第二章数列的极限与常数项级数的含义。
和极限。正确理解》语言描述数列的会用《了解数列极限的概念， N N εε-念和性质。
量的概收敛准则。熟悉无穷小熟悉数列极限的性质和。极限或简单的极限证明限运算法则计算数列的以及极式”法、“夹逼定理”能熟练运用“放大不等性质。
件以及收敛级数的基本必要条性质。掌握级数收敛的理解常数项级数概念和别法。
收敛判判别法。掌握交错级数熟悉常数项级数的收敛－级数的敛散性。
数、熟悉等比级数、调和级P 本章学习要求：
第二章数列的极限与常数项级数
第二节数列极限收敛准则
第三节数列极限的运算
一、数列极限收敛准则
二、无穷小量与无穷大量
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三、极限的运算
四、施笃兹定理及其应用
一、数列极限收敛准则
1.单调收敛准则
2.数列极限的夹逼定理
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3. 柯西收敛准则
1.单调收敛准则
单调增加有上界的数列必有极限.
单调减少有下界的数列必有极限.
通常说成：单调有界的数列必有极限.
. 11 收敛证明数列????????
? ??+n n 由中学的牛顿二项式展开公式 +?--+?-+?+=??
? ??+=321! 3)2)(1(1! 2)1(1! 1111n n n n n n n n n n x n n n n
n n n n n 1! ))1(()1(?---+ +??? ??-??? ??-+??? ??-++=n n n 2111! 3111 2111！ , 112111! 1??? ??--??? ??-??? ??-+n n n n n 例1证
类似地, 有
1
1111++??? ??++=n n n x 111121111! 1??
? ??+--??? ??+-??? ??+-+n n n n n 11121111! )1(1??
? ??+-??? ??+-??? ??+-++n n n n n +??
? ??+-??? ??+-+??? ??+-++=121111! 31111 2111n n n ！
除前面的展开式可以看出与比较 , 1+n n x x 并且的对应项的每一项都小于两项外 , ,1+n n x x 因此
一项还多了最后的大于零的 , 1+n x 1
+ }{ 是单调增加的即n x +??? ??-??? ??-+??? ??-++=n n n x n 2111! 3111 2111！ , 112111! 1??? ??--??? ??-??? ??-+n n n n n 11121111! )1(1?? ? ??+-??? ??+-??? ??+-++n n n n n 111121111! 1??? ??+--??? ??+-??? ??+-+n n n n n +?? ? ??+-??? ??+-+??? ??+-++=+121111! 31111 21111n n n x n ！ +??? ??-??? ??-+??? ??-++=n n n x n 2111! 3111 2111！ 112111! 1?? ? ??--??? ??-??? ??-+n n n n n 又! 1! 31! 2111n +++++< 1221212111-+++++ 1121111<-=--+=-n n 等比数列求和 放大不等式 . }{ 有界从而n x 每个括号小于1 . 综上所述, 数列{x n }是单调增加且有上界的, 由极限存在准则可知, 该数列的极限存在, 通常将它纪为e , 即 . 11lim e n n n =?? ? ??++∞→e 称为欧拉常数. 590457182818284.2=e .ln : , , x y e =记为称为自然对数为底的对数以 ! ! 1! 31! 21 ! 111 n n n e e ?++++++=θ 的计算公式为 . 10 ,<<θ其中点击此处可了解欧拉 2.数列极限的夹逼定理 设数列{ x n }, { y n }, { z n } 满足下列关系:(2), lim lim a z y n n n n ==+∞ →+∞ →则a x n n =+∞ →lim (1) y n ≤x n ≤z n , n ∈Z +(或从某一项开始) ;想想：如何证明夹逼定理? .12111 lim 222?? ????+++++++∞→n n n n n 求1 12 11 1 2 2 2 2 2 +< ++ +++ +< +n n n n n n n n n , 1lim 2 =++∞ →n n n n 而1 1 lim 2 =++∞ →n n n 由于 112111 lim 222=?? ????+++++++∞→n n n n n 故想得通吧？ 例2 解 . ,! lim + +∞→∈Z n n n n n 求 ,1 1 321! 0 n n n n n n n n n n n ≤?-????=< 由于 1. 1,,3,2均小于n n n n - ,00lim ,01 lim ==+∞→+∞→n n n 而 .0! lim =+∞→n n n n 故例3 解 .)321(lim ,13lim 1n n n n n n ++=+∞ →+∞ →求已知 132313)321(11 n n n n n n ? ?? ???+??? ??+??? ??=++ , 3132311 <+??? ??+??? ?? n 而 , 33)321(3 11n n n n ?<++<故 , 3)33(lim 1=?+∞ →n n 又 . 3)321(lim , 1=+++∞ →n n n n 得由夹逼定理夹逼定理 例4 解 .111lim 2n n n n ?? ? ??+++∞→求 , 1 时当>n 1 112n n ++ ,11111111 2n n n n n n n ??? ??-+ n n n =??? ??-+=??? ??++∞→+∞→而 . 111lim 2e n n n =?? ? ??+++∞→故夹逼定理 请自己做! <+n 11 ,111)1(111-+=-+ + 解 有界数列的重要性质 由任何有界数列必能选出收敛的子数列.. : }{ b x a x n n ≤≤有界设数列 ]. ,[ , }{ , ] ,[ 11b a x b a n 记为的无穷多项含有数列间则其中至少有一个小区二等分将区间 ]. ,[ , ] ,[ 2211b a b a 多项的新的小区间无穷又可得到一个含有数列二等分再将 ., , 含前一个小区间内且每一个小区间都被包区间无穷多项的小可得到无穷多个含数列如此下去定理 []a b 1 a 1 b 2a 2 b [ [3a ]3 b n a n b ] ,[],[],[],[],[112211b a b a b a b a b a n n n n ??????-- []左端点构成单调增加的数列右端点构成单调减少的数列 ,, ] ,[ n k n n x b a 记为中任取数列的一个元素在区间 ,},{ 且它是原数列的子数列则得到一个数列n k x .lim :c x n k n =+∞→由夹逼定理 ).( 2 ] ,[ +∈-Z n a b b a n n n n 的区间长度为个小区间第 :存在故由单调收敛准则可知c b a n n n n ==+∞ →+∞→lim lim ,02 lim )(lim =-=-+∞→+∞→n n n n n a b a b 即有n k n b x a n ≤≤ . }{ 收敛即子数列n k x 上面所用到的方法归结起来称为“区间套定理”. : , ]},{[ 它们满足是数轴上的一串闭区间设k k b a (区间套定理) 定理 ; ], ,[],[ )1(11+ ++∈?Z k b a b a k k k k 0, ||lim )2(=-+∞ →k k k a b ) . ],[ || , ( 的长度为区间其中k k k k b a a b - , ], ,[ 且则存在唯一的实数+∈∈Z k b a c k k .lim lim c b a k k k k ==+∞ →+∞→ 3. 柯西收敛准则 ??=+∞→ ) }{ ( lim 收敛即数列n n n x a x . || , , ,0 ,0εε<->>?>?n m x x N n m N 时当满足此条件的数列, 称为“柯西列”. 柯西准则可写为: . }{ }{ 为柯西列收敛数列n n x x ??点击此处可了解柯西 第七章实数的完备性 §1.Cauchy 收敛准则及迭代数列极限 一引言 问题 极限{}n x 收敛、发散是什么意思？答如果存在数a ，使得lim n n x a →∞=，则称数列{}n x 收敛；反之称为发散。 问题上述关于数列“收敛性”的定义有何缺陷？ 答涉及数a ，这在理论上不够完美。 问题 能否不涉及数a ，仅根据{}n x 本身的特性判断{}n x 的收敛性？答可以，如前面已学过的“单调有界定理”，“两边夹法则”，“Stolz 定理”等。 问题 上述方法只是数列{}n x 收敛的“充分条件”，有无“充要条件”？答有，Cauchy 收敛准则――它是具有重要原则意义的敛散性充要判别法则，它揭示了实数的完备性。 二、基本数列（引进此概念仅为叙述方便） 不严格的讲，如果lim n n x a →∞ =?n 充分大时，n x a ≈?当n ，m 充分大时，0n m x x a a -≈-=，即从第m 个起，数列{}n x 的任意两项差别可以任意小。严格的讲，有以下定义： 定义1对每个ε>0，都能找到一个自然数N ，对一切n ，m ≥N ，成立不等式n m x x ε-<，则称{}n x 为 （cauchy ）基本数列，记作,lim ()0n m n m x x →∞-=。 简写：{}n x 是收敛数列?,lim ()0n m n m x x →∞ -=?0,,,N n m N ε?>??≥，n m x x ε-<。例1若{}n x 收敛，则{}n x 必是基本数列例2{}(1)n -不是基本数列例31n n +?????? 是基本数列。三、Cauchy 收敛准则 {}n x 收敛?{}n x 是基本数列 四、实数系的完备性 实数所组成的基本数列{}n x 比存在实数极限――实数系完备性；有理数域不具有完备性，如1(1)n n ??+??? ?：1lim(1)n n e n →∞+=（无理数）。五、函数极限的Cauchy 收敛准则 设f 在点a 某个去心邻域有定义，则极限lim ()x a f x →存在且为有限?lim[()()]0x a x a f x f x '→''→'''-=0ε??>， 柯西准则及其应用 摘 要：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就0x x →一种情形来讨论，本文将补给并详细证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用． 关键词：柯西准则；应用；极限存在；优越性 引言：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用非常广泛，贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就0x x →一种情形来讨论，即 设函数()f x 在00(;)U x δ'内有定义，0 0()lim x x f x →存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数 δ(<δ')，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ，都有()()f x f x '''-<ε． 事实上，当0x x +→，0x x - →，x →+∞，x →-∞，x →∞五种情形函数极限存在的柯西 准则可以类比，它们的应用也非常广泛．本文将详细叙述并证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用，充分展示其在解决上述几个方面问题的优越性和博大精深之处． 1 柯西准则的其它五种形式 定理1.1 设函数f 在00(;)U x δ+'内有定义．0 0()lim x x f x + →存在的充要条件是：任给0ε>，存 在正数()δδ'<，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ+，均有()()f x f x '''-<ε． 证 必要性 设0 ()lim x x f x A + →=，则对任给的ε>0，存在正数δ(<δ')，使得对 00(;)x U x δ+?∈， 有()2 f x A ε -<．于是对00(;)x x U x δ+'''?∈，，有 充分性 设数列{}00(;)n x U x δ+?且0lim n n x x →∞ =，按假设，对任给的ε>0，存在正数δ(<δ')，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ+，有()()f x f x ε'''-<． 由于0()n x x n →→∞，对上述的δ>0，存在N >0，使得当n m ，>N 时有00(;)n m x x U x δ+∈， 从而有 ()()n m f x f x ε-<． 于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列{}()n f x 的极限存在，记为A ，即()lim n n f x A →∞ =． Cauchy 收敛原理 “单调有界数列必有极限。”与“夹逼定理：设有三个数列{}{}{}n n n z y x ,,满足n n n z y x ≤≤，且c z x n n n n ==∞ →∞ →lim lim ，则c y n n =∞ →lim 。 ”给出了数列收敛的充分条件而不是必要条件，经过许多数学家的努力，终于由法国数学家Cauchy 获得了完善的结论——Cauchy 收敛原理，它从数列本身找到了能够判断数列收敛性的充分必要条件。 定理5 （Cauchy 收敛原理）数列{}n a 收敛的充分必要条件是：对任意的0>ε，都存在正整数N ，当N n m >,时，有 ε<-m n a a 证明 必要性： 设a a n n =∞ →lim ，则对0>?ε，存在正整数N ，当N l >时，有 3 ε <-a a l 从而当N n m >,时，有 εε ε <+ <-+-≤-+-=-3 3 m n m n m n a a a a a a a a a a 必要性得证。 充分性 先证明数列{}n a 有界。取1=ε，由题设，必存在正整数0N ，当1,00+=>N m N n 时，有 110<-+N n a a 因而当0N n >时，有 11111000001++++++<+-≤+-=N N N n N N n n a a a a a a a a 当令{ } ,1,,,1100+=+N N a a a M ()( ) ,2,1=≤n M a n ，数列{}n a 有界。由致密性定理，数列{}n a 存在收敛的子列{} l n a ，设()∞→→l a a l n ，即对0>?ε，存在正整数L ， 当L l >时，有 3 ε < -a a l n 数学教学多媒体课件 ◆一类数列的变化特征◆数列极限的定义 ◆几个基本数列的极限◆问题讨论 ◆数列极限概念的小结 通过图像观察数列的特性 数列的图像（点击按钮调用图像） 通过图表定量观察(1)数列: 0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999,...........项号项|a n-1| 10.9|0.9-1|=0.1 20.99|0.99-1|=0.01 30.999|0.999-1|=0.001 40.9999|0.9999-1|=0.0001 50.99999|0.99999-1|=0.00001 60.999999|0.999999-1|=0.000001 70.9999999|0.9999999-1|=0.0000001 .................... 对ε=0.001与ε =0.000001,则n>3与n>6后满足|a -A|< ε n 项号项|a n -1|11/2|(1/2)-1|=0.521/4|(1/4)-1|=0.2531/8|(1/8)-1|=0.12541/16|(1/16)-1|=0.062551/32|(1/32)-1|=0.0312561/64|(1/64)-1|=0.01562571/128|(1/128)-1|=0.0078125...... ...... ........ 通过图表定量观察(2) 数列: 1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,........... 对ε=0.1与ε =0.01,则n>3与n>6后满足|a n -A|< ε 柯西极限存在准则 柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，在数轴上一切具有足够大号码的点Xn中，任意两点间的距离小于ε . 充分性证明： (1)、首先证明Cauchy列有界 取ε=1,根据Cauchy列定义，存在自然数N，对一切n>N，有 Ia(n)-a(N+1)I<1。 令M=max{|a(1)|,|a(2)|，…，|a(N)|，|a(N+1)|+1} 则对一切n，成立|a(n)|≤M。 所以Cauchy列有界。 （2)、其次在证明收敛 因为Cauchy列有界，所以根据Bolzano-Weierstrass定理（有界数列有收敛子列）存在一个子列aj(n)以 A为极限。那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限。（注意这种证明方法是实数中常用 的方法：先取点性质，然后根据实数稠密性，考虑点领域的性质，然后就可以证明整个实数域的性质了） 因为Cauchy列{a(n)}的定义，对于任意的ε>0，都存在N,使得m、n>N时有 |a(m)-a(n)|<ε/2 取子列{aj(n)}中一个j(k),其中k>N,使得 |aj(k)-A|<ε/2 因为j(k)>=k>N,所以凡是n>N时，我们有 |a(n)-A|<=|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-A|<ε/2+ε/2=ε 这样就证明了Cauchy列收敛于A. 即得结果：Cauchy列收敛 柯西收敛准则的不同证法方法一:用定理2证明柯西收敛准则 证明：必要性:易知，当{ a n }有极限时(设极限为a)，{ a n }一定是一个柯 西数列。因为对任意的ε>0，总存在N(N为正整数)。使得当n ，m>N时，有| a n -a|< ε， | a m -a|<ε ∴| a n - a m |≤| a n -a|+| a m -a|<ε，即{ a n }是一个柯西数列。 充分性:先证明柯西数列{ a n }是有界的。不妨取ε=1，因{ a n }是柯西数 列，所以存在某个正整数N 0，当n > N 时有| a n –a No+1 |<1，亦即当n ，N> N 时| a n |≤| a No+1 |+1即{ a n }有界。不妨设{ a n }?[a ，b]，即a≤a n≤b，我们 可用如下方法取得{ a n }的一个单调子列{ a nk }： (1)取{ a nk }?{ a n }使[a，a nk ]或[a nk，b]中含有无穷多的{ a n }的项； (2)在[a，a nk ]或[a nk ，b]中取得a nk+1∈ { a n }且满足条件(1)并使nk+1>nk； (3)取项时方向一致，即要么由a→b要么由b→a。 由数列{ a n }的性质可知以下三点可以做到，这样取出一个数列{ a nk }?{ a n} 且{ a nk }是一个单调有界数列，必有极限设为a，下面我们证明{ a n }收敛于a。 因为lim n→∞a nk =a,则对ε>0，正整数K，当k >K时| a nk -a|< 2 ε 。另一方面由于 { a nk }是柯西数列，所以存在正整数N，使得当n ，m>N时有| a n – a m |< 2 ε ， 取n 0=max(k+1，N+1)，有n 0≥n N+1>N以及 > k+1 >k。所以当n >N时| a n-a|≤| a n – a m |+| a m -a|<ε。 ∴{ a n }收敛于a。 方法二:用定理3证明柯西收敛准证 证明：必要性显然。下证充分性。 设{x n }是柯西数列，即对任意的ε>0，存在N >0，使得当n ， m > N时， 有| x n – x m | <ε (1) 令y n =sup{ x n+p | p =1，2，…} z n =inf { x n+p | p =1，2，…} 显然，y n 是单调递减数列，z n 是单调递增数列。取M =max{ x 1 ，x 2 ，…， 第十讲、柯西收敛准则 定理10.1 . （柯西收敛准则）数列{x n}极限存在的充要条件是:对于 ?>存在正数N , 使当n >N 时, 对于一切p∈+有| | εx x ε0 +?< n p n 注记10.1. （I）柯西准则的意义是：数列{x n}是否有极限可以根据其一 般项的特性得出，而不必事先知晓其极限的具体值(见下面的例子10.2）。（II）定理10.1 的逆否命题为： （柯西收敛准则）数列{x n}极限不存在的充要条件是: ?ε0 > 0，使得对 ?∈, 均存在n >N 时, 存在p∈，使得 N | | + +?≥ + x x ε n p n 0 例子10.1 设x n sin 2n =，试用柯西收敛准则证明该数列极限存在。 n 证明：注意到 sin 2(n p) sin 2n sin 2(n p) sin 2n ++ |x x |= ??≤ + n+p n ++ n p n n p n 1 1 2 ≤+≤ n p n n + 2 ∈有于是，对?ε> 0，取正数ε, 则当n >N 时, 对于一切p N= + 2 sin 2n n p n n +?≤<。故由定理10.1 柯西收敛准则可知 ε n n 证毕。 例子10.2.设x n 1 1 1 =++++，证明数列{ } 1 x 收敛。 2 3 n 2 2 2 n 证明：注意到 1 1 1 |x x |= n p n +?+++ +++ 2 2 2 (n 1) (n 2) (n p) 1 1 1 ≤+++ n(n 1) (n 1)(n 2) (n p 1)(n p) ++++?+ 1 1 1 1 1 1 =?+++?++++??+ n n 1 n 1 n 2 n p 1 n p 1 1 1 =?< n n p n + 1 于是，对?ε> 0，取正数ε, 则当n >N 时, 对于一切p N= 1 |x x | n p n +?≤<ε。故由定理10.1 柯西收敛准则可知 n ++++ 1 1 1 存在。 lim 1 n→∞n 2 3 2 2 2 ∈有 + 考研数学数列极限内容概括及考点总结 来源：文都教育 数列极限的概念和判断极限存在的夹逼准则和单调有界准则也是考研数学的重要考点，下面文都考研数学教研室老师为大家总结了数列极限部分的知识和考点题型，希望对同学们有帮助。 一、数列极限 1. 数列极限的定义 设{}n a 为一数列，若存在常数A ，对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<-||A a n ，称A 为数列{}n a 的极限，或称数列 {}n a 收敛于A ，记为A a n n =∞ →lim 。 2. 收敛数列的性质 （1）收敛数列极限存在且唯一. （2）收敛数列必为有界数列. （3）收敛数列的保号性. 3. 极限存在准则 （1）夹逼准则 如果数列{}{}{},,n n n a b c 满足下列条件： 从某项起，即0n N ?∈，当0n n >时有，n n n c b a ≤≤，且A c a n n n n ==∞ →∞ →lim lim ， 则A b n n =∞ →lim 。 （2）单调有界准则 单调增加（或单调减少）且有上界（或有下界）的数列{}n x 必有极限。 【注】此准则只给出了极限的存在性，并未给出极限是多少。此时一般是在判定了“极限存在”以后通过数列的递推表示，在等式两边取极限得到。 4. 重要结论 （1）若lim lim n n n n a a a a →∞ →∞ =?=. （2）lim 0lim 0 n n n n a a →∞ →∞ =?=. （3）221lim lim ,lim n n n n n n a a a a a a -→∞ →∞ →∞ =?==. 【考点一】数列极限的概念与性质 例1设 ().lim 0,n n n n n x a y y x a →∞ ≤≤-=且为常数，则数列 {}n x 和{}n y （ ） 。 （A ）都收敛于a （B ）都收敛，但不一定收敛于a （C ）可能收敛，也可能发散 （D ）都发散 例2设 (){}{} .lim 0,,n n n n n n n n x a y y x x y →∞ ≤≤-=且和 {}n a 均为数列，则lim n n a →∞ （ ）。 （A ）存在且等于0 （B ）存在但不一定等于0 （C ）一定不存在 （D ）不一定存在 【考点二】（1）单调有界数列必有极限. （2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为+∞. （3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为-∞. 例1 设()()1103,31,2, n n n x x x x n +<<=-=，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限 例2 设 ()2 0110,20,1,2, n n n x x x x n +-<<=+=，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限 【考点三】夹逼准则 【思路提示】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能的大，而“放大”应该是尽可能的小，在这种情况下，如果仍然“夹不住”那么就说明夹逼准则不适用，改方法。 【考点四】数列连加和的极限 例1. 求极限 111 lim 1111212n n →∞ ? ?+++ ?++++ +?? 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，a n 能无限接近常数a ，则称 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对? ?? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε= 10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11π n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．． §３ 数列极限存在的条件 教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。 教学要求：（１）掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；（２）初步理解Cauchy 准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy 准则判断某些数列的敛散性。 教学重点：单调有界定理、Cauchy 收敛准则及其应用。 教学难点：相关定理的应用。 教学方法：讲练结合。 教学程序： 引言 在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。在实际应用中，解决了数列{}n a 极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当n 充分大时，n a 能充分接近其极限a ，故可用n a 作为a 的近似值。 本节将重点讨论极限的存在性问题。 为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。 从收敛数列的有界性可知：若{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列；但反之不一定对，即{}n a 有界不足以保证{}n a 收敛。例如{} (1)n -。但直观看来，若{}n a 有界，又{}n a 随n 的增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）。 为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列。 一、 单调数列 定义 若数列{}n a 的各项满足不等式11()n n n a a a a ++≤≥，则称{}n a 为递增（递减）数列。递增和递减数列统称为单调数列． 例如：1n ??????为递减数列；{} 2n 为递增数列；(1)n n ??-????不是单调数列。 二、 单调有界定理 〔问题〕 （1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？ 一个数列{}n a ，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以了。此即下面的极限存在的判断方法。 定理（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限。 三、 应用 §3 函数极限存在的条件 与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。下面的定理只 对这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。下述归结原则有 时成为海涅（Heine）定理。 定理3.8（归结原则）设在内有定义。存在的充要条件是：对任何含于 且以为极限的数列，极限都存在且相等。 证 [必要性] 设，则对任给的，存在正数，使得当时， 有。 另一方面，设数列且，则对上述的，存在 ，使得当时， 有，从而有。这就证明了。 (充分性) 设对任何数列且，有，则可用反证法推出 事实上，倘若当时不以为极限，则存在某，对任何（不论多么小），总存在 一点，尽管，但有。现依次取，， ，…，，…，则存在 相应的点，，，…,…,使得，而，。 显然数列且，但当时不趋于 。这与假设相矛盾，所以必 有。 注1 归结原则也可简述为： 对任何（）有。 注2若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列 注3与，使与都存在而不相等， 则不存在。 例1 证明极限不存在。 证设，（），则显然有 ，（） ，（）。 故有归结原则即得结论。 函数的图象如图3-4所示。由图象可见，当时，其函数值无限地在-1与1的范围内振 荡，而不趋于任何确定的数。 归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理。从而，我们能应用归结原则和数列极限的有 关性质来证明上一节中所述的函数极限的所有性质。 对于，，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的 形式，现以这种类型为例阐述如下： 定理3.9设函数在点的某空心右邻域有定义。的充要条件是：对任何以 为极限的递减数列，有。 这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对 的取法要作适当的修改， 以保证所找到的数列能递减地趋于。证明的细节留给读者作为练习。 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下： 定理3.10设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。 证不妨设在上递增。因在上有界，由确界原理， 存在，记为。 下证。 事实上，任给，按下确界定义，存在，使得。 取，则由 的递增性，对一切=，有 另一方面，由，更有。从而对一切有 数列极限及其计算（习题部分） 数列极限存在性的证明以及数列极限的计算，是考研数学的重难点，有时会命制成压轴题。 在考研范围内，数列极限计算常用的方法主要有单调有界准则、夹逼准则、初等变形、定积分定义、归结原理、级数收敛的必要条件、转化为幂级数求和等。本章部分题目涉及到后续章节的知识（如利用定积分定义求极限），自学本讲义的同学可暂时跳过。 题型一、递推数列的极限 （一）单调有界准则 例题1收敛并求极限值 注：利用单调有界准则证明递推数列的收敛性，是常考题型。在具体证明单调性和有界性时，常用到一些经典的不等式放缩，如均值不等式，柯西不等式等等；有时也可用数学归纳法证明。（在进行含有自然数的命题的证明时，我们常常可以考虑数学归纳法，这是一个很好用也很流氓的一个方法。） 类题1 ，证明收敛并求极限值 类题2 ，证明收敛并求极限值 ，问此时是否收敛，该如何 证明？若将，又该如何证明？ 类题3 ，证明收敛并求极限值 [注]：此题对于极限值的取舍才是关键点，这是很多辅导书都没有讲清楚的地方，希望大家好好思考。 类题4 设数列，证明收敛并求极限 类题5设可导，且，对于数列收敛， 且极限值满足方程 类题6 收敛并求极限值 类题7 （2018年数学二压轴题）设,证明收敛并求极限 注：这题是我当年考研时的原题，当时考完以后，很多人就在吹这个题多么的不常规，是考研史上最难的数列极限题。也正常，弱者总喜欢找各种理由。 例题2设收敛 注：①.该题说明，某些不是递推型的数列，也可以用单调有界准则来证明 ②.是一个非常重要的极限，我们将这个极限值定义为欧拉常数， 和是等价无穷 是发散的。() 例题3问数列的单调性和函数的单调性之间有无必然联系？请猜想并证明你的判断。 例题4 （2013年数学二压轴题）设函数 (1) 求的最小值 (2)设数列收敛并求极限 注：本题的解法值得借鉴。该题说明，即使某些数列的递推关系由不等式给出，也能使用单调有界准则。 类题1 收敛并求极限 类题2 ，证明收敛并求极限 （二）非单调的迭代数列 例题1收敛并求极限值 注：对付这种不单调的数列，我们可以采取“先斩后奏”的办法——即先把极限值找出来，然后再用递推放缩的方法，证明这个数字就是该数列的极限。以下还有几道类似的题—— 类题1 ，证明收敛并求极限值 类题2 收敛并求极限值 例题2 压缩映像原理 设当，满足——对于上任意两点和，都有 ，试证明—— (1) ，使得 (2) ，证明收敛，且 注：压缩映像原理根本就不要求数列是单调的——只要函数是一个压缩映射，那么就一定收 若题目还告知了可导，那么在具体使用压缩映像原理证明数列收敛时，更常用的是下面这个推论：推论成立，则一定收敛。 (在利用压缩映像原理解题时，最常见的错误就是忽略了 ——正是因为，才能保证数列收敛。这里的相当于是一个“压缩比例” 或“压缩因子”。所以，如果只是证明出来了，是证明不出数列收敛的；, 才能说明数列收敛，也就是说，这个是不可缺少的，在解题时一定要找到这个具体的，切记！)数学分析Cauchy收敛准则及迭代数列极限
柯西准则及其应用
Cauchy收敛原理
章第二节数列的极限2
柯西极限存在准则
柯西收敛准则的3种不同证法
柯西收敛准则
考研数学数列极限内容概括及考点总结
数学分析-数列极限
数学分析9数列极限存在的条件
3 函数极限存在的条件
考研数列极限计算汇总
第二节 数列的极限