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2018年高考理科数学第一轮复习教案27 平面向量的数量积

第三节平面向量的数量积

1．数量积的定义及长度、角度问题

(1)理解数量积的含义及其物理意义．

(2)了解向量数量积与向量投影的关系．

(3)掌握数量积的坐标表达式及相关性质，并会进行数量积的运算．

(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两向量垂直．

2．数量积的综合应用

会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及其他的一些实际问题．

知识点一平面向量的数量积

1．两个向量的夹角

(1)定义

已知两个非零向量a和b，作O A→＝a，O B→＝b，则

∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角．

(2)范围

向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.

(3)向量垂直

如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2．平面向量数量积

(1)a ，b 是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a ||b |·cos θ.规定0·a ＝0.

当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a·b ＝0. (2)a·b 的几何意义

a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．

易误提醒

1．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．

2．在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量． 3．在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |·|b |，但对于向量a ，b 却有|a ·b |≤|a |·|b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ·b |＝|a |·|b |·|cos θ|，而|cos θ|≤1.

必记结论两向量a 与b 的夹角为锐角?cos 〈a ，b 〉>0且a 与b 不共线；两向量a 与b 的夹角为钝角?cos 〈a ，b 〉<0，且a 与b 不共线．

[自测练习]

1. 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( )

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

解析：向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，

∴θ＝π

3. 答案：C

2．已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1

D ．2

解析：(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a |·|b |·cos a ，b －|b |2＝2×1×1×cos 60°－1＝0.

答案：B

3．已知|a |＝4，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，则b 在a 方向上的投影为( )

A ．2 B.3

2 C ．－2

D ．－32

解析：b 在a 方向上的投影为|b |cos 120°＝－3

2.故选D. 答案：D

知识点二数量积的性质及坐标运算 1．向量数量积的性质

(1)如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝|a |cos 〈a ，e 〉． (2)a ⊥b ?a·b ＝0. (3)a·a ＝|a |2，|a |＝a·a . (4)cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|

(5)|a·b|≤|a||b|.

2．数量积的运算律

(1)交换律：a·b＝b·a.

(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

(3)对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．

3．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

易误提醒

1．实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c.

2．实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c 共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．

[自测练习]

4．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝________.

解析：∵m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )⊥(m －n )，

∴(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝0，从而λ＝－3. 答案：－3

5．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝ .

解析：由a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1×3×cos 120°＝－32，得|5a －b |＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a·b ＝

25＋9－10×? ??

－32＝7.

答案：7

考点一平面向量数量积的运算|

1．(2015·高考全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

解析：a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.

答案：C

2．(2015·高考山东卷)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD

→＝( )

A ．－32a 2

B ．－34a 2

C.34a 2

D.32a 2

解析：在菱形ABCD 中，BA →＝CD →，BD →＝BA →＋BC →，所以BD →·CD →＝(BA →＋BC →)·CD →＝BA →·CD →＋BC →·CD →＝a 2＋a ×a ×cos 60°＝a 2＋12a 2＝32a 2.

答案：D

3．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MC →·ND

→＝________.

解析：法一：因为MC →·ND →＝(MO →＋OC →)·(NO →＋OD →)＝MO →·NO →＋MO →·OD →＋OC →·NO →＋OC →·OD →＝|MO →|·|NO →|cos 180°＋|MO →|·|OD →|cos 60°＋|OC →|·|NO →|·cos 60°＋|OC →|·|OD →|·cos 60°＝－4＋6＋6＋18＝26.

法二：以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则M (－2,0)，N (2,0)，C (－3,33)，D (3，33)，所以MC →＝(－1,33)，ND →＝(1,33)，MC →·ND →＝－1＋27＝26.

答案：26

向量数量积的两种运算方法

(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．

(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，

b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

考点二平面向量数量积的性质应用|

平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．归纳起来常见的命题探究角度有：1．平面向量的模．

2．平面向量的夹角．

3．平面向量的垂直．

探究一平面向量的模

1．(2015·太原一模)已知向量e1，e2是夹角为45°的两个单位向量，则|2e1－e2|＝()

2 B.

C．1 D. 2

解析：由题意可得e1·e2＝

2，所以|2e1－e2|＝(2e1－e2)

2＝

2－22e1·e2＋1＝1.

答案：C

2．已知平面向量a＝(1，3)，|a－b|＝1，则|b|的取值范围是________.

解析：设b＝(x，y)，则|a－b|＝(x－1)2＋(y－3)2＝1，即点(x，y)在圆(x－1)2＋(y－3)2＝1上，则|b|的几何意义是圆上点到原点的距离．又圆心到原点的距离为2，所以|b|的取值范围是[1,3]．答案：[1,3]

探究二平面向量的夹角

3．若向量a 与b 不共线，a·b ≠0，且c ＝a －? ??

a·a a·b b ，则向量a 与c 的夹角为( )

A ．0 B.π6 C.π3

D.π2

解析：∵c·a ＝?

???

??a －?

????a·a a·b b ·a ＝a·a －?

a·a a·b b·a ＝a·

a －a·a ＝0，∴c ⊥a ，即向量a 与c 的夹角为π

2，故选D.

答案：D

4．(2015·苏州二模)设向量a ＝(x,2)，b ＝(2,1)，若a ，b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为________．

解析：由题意可得，a·b ＝2x ＋2>0，且x －4≠0，故实数x 的取值范围为(－1,4)∪(4，＋∞)．

答案：(－1,4)∪(4，＋∞) 探究三平面向量的垂直

5．(2015·高考福建卷)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b ，若b ⊥c ，则实数k 值等于( )

A ．－32

B ．－53 C.53

D.32

解析：因为c ＝(1＋k,2＋k )，b·c ＝0，所以1＋k ＋2＋k ＝0，解得k ＝－3

2，故选A.

答案：A

6．(2015·高考重庆卷)若非零向量a ，b 满足|a |

＝22

3|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )

A.π4

B.π2

C.3π4

D ．π

解析：由条件，得(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－2b 2－a·b ＝0，即a·b ＝

3a 2

－2b 2

.又|a |＝223|b |，所以a·b ＝3·? ??

??223|b |2－2b 2

＝23b 2，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b

|a ||b |＝23

b 2

223b

＝22，所以〈a ，b 〉＝π4，故选A.

答案：A

平面向量数量积求解问题的三个策略

(1)求两向量的夹角：cos θ＝

a·b

|a |·|b |

，要注意θ∈[0，π]． (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a ⊥b ?a ·b ＝0?|a －b |＝|a ＋b |.

(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a·a . ②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2. ③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.

考点三平面向量与三角函数的综合应用|

在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1，

0)，|OC

→|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点． (1)若x ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD

→|的最小值； (2)若x ∈??????0，π2，向量m ＝BC

→，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m·n 的最小值及对应的x 值．

[解] (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题易知

C ? ????－22，22，所以OC →＋O

D →＝? ????－22＋t ，22，所以|OC

→＋OD →|2

＝12－2t ＋t 2

＋12＝t 2－2t ＋1＝?

????t －222＋12(0≤t ≤1)，

所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22.

(2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC

→＝(cos x ＋1，sin x )，则m·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos 2x －sin 2x ＝1－2sin ?

???2x ＋π4. 因为x ∈?

???

??0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，

所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π

8时，sin ?

??2x ＋π4取得最大值1，

所以m·n 的最小值为1－2，此时x ＝π

平面向量与三角函数的综合问题的两个解题策略

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

(2015·惠州二调)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈?

??0，π2.

(1)若|a |＝|b |，求x 的值；

(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值．解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈?

???

??0，π2 ，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.

(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋1

2＝sin ? ????2x －π6＋12，

当x ＝π3∈???

???0，π2时，sin ? ????2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为3

8.忽视向量夹角范围致误

【典例】设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．

[解] 因为e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝2×1×1

2＝1，

所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·

e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7.因为向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，即2t 2

＋15t ＋7<0，解得－7

当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，

则?????

2t ＝λ，λt ＝7

?2t 2

＝7?t ＝－142或t ＝142(舍去)．因为向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，所以t ≠－142，

故t 的取值范围为?

????－7，－142∪? ????－142，－12. [易误点评] 向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角可得(2t e 1

＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.易忽略，共线反向的情况导致出错．

[防范措施] (1)切记向量夹角的范围是[0，π]．(2)a 与b 夹角为锐角?a·b >0且a ·b ≠1，a 与b 夹角为钝角?a ·b <0且a ·b ≠－1.

[跟踪练习] 已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．

解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－5

当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ，即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，

∴?

????

1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，解得λ＝0. 即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，

综上可知，实数λ的取值范围为?

－53，0∪(0，＋∞).

A 组考点能力演练

1．(2015·陕西模拟)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝20，a ·b ＝4，则|a －b |＝( )

A. 2 B ．2 3 C ．2

D. 6

解析：∵|a ＋b |＝20，a·b ＝4，∴|a ＋b |2－|a －b |2＝4a·b ＝16，∴|a －b |＝2，选C.

答案：C

2．对于任意向量a ，b ，c ，下列命题中正确的是( ) A ．|a·b |＝|a ||b | B ．|a ＋b |＝|a |＋|b | C ．(a·b )·c ＝a ·(b·c ) D ．a·a ＝|a |2

解析：法一：因为|a·b |＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|，只有当a ，b 共线时，才有|a·b |＝|a ||b |，A 不正确；因为|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以B 不正确；向量的数量积运算不满足结合律，即(a·b )·c ≠a·(b·c )，C 不正确；由数量积的定义可得a·a ＝|a |2，D 正确，故选D.

法二：令a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(1,1)，易验证A ，B ，C 错误，故选D.

答案：D

3．(2015·湘潭调研)在三角形ABC 中，E ，F 分别为边AB ，AC 上的点，且AE →＝2EB →，AF →＝FC →，若|AB |＝3，|AC |＝2，A ＝60°，则BF →·EF →等于( )

A.92

B.72

C.154

D.134

解析：因为AE →＝2EB →，AF →＝FC →，所以AE →＝23AB →，AF →＝12AC →，所

以BF →·EF →＝(AF →－AB →)·(AF →－AE →)＝?

????12AC →－AB →·?

??12AC →－23AB →＝14AC →2＋23

AB →2－56AB →·AC →＝14×22＋23×32－56×2×3×12＝92

，故选A. 答案：A

4．已知O ，A ，B 三点的坐标分别为O (0,0)，A (3,0)，B (0，3)，且P 在线段AB 上，AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP

→的最大值为( ) A. 3 B ．3 C ．2 2

D ．9

解析：设P (x ，y )，x ∈[0,3]，则(x －3，y )＝t (－3,3)，?????

x －3＝－3t ，

y ＝3t ，

即?

????

x ＝3－3t ，y ＝3t ，t ∈[0,1]，所以OA →·OP →＝3x ＝9(1－t )∈[0,9]，即OA →·OP

→的最大值为9.

答案：D

5．已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝1，且对于任意实数x ，不等式|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，设a ，b 的夹角为θ，则sin θ＝( )

A.22

B.13

C.33

D.63

解析：如图所示，当(a ＋b )⊥b 时，对于任意实数x ，a ＋x b ＝OA →

或a ＋x b ＝OB →，三角形中斜边大于直角边恒成立，不等式恒成立，因为(a ＋b )⊥b ，|a |＝3，|b |＝1，

所以tan α＝2，tan θ＝－2，sin θ＝6

3. 答案：D

6．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角的大小为________．

解析：因为a ·(a ＋b )＝3，|a |＝2，|b |＝1，所以a ·(a ＋b )＝|a |2＋a·b ＝3，得a·b ＝－1.设向量a 与b 的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cos θ＝

a·b |a |·|b |＝－12，解得θ＝2π

答案：2π3

7．(2016·石家庄质检)若a ，b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a －3b 在向量b 方向上的投影为________．

解析：依题意得(a －3b )·b ＝a·b －3b 2＝－3，因此a －3b 在向量b 方向上的投影为(a －3b )·b |b |

＝－ 3.

答案：－ 3

8.在边长为1的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，则AE →·AF

→＝________. 解析：因为AE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋12AB →，AD →·AB →＝0，所以

AE →·AF →＝?

????AB →＋12AD →·?

??AD →＋12AB →＝12AB →2＋12

AD →2＝1. 答案：1

9．已知△ABC 的面积为2，且满足0

(1)求θ的取值范围；

(2)求函数f (θ)＝2sin 2? ??

4＋θ－3cos 2θ的取值范围．

解：(1)设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由题意得1

2bc sin θ＝2,0

可得tan θ≥1，又θ∈[0，π]，

∴θ∈????

??π4，π2.

(2)f (θ)＝2sin 2? ??

4＋θ－3cos 2θ

＝????

1－cos ? ????π2＋2θ－3cos 2θ＝(1＋sin 2θ)－3cos 2θ＝sin 2θ－3cos 2θ＋1＝2sin ? ?

??2θ－π3＋1， ∵θ∈??????π4，π2，∴2θ－π3∈????

π6，2π3. ∴2≤2sin ? ?

???2θ－π3＋1≤3， ∴函数f (θ)的取值范围是[2,3]．

10.(2015·杭州模拟)设△ABC 是边长为1的正三角

形，点P 1，P 2，P 3四等分线段BC (如图所示)．

(1)求AB →·AP 1→＋AP 1→·AP 2→的值； (2)设动点P 在边BC 上，

①请写出一个|BP →|的值使P A →·PC →>0，并说明理由； ②当P A →·PC →取得最小值时，求cos ∠P AB 的值．解：(1)原式＝AP 1→·(AB →＋AP 2→) ＝2AP →21

＝138

. (2)①写0到12(0可取到，1

2取不到)之间的任何一个值均可，理由：此时向量P A →与PC

→之间的夹角为锐角． ②P A →·PC →＝|PC →||P A →|cos ∠APC . a ．当P 在线段BP 2上时，P A →·PC

→≥0. b ．当P 在线段P 2C 上时，P A →·PC →≤0，要使P A →·PC →最小，则P 必在线段P 2C 上．

设|PC

→|＝x ，则 P A →·PC →＝|PC →||P A →|cos ∠APB ＝|PC →|·(－|PP 2

→|)＝x 2－12x ，当x ＝14，即当P 在P 3时，P A →·PC →最小，此时cos ∠P AB ＝5

2613.

B 组高考题型专练

1．(2014·高考四川卷)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2

解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25，a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.

∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， ∴c ·a |c |·|a |＝c ·b

|c |·|b |，∴5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案：D

2．(2014·高考山东卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π

6，则实数m ＝( )

A ．2 3 B. 3 C ．0

D ．－ 3

解析：a ·b ＝|a ||b |cos π6，则3＋3m ＝2·9＋m 2

·32.(3＋m )2＝9＋m 2，解得m ＝ 3.

答案：B

3．(2015·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC

→＝( ) A ．5 B ．4 C ．3

D ．2

解析：由AC

→＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD →·AC →＝(2,1)·(3，－1)＝5，故选A. 答案：A

4．(2015·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝

? ????

，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈? ????0，π2.

(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π

3，求x 的值．

解：(1)∵m ⊥n ，∴m·n ＝0. 故22sin x －2

2cos x ＝0，∴tan x ＝1.

(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n

|m |·|n |＝

22sin x －22cos x 1×1＝12，∴sin ? ????x －π4＝12，又x ∈? ????0，π2，∴x －π4∈? ????－π4，π4，x －π4＝π

6，

即x ＝5π12，∴x 的值为5

12π.

2018年高考理科数学试题及答案-全国卷2

2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束是否

2018年高考数学(理科)I卷

绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 12 C ．1 D 2．已知集合{} 2 20A x x x =-->，则A =R e A ．{} 12x x -<< B ．{} 12x x -≤≤ C ．}{}{ |1|2x x x x <->U D ．}{}{ |1|2x x x x ≤-≥U 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144 AB AC -u u u r u u u r B ．1344 AB AC -u u u r u u u r C ．3144 AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．设抛物线C ：y 2 =4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=? >?，，，， ()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则 A ．p 1=p 2 B ．p 1=p 3 C ．p 2=p 3 D ．p 1=p 2+p 3

高三数学第一轮复习教案(1)

第1页共64页高考数学总复习教案第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑知识要点一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集；如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （注：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.

2018年高考理科数学全国三卷试题及答案解析

2018年高考理科全国三卷一．选择题 1、已知集合,则( ) A. B. C. D. 2、( ) A. B. C. D. 3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A. B. C. D. 4、若,则( ) A. B. C. D. 5、的展开方式中的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 6、直线分别与轴,轴交于两点,点在圆上,则面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、函数的图像大致为( )

A. B. C. D. 8、某群体中的每位成员使用移动支付的概率为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的为成员中使用移动支付的人数,,则( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 9、的内角的对边分别为,若的面积为则=( ) A. B. C. D. 10、设是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 11、设是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过作的一条逐渐近线的垂线,垂足为,若,则的离心率为( ) A. B.2 C. D. 12、设则( ) A. B. C. D. 13、已知向量,若,则 14、曲线在点处的切线的斜率为,则 15、函数在的零点个数为 16、已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于两点。若 ,则三．解答题

17、等比数列中, 1.求的通项公式; 2.记为的前项和,若,求 18、某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:)绘制了如下茎叶图: 1.根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; 2.求名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表: 超过不超过第一种生产方式第二种生产方式 3.根据中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: 19、如图,边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直,是上异于的点

2018年高考数学全国卷III

2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3) 数学(理科) 一、选择题：本题共12小题。每小题5分. 1.已知集合{}10A x x =-≥，{}2,1,0=B ，则=?B A （） .A {}0 .B {}1 .C {}1,2 .D {}0,1,2 2.()()=-+i i 21 （） .A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 4. 若1 sin 3α= ，则cos 2α= （） .A 89 .B 79 .C 79- .D 89- 5. 25 2()x x +的展开式中4x 的系数为（） .A 10 .B 20 .C 40 .D 80 6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2 2 22x y -+=上，则ABP ?面积的取值范围是（） .A []2,6 .B []4,8 .C .D ?? 7.函数422y x x =-++的图像大致为（）

8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ,()()64=<=X P X P ，则=P （） .A 0.7 .B 0.6 .C 0.4 .D 0.3 9.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ?的面积为222 4 a b c +-，则=C （） . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥ABC D -积的最大值为（） .A .B .C .D 11.设21F F 、是双曲线C : 22 221x y a b -=（0,0>>b a ）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为（） .A .B 2 .C .D 12.设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，则（） .A 0a b ab +<< .B 0a b a b <+< .C 0a b a b +<< .D 0ab a b <<+

2018年高考全国1卷理科数学(word版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅰ卷理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出得四个选项中, 只有一项就是符合题目要求得。 1、设,则 A 、0 B 、 C 、1 D 、 2、已知集合则 A 、 B 、 C 、 D 、 3、某地区经过一年得新农村建设,农村得经济收入增加了一倍,实现翻番、为更好地了解该地区农村得经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村得经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论不正确得就是 A 、新农村建设后,种植收入减少 B 、新农村建设后,其她收入增加了一倍以上 C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入得总与超过了经济收入得一半 4、记为等差数列得前项与、若则 A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、12 5、设函数若为奇函数,则曲线在点处得切线方程为 A 、 B 、 C 、 D 、 6、在中,AD 为BC 边上得中线,E 为AD 得中点,则 A 、 B 、 C 、 D 、 7、某圆柱得高为2,底面周长为16,其三视图如右图、圆柱表面上得点M 在正视图上得对应点为A,圆柱表面上得点N 在左视图上得对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到N 得路径中,最短路径得长度为 A 、 B 、 C 、3 D 、2 8、设抛物线C:得焦点为F,过点且斜率为得直线与C 交于M,N 两点,则 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 9.已知函数若存在2个零点,则得取值范围就是 A 、 B 、 C 、 D 、 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究得几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆得直径分别为直角三角形ABC 得斜边BC,直角边AB,AC 、得三边所围成得区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ、在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ得概率分别记为则 60% 30% 6% 4% 种植收入第三产业收入其她收入养殖收入建设前经济收入构成比例 37% 30% 28% 5% 种植收入养殖收入其她收入第三产业收入建设后经济收入构成比例 A B

高考理科数学第一轮复习教案

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理两个原理分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． (2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．知识点两个原理

1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m ＋n种不同的方法． 2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．易误提醒(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． (2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的． [自测练习] 1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有() A．30 B．20 C．10 D．6 解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．答案：D 2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A．243 B．252 C．261 D．279 解析：0,1,2…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，

∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．答案：B 考点一分类加法计数原理|

2018年数学高考全国卷3答案

参考答案： 13. 14. 15. 16.2 17.(12分) 解：（1）设的公比为，由题设得. 由已知得，解得（舍去），或. 故或. （2）若，则.由得，此方程没有正整数解. 若，则.由得，解得. 综上，. 18.（12分）解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下：（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 12 3-3{}n a q 1 n n a q -=4 2 4q q =0q =2q =-2q =1 (2)n n a -=-1 2n n a -=1 (2) n n a -=-1(2)3 n n S --= 63 m S =(2) 188 m -=-1 2n n a -=21 n n S =-63 m S =2 64 m =6m =6m =

（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知. 列联表如下： 7981 802 m +==

高考数学第一轮备考复习教案

2012版高三数学一轮精品复习学案第八章平面解析几何【知识特点】 1、本章内容主要包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线，是解析几何最基本，也是很重要的内容，是高中数学的重点内容，也是高考重点考查的内容之一； 2、本章内容集中体现了用坐标法研究曲线的思想与方法，概念、公式多，内容多，具有较强的综合性； 3、研究圆锥曲线的方法很类似，因此可利用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质，掌握解决解析几何问题的最基本的方法。【重点关注】 1、关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，几种距离公式，两直线的位置关系，圆锥曲线的定义与性质等知识的试题，都属于基本题目，多以选择题、填空题形式出现，一般涉及两个以上的知识点，这些将是今后高考考查的热点； 2、关于直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题目出现次数较多，既有选择题、填空题，也有解答题。既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力； 3、直线与圆锥曲线联系在一起的综合题多以高档题出现，要求学生分析问题的能力，计算能力较高； 4、注重数学思想方法的应用

解析法、数形结合思想、函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论思想及待定系数法在各种题型中均有体现，应引起重视。【地位和作用】解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。从新课改近两年来的高考信息统计可以看出，命题呈现出以下特点：1、各种题型均有所体现，分值大约在19-24分之间，比重较高，以低档题、中档题为主； 2、主要考查直线及圆的方程，圆锥曲线的定义、性质及综合应用，符合考纲要求，这些知识属于本章的重点内容，是高考的必考内容，有时还注重在知识交汇点处命题； 3、预计本章在今后的高考中仍将以直线及圆的方程，圆锥曲线的定义、性质及直线与圆锥曲线的位置关系为主命题，且难度有所降低；更加注重与其他知识交汇，充分体现以能力立意的命题方向。

2018年高考全国二卷理科数学试卷

2018 年普通高等学校招生全国统一考试（ II 卷）理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1 2i 1 2i 4 3 4 3 i 3 4 3 4 A ． i B ． 5 C ． i D ． i 5 5 5 5 5 5 5 2．已知集合 A x ，y x 2 y 2≤3 ，x Z ，y Z ，则 A 中元素的个数为 A ．9 B ． 8 C ． 5 D ． 4 3．函数 f e x e x 的图像大致为 x x 2 A B C D 4．已知向量 a 、 b 满足 | a | 1 ， a b 1 ，则 a (2a b ) A ．4 B ． 3 C ． 2 D ． 0 2 2 5．双曲线 x 2 y 2 1( a 0, b 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 a b A ． y 2x B ． y 3x C ． y 2 D ． y 3 x x 2 2 6．在 △ABC 中， cos C 5 ，BC 1 ， AC 5，则 AB 开始 2 5 N 0,T A ．4 2 B ． 30 C ． 29 D ．2 5 i 1 1 1 1 1 1 7．为计算 S 1 3 ? 99 ，设计了右侧的程序框图，则在是 100 否 2 4 100 i 空白框中应填入 1 A ． i i 1 N N S N T i B ． i i 2 T T 1 输出 S i 1 C ． i i 3 结束 D ． i i 4 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30 7 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 1 B ． 1 1 1 A ． 14 C ． D ． 12 15 18 ABCD A B C D AD DB

(完整word)2018年全国高考1卷理科数学Word版

姓名： 2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷) 理科数学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，则（） A．0 B．C．D． 2．已知集合，则（） A．B． C．D． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记为等差数列的前项和．若，，则（） A．B．C．D．12

5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则（） A．B． C．D． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（） A．B．C．D．2 8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（） A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D． 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（） A．B．C．D． 11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（） A．B．3 C．D．4 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A．B．C．D．

2018年高考数学试卷1(理科)

2018年高考试卷理科数学卷本试卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。第I 卷（共50分）注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。参考公式：球的表面积公式棱柱的体积公式球的体积公式其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 343V R π= 棱台的体积公式其中R 表示球的半径 11221()3 V h S S S S =++ 棱锥的体积公式其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积， 13 V Sh = h 表示棱台的高其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高如果事件,A B 互斥，那么一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（原创）设函数,0,(),0, x x f x x x ?≥?=?-

2018年高考全国三卷理科数学试卷

2018年普通高等学校招生全国统一考试（III卷）理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 A．B．C．D． 2． A．B．C．D． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4．若，则 A．B．C．D． 5．的展开式中的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 6．直线分别与轴，轴交于、两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A．B．C．D．

7．函数的图像大致为 8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 A．B．C．D． 9．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A．B．C．D． 10．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A．B．C．D． 11．设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A．B．2 C．D． 12．设，，则 A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量，，．若，则________． 14．曲线在点处的切线的斜率为，则________． 15．函数在的零点个数为________． 16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）等比数列中，．

2018年高考理科数学(全国I卷)试题及答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设，则∣z ∣=（） A.0 B. C.1 D. 2、已知集合{22>0}，则A =（） A 、{12} D 、{≤-1}∪{ ≥2} 3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（） A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记为等差数列{}的前n项和，若3S3 = S2+ S4，a1 =2，则a5 =（） A、-12 B、-10 C、10 D、12 5、设函数f（x）3+（1）x2 .若f（x）为奇函数，则曲线f（x）在点（0，0）处的切线方程为（） -2x 2x 6、在?中，为边上的中线，E为的中点，则=（） A. - B. - C. + D. + 7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2

8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）=g（x）（x），若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，. △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( ) A. p12 B. p13 C. p23 D. p123 11.已知双曲线C：- y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△为直角三角形，则∣∣=( ) A. B.3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）

2014年高考一轮复习数学教案：10.5 二项式定理

10.5 二项式定理 ●知识梳理 1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础. 2.二项展开式的性质是解题的关键. 3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等. ●点击双基 1.已知（1－3x ）9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9，则｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于 A.29 B.49 C.39 D.1 解析：x 的奇数次方的系数都是负值， ∴｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜=a 0－a 1+a 2－a 3+…－a 9. ∴已知条件中只需赋值x =－1即可. 答案：B 2.（2004年江苏，7）（2x +x ）4的展开式中x 3的系数是 A.6 B.12 C.24 D.48 解析：（2x +x ）4=x 2（1+2x ）4，在（1+2x ）4中，x 的系数为C 24·22=24. 答案：C 3.（2004年全国Ⅰ，5）（2x 3－x 1）7 的展开式中常数项是 A.14 B.－14 C.42 D.－42 解析：设（2x 3－ x 1）7的展开式中的第r +1项是T 1+r =C r 7（2x 3）r -7（－x 1）r =C r 72r -7· （－1）r ·x ) 7(32x r -+-，当－ 2 r +3（7－r ）=0，即r =6时，它为常数项，∴C 67（－1）6·21 =14. 答案：A 4.（2004年湖北，文14）已知（x 2 3+x 3 1-）n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是_____________.（以数字作答）解析：∵（x 2 3+x 3 1- ）n 的展开式中各项系数和为128， ∴令x =1，即得所有项系数和为2n =128. ∴n =7.设该二项展开式中的r +1项为T 1+r =C r 7（x 2 3） r -7·（x 3 1- ） r =C r 7·x 6 1163r -，令 6 1163r -=5即r =3时，x 5项的系数为C 37=35.

2018年全国高考II卷理科数学试题及答案

2018年全国高考I I 卷理科数学试题及答案 https://www.doczj.com/doc/9b4236219.html,work Information Technology Company.2020YEAR

绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.

3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ，所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

2018年高考全国卷1理科数学(含答案)

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）（2018?新课标Ⅰ）设z=+2i，则|z|=（） A．0 B．C．1 D． 2．（5分）（2018?新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则?R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2} 3．（5分）（2018?新课标Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）（2018?新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（） A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 5．（5分）（2018?新课标Ⅰ）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）

A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 6．（5分）（2018?新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（） A．﹣B．﹣C．+D．+ 7．（5分）（2018?新课标Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） A．2B．2 C．3 D．2 8．（5分）（2018?新课标Ⅰ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则?=（） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（5分）（2018?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若 g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（） A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞） 10．（5分）（2018?新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）

高三数学第一轮复习教案(学生版)

第一章不等式（1～8课时）（一）不等式知识网络（二）考纲要求 1．理解不等式的性质及其证明． 2．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用．3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． 4．掌握简单不等式的解法． 5．理解不等式| a |－| b| ≤| a＋b |≤| a |＋| b |．

教案1 不等式的概念和性质一、知识梳理： 1．两实数大小的比较原理：（差值比较原理）（1） a －b ＞0?a ＞b ；（2） a －b =0?a =b ；（3） a －b ＜0?a ＜b . 特别提示（1）在实际问题中a ，b 可以是含未知数的代数式；（2）提供了比较两个实数（代数式）大小的方法，也是利用比较法证明不等式的原理。 2.不等式的基本性质：（1）a ＞b ? ________b ＜a . （2）a ＞b ，b ＞c ?_______________a ＞c . （3）a ＞b ?_______a +c ＞b +c ；推论：a ＞b ，c ＞d ?________________a +c ＞b +d . （4）a ＞b ，c ＞0_?____________ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0?___________ac ＜bc ；推论：a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?______________ac ＞bd . 推论：a ＞b ＞0?________________-n a ＞n b （n ∈N ，n ＞1）；推论：a ＞b ＞0?_____________________-a n ＞b n （n ∈N ，n ＞1）. （5）a ＞b ，ab ＞0?_____________a 1＜b 1，特别提示：（1）性质5不能弱化条件得a ＞b ? a 1＜b 1；（2）不等式的性质从形式上可分两类：一类是“?”型；另一类是“?”型.要注意二者的区别.

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