2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷
第一试
一、 选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则
32b c
a b
++的值为（ ）. A.2 B.1 C.0 D.1-
2. 已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，
1110135
a b c ++=+++，则()()()222
135a b c +++++的值为（ ）.
A. 125
B.120
C. 100
D. 81
3. 若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(),,a b c 为好数组.那么好数组的
个数为（ ）.
A.4
B. 3
C.2
D.1
4. 已知正整数,,a b c 满足26390a b c --+=，260a b c -++=，则222
a b c ++的值为（ ）.
A. 424
B. 430
C. 441
D. 460
5. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AB =，4BC =，2CD =，1AD =，则梯形的面积为（ ）.
C.
D.
6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=?，
点E 在AB 上，若42AE =，28BE =，70BC =， 45DCE ∠=?，则DE 的值为（ ）.
A.56
B.58
C.60
D.62
二、 填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1. 成立的实数a 的值为________.
2. 已知△ABC 的三个内角满足100A B C <<
则θ的最大值为________.
3. 设,a b 是两个互质的正整数，且38ab p a b
=+为质数.则p 的值为________.
4. 20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个
数之和的最小值为________.
第二试
一、（本题满分20分）设,A B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字
所得，如果22A B -是完全平方数，求A 的值.
二、（本题满分25分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分ADB ∠，DF 平分ADC ∠，
BE DE ⊥，CF DF ⊥，P 为AD 与EF 的交点.证明：2EF PD =.
三、（本题满分25分）已知,,a b c 是不全相等的正整数，
为有理数，求
222a b c a b c ++++的最小值.
2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则
32b c
a b
++的值为（ ）. A.2 B.1 C.0 D.1- 答案：B 对应讲次： 所属知识点：方程
思路：因为所求分式的特点可以想到把2a b +，3b c +看成一个整体变量求解方程. 解析：已知等式可变形为()()223390a b b c +++=，()()32372a b b c +++=，解得218a b +=，318b c +=，所以
312b c
a b
+=+.
2. 已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，
1110135
a b c ++=+++，则()()()222
135a b c +++++的值为（ ）.
A. 125
B.120
C. 100
D. 81 答案：C 对应讲次： 所属知识点：方程 思路：可以想到换元法.
解析：设1x a =+，3y b =+，5z c =+，则10x y z ++=，
111
0x y z
++=， 0xy xz yz ∴++=，由()()2
2222100x y z x y z xy xz yz ++=++-++=.
则()()()222
135100a b c +++++=.
3. 若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(),,a b c 为好数组.那么好数组的
个数为（ ）.
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1 答案：B 对应讲次： 所属知识点：数论
思路：先通过a b c ≤≤且()2abc a b c =++的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证.
解析：若(),,a b c 为好数组，则()26abc a b c c =++≤，即6ab ≤，显然1a =或2. 若1a =，则()21bc b c =++，即()()226b c --=，可得()(),,1,3,8a b c =或()1,4,5，共2个好数组.
若2a =，则2b =或3，可得2,4b c ==；5
3,2
b c ==，不是整数舍去，共1个好数组. 共3个好数组()()()(),,1,3,8,1,4,5,2,2,4a b c =.
4. 已知正整数,,a b c 满足26390a b c --+=，260a b c -++=，则222
a b c ++的值为（ ）.
A. 424
B. 430
C. 441
D. 460 答案：C 对应讲次： 所属知识点：方程
思路：由已知等式消去c 整理后，通过,a b 是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.
解析：联立方程可得()()2
2
93175a b -+-=，则()2
3175b -≤，即16b ≤≤. 当1,2,3,4,5b =时，均无与之对应的正整数a ；
当6b =时，9a =，符合要求，此时18c =，代入验证满足原方程. 因此，9a =，6b =，18c =，则222441a b c ++=.
5. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AB =，4BC =，2CD =，1AD =，则梯形的面积为（ ）.
C.
D. 答案：A 对应讲次：
所属知识点：平面几何
思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来. 解析：作AE ∥DC ，AH ⊥BC ，则ADCE 是平行四边形，则3BE BC CE BC AD AB =-=-==，
则△ABE 是等腰三角形，3BE AB ==，2AE =
，经计算可得AH =. 所以梯形ABCD 的面积为(
)1142?+=
6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=?，
点E 在AB 上，若42AE =，28BE =，70BC =， 45DCE ∠=?，则DE 的值为（ ）.
A.56
B.58
C.60
D.62 答案：B 对应讲次：
所属知识点：平面几何
思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.
解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90?至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，EG ED ∴=. 设DE x =，则28DF BG x ==-，98AD x =-. 在Rt △EAD 中，有()2
224298x x +-=，解得58x =.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1. 成立的实数a 的值为________.
答案：8 对应讲次： 所属知识点：方程
思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.
解析：易得(3
21a =.
令x ，则0x ≥，代入整理可得()()2
310x x x -+=，解得1230,3,1x x x ===-，舍负，即1a =-或8，验证可得8a =.
2. 已知△ABC 的三个内角满足100A B C <<
则θ的最大值为________. 答案：20? 对应讲次： 所属知识点：代数
思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：100C θ≤?- ，C B θ≤-，B A θ≤-()()()131002206C C B B A θ∴≤?-+-+-=????
? 又当40,60,80A B C =?=?=?时，20θ=?可以取到. 则θ的最大值为20?.
3. 设,a b 是两个互质的正整数，且38ab p a b
=+为质数.则p 的值为________.
答案：7 对应讲次： 所属知识点：数论
思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a b +、a 、b 两两互质来拆分3
8ab a b
+的
可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.
解析：因为,a b 互质，所以a b +、a 、b 两两互质，因为3
8ab a b +质数，所以
318ab p a b
?=?
?=?+?可得1a b ==，4p =，不是质数舍； 38
1ab p a b
?=?
?=?+?可得7a =，1b =，7p =，符合题意. 则7p =.
4. 20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个
数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次： 所属知识点：数论
思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.
解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()1
6
,,,14,*k k k i i i k
i k
a a a k k N ++==≤∈∑∑ ，依抽
屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34. 由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.
第二试
一、（本题满分20分）设,A B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字
所得，如果22A B -是完全平方数，求A 的值. 答案：65 对应讲次： 所属知识点：数论
思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a b +，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果.
解析：设()101,9,,A a b a b a b N =+≤≤∈，则10B b a =+，由,A B 不同得a b ≠，
()()()()22
221010911A B a b b a a b a b -=+-+=??+-.
………5分
由22A B -是完全平方数，则a b >，()()11|a b a b +-，可得11a b +=， ………10分 a b -也是完全平方数，所以1a b -=或4.
………15分
若1a b -=，则6a =，5b =； 若4a b -=，则没有正整数解. 因此6a =，5b =，65A =.
………20分
二、（本题满分25分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分ADB ∠，DF 平分ADC ∠，
BE DE ⊥，CF DF ⊥，P 为AD 与EF 的交点.证明：2EF PD =.
对应讲次：
所属知识点：平面几何
思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出90EDF ∠=?，此时若能得出EP PD =，则自然可以得到结论.
解析：由DE 平分ADB ∠，DF 平分ADC ∠，可得90EDF ∠=?.
………5分
由BE DE ⊥得BE ∥DF ，则EBD FDC ∠=∠. ………10分 又BD DC =，90BED DFC ∠=∠=?，则△BED ≌△DFC ，BE DF =. ………15分 得四边形BDFE 是平行四边形，PED EDB EDP ∠=∠=∠，EP PD =. ………20分 又△EDF 是直角三角形，2EF PD ∴=.
………25分
三、（本题满分25分）已知,,a b c 是不全相等的正整数，为有理数，求
222
a b c a b c ++++的最小值. 答案：3 对应讲次： 所属知识点：数论
思路：通过,,a b c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用,,a b c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.
0c -≠，)()2
22
22
555b
c
ab bc b
ac b c b c +--+-=
=--是有理数，
可得2b ac =.
………10分 ()()2
2
222a c b
a b c a c b a b c a c b
+-++==+-++++.
………15分
不妨设a c <，若1a =，2
c b =，因为a b ≠，则()113a c b b b +-=+-≥，取等号当且
仅当2b =时. ………20分
若2a ≥，因为1c b ≠≠，则()1243a c b a b b a +-=+-≥+≥>.
所以222a b c a b c
++++的最小值为3，当1a =，2b =，4c =时.
………25分