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13、勾股定理练习题与部分答案

探索勾股定理测试卷

选择题(每题6分)

1、等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为______________ A 56 B 48 C 40 D 321

2、如果Rt △的两直角边长分别为n 2-1,2n (n>1),那么它的斜边长是____________ A 2n B n+1 C n 2-1 D n 2+1

3、已知,如图长方形ABCD 中,AB=3cm ,AD=9cm ,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,则△ABE 的面积为________

A 6cm 2

B 8cm 2

C 10cm 2

D 12cm 2

4、已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北

方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距_________ A 25海里 B 30海里 C 35海里 D 40海里 填空题(每题6分)

5、在Rt △ABC 中,∠C=90°,①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________;③若c=61,b=60,则a=__________;④若a ∶b=3∶4,c=10则S Rt△ABC =________

A

B

E

F

D

C

A

6、如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2。

C

D

B

A

7cm

7、已知x、y为正数,且│x2-4│+(y2-3)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为___________。

D

B

C A

8、在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高____________米。

三、解答题(每题13分)

9、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池,已知其面积为48m2,其对角线长为10m,为建栅栏,要计算这个矩形鱼池的周长,你能帮助小明算一算吗?

10、已知,如图,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,且

∠A=90°,求四边形ABCD的面积。

D

A

B

C

11、太阳刚刚从地平线升起,巴河姆就在草原上大步朝东方走去,他走了足足有10俄里才左拐弯,接着又走了许久许久,再向左拐弯,这样又走了2俄里,这时,他发现天色不早了,而自己离出发点还足足有17俄里,于是改变方向,拼命朝出发点跑去,在日落前赶回了出发点。这是俄罗斯大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多土地吗》中写的故事的一部分。你能算出巴河姆这一天共走了多少路?走过的路所围成的土地面积有多大吗?

12、如图1,是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a 和b ,斜边长为c ;如图2是以c 为直角变的等腰直角三角形,请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

画出拼成的这个图形的示意图,写出它的名称; 用这个图形证明勾股定理;

设图1中的直角三角形由若干个,你能运用图1中所给的直角三角形拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼成后的示意图。(无需证明) c

c c b a

c b a

图1

图2

探索勾股定理(二)

1.填空题

(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏,现在要在相对角的顶点间加固一条木板,则木板的长应取米.

(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼,其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行,另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行,它们离开港口一个半小时后相距海里.

(3)如图1:隔湖有两点A、B,为了测得A、B两点间的距离,从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C,若测得CA=50m,CB=40m,那么A、B两点间的距离是_________.

2.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm,求这个三角形的面积.

3.在△ABC中,∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm

(1)求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.

(2)求斜边被分成的两部分AD和BD的长.

4.如图2,要修建一个育苗棚,棚高h=1.8m,棚宽a=2.4m,棚的长为12m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜?

5.如图3,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.

勾股定理练习题一

1.等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为___.

2.一个三角形的三边之比为5∶12∶13,它的周长为60,则它的面积是___.

3.已知a ,b ,c 为△ABC 三边,且满足(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2

)=0,则它的形状为( )

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形 4.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( ).

(A )20cm (B )10cm (C )14cm (D )无法确定

第4题 第7题 第10题

5.在Rt △ABC 中,斜边AB=2,则AB 2+BC 2+AC 2=_____. 6.Rt △一直角边的长为11,另两边为自然数,则Rt △的周长为( )

A

B

A

B

C

7.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是()

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.以上答案都

不对

8.如果Rt△的两直角边长分别为n2-1,2n(n >1),那么它的斜

边长是()

A、2n

B、n+1

C、n2-1

D、n2+1

9.在△ABC中,,

90?

=

∠C若,7=

+b

a△ABC的面积等于6,则边长c=

10.如图△ABC中,BC

BM

AC

AN

BC

AC

ACB=

=

=

=

?

=

∠,

,5

,

12

,

90则MN= 11.一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为

12.若△ABC是直角三角形,两直角边都是6,在三角形斜边上有

一点P,到两直角边的距离相等,则这个距离等于

13.如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的

小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然

后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?

17km A

B

小河

牧童

小屋

14、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE

重合,你能求出CD 的长吗?

3cm

15.校园里有一块三角形空地,现准备在这块空地上种植草皮以美化环境,已经测量出它的三边长分别是13、14、15米,若这种草皮每平方米售价120元,则购买这种草皮至少需要支出多少?

16、如图,在△ABC 中,∠B=

90,AB=BC=6,把△ABC 进行折叠,

使点A 与点D 重合,BD:DC=1:2,折痕为EF ,点E 在AB 上,点F 在AC 上,求EC 的长。

A

E

C

D

B

A

D

B

C

E F

提高题:

1、※直角三角形的面积为S ,斜边上的中线长为d ,则这个三角形周长为( ) (A )22d S d ++ (B )2d S d -- (C )222d S d ++ (D )22d S d ++

2.在ABC ?中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点1

2

2006,,

P P P ,

记()2

1

,2,2006i

i

i i m AP

BP PC i =+?=,则122006m m m ++=_____.

解:如图,作AD BC ⊥于D ,因为1AB AC ==,则BD CD =.

由勾股定理,得2

22222,AB

AD BD AP AD PD =+=+.

所以

()()2222

AB AP BD PD BD PD BD PD BP PC

-=-=-+=?

所以2

221AP

BP PC AB +?==.

因此21

2

2006120062006m m m ++

=?=.

个性化优秀教案

11

3.如图所示,在Rt ABC ?中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=?=∠=?,且3BD =,

4CE =,求DE 的长

.

解:如右图:因为ABC ?为等腰直角三角形,所以45ABD C ∠=∠=?. 所以把AEC ?绕点A 旋转到AFB ?,则AFB AEC ???. 所以4,,45BF EC AF AE ABF C ===∠=∠=?.连结DF . 所以DBF ?为直角三角形. 由勾股定理,得2

22222435DF BF BD =+=+=.所以5DF =.

因为45,DAE

? 所以45DAF DAB EAC ???

.

所以

A DE ADF SAS D @D . 所以5DE DF ==.

4、如图,在△ABC 中,AB=AC=6,P 为BC 上任意一点,请用学过的知识试求PC ·PA+PA 2

的值。 A

B

P C

5、如图在Rt△ABC中,3

∠BC

AC

C,在Rt△ABC的外部拼接

=

=

,4

,

90=

?

一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示:

要求:在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法,在图中标明拼接的直角三角形的三边长(请同学们先用铅笔画出草图,确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形)

解:要在Rt△ABC 的外部接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形,关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长,这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。

答案:选择题1、B 2、 D 3、A 4、D

填空题

5、① 13 ② 20 ③ 11 ④ 24 ;

6、49 ;

7、 5 ;

8、 25 解答题

9、28m 10、解:连接BD

361252

1

432113125 5

90ABCD 22=??+??=

∴?∴=+=∴?=∠四边形是直角三角形是一组勾股数,,,又S BCD AD AB BD A 11、根据题意画出图形,已知AE=10,DC=EB=2,AD=17

(平方俄里)

)(面积为:(俄里)周长为:90151022

1

4417215101522=?+=+++∴=-=∴?AE AD ED Rt AED 12、(1)直角梯形

(2) 根据面积相等可得: 化简得:222c b a =+ (3)

1.(1)2.5 (2)30 (3)30米

2.如图:等边△ABC 中BC=12cm ,AB=AC=10cm

A E B

D

c c a

a

b

b

2111

)()22

22

a b a b ab c ++=?+(b

a

作AD ⊥BC ,垂足为D ,则D 为BC 中点,BD=CD=6 cm 在Rt △ABD 中,AD 2=AB 2-BD 2=102-62=64 ∴AD=8cm

∴S △ABD =2

1BC ·AD=2

1×12×8=48(cm 2)

3.解:(1)∵△ABC 中,∠C=90°,AC=2.1cm ,BC=2.8cm

∴AB 2=AC 2+BC 2=2.12+2.82=12.25∴AB=3.5cm

∵S △ABC =2

1AC ·BC=2

1AB ·CD ∴AC ·BC=AB ·CD ∴CD=AB BC AC ?=5

.38.21.2?=1.68(cm )

(2)在Rt △ACD 中,由勾股定理得:

AD 2+CD 2=AC 2∴AD 2=AC 2-CD 2=2.12-1.682=(2.1+1.68)(2.1-1.68) =3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22×9×0.21×0.21

∴AD=2×3×0.21=1.26(cm )∴BD=AB -AD=3.5-1.26=2.24(cm )

4.解:在直角三角形中,由勾股定理可得:直角三角形的斜边长为3m ,所以矩形塑料薄膜的面积是:3×12=36(m 2) 5.解:根据题意得:Rt △ADE ≌Rt △AEF ∴∠AFE=90°,AF=10cm ,EF=DE 设CE=x cm ,则DE=EF=CD -CE=8-x 在Rt △ABF 中由勾股定理得: AB 2+BF 2=AF 2,即82+BF 2=102,

在Rt△ECF中由勾股定理可得:EF2=CE2+CF2,即(8-x)2=x2+42∴64-16x+x2=x2+16∴x=3(cm),即CE=3cm

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