分段函数x)的定义域是______________．
函数的表示法 1.函数的三种表示法： 图象法、列表法、解析法 2.分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 3.映射：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f ：A →B ” 给定一个集合A 到B 的映射，如果a ∈A,b ∈B.且元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，b=f （a ），元素a 叫做元素b 的原象. 说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A 、B 及对应法则f 是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；③对于映射f ：A →B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。 注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合. 4.常用的函数表示法及各自的优点：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值 5.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 6.复合函数：如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即y=f （u ），u=g （x ），那么y 关于x 的函数y=f （g （x ））叫做函数y=f （u ）（外函数）和u=g （x ）（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y.例如：函数212x y += 是由y=2u
3．1．1实数指数幂及其运算 【学习要点】1根式、分数指数幂的概念. 2分数指数的运算性质． 【学习要求】1理解根式和分数指数幂的概念及它们的运算性质．了解实数指数幂的意义。 2 会进行简单的运算。 【复习引入】 1 、相同因数相乘 个 n a aaa ???记作n a ，读作 ，a 叫做幂的 ， n 叫做幂的 。其中n 是正整数。 2、 正整数指数幂的性质：（1） （2） （3） （3） 【概念探究】阅读教材85页到88页例1，完成下列各题。 1、 指数概念的扩充：n a 中的n 可以扩展为整数。整数指数幂的性质为：（1） （2） （3） 。 2 、0a = ，n a -= 3、零指数幂和负整数指数幂都要求 。 4、 如果存在实数x ，使得(,1,)n x a a R n n N +=∈>∈，则x 叫作 。求a 的n 次方根，叫作把a 开n 次方，称作 。 5、规定正分数指数幂的定义是：（1） （2） 。 规定负分数指数幂的定义是： 。 规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂和0次幂 。规定了分数指数幂以后，指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。 6 、有理指数幂的运算性质有：（1） （2） （3） 。 完成教材89页1题 【例题解析】 例题1计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（式子中的,0a b ≠） （1） 3221 2 3 (3) 9a b a b a b ------= （2）343 20 ()()[ ]()() a b a b a b a b --+--+(0,0)a b a b +≠-≠ 例题2化简下列各式 （1 2（2 3）102 0.5 2 3 1(2)2 (2 ) (0.01) 5 4 - -+?- 小结：化简，注意体会指数的运算性质。 例3： 化简：3 3 2 b a a b b a 练习：（1 【补充练习】 1、 化简，注意体会指数的运算性质： （1）2 2 2 5 2 4 3 2 ()()()a b a b a b --÷ （2）34 0.1 0.01 -- 3、 求值，注意体会分数指数幂与根式的转换： （1） 2 1.53(0.027)-； （2 ； （3 完成教材89页2题
第一讲 函数的概念及三要素 1．函数与映射 函数 映射 两个集合A ，B 设A ，B 是两个非空数集 设A ，B 是两个非空集合 对应法则f ：A →B 如果按某种对应法则f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应 如果按某种对应法则f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素 y 与之对应 名称 称y ＝f (x )，x ∈A 为从集合A 到集合B 的一个函数 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射 记法 函数y ＝f (x )，x ∈A 映射：f ：A →B 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域；对于 A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域． (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 考向一 函数、映射的判断 【例1】（1）若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( ) 【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 【套路秘籍】---千里之行始于足下
学习目标：理解任意角的三角函数的定义，了解终边相同的角的同一三角函数值相等，掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域，会运用任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。 课前预习 阅读课本P14—P17，填充下列空格 1.三角函数的定义（如图所示） 设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是r （=r ），如上图所示，那么 ①比值 叫做α的正弦，记作 ，即 ； ②比值 叫做α的余弦，记作 ，即 ； ③比值 叫做α的正切，记作 ，即 ； ④比值 叫做α的余切，记作 ，即 ； ⑤比值 叫做α的正割，记作 ，即 ； ⑥比值 叫做α的余割，记作 ，即 。 2.三角函数的定义域 3.三角函数在各象限的符号 合作探究展示 角的终边 x y 0 αsin x y 0 αcos x y α tan
探究一 .已知角α的终边经过点P(4,－3)，求sin α、cos α、tan α的值； 变式一 已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值； 探究二 求下列各角的六个三角函数值：⑴0； ⑵π； ⑶2 3π。 求 43π和56 π角的正弦、余弦和正切值． 引申 填表：
探究三 确定下 列各三角函数值的符号： ⑴516cos π； ⑵?? ? ??-34sin π； ⑶21556tan ' 已知点p （tan tan ,cos αα ）在第四象限，则角α 在第 象限 当堂练习 （一）选择题 1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ） A ．－ 55 B ．－ 5 C ．552 D ．2 5 2、α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α= 4 2 x ，则sin α的值为 （ ） A ． 410 B ．46 C ．4 2 D ．－410 3.若0sin <α且0tan >α，则α是（ ） A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 4.设角θ终边上一点()()06,8<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值为（ ） A. 52 B.52或52- C.52 - D.与a 无关 二．填空题
第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法 课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数． 函数的三种表示法 (1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系． 一、选择题 1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( ) A ．y ＝50x (x >0) B ．y ＝100x (x >0) C ．y ＝50x (x >0) D ．y ＝100x (x >0) 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口) 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点 到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．如果f (1x )＝x 1－x ，则当x ≠0时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 5．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12 )的值为( )
A ．1 B ．15 C ．4 D ．30 6．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( ) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为_________________________________________________________ _______________． 8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________． 三、解答题 10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式． 11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)若x 1 1.2.2函数的表示法 班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________ 课后练习 【基础过关】 1．已知是反比例函数，当时，，则的函数关系式为 A. B. C. D. 2．已知函数若,则的取值范围是 A. B. C. D. 3．已知函数f(x)=,则函数f(x)的图象是( ) A. B. C. D. 4．已知则 v C. D. 5．已知函数，且，则 . 6．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f [f(5)]= . 【解析】由已知条件f(x+2)=可得f(x+4)==f(x),所以 f(5)=f(1)=-5,所以f [f(5)]=f(-5)=f(-1)===- 7．已知，为常数，且，，，方程有两个相等的实数根.求函数的解析式. 8．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的 图形的面积为，试求函数的解析式. 【能力提升】 下图是一个电子元件在处理数据时的流程图: (1)试确定y与x的函数关系式; (2)求f(-3), f(1)的值; (3)若f(x)=16,求x的值. 答案 【基础过关】 1．C 【解析】根据题意可设(k≠0)， ∵当x＝2时，y＝1，∴，∴k＝2. 2．D 【解析】若x∈[－1，1]，则有f(x)＝2?[-1，1]，∴f(2)＝2；若x?[－1，1]，则f(x)＝x?[－1，1]， ∴f[f(x)]＝x，此时若f[f(x)]＝2，则有x＝2. 【备注】误区警示：本题易将x?[－1，1]的情况漏掉而错选B. 3．A 【解析】当x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错.故选A. 4．C 【解析】∵， ∴. 【备注】无 5． 【解析】， ∴，∴， 2.1.1 指数与指数幂的运算（1） 学习目标 1．能说出n 次方根以及根式的定义； 能记住n 次方根的性质和表示方法； 2．记住根式有意义的条件并能用其求根式中字母的取值范围； 3．会运用两个常用等式进行根式的化简和求值。 （预习教材P 48～P 50，找出疑惑之处） 1. 概念 （1）n 次方根— 。 （2）根式— 。 2. n 次方根的表示： 3. 根式的性质 （1）=n n a )( （n ∈N ＊,n ＞1） (2) =n n a . 课中学习 探究新知（一） ① 如果 ，那么 就是4的________________； 如果 ，那么3就是27的_____________________； ② 如果 ，那么x 叫做a 的______________________； 如果 ，那么x 叫做a 的______________________； 如果 ，那么x 叫做a 的______________________； 422 =±）（） （2±27 33=a =2 x a x =3 a x =4 总结： 类比以上结论，一般地，如果 ，那么x 叫做a 的______________。 探究新知（二） 计算：① 64的3次方根；-32的5次方根。 ② 4的2次方根；16的4次方根；-81的4次方根。 ③ 0的n 次方根。 总结：n 次方根的性质和表示： 根式的定义： 理解新知： 根式 成立的条件是什么 探究新知（三） ① 根式 表示什么含义 ② 等式a a n n =是否成立试举例说明。 总结：常用等式 ① ② ※ 典型例题： 例1：求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 反思： ①若将例1（4）中的条件 改为 ，结果是__________； ②若将例1（4）中的条件 去掉，结果是_________________。 试试：若a ≥1,化简( ) ()()33 22 111a a a -+-+ -. ※ 学习小结 ①n 次方根的概念和表示；②n 次方根的性质；③运用两个常用等式进行根式的化简和求值。 a x n =() ? =n n a n a ()3 3 27-() 2 20-()4 4 4-π()2 b a -()a b >()a b >()a b ≤()a b >n a 三角函数的概念学案 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案41 三角函数的概念、弧度制 一、课前准备： 【自主梳理】 ．任意角 （1）角的概念的推广： （2）终边相同的角： 2．弧度制： ， 弧度与角度的换算： ， ， ． 3．弧长公式： ， 扇形的面积公式： ． 4．任意角的三角函数 （1）任意角的三角函数定义 ， ， ， （2）三角函数在各象限内符号口诀是 ． 5．三角函数线 【自我检测】 ． 度． 2．是第 象限角． 3．在上与终边相同的角是 ． 4．角的终边过点,则 ． 5．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是 ． 6．若且则角是第 象限角． 二、课堂活动： 【例1】填空题： （1）若则为第 象限角． （2）已知是第三象限角，则是第 象限角． （3）角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为的圆）交于第二象限的点，则 ． （4）函数的值域为_____ _________． 【例2】（1）已知角的终边经过点且，求的值； （2）为第二象限角，为其终边上一点，且求的值． 【例3】已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是． （1）若求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； （2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积． 课堂小结 三、课后作业 ．角是第四象限角，则是第 象限角． 2．若，则角的终边在第 象限． 3．已知角的终边上一点，则 ． 4．已知圆的周长为，是圆上两点，弧长为，则 弧度． 5．若角的终边上有一点则的值为 ． 6．已知点落在角的终边上，且，则的值为 ． 7．有下列各式：①②③④，其中为负值的序号为 ． 8．在平面直角坐标系中，以轴为始边作锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知两点的横坐标分别为，则 ． 9．若一扇形的周长为，则当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?最大值是多少? 的正弦、余弦和正切值． 四、纠错分析 错题卡 题号 错题原因分析 学案41 函数的表示法 【教学目标】 掌握函数的三种表示方法,通过函数的各种表示及其相互转化来加强对函数概念的理解. 【重点难点】 重点：函数的三种表示方法． 难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 【教学过程】 一、情景设置 我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？ 、、。 二、探索研究 1．结合1.2.1的三个实例，讨论三种表示方法的定义: 解析法: 图像法： 列表法： 2．某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x). 思考：比较三种表示法，它们各自的特点是什么? 解析法的特点: 图像法的特点： 列表法的特点： 三、教学精讲 三种表示法应该注意什么？ ①函数图象既可以连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；不是所有的函数都能用解析法表示。 ③图像法：根据实际情景来决定是否连线； ④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。 例1．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表： 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析． 注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点。 例2.已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的解析式 答案:① f(x)=x2-2x-1 例3.①已知f(x+1)=x+2 x,求f(x)的解析式. ②已知f(x+1x )=x 2+1x 2+1 x ,求f(x)的解析 式 答案:①f(x)=x 2-1(x ≥1) ②f(x)=x 2-x+1(x ≠1) 四、课堂练习 1.已知f(x)是一次函数,且ff(x)]=4x-1,求f(x) 答案:f(x)=x-1 3 或f(x)=-2x+1 2.周长为l,的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架（如 图），若矩形底边长为2x ，求此框架围城图形的面积y 关于的函数表达式，并写出它的定义域. 五、本节小结 函数的三种表示方法． 【教学后记】 第二章 基本初等函数复习学案 §2.1 一次、二次、反比例函数 【知识梳理】 一、掌握一次、二次、反比例函数的图象，并能理解图象、方程、不等式三者的关系. 【典例分析】 例1：（1）函数()lg[(1)2]f x a x =-+在[1,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 （2）函数2 ()f x x ax =-在[1,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 （3）在右侧坐标系中画出函数3()1 x f x x -=-的图象； 例2. 已知函数2 ()(2)f x a x a =-+在区间[0,1]上恒为正值，则a 的取值范围是 ． 例3.（1）二次函数2 ()f x ax bx =+满足条件(1)(3)f f -=,且函数存在最大值,则不等 式2 0ax bx +>的解集是 （2）已知二次函数2 ()2 5 (1)f x x ax a =-+>，若函数的定义域和值域都是[1,]a ，求实数a 的值. 例4．分析函数()1 ax f x x =-的单调性． §２.2 指数与指数函数 【知识梳理】 一．根式与分数指数幂 1. 若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，记为n >1，且n N *∈. n 次方根 （*1,n n N >∈且 ）有如下恒等式：n a = ,||,a n a n ?=??为奇数 为偶数； 2. 规定正数的分数指数幂：m n a =（0,,,1a m n N n *>∈>且） 3 。负分数指数幂：1m n m n a a -= = （0,,,1a m n N n *>∈>且） 二、指数幂的运算律 m n a a = ()m n a = m m a b = 三、指数函数的性质 函数 1、回顾初中有关函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定了一个x 值，相应地就确定唯一的一个y 值，那么我们称y 是x 的 函数. （1）变量：因变量，自变量 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量y ,x 间的关系式可以表示成y kx b =+（b 为常数，k 不等于0）的形式，则称y 是x 的一次函数。②当b =0时，称y 是x 的正比例函数。 （3）一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数y =k x 的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当k <0， b 1.2.2 单位圆与三角函数线 1.了解三角函数线的意义.(重点) 2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.(难点) [基础·初探] 教材整理1 单位圆 阅读教材P 19“第1行”～“第12行”，完成下列问题. 单位圆：我们把半径为1的圆叫做单位圆. 角 5π 6 的终边与单位圆的交点的坐标是________. 【解析】 由于角5π6的终边与单位圆的交点横坐标是cos 5π6＝－3 2，纵坐标是sin 5π6＝12，∴角5π6的终边与单位圆的交点的坐标是? ? ? ??－32，12. 【答案】 ? ? ? ??－ 32，12 教材整理2 三角函数线 阅读教材P 19“第13行”～P 20“例”以上部分，完成下列问题. 如图1-2-2所示，点P 的坐标为(cos α，sin α)，即P (cos α，sin α). 图1-2-2 其中cos α＝OM ，sin α＝ON .这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.以A 为原点建立y ′轴与y 轴同向，y ′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T ′)，则tan α＝AT (或AT ′). 我们把轴上向量OM →，ON →和AT →(或AT ′→ )分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线. 图1-2-3 如图1-2-3，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A.正弦线PM →，正切线A ′T ′→ B.正弦线MP →，正切线A ′T ′→ C.正弦线MP →，正切线AT → D.正弦线PM →，正切线AT → 【解析】 由三角函数线的定义知C 正确. 【答案】 C [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ [小组合作型] 三角函数线的概念 (1)(2016·济宁高一检测)设P 点为角α的终边与单位圆O 的交点， §3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课前预习学案 一．预习目标 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二．预习内容 1．基本初等函数的导数公式表 2. （2 （常数与函数的积的导数，等于：） 三．提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 一．学习目标 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二．学习过程 （一）。【复习回顾】 复习五种常见函数、、、、的导数公式填写下表 （二）。【提出问题，展示目标】 （ 2）根据 基本初 等函数的公式，求函数的 （1）与 （2）与 2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点 推论： （常数与函数的积的导数，等于：） 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号. （2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1） （2）； （3）； （4）； 【点评】 ①求导数是在定义域内实行的． ②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． （四）．典例精讲 例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到） 分析：商品的价格上涨的速度就是： 解： 变式训练1：如果上式中某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到） 例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）（2） 分析：净化费用的瞬时变化率就是： 解： 比较上述运算结果，你有什么发现 三．反思总结： （1）分四组写出基本初等函数的导数公式表： （2）导数的运算法则： 四．当堂检测 函数的三要素 【知识点】 一、函数的定义域 （1）研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提，要树立定义域优先的原则． （2）函数的定义域常由其实际背景决定，若只给解析式时,定义域就是使此式子有意义的实数x 的集合（区间表示）． 常见定义域的求法： 常见定义域求法：对于()x f y =而言： ①整式：实数集R ； ②分式：使分母不等于0的实数的集合； [1 (0)x x ≠] ③0指数幂：底数不等于零； [0 (0)x x ≠] ④偶次根式：使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； [2(0)n x x ≥] ⑤对数：真数大于零； [log (0)a x x >] ⑥由几个部分的式子构成：使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)； 实际问题：使实际问题有意义的实数的集合． 二、函数的值域 对于)(x f y =，x A ∈，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数)(x f y =的值域． 三、解析式 （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解； （2）当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法．若易将含x 的式子配成()x g ，用配凑法；若易换元后求出x ，用换元法； （3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法； （4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求． 课程类型： 1对1课程 ? Mini 课程 ? MVP 课程 【课堂演练】 题型一 函数定义域 例1 求下列函数的定义域： （1）1()2 f x x =- （2）0()32(2)f x x x = +- （3）1 ()1 2f x x x =+- 练1 求下列函数的定义域： （1）83y x x =+- （2）22 111 x x y x --= - （3）()3||f x x =- 练2 函数0()(12)13 g x x x x = --的定义域为 ． 例2 函数3()1log (63)f x x x = +-的定义域为（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．[1,2)- D ．[1,2]- 练3 函数()3lg(1)f x x x =-+的定义域为（ ） A ．[1,3)- B ．(1,3)- C ．(1,3]- D ．[1,3] - 练4 函数1 ()ln(31) = +f x x 的定义域是（ ） A ．1 (,)3- +∞ B ．1 (,0)(0,)3- +∞U C ．1 [,)3- +∞ D ．[0,) +∞ 题型二 函数值域 ? 一次分式值域 例3 求432+-=x y 在?? ? ???-∈1,32x 上的值域． 1.2.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 1．函数的表示法 (1)解析法：□1用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． (2)图象法：□2用图象表示两个变量之间的对应关系． (3)列表法：□3列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 2．对三种表示法的说明 (1)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域． (2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点． (3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．() (2)任何一个函数都可以用解析法表示．() (3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．() 答案(1)×(2)×(3)× 2．做一做 (1)函数f(x)是一次函数，若f(1)＝1，f(2)＝2，则函数f(x)的解析式是________． (2)某教师将其1周课时节次列表如下： X(星期)12345 Y (节次) 2 4 5 3 1 从这个表中看出这个函数的定义域是________，值域是________． (3)(教材改编P 23T 3)画出函数y ＝|x ＋2|的图象． 答案 (1)f (x )＝x (2){1,2,3,4,5} {2,4,5,3,1} (3) 探究1 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2 x ，x ∈[2，＋∞)； (2)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]． 解 (1)列表： x 2 3 4 5 … y 1 23 12 25 … 画图象，当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2 x 的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]． 人教版高中数学精品资料 1．2 导数的计算 1．2.1 基本初等函数的导数公式 1．掌握各基本初等函数的求导公式． 2．能根据导数定义，求几个常用函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝1x 的导数． 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 基础梳理 1．几个常用函数的导数. 解析：几何意义：表示在函数y ＝x 的图象上每一点处的切线的斜率都为1； 物理意义：若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则f ′(x )＝1表示物体的瞬时速度始终为1，即物体做匀速直线运动． 2．基本初等函数的导数公式. 想一想：(1)计算过程：? ????cos 6′＝－sin 6＝－2，正确吗？ (2)已知f (x )＝x 2 ，则f ′(3)＝________． (1) 解析：不正确，因为cos π6＝3 2 ，为常数，而常数的导数为0. (2) 解析：因为f ′(x )＝2x ，所以f ′(3)＝2×3＝6. 自测自评 1．下列各式正确的是(D ) A ．(log a x )′＝1x B ．(log a x )′＝ln 10 x C ．(3x )′＝3x D ．(3x )′＝3x ln 3 2．已知函数f (x )＝? ?? ??12x ，则函数图象在x ＝0处的切线方程为(B ) A ．x ln 2－y －1＝0 B ．x ln 2＋y －1＝0 C ．x ＋y ln 2－1＝0 D ．x －y ln 2－1＝0 解析：f ′(x )＝??????? ????12x ′＝? ????12x ln 12＝－? ????12x ln 2；所以切线的斜率为k ＝f ′(0)＝－ ln 2，又切点坐标为(0，1)，则切线方程为y －1＝－x ln 2，即x ln 2＋y －1＝0.故选B. 3．下列结论中正确的个数为(D ) ①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－2 27； ③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝ 1 x ln 2 . （一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数的方法. （2）会求简单函数的定义域和函数值. 2．过程与方法 通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值，加深对应法则的认识. 3．情感、态度与价值观 通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；体会成功地解答数学问题的学习乐趣，培养钻研精神. （二）教学重点与难点 重点：掌握函数定义域的题型及求法. 难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则. 二、授课内容： 【知识要点】 ⑴定义域———自变量x 的取值范围 函数三要素 ⑵值 域———函数值的集合 ⑶对应法则——自变量x 到对应函数值y 的对应规则 注意：①核心是对应法则；②值域是由定义域与对应法则所确定了的，故确定一个函数只需确定其定义域、对应法则则即可；③如何判断“两个”函数为同一函数；④函数()12-= x x f 的对应法则f ：x （平方再 减1整体再开平方）y 。而在此基础上的函数()1+=x f y ，其自变量为式中的x 而不是1+x ，其对应法则x （加1再取f 运算）y ，即x （加1整体平方再整体减1再整体开方）y ，故此时()1)1(12-+=+x x f 。 【典型例题】 1．函数定义域求法 ⑴已知函数的解析式求定义域时需要注意： ①()x f 是整式，则定义域为R ； ②()x f 是分式，则令分母不为0的值为定义域； ③()x f 是偶次根式，则函数定义域为使被开方式为非负数的自变量集合； ④若()x f 由几个部分式子构成，则定义域是使几个部分式子都有意义的值的集合； ⑤函数[]2 )(x f y =的定义域()x f 0≠； ⑥对数函数()x f y a log =（0>a ，且1≠a ）的定义域要求()x f >0； ⑵求函数()[]x g f 的定义域，()x g 相当于()x f 中的x 。 ⑶当函数由实际问题给出时，还应考虑实际意义。 例1：求下列函数的定义域 ①()0 2 )1(4--= x x x f ； ②()1 21 12 2+-+ ++=x x x x x f ； ③()x x f 11111++ = 042 ≥-x 22≤≤-x 解析：①由 ? ∴函数定义域为[)(]2,11,2?- 01≠-x 1≠x 012 ≥++x x （Ⅰ） ② 12 ++x x 的判别式0 1.2.三角函数诱导公式学案（一） 预习案（限时20分钟） 学习目标： （1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式； （2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题 学习重点： 用联系的观点发现并证明诱导公式,体会把未知问题化归为已知问题的思想方法 学习难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法． 预习指导：请根据任务提纲认真预习课本P23-25 ? 任务一：探究三角函数诱导公式（二） （三）（四） 思考： （1）各象限内三角函数值的符号是什么？（只讨论正弦、余弦、正切） （2）任意角的三角函数的定义是什么？ （3）公式一的内容与作用是什么？ 探究一：任意角α与(π＋α)三角函数值的关系. ①α与 (π＋α)角的终边关系如何？ ②设α与(π＋α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2，则点P 1与P 2位置关系如何？ ③设点P 1(x ，y )，那么点P 2的坐标怎样表示？ ④sin α与sin(π＋α)，cos α与cos(π＋α)，tan α与tan(π＋α)的关系如何？ 利用三角函数定义，自己探索，归纳成公式（二） _______)tan(_______)cos(_______)sin(=+=+=+απαπαπ 探究二：任意角α与(-α)三角函数值的关系. ①α与(－α)角的终边位置关系如何？ ②设α与(－α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2点P 1与P 2位置关系如何？ ③设点P 1(x ，y )，则点P'的坐标怎样表示？ ④sin α与sin(－α)，cos α与cos(－α) ，tan α与tan(－α)关系如何？ 利用三角函数定义，经过探索，归纳成公式（三） _______)tan(_______)cos(_______)sin(=-=-=-ααα 探究三：α与(π－α)的三角函数值的关系． ①α与(π－α)角的终边位置关系如何？ ②设α与(π－α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2点P 1与P 2位置关系如何？ ③设点P 1(x ，y )，则点P'的坐标怎样表示？ ④sin α与sin(π－α)，cos α与cos(π－α) ，tan α与tan(π－α)关系如何？ 经过探索，归纳成公式（四） _______)tan(_______)cos( _______)sin(=-=-=-απαπαπ 预习检测 1.cos 225?=_________ 2.)45sin(ο-=_________ 3.)150tan(ο =________ _______)180tan()cos()180sin(.4=--?+οοααα 5.若,31)tan(=+απ则=αtan __________________ 学案14：函数的表示法 【课前预习,听课有针对性】 1. 若()23,(2)(),()f x x g x f x g x =--=则的表达式为 （ ） A ． 2x+1 B ． 2x —1 C ．2x —3 D ． 2x+7 2．已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f 的解析式为 （ ） A ．2)(x x f = B ．)1(1)(2≥+=x x x f C ．)1(22)(2≥+-=x x x x f D ．)1(2)(2≥-=x x x x f 3．若一次函数y=f (x)在区间[]1,2-上的最大值为3，最小值为1，则y=f (x)的解析式为_____________． 4．若二次函数y=f (x)过点()()()0,3,1,4,1,6-，则f (x)=_______________. 5．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)= 11-x ,则f(x)= ___ 【及时巩固,牢固掌握知识】 A 组 夯实基础，运用知识 6. 下列各函数解析式中，满足)(21)1(x f x f = +的是（ ） A ． 2x B ． 21+x C ． x -2 D ． x 21log 7．已知32)121(+=-x x f ，且 6)(=m f ，则m 等于（ ） A ．41- B ． 41 C ． 23 D ． 2 3- 8. 若2 )(,2)(x x x x e e x g e e x f --+=-=，则)2(x f 等于 （ ） A ．)(2x f B ． )]()([2x g x f + C ．)(2x g D ． )()(2x g x f ? 9. 已知221111x x x x f +-=??? ??+-，则)(x f 的解析式可取为（ ） A ．21x x + B ． 212x x +- C ． 212x x + D ．－21x x + B 组 提高能力，灵活迁移 10. 若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则( ) A ．a=2,b=2 B ． a= 2 ,b=2 C ．a=2,b=1 D ．a= 2 ,b= 2 11. 若函数)(x f 满足关系式1()2()3f x f x x -=，则的表达式为__________. 12. 设函数1 1)(+=x x f 的图象为1C ，若函数)(x g 的图象2C 与1C 关于x 轴对称，则)(x g 的解析式为________________. 13．已知,sin )cos 1(2x x f =-求()2x f 的解析式。 14．已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2)(x x f =，则当[]3,2∈x 时，函数)(x f 的解析式为 （ ） A ．42-x B ．42 +x C ．2)4(+x D ． 2)4(-x学年高中数学必修一122函数的表示法
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