探索勾股定理测试卷
选择题(每题6分)
1、等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为______________ A 56 B 48 C 40 D 321
2、如果Rt △的两直角边长分别为n 2-1,2n (n>1),那么它的斜边长是____________ A 2n B n+1 C n 2-1 D n 2+1
3、已知,如图长方形ABCD 中,AB=3cm ,AD=9cm ,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,则△ABE 的面积为________
A 6cm 2
B 8cm 2
C 10cm 2
D 12cm 2
4、已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北
方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距_________ A 25海里 B 30海里 C 35海里 D 40海里 填空题(每题6分)
5、在Rt △ABC 中,∠C=90°,①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________;③若c=61,b=60,则a=__________;④若a ∶b=3∶4,c=10则S Rt△ABC =________
A
B
E
F
D
C
北
南
A
东
6、如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2。
C
D
B
A
7cm
7、已知x、y为正数,且│x2-4│+(y2-3)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为___________。
D
B
C A
8、在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高____________米。
三、解答题(每题13分)
9、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池,已知其面积为48m2,其对角线长为10m,为建栅栏,要计算这个矩形鱼池的周长,你能帮助小明算一算吗?
10、已知,如图,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,且
∠A=90°,求四边形ABCD的面积。
D
A
B
C
11、太阳刚刚从地平线升起,巴河姆就在草原上大步朝东方走去,他走了足足有10俄里才左拐弯,接着又走了许久许久,再向左拐弯,这样又走了2俄里,这时,他发现天色不早了,而自己离出发点还足足有17俄里,于是改变方向,拼命朝出发点跑去,在日落前赶回了出发点。这是俄罗斯大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多土地吗》中写的故事的一部分。你能算出巴河姆这一天共走了多少路?走过的路所围成的土地面积有多大吗?
12、如图1,是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a 和b ,斜边长为c ;如图2是以c 为直角变的等腰直角三角形,请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
画出拼成的这个图形的示意图,写出它的名称; 用这个图形证明勾股定理;
设图1中的直角三角形由若干个,你能运用图1中所给的直角三角形拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼成后的示意图。(无需证明) c
c c b a
c b a
图1
图2
探索勾股定理(二)
1.填空题
(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏,现在要在相对角的顶点间加固一条木板,则木板的长应取米.
(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼,其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行,另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行,它们离开港口一个半小时后相距海里.
(3)如图1:隔湖有两点A、B,为了测得A、B两点间的距离,从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C,若测得CA=50m,CB=40m,那么A、B两点间的距离是_________.
2.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm,求这个三角形的面积.
3.在△ABC中,∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm
(1)求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.
(2)求斜边被分成的两部分AD和BD的长.
4.如图2,要修建一个育苗棚,棚高h=1.8m,棚宽a=2.4m,棚的长为12m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜?
5.如图3,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.
勾股定理练习题一
1.等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为___.
2.一个三角形的三边之比为5∶12∶13,它的周长为60,则它的面积是___.
3.已知a ,b ,c 为△ABC 三边,且满足(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2
)=0,则它的形状为( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形 4.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( ).
(A )20cm (B )10cm (C )14cm (D )无法确定
第4题 第7题 第10题
5.在Rt △ABC 中,斜边AB=2,则AB 2+BC 2+AC 2=_____. 6.Rt △一直角边的长为11,另两边为自然数,则Rt △的周长为( )
A
B
A
B
C
7.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是()
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都
不对
8.如果Rt△的两直角边长分别为n2-1,2n(n >1),那么它的斜
边长是()
A、2n
B、n+1
C、n2-1
D、n2+1
9.在△ABC中,,
90?
=
∠C若,7=
+b
a△ABC的面积等于6,则边长c=
10.如图△ABC中,BC
BM
AC
AN
BC
AC
ACB=
=
=
=
?
=
∠,
,5
,
12
,
90则MN= 11.一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为
12.若△ABC是直角三角形,两直角边都是6,在三角形斜边上有
一点P,到两直角边的距离相等,则这个距离等于
13.如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的
小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然
后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
17km A
B
小河
东
北
牧童
小屋
14、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE
重合,你能求出CD 的长吗?
3cm
15.校园里有一块三角形空地,现准备在这块空地上种植草皮以美化环境,已经测量出它的三边长分别是13、14、15米,若这种草皮每平方米售价120元,则购买这种草皮至少需要支出多少?
16、如图,在△ABC 中,∠B=
90,AB=BC=6,把△ABC 进行折叠,
使点A 与点D 重合,BD:DC=1:2,折痕为EF ,点E 在AB 上,点F 在AC 上,求EC 的长。
A
E
C
D
B
A
D
B
C
E F
提高题:
1、※直角三角形的面积为S ,斜边上的中线长为d ,则这个三角形周长为( ) (A )22d S d ++ (B )2d S d -- (C )222d S d ++ (D )22d S d ++
2.在ABC ?中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点1
2
2006,,
P P P ,
记()2
1
,2,2006i
i
i i m AP
BP PC i =+?=,则122006m m m ++=_____.
解:如图,作AD BC ⊥于D ,因为1AB AC ==,则BD CD =.
由勾股定理,得2
22222,AB
AD BD AP AD PD =+=+.
所以
()()2222
AB AP BD PD BD PD BD PD BP PC
-=-=-+=?
所以2
221AP
BP PC AB +?==.
因此21
2
2006120062006m m m ++
=?=.
个性化优秀教案
11
3.如图所示,在Rt ABC ?中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=?=∠=?,且3BD =,
4CE =,求DE 的长
.
解:如右图:因为ABC ?为等腰直角三角形,所以45ABD C ∠=∠=?. 所以把AEC ?绕点A 旋转到AFB ?,则AFB AEC ???. 所以4,,45BF EC AF AE ABF C ===∠=∠=?.连结DF . 所以DBF ?为直角三角形. 由勾股定理,得2
22222435DF BF BD =+=+=.所以5DF =.
因为45,DAE
? 所以45DAF DAB EAC ???
.
所以
A DE ADF SAS D @D . 所以5DE DF ==.
4、如图,在△ABC 中,AB=AC=6,P 为BC 上任意一点,请用学过的知识试求PC ·PA+PA 2
的值。 A
B
P C
5、如图在Rt△ABC中,3
∠BC
AC
C,在Rt△ABC的外部拼接
=
=
,4
,
90=
?
一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示:
要求:在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法,在图中标明拼接的直角三角形的三边长(请同学们先用铅笔画出草图,确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形)
解:要在Rt△ABC 的外部接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形,关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长,这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。
答案:选择题1、B 2、 D 3、A 4、D
填空题
5、① 13 ② 20 ③ 11 ④ 24 ;
6、49 ;
7、 5 ;
8、 25 解答题
9、28m 10、解:连接BD
361252
1
432113125 5
90ABCD 22=??+??=
∴?∴=+=∴?=∠四边形是直角三角形是一组勾股数,,,又S BCD AD AB BD A 11、根据题意画出图形,已知AE=10,DC=EB=2,AD=17
(平方俄里)
)(面积为:(俄里)周长为:90151022
1
4417215101522=?+=+++∴=-=∴?AE AD ED Rt AED 12、(1)直角梯形
(2) 根据面积相等可得: 化简得:222c b a =+ (3)
1.(1)2.5 (2)30 (3)30米
2.如图:等边△ABC 中BC=12cm ,AB=AC=10cm
A E B
D
c c a
a
b
b
2111
)()22
22
a b a b ab c ++=?+(b
a
作AD ⊥BC ,垂足为D ,则D 为BC 中点,BD=CD=6 cm 在Rt △ABD 中,AD 2=AB 2-BD 2=102-62=64 ∴AD=8cm
∴S △ABD =2
1BC ·AD=2
1×12×8=48(cm 2)
3.解:(1)∵△ABC 中,∠C=90°,AC=2.1cm ,BC=2.8cm
∴AB 2=AC 2+BC 2=2.12+2.82=12.25∴AB=3.5cm
∵S △ABC =2
1AC ·BC=2
1AB ·CD ∴AC ·BC=AB ·CD ∴CD=AB BC AC ?=5
.38.21.2?=1.68(cm )
(2)在Rt △ACD 中,由勾股定理得:
AD 2+CD 2=AC 2∴AD 2=AC 2-CD 2=2.12-1.682=(2.1+1.68)(2.1-1.68) =3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22×9×0.21×0.21
∴AD=2×3×0.21=1.26(cm )∴BD=AB -AD=3.5-1.26=2.24(cm )
4.解:在直角三角形中,由勾股定理可得:直角三角形的斜边长为3m ,所以矩形塑料薄膜的面积是:3×12=36(m 2) 5.解:根据题意得:Rt △ADE ≌Rt △AEF ∴∠AFE=90°,AF=10cm ,EF=DE 设CE=x cm ,则DE=EF=CD -CE=8-x 在Rt △ABF 中由勾股定理得: AB 2+BF 2=AF 2,即82+BF 2=102,
在Rt△ECF中由勾股定理可得:EF2=CE2+CF2,即(8-x)2=x2+42∴64-16x+x2=x2+16∴x=3(cm),即CE=3cm