第一章 概率论的基本概念
定义： 随机试验E 的每个结果样本点组成样本空间S ，S 的子集为E 的随机事件，单个样本点为基本事件．
事件关系： 1．A ?B ，A 发生必导致B 发生． 2．A B 和事件，A ，B 至少一个发生，A B 发生． 3．A B 记AB 积事件，A ，B 同时发生，AB 发生． 4．A －B 差事件，A 发生，B 不发生，A －B 发生．
5．A B=?，A 与B 互不相容(互斥)，A 与B 不
能同时发生，基本事件两两互不相容．
6．A B=S 且A B=?，A 与B 互为逆事件或对立事
件，A 与B 中必有且仅有一个发生，记B=A S A -=．
事件运算： 交换律、结合律、分配率略．
德摩根律：B A B A =，B A B A =．
概率： 概率就是n 趋向无穷时的频率，记P(A)．
概率性质:
1．P (?)=0．
2．(有限可加性)P (A 1 A 2 … A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n )，A i 互不相容． 3．若A ?B ，则P (B －A)=P (B)－P (A)．
4．对任意事件A ，有)A (1)A (P P -=．
5．P (A B)=P (A)+P (B)－P (AB)．
古典概型： 即等可能概型，满足：1．S 包含有限个元素．2．每个基本事件发生的可能性相同． 等概公式： 中样本点总数
中样本点数
S A )A (==
n k P ． 超几何分布：
???? ???
???
??--???? ??=n N k n D N k D p ，其中r
a C r a =???
? ??． 条件概率： )
A ()
AB ()A B (P P P =
． 乘法定理：
)A ()A B ()AB C ()ABC ()
A ()A
B ()AB (P P P P P P P ==．
全概率公式： )B ()B A ()B ()B A ()B ()B A ()A (2211n n P P P P P P P +++= ，其中i B 为S 的划分． 贝叶斯公式： )
A ()
B ()B A ()A B (P P P P i i i =
，∑==
n
j j j B P B A P A P 1
)()()(或)
()()()()
()()(B P B A P B P B A P B P B A P A B P +=
．
独立性： 满足P (AB)=P (A)P (B)，则A ，B 相互独立，简称A ，B 独立．
定理一： A ，B 独立，则．P (B |A)=P (B)． 定理二： A ，B 独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．
第二章 随机变量及其分布
(0—1)分布： k k p p k X P --==1)1(}{，k =0，1 （0
伯努利实
验：
实验只有两个可能的结果：A 及A ．
二项式分布： 记X~b （n ，p ），k
n k k n p p C k X P --==)1(}{． n 重伯努利实验：
独立且每次试验概率保持不变．其中A 发生k 次，即二项式分布．
泊松分布： 记X~π（λ），!
}{k e k X P k λ
λ-=
=， ,2,1,0=k ．
泊松定理： !
)
1(lim k e p p C k k
n k k
n
n λ
λ--∞
→=
-，其中λ=np ．当20≥n ，05.0≤p 应用泊松定理近似效果颇佳．
随机变量分
布函数： }{)(x X P x F ≤=，+∞<<∞-x ．
)()(}{1221x F x F x X x P -=≤<．
连续型随机
变量： ?
∞
-=
x
t t f x F d )()(，X 为连续型随机变量，)(x f 为X 的概率密度函数，简称概率密度．
概率密度性
质：
1．0)(≥x f ；2．
1d )(=?
+∞
∞
-x x f ；
3．?=-=≤<2
1
d )()()(}{1221x x x x f x F x F x X x P ；4．)()(x f x F ='，f (x )在x 点连续；5．P {X=a }=0．
均匀分布： 记X~U(a ，b )；?????<<-=其它，，01)(b
x a a
b x f ；?????≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ，
，，10)(． 性质：对a ≤c 指数分布： ?? ???>=-其它，，00 1)(x e x f x θ θ ；???>-=-其它，，001)(x e x F x θ． 无记忆性： }{}{t X P s X t s X P >=>+>． 正态分布： 记),(~2 σμN X ；]2)(ex p[21)(2 2 σμσ π--= x x f ；t t x F x d ]2)(ex p[21 )(22 ?∞---=σμσ π． 性质： 1．f (x )关于x =μ对称，且P {μ-h 布： ]2exp[21)(2 x x -=π ?；?∞--= Φx t t x d ]2ex p[21)(2 π． 即μ=0，σ=1时 的正态分布X ~N(0，1) 性质：)(1)(x x Φ-=-Φ． 正态分布的 线性转化： 对),(~2σμN X 有)1,0(~N X Z σμ-=；且有)(}{}{)(σ μσμσμ-Φ=-≤-=≤=x x X P x X P x F ． 正态分布概 率转化： )()(}{1221σ μσμ-Φ--Φ=≤ 3σ法则： P =Φ(1)－Φ(-1)=68.26%；P =Φ(2)－Φ(-2)=95.44%；P =Φ(3)－Φ(-3)=99.74%，P 多落在(μ-3σ，μ+3σ)内． 上ɑ分位点： 对X~N(0，1)，若z α满足条件P {X>z α}=α，0<α<1，则称点z α为标准正态分布的上α分位点． 常用 上ɑ分位点： 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 3.090 2.576 2.326 1.960 1.645 1.282 Y 服从自由度为1的χ2 分布： 设X 密度函数f X (x )，+∞<<∞-x ，若Y=X 2，则 ??? ??≤>-+=000)]()([21 )(y y y f y f y y f X X Y ， ， 若设X ~N(0，1)，则有 ?? ? ??≤>=--00021 )(221y y e y y f y Y ，，π 定理： 设X 密度函数f X (x )，设g (x )处处可导且恒有g ′(x )>0(或g ′(x )<0)，则Y=g (X)是连续型随机变量，且有 ???<<'=其他，，0)()]([)(βαy y h y h f y f X Y h (y )是g (x )的反函数；①若+∞<<∞-x ，则α=min{g (?∞)， g (+∞)}，β=max{g (?∞)，g (+∞)}；②若f X (x )在[a ，b ]外等于零， g (x )在[a ，b ]上单调，则α=min{g (a )，g (b )}，β=max{g (a )，g (b )}． 应用： Y=aX +b ~N(a μ+b ，(|a |σ)2)． 第三章 多维随机变量及其分布 二维随机变量的分 布函数： 分布函数(联合分布函数)：)}(){(),(y Y x X P y x F ≤≤= ，记作：},{y Y x X P ≤≤． ),(),(),(),(},{112112222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤<． F （x ，y ）性质： 1．F （x ，y ）是x 和y 的不减函数，即x 2>x 1时，F （x 2，y ）≥F （x 1，y ）；y 2>y 1时，F （x ，y 2）≥F （x ，y 1）． 2．0≤F （x ，y ）≤1且F （?∞，y ）=0，F （x ，?∞）=0，F （?∞，?∞）=0，F （+∞，+∞）=1． 3．F （x +0，y ）=F （x ，y ），F （x ，y +0）=F （x ，y ），即F （x ，y ）关于x 右连续，关于y 也右连续． 4．对于任意的(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 2>x 1，y 2>y 1，有P {x 1 离散型（X ，Y ）： 0≥ij p ，11 1=∑∑∞ =∞=ij j i p ，ij y y x x p y x F i i ∑∑=≤≤),(． 连续型 （X ，Y ）： v u v u f y x F y x d d ),(),(?? ∞-∞ -= ． f (x ，y )性 质： 1．f (x ，y )≥0． 2． 1),(d d ),(=∞∞=?? ∞ ∞-∞ ∞ -F y x y x f ． 3．y x y x f G Y X P G ?? = ∈d d ),(}),{(． 4．若f (x ，y )在点(x ，y )连续，则有),(),(2y x f y x y x F =???． n 维： n 维随机变量及其分布函数是在二维基础上的拓展，性质与二维类似． 边缘分布： F x (x )，F y (y )依次称为二维随机变量（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘分布函数，F X (x )=F (x ，∞)，F Y (y )=F (∞， y )． 离散型： *i p 和j p *分别为 （X ，Y ）关于X 和Y 的边缘分布律，记}{1 i ij j i x X P p p ==∑=∞ =*，}{1 j ij i j y Y P p p ==∑=∞ =*． 连续型： )(x f X ，)(y f Y 为 （X ，Y ）关于X 和Y 的边缘密度函数，记? ∞ ∞ -=y y x f x f X d ),()(，?∞ ∞ -=x y x f y f Y d ),()(． 二维正态 分布： ]})())((2)([)1(21exp{121),(222 221212121222 1σμσσμμρσμρρσπσ-+-------= y y x x y x f ． 记(X ，Y )~ N (μ1，μ2，σ12，σ22 ，ρ) ]2)(exp[21)(21211σμσπ--=x x f X ，∞<<∞-x ．]2)(exp[21)(2 22 22 σμσπ--=y y f Y ，∞<<∞-y ． 离散型条 件分布律： j ij j j i j i p p y Y P y Y x X P y Y x X P *= ======}{},{}{． * = ==== ==i ij i j i i j p p x X P y Y x X P x X y Y P } {},{}{． 连续型条件分布： 条件概率密度： ) () ,()(y f y x f y x f Y Y X = || 条件分布函数： x y f y x f y Y x X P y x F x Y Y X d ) () ,(}{)(? ∞ -==≤=||| ) () ,()(x f y x f x y f X X Y = || y x f y x f x X y Y P x y F y X X Y d ) () ,(}{)(? ∞ -==≤=||| 含义：当0→ε时，)|(d )|(}|{||y x F x y x f y Y y x X P Y X x Y X =≈ +≤<≤? ∞ -ε． 均匀分布： 若?????∈=其他 ,0),(,1 ),(G y x A y x f ，则称(X ，Y)在G 上服从均匀分布． 独立定义： 若P {X ≤x ，Y ≤y }=P {X ≤x }P {Y ≤y }，即F (x ，y )=F x (x )F y (y )，则称随机变量X 和Y 是相互独立的． 独立条件或可等价为：连续型：f (x ，y )=f x (x )f y (y )；离散型：P {X =x i ，Y =y j }=P {X =x i }P {Y =y j }． 正态独立： 对于二维正态随机变量（X ，Y ），X 和Y 相互对立的充要条件是：参数ρ=0． n 维延伸： 上述概念可推广至n 维随机变量，要注意的是边缘函数或边缘密度也是多元(1~n -1元)的． 定理： 设（X 1，X 2，…，X m ）和（Y 1，Y 2，…，Y n ）相互独立，则X i 和Y j 相互独立．又若h ，g 是连续函数，则 h （X 1，X 2，…，X m ）和g （Y 1，Y 2，…，Y n ）相互独立． Z=X+Y 分布： 若连续型(X ，Y )概率密度为f (x ，y )，则Z=X+Y 为连续型且其概率密度为 ? ∞ ∞ -+-=y y y z f z f Y X d ),()(或? ∞ ∞ -+-=x x z x f z f Y X d ),()(． f X 和f Y 的卷积公式： 记? ∞ ∞ -+-==y y f y z f z f f f Y X Y X Y X d )()()(*? ∞ ∞ --=x x z f x f Y X d )()(，其中除继上述条件，且X 和Y 相互独立，边缘密度分别为f X (x )和f Y (y )． 正态卷积： 若X 和Y 相互独立且X ~N (μ1，σ12)，记Y ~N (μ2，σ22)，则对Z=X+Y 有Z ~N (μ1+μ2，σ12+σ22)． 1．上述结论可推广至n 个独立正态随机变量．2．有限个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布． 伽马分布： 记),(~θαΓX ， 0>α，0>θ． ?? ???>Γ=--其他，，00)(1)(1x e x x f x θαααθ，其中?+∞--=Γ0 1d )(t e t t αα． 若X 和Y 独立且X ~Γ(α，θ)，记Y ~Γ(β，θ)，则有X+Y~Γ(α+β，θ)．可推广到n 个独立Γ分布变量之和． X Y Z =： ? ∞ ∞ -=x xz x f x z f X Y d ),()(，若X 和Y 相互独立，则有?∞ ∞ -=x xz f x f x z f Y X X Y d )()()(． XY Z =分布： ? ∞ ∞ -=x x z x f x z f XY d ),(1)(，若X 和Y 相互独立，则有?∞∞-=x x z f x f x z f Y X XY d )()(1)(． 大小分布： 若X 和Y 相互独立，且有M =max{X ，Y }及N =min{X ，Y }，则M 的分布函数：F max (z )=F X (z )F Y (z )，N 的分 布函数：F min (z )=1－[1－F X (z )][1－F Y (z )]，以上结果可推广到n 个独立随机变量的情况． 第四章 随机变量的数字特征 数学期望： 简称期望或均值，记为E (X )；离散型：k k k p x X E ∑=∞ =1)(．连续型：? ∞ ∞ -= x x xf X E d )()(． 定理： 设Y 是随机变量X 的函数：Y =g (X )(g 是连续函数)． 1．若X 是离散型，且分 布律为P {X =x k }=p k ，则： k k k p x g Y E )()(1 ∑=∞=． 2．若X 是连续型，概 率密度为f (x )，则： ?∞ ∞ -=x x f x g Y E d )()()(． 定理推广： 设Z 是随机变量X ，Y 的函数：Z =g (X ，Y )(g 是连续函数)． 1．离散型：分布律为 P {X =x i ，Y =y j }=p ij ，则： ij j i i j p y x g Z E ),()(11∑∑=∞=∞=． 2．连续型：?? ∞ ∞-∞ ∞ -= y x y x f y x g Z E d d ),(),()( 期望性质： 设C 是常数，X 和Y 是随机变量，则： 1．E (C )=C ．2．E (CX )=CE (X )．3．E (X +Y )=E (X )+E (Y )． 4．又若X 和Y 相互独立的，则E (XY )=E (X )E (Y )． 方差： 记D (X )或Var(X )，D (X )=V ar(X )=E {[X －E (X )]2}． 标准差(均方差)： 记为σ(X )，σ(X )= ． 通式：2 2 )]([)()(X E X E X D -=． k k k p X E x X D 2 1 )]([)(-∑=∞ =，? ∞ ∞ --= x x f x E x X D d )()]([)(2． 标准化变量： 记σ μ-=x X * ，其中μ=)(X E ，2)(σ=X D ，*X 称为X 的标准化变量． 0)(*=X E ，1)(*=X D ． 方差性质： 设C 是常数，X 和Y 是随机变量，则： 1．D (C )=0． 2．D (CX )=C 2 D (X )，D (X +C )=D (X )． 3．D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2E {(X －E (X ))(Y －E (Y ))}，若X ，Y 相互独立D (X +Y )=D (X )+D (Y )． 4．D (X )=0的充要条件是P {X =E (X )}=1． 正态线性变换： 若),(~2i i i N X σμ，i C 是不全为0的常数，则),(~2 21 12211i i n i i i n i n n C C N X C X C X C σμ∑∑+++== ． 切比雪夫不等式： 22}{εσεμ≤≥-X P 或22 1}{εσεμ-≥<-X P ，其中)(X E =μ，)(2X D =σ，ε为任意正数． 协方差： 记)]}()][({[),Cov(Y E Y X E X E Y X --=． X 与Y 的相关系数： ) ()() ,Cov(Y D X D Y X XY = ρ． D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov(X ，Y )，Cov(X ，Y )= E (XY )－E (X )E (Y )． 性质： 1．Cov(aX ，bY )=ab Cov(X ，Y )，a ，b 是常数． 2．Cov(X 1+X 2，Y )=Cov(X 1，Y )+Cov(X 2，Y )． 系数性质： 令e =E [(Y －(a +bX ))2]，则e 取最小值时有 )()1(]))([(2 200min Y D X b a Y E e XY ρ-=+-=， 其中)()(00X E b Y E a -=，) () ,Cov(0X D Y X b = ． 1．|ρXY |≤1．2．|ρXY |=1的充要条件是：存在常数a ，b 使P {Y =a +bX }=1． |ρXY |越大e 越小X 和Y 线性关系越明显，当|ρXY |=1时，Y =a +bX ；反之亦然，当ρXY =0时，X 和Y 不相关． X 和Y 相互对立，则X 和Y 不相关；但X 和Y 不相关，X 和Y 不一定相互独立． 定义： k 阶矩(k 阶原点矩)：E (X k )． n 维随机变量X i 的协方差矩阵： ??? ?? ? ? ? ?=nn n n n n c c c c c c c c c 2122221 11211 C ， ),Cov(j i ij X X c = =E {[X i －E (X i )][X j －E (X j )]}． k +l 阶混合矩：E (X k Y l )． k 阶中心矩：E {[X －E (X )] k }． k +l 阶混合中心矩： E {[X －E (X )]k [Y －E (Y )]l }． n 维正态分布： )}()(21ex p{det )2(1),,,(1T 2 21μX C μX C ---= -n n x x x f π ，T 21T 21) ,,,(),,,(n n x x x μμμ ==μX ． 性质： 1．n 维正态随机变量(X 1，X 2，…，X n )的每一个分量X i (i =1，2，…，n )都是正态随机变量，反之，亦成立． 2．n 维随机变量(X 1，X 2，…，X n )服从n 维正态分布的充要条件是X 1，X 2，…，X n 的任意线性组合l 1X 1+l 2X 2+… +l n X n 服从一维正态分布(其中l 1，l 2，…，l n 不全为零)． 3．若(X 1，X 2，…，X n )服从n 维正态分布，且Y 1，Y 2，…，Y k 是X j (j =1，2，…，n )的线性函数，则(Y 1，Y 2，…，Y k )也服从多维正态分布． 4．若(X 1，X 2，…，X n )服从n 维正态分布，则“X i 相互独立”与“X i 两两不相关”等价． )(x D 第五章大数定律及中心极限定理 弱大数定 理：若X1，X2，…是相互独立并服从同一分布的 随机变量序列，且E(X k)=μ，则对任意ε>0有 1 1 lim 1 = ? ? ? ? ? ? < - ∑ = ∞ → ε μ k n k n X n P或→μ P X， k n k X n X 1 1 = ∑ =． 定义：Y1，Y2，…，Y n ，…是一个随机变量序 列，a是一个常数．若对任意ε>0，有 1 } | {| lim= < - ∞ → ε a Y P n n 则称序列Y1，Y2，…，Y n ，…依概率收敛于 a．记 a Y P n ?→ ? 伯努利大数定理：对任意ε>0有1 lim= ? ? ? ? ? ? < - ∞ → ε p n f P A n 或0 lim= ? ? ? ? ? ? ≥ - ∞ → ε p n f P A n ． 其中f A是n次独立重复实验中事件A 发生的次数，p是事件A在每次试验 中发生的概率． 中心极限定理 定理 一： 设X1,X2,…,X n ,…相互独立并 服从同一分布，且E(X k)=μ， D(X k)=σ2 >0，则n→∞时有 σ μn n X k n k ) ( 1 - ∑ = N(0，1)或 n X σ μ - ~N(0，1)或X~N(μ，n 2 σ)． 定理 二： 设X1,X2,…,X n ,…相互独立 且E(X k)=μk，D(X k)=σ k 2 >0，若存在δ>0使n→∞ 时， } | {| 1 2 1 2 → - ∑+ = + δ δ μ k k n k n X E B ，则 n k n k k n k B X) ( 1 1 μ = = ∑ - ∑ ~N(0，1)，记2 1 2 k n k n Bσ = ∑ =． 定理 三： 设) , ( ~p n b n η，则n→∞时，N p np np n ~ ) 1( ) (- - η(0，1)， k n k n X 1= ∑ = η． 第六章样本及抽样分布 定义：总体：全部值；个体：一个值；容量：个体数；有限总体：容量有限；无限总体：容量无限． 定义：样本：X1,X2,…,X n 相互独立并服从同一分布F的随机变量，称从F得到的容量为n的简单随机样本． 频率直方 图：图形：以横坐标小 区间为宽，纵坐标 为高的跨越横轴 的几个小矩形． 横坐标：数据区间（大区间下限比最小数据值稍小，上限比最大 数据值稍大；小区间：均分大区间，组距Δ=大区间/小区间个数； 小区间界限：精度比数据高一位）． 图形特点：外轮 廓接近于总体的 概率密度曲线．纵坐标：频率/组距（总长度：<1/Δ；小区间长度：频率/组距）． 定义：样本p分位数：记x p，有1．样本x i中有np个值≤x p．2．样本中有n(1－p)个值≥x p． 箱线图：x p选择：记 ?? ? ? ? ∈ + ? = + + N np x x N np x x np np np p当 ， 当 ， ] [ 2 1 1 ) ( ) ( )1 ] ([ ． 分位数x0.5，记为Q2或M，称为样本中位数． 分位数x0.25，记为Q1，称为第一四分位数． 分位数x0.75，记为Q3，称为第三四分位数． 图形： 图形特点：M为数据中心，区间[min，Q1]，[Q1，M]，[M， Q3]，[Q3，max]数据个数各占1/4，区间越短数据密集． 四分位数间距：记IQR=Q3－Q1；若数据X 抽样分布：样本平均值： i n i X n X 1 1 = ∑ =样本方差：) ( 1 1 ) ( 1 1 2 2 1 2 1 2X n X n X X n S i n i i n i - ∑ - = - ∑ - = = = 样本标准差：2 S S= 样本k阶 (原点)矩： k i n i k X n A 1 1 = ∑ =，k≥1 样本k阶 中心矩： k i n i k X X n B) ( 1 1 - ∑ = = ，k≥2 经验分布函数： ) ( 1 ) (x S n x F n =，∞ < < ∞ -x．) (x S表示F的一个样本X1,X2,…,X n 中不大于x的随机变量的个数． 自由度为n的χ2分 布：记χ2~χ2（n），2 2 2 2 1 2 n X X X+ + + = χ，其中X1,X2,…,X n 是来自总体N(0，1)的样本．E(χ2 )=n，D(χ2 )=2n． χ12+χ22~χ2（n1+n2）． ?? ? ? ? > Γ = - - 其他 ， ， )2 ( 2 1 ) ( 2 1 2 2 y e x n y f y n n． χ2分布的分位点：对于0<α<1，满足α χ χ α χ α = = >?∞y y f n P n) ( 2 2 2 d) ( )} ( {，则称) (2n α χ为) (2n χ的上α分位点． ~ 近似的 min Q1 M Q3 max 当n 充分大时(n >40)，22 )12(2 1 )(-+≈ n z n ααχ，其中αz 是标准正态分布的上α分位点． 自由度为 n 的t 分布： 记t ~t (n )， n Y X t /=， 其中X~N (0，1)， Y~χ2(n )，X ，Y 相互独立． 2 )1(2) 1(]2[]2)1([)(+-+Γ+Γ=n n t n n n t h π h (t )图形关于t =0对称；当 n 充分大时，t 分布近似于N (0，1)分布． t 分布的分位点： 对于0<α<1，满足ααα==>? ∞ t t h n t t P n t ) (d )()}({，则称)(n t α为)(n t 的上α分位点． 由h (t )对称性可知t 1－α(n )=－t α(n )．当n >45时，t α(n )≈z α，z α是标准正态分布的上α分位点． 自由度为 (n 1，n 2)的F 分布： 记F ~F (n 1，n 2)，21n V n U F =，其中U~χ2(n 1)， V~χ2(n 2)，X ，Y 相互独立．1/F ~F (n 2，n 1) ?? ? ??>+ΓΓ+Γ=+-其他，，00]1)[2()2()](2)([)(2 )(21211 )2(221212111x n y n n n y n n n n y n n n n ψ F 分布的分位点： 对于0<α<1，满足αψαα==>? ∞ y y n n F F P n n F ) ,(2121d )()},({，则称),(21n n F α为),(21n n F 的上α分位点． 重要性质：F 1－α(n 1，n 2)=1/F α(n 1，n 2)． 定理一： 设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ，σ2)的样本，则有),(~2 n N X σμ，其中X 是样本均值． 定理二： 设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ，σ2)的样 本，样本均值和样本方差分别记为 X ，2 S ，则有1． )1(~)1(22 2 --n S n χσ ；2．X 与2S 相互独立． 定理三： 设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ，σ2)的样 本，样本均值和样本方差分别记为 X ，2S ，则有 )1(~--n t n S X μ ． 定理四： 设X 1,X 2,…,X n 1 与Y 1,Y 2,…,Y n 2分别是来自N (μ1，σ12)和N (μ2，σ22 )的样本，且相互独立．设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为 X ，Y ，21S ，22S ，则有1．)1,1(~2122 212 221--n n F S S σσ． 2．当σ12 =σ22 =σ2 时， )2(~) ()(211 2 1121-++-----n n t n n S Y X w μμ， 其中2 )1()1(212 222112-+-+-=n n S n S n S w ，2 w w S S =． 第七章 参数估计 定义： 估计量：),,,(?21n X X X θ，估计值：),,,(?21n x x x θ，统称为估计． 矩估计法： 令)(l l X E =μ=l i n i l X n A 1 1=∑=(k l ,,2,1 =)(k 为未知数个数)联立方程组，求出估计θ ?． 设总体X 均值μ及方差σ2 都存在，则有 X A ==1?μ，21 2 212122)(11?X X n X X n A A i n i i n i -∑=-∑=-===σ． 最大似然 估计法： 似然函数：离散：);()(1 θθi n i x p L =∏=或连续：);()(1 θθi n i x f L =∏=，)(θL 化简可去掉与θ无关的因式项． θ ?即为)(θL 最大值，可由方程0)(d d =θθL 或0)(ln d d =θθ L 求得． 当多个未知参数θ1，θ1，…，θk 时：可由方程组 0d d =L i θ或0ln d d =L i θ（k i ,,2,1 =）求得． 最大似然估计的不变性：若u =u (θ)有单值反函数θ=θ(u )，则有)?(?θu u =，其中θ?为最大似然估计． 截尾样本取样： 定时截尾样本： 抽样n 件产品，固定时间段t 0内记录产品个体失效时间(0≤t 1≤t 2≤…≤t m ≤t 0)和失效产品数量． 定数截尾样本：抽样n 件产品，固定失效产品数量数量m 记录产品个体失效时间(0≤t 1≤t 2≤…≤t m )． 结尾样本最大似然估计： 定数截尾样本：设产品寿命服从指数分布X~e （θ），θ即产品平均寿命．产品t i 时失效概率P {t =t i }≈f (t i )d t i ， 寿命超过t m 的概率θm t m e t t F -=>}{，则)(}){()(1 i m i m n m m n t P t t F C L =-∏>=θ， 化简得)(1)(m t s m e L ---=θθθ， 由 0)(ln d d =θθL 得：m t s m )(?=θ，其中s (t m )=t 1+t 2+…+t m +(n －m )t m ，称为实验总时间． 定时截尾样本：与定数结尾样本讨论类似有s (t 0)=t 1+t 2+…+t m +(n －m )t 0，) (01 )(t s m e L ---=θ θθ，m t s ) (?0=θ ，． 无偏性： 估计量),,,(?21n X X X θ的)?(θE 存在且θθ=)?(E ，则称θ?是θ的无偏估计量． 有效性： ),,,(?211n X X X θ与),,,(?212n X X X θ都是θ的无偏估计量，若)?()?(21θθD D ≤，则1?θ较2 ?θ有效． 相合性： 设),,,(?21n X X X θθ的估计量，若对于任意0>ε有1}|?{|lim =<-∞ →εθθP n ，则称θ?是θ的相合估计量． 置信区间： αθθθ-≥<<1)},,,(),,,({2121n n X X X X X X P ，θ和θ分别为置信下限和置信上限，则),(θθ是 θ的一个置信水平为α-1置信区间，α-1称为置信水平，10<<α． 正态样本置信区间： 设X 1，X 2，…，X n 是来自总体X ~N (μ，σ2)的样本，则有μ的置 信区间： 枢轴量W W 分布 a ，b 不等式 置信水平 置信区间 )1,0(~N n X σμ-?ασμα-=?? ????????<-12z n X P ?)(2ασz n X ± 其中z α/2为 上α分位点 θ置信区间的求解： 1．先求枢轴量：即函数W =W (X 1，X 2，…，X n ；θ)，且函数W 的分布不依赖未知参数． 如上讨论标注 2．对于给定置信水平α-1，定出两常数a ，b 使P {a 布p 的区间估计： 样本容量n >50时，?--∞ →)1,0(~)1()(lim N p np np X n n { } ?-≈<--αα1)1() (2z p np np X n P 0)2()(2 22222<++-+X n p z X n p z n αα?若令22αz n a +=，)2(22αz X n b +-=，2X n c =，则有置信区间(a ac b b 2)4(2---，a ac b b 2)4(2-+-）． 单侧置信区间： 若αθθ-≥>1}{P 或αθθ-≥<1}{P ，称(θ，∞)或(∞-，θ)是θ的置信水平为α-1的单侧置信区 间． 正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限（置信水平为α-1） 待估 其他 枢轴量W 的分布 置信区间 单侧置信限 一 个正态总体 μ σ2已知 )1,0(~N n X Z σμ -= )(2ασ z n X ± ασ μz n X + =，ασ μz n X - = μ σ2未知 )1(~--= n t n S X t μ ?? ? ??±2αt n S X αμt n S X + =，αμt n S X -= σ2 μ未知 )1(~)1(2 2 2 2 --= n S n χσ χ ??? ? ??---2212222)1(,)1(ααχχS n S n 2122 )1(αχ σ--= S n ，2 2 2 )1(α χσS n -= 两 个 正态总 体 μ1－μ2 σ12，σ22 已知 ) 1,0(~) (2 22 1 21 21N n n Y X Z σ σ μμ+ ---= ??? ? ??+±-2221212n n z Y X σσα 2 22 1 2 1212 22 1 2 121n n z Y X n n z Y X σσμμσσμμα α+ --=-++-=- μ1－μ2 σ12=σ22 =σ2 未知 ) 2(~) ()(211 2 1121-++---= --n n t n n S Y X t w μμ () 1 2 112--+±-n n S t Y X w α2 w w S S = 1 2 11211 21121----+--=-++-=-n n S t Y X n n S t Y X w w ααμμμμ 2)1 ( )1 ( 2 1 2 2 2 2 1 1 2 - +- + - = n n S n S n S w σ12/σ22μ1，μ2 未知 )1 ,1 ( ~ 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 - - = n n F S S F σ σ?? ? ? ? ? -2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 , 1 α α F S S F S S α σ σ - = 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 F S S ， α σ σ F S S1 2 2 2 1 2 2 2 1= 单个总体X~N(μ，σ2)，两个总体X~N(μ1，σ12)，Y~N(μ2，σ22)． 第八章假设实验 定义：H0：原假设或零假设，为理想结果假设；H1：备择假设，原假设被拒绝后可供选择的假设． 第Ⅰ类错误：H0实际为真时，却拒绝H0．第Ⅱ类错误：H0实际为假时，却接受H0． 显著性检验：只对犯第第Ⅰ类错误的概率加以控制，而不考虑第Ⅱ类错误的概率的检验． P{当H0为真拒绝H0}≤α，α称为显著水平．拒绝域：取值拒绝H0．临界点：拒绝域边界． 双边假设检验：H0：θ=θ0，H1：θ≠θ0．右边检验：H0：θ≤θ0，H1：θ>θ0．左边检验：H0：θ≥θ0，H1：θ<θ0．正态总体均值、方差的检验法(显著性水平为α) 原假设H0备择假设H1检验统计量拒绝域 1 σ2已知μ≤μ0μ>μ0 n X Z σ μ - = z≥zαμ≥μ0μ<μ0z≤－zαμ=μ0μ≠μ0|z|≥zα/2 2 σ2未知μ≤μ0μ>μ0 n S X t0 μ - = t≥tα(n－1) μ≥μ0μ<μ0t≤－tα(n－1) μ=μ0μ≠μ0|t|≥tα/2(n－1) 3 σ1，σ2 已知 μ1－μ2≤δμ1－μ2>δ 2 2 2 1 2 1 n n Y X Z σ σ δ + - - = z≥zαμ1－μ2≥δμ1－μ2<δz≤－zα μ1－μ2=δμ1－μ2≠δ|z|≥zα/2 4 σ12=σ22 =σ2 未知 μ1－μ2≤δμ1－μ2>δ 1 2 1 1 - -+ - - = n n S Y X t w δ 2 )1 ( )1 ( 2 1 2 2 2 2 1 1 2 - + - + - = n n S n S n S w t≥tα(n1+n2－2) μ1－μ2≥δμ1－μ2<δt≤－tα(n1+n2－2) μ1－μ2=δμ1－μ2≠δ|t|≥tα/2(n1+n2－2) 5 μ未知σ2≤σ02σ2>σ02 2 2 2 )1 ( σ χ S n- = χ2≥χα2(n－1) σ2≥σ02σ2<σ02χ2≤χ21－α(n－1) σ2=σ02σ2≠σ02χ2≥χ2α/2(n－1)或χ2≤χ21－α/2(n－1) 6 μ1，μ2 未知 σ12≤σ22σ12>σ22 2 2 2 1 S S F= F≥Fα(n1－1，n2－1) σ12≥σ22σ12<σ22F≤F1－α(n1－1，n2－1) σ12=σ22σ12≠σ22 F≥Fα/2(n1－1，n2－1)或 F≤F1－α/2(n1－1，n2－1) 7 成对 数据 μD≤0 μD>0 n S D t D - = t≥tα(n－1) μD≥0 μD<0 t≤－tα(n－1) μD=0 μD≠0 |t|≥tα－2(n－1) 检验方法选择：主要是逐对比较法（成对数据）跟两个正态总体均值差的检验的区别，如上表即7跟3、4的区别，成对数据指两样本X和Y之间存在一一对应关系，而3和4一般指X和Y相互对立，但针对同一实体． 关系：置信区间与假设检验之间的关系：未知参数的置信水平为1－α的置信区间与显著水平为α的接受域相同．定义：施行特征函数(OC函数)：β(θ)=Pθ(接受H0)．功效函数：1－β(θ)．功效：当θ*∈H1时，1－β(θ*)的值． 考研英语作文万能模板考研英语作文万能模板函数 极限数列的极限特殊——函数的极限一般 极限的本质是通过已知某一个量自变量的变化趋势去研究和探索另外一个量因变量的变化趋势 由极限可以推得的一些性质局部有界性、局部保号性……应当注意到由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立 在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续函数在某点的极限等于函数在该点的取值 连续的本质自变量无限接近因变量无限接近导数的概念 本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限更简单的说法是变化率 微分的概念函数增量的线性主要部分这个说法有两层意思一、微分是一个线性近似二、这个线性近似带来的误差是足够小的实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它但是当误差不够小时近似的程度就不够好这时就不能说该函数可微分了不定积分导数的逆运算什么样的函数有不定积分 定积分由具体例子引出本质是先分割、再综合其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分然后再综合最后求极限当极限存在时近似成为精确 什么样的函数有定积分 求不定积分定积分的若干典型方法换元、分部分部积分中考虑放到积分号后面的部分不同类型的函数有不同的优先级别按反对幂三指的顺序来记忆 定积分的几何应用和物理应用高等数学里最重要的数学思想方法微元法 微分和导数的应用判断函数的单调性和凹凸性 微分中值定理可从几何意义去加深理解 泰勒定理本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容需要考虑两个问题一、这些多项式的系数如何求二、即使求出了这些多项式的系数如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度即还需要求出误差余项当余项随着项数的增多趋向于零时这种近似的精确度就是足够好的考研英语作文万能模板考研英语作文万能模板多元函数的微积分将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数 最典型的是二元函数 极限二元函数与一元函数要注意的区别二元函数中两点无限接近的方式有无限多种一元函数只能沿直线接近所以二元函数存在的要求更高即自变量无论以任何方式接近于一定点函数值都要有确定的变化趋势 连续二元函数和一元函数一样同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等导数上册中已经说过导数反映的是函数在某点处的变化率变化情况在二元函数中一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关有可能沿不同方向会有不同的变化率这样引出方向导数的概念 沿坐标轴方向的导数若存?诔浦际?通过研究发现方向导数与偏导数存在一定关系可用偏导数和所选定的方向来表示即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况高阶偏导数若连续则求导次序可交换 微分微分是函数增量的线性主要部分这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小若是则微分存在 仅仅有偏导数存在不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小即偏导数存在不一定有微分存在若偏导数存在且连续则微分一定存在 极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂 极值若函数在一点取极值且在该点导数偏导数存在则此导数偏导数必为零 得数学者得天下，数学的重要性不言自明，一定要好好准备，我高中，大学数学底子还不错，自己也努力了，感觉数学里面最容易的还是线性代数和概率论和数理统计，因为题型有限，变化不大，对比历年真题就会发现。真正难的是高数，因为花样太多了，虽然考点有限，但是怎么个综合法，你就不知道了，所以高数题目要多见识，今年考研高数证明题我就看过很类似的，所以很快就做出来了，没见过的同学都不知道怎么下手。我今年数学考得不太好的 原因是我线性代数和概率论各算错一道题目，后悔死了，所以大家在准备考研时，别忘记提 醒自己时刻细心做题。数学的辅导书我很反感陈文登的，比较支持李永乐的，蔡遂林的也不错。 我数学资料做了一大批。要不我把做过的辅导书点评下，仅供参考！ 2008数学大纲解析：由于2009没出版，只能用2008的，这是本好书，都是真题，分析透彻，建议买。 轻轻松松考高分线代概率历年真题分类解析——李永乐，这本书对历年真题对比分析， 让你知道考研真正考什么？该准备什么。强烈推荐。 2006考研数学历年真题解析与指导--高教，图书馆借的，现在不出版了，也是分析真题, 像大纲解析，如果图书馆有的话，可以看看。 2009数学考试分析--高教，近3年的试题分析，数一到数四都包括，花2天时间琢磨出题的变化，觉得不错，你会发现一些规律。 武钟祥的历年真题分析，这是我认为真题分析最全面最好的书，里面涵盖了所以年份的试题，数一到数四的都有，大家要知道，数学题目经常是今年数学一考了，明年后年可能数学三考，只是变换出题的方式，大家不要只看数学一的题目。强烈推荐。其实上面这么多 书我觉得最好的还是这本，有一本就够了。 线性代数辅导讲义--李永乐，这本书要多看几遍，越看越好，越看越懂，然后做真题。强烈推荐。 概率论与数理统计辅导讲义--龚兆仁，还可以，有些地方有些繁琐，有些根本不会考的也作了详细介绍。 数学基础过关660题--李永乐。不是很必要买，做了没什么感觉。 陈文登的复习指南，我不推荐买，原因就不说了，你们在网上搜搜看评价，本人用过，的确不怎么样。 李永乐的全书，贴合实际，但是稍显繁琐，很多同学到了11月底才看完，根本没时间去想，思 考。感觉知识点是全，是细，但是你记起来就不容易了。数学的记不像政治，数学 要练习，多思考才能有体会，才能记得深刻，最后才能灵活用。如果买全书的话，要注意时 考研数学考点与题型归类分析总结 1高数部分 1.1高数第一章《函数、极限、连续》 求极限题最常用的解题方向： 1.利用等价无穷小； 2.利用洛必达法则 型和 ∞ ∞ 型直接用洛必达法则 ∞ 0、0∞、∞1型先转化为 型或 ∞ ∞ 型，再使用洛比达法则； 3.利用重要极限，包括1 sin lim = → x x x 、e x x x = + → 1 ) 1( lim、e x x x = + ∞ → ) 1(1 lim； 4.夹逼定理。 1.2高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》 第三章《不定积分》提醒：不定积分?+ =C x F dx x f) ( ) (中的积分常数C容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样加深印象：定积分?dx x f) (的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是?+ =C x F dx x f) ( ) (中的那个C,漏掉了C也就漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章： 对于?-a a dx x f) (型定积分，若f(x)是奇函数则有?-a a dx x f) (=0； 若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f) (=2?a dx x f ) (； 对于?20)( π dx x f型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t- = 2 π 的代换是常用方法。 所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质0 = ?-a a奇函数、? ?= - a a a0 2偶函数 偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1.3高数第五章《中值定理的证明技巧》 用以下逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式A?E、(A B)?C、(C D E)?F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D，求证F。 为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。 正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的A?E就可能有A?H、A?(I K)、(A B) ?M等等公式同时存在， 2016考研数学怎么复习_考研数学各知识点复习资料 2016考研数学复习资料——向量和线性方程组部分复习建议 向量和线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下,行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节,而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立,可以看作是对核心内容的扩展。向量和线性方程组的内容联系很密切,很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系,因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解,同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。 这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式——矩阵形式和向量形式;二是线性方程组和向量以及其它章节的各种内在联系。 (1齐次线性方程组和向量线性相关、无关的联系 齐次线性方程组可以直接看出一定有解,因为当变量都为零时等式一定成立——印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。 齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况:①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时,是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立,而当齐次线性方程组有非零解时,存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量和线性方程组在此又产生了联系——齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。 (2齐次线性方程组的解和秩和极大无关组的联系 同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过“秩→线性相关、无关→线性方程组解的判 高数部分考研必备：超经典的考研数学考点与 题型归类分析总结 1、1 高数第一章《函数、极限、连续》 1、2 求极限题最常用的解题方向： 1、利用等价无穷小； 2、利用洛必达法则，对于型和型的题目直接用洛必达法则，对于、、型的题目则是先转化为型或型，再使用洛比达法则； 3、利用重要极限，包括、、； 4、夹逼定理。 1、3 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分中的积分常数C容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分的结果可以写为 F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于型定积分，若f(x)是奇函数则有=0；若f(x)为偶函数则有=2；对于型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质、。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1、4 高数第五章《中值定理的证明技巧》由本章《中值定理的证明技巧》讨论一下证明题的应对方法。用以下这组逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式AE、(AB) C、(CDE)F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出 A、 B、D，求证F成立。为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类： 1、已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的AE就可能有AH、A(IK)、(AB) 考研数学十年真题题型总结！ 高等数学（①10年考题总数：117题②总分值：764分③占三部分题量之比重：53%④占三部分分值之比重：60%第一章函数、极限、连续（①10年考题总数：15题②总分值：69分③占第一部分题量之比重：12%④占第一部分分值之比重：9%）|考研|考研网:y/f S,Z H \%\题型 1 求1∞型极限（一（1），2003） 题型 2 求0/0型极限（一（1），1998；一（1），2006）|考研|考研网 D!V \ k [ g u 题型 3 求∞-∞型极限（一（1），1999） 题型 4 求分段函数的极限（二（2），1999；三，2000） 题型 5 函数性质（奇偶性，周期性，单调性，有界性）的判断（二（1），1999；二（8），2004）|考研|考研网 n1g:z1~ q9`*M m 题型 6 无穷小的比较或确定无穷小的阶（二（7），2004） 题型 7 数列极限的判定或求解（二（2），2003；六（1），1997；四，2002；三（16），2006）https://www.doczj.com/doc/9d5451809.html, u6t I+N+v r ` 题型 8 求n项和的数列极限（七，1998） 题型 9 函数在某点连续性的判断（含分段函数）（二（2），1999） 第二章一元函数微分学考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕 X I!P R5m;i$^ U w （①10年考题总数：26题②总分值：136分③占第一部分题量之比重：22%④占第一部分分值之比重：17%）5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等 x*x F4as.E%s&Z.e 题型 1 与函数导数或微分概念和性质相关的命题（二（7），2006）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕#G:w X K1V S O R 题型 2 函数可导性及导函数的连续性的判定（五，1997；二（3），2001；二（7），2005） 题型 3 求函数或复合函数的导数（七（1），2002）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕.m!n;l y(`*O.O u 题型 4 求反函数的导数（七（1），2003） 题型 5 求隐函数的导数（一（2），2002） n8U C G+J k B.R3w 题型 6 函数极值点、拐点的判定或求解（二（7），2003） 题型 7 函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定（二（1），2001；二（3），2002） 题型 8 函数在某点可导的判断（含分段函数在分段点的可导性的判断）（二（2），1999）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕/E+?;g CW u$Q 题型 9 求一元函数在一点的切线方程或法线方程（一（3），1997；四， 1：数列极限 手册P13 1.01：求极限时候，函数中有阶乘且趋近于无穷大，要用级数法，即证明函数是收敛的（可以用根值，比值），故趋近于无穷大为0. 1.02：已知0x lim ()x f x A ->=，则()f x A α=+，0 x lim 0x α->= 1.1：奇+奇=奇，偶+偶=偶， ()==奇偶奇奇，（奇）偶，偶偶偶 1.2：f(x)为周期函数，0x =(t)dt x F f ?（），不一定是周期函数，但是f （x ）如果是奇函数，这个就成立了。且为奇函 数时候。00(t)dt (t)dt x x f f -=?? 1.3：判断函数有无上下界，用绝对值放缩或导数最大最小，文登P3 1.305：奇函数的原函数一定是偶函数。 1.31：()lim ()n f x g x ->∞ =，一般把g （x ）给分段 1.4：证明连续：00->0 lim[f(x +)-f(x )]x x ?? 1.5： 22sin(1)(1)sin[(1)]n n n n ππ+=-+-这个让原本不是交错级数的变成了交错级数。 1.6： xlny=xln （y-1+1),于是等价无穷小于x （y-1）前提是y 趋近于1 1.7：20f(x)-g(x),0....o x 37 式出现可以对二者使用迈克劳林，然后消去相同项，注意不能消去（）文登P 1.8：测试函数： （1）x 大于0,为1，小于0为-1 （有界不收敛） （2）x=sinn ，y=1/n （x 发散，y 收敛，无穷大时xy=0） （3）x （n ）在n 为奇数时为n ，为偶数时为0，y （n ）反过来，xy 都是无界，但是xy=0 1.9：文登P26.1.55 P23.1.49 1.91：证连续就是要证，左值=右值=等于该点值，证可导是左导数等于右导数即可。 1.92：看到导数大于小于0的时候，不仅有递增递减，还可以写出导数的极限表达式，然后利用保号性可以通过极限分式下半部的正负性决定上半部的正负性。注意在x0的左右两个领域内，0x x -正负不一，而决定 0()()f x f x -的正负， 模拟卷1.1 1.93：对于一阶导数的方程，由一阶导数方程的24b ac -<0知道一阶导数恒大于0或者恒小于0，知原函数恒增或恒减 模拟卷1.4 1.94：不连续点求导用极限求 模拟卷3.9 2：收敛数列三性质（唯一性，有界性，保号性）手册P14 3：函数极限 手册P15 2019考研数学三知识点总结 考研数学复习一定要打好基础，对于重要知识点一定要强化练习，深刻巩固。整合了考研数学三在高数、线性代数及概率各部分的核心知识点、考察题型及重要度。 2019考研数学三考前必看核心知识点 科目大纲章节知识点题型 高等数学函数、极限、 连续 等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限 函数连续的概念、函数间断点的类型判断函数连续性与间断点的类型 一元函数微 分学 导数的定义、可导与连续之间的关系 按定义求一点处的导数，可导与连 续的关系 函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值 闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格 朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理 微分中值定理及其应用 一元函数积 分学 积分上限的函数及其导数变限积分求导问题 定积分的应用用定积分计算几何量 多元函数微 积分学 隐函数、偏导数、全微分的存在性以及它们 之间的因果关系 函数在一点处极限的存在性，连续 性，偏导数的存在性，全微分存在 性与偏导数的连续性的讨论与它们 之间的因果关系 二重积分的概念、性质及计算二重积分的计算及应用 无穷级数 级数的基本性质及收敛的必要条件，正项级 数的比较判别法、比值判别法和根式判别 法，交错级数的莱布尼茨判别法 数项级数敛散性的判别 常微分方程 一阶线性微分方程、齐次方程，微分方程的 简单应用 用微分方程解决一些应用问题 线性行列式行列式的运算计算抽象矩阵的行列式 代数 矩阵 矩阵的运算求矩阵高次幂等 矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题 向量向量组的线性相关及无关的有关性质及判 别法 向量组的线性相关性线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示 线性方程组齐次线性方程组的基础解系和通解的求法求齐次线性方程组的基础解系、通 解 矩阵的特征值和特征向 量实对称矩阵特征值和特征向量的性质，化为 相似对角阵的方法 有关实对称矩阵的问题相似变换、相似矩阵的概念及性质相似矩阵的判定及逆问题 二次型 二次型的概念求二次型的矩阵和秩合同变换与合同矩阵的概念判定合同矩阵 概率论与数理统计随机事件和 概率 概率的加、减、乘公式事件概率的计算 随机变量及 其分布 常见随机变量的分布及应用常见分布的逆问题 多维随机变 量及其分布 两个随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布随机变量的独立性和不相关性随机变量的独立性 随机变量 的数字特征 随机变量的数学期望、方差、标准差及其性 质，常用分布的数字特征 有关数学期望与方差的计算 大数定律和 中心极限定 理 大数定理用大数定理估计、计算概率 数理统计的 基本概念 常用统计量的性质求统计量的数字特征 参数估计点估计、似然估计点估计与似然估计的应用 考研数学三大题型答题技巧总结 考研数学的题量较大，时间却是有限的，想要在有限的时间内取得最高的分数，除了自己的实力之外，应用答题技巧是十分必要的。按照科学的答题顺序作答，对最后成绩也是很有好处的! 一、选择题答题技巧 在做选择题的时候大家还是有很多方法可选的，常用的方法有：代入法、排除法、图示法、逆推法、反例法等。 代入法：也就是说将备选的一个答案用具体的数字代入，如果与假设条件或众所周知的事实发生矛盾则予以否定。 演算法：它适用于题干中给出的条件是解析式子。 图形法：它适用于题干中给出的函数具有某种特性，例如奇偶性、周期性或者给出的事件是两个事件的情形，用图示法做就显得格外简单。 排除法：排除了三个，第四个就是正确的答案，这种方法适用于题干中给出的函数是抽象函的情况。 反推法：所谓逆推法就是假定被选的四个答案中某一个正确，然后做反推，如果得到的结果与题设条件或尽人皆知的正确结果矛盾，则否定这个备选答案。 如果考试的时候大家发现哪种方法都不奏效的话，大家还可以选择猜测法，至少有25%的正确性。 二、填空题答题技巧 填空题的答案是唯一的，做题的时候给出最后的结果就行，不需要推导过程，同样也是答对得满分，答错或者不答得0分，不倒扣分。 这一部分的题目一般是需要一定技巧的计算，但不会有太复杂的计算题。题目的难度与选择题不相上下，也是适中。 填空题总共有6个，一般高数4个，线代和概率各1个，主要考查的是考研数学中的三基本：基本概念、基本原理、基本方法以及一些基本的性质。做这24分的题目时需要认真审题，快速计算，并且需要有融会贯通的知识作为保障。 三、解答题的答题技巧 解答主观大题目一定要学会放弃不会做的题，每道题思考时间一般不应超过10分钟，否则容易导致概率和线性代数等部分的题目无法解答，不要为了一道题目耽误了后面20～30分的内容。 2 0 19 考研数学三知识点总结 考研数学复习一定要打好基础，对于重要知识点一定要强化练习，深刻巩固。整合了考研数学三在高数、线性代数及概率各部分的核心知识点、考察题型及重要度。 2019考研数学三考前必看核心知识点 知识点口诀，掌握解题技巧 1、函数概念五要素，定义关系最核心 分段函数分段点，左右运算要先行。 变限积分是函数，遇到之后先求导。 奇偶函数常遇到，对称性质不可忘。 单调增加与减少，先算导数正与负。 正反函数连续用，最后只留原变量。 一步不行接力棒，最终处理见分晓。 极限为零无穷 小，乘有限仍无穷小。 幂指函数最复杂，指数对数一起上。 、待定极限七类型，分层处理洛必达。 、数列极限洛必达，必须转化连续型。 、数列极限逢绝境，转化积分见光明。 、无穷大比无穷大，最高阶项除上下。 、 n 项相加先合并，不行估计上下界。 、变量替换第一宝，由繁化简常找它。 、递推数列求极限，单调有界要先证， 两边极限一 起上，方程之中把值找。 、函数为零要论证，介值定理定乾坤。 、切线斜率是导数，法线斜率负倒数。 、可导可微互等价，它们都比连续强。 、有理函数要运算，最简分式要先行。 、高次三角要运算，降次处理先开路。 、导数为零欲论证，罗尔定理负重任。 23 、函数之差化导数，拉氏定理显神通。 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24、导数函数合（组合）为零，辅助函数用罗尔。 25、寻找En无约束，柯西拉氏先后上。 26、寻找En有约束，两个区间用拉氏。 27、端点、驻点、非导点，函数值中定最值。 28、凸凹切线在上下，凸凹转化在拐点。 29、数字不等式难证，函数不等式先行。 30、第一换元经常用，微分公式要背透。 31、第二换元去根号，规范模式可依靠。 32、分部积分难变易，弄清u、v是关键。 33、变限积分双变量，先求偏导后求导。 34、定积分化重积分，广阔天地有作为。 35、微分方程要规范，变换，求导，函数反。 36、多元复合求偏导，锁链公式不可忘。 37、多元隐函求偏导，交叉偏导加负号。 38、多重积分的计算，累次积分是关键。 39、交换积分的顺序，先要化为重积分。 40、无穷级数不神秘，部分和后求极限。 41、正项级数判别法，比较、比值和根值。 42、幕级数求和有招，公式、等比、列方程。 2019考研数学各科核心考点梳理 2021考研数学各章节备考基础知识点盘点 第一章函数、极限与连续 1、函数的有界性 2、极限的定义(数列、函数) 3、极限的性质(有界性、保号性) 4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界有极限定理) 5、函数的连续性 6、间断点的类型 7、渐近线的计算 第二章导数与微分 1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数) 2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程高阶导数) 3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二)) 第三章中值定理 1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存 在定理) 2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西) 3、积分中值定理 4、泰勒中值定理 5、费马引理 第四章一元函数积分学 1、原函数与不定积分的定义 2、不定积分的计算(变量代换、分部积分) 3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二)) 4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理) 5、定积分的计算 6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力) 7、变限积分(求导) 8、广义积分(收敛性的判断、计算) 第五章空间解析几何(数一) 1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积) 2、直线与平面的方程及其关系 3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法 第六章多元函数微分学 1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义 2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系 高等数学 (数二 > 一. 重点知识标记 高等数学 科目大纲章节知识点题型重要度等级 高等数学 第一章函数、极限、连续 1 . 等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限★★★★★ 2. 函数连续的概念、函数间断点的类型 3 . 判断函数连续性与间断点的类型★★★ 第二章一元函数微分学 1. 导数的定义、可导与连续之间的关系 按定义求一点处的导数，可导与连续的关系★★★★ 2 . 函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★ 3. 闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用★★★★★ 第三章一元函数积分学 1 . 积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★ 2. 有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分 计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分★★ 第四章多元函数微分学 1. 隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系 2. 函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连 续性的讨论与它们之间的因果关系★★ 3 . 多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分★★★★★ 第五章多元函数积分学 1.二重积分的概念、性质及计算 2.二重积分的计算及应用★★ 第六章常微分方程 1.一阶线性微分方程、齐次方程， 2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题★★★★ 一、函数、极限、连续部分： 极限的运算法则、极限存在的准则( 单调有界准则和夹逼准则 >、未定式的极限、主要的等价无穷 小、函数 间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质( 尤其是介值定理 >，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。 二、微分学部分： 主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。 一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。微分中值定理也是重点掌握的内容，这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，这种类型题目的技巧性比较强，应多加练习。函数的凹凸性、拐点及渐近 线 ，也是一个重点内容，在近几年考研中常出现。 多元函数微分学，掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系，重点掌握各种函数求偏导的方法。多元函数的应用也是重点，主要是条件极值和最值问 题 。 三、积分学部分： 一元函数积分学 一个重点是不定积分与定积分的计算。在计算过程中，会用 到 不定积分 / 定积分的基本性质、换元积分法、 分部积分法。其中，换元积分法是重点，会涉及到三角函数换元、倒代换，如何准确地进行换元从而得到最终 答案，却是需要下一番工夫的。定积分的应用同样是重点，常考的是面积、体积的求解，多练掌握解题技巧。对于定积分在物理上的应用( 数二有要求 >，如功、引力、压力、质心、形心等，近几年考试基本都没有涉及， 考生只要记住求解公式即可。 多元函数积分学的一个重点是二重积分的计算，其中要用到二重积分的性质， 以及 直角坐标与极坐标的相 互转化。这部分内容，每年都会考到，考生要引起重视，需要明白的是，二重积分并不是难点。 四、微分方程： 这里有两个重点：一阶线性微分方程。二阶常系数齐次/ 非齐次线性微分方程。 线性 第一章行列式 1.行列式的运算 2.计算抽象矩阵的行列式★★★ 第二章矩阵 1.矩阵的运算 2.求矩阵高次幂等★★★ 3. 矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题★★★★★ 第三章向量 一、一元函数微分学 求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论; 利用洛比达法则求不定式极限; 讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式; 利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数; 几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间; 利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。 二、一元函数积分学 计算题：计算不定积分、定积分及广义积分; 关于变上限积分的题：如求导、求极限等; 有关积分中值定理和积分性质的证明题; 定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等; 综合性试题。 三、函数、极限与连续 求分段函数的复合函数; 求极限或已知极限确定原式中的常数; 讨论函数的连续性，判断间断点的类型; 无穷小阶的比较; 讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。 四、向量代数和空间解析几何 计算题：求向量的数量积，向量积及混合积; 求直线方程，平面方程; 判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角; 建立旋转面的方程; 与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。 五、多元函数的微分学 判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续; 求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数; 求二元、三元函数的方向导数和梯度; 求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习; 多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。 六、多元函数的积分学 二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序; 第一型曲线积分、曲面积分计算; 第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用; 第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用; 梯度、散度、旋度的综合计算; 重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。 七、无穷级数 判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛; 2019考研数学三知识点总结考研数学复习一定要打好基础，对于重要知识点一定要强化练习，深刻巩固。整合了考研数学三在高数、线性代数及概率各部分的核心知识点、考察题型及重要度。 2019考研数学三考前必看核心知识点 知识点口诀，掌握解题技巧。 1、函数概念五要素，定义关系最核心。 2、分段函数分段点，左右运算要先行。 3、变限积分是函数，遇到之后先求导。 4、奇偶函数常遇到，对称性质不可忘。 5、单调增加与减少，先算导数正与负。 6、正反函数连续用，最后只留原变量。 7、一步不行接力棒，最终处理见分晓。 8、极限为零无穷小，乘有限仍无穷小。 9、幂指函数最复杂，指数对数一起上。 10、待定极限七类型，分层处理洛必达。 11、数列极限洛必达，必须转化连续型。 12、数列极限逢绝境，转化积分见光明。 13、无穷大比无穷大，最高阶项除上下。 14、n项相加先合并，不行估计上下界。 15、变量替换第一宝，由繁化简常找它。 16、递推数列求极限，单调有界要先证， 两边极限一起上，方程之中把值找。 17、函数为零要论证，介值定理定乾坤。 18、切线斜率是导数，法线斜率负倒数。 19、可导可微互等价，它们都比连续强。 20、有理函数要运算，最简分式要先行。 21、高次三角要运算，降次处理先开路。 22、导数为零欲论证，罗尔定理负重任。 23、函数之差化导数，拉氏定理显神通。 24、导数函数合(组合)为零，辅助函数用罗尔。 25、寻找ξη无约束，柯西拉氏先后上。 26、寻找ξη有约束，两个区间用拉氏。 27、端点、驻点、非导点，函数值中定最值。 28、凸凹切线在上下，凸凹转化在拐点。 29、数字不等式难证，函数不等式先行。 30、第一换元经常用，微分公式要背透。 31、第二换元去根号，规范模式可依靠。 32、分部积分难变易，弄清u、v是关键。 33、变限积分双变量，先求偏导后求导。 34、定积分化重积分，广阔天地有作为。 35、微分方程要规范，变换，求导，函数反。 36、多元复合求偏导，锁链公式不可忘。 37、多元隐函求偏导，交叉偏导加负号。 38、多重积分的计算，累次积分是关键。 39、交换积分的顺序，先要化为重积分。 40、无穷级数不神秘，部分和后求极限。 41、正项级数判别法，比较、比值和根值。 42、幂级数求和有招，公式、等比、列方程。 2018考研数学所有知识点快速总结考研数学难倒了一大片考研党，这可如何是好？别担心，以下是小编找的数学公式，考研党们可以边记公式，边理解公式，理解了这些公式，记就没有那么难了。 考研数学中的公式、定理可以说数不胜数，利用公式定义可以条理清晰地将知识点挑拣整合起来，既方便记忆又能在记忆环节中深化理解知识点内容。 为此，小编找到了考研数学中的知识点口诀分享给大家，希望小伙伴儿们能在熟读背诵的过程中思考掌握考研数学的解题技巧，将考研数学的复习备考工作系统高效地进行下去，下面就一起来看看吧。 1、函数概念五要素，定义关系最核心。 2、分段函数分段点，左右运算要先行。 3、变限积分是函数，遇到之后先求导。 4、奇偶函数常遇到，对称性质不可忘。 5、单调增加与减少，先算导数正与负。 6、正反函数连续用，最后只留原变量。 7、一步不行接力棒，最终处理见分晓。 8、极限为零无穷小，乘有限仍无穷小。 9、幂指函数最复杂，指数对数一起上。 10、待定极限七类型，分层处理洛必达。 11、数列极限洛必达，必须转化连续型。 12、数列极限逢绝境，转化积分见光明。 13、无穷大比无穷大，最高阶项除上下。 14、n项相加先合并，不行估计上下界。 15、变量替换第一宝，由繁化简常找它。 16、递推数列求极限，单调有界要先证，两边极限一起上，方程之中把值找。 17、函数为零要论证，介值定理定乾坤。 18、切线斜率是导数，法线斜率负倒数。 19、可导可微互等价，它们都比连续强。 20、有理函数要运算，最简分式要先行。 21、高次三角要运算，降次处理先开路。22;导数为零欲论证，罗尔定理负重任。 23、函数之差化导数，拉氏定理显神通。 考研数学数列极限内容概括及考点总结 来源：文都教育 数列极限的概念和判断极限存在的夹逼准则和单调有界准则也是考研数学的重要考点，下面文都考研数学教研室老师为大家总结了数列极限部分的知识和考点题型，希望对同学们有帮助。 一、数列极限 1. 数列极限的定义 设{}n a 为一数列，若存在常数A ，对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<-||A a n ，称A 为数列{}n a 的极限，或称数列 {}n a 收敛于A ，记为A a n n =∞ →lim 。 2. 收敛数列的性质 （1）收敛数列极限存在且唯一. （2）收敛数列必为有界数列. （3）收敛数列的保号性. 3. 极限存在准则 （1）夹逼准则 如果数列{}{}{},,n n n a b c 满足下列条件： 从某项起，即0n N ?∈，当0n n >时有，n n n c b a ≤≤，且A c a n n n n ==∞ →∞ →lim lim ， 则A b n n =∞ →lim 。 （2）单调有界准则 单调增加（或单调减少）且有上界（或有下界）的数列{}n x 必有极限。 【注】此准则只给出了极限的存在性，并未给出极限是多少。此时一般是在判定了“极限存在”以后通过数列的递推表示，在等式两边取极限得到。 4. 重要结论 （1）若lim lim n n n n a a a a →∞ →∞ =?=. （2）lim 0lim 0 n n n n a a →∞ →∞ =?=. （3）221lim lim ,lim n n n n n n a a a a a a -→∞ →∞ →∞ =?==. 【考点一】数列极限的概念与性质 例1设 ().lim 0,n n n n n x a y y x a →∞ ≤≤-=且为常数，则数列 {}n x 和{}n y （ ） 。 （A ）都收敛于a （B ）都收敛，但不一定收敛于a （C ）可能收敛，也可能发散 （D ）都发散 例2设 (){}{} .lim 0,,n n n n n n n n x a y y x x y →∞ ≤≤-=且和 {}n a 均为数列，则lim n n a →∞ （ ）。 （A ）存在且等于0 （B ）存在但不一定等于0 （C ）一定不存在 （D ）不一定存在 【考点二】（1）单调有界数列必有极限. （2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为+∞. （3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为-∞. 例1 设()()1103,31,2, n n n x x x x n +<<=-=，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限 例2 设 ()2 0110,20,1,2, n n n x x x x n +-<<=+=，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限 【考点三】夹逼准则 【思路提示】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能的大，而“放大”应该是尽可能的小，在这种情况下，如果仍然“夹不住”那么就说明夹逼准则不适用，改方法。 【考点四】数列连加和的极限 例1. 求极限 111 lim 1111212n n →∞ ? ?+++ ?++++ +?? 高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π 考验数学十年真题题型总结！ 高等数学（①10年考题总数：117题②总分值：764分③占三部分题量之比重：53%④占三部分分值之比重：60%第一章函数、极限、连续（①10年考题总数：15题②总分值：69分③占第一部分题量之比重：12%④占第一部分分值之比重：9%）|考研|考研网 \%\ 题型 1 求1∞型极限（一（1），20**） 题型 2 求0/0型极限（一（1），1998；一（1），20**）|考研|考研网\ k[ 题型 3 求∞-∞型极限（一（1），1999） 题型 4 求分段函数的极限（二（2），1999；三，20**） 题型 5 函数性质（奇偶性，周期性，单调性，有界性）的判断（二（1），1999；二（8），20**）|考研|考研网n11~ q9`* 题型 6 无穷小的比较或确定无穷小的阶（二（7），20**） 题型 7 数列极限的判定或求解（二（2），20**；六（1），1997；四，20**；三（16），20**）.54326 r ` 题型 8 求n项和的数列极限（七，1998） 题型 9 函数在某点连续性的判断（含分段函数）（二（2），1999） 第二章一元函数微分学考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,法硕5$^ U w （①10年考题总数：26题②总分值：136分③占第一部分题量之比重：22%④占第一部分分值之比重：17%）5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等 x*4 题型 1 与函数导数或微分概念和性质相关的命题（二（7），20**）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,法硕11 R 题型 2 函数可导性及导函数的连续性的判定（五，1997；二（3），20**；二（7），20**） 题型 3 求函数或复合函数的导数（七（1），20**）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,法硕 y(`* 题型 4 求反函数的导数（七（1），20**） 题型 5 求隐函数的导数（一（2），20**） n83w 题型 6 函数极值点、拐点的判定或求解（二（7），20**） 题型 7 函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定（二（1），20**；二（3），20**） 题型 8 函数在某点可导的判断（含分段函数在分段点的可导性的判断）（二（2），1999）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,法硕$Q考研数学知识点总结(不看后悔)
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