线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?
3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
线性代数知识点总结 第一章行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 勺L =力（jW'g 叫?叫 （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转宜行列式D = D r ） ② 行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③ 常数k 乘以行列 式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行 推论：行列式中某一行 ④ 行列式具有分行 ⑤ 将行列式某一行 行列式依行（列）展开：余子式M”、代数余子式州=（-1）砒 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 0 非齐次线性方程组：当系数行列式￡＞工0时，有唯一解：Xj= +（j = l 、2......n ） 齐次线性方程组 ：当系数行列式D = 1^0时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式: 5 铅 a l3 5 ?21 ①转置行列式: ?21 a 22 U 23 "12 ^22 °32 Cl 3\ Cl 32 °33 勺3 ?23如 ②对称行列式:gj = 5 ③反对称行列式:勺= ~a ji 奇数阶的反对称行列式值为零 务2 a !3 ④三线性行列式: “22 0 方法：用?“22把"21化为零，。。化为三角形行列式 0 "33 （列） （列） 成比例，则行列式值为零； 元素全为 零，行列式为零。 可加性 的k 倍加到另一行（列）上，值不变
⑤上（下）三角形行列式:
行列式运算常用方法（主要） 行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例） 化三角形行列式法、降阶法.升阶法、归纳法、 第二章矩阵 矩阵的概念：A 〃伤（零矩阵、负矩阵、行矩阵.列矩阵.n 阶方阵、相等矩阵） 矩阵的运算：加法（同型矩阵） ------- 交换、结合律 数乘kA = （ka ij ）m .n ---- 分配、结合律 注意什么时候有意义 一般AB*BA,不满足消去律：由AB=O,不能得A=0或B=0 (M)r = kA T (AB)T = B T A r (反序定理) 方幕：A kl A kz =A k ^kl 对角短阵：若 AB 都是N 阶对角阵，k 是数，贝ij kA 、A+B 、 A3都是n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数（若……） 单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵 阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 制是0 数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素 逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的. 力"=3（非奇异矩阵、奇异矩阵IAI=O.伴随矩阵） 初等变换1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 仔加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍乘阵倍加阵） （I o\ 等价标准形矩阵r O O 乘法 转置(A T )T = A (A + B)T =A r +B 1 几种特殊的矩阵: 分块矩阵：加法,
线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行(列)展开公式求代数余子式 已知行列式41 234334461 5671122 D ==-,试求4142A A +与4344A A +、 三、利用多项式分解因式计算行列式 1.计算2211 23122313 1513 19x D x -=-、 2.设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x =,则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1、设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2、设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1||2 A =,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-???? 3、设A 就是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式
||.A 4、设矩阵210120001A ????=?????? ,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5、设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1、若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为1111,,,2345 ,则行列式1||________.B E --= 2、设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1、设,,A B A B +都就是可逆矩阵,求:111().A B ---+ 2、设0002100053123004 580034600A ????????=???????? ,求1.A -
线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:
《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析 第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。 矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。 是同阶方阵，则有： 若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。
⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。 若为阶方阵，则下列结论等价 可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。 用初等行变换法求逆矩阵： 用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵） 可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。 将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。 典型例题解析 例1 设均为3阶矩阵，且，则。 解：答案：72 因为，且
所以 例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。 解：答案：A 因为，所以A可进行。 关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。 关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 例3 已知 求。 分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。 解：因为 得。
例4 设矩阵 求。 解：方法一：伴随矩阵法 可逆。 且由 得伴随矩阵 则=
方法二：初等行变换法 注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。 例4 设矩阵 求的秩。 分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。 解： 。
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则
7、n阶（n≥2）德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：
（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）
线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
考研线性代数重点内容和典型题型 线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对xx年考研的同学们学习有帮助。 行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等）的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx 年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。 矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、
伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。xx 年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）.主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。 特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、
试题中得以体现。行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握。常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数 的行列式的计算。 矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础。矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终。这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程。涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题。这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题。常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程
组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解。常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容。本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。重点内容包括：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念;了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法。重点题型有：二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。
A = C 1,： 2,： 3), B =(：1 ： 2 ： 3, j 2 24 3√ 1 3： 2 9 3) 线性代数 第一章行列式 典型例题 、利用行列式性质计算行列式 、按行（列）展开公式求代数余子式 四、抽象行列式的计算或证明 1. 设四阶矩阵 A=[2>,3 2,4 3, 4]，B=「,2 2,3 3,4 4],其中2, 3, 4 均为四 维列向量，且已知行列式|A| = 2,|B|=-3,试计算行列式|A - B|. A 1 2. 设A 为三阶方阵，A 为A 的伴随矩阵，且IAI=',试计算行列式 2 "（3A ） j -2A * 0〕 2 L :O AT 3. 设A 是n 阶（n 工2）非零实矩阵，元素a ij 与其代数余子式A j 相等，求行列式|A|. 2 1 0 4. 设矩阵 A= 1 2 0 ,矩阵 B 满足 ABA * = 2BA*+E ,则 |B|= ________ . '0 0 1 J 5. 设＞1√?2, : 3均为3维列向量，记矩阵 已知行列式D 4 = 1 3 1 1 2 3 5 1 3 4 6 2 4 4 7 2 =-6 ，试求 A 41 A 42 与 A 43 ' A 44. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1 1 、t W 1 2 — X 1 ?计算D = 1 5 1 9-x 2 2 ?设 f(x)= X b b b b X C C C C X d d d ,则方程f (X) =O 有根X = d
如果I A ∣=1，那么| B |= __ . 五、n阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1. 若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为丄丄,则行列式 2 3 4 5 1 IB -E∣= _________ . 2. 设A为四阶矩阵，且满足|2E ? A∣=0,又已知A的三个特征值分别为-1,1,2，试计算行列式|2A 3E |. 第二章矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1. 设代B, A ■ B都是可逆矩阵，求：（A J■ B」）」. -00021〕 00053 2.设 A =12300,求A JL 45800 34600 一 二、讨论抽象矩阵的可逆性 1. 设n阶矩阵A满足关系式A3? A2- A- E =0,证明A可逆，并求A^l. 2. 已知A3 =2E,B = A2 -2A ? 2E ,证明B可逆，并求出逆矩阵。 3. 设A = E Xy T ,其中X, y均为n维列向量，且X T y = 2 ,求A的逆矩阵。 4. 设代B为n阶矩阵，且E-AB可逆，证明E - BA也可逆。 三、解矩阵方程 1 1 -1 1. 设矩阵A= -1 1 1 ,矩阵X满足A*X=A*+2X,求矩阵X . J -1 1 J 1 0 0 0 1 1
（22）（本题满分11分） 已知111ξ?? ?= ? ?-??是1253102a A b -?? ?= ? ?--??的特征向量，求,a b 的值，并证明A 的任一特征向量均能由ξ线性表出. 解 设ξ是λ所对应的特征向量，则A ξλξ=，即1211531110211a b λ-?????? ??? ?= ??? ? ??? ?----??????即12, 53,1,2,312,a b a b λλλλ--=??+-=?=-==-??-+=? 故211533102A -?? ?=- ? ?--?? 由323(2(3)(2))(162)(1)(1)E A λλλλλ-=-+-+-+-+---=-， 知1λ=-是A 的三重特征根.又因312()5232101r E A r --?? ?--=--= ? ??? ，从而1λ=-对应的线性无关的特征向量只有一个.所以A 的特征向量均可由ξ线性表出. (23) （本题满分11分） 已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++=a x ax x x x x x x f ，通过正交变换化为标准型2 3222152y y y f ++=，求参数a 及 所用正交变换矩阵. 解 变换前后二次型的矩阵分别为????? ??=3030002a a A ，??? ? ? ??=500020001B ，由正交变换性质知，A 与B 相似，于是 B E A E -=-λλ即)5)(2)(1()96)(2(22---=-+--λλλλλλa 将1=λ(或5=λ)代入上式，得2,042±==-a a 因0>a ，故2=a ，这时??? ?? ??=320230002A 其特征值分别为5,2,1321===λλλ(与B 的特征值相同) 当11=λ时，解方程0)(1=-x A E λ，得????? ??-=1101ξ；当22=λ时，解方程0)(2=-x A E λ，得??? ?? ??=0012ξ 当53=λ时，解方程0)(3=-x A E λ，得??? ? ? ??=1103ξ 将321,,ξξξ单位化，得????? ???? ??-==21210111ξξη，????? ??==001222ξξη，? ??????? ? ??==21210333ξξη
（一）行列式概念和性质线性代数知识点总结 1 行列式 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1））行列互换（转置），行列式的值不变 （2））两行（列）互换，行列式变号 （3））提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4））拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这 个行列式就等于两个行列式之和。 （5））一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6））两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A 是m 阶矩阵，B 是n 阶矩阵），则 7、n 阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为 b 的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1））任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2））行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式 乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A| ·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A -1|=|A| -1 （5）|A*|=|A| n-1 （6））若A 的特征值λ1、λ2、,, λn ，则 （7））若 A 与B 相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1 ）非齐次线性方程组的系数行列式不为0 ，那么方程为唯一解
第一章 多项式 1.(P16)证明：当65n m =+时，多项式 22 x xy y ++整除多项式 ()n n n x y x y +--；当61n m =+时，多项式222()x xy y ++整除多项式 ()n n n x y x y +--.这里m 是使0n >的整数，而,x y 是实数. 2. (P16)求最低次数的多项式()u x 与()v x ，使得 （1）43234(2461)()(53)()x x x x u x x x v x x --+++--=； （2）434323(21)()(221)()2x x x u x x x x x v x x x +++++-+-=- 3. (P16)求次数最低的多项式 () f x ，使得 () f x 被多项式 43222107 x x x x --+-除时余式为 21 x x ++，被多项式 432231310x x x x --+-除时余式为223x -. 4(P22)把下列复系数多项式分解为一次因式的乘积： （1）21422222...(1)n n n n n n n n x C x C x C ---+++-； （2）2222242422222(1)(1)...(1)n n n n n n x C x x C x x x --+-+-++-； （3）2122124232222121(1)(1)...(1)n n n n n n x C x x C x x x x +--+++-+-++-. 5. (P22)证明：复系数多项式()f x 对所有的实数x 恒取正值的充分必要条件是，存在复系数多项式()x ?，()x ?没有实数根，使得 2()|()|f x x ?=. 6. (P22)证明：实系数多项式()f x 对所有实数x 恒取非负实数值的充分必要条件是，存在实系数多项式()x ?和()x ψ，使得 22()[()][()]f x x x ?ψ=+. 7.(P26)设1011()...n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，且素数p 满足：01|,|,...,|,|,1,2,...,k i p a p a p a p a i k k n =++///，而2|n p a /，证明：() f x
线性代数汇总汇总+经典例题
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线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解