中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣2的倒数是（）
A．﹣B．C．2D．﹣2
2．（3分）下列计算正确的是（）
A．2+＝2B．a+a2＝a3C．2a?3a＝6a D．x6÷x2＝x4 3．（3分）下列水平放置的几何体中，俯视图是三角形的（）
A．B．C．D．
4．（3分）商店某天销售了14件衬衫，其领口尺寸统计如下表：
领口尺寸（cm）3839404142件数15332则这14件衬衫领口尺寸的众数和中位数分别是（）
A．39cm、40cm B．39cm、39.5cm
C．39cm、39cm D．40cm、40cm
5．（3分）如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝2，则k的值为（）
A．2B．3C．4D．5
6．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（）
A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）7．（3分）用一个直径为10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线AB与⊙O相切于点B，不倒翁的顶点A到桌面L 的最大距离是18cm．若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（）
A．60πcm2B．πcm2C．πcm2D．72πcm2
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A’恰好在∠BCD的平分线上时，CA’的长为（）
A．3或4B．3或4C．3或4D．4或3
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）函数中自变量x的取值范围是．
10．（3分）写分解因式a2﹣8ab+16b2的结果．
11．（3分）长城是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700000米，将6700000用科学记数法表示应为．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，∠AOC＝100°，则∠D＝度．
13．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，则∠2的度数为．
14．（3分）钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是
cm．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将两个全等的矩形OABC和OA'B'C'按图示方式进行放置（其中OA在x轴正半轴上，点B'在y轴正半轴上），OA'与BC相交于点D，若点B坐标为（3，1），则经过点D的反比例函数解析式是．
16．（3分）如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在⊙O上运动，则正方形面积最大时，正方形与⊙O重叠部分的面积是．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（﹣2）2﹣．
18．（6分）化简：
19．（6分）解不等式组：
20．（8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
21．（8分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）22．（10分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE＝DF．（1）求证：AE＝AF；
（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．
23．（10分）一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B 处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）．
24．（10分）某店代理某品牌商品的销售．已知该品牌商品进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），付员工的工资每人每天100元，每天还应支付其它费用150元．
（1）求日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）该店员工人共3人，若某天收支恰好平衡（收入＝支出），求当天的销售价是多少？
25．（12分）如图，A、F、B、C是⊙O上的四个点，连接OF交AB于点E，AO∥BC，AB ∥OC，∠AOF＝30°，过点C作CD∥OF交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD 于点H．
（1）判断四边形ABCO的形状并说明理由；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若DH＝4，求EF的长．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+m与坐标轴y轴交于点A，与x 轴交于点B，过A，B两点的抛物线y＝x2+nx﹣8，点D为线段AB上一动点，过点D作CD垂直x轴于点C，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当DE＝12时，求四边形CAEB的面积；
（3）是否存在点D，使得△DEB和△DAC相似？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
27．（14分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．
（1）操作发现：
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．
（2）猜想论证：
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝6，DE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请求出相应的BF的长．
中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣2的倒数是（）
A．﹣B．C．2D．﹣2
【解答】解：∵（﹣2）×（﹣）＝1，
∴﹣2的倒数是﹣．
故选：A．
2．（3分）下列计算正确的是（）
A．2+＝2B．a+a2＝a3C．2a?3a＝6a D．x6÷x2＝x4
【解答】解：A、2+和2不相等，故本选项不符合题意；
B、a和a2不能合并，故本选项不符合题意；
C、2a?3a＝6a2，故本选项不符合题意；
D、x6÷x2＝x4，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）下列水平放置的几何体中，俯视图是三角形的（）
A．B．C．D．
【解答】解：俯视图是三角形的是选项D，
故选：D．
4．（3分）商店某天销售了14件衬衫，其领口尺寸统计如下表：
领口尺寸（cm）3839404142件数15332则这14件衬衫领口尺寸的众数和中位数分别是（）
A．39cm、40cm B．39cm、39.5cm
C．39cm、39cm D．40cm、40cm
【解答】解：同一尺寸最多的是39cm，共有5件，
所以众数是39cm，
14件衬衫按照尺寸从小到大排列，第7，8件的尺寸都是40cm，
所以中位数是（40+40）＝40cm．
故选：A．
5．（3分）如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝2，则k的值为（）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵点A是反比例函数y＝图象上一点，且AB⊥x轴于点B，
∴S△AOB＝|k|＝2，
解得：k＝±4．
∵反比例函数在第一象限有图象，
∴k＝4．
故选：C．
6．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（）
A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3）．
故选：B．
7．（3分）用一个直径为10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线AB与⊙O相切于点B，不倒翁的顶点A到桌面L 的最大距离是18cm．若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（）
A．60πcm2B．πcm2C．πcm2D．72πcm2
【解答】解：连接OB，作BH⊥OA于H，如图，
∵圆锥的母线AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
在Rt△AOB中，OA＝18﹣5＝13，OB＝5，
∴AB＝＝12，
∵OA?BH＝OB?AB，
∴BH＝＝，
∵圆锥形纸帽的底面圆的半径为BH＝，母线长为12，
∴形纸帽的表面＝×2π××12＝π（cm2）．
故选：C．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A’恰好在∠BCD的平分线上时，CA’的长为（）
A．3或4B．3或4C．3或4D．4或3
【解答】解：如图所示，过点A′作A′M⊥BC于点M．
∵点A的对应点A′恰落在∠BCD的平分线上，
∴设CM＝A′M＝x，则BM＝7﹣x，
又由折叠的性质知AB＝A′B＝5，
∴在直角△A′MB中，由勾股定理得到：A′M2＝A′B2﹣BM2＝25﹣（7﹣x）2，∴25﹣（7﹣x）2＝x2，
∴x＝3或x＝4，
∵在等腰Rt△A′CM中，CA′＝A′M，
∴CA′＝3或4．
故选：B．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）函数中自变量x的取值范围是x≥﹣2．
【解答】解：根据题意得：4+2x≥0，
解得：x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
10．（3分）写分解因式a2﹣8ab+16b2的结果（a﹣4b）2．
【解答】解：原式＝（a﹣4b）2，
故答案为：（a﹣4b）2．
11．（3分）长城是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700000米，将6700000用科学记数法表示应为 6.7×106．
【解答】解：6700000＝6.7×106．
故答案为：6.7×106．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，∠AOC＝100°，则∠D＝40度．
【解答】解：∵∠AOC＝100°，
∴∠BOC＝180°﹣100°＝80°，∴∠D＝40°．
13．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，则∠2的度数为35°．
【解答】解：∵AB⊥BC，∠1＝55°，
∴∠2＝90°﹣55°＝35°．
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝35°．
故答案为：35°．
14．（3分）钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是cm．
【解答】解：圆心角的度数是：360°×＝240°，
弧长是＝cm．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将两个全等的矩形OABC和OA'B'C'按图示方式进行放置（其中OA在x轴正半轴上，点B'在y轴正半轴上），OA'与BC相交于点D，若点B坐标为（3，1），则经过点D的反比例函数解析式是y＝．
【解答】解：∵点B坐标为（3，1），
∴AO＝3，AB＝CO＝1，
∵矩形OABC和OA′B′C′全等，
∴OA′＝OA＝3，A′B′＝AB＝1，
∵∠A′＝∠DCO＝90°，∠DOC＝∠B′OA′，
∴△CDO∽△A′B′O，
∴＝，即＝，
∴CD＝，
∴D（，1），
设经过点D的反比例函数解析式为y＝，
∴k＝×1＝，
∴经过点D的反比例函数解析式为：y＝，
故答案为：y＝．
16．（3分）如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在⊙O上运动，则正方形面积最大时，正方形与⊙O重叠部分的面积是+1．
【解答】解：如图所示，当点D运动到（﹣1，0）时，BD最长，
此时，正方形面积最大，∠CDO＝45°，
∴∠CDO＝45°，
又∵∠FDO＝45°，
∴CD经过点F，
同理可得，AD经过点E，
∴正方形与⊙O重叠部分的面积是△DEF的面积与半圆面积的和，
即×2×1+×π×12＝1+，
故答案为：+1．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（﹣2）2﹣．
【解答】解：原式＝4﹣5﹣5＝﹣6．
18．（6分）化简：
【解答】解：原式＝?
＝?
＝．
19．（6分）解不等式组：
【解答】解：，
解不等式①，得x≥﹣4，
解不等式②，得x＞﹣，
故不等式的解集为x＞﹣．
20．（8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有60人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为90度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
【解答】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%＝60（人）；
∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：×360°＝90°；
故答案为：60，90；
（2）60﹣15﹣30﹣10＝5；
补全条形统计图得：
（3）根据题意得：900×＝300（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人．
21．（8分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）
【解答】解：（1）∵第一道单选题有3个选项，
∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；
故答案为：；
（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
∴小明顺利通关的概率为：；
（3）∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；
∴建议小明在第一题使用“求助”．
22．（10分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE＝DF．（1）求证：AE＝AF；
（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF；
（2）连接AC，
∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，
∴AB＝AC＝AD．
∵AB＝BC＝CD＝DA，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形．
∴∠CAE＝∠BAE＝30°，∠CAF＝∠DAF＝30°．
∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝60°
又∵AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形．
23．（10分）一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B 处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）．
【解答】解：∵∠BAC＝53°﹣23°＝30°，
∴∠C＝23°+22°＝45°．
过点B作BD⊥AC，垂足为D，则CD＝BD．
∵BC＝10，
∴CD＝BC?cos45°＝10×≈7.0，
∴AD＝＝5÷＝5×＝5×≈5×1.4×1.7≈11.9．
∴AC＝AD+CD＝11.9+7.0＝18.9≈19．
答：小船到码头的距离约为19海里．
24．（10分）某店代理某品牌商品的销售．已知该品牌商品进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），付员工的工资每人每天100元，每天还应支付其它费用150元．
（1）求日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）该店员工人共3人，若某天收支恰好平衡（收入＝支出），求当天的销售价是多少？
【解答】解：（1）当40≤x≤58时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（40，60），（58，24）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴当40≤x≤58时，y与x之间的函数关系式为y＝2x+140；
当理可得，当58＜x≤71时，y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+82．
综上所述：y与x之间的函数关系式为y＝．
（2）设当天的销售价为x元时，可出现收支平衡．
当40≤x≤58时，依题意，得：
（x﹣40）（﹣2x+140）＝100×3+150，
解得：x1＝x2＝55；
当57＜x≤71时，依题意，得：
（x﹣40）（﹣x+82）＝100×3+150，
此方程无解．
答：当天的销售价为55元时，可出现收支平衡．
25．（12分）如图，A、F、B、C是⊙O上的四个点，连接OF交AB于点E，AO∥BC，AB ∥OC，∠AOF＝30°，过点C作CD∥OF交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD 于点H．
（1）判断四边形ABCO的形状并说明理由；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若DH＝4，求EF的长．
【解答】（1）解：四边形ABCO是菱形，
理由如下：∵AO∥BC，AB∥OC，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴平行四边形ABCO是菱形；
（2）证明：连接OB，
∵四边形ABCO是菱形，
∴OC＝BC，
∵OB＝OC，
∴OB＝OC＝BC，
∴△BOC为等边三角形，
同理，△BOA为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，