2020年中考数学第一次仿真模拟试卷
一、选择题
1．（tan60°﹣1）0的值是（）
A．1B．0C．﹣1D．±1
2．习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近11000000人，将数据11000000用科学记数法表示为（）
A．1.1×106B．1.1×107C．1.1×108D．1.1×109
3．图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②．则下列图形中，是图②的表面展开图的是（）
A．B．
C．D．
4．小文同学统计了某栋居民楼中全体居民每周使用手机支付的次数，并绘制了直方图．根据图中信息，下列说法错误的是（）
A．这栋居民楼共有居民125人
B．每周使用手机支付次数为28～35次的人数最多
C．有的人每周使用手机支付的次数在35～42次
D．每周使用手机支付不超过21次的有15人
5．若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为（）A．B．1C．.4D．3
6．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③＜a＜；④b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7．设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个根，且x1+x2＝1，则x1＝，x2＝．
8．如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心，适当长为半径在右侧画弧，分别交l1，l2于点B，C，连结AC，BC，若∠ABC＝70°，则∠1＝．
9．将边长相等的一个正方形与一个正五边形，按如图重叠放置，则∠1度数＝．
10．《孙子算经》内容主要讲数学的用途，浅显易懂，其中有许多有趣的数学题，如“河边洗碗”．原文：今有妇人河上荡桮．津吏问曰：“桮何以多？“妇人曰：“家有客．”
津吏曰：“客几何？”妇人日：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用桮六十五．不
知客几何？“译文：有一名妇女在河边洗刷一大摞碗．一个津吏问她：“怎么刷这么多碗呢？“她回答：“家里来客人了．“津吏又问：“家里来了多少客人？”妇女答道：“2个人给一碗饭，3个人给一碗汤，4个人给一碗肉，一共要用65只碗，来了多少客人？”
答：共有人．
11．如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2，以点A为圆心，AD为半径画弧交BC于点E，所得的扇形的弧长为．
12．菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，点E在BC上，CE＝2，若点P是菱形上异于点E的另一点，CE＝CP，则EP的长为．
三、（共6小题，13,14题每题3分，15-18每小题3分，共30分）
13．计算：
14．如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF，ED，DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG?ED．求证：DE⊥EF．
15．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
16．在学习完概率的有关内容后，小军与小波共同发明了一种利用“字母棋”进行比胜负的游戏，他们制作了5颗棋子，并在每颗棋子上标注相应的字母（棋子除了字母外，材质、大小、质地均相同），其中标有字母X的棋子有1颗，标有字母Y和Z的棋子分别有2颗．游戏规定：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后从5颗棋子中随机摸出
两颗棋子，若摸到的两颗棋子标有字母X，则小军胜；若摸到两颗相同字母的棋子，则小波胜，其余情况为平局，则游戏重新进行．
（1）求随机摸到标有字母Y的棋子的概率；
（2）在游戏刚准备进行的同时，数学课代表小亮对游戏的公平性产生了质疑，请你通过列表法或者画树状图的方法帮小亮同学验证该游戏的规则是否公平．
17．如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成大矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，请仅用无刻度直尺在矩形中完成下列画图．
（1）在图1中画出一个顶点均在格点上的非特殊的平行四边形；
（2）在图2中画出一个顶点均在格点上的正方形．
18．如图，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点D，点A为直线y＝x上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，连接BD．（1）若点B的坐标为（8，2），则k＝，点D的坐标为；
（2）若AB＝2BC，且△OAC的面积为18，求k的值及△ABD的面积．
四、（共3小题，每小题8分，共24分）
19．为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．
大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表
一周诗词诵背数
量
3首4首5首6首7首8首人数101015402520
请根据调查的信息分析：
（1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为；
（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；
（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．
20．图①是一个演讲台，图②是演讲台的侧面示意图，支架BC是一段圆弧，台面与两支架的连接点A，B间的距离为30cm，CD为水平地面，∠ADC＝75°，∠DAB＝60°，BD⊥CD．
（1）求BD的长（结果保留整数，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.7）；
（2）如图③，若圆弧BC所在圆的圆心O在CD的延长线上，且OD＝CD，求支架BC 的长（结果保留根号）．
21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点O为AB上一点，且3AO＝AB，以OA为半径作半圆O，交AC于点D，AB于点E，DE与OC相交于F．
（1）求证：CB与⊙O相切；
（2）若AB＝6，求DF的长度．
五、（共2小题，每小题9分，共18分）
22．某数学兴趣小组在探究函数y＝|x2﹣4x+3|的图象和性质时经历以下几个学习过程：（Ⅰ）列表（完成以下表格）．
x…﹣2﹣10123456…
y1＝x2﹣
4x+3
(158)
00315…
y＝|x2﹣
4x+3|
…15800315…
（Ⅱ）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．
（Ⅲ）根据图象解决以下问题：
（1）观察图象：函数y＝|x2﹣4x+3|的图象可由函数y1＝x2﹣4x+3的图象如何变化得到？答：．
（2）数学小组探究发现直线y＝8与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象交于点E，F，E（﹣1，8），F（5，8），则不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是．
（3）设函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交
①求直线BC的解析式；
②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位长度后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有
3个交点，求此时m的值．
23．在△ABC中，CA＝CB，0°＜∠C≤90°．过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．
【猜想】如图①，当∠C＝45°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为度．
【探究】如图②，若∠C＝α．
（1）求证：△BCN≌△ACM．
（2）∠BDE的大小为度（用含a的代数式表示）．
【应用】如图③，当∠C＝90°时，连结BE．若BC＝3，∠BAM＝15°，则△BDE的面积为．
六、（共12分）
24．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的图象（记为抛物线C1）顶点为M，直线l：y＝2x﹣a 与x轴，y轴分别交于A，B．
（1）对于抛物线C1，以下结论正确的是；
①对称轴是：直线x＝1；②顶点坐标（1，﹣a﹣2）；③抛物线一定经过两个定点．
（2）当a＞0时，设△ABM的面积为S，求S与a的函数关系；
（3）将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的图象C1绕点P（t，﹣2）旋转180°得到二次函数的图象（记为抛物线C2），顶点为N．
①当﹣2≤x≤1时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的增大而减小，求t的取
②当a＝1时，点Q是抛物线C1上的一点，点Q在抛物线C2上的对应点为Q'，试探究四边形QMQ'N能否为正方形？若能，求出t的值，若不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1．（tan60°﹣1）0的值是（）
A．1B．0C．﹣1D．±1
【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案．
解：（tan60°﹣1）0＝1．
故选：A．
2．习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近11000000人，将数据11000000用科学记数法表示为（）
A．1.1×106B．1.1×107C．1.1×108D．1.1×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将11000000用科学记数法表示为1.1×107．
故选：B．
3．图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②．则下列图形中，是图②的表面展开图的是（）
A．B．
C．D．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
解：由图中阴影部分的位置，首先可以排除C、D，
又阴影部分正方形在左，三角形在右，而且相邻，故只有选项B符合题意．
故选：B．
4．小文同学统计了某栋居民楼中全体居民每周使用手机支付的次数，并绘制了直方图．根据图中信息，下列说法错误的是（）
A．这栋居民楼共有居民125人
B．每周使用手机支付次数为28～35次的人数最多
C．有的人每周使用手机支付的次数在35～42次
D．每周使用手机支付不超过21次的有15人
【分析】根据直方图表示的意义求得统计的总人数，以及每组的人数即可判断．
解：A、这栋居民楼共有居民3+10+15+22+30+25+20＝125（人），此结论正确；
B、每周使用手机支付次数为28～35次的人数最多，此结论正确；
C、有的人每周使用手机支付的次数在35～42次，此结论正确；
D．每周使用手机支付不超过21次的有3+10+15＝28人，此结论错误；
故选：D．
5．若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为（）A．B．1C．.4D．3
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
解：由题意可知：a、b是方程x2﹣4x+1＝0的两个不同的实数根，
∴由根与系数的关系可知：ab＝1，a+b＝4，
∴a2+1＝4a，b2+1＝4b，
∴原式＝+
＝
＝
＝1，
故选：B．
6．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③＜a＜；④b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴a、b异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∵图象与x轴交于点A（﹣1，0）和（3，0），
∴ax2+bx+c＝0的两根为﹣1和3，
∴﹣3＝，
∴c＝﹣3a，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；
故③正确；
④∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵a＞0，c＝﹣3a，
∴b＞c；
故④正确．
综上所述，正确的有①③④，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7．设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个根，且x1+x2＝1，则x1＝﹣2，x2＝3．
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2＝1可得出m的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可得出结论．
解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个根，且x1+x2＝1，
∴m＝1，
∴原方程为x2﹣x﹣6＝0，即（x+2）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3．
故答案为：﹣2；3．
8．如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心，适当长为半径在右侧画弧，分别交l1，l2于点B，C，连结AC，BC，若∠ABC＝70°，则∠1＝40°．
【分析】首先由题意可得：AB＝AC，根据等边对等角的性质，可求得∠ACB的度数，又由直线l1∥l2，根据两直线平行，同旁内角互补即可求得∠1的度数．
解：根据题意得：AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40°．
9．将边长相等的一个正方形与一个正五边形，按如图重叠放置，则∠1度数＝18°．
【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD 的度数，进而求得∠BAD的度数，再利用正方形的内角得出∠BAG＝90°，进而得出∠DAG的度数．
解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠E＝×540°＝108°，∠BAE＝108°
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，
∵正方形GABF的内角∠BAG＝90°，
∴∠1＝90°﹣72°＝18°，
故答案为：18°．
10．《孙子算经》内容主要讲数学的用途，浅显易懂，其中有许多有趣的数学题，如“河边洗碗”．原文：今有妇人河上荡桮．津吏问曰：“桮何以多？“妇人曰：“家有客．”
津吏曰：“客几何？”妇人日：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用桮六十五．不知客几何？“译文：有一名妇女在河边洗刷一大摞碗．一个津吏问她：“怎么刷这么多碗呢？“她回答：“家里来客人了．“津吏又问：“家里来了多少客人？”妇女答道：“2个人给一碗饭，3个人给一碗汤，4个人给一碗肉，一共要用65只碗，来了多少客人？”
答：共有60人．
【分析】设共有客人x人，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65只碗”列出方程即可．
解：设共有客人x人，
根据题意得x+x+x＝65．
解得x＝60．
故答案是：60．
11．如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2，以点A为圆心，AD为半径画弧交BC于点E，所得的扇形的弧长为．
【分析】根据余弦的定义求出∠BAE的度数，根据矩形的性质求出∠DAE的度数，根据弧长的公式l＝计算即可．
解：由题意得，AE＝AD＝4，
cos∠BAE＝＝＝，
则∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝60°，
扇形的弧长＝＝，
故答案为：．
12．菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，点E在BC上，CE＝2，若点P是菱形上异于点E的另一点，CE＝CP，则EP的长为6或2或3﹣．
【分析】连接EP交AC于点H，依据菱形的性质可得到∠ECH＝∠PCH＝60°，然后依据SAS可证明△ECH≌△PCH，则∠EHC＝∠PHC＝90°，最后依据PE＝EH＝2sin60°?EC求解即可．
解：如图所示：连接EP交AC于点H．
∵菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴∠BCD＝120°，∠ECH＝∠PCH＝60°．
在△ECH和△PCH中，
∴△ECH≌△PCH．
∴∠EHC＝∠PHC＝90°，EH＝PH．
∴EP＝2EH＝2sin60°?EC＝2××2＝6．
如图2所示：△ECP为等腰直角三角形，则EP＝EC＝2．
过点P′作P′F⊥BC．
∵P′C＝2，BC＝4，∠B＝60°，
∴P′C⊥AB．
∴∠BCP′＝30°．
∴FC＝×2＝3，P′F＝，EF＝2﹣3．
∴EP′＝＝3﹣．
故答案为：6或2或3﹣．
三、（共6小题，13,14题每题3分，15-18每小题3分，共30分）
13．计算：
【分析】首先将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．解：原式＝?
＝?
＝．
14．如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF，ED，DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG?ED．求证：DE⊥EF．
【分析】根据斜边中线定理得出AE＝FE，再利用相似三角形的判定得出△AEG∽△DEA，进而利用相似三角形的性质和菱形的性质解答即可．
【解答】证明：∵AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°．
∵点E是AB的中点，
∴AE＝FE．
∴∠EAF＝∠AFE．
∵AE2＝EG?ED，
∴．
∵∠AEG＝∠DEA，
∴△AEG∽△DEA．
∴∠EAG＝∠ADG．
∴∠AFE＝∠ADG．
∵∠AGD＝∠EGF，
∴∠DAG＝∠FEG．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
∴∠DAG＝∠AFB＝90°．
∴∠FEG＝90°．
∴DE⊥EF
15．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
解：，
解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x≤3，
所以，原不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
在数轴上表示为：
．
16．在学习完概率的有关内容后，小军与小波共同发明了一种利用“字母棋”进行比胜负的游戏，他们制作了5颗棋子，并在每颗棋子上标注相应的字母（棋子除了字母外，材质、大小、质地均相同），其中标有字母X的棋子有1颗，标有字母Y和Z的棋子分别有2颗．游戏规定：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后从5颗棋子中随机摸出两颗棋子，若摸到的两颗棋子标有字母X，则小军胜；若摸到两颗相同字母的棋子，则
小波胜，其余情况为平局，则游戏重新进行．
（1）求随机摸到标有字母Y的棋子的概率；
（2）在游戏刚准备进行的同时，数学课代表小亮对游戏的公平性产生了质疑，请你通过列表法或者画树状图的方法帮小亮同学验证该游戏的规则是否公平．
【分析】（1）利用概率公式计算可得；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得小军胜与小波胜的概率，比较概率的大小，即可得这个游戏是否公平；使游戏规则游戏公平，只要使得小军胜与小波胜的概率相等即可．
【解答】解析（1）已知一共有5颗棋子，其中标有字母Y的棋子有2颗，故随机摸到标有字母Y的棋子的概率P ＝．
（2）记标有字母Y的棋子分别为Y1，Y2，标有字母Z的棋子为Z1，Z2，
列表得
X Y1Y2Z1Z2
X﹣﹣（X，
Y1）（X，
Y2）
（X，
Z1）
（X，
Z2）
Y1（Y1，
X）﹣﹣（Y1，
Y2）
（Y1，
Z1）
（Y1，
Z2）
Y2（Y2，
X）（Y2，
Y1）
﹣﹣（Y2，
Z1）
（Y2，
Z2）
Z1（Z1，
X）（Z1，
Y1）
（Z1，
Y2）
﹣﹣（Z1，
Z2）
Z2（Z2，
X）（Z2，
Y1）
（Z2，
Y2）
（Z2，
Z1）
﹣﹣
总共有20种等可能的情况．
其中摸到标有字母X的棋子的情况有8种，摸到标有两个相同字母的棋子的情况有4种，故小军获胜的概率P1＝＝，小波获胜的概率P2＝＝，
∵P1＞P2，
∴该游戏的规则不公平．
17．如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成大矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，请仅用无刻度直尺在矩形中完成下列画图．
（1）在图1中画出一个顶点均在格点上的非特殊的平行四边形；
（2）在图2中画出一个顶点均在格点上的正方形．
【分析】（1）直接利用平行四边形的判定方法得出答案；
（2）直接利用正方形的判定方法得出答案．
解：（1）如图1所示：平行四边形，即为所求；
（2）如图2所示：正方形，即为所求．
18．如图，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点D，点A为直线y＝x上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，连接BD．（1）若点B的坐标为（8，2），则k＝16，点D的坐标为（4，4）；
（2）若AB＝2BC，且△OAC的面积为18，求k的值及△ABD的面积．
【分析】（1）由点B（8，2）在反比例函数y＝的图象上，代入可求k的值，将反比例函数的关系式与y＝x联立方程组，可以求出交点坐标，进而确定点D的坐标；（2）点A在直线y＝x上，可知OC＝AC，由△OAC的面积为18可求出AC的长，确定点A的坐标，由AB＝2BC，可求AB、BC的长，确定点B的坐标，进而求k得值，用（1）的方法可求点D的坐标，利用三角形的面积公式就可以求出三角形的面积．解：（1）把B（8，2）代入y＝得：k＝2×8＝16，
∴反比例函数的关系式为y＝，
由题意得：解得：，（舍去）
∴点D的坐标为（4，4）
故答案为：16，（4，4）
（2）过点D作DE⊥OC，DF⊥AC，垂足为E、F，如图所示：
∵点A在第一象限y＝x上，
∴AC＝OC，
又∵△OAC的面积为18，
∴AC＝OC＝6，
∵AB＝2BC，
∴AB＝4，BC＝2，
∴点B（6，2），代入y＝得，k＝12；
设点D（a，a）代入y＝得，a＝（a＞0）
∴D（，），即OE＝DE＝，
∴DF＝EC＝OC﹣OE＝6﹣，
∴△ABD的面积＝AB?DF＝×4×（6﹣）＝12﹣；
因此k的值为12，∴△ABD的面积为12﹣．