文章编号:100529865(2002)022*******等幅疲劳三参数P -S -N 曲线族最优拟合法
匡卫红,倪 侃,张圣坤
(上海交通大学船舶与海洋工程学院,上海 200030)
摘 要:对于给定的等幅疲劳成组试验数据,利用三参数幂函数方程来描述P -S -N 等幅曲线。通过线性拟合相关系数的最优化来确定其中三个系数,采用割线法进行最优化求解。该方法具有迭代收敛快、拟合精度高的特点。关键词:疲劳可靠性;等幅曲线;最优化;割线法;对数正态分布中图分类号:O34612;T B11412 文献标识码:A
Optimization method for fitting three parameters of P -S -N
curve under constant amplitude loading
K UANG Wei 2hong ,NI K an ,ZH ANG Sheng 2kun
(School of Naval Architecture &Ocean Engineering ,Shanghai Jiaotong University ,Shanghai 200030,China )
Abstract :According to the given experimental constant am plitude fatigue life group data ,the three parameter exponential function equation can be adopted to describe the constant fatigue P -S -N curve.Three parameters can be determined through the optimization of the abs olute value of the linear regression coefficient ,and this can be achieved by the secant method.I t is showed that this new method is very accurate as well as very fast in convergence.
K ey w ords :fatigue reliability ;P -S -N curve ;curve fitting ;secant method ;logarithm normal distribution
等幅疲劳加载下的P -S -N 曲线是结构疲劳可靠性分析与设计的基础[1-4]。通常在等幅疲劳成组实
验中,在每一个应力水平上都用一组相同的试件做疲劳试验,得到一组寿命数据。对各级应力水平下疲劳寿命分布曲线上可靠度相同的百分位点进行曲线拟合,就得到给定可靠度的一组P -S -N 曲线。通常选用如下三参数幂函数方程来描述它:
N p (S -S 0)m
=C (1)将上式两边取对数,得
lg N p +m lg (S -S 0)=lg C
(2)
即在双对数坐标系中,lg N p 与lg (S -S 0)成线性关系。式中S 0在此称之为拟合疲劳极限,m 、S 0、C 均为待定
常数。利用三参数幂函数公式拟合P -S -N 曲线试验数据。关键是要选择S 0,使线性拟合的相关系数达到最大值。由此,文献[5]等提出了一种对分法。本文将在以上研究的基础上,采用更加有效的割线法[1]来对S 0进行最优求解。
1 给定可靠度下疲劳寿命的计算
由文献[3]知道,当对数疲劳寿命符合正态分布(μ,σ2
)时,给定可靠度p 下的对数疲劳寿命有:
收稿日期:2001205216
基金项目:国家自然科学基金资助项目(59605010;59979015)
作者简介:匡卫红(1979-),男,湖南娄底人,硕士研究生,主要从事船舶与海洋工程结构物设计制造。
第20卷第2期2002年5月
海洋工程
THE OCE AN E NGI NEERI NG V ol 120N o 12May 2002
lg N p =x p =μ+u p
σ(3)
其中:u p 代表对应可靠度p 下的标准正态偏量。
同时可以利用对数疲劳寿命的子样平均值和子样标准差分别作为母体平均值和母体标准差的估计量。若已知一组n 个疲劳寿命观测值N 1,N 2,…,N n ,则对数疲劳寿命的子样平均值为:
x =
1
n
∑
n
i =1
lg N i =μ
^
(4)
且对数疲劳寿命的子样标准差为:
s =
∑
n
i =1
(lg N i )
2
-
1
n
∑
n
i =1
lg N i
2
n -1
=σ
^
(5)
将式(3)中的μ和σ分别用μ^
和σ^
或 x 和s 代换,则得
lg N p =x ^
p =μ^
+u p
σ^
(6)
2 三参数幂函数的曲线拟合
对于三参数P -S -N 曲线,即公式(2),令:
X =lg (S -S 0),Y =lg N p ,a =lg C ,b =-m
(7)则有:Y =a +bX
(8)b =L xy /L xx ,a = Y -b
X (9)
可见X 与Y 之间存在线性关系。其中线性拟合的相关系数为:
R =L xy /
L xx L yy (10)
其中(以下用
∑代替∑
n
i =1
): X =
1
n
∑X
i
=
1
n
∑lg (S i
-S 0)
Y =
1
n
∑
Y i =
1
n
∑
lg N i
L xx =
∑
lg 2(S i -S 0)-
1
n
∑lg (S i -S 0)2
L yy =
∑
lg 2N pi -1
n
∑
lg N pi
2
L xy =
∑
lg 2N pi lg (S i -S 0)-
1
n
∑
lg (S i
-S 0)
∑
lg N pi
用数值法求S 0的最优解,使得此时的线性拟合相关系数的绝对值|R |取最大,即充分接近于1。因此,寻求
S 0最优解等于求解如下方程:
d R 2/d S 0=2R (d R/d S 0)=2R 2
1L xy d L xy d S 0-12L xx d L xx
d S 0
=0
(11)故:1L xy d L xy d S 0-12L xx d L xx
d S 0=0
(12)
令:
L y 0=-ln10d L xy dS 0
=∑lg N pi
S
i
-S 0
-
1
n
∑
lg N pi
1
S i -S 0
(13)
L x 0=-
ln102d L xx
dS 0
=
∑
lg (S i -S 0)
S i -S 0
-
1
n
∑
lg (S i -S 0)
1
S i -S 0
(14)
将式(13)和式(14)代入式(12)中,得:
L y 0L xy -L x 0
L xx
=0
(15)
5
7第2期匡卫红,等:等幅疲劳三参数P -S -N 曲线族最优拟合法
令:f(S0)=L y0
L xy
-
L x0
L xx
(16)
则方程f(S0)=0的解便是式(11)的解。
3 割线法求解方程f(S0)=0
本文采用割线法迭代求解方程f(S0)=0。为表述方便,S0用ζ代替。设ζ的第j-1步的迭代值为ζ
j-1
,第j步的迭代值为ζj,则第j+1步的迭代值为:
ζ
j+1=ζj-
f(ζj)(ζj-ζj-1)
f(ζj)-f(ζj-1)
j=1,2, (17)
迭代终止条件为:f(ζj+1)≤ε,或|ζj+1-ζj|≤ε或ζ
j+1
-ζj
ζ
j
≤ε
即在以上三个判定式中,若其中任意一个成立,则终止迭代。ζ=ζj+1即为方程f(S0)=0的解,其中ε为(相对)误差限。
用割线法求解时,初始值ζ0和ζ1的选取:设由试验已得到给定可靠度的一组疲劳寿命的百分位值样本,等幅试验每级应力水平分别为:S1>S2>…S n-1>S n,显然S0
1)令ζ+0=S n-011;
2)选择c的取值,确定迭代步长h=S n/c,此时j=0;
3)计算ζ+j+1=ζ+j-h;
4)若f(ζ+j+1)f(ζ+j)>0,则进行下一步迭代,此时j增加1,返回至3)
5)若f(ζ+j+1)f(ζ+j)<0,终止迭代,且令
ζ
1=
ζ+j,ζ0=ζ+j+1(18) 初始值ζ0和ζ1确定后,便可由式(17)求得ζ,亦即S0,接着由式(9)求得a和b,并由式(7)求得C和m。4 应用实例
表1是由文献[6]中LY12-CZ铝合金板材中心孔试件常幅加载疲劳的试验结果求得的对数疲劳试验的百分位值,原始数据详见文献[6]。其中S max简记为S,S min=101192N/mm2。
表1 LY12-CZ中心孔试件常幅加载疲劳的试验结果
T ab.1 The constant amplitude test results of LY12-CZ specimens with a central hole 组号S x s lg N0150lg N0190lg N0195lg N0199lg N01999
1227136413721011032413721412397412023411320410531
2203184417561010436417561417002416843416546416213
3180170511608010873511608510488510171419576418909
4151190516496011479516496514600514063513056511926
5147198610093012489610093516902515999514304512402
6138196618247011309618247616569616094615202614202
1)在已知每级应力水平S i下疲劳寿命的试验结果后,利用公式(4)、(5)来估计母体平均值和母体标准差,再根据公式(6)来求出给定可靠度p(见表1)下的对数疲劳寿命lg N p。
2)当可靠度p=99%,选择ζ+0=S n-011=1381864,c=100,迭代h=S n/100=113896。表2给出了确定ζ0和ζ1的迭代步骤,只经过2步计算,便得[ζ1,ζ0]=[13714744,13610847]。然后,由式(17)采用割线法求解方程Δ(ζ)=0,误差限取ε=10-7,由式(22)进行迭代终止判定,表3给出了迭代过程,经过6步,便可求得S0=13713368。再由式(9)求出a和b。此时线性相关系数为R=-0198187,S-N曲线拟合方程(p =99%)为:
67海 洋 工 程第20卷
表2 割线法初始值的确定
T ab.2 The determination of the initial value of the secant method
j
ζ+j -1
f (ζ+j -1)ζ+
j f (ζ+j )
113818640-012953513714744
-1160953×10-32
13714744
-1160953×10-313610847
6100638×10-3
N (S -13713368)112323=519156×10
6
与此同时,给出了f (S 0)-S 0的曲线,见图1。可以发现,这条曲线对S 0十分敏感。 3)重复2)中的步骤,可以计算出对应于其他可靠度p 的S -N 曲线拟合方程(见表4)。
表3 割线法迭代求解方程
T ab.3 The iterative process of the secant method
j
ζj -1
ζj
f (ζj )ζj +1
f (ζj +1)
11361084713714744-1160953×10-3137118071145056×10-3213714744137118071145056×10-3137131991174498×10-4313714744137131991174498×10-4137133501187305×10-5413714744137133501187305×10-5137133662163352×10-6513714744137133662163353×10-613713368-7128533×10-76
13713366
13713368
-7128533×10-7
13713368
5144744×10-8
4)根据表4,可以画出P -S -N 曲线簇,见图2
。
图2 P -S -N 曲线
Fig.2 P -S -N
curve
图1 f (S 0)-S 0曲线
Fig.1 f (S 0)-S 0curve
表4 P -S -N 曲线方程及相关系数
T ab.4 The equ ation of P -S -N curve and the correlation coefficient
可靠度p
S -N 曲线拟合方程
线性相关系数R
50%N (S -13413989)117840=918333×107-019935590%N (S -13612374)114632=119226×107-019890295%N (S -13616596)113800=112581×106-019869199%N (S -13713368)
112323
=519156×10
6
-01981879919%
N (S -13719101)110784=216866×106
-0197448
4 结语
1)采用三参数幂函数来描述等幅疲劳曲线,具有较好的曲线拟合精度;2)通过对线性拟合系数的最优化,来求解曲线的三个参数;
3)采用割线法来进行最优化迭代求解,具有拟合精度高,迭代收敛快的特点。
参考文献:
[1] 倪 侃1随机疲劳累积损伤理论研究进展[J ].力学进展,1999,29(1):43265.
[2] Weibull W 1Fatigue testing and analysis of results[M]1New Y ork :Macmillan C om pany ,1961:2262227.[3] 高镇同1疲劳应用统计学[M]1北京:国防工业出版社,1986.
[4] Little R E ,Jebe E H 1S tatistical design of fatigue experiments[M]1Applied Science Publishers ,London England ,1975.[5] 傅惠民,高镇同,梁美训1曲线拟合法[J ]1航空学报,1988,9(7):3382341.
[6] 伍义生1M iner 累积损伤理论的试验验证和统计分析[J ]1航空学报,1985,6(4):3512360.
7
7第2期匡卫红,等:等幅疲劳三参数P -S -N 曲线族最优拟合法