单是热膨胀 翘曲变形是指注塑制品的形状偏离了模具型腔的形状，它是塑料制品常见的缺陷之一。随着塑料工业的发展，人们对塑料制品的外观和使用性能要求越来越高，翘曲变形程度作为评定产品质量的重要指标之一也越来越多地受到模具设计者的关注与重视。模具设计者希望在设计阶段预测出塑料件可能产生翘曲的原因，以便加以优化设计，从而提高注塑生产的效率和质量，缩短模具设计周期，降低成本。 本文主要对在注塑模具设计过程中影响注塑制品翘曲变形的因素加以分析。 二、模具的结构对注塑制品翘曲变形的影响 在模具设计方面，影响塑件变形的因素主要有浇注系统、冷却系统与顶出系统等。 1．浇注系统的设计 注塑模具浇口的位置、形式和浇口的数量将影响塑料在模具型腔内的填充状态，从而导致塑件产生变形。 流动距离越长，由冻结层与中心流动层之间流动和补缩引起的内应力越大；反之，流动距离越短，从浇口到制件流动末端的流动时间越短，充模时冻结层厚度减薄，内应力降低，翘曲变形也会因此大为减少。图1为大型平板形塑件，如果只使用一个中心浇口或一个侧浇口，因直径方向上的收缩率大于圆周方向上的收缩率，成型后的塑件会产生扭曲变形；若改用多个点浇口或薄膜型浇口，则可有效地防止翘曲变形。 当采用点浇进行成型时，同样由于塑料收缩的异向性，浇口的位置、数量都对塑件的变形程度有很大的影响。由于采用的是30％玻璃纤维增强PA6，而得到的是重量为4.95kg的大型注塑件，因此沿四周壁流动方向上设有许多加强肋，这样，对各个浇口都能获得充分的平衡。但并非浇口数目越多越好。 另外，多浇口的使用还能使塑料的流动比（L／t）缩短，从而使模腔内物料密度更趋均匀，收缩更均匀。同时，整个塑件能在较小的注塑压力下充满。而较小的注射压力可减少塑料的分子取向倾向，降低其内应力，因而可减少塑件的变形。 2．冷却系统的设计