优等生同步奥数提高
第一讲
五年级（上）
整数问题
第 1 课 倍数与因数（一）
一、知识要点 1. 质数与合数
质数：一个数除了 1 和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数。 （素数）
合数：一个数除了 1 和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。
1 不是质数，也不是合数。
2. 质因数与分解质因数
质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：30 分解质因数。 解：30=2×3×5 答：2、3、5 是 30 的质因数。
?分解质因数的方法：可以用短除式来求质因数
?100 以内的质数（要会背的） ：
2、3、5、7、 11、13、 17、19、 23、29、 31、37、 41、43、 47、 53、59、 61、67、 71、73、 79、 83、89、 97.
Page 1
3. 公因数与公倍数
公因数：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数。
公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。
一个数的因数的个数是（ 几个数的公因数的个数是（
）的，倍数的个数是（ ）的，公倍数的个数是（
）的。 ）的。
4. 最大公因数与最小公倍数
最大公因数：在几个自然数的公因数中，最大的一个称为这几个数的最大公因数。 a、b 的最大公因数=(a，b)
最小公倍数： 在几个自然数的公倍数中，除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数。 a、b 的最小公倍数=[a、b]
2 3 1 8 9 3
（18，30）=2×3=6 二、典型例题详解 【例 1】五年级三个班分别有 30、24、42 人参加课外科技活动，现在要把参加的人分成人数相等的小级，并 且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？一共可以分成多少个小组？ 解： 30=2×3×5 24=2×3×2×2 42=2×3×7 （30，24，42）=2×3=6（人） 30÷6=5（个） 24÷6=4（个） 42÷6=7（个） 5＋4＋7=16（个）
Page 2
3 0 15 5
用公有的质因数2除 用公有的质因数3除 除到两个商是互质数为止
[18，30]=2×3×3×5=90
用短除法计算：
答：每组最多可以分 6 人，一共可以分 16 个组。 【例 2】有一种长 16 厘米，宽 12 厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一个正方形，最少需要多少块？ 解：16=2×2×2×2 12=2×2×3 [16，12]=2×2×2×2×3 =48（厘米） 48÷16=3（块） 48÷12=4（块） 3×4=12（块） 答：最少需要 12 块扣板。 【例 3】甲对乙说： “我现在的年龄是你的 7 倍，过几年是你的 6 倍，再过若干年就分别是你的 5 倍、4 倍、3 倍、2 倍。 ”求出甲、乙现在的年龄。 解：∵甲现在的年龄是乙的 7 倍，则甲的年龄比乙大 6 倍； ∵当甲的年龄是乙的 6 倍时，则甲的年龄比乙大 5 倍； ∵当甲的年龄是乙的 5 倍时，则甲的年龄比乙大 4 倍； ∵当甲的年龄是乙的 4 倍时，则甲的年龄比乙大 3 倍； ∵当甲的年龄是乙的 3 倍时，则甲的年龄比乙大 2 倍； ∵当甲的年龄是乙的 2 倍时，则甲的年龄比乙大 1 倍； ∴甲、乙的年龄差是 6、5、4、3、2 的公倍数。 [6，5，4，3，2]=6×5×4×3×2=60（岁） 60÷（7-1）=10（岁） 10+60=70（岁） 答：甲的年龄是 70 岁，乙的年龄是 10 岁。 【例 4】写出三个小于 20 的自然数，它们的最大公因数为 1，但两两均不互质，共有几组? 解：假设这三个数分别是 a、b、c ∵a、b、c 两两不互质，且 a＜20，b＜20，c＜20， 则两两间的质因数互不相同且乘积小于 20 （a，b）=2 或（a，b）=3 或（a，b）=5； （a，c）=2 或（a，c）=3 或（a，c）=5； (b，c）=2 或 (b，c）=3 或 (b，c）=5； ∴a，b，c 三数有可能是 2×3=6，2×5=10，3×5=15，2×6=12，3×6=18。 又 ∵（a，b，c）=1； （6，10，15）=1； （10，15，12）=11； （10，15，18）= 答：共有三组，分别是（6、10、15） ， （10、12、15） ， （10、15、18） 。 用短除法计算：
Page 3
三、课后习题 1. 求 56，36，284 的最小公倍数。 2. 有 336 个苹果、252 个梨子、210 个桔子，用这三 种水果最多可以分成多少份相同的礼物？每份礼物 中，三种水果各占多少？
3. 三个人绕环行跑道练习骑自行车， 他们骑一圈的时 间分别为半分钟、45 秒钟、1 分 15 秒。三人同时从起 点出发，最少需要多长时间才能再次在起点相会？
4. 有一个表， 每走 9 分钟亮一次灯，每到整点时响一 次铃。中午 12 点时既亮灯又响铃。 下次既亮灯又响铃 在几点？
5. 把一张长 120cm，宽 80cm 的长方形纸裁成同样大 小的正方形(纸不能有剩余)，至少能裁成多少张这样 的正方形纸，每张裁成的纸是多大？
6. 用一个数去除 31，61，76 都余 1，这个数最大是 多少？
Page 4
第 2 课 倍数与因数（二）
一、知识要点 1. 最小公倍数与最大公因数之间的关系
定理一：两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。 即：如果（a，b）=d，那么（a÷ d，b÷d）=1 定理二：两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。 即：[a，b]×（a，b）=a×b
定理三：两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数
二、典型例题详解 【例 1】甲数是 36，甲、乙两数的最大公因数是 4，最 小公倍数是 288，求乙数。 解：设乙数是 a 36×a=4×288 a=4×288÷36 a=32 答：乙数是 32。 【练一练】甲数和乙数的最大公因数是 6，最小公 倍数是 90，且小数不能整除大数，求这两个数。
【例 2】已知两数的最大公因数是 21，最小公倍数是 126，求这两个数的和是多少？ 解：设这两个数分别为 a、b 126÷21=6 6=3×2 a=3×21=63 b=2×21=42 63+21=84 或 6=1×6 a=1×21=21 b=6×21=126 21+126=147
【练一练】 两个自然数的和是 56， 它们的最大公因 数是 7，求这两个数。
答：这两个数的和是 84 或 147。
Page 5
【例 3】 两个自然数的和是 50， 它们的最大公因数是 5， 求这两个数的差。 解：设这两个自然数分别是 5a、5b ∵5a+5b=50 ∴a+b=10 ∵(a，b)=1 且 a+b=10 ∴｛ a ? 1 或｛ a ? 3
【练一练】 已知两个自然数的积是 5766，它们的最 大公因数是 31，求这两个数。
b?9 b?9
b?7
当｛ a ? 1 时，5a=5，5b=45
5b-5a=40
当｛ a ? 3 时，5a=15，5b=35 5b-5a=20
b?7
答：这两个数的差是 40 或 20.
【例 4】两个自然数的和是 54，它们的最小公倍数与 最大公因数的差是 114，求这两个自然数。 解：设这两个数是 A、B 。且 A=am；B=bm ∵A+B=54 ，则 am+bm=54 ∴m(a+b)=54 ∵(A、B)=m； a、b 为 A、B 两数的非有公因数，(a、b)=1 ∴[A、B]=m×a×b ∵[A、B]－(A、B)=114，则 m×a×b－m=114 ∴m(ab－1)=114 ∵m(a+b)=54 且 m(ab－1)=114 则 m 是 54 和 114 的公因数 又∵（54，114）=6，6=1×6=2×3 ∴m=1 或 m=6 或 m=2 或 m=3 如果 m=1，则 1×(a+b)=54，a+b=54； 1×(ab－1)=114，ab=115 ∵115=1×115 或 115=5×23 ∵115+1≠54 且 5+23≠54 ∴m≠1 如果 m=6，则 6×(a+b)=54，a+b=9； 6×(ab－1)=114，ab=20 ∵(a、b)=1，则 20=1×20 或 20=4×5 ∵1+20≠9，4+5=9 则 m=6，a=4，b=5； ∴A=4×6=24，B=5×6=30 如果 m=2，则 2×(a+b)=54，a+b=27 2×(ab－1)=114，ab=58 ∵(a、b)=1，则 58=1×58 或 58=2×29
（接【例 4】 ） 如果 m=3，则 3×(a+b)=54，a+b=18 3×(ab－1)=114，ab=39 ∵(a、b)=1， 则是 39=1×39 或 58=3×13 ∵1+39≠18 且 3+13≠16 ∴m≠3 答：这两个自然数是 24 和 30。 【练一练】两个数的差是 4，最大公因数与最小公 倍数的积是 252，求这两个数。
Page 6
∵1+58≠27 且 2+29≠27 ∴m≠2 三、课后作业 （1） 某数与 24 的最大公因数是 4， 最小公倍数是 168， 这个数是多少？ （2）已知两个自然数的最大公因数为 4，最小公倍 数为 120，求这两个数。
（3）两个数的和是 70，它们的最大公因数是 7，求这 两个数的差是多少？
（4）已知两个自然数的差为 48，它们的最小公倍数 为 60，求这两个数。
（5）两个数的最大公因数是 18，最小公倍数是 180， 两个数的差是 54，求两个数的和。 （6）已知两个自然数的差为 30，它们的最小公倍数 与最大公约数的差为 450，求这两个自然数。
（7）两个数的最大公因数是 12，最小公倍数是 72， 这两个数的和是多少？
Page 7
（8）两个自然数的差是 3，它们的最大公因数与最小 公倍数的积是 180，求这两个数。
复习练习 第 2 课
（1）有一种地砖，长 20 厘米，宽 15 厘米，至少需 要多少块这样的地砖才能拼成一个实心的正方形？
（2）一箱鸡蛋，四个四个数多 3 个，五个五个数多 4 个，七个七个数多 6 个，这箱鸡蛋至少有多少个？
（10）已知 a 与 b、a 与 c 的最大公因数分别是 12 和 15，a、b、c 的最小公倍数是 120，求 a、b、c。
（3）有一个班的同学包车旅游，如果增加一辆车， 正好每辆车坐 10 人，如果减少一辆车，正好每辆车 坐 15 人，这个班共有多少人？
（4）一条路长 96 米，从一端起，每隔 4 米栽一棵树（路两旁都栽） 。现要再每隔 6 米栽一棵，已栽上的地 方不用重栽，这条路上共需新栽多少棵树？
Page 8
第二讲
一、知识要点 1. 基本平面图形特征及面积公式 特征 正方形 ①四条边都相等。 ②四个角都是直角。 ③有四条对称轴。 长方形 ①对边相等。 ②四个角都是直角。 ③有二条对称轴。 平行四边形
图形的面积
第 1 课 巧求图形面积
面积公式 S=a2
S=ab
①两组对边平行且相等。 ②对角相等，相邻的两个角之和为 180° ③平行四边形容易变形。 ①两边之和大于第三条边。 ②两边之差小于第三条边。 ③三个角的内角和是 180°。 ④有三条边和三个角，具有稳定性。 ①只有一组对边平行。 ②中位线等于上下底和的一半。
S=ah
三角形
S=ah÷2
形 2. 基本解题方法：
S=(a+b)h÷2
由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先根据图形 的基本关系，再运用分解、组合、平移、割补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。 二、典型例题详解 【例 1】已知平行四边表的面积是 28 平方厘米，求阴 影部分的面积。 【练一练】如果用铁丝围成如下图一样的平行四边 形，需要用多少厘米铁丝？（单位：厘米）
Page 9
【例 2】 下图中甲和乙都是正方形， 求阴影部分的面积。 （单位：厘米）
【练一练】求图中阴影部分的面积。 （单位：厘米）
【例 3】如图所示，甲三角形的面积比乙三角形的面积 大 6 平方厘米，求 CE 的长度。
【练一练】 平行四边形 ABCD 的边长 BC=10 厘米， 直角三角形 BCE 的直 角边 EC 长 8 厘米，已 知阴影部分的面积比 三角形 EFG 的面积大 10 平方厘米。求 CF 的 长。
Page 10
【例 4】两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形。 已知两个三角形的面积（如图所示） ，求另两个三角形 的面积各是多少？（单位：厘米）
B
【练一练】下面的梯形 ABCD 中，下底是上底的 2 倍，E 是 AB 的中点，求梯形 ABCD 的面积是三角形 EDB 面积的多少倍？
【练一练】 一个长方形的草 坪，中间有两个人 行道。高是 14 求草坪的面积。 (单位：厘米)
32
【练一练】计算下面图形的面积。
28
Page 11
三、课后作业 1． 下面的梯形中，阴 影部分面积是 150 平方厘米，求梯形 的面积。 3. 求图中阴影 部分的面 积。 单位：厘米
2. 正方形 ABCD 的 边长是 12 厘米， 已 知 DE 是 EC 长度的 2 倍，求： （1） 三 角 形 DEF 的面积。 （2） CF 的长。
4.梯形 ABCD 的面积是 45 平方厘米，高 6 厘米。三 角形 AED 的面积是 5 平方厘米，BC=10 厘米，求阴影部分 的面积。
Page 12
5. 正方形 ABCD 的面积是 100 平方厘米，AE=8 厘米， CF=6 厘米，求阴影部分的面 积。
6.求图形中梯形 ABCD 的面积。 （单位：厘米）
第 2 课 等积变形求面积
一、知识要点
三角形 等底等高 的 平行四边形 面积相等
如果两个三角形底相等， 大三角形面积是小三角形面积的 2 倍， 大三角形高是小三角形高的 如果两个三角形底相等， 大三角形面积是小三角形面积的 3 倍， 大三角形高是小三角形高的 如果两个三角形底相等， 大三角形面积是小三角形面积的 4 倍， 大三角形高是小三角形高的 如果两个三角形底相等， 大三角形面积是小三角形面积的 n 倍， 大三角形高是小三角形高的
。 。 。 。
如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 2 倍，大平行四边形高是 小平行四边形高的 。
如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 3 倍，大平行四边形高是 小平行四边形高的 。
Page 13
如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 4 倍，大平行四边形高是 小平行四边形高的 。
如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 n 倍，大平行四边形高是 小平行四边形高的
二、典型例题分析 【例 1】四边形 ABCD 中，M 为 AB 的中点，N 为 CD 的中点， 如果四边形 ABCD 的面积是 80 平方厘米，求阴影部分 BNDM 的面积是多少？ 【练一练】如图，六 边形 ABCDEF 的面积 是 16 平方厘米，M、 N、P、Q 分别是 AB、 CD、DE、AF 的中点。 求图中阴影部分的面积。
。
【例 2】如图，平行四边 形 ABCD 中，AE=EF= FB，AG=2CG，三 角形 GEF 的面积 是 6 平方厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米？
【练一练】如图，在一个等边三角 形中任意取一点 P，连接 PA、PB、 PC，过 P 点作三角形的垂线， E、F、G 分别为垂足。三角形 ABC 被分成 6 个三角形。已 知三角形 ABC 的面积为 40 平方厘米，求图中阴影 部分的面积。
Page 14
【例 3】下图中正方形 ABCD 的边长是 4 厘米， 长方形 DEFG 的长 DG=5 厘米，问长方形的 宽 DE 为多少厘米？
【练一练】两个相同的直角三角形叠放在一起， 求 阴影部分的面积。 （单位：分米）
【例 4】两个正方形拼成一 个图形，其中小正方形的边 长是 4 厘米，求阴影部分的 面积。
【练一练】
如图，AE=ED，AF=FC，已知 ABC 的面积为 100 平方 厘米， 求阴影部分的 面积。
Page 15
三、课后作业 1.平行四边形的面积为 50 平方厘米，P 是其中任意 一点，求阴影部分的面积。 2. 长方形 ABCD，三角形 ABG 的面积为 20 平方厘 米，三角形 CDQ 的面积为 35 平方厘米，求阴影部分 的面积。
3.ABCD 是直角梯形，其中 AD=12 厘米，AB=8 厘米， BC=15 厘米， 且三角形 ADE、 四边形 DEBF 及三角形 CDF 的面积相等， 三角形 EBF （阴 影部分）的面积是多少？
4.如图，AD=2AB，CF=3AC，BE=4BC， 已知 ABC 的面积为 5 平方厘米， 求 DEF 的面积。
5.如图，AB=4 厘米，BC=6 厘米， AC=2CD，BE=BD，求 三角形 ADE 的面积。
6.图中 BD=2DC，AE=BE， 已知三角形 ABC 的面积 是 18 平方厘米，求四边 形 AEDC 的面积是多少？
Page 16
第三讲
一、知识要点 1. 分数的意义和性质 分数的意义：
分数的基本性质
第 1 课 分数的认识
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。 （分母表示把一个物体平均分成几份,分子是表示这样几份的数。把 1 平均分成分母份， 表示这样的分子份。 ） 分数单位： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位。 ☆分数的性质： 分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0 除外） ，分数的大小不变。 2. 分数的分类 真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数。真分数大于 1。 假分数：分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于 1 或等于 1。 带分数：带分数就是将一个分数写成整数部分+一个真分数。
★带分数与假分数的互换：
带分数 例： 3 假分数 例： 带分数 3. 计算方法： 假分数：分母不变,分子为整数部分乘以分母的积再加上原分子的和。
5 3 ? 7 ? 5 26 = = 7 7 7
带分数： 分母不变,整数部分为原分子除以分母的商,分子则为原分子除以分母的余数。
2 14 14 ? 3 = =4 3 3 3
真分数
★分数加减法★
（1） 同分母分数相加减，分母不变，即分数单位不变，分子相加减，最后要化成最简分数。 例：
5 1 3 5 ?1? 3 3 = ? ? = 7 7 7 7 7
（2） 异分母分数相加减，先通分，即运用分数的基本性质将异分母分数转化为同分母分数，改变其 分数单位而大小不变，再按同分母分数相加减法去计算，最后要化成最简分数。 例：
5 4 1 25 24 15 25 ? 24 ? 15 34 = = ? ? = ? ? 6 5 2 30 30 30 30 30
Page 17
★分数乘除法★
（1） 分数乘整数，分母不变，分子乘整数，最后要化成最简分数。 例：
5 5 ? 6 10 = ?6= 9 9 3 2 6 2?6 4 = ? = 9 7 9 ? 7 21
（2） 分数乘分数，用分子乘分子，用分母乘分母，最后要化成最简分数。 例：
（3） 分数除以整数， 分母不变， 如果分子是整数的倍数， 则用分子除以整数， 最后要化成最简分数。 例：
8 8?4 2 = ? 4= 9 9 9
（4） 分数除以整数，分母不变，如果分子不是整数的倍数，则用这个分数乘这个整数的倒数，最后 要化成最简分数。 例：
2 2 1 1 ? 6= ? = 9 9 6 27 2 2 2 3 1 ? = ? = 9 3 9 2 3
【练一练 1】分子、分母的乘积是 420 的最简真分数 共有多少个？
（5） 分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，最后不是最简分数要化成最简分数。 例： 二、典型例题分析 【例 1】分母是 91 的真分数有多少个？最简真分数有 多少个？
【例 2】 把一个最简分数的分子加上 1， 这个分数就等 于 1。 （1）如果把这个分数的分母加上 1，这个分数就等于
【练一练 2】一个分数约分成最简分数是 分母的和是 90，原分数是多少？
3 ，原分子、 7
8 ，原分数是多少？ 9
（2）如果把这个分数的分母加上 2，这个分数就等于
8 ，原分数是多少？ 9
Page 18
【练一练 3】一个真分数的分子、分母是两个连续的 73 的分子和分母都减去同一个整数， 2 136 自然数，如果分母加上 4，这个分数约分后是 ，原 2 3 所得的分数约分后是 ，求那个整数是多少？ 来这个分数是多少？ 9 【例 3】分数
1 55 的分子减去某数，而分母同时加上这 【练一练 4】一个分数，分子加上 1 可约分为 ，分 3 64 4 1 个数后，所得的新分数化简后为 ，求某数。 子减去 1 可约分为 ，求这个分数。 13 5
【例 4】分数
1 a?7 的分子、 分母同时加一个自然数， 【练一练 6】 是最简真分数， a 可取的整数共有 12 48 多少个？ 1 新分数化简得一个分数 ；求这个自然数。 2
【练一练 5】 分数
三、课后作业 【1】分母是 51 的真分数有多少个？最简真分数有多 少个？ 【2】 一个最简分数的分子缩小 5 倍， 分母扩大 9 倍后 是
2 ，原分数是多少？ 27
Page 19
【3】 的分子、 分母同时加上多少后可以约分为
3 13
【4】一个分数，如果分子加上 16，分母减去 166，那 1 ？ 3 3 么约分后是 ；如果分子加上 124，分母加上 340，那 4 1 么约分后是 ，求原分数是多少？ 2
【5】填空题： （列式、计算、填空） (1)一个最简真分数的分子、分母之积是 30，这个最简 真分数是 。 (3)一个最简真分数，把它的分母扩大 5 倍，而分子缩 小 4 倍， 化简后是
1 ， 求这个最简真分数是 52
。
(2)分母是 85 的真分数共有 的最简真分数共有 个。
个，分母是 85
（4）一个最简真分数，分子、分母之和是 15，这个 最简真分数是 。
【6】一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如
1 的分子、分母同时加同一个自然数，新 3 12 果分母加上 3 后，这个分数约分为 ，求原分数是多 1 4 分数化简后得 ，求这个自然数。 少？ 2
【7】分数
Page 20
学生课程讲义 填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。 解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。 待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。 试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。 例1： 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。 先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。 把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。 练习： 1、把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。 2、把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。 3、将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
例2： 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。 分析设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2、即55＋a＋b=60，a＋b=5。在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。 当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2、6，8，9）和（3、5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1、5，9，10）和（4，6，7，8）。 练习： 1、把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。 2、把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。 3、将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。 例3： 将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。
五年级奥数讲义：倒推法解题 在我们生活中经常会遇到“还原问题”，如把一盒包装精美的玩具打开，再把它重新包装好，重新包装的步骤与打开的步骤正好相反.其实在数学中，也有许多类似的还原问题.解决这类问题最常用的方法就是倒推法，即从结果入手，逐步向前逆推，最终找到原问题的答案. 例题选讲 例1:有一群猴子分吃桃子，第一只拿走—半，第二只拿走余下的一半多3个，第三只拿走第二只取剩的一半少3个，第四只拿走第三只取剩的一半多3个，第五只拿走第四只取剩的一半，最后还剩3个，这堆桃原来有多少个? 【分析与艉答】l|这道题条件比较多，顺向思考很困难,如果根据最后的结果倒推还原，解决起来就轻松了.曲于第五只猴子拿走余下的一半，还剩3个，所以第五只猴子拿之前应该有桃子：3×2=6(个)，同理，第四只猴子拿之前应该有桃子：(6+3)×2=18(个)，第三只猴子拿之前应该有桃子：(18—3)×2=30(个)，第二只猴子拿之前应该有桃子：(30+3)×2=66(个)，第一只猴子拿之前应该有桃子：66×2=132(个)，即这堆桃有132个. 例2:甲、乙、丙三人各有若干元钱，甲拿出与乙相同多的钱给乙，也拿出与丙相同多的钱给丙；然后乙也按甲和雨手中的钱分别给甲、丙相同的钱；最后丙也按甲和乙手中的钱分别给甲、乙相同的钱，此时三人都有48元钱. 问：开始时三人各有多少元钱? 【分析与解答】从第三次丙给甲、乙钱逐步向前推算，根据三人最后都有48元，那么在丙给甲、乙添钱之前：甲：48÷2：24(元)， 乙：48÷2—24(元)， 丙：48+24+24—96(元)； 第二次在乙给甲、丙添钱之前： 甲：24÷2—12(元)， 乙：24+12+48===84(元)， 丙：96÷2=48(元)； 第一次在甲给乙、丙添钱之前： 甲：12+42+24—78(元)， 乙：84÷2=42(元)， 丙：48÷2=24(元). 所以开始时甲有78元，乙有42元，丙有24元. 例3:甲、乙、丙三人共有48张邮票，第一次甲先拿出与乙的邮票数相等的张数给乙；第三次
【小学五年级奥数讲义】作图法解题 一、专题简析： 用作图的方法把应用题的数量关系提示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用。 在解答已知一个数或者几个数的和差、倍差及相互之间的关系，求其中一个数或者几个数问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进行分析，从而列出算式。 二、精讲精练 例题1 五（1）班的男生人数和女生人数同样多。抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。五（1）班原有男、女生各多少人？ 练习一 1、两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍。这两根电线原来共长多少厘米？
2、甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。原来两筐水果各有多少个？ 例题2同学们做纸花，做了36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还多12朵。红花比紫花多几朵？ 练习二 1、奶奶家养了25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多10只。奶奶家养的鸡比鹅多几只？ 2、批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。运来的香蕉比苹果少多少筐？
例题3 甲、乙、丙、丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大2倍，丁组植树棵数减少一半，那么四个组植的棵数正好相同。原来四个小组各植树多少棵？ 图中实线表示四个小组实际植树的棵数： 练习三 1、甲、乙、丙、丁四个数的和是100，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，丁数除以4后，四个数就正好相等。求这四个数。 2、甲、乙、丙三人分113个苹果，如果把甲分得的个数减去5，乙分得的个数减去24，丙把分得的个数送给别人一半后，三人的苹果个数就相同。三人原来各分得苹果多少个？
第 25 讲最大公约数 基础卷 1．有三根钢管，分别长 200cm、 240cm、 360cm，现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段，一共能截成多少段？ 此题关键求200.240.360的公约数 200=2×2×2×5×5 240=2×2×2×2×3×5 360=2×2×2×3×3×5 最大公约数=2×2×2×5=40 所以可以截成200/40+240/40+360/40=5+6+9=20段 2．某苗圃的工人加工一种精巧的盆景，第一批加工 1788 个，第二批加工 1680 个，第三批加工 2098个，各批平均分给工人加工，分别剩下 7 个.3 个 5 个，问：最多有多少工人参加加工？1788-7＝1781 1680-3＝1677 2098-5＝2093 （1781,1677,2093）＝13 答：最多有13个工人参加加工. 3．一间长 5.6m、宽 3.2m 的屋子，它的水泥地在施工中要划成
正方形的格子，这种方格面积最大是多少平方米？ 实际就是求5.6和3.2的最大公约数 5.6=2*2*7*0.2 3.2=2*2*2*2*0.2 因此最大公约数是2*2*0.2=0.8 因此最大的正方形面积是0.8*0.8=0.64平方米 4．用辗转相除法求 6731 和 2809 的最大公约数。 6731和2809的最大公约数是53. 6731/2809=2---1113 2809/1113=2---583 1113/583=1---530 583/530=1---53 530/53=10---0 因此,最大公约数就是53. 5．有一个数分别去除 492， 2241， 3195 余数都是 15，求这个数最大是多少？ 492-15=477=3×159 2241-15=2226=14×159 3195-15=3180=20×159 这个数=159
五年级奥数讲义：棋盘中的数学（含答案） 1．棋盘中的图形与面积； 2．棋盘中的覆盖问题： （1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖 问题.实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列 的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题. （2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最 多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题. （3）重要结论： ① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是m、n 中至少有一个是偶数． ② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n． 3、棋盘中的象棋问题： 所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题.这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题.解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学.
1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题； 2、利用象棋知识寻找路线； 例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？ （A）3×4 （B）3×5 （C）4×4 （D）4×5 （E）6×3 答案：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）． 分析：这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题． 定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数． 例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？
第3讲巧用运算定律 一、复习巩固（比一比，练一练）： 25×125×32 2.5×1.25×3.2 二、例题：29.5×47.5+62.1×52.2+47.8×32.6 三、（举一反三）： 12.5×4.8×3.2 45×2.8 35×5.6 19.6×36+19.6×46+9.8×38 85×3.4+16×3.4 5.8× 6.9+0.58×32－5.8×0.1 6.5×38－2.5×38+4×62
消去问题 在有些应用题中，给出了两个或两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知的数量，先把题中的条件按对应关系一一排列出来，思考时可以通过比较条件，分析对应的未知量的变化情况，设法消去一个或一些未知量，从而把一道数量关系较复杂的题目，变成比较简单的题目解答出来，这种方法叫做消去法。 例：小红在商店里买了4块橡皮和3把小刀，共付0.59元。小黄买同样的2块橡皮和3把小刀，共付0.43元。问：一块橡皮和一把小刀的价钱各是多少元？ 试试看 1.买3枝钢笔，2块橡皮共付4.98元。若买5枝钢笔、2块橡皮要付7.98元。问一枝钢笔、一块橡皮各值多少元？ 2. 小卫到百货商店买了2枝圆珠笔和1枝钢笔，用去人民币5.5元。如果买一枝圆珠笔和2枝钢笔要人民币6.5元，问1枝圆珠笔和1枝钢笔价格各是多少元？ 3. 2份蛋糕和2杯饮料共用28元，1份蛋糕和3份饮料共用去18元，问一份蛋糕和一杯饮料各需多少元？
第2讲正方形队列 同学们，还记得国庆时激动人心的阅兵式吗？陆海空三军仪仗队都是方阵。方阵可以由各种不同的实物排成，既有实心方阵也有空心方阵。这一讲，我们就来一起研究这些方阵。 例题1：有一个正文形花圃，四个角各摆了1盆花。如果每边都摆了5盆花，那么四边一共摆了几盆花？ 试试看： 有一个正方形池塘，四个角各栽了1棵树，如果每边栽8棵树，那么四边一共栽了几棵树？ 例题2：80个小朋友手拉手围成一个正方形，四个角上各站着1个小朋友，则正方形的每条边上有多少个小朋友？ 试试看：在正方形围墙四周等距离地装有96盏灯，四个角上各装有1盏，这样每边有多少盏灯？ 例题3：五年级的部分同学参加运动会队列训练，排成如右图所示的正方形，最外层每边有5人。这个队列共有多少人？ 试试看：一个团体操表演队，排成一个空心方阵，共有3层，最内层有20人，这个团体操表演队共有多少人？
1 小学奥数基础教程(五年级) 2 第1讲数字迷（一）第16讲巧算24 3 第2讲数字谜(二) 第17讲位置原则 4 第3讲定义新运算(一) 第18讲最大最小 5 第4讲定义新运算(二) 第19讲图形的分割与拼接6 第5讲数的整除性(一) 第20讲多边形的面积 7 第6讲数的整除性(二) 第21讲用等量代换求面积8 第7讲奇偶性（一）第22讲用割补法求面积 9 第8讲奇偶性（二）第23讲列方程解应用题10 第9讲奇偶性（三）第24讲行程问题（一）11 第10讲质数与合数第25讲行程问题（二）12 第11讲分解质因数第26讲行程问题（三）13 第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第27讲逻辑问题（一）14 第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第28讲逻辑问题（二）15 第14讲余数问题第29讲抽屉原理(一) 16 第15讲孙子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理(二) 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31 第1讲数字谜（一） 32 数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、33 排除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。 34 这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。35 例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号36 只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。 37 分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，38 所以应首先确定“÷”的位置。 39 当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是40 13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。（5÷13-7）×（17+9）。 41 当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。 42 当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。 43 例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□44 =5568。 45 解：将5568质因数分解为5568=26×3×29。由此容易知道，将 5568分解为两个两46 位数的乘积有两种：58×96和64×87，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：47 12×464， 16×348， 24×232， 48 29×192， 32×174， 48×116。 49 显然，符合题意的只有下面一种填法：174×32=58×96=5568。
第1讲 巧求周长和面积 几何是研究现实世界的空间形式与数量关系的一门科学，是日常生活和进一步学习必不可少的基础和工具。几何问题非常直观、有趣，但是仍然有的同学对解几何问题的基本方法掌握不好。之前已经学习了长方形和正方形的周长和面积公式，利用公式可以解决一些简单的标准图形的周长和面积问题，对于一些复杂的不规则图形的周长和面积问题，我们可以采用平移、转化、分割、添补、合并等方法，将问题转化为我们熟悉的、简单的图形问题，从而顺利的解决。 本讲掌握长度与面积的概念和基本计算方法。学会运用平移、标方向等方法处理某些长度计算问题；运用平移、旋转、对称等方法处理某些面积计算问题。 学海导航 巧求周长（三年级秋季） 巧求周长与面积（四年级暑假） 等积变换（四年级春季） 巧求周长与面积（本讲） 直线型面积（一）（五年级秋季） 直线型面积（二）（五年级秋季） 直线型面积（三）（五年级寒假） 知识要点 周长：围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。 长方形周长公式：()()22a b =+?=+?长方形长方形周长长宽，记作：C 正方形周长公式：44a =?=?正方形正方形周长边长，记作：C 方法：公式法、平移线段法、标向法 面积：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。 长方形面积公式：a b =?=?长方形长方形面积长宽，记作：S 正方形面积公式：2a a a =?=?=正方形正方形面积边长边长，记作：S 三角形面积公式：11 22 a h =??=??三角形三角形面积底高，记作：S 平行四边形面积公式：a h =?=?平行四边形平行四边形面积底高，记作：S 梯形面积公式：()()11 22 a b h =??=?+?梯形梯形面积上底+下底高，记作：S 方法：公式法、割补法（将图形平移、对称、旋转）
五年级奥数讲义：作图法解题 图形具有直观性,用作图的方法可以将复杂应用题的数量关系直观地表示出来,使题目的已知条件和所求问题一目了然,并借助直观的图形进行分析、推理,进而很快找到解决问题的策略.这种方法我们称为作图法解题,特别是对解答条件复杂、数量关系不明显的应用题,能起到化难为易的作用. 例题选讲 例1:鸡与兔同笼共100只,一共有240只脚鸡与兔各多少只? 【分析与解答】这是鸡兔同笼问题,我们在前几讲已学会用其它方法解答,现在用作图法来解答,让同,学们体会一下这种方法的作用.图1中两个长方形的总面积表示的是鸡与兔脚的总个数,宽表示每只鸡与兔的脚的个数.则长就是要求的鸡与兔的只数.仔细观察图2,阴影部分的面积表示鸡与兔多出的脚,它应该等于总面积减空白面积,即240—2 x 100=40(只),那么阴影部分的长,也就是兔的只数应为40÷(4—2)=20(只),鸡的只数就是1OO-20=80(只)． 例2:甲、乙两车同时从A、B两地相向开出,第一次相遇时离A地有90千米,然后各按原速度继续行驶,到达目的地后立即沿原路返回,第二次相遇时离B地70千米处,求A、B两地的路程. 【分析与解答】求A、B两地的路程,题中既没有给出甲、乙 的速度,也没有给出相遇时间,解答比较困难.下面我们借助 线段图来帮助分析.从图上可以看出,甲、乙两车从出发到第一次相遇共行驶了一个全程,当两车共行驶1个全程时,甲车行驶了90千米.从第一次相遇到第二次相遇,甲、々两车又共行驶了2个全程.因此从出发到第l二次相遇甲、乙两车共行驶了3个全程,那么甲车就行驶了3个90千米,即90×3=270千米,而甲车比全程多行70千米.所以A、B的距离为270—70=200(千米). 练习与思考 1.有10分和20分的邮票共18张,总面值为2．80元.请问：10分和20分的邮票各有几张? 2.张红与李明同时从甲、乙两地相向而行,第一次两人相遇时离乙地400米.然后两人继续步行,各自到达目的地后立即返回,第二次相遇时离甲地200米,求甲、乙两地的距离.
第27讲最小公倍数（二） 一、专题简析： 最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。 二、精讲精练 例题1 有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。这个自然数最小是多少？ 练习一 1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年级最少多少人？ 2、一个数能被 3、5、7整除，但被11除余1。这个数最小是多少？
例题2 有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？ 练习二 1、一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？ 2、有一批乒乓球，总数在1000个以内。4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？ 例题3 一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？
练习三 1、有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。 2、五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。请你算一算，五（1）班有多少位同学？ 例题4 从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？ 练习四 1、插一排红旗共26面。原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。如 果起点一面不移动，还可以有几面不移动？
中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象授课教师 授课时间授课题目 课型使用教具 教学目标年龄问题在应用题中的运用 教学重点和难点年龄问题中的不变量 参考教材 教学流程及授课详案 知识概括： 我们先来看一个笑话： 小华和小明在一起比年龄，小华今年七岁，小明今年九岁。小明神气的对小华说：“我比你大两岁。”小华不服气的说：“大两岁又怎么样，过两年了，我们俩不就一样大了。” 如果你看了一定会抱腹大笑，它的可笑之处在于小华没有弄明白人年龄的变化特点。 你的年龄在一岁岁的增长，你的妈妈的岁数也在增长。不知你发现没有：不管两人的年龄怎么变化，但两人的年龄差是不会变的。 年龄问题与和（差）倍问题、和差问题都有联系，你有兴趣探讨么？ 例1． 爸爸、妈妈今年的年龄和是82岁。5年后，爸爸比妈妈大6岁。今年爸 爸、妈妈各多少岁？ 分析： 爸爸和妈妈的年龄差始终不变，现在爸爸比妈妈仍大6岁。问题转化为 和差问题。 解： 今年妈妈的年龄为 （82-6）÷2=38（岁） 今年爸爸的年龄为 38+6=44(岁) 答：今年爸爸和妈妈的年龄各为44岁、38岁。 练习1. 强强今年11岁，军军今年7岁。当两人的年龄的是38岁时，两人各是多少岁？ 例2． 小红今年7岁，妈妈今年35岁。小红几岁时，妈妈的年龄正好是小红的 3倍？ 分析 : 今年妈妈与小红年龄的差是（35-7）=28（岁），这个年龄差是不变的。 在妈妈年龄正好是小红的3倍时，年龄差仍为28岁。问题转化为差倍 问题，利用差倍公式解决问题。 解： 小红的年龄为时间分配及备注
（35-7）÷（3-1）=14 答：小红年龄为14岁时，妈妈的年龄正好是小红的3倍。 练习2 明明今年3岁，妈妈今年27岁。明明几岁时，妈妈的年龄正好是明明的5倍？ 例3． 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。6年后母子年龄和是76岁。问：母亲今年多少岁？ 分析: 六年前母子年龄和为（78-6-6）=66（岁），6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。转化为和倍问题。 解： 六年前儿子的年龄为 （78-6-6）÷（5+1）=11（岁） 六年前母亲的年龄为 11×5=55（岁） 今年母亲的年龄为 55+6=61（岁） 答：母亲今年61岁。 练习3 父子两人今年的年龄和是40岁。儿子年龄的5倍比父亲的年龄大2岁。 父子两人3年后各是多少岁？ 例4． 甲的年龄比乙的年龄的4倍少3，甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄。 问：甲、乙现在各为多少岁？ 分析: “甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄。”表明甲比乙大6岁。甲如果再增加三岁，那么就是乙的年龄的4倍，问题转化为差倍问题。 解： 现在乙的年龄为 （6+3）÷（4-1）=3（岁） 现在甲的年龄为 3+6=9（岁） 答：甲、乙现在各为9岁、3岁。 练习4. 甲的年龄比乙的年龄的3倍少4，甲5年前的年龄比乙3年后的年龄大2岁。问：甲、乙现在各为多少岁？ 例5． 小象对大象说：“妈妈，我到你现在这么大时，你就31岁了。”大象说“我像你这么大时，你只有1岁。”问：大、小象现在各为多少岁？ 分析: 由小象的话可知（大象的年龄）+（大、小象的年龄差）=31 有大象的话可知（小象的年龄）-（大、小象的年龄差）=1
↑↑↑↑↑优才家教 优等生同步奥数提高 五年级（下）↑↑↑↑↑ 第一讲 整数问题 第1课 数的整除 一、知识要点 1. 整除——因数、倍数 2. 相关基础知识点回顾 （1）0是任何整数的倍数。 （2）1是任何整数的因数。 3. 数整除的性质 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。 例如：如果6｜36，9｜36，那么[6，9]｜36。 例如：如果2｜72，9｜72，且（2，7）=1，那么18｜72。 必要条件： （1）a 、b 、c 三个数是整数 （2）b ≠0 （3）a ÷b=c 结论：整数a 能被整数b 整除，或b 能整除a ，则a 叫做b 的倍数，b 叫做a 的因数。 记作：b ｜a
例：如果7｜14，14｜28，那么7｜28。 4.数的整除特征 （1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、4、6、8、0），那么它必能被2整除。 （2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除。 （3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除。 （4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除。 例：1864能否被4整除？ 解：1864=1800+64，因为4｜64， 4是1864的因数，1864是4的倍数，所以4｜1864。 （5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除。 例：29375能否被125整除？ 解：29375=29000+375，因为125｜375，125是375的因数，375是125的倍数，所以125｜29375。（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。(奇数位指：这个数的个位、百位、万位……；偶数位指：这个数的十位、千位、十万位……) 例：判断13574是否是11的倍数？ 解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。因为0是任何整数的倍数，所以11｜0。因此13574是11的倍数。 例：判断123456789这九位数能否被11整除？ 解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为11 5，所以11 123456789。 （7）能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例：判断1059282是否是7的倍数？ 解：把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282＝777，又因为7｜777，所以7｜1059282。因此1059282是7的倍数。 例：判断3546725能否被13整除？ 解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725。
专题一认识负数 知识要点 同学们已经认识了自然数，并初步认识了分数和小数，本章节中，要结合熟悉的生活情境，进一步认识负数，一方面拓宽知识面，同时激发你们的学习兴趣；另一方面也为以后进一步理解有理数的意义及有理数的运算打下基础 典例评析 例 1 一次数学测试，杨老师用下列方法统计成绩：凡是得分为100分的记作+10分，得分为87分的记作-3分，得分为93的记作+3分。李明在这次测试中得89分，应记作多少？周方在这次测试中得98分，应记作多少？ 【分析】由于题中将“100分记作+10分，87分记作-3分，93分记作+3分”所以要找出杨老师将多少分记作0分的。100-10=90（分）或87+3=90（分），93-3=90（分），可以看出杨老师是将90分记作0分的。如果高于90分的，高出部分用正数表示，低于90分的，低出部分用复数表示。 例2 一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠点，最后到达终点站。下表记录了这辆公共汽车全程载客人数的变化情况： 停靠站起点站中间 第1站中间 第2站 中间 第3站 中间 第4站 中间 第5站 中间 第6站 终点站 上下站人数+21 -3 +8 -4 +2 +4 -7 +1 -9 +6 -7 -12 （1）中间6个站一共有多少人上车？多少人下车？ （2）中间的6个站，哪站没有人上车，哪站没有人下车？ 【分析】此题中将毎站中上车的人数记作正数，下车的人数记作负数，这样的记法可以看出毎站中车上人数的增减变化情况，也可以计算出“一共有多少人上车？多少人下车？哪个站没有人上车？哪个站没有人下车？” 例3 中国最大的咸水湖----青海湖高于海平面3193米。 世界最低最咸的湖----死海低于海平面400米。 想一想青海湖与死海的海拔相差多少米呢？ 【分析】可以先用正、负数表示各自的海拔高度，然后画个数周进行比较。
专题二二进制问题 知识要点 用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字表示所有整数的方法被叫做十进制，十进制是最常见的进制，世界上绝大数国家和地区都用这种方法来计数，它的特点是满十进一，退一当十。 除了十进制外，有其它一些进位制，如时间是60进制的，即60秒是一分，60分时1小时。还有三进制、五进制、八进制、十六进制等。它们和十进制计数法的道理实质是一样的。现代计算机上大多用二进制，即满二进一，退一当二，这种进位制只用两个数字0和1，如“1”在二进制中记作1，“2”就要满二进一，记作10，“3”记作11，“4”又一次满二进一，记作100，……。为了区别十进制和二进制，只要在这个数的右下角标上2或10即可。 任何一个十进制正整数N都可以写成各数位上的数字与10的次方数的 =9×103+7×102+5×101+8×100（注：100=1）。乘积的和的形式，如9758 （10） 任何一个二进制数也像十进制数一样，也可以写成各个数位上的数字与 =1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1 2的次方数的乘积的和的形式，如110101 （2） ×20 典例评析 化成二进制 例1 将139 （10） 【分析】要将十进制数化为二进制数，只要连续除以2.因为139=69×2+1，即有69个“2”及1个“1”，故应向第二位上进“69”，个位则有1个1；而69=34×2+1，即第二位69又要向第三位进“34”，而本位数字为“1”。但34=17×2，即第三位上的34还应向第四位进“17”，且本位数字为“0”；接下去17=8×2+1，即第四位为1；8=4×2，即第五位为0；4=2×2，即第六位为0；2=2×1，即第七位为0，第八位为1；所以139（10）=10001011（2）。这个过程也可以简算以“短除法”求得。 解因为 的下标10，是为了与其它进位制区别开来，同理说明十进制数139 （10）
五年级奥数 第1讲数字迷（一）第16讲巧算24 第2讲数字谜(二) 第17讲位置原则 第3讲定义新运算(一) 第18讲最大最小 第4讲定义新运算(二) 第19讲图形的分割与拼接第5讲数的整除性(一) 第20讲多边形的面积 第6讲数的整除性(二) 第21讲用等量代换求面积第7讲奇偶性（一）第22 用割补法求面积 第8讲奇偶性（二）第23讲列方程解应用题第9讲奇偶性（三）第24讲行程问题（一）第10讲质数与合数第25讲行程问题（二）第11讲分解质因数第26讲行程问题（三）第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第27讲逻辑问题（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第28讲逻辑问题（二）第14讲余数问题第29讲抽屉原理(一) 第15讲孙子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理(二)
第1讲数字谜（一） 例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。 例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。 例3 在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。 例4 已知六位数33□□44是89的倍数，求这个六位数。 例5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。 FORTY TEN + TEN SIXTY 例6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字，使竖式成立。
练习1 1.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。 2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替 字母，使竖式成立： （1） A B (2) A B A B + B C A - A C A A B C B A A C 3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。 4.在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8。 5.将1～9分别填入下式的□中，使等式成立：□□×□□=□□×□□□=3634。 6.六位数391□□□是789的倍数，求这个六位数。 7.已知六位数7□□888是83的倍数，求这个六位数。
第20讲最小公倍数 教学目标 教学目标掌握倍数和最小公倍数的概念，最小公倍数的求法； 会利用最小公倍数解决实际问题。 知识梳理 一、约数和倍数的定义 整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的约数（在自然数的范围内）。 如：2和6是12的约数，12是2的倍数，12也是6的倍数； 18的约数有1、18、2、9、3、6。 注意：①一个数的约数个数是有限的，一个数的倍数有无数个。 ②任何数都有最小的约数1，最大的约数本身，最小的倍数也是本身。 ③一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 ④因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而因数是从乘积的角度来提出的。如果数a与数b 相乘的积是数c，a与b都是c的因数。 二、 2、3和5倍数的特征 2的倍数的数特征是个位是0、2、4、6、8，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数 5的倍数的数特征是个位是0或5 3的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数 三、质数与合数 （1）只有1和本身两个因数的数叫做质数（或素数） （2）除了1和本身外还有其它因数的数叫做合数 （3）1既不是质数，也不是合数
（4）100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 （5）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 …… 3的倍数有3、6、9、12、15、18 ……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。记作[2,3]=6。 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。 如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。 注意：最大公约数×最小公倍数=两数的乘积， 即（a，b）×[a，b]=a×b。 典例分析 考点一：最小公倍数的求法 例1、列举法：求6和10的最小公倍数。 【解析】先分别写出6 和8 各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。 6 的倍数：6 ，12 , 18 ，24 ，30，36，42，48 … 10 的倍数：10 ，20，30，40，50 … 所以6和10的最小公倍数是30。 例2、短除法：求56和24的最小公倍数。 【解析】256 24 2 28 12 2 14 6 7 3 56和24的最小公倍数是2×2×2×7×3=168
第3讲长方形、正方形的周长 一、知识要点 同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2.正方形的周长=边长×4。长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。 二、精讲精练 【例题1】有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。 练习1: 1.下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。
2.下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。 【例题2】一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？ 练习2： 1.有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。 2.有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按 下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？
【例题3】已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？ 练习3： 1.有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。 2.一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图（1）所 示长方形，求所拼长方形的周长。 【例题4】下图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。
练习4： 1.求下面图形的周长（单位：厘米）。 4cm 8cm 2.在（）里填上“＞”、“＜”或“=”。甲的周长（）乙的周长 【例题5】如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的长方形的周长。
沪教版【word直接打印】小学五年级数学竞赛奥数讲义-例题图文 百度文库 一、拓展提优试题 1．（15分）如图，正六边形ABCDEF的面积为1222，K、M、N分别AB，CD，EF的中点，那么三角形PQR的边长是． 2．（7分）后羿朝三个箭靶分别射了三支箭，如图：他在第一个箭靶上得了29分，第二个箭靶上得了43分．请问他在第三个箭靶上得了分． 3．有一行数：1，1，2，3，5，8，13，21，…，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，问在前2007个数中，有是偶数． 4．（7分）将偶数按下图进行排列，问：2008排在第列． 2 468 16141210 18 20 22 24 32 30 28 26 … 5．一个除法算式中，被除数、除数、商与余数都是自然数，并且商与余数相等．若被除数是47，则除数是，余数是． 6．（8分）小张有200支铅笔，小李有20支钢笔．每次小张给小李6支铅笔，小李还给小张1支钢笔．经过次这样的交换后，小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔数量的11倍． 7．（1）数一数图1中有个三角形． （2）数一数图2中有个正方形．
8．三位偶数A、B、C、D、E满足A＜B＜C＜D＜E，若A+B+C+D+E＝4306，则A最小． 9．一次数学竞赛中，某小组10个人的平均分是84分，其中小明得93分，则其他9个人的平均分是分． 10．同时掷4个相同的小正方体（小正方体的六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，则朝上一面的4个数字的和有种． 11．如果2头牛可以换42只羊，3只羊可以换26只兔，2只兔可以换3只鸡，则3头牛可以换多少只鸡？ 12．（15分）甲、乙两船顺流每小时行8千米，逆流每小时行4千米，若甲船顺流而下，然后返回；乙船逆流而上，然后返回，两船同时出发，经过3小时同时回到各自的出发点，在这3小时中有多长时间甲、乙两船同向航行？13．如图六角星的6个顶点恰好是一个正六边形的6个顶点，那么阴影部分面 积是空白部分面积的倍． 14．如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上的数值相等，则a﹣b×c的值是． 15．松鼠A、B、C共有松果若干，松鼠A原有松果26颗，从中拿出10颗平分给B、C，然后松鼠B拿出自己的18颗松果平均分给A、C，最后松鼠C把自己现有松果的一半平分给A、B，此时3只松鼠的松果数量相同，则松鼠C原有松果颗． 【参考答案】 一、拓展提优试题 1．解：如图延长BA和EF交于点O，并连接AE，由正六边形的性质，我们可知S ABCM＝S CDEN＝S EF AK＝六边形面积， 根据容斥原理，重叠部分三个三角形面积和等于阴影部分面积，且因为对称，△AKP，△CMQ，△ENR三个三角形是一样的，有KP＝RN，AP＝ER，RP＝PQ，
第 2 讲等差数列 基础卷 1．计算 1+2+3+ (2012) 1+2012=2013 2+2011=2013 以此类推： 原式=（1+2012）×2012÷2 =2025078 2．计算 2+3+4+5+ (2588) =（2+2588）×2587÷2 =3350165 3．求首项为 5，公差是 3 的等差数列的前 2000 项的和。 a n＝a1＋（n－1）d = 5 + 1999 ×3 = 6002 s n＝（a1＋a n）×n÷2 = (5+6002) ×2000÷2 = 6007000
4．求首项为 10，公差为 5 的等差数列的前 5000 项的和。首项为10,公差为5的 a1=10 d=5 等差数列的前5000项的和 S n=na1+d×n（n-1）÷2 S5000=5000×10+5×5000(5000-1) ÷2 =50000+62487500 =62537500 5．计算 11+13+15+ (97) 解这是等差数列求和 首项为11,末项为97,公差为2 即项数11+（n-1）×2=97 即n=44 即11+13+15+……+97 =44（11+97）÷2 =2376 6． 92+90+88+ (2) =2×﹙46+44+43+……+3+2+1) =2×(46+1)×46÷2 =2162
提高卷 1．计算 2012-2010+2008-2006+......+4-2。将两个数字看成一组 2012-2010+2008-2006+……+4-2 =（2012-2010）+（2008-2006）+……+（4-2）2是这个式子的第（2012-2）÷2 +1=1006项则一共可以配成503组 =503×2=1006 2．计算 9000-8997+8994-8991+......+6-3。=3+3+...+3 =3×1500 =4500 3．求所有被 2 除余数是 1 的两位数的和。那就是10-99内的奇数的和了 11+13+...+99 =（11+99）+（13+97）+...+（53+57）++55 =110×22+55 =2420+55 =2475