微积分练习册[第八章]多元函数微分学
习题8-1多元函数的基本概念
1.填空题：
（1）若y
x xy y x y x f tan
),(22-+=，则___________),(=ty tx f
（2）若xy
y x y x f 2),(2
2+=
，则(2,3)________,(1,
)________y f f x
-==
（3）若)0()(2
2 y y
y x x y f +=
，则__________
)(=x f
（4）若2
2
),
(y x x
y y x f -=+，则____________
),(=y x f
（5）函数)
1ln(42
2
2y x y
x z ---=
的定义域是_______________
（6）函数y x z -=的定义域是_______________
(7)函数x
y z arcsin
=的定义域是________________
（8）函数x
y x y z 222
2
-+=
的间断点是_______________
2.求下列极限： （1）xy
xy y x 42lim
0+-
→→
(2)x
xy y x sin lim
0→→
(3)2
2
2
2
2
20
0)()cos(1lim
y
x y x y x y x ++-→→
3.证明0lim
2
2
)
0,0(),(=+→y
x xy y x
4.证明：极限
0lim
2
4
2
)
0,0(),(=+→y
x y x y x 不存在
5.函数??
???
=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(2
2y x y x y
x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么
习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用
1.填空题 （1）设y
x z tan
ln =，则
__________________,
=??=??y
z x
z ;
（2）设)(y x e z xy +=，则
__________________,
=??=??y
z x
z ;
（3）设z
y x
u =，则
________,
__________________,
=??=??=??z
u y
u x
u ;
（4）设x
y axc z tan
=，则
_________________,
_________,
2
2
2
2
2
=???=??=??y
x z y
z x
z
（5）设z
y
x
u )(=，则________
2
=???y x u
;
（6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________)
,(),(lim 0
=--+→x
b x a f b x a f x
2.求下列函数的偏导数
y
xy z )1()1(+=
z
y x u )arcsin()2(-=
3.设x
y z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数
4.设)ln(xy x z =，求
y
x z ???23
和
2
3
y
x z ???
5.)1
1(y
x e z +-=，试化简y
z y
x
z x
??+??2
2
6.试证函数??
???=≠+=)
0,0(),( ,0)0,0(),(,3),(2
2y x y x y
x xy
y x f 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续. 习题8-3全微分及其应用
1.X 公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：
QY PY Qx Px 41600;51000-=-=
公司X 、Y 现在的销售量分别是100个单位和250个单位。
（1） X 和Y 当前的价格弹性是多少？
（2） 假定Y 降价后，使QY 增加到300个单位，同时导致X 的销量Qx 下降到75
个单位，试问X 公司产品的交叉价格弹性是多少？
(利用弧交叉弹性公式：)/
1
2121
212Py Py Py Py Qx Qx Qx Qx Erx +-+-=
2.假设市场由A 、B 两个人组成，他们对商品X 的需求函数分别为： Px I K D Px I K D B B B A A A /;/)(Pr =+=
（1）商品X 的市场需求函数；
（2）计算对商品X 的市场需求价格弹性；若Y 是另外一种商品，Pr 是其价格，求商品X 对Y 的需求交叉弹性
3.求下列函数的全微分
（1）t
s t s u -+=
（2）设z y
x
z y x f 1
)(),,(=，求)1,1,1(df
（3）)1ln(2
2y x z ++=，求当2.0,1.0,2,1=?=?==y x y x 的全增量z ?和全微分
dz
4.计算3
3)97.1()02.1(+的近似值
习题8-4多元复合函数的求导法则
1.填空题
（1）设v u z ln 2=而y x v y
x u 23,-==
，则
___________
_________,
=??=??y
z x
z
（2）设)sin(y x ar z -=而t x 3=，则
_________
=dt
dz
（3）设1
)
(2
+-=
a z y e
u ax
,而x z x a y cos ,sin ==，则
________=dx
du
（4）设)arctan(xy z =,而x e y =，则________=dx
dz
（5）设),(22xy e y x f u -=，则
___________________,
=??=??y
u x
u
（6）),,(xyz xy x f u =，则________=??x
u
（1）∑
∞
=1
2
n n
n
2.设f y x yf xy f x
z ),()(1++=具有二阶连续导数，求
y
x z ???2
3.设f y
x x f z ),,(=具有二阶连续偏导数，求
2
2
x
z ??
4.设f x
y
x xf z ),,2(2
=，具有二阶连续偏导数，求
y
x z ???2
.
5.设f e
y x f z y
x ),,cos ,(sin +=，具有二阶连续偏导数，求
2
2
x
z ??
7.设f 与g 有二阶连续导数，且)()(at x g at x f z -++=，证明：
2
2
2
2
2
z z a
t
x
??=??
习题8-5隐函数的求导公式
1.填空题： （1
）设ln
arctan
y x
=，则
________=dx
dy
（2）设022=-++xyz z y x ，则
______________,
=??=??y
z x
z
（3）设
y
z z
x ln
=，则
___________________,
=??=??y z x
z
（4）设z x y z =，则
_________________,=??=??y
z x
z
2.设xyz e z
=，求
y
x z ???2
3.设3
33a xyz z =-，求
y
x z ???2
4.设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，求
y
z x
z ??+
??
5.设?????=+++=20
322
222
2z y x y
x z ，求dx dz dx dy ,
6.设),(t x f y =，而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,的函数，求dx
dy
7.设由方程0),(=++
x
z y y
z x F 确定),(y x z z =，F 具有一阶连续偏导数，证明：
xy z y
z y
x
z x
-=??+??
8.设),(),,(),,(y x z x z y y z y x x ===，都是由方程0),,(=z y x F 所确定的有连续偏
导数的函数，证明：1-=????????x
z
z y y x
习题8-6多元函数的极值及其应用
1.填空题：
（1）gy x xy y x z +-+-=422
2
z 驻点为_____________ （2）2
2
)(4),(y x y x y x f ---=的极_____值为_______________ （3）)2(),(2
2y y x e
y x f x
++=的极______值为_________________
（4）xy z =在适合附加条件1=+y x 下的极大值为____________________ （5）22),(y x x y x f u --==在{}
1,22≤+=y x y x D 上的最大值为
______________，最小值为______________
2.从斜边长为L 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.
班级：姓名：学号：
3.旋转抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圓，求原点到该椭圆的最长与最短距离
微积分练习册[第八章]多元函数微分学
4.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x （万尾），乙种鱼放养y （万尾），收获时两种鱼的收获量分别为)0(,)24(,)3(>>----βααββαy y x x y x ，求使产鱼总量最大的放养数
班级：姓名：学号：
5.设生产某种产品需要投入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q 为产出量：若生产
函数为β
α212x x Q =，其中βα,为正常数，且1=+βα，假设两种要素的价格分别为1p 和
2p ，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？
微积分练习册[第九章]二重积分
习题9-1二重积分的概念与性质
1.填空题
（1）当函数),(y x f 在闭区域D 上_________时，则其在D 上的二重积分必定存在 （2）二重积分??D
d y x f δ),(的几何意义是_____________________________________
（3）若),(y x f 在有界闭区域D 上可积，且21D D D ??，当0),(≥y x f 时，则
??
??
2
1
),(___
__________),(D D d y x f d y x f δδ；
当0),(≤y x f 时，则??
??2
1
),(___
__________
),(D D d y x f d y x f δδ
（4）
δδ______________
)sin(2
2??
+D
d y x ，其中δ是圆域2224≤+y x 的面积，
πδ16=（注：填比较大小符号） 2.比较下列积分的大小：
(1)??+
=
D
d y x I δ2
1)(与??+
=
D
d y x I δ3
2)(其中积分区域D 是由x 轴，y 轴与直线
1=+y x 所围成
(2)1ln()D
I x y d δ=
+??与2
2ln()D
I x y d δ??=
+????，其中 {}10,53),(≤≤≤≤=y x y x D
3.估计下列积分的值 （1）(1)D
I xy x y d δ=+
+??，其中{}20,10),(≤≤≤≤=y x y x D
（2）22
(49)D
I x y d δ=
++??，其中{
}
4),(2
2≤+=y x y x D
4．求二重积分
2
2
1
x y δ+≤??
5.利用二重积分定义证明
(,)(,)D
D
kf x y d k f x y d δ
δ=????（其中为k 常数）
习题9-2利用直角坐标计算二重积分
1.填空题
（1）3
2
3
(3)______________D
x x y y d δ++=??其中10,10 ≤≤≤≤y x D ：
(2)cos()___________D
x x y d δ+=??其中D ：顶点分别为),(),0,(),0,0(πππ（的三角形闭
区域
(3)将二重积分(,)D
f x y d δ??，其中D 是由x 轴及上半圆周)0(222≥=+y r y x 所围成的闭
区域，化为先y 后x 的积分，应为__________________________________
（4）将二重积分(,)D
f x y d δ??，其中D 是由直线2,==x x y 及双曲线)0(1>=
x x
y 所围
成的闭区域，化为先x 后y 的积分，应为_________________________________ （5）将二次积分dy y x f dx x
x x
?
?--2
22 2
1 ),( 改换积分次序，应为______________________
（6）将二次积分dy y x f dx x
?
?sin 2x sin
- 0
),( π改换积分次序，应用______________________
（7
）将二次积分2
2
1 2
1 2 -lny
1
(1)
(,)(,)e
y dy f x y dx f x y dx --+
?
?
??
改换积分次序，应为
______________________ （8）将二次积分
dx y x f dy dx y x f dy y
y
?
?
?
?
-+
3
1
3 0
20
1
),(),( ，改换积分次序，应为
_____________________
2.计算下列二重积分： (1)2
2
x y
D
xye
d δ+??,其中{}d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,),(
(2)2
2
()D
x y d δ+??,其中D 是由直线x y y ==,2，及x y 2=所围成的闭区域.
(3)??
-D
dxdy x y 2
,其中20,11≤≤≤≤-y x D ：
3.
计算二次积分 1 1 0
y
x dy dx ?
?
4.交换积分次序，证明：???--=a
x a m a
dx x f e
x a dx x f 0
)
(0
y
x)
-m(a )()()(e
dy
5.求由曲面2
2
2y x z +=及2
2
26y x z --=所围成的立体的体积.
习题9-3利用极坐标计算二重积分
1.填空题
（1）把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分 ①
??
≤+=+x
y x dxdy x
y y x f 22
22
2
_________________)arctan
,(;
②{}
??=>≤+≤=+D
y
x dxdy e
x y y x y x D ____________,,41),(2
222
（2）化下列二次积分为极坐标系下的二次积分
① 222
()____________,(0)a dx f x y dy a +=?
② 1
1 0
________________;dx f dy =??
③ 2 0
(arctan
)________________;x
y dx f dy x
=??
④2
1 0
(,)________________.x
dx f x y dy =??
2.计算下列二重积分
(1)2
2
ln(1)D
x y d δ++??,其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭
区域. (2)??
+D
dxdy y
x 2
2
1,其中D 是由曲线2
x y =与直线x y =所围成的闭区域.
(3)D
δ??
,其中D 是由圆周Rx y
x =+2
2所围成的闭区域
(4)(2)22
2D
x y d δ+-??,其中(2)3:2
2≤+y x D .
3.计算二重积分2
()D
y x d δ-??，其中D 由不等式0,,2
22≥≤++≤y R y x x R y 确定（注
意选用适当的坐标）
4.计算以xoy 面上的圆周2
2
(0)x y ax a +=>围成的区域为底，而以曲面2
2y x z +=为顶的曲顶柱体的体积
微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程
习题10-1微分方程的基本概念
1.填空题
（1）方程0ln 3)(42=+'-''x y y y x 称为__________阶微分方程
（2）设),,,(21n c c c x y y =是方程y y x y 2+''-'''的通解，则任意常数的个数n=____________
（3）设曲线)(x y y =上任一点),(y x 的切线垂直于此点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程____________
（4）设曲线)(x y y =上任一点),(y x 的切线在坐标轴间的线段长度等于常数a ，则曲线所满足的微分方程________________
（5）某人以本金0p 元进行一项投资，投资的年利率为γ，若以连续复利计，t 年后资金的总额为___________)(=t p
（6）方程 0
x y x ydx =+
?
可化为形如_______________微分方程
2.已知kt ce Q =满足微分方程
0.03dQ Q dt
=-，问C 和K 的取值应如何？
3.、若可导函数)(x f 满足方程 0
()2()1(1)x
f x tf t dt =+? ，将（1）式两边求导，
得)2()(2)( x xf x f ='
易知c ce x f x ()(2
=为任意常数）是（2）的通解，从而2
()x f x ce =为（1）的解，对吗？
4.证明：x x c x c y ln 21+=是微分方程02
=+'-''y y x y x 的通解.
习题10-2一阶微分方程(一)
1.求下列微分方程的通解： （1）2
211x
y y --=
'
(2)2
30y x
e
y y
+'+
=
(3)0sec
)2(tan 32
=-+ydy e ydx e x x
2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）4
,sin cos cos sin 0
π
===x y
xdx y xdy y
（2）
1,0110
==+-
+=x y
dy x
y dx y
x
3镭的衰变速度与它的现存量R 成正比，有资料表明，镭经过1600年后，只余原始量0
R 的一半，试求镭的量R 与时间t 的函数关系
微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程
习题10-2一阶微分方程（二）
1.填空题 （1）设y *是
)()(x Q y x p dx
dy =+的一个解，Y 是对应的齐次方程的通解，则该方程的通解
为___________ （2）x
e
x
x y 1-=
*
是方程x xe y y x =+'的一个特解，则其通解为
+-=
*
x
e x
x y
1___________
（3）微分方程0ln 2
=-+'x y y y x 作变换____________可化为一阶线性微分方程 （4）0)()(=-+'+y x y y x 的通解为______________
（5）(12)2(1)0x
x
y y
x e dx e dy y
++-
=的通解为______________
2.求下列微分方程的通解： (1)232
++=+'x x y y x (2)0)2(2
2
=+'--y y y xy x
3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： cos 2
cot 5,4x x dy y x e
y
dx
π
=
+==-
4.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解：
（1）
2
)(y x dx
dy +=
(2))ln (ln y x y y y x +=+'
5.已知一曲线过原点，且它在点),(y x 处切线的斜率等于y x +2，求该曲线的方程
6.设)(x f 可微且满足关系式[] 0
2()1()1x f t dt f x -=
-?,求)(x f
习题10-3一阶微分方程在经济学中的应用
1.已知某商品的需求价格弹性为)1(ln +-=P P EP
EQ ，且当P=1时，需求量Q=1
(1)求商品对价格的需求函数
（2）当+∞→P 时，需求量是否趋于稳定？
2.已知某商品的需求量Q 对价格P 的弹性23P η=，而市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数
3.已知某商品的需求量Q 与供给量S 都是价格P 的函数：bp S P
a Q ==,2
其中0,0a b >>为常数，价格P 是时间t 的函数，且满足
[]()() (dp
k Q p S p k dt
=-为正常数）
假设当0=t 时，价格为1，试求：
(1) 需求量等于供给量的均衡价格e P (2) 价格函数()p t (3) )(lim t p t +∞
→
4.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为
N 10
1，在任意时刻t 已掌握新技术人数为)(t x ，其
变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k
求)(t x
5.某银行帐户，以连续复利方式计息，年利率为5%，希望连续20年以每年12000元人
民币的速度用这一帐户支付职工工资。若t 以年为单位，写出余额)(t f B =所满足的微分方程，且问当初始存入的数额B 为多少时，才能使20年后帐户中的余额精确地减至0.
习题10-4可降阶的二阶微分方程
1.填空题
（1）微分方程2
11x
y +=
''的通解为_____________.
（2）微分方程2)(1y y '+=''的通解为____________._ （3）微分方程x y y +'=''的通解为_____________. （4）微分方程y y y y '='+''2)(的通解为_____________. （5）微分方程0)(122
='-+
''y y
y 的通解为_____________.
（6）设21x y =与x x y ln 22=是方程0432=+'-''y y x y x 的特解，则其方程的通解为____________.
2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解 .0,
1,011
1
2
2
3
===+==x x dx
dy y
dx
y d y
3.求下列微分方程满足初始条件的特解：
1,0 ,0)1(0
2
-='
=='-''==x x y y
y a y
(2)0 ,)1(1
1
='
==''==x x ax y y
e y
4.试求x y =''的经过点M(0,1)且在此点与直线12
+=
x y 相切的积分曲线
5.验证2
1x e y =及2
2x xe y =都是方程0)24(42
=-+'-''y x y x y 的解，并写出该方程的通解.
6.设函数)(),(),(321x y x y x y 均是非齐次线性方程
)()()
(22
x f y x b dx
dy x a dx
y d =++的
特解，其中)(),(),(x f x b x a 为已知函数，而且
≠--)
()()()(1312x y x y x y x y 常数，求证
213221121,( )()()()1()(c c x y c x y c x y c c x y ++--=为任意常数）是该方程的通解.
7.证明函数215221,( 12
1c c e
e c e c y x
x x ++=是任意常数）是方程x
e
y y y 523=+'-''的通
解.
习题10-5二阶常系数线性微分方程（一）
1.填空题
（1）微分方程04='-''y y 的通解为_____________________. （2）微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________________. （3）微分方程052=+'+''y y y 的通解为_____________________.
（4）微分方程a ay y y ( 02=+'+''为常数）的通解为__________________________ _____________________________________________. （5）设i ±2为方程0y p y q y '''++=的特征方程的两根，则其通解为
__________________________________.
（6）设二阶常系数齐次线性微分方程的二个特征根为4, 221==r r ，则该二阶常系数齐次线性微分方程为___________________________. 2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1)10 ,6 ,0340
='
==+'-''==x x y y y y y
(2)0 ,2 ,0440
0='
==+'+''==x x y y
y y y (3)3 ,0 ,01340
='
==+'-''==x x y y
y y y
3.求以x
x
xe y e y ==21,为特解的二阶常系数齐次线性微分方程
4.方程094=+''y y 的一条积分曲线经过点)1,(-π且在该点和直线π-=+x y 1相切，求这条曲线方程
5.求0)(2
2
='-''y y x 的过（1，0）点，且在此点与1-=x y 相切的积分曲线.
习题10-5常系数线性微分方程（二）
1.填空题：
（1）微分方程x
xe y y y =+'+''2的特解可设为型如._________
=*y （2）微分方程x y y y sin 67=+'-''的特解可设为型如._________
=*y
（3）微方程x e y y y x 2sin 52=+'-''的特解可设为型如._________=*y
(4)微分方程x x y y cos +='+''的特解可设为型如._________=*y (5)微分方程x x y y 2
sin
='-''的特解可设为型如._________
=*y
2.求下列微分方程的通解： （1）x xe y y y -=+'+''323 （2）cos x y y e x ''+=+
3.求微分方程满足所给初始条件的特解：
4, 0, 1.x
x x y y xe y
y =='''
-===
4.设函数)(x y y =满足微分方程x e y y y -=-'-''32，它的图形在0=x 处与直线
x y =相切，求该函数
5.设函数)(x ?连续，且满足?
?-+
=x
x
x
dt t x dt t t e x 0
)()()(???，求)(x ?.
6.设函数)0( )(≥x x y 二阶可导，且()0,(0)1y x y '>=,过曲线)(x y y =上任意一点
),(y x p 作该曲线的切线及x 轴的垂线，上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1s ，
区间],0[x 上以)(x y y =为曲边的曲边梯形的面积记为2s ，恒有1221=-s s ，求曲线
)(x y y =的方程.
习题10-6差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构
1.填空题
（1）设x
x e y =，则______________=?x y
(2)设2
x y x =，则______________=?x y
(3)设x y x 2cos =，则______________=?x y (4)差分的运算法则：______________)(=?x cy
()______________x x y z ?+=
2.已知x x e y =是方程x
x x e ay y 21=++的一个解，求a .
3.求下列函数的二阶差分
(2)232x x y -=
(3)log (0,1)a y x a a =>≠
4.给定一阶差分方程x x x Aa py y =++1，验证： （1）当0≠+a p 时，x
x a a
p A y +=
是方程的解.
（2）当0=+a p 时，1
-=x x Axa
y 是方程的解
习题10—7一阶常系数线性差分方程（一）
1.填空题
（1）一阶常系数齐次线性差分方程)0( 01≠=-+a ay y x x 的通解为_________________
2.求下列一阶常系数齐次线差分方程的通解： (1)0321=-+x x y y (2)01=+-x x y y （3）01=-+x x y y
习题10-7一阶常系数线性差分方程（二）
1.填空题
（1）若)()(x p x f n =，则一阶常系数非齐次线性差分方程)(1x f ay y x x =-+
具有形如________________=*
x y 的特解.
当1不是特征方程的根时，__;__________=k 当1是特征方程的根时，.____________=k 2.求下列一阶差分方程在给定初始条件下的特解 (1)0521=++x x y y 且30=y (2)
=
?x y ，且20=y
3.求下列一阶差分方程的通解 （1）34=-?x x y y
(2)12421++=++x x y y x x （3）t
t t y y 22
11=-
+
(4)t t t t y y 21?=++
4.求下列一阶差分方程在给定的初始条件下的特解 （1）22421-+=++x x y y x x 且10=y (2)x x x y y 21=++,且20=y
习题10-9差分方程的经济应用
1.（存款模型）
设t S 为t 年末存款总额，r 为年利率，有关系式t t t rS S S +=+1，且初始存款为0S ，求t 年末的本利和.
2.设某产品在时期t 的价格，总供给与总需求分别为t t S P ,与t D ，对于 ,2,1,0=t 有关系式:???
??=+-=+=-t t
t t t t D
S P D P S 44121 （1）求证：由关系式可推出差分方程221=++t t P P ; （2）0P 已知时，求该方程的解.
3.设t y 为t 期国民收入，t c 为t 期消费，I 为投资（各期相同），三者有关系式
βα+=+=-1,t t t t y c I c y ，其中01,0αβ<<>
已知0=t 时，0y y t =,试求t y 和t c
4.设某商品在t 时期的供给量t s 与需求量t d 都是这一时期该商品价格t p 的线性函数， 已知t t t t p d p s 54 ,23-=-=
且在t 时期的价格t p 由1-t p 及供给量与需求量之差11---t t d s 按关系式
)(16
1111-----
=t t t t d s p p 确定
试求商品的价格随时间变化的规律.
习题11-1常数项级数的概念和性质
1.填空题
（1）∑∞
=1
n n u 收敛，则.__________
)3(lim 2
=+-∞
→n n n u u
（2）∑∞
=1
n n a 收敛，且n n a a a S +++= 21，则11lim (2)_____.n n n n S S S +-→∞
+-=
（3）2
2
3
3
111111(
)(
)()2
3
2
3
2
3
+
++
++
+ 的和是___________
（4）若1
n n u ∞
=∑的和是3，则3
n n u ∞=∑的和是____________
（5）1
n
n t ∞
=∑的和是2，则1
2
n
n t
∞
=∑
的和是________________
（6）当1x <时，1
n n x ∞
=∑的和是__________________
2.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性
（1）11
(21)(21)
n n n ∞
=-+∑
（2
）1
n ∞
=+
∑
3.判断下列级数的敛散性
(1)11(1)n n ∞
-=-∑
(2)11
4
(1)()5
n n n ∞
-=-∑
(3)1
3()2
n n ∞
=∑
(4)1
n ∞
=∑
(5)1
236
n n
n
n ∞
=+∑
(6)
111125
25
5
n
n ++
+++
++
习题11-2正项级数及其审敛法
1.用比较审敛法或比较审敛法的极限形式判别下列级数的敛散性：
（1
）n ∞
=∑
(2)2
2
112cos
1n n n
n
∞
=++∑
(3)1
sin
2
n
n π
∞
=∑
2.用比值审敛法或根值审敛法判别下列级数的敛散性：
(2)12!n
n
n n n
∞
=?∑
(3)21
1
(
)
31
n n n n ∞
-=-∑
习题11-3任意项级数的绝对收敛与条件收敛
1.判别下列级数的敛散性：
（1）2132
n
n
n n ∞
=+∑
(2)13(1)
2
n
n
n ∞
=+-∑
(3)1
(
),(0)1
n
n na a n ∞
=>+∑
2.判别下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？
（1）1
(1)(1cos ),(0)n n a
a n
∞
=-->∑
(2)2
1(1)ln n
n n
∞
=-∑
3.已知级数21
n
n a ∞
=∑和21
n
n b ∞
=∑都收敛，试证明级数1
n n n a b ∞
=∑绝对收敛.
习题11-4泰勒级数与幂级数（一）
1.填空题
（1）若幂级数1
3(
)2
n
n n x a ∞
=-∑在0x =处收敛，则在5x =处____________（收敛、发散）.
（2）若1
lim
2n n n c c →+∞
+=，则幂级数20
n n n c x ∞
=∑的收敛半径为______________.
（3）1(3)n
n
n x
n
∞
=-∑
的收敛域_____________.
（4）03(1)
3
n
n
n
n x ∞
=+-∑
的收敛域_____________.
（5）21
1(1)
2
n n
n
n x
n +∞
=-?∑的收敛域_____________.
（6）2
1(2)1n
n n x n
∞
=+-+∑
的收敛域_____________.
2.求下列幂级数的收敛域：
(1)2
12
1
n
n
n x n ∞
=+∑
(2)31212n
n
n n x
∞
=-∑
(3)1
1(3)3
n
n n x n ∞
=-?∑
3.若幂级数1
n
n n a x ∞
=∑的收敛域是[-9，9]，写出21
n n n a x ∞
=∑的收敛域
4.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数
(1)11
,(11)n n nx x ∞
-=-<<∑
2)21
1
,(11)21
n n x
x n -∞
=-<<-∑
，并求级数1
1(21)2
n
n n ∞
=-∑
的和.
微积分中10大经典问题 最初的想法来自大一，当时想效仿100个初等数学问题，整理出100个经典的 高等数学问题（这里高等数学按广义理解）。可惜的是3年多过去了，整理出 的问题不足半百。再用经典这把尺子一量，又扣去了一半。 这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平， 尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉 典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案 是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引 入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以 是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。 如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。
关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→
微积分练习册[第八章]多元函数微分学 习题8-1多元函数的基本概念 1.填空题： （1）若y x xy y x y x f tan ),(2 2 -+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x -== （3）若)0()(2 2 y y y x x y f += ，则__________)(=x f （4）若2 2),(y x x y y x f -=+，则____________),(=y x f （5）函数) 1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________ （6）函数y x z -= 的定义域是_______________ (7)函数x y z arcsin =的定义域是________________ （8）函数x y x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2.求下列极限： （1）xy xy y x 4 2lim 0 0+-→→ (2)x xy y x sin lim 0→→ (3)2222220 0)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim 2 2 ) 0,0(),(=+→y x xy y x 4.证明：极限0lim 2 42)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在 5.函数?? ? ?? =≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么 习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用 1.填空题 （1）设y x z tan ln =，则 __________________,=??=??y z x z ;
微积分练习册[第八章]多元函数微分学 习题8-1多元函数的基本概念 1.填空题： （1）若y x xy y x y x f tan ),(2 2 -+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(2 2+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x -== （3）若)0()(2 2 y y y x x y f += ，则__________ )(=x f （4）若2 2 ),(y x x y y x f -=+，则____________ ),(=y x f （5）函数) 1ln(42 2 2y x y x z ---= 的定义域是_______________ （6）函数y x z -=的定义域是_______________ (7)函数x y z arcsin =的定义域是________________ （8）函数x y x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2.求下列极限： （1）xy xy y x 4 2lim 0+-→→ (2)x xy y x sin lim 0→→ (3)2222220 0)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim 2 2 ) 0,0(),(=+→y x xy y x 4.证明：极限0lim 2 42)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在
5.函数?? ? ?? =≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(2 2y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么 习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用 1.填空题 （1）设y x z tan ln =，则__________________,=??=??y z x z ; （2）设)(y x e z xy +=，则 __________________,=??=??y z x z ; （3）设z y x u =，则________,__________________,=??=??=??z u y u x u ; （4）设x y axc z tan =，则________ _________,_________,22222=???=??=??y x z y z x z （5）设z y x u )(=，则________ 2=???y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________) ,(),(lim =--+→x b x a f b x a f x 2.求下列函数的偏导数 y xy z )1()1(+= z y x u )arcsin()2(-= 3.设x y z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数 4.设)ln(xy x z =，求y x z ???23和2 3y x z ??? 5.)11(y x e z +-=，试化简y z y x z x ??+??22
湖北汽车工业学院 微积分(一)(下)考试卷 （ 2011-2012-2） 一、（本题满分21分，每小题3分）填空题： 1．='?]sin [2 x tdt 2sin 2x x ． 2．过点)3,2,1(-且与平面0144=-++z y x 平行的平面方程为 044=+++z y x . 3．设y x z =，则 =dz xdy x dx yx y y ln 1+- . 4．??+-=D dxdy y x I )432(，其中D }4),{(22≤+=y x y x ，则=I π16 . 5．微分方程)1)(1(22y x y --='的通解为C x y +-=2)1(arcsin . 6．平面曲线2x y =与x y =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积为 15/2π . 7．设数项级数∑∞=1 n n u 收敛且和为s ，则级数∑∞ =++1 1)(n n n u u 的和为12u s - ． 二、（本题满分21分，每小题3分）选择填空题（请将所选答案填入题号前的方括号内）： 【B 】1. 设)(x f 在),(+∞-∞内连续,)(x F 是)(x f 在),(+∞-∞内的一个原函数，0≠c ，则 dx c x f b a ? +)(等于 )(A )()(c a F c b F ---. )(B )(C )()(c b F c a F ---. )(D )()(c b F c a F +-+. 【C 】2．设)2,1,3(--=a ，)1,2,1(-=，则? 等于 )(A 3. )(B 7. )(C )7,1,5(. )(D )7,1,5(-.
【A 】3．下列级数中条件收敛的是 )(A ∑∞ =+-111 ) 1(n n n . )(B ∑∞ =+-1211)1(n n n . )(C ∑∞=--1 1 )107() 1(n n n . )(D ∑∞ =-1 51 )1(n n n . 【A 】4. 下列微分方程中是齐次方程的是 )(A dx y x ydx xdy 22-+=. )(B x y y x y sin 2= +'. )(C y y x y ln sin ='. )(D x x y y sec tan =-'． 【D 】5. 设)(x f 在]1,0[上连续且满足1)()(10 -=?dt t f x x f ，则?1 )(dx x f 等于 )(A 1 . )(B 2. )(C 1-. )(D 2-． 【C 】6. 设x y y x D ≤≤≤+≤0,41:22，则二重积分=??σd x y D arctan )(A 2163π . )(B 2323π. )(C 264 3 π. )(D 2 128 3π． 【C 】7. 函数x x f /1)(=的在1=x 点处的幂级数展开式为 )(A ∑∞ =--0)1()1()(n n n x x f ＝, 11<<-x ． )(B ∑∞ =-0 )1()(n n x x f ＝, 20< 大一微积分练习题及答案 《微积分（1）》练习题 一． 单项选择题 1．设()0 x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()() () 0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B ．()() () 0000 lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C ． ()() () 0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()() 0000 2 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（ ） A ． 201 sin lim x x x → B ．1 2lim 2+-+∞ →x x x x C ． x x e 1 lim → D ．()x x x x +-∞ →63 2 213lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数 ?? ???>+=<≤=1,11 ,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为 （ ）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振 荡间断点 5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0 ⒒ 1.曲线1)(+=x x f 在)2,1( ⒓ 2.若 ?+=c x x x f 2sin d )(，则 (x f ⒔ 3.微分方程0)(3= '+''y y x ⒕ 4.函数) 2ln(1 )(+= x x f 的定义域是 ⒖ 5.函数3 3 22 ---=x x x y 的间断点是 ⒗ ⒈函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= ⒘ ⒉若函数?? ??? =≠+=0,0 ,13 sin )(x k x x x x f ,在0=x 处连续，则=k ⒙ ⒊曲线x y = 在点)1,1( ⒚ ⒋'? x x s d )in ( ⒛ ⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+'' 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设 1)1(2 -=+x x f ，则=)(x f （ C ） A ．)1(+x x B ．2 x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x ⒉若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的． A ．函数f (x)在点x0处有定义 B ． A x f x x =→)(lim 0 ，但 )(0x f A ≠ C ．函数f (x)在点x0处连续 D ．函数f (x)在点x0处可微 ⒊函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 ⒋ =''?x x f x d )(（ A ） A. c x f x f x +-')()( B. c x f x +')( C. c x f x +')(212 D. c x f x +'+)()1( ⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ） 微积分习题讲解与答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 习题 1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x (3)0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4) θθ 2sin d d =+p p 解 (1) 1阶 非线性 (2) 1阶 线性 (3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性 2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) x x y x y y x sin ,cos ==+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) x Ce y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x x e C e C y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数) (5) C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x x x x x x x cos sin sin cos 2=+-=右 (2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1)1(222=-++---=右 (3) 是，左=02=+-x x x Ce Ce Ce =右 (4) 是，左= =右 (5) 是，左==-=---y x y x y x y x 222)2(右 (6) 是，左=x xy y x xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(2 2332 =0) ())(2()()(222222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右 3.求下列微分方程的解 (1) 2d d =x y ; (2) x x y cos d d 22=; (3) 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) y x x y y )1()1(22++=' 解 (1) C x y x y +==??2,d 2d (2) 1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''?? (3) ??=+-x y y y d d 11 ??=+++-x y y y d d 12)1( 解得 ???=++-x y y y d d 12d 即 C x y y +=++-|1|ln 2 (4) ??+=+dx x x dy y y ) 1(122 解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+ 整理得 222 11C x y =++ 第八章典型习题 一、 填空题、选择题 1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是 2、平行于向量}1,2,1{a -= 的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为 且与平面过点=--+-z y x 4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线?? ?==++Γ2 10222 5、()==-=+=+=-δ λ δλ则平行与设直线,z y x :l z y x : l 1111212121 ()23A ()12B ()32C ()21 D 6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b -+=,则与b a 3 -平行的单位向量为 ( ) （A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-± （D ）}11,7,3{179 1-± 7、曲线???==++2 z 9 z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为（ ） （A ）???==+2z 5y x 22 （B ）???==++0z 9z y x 222（C ）???==+0 z 5y x 22 （D ）5y x 22=+ 8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的方程分别为251214: 1+=+=+z y x L ，6 7 313:2+=+=z y x L ，4 1 312:3-= +=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L 10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面 11、方程05 z 3y 3x 2 22=-+所表示的曲面是（ ） （A ）椭圆抛物面 （B ）椭球面 （C ）旋转曲面 （D ）单叶双曲面 《微积分初步》期末复习典型例题 一、函数、极限与连续 （一）考核要求 1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法. 2.了解极限概念，会求简单极限. 3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点. （二）典型例题 1．填空题 （1）函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是． 答案：2>x 且3≠x . （2）函数24) 2ln(1 )(x x x f -++=的定义域是． 答案：]2,1()1,2(-?-- （3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f （4）若函数?? ??? ≥<+=0,0 ,13sin )(x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k ． 答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ． 答案：1)(2 -=x x f （6）函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是． 答案：1-=x （7）=∞→x x x 1 sin lim ． 答案：1 （8）若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ． 答案：2=k 2．单项选择题 （1）设函数2 e e x x y +=-，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 答案：B （2）下列函数中为奇函数是（ ）． A ．x x sin B ．2 e e x x +- C ．)1ln(2x x ++D ．2 x x + 答案：C 微积分典型例题和重点知识点 1. 重点掌握定义域-习题1-2中的2,4(17页) 2. 习题1-3中的1-2-3-6-8(23页) 3. 左右极限法-例6,课后习题1. 4.6 4. 无穷小与无穷大---定义1/定理3习题4 5. 极限运算法则--定理1,例5/习题中1的2-5-610-14-15/2 的3/3 6. 单调有界准则中的准则2/两个重要极限/习题1的3,4/2的4,7/4 7. 无穷小的比较---习题1/2/3/5的2-3-5 8. 函数的连续与间断---定义1/定义2/习题2 的2/4的3/6 9. 连续函数的运算与性质-习题1/2/4/6 10. 总习题1的1-8-26-29-33-34-35 11. 导数的概念-例2/例3 12. 函数的求导法则-定理1/复合函数的求导法则/例9-注意化简/例10/基本求导公式/习题1的2-4-5-9-10/2 的1/4 的3-5-6-8/5的1-2-5-8/6的2 13. 高阶导数==与隐函数求导结合出题---习题1的4-5/4/6的3 14. 隐函数的求导数---例2/例3/习题中1 的2-5,2的2-3,3的3 15. 函数的微分-例3 /例4 16. 总复习题1-2-10-13-14-21-23-25 17. 中值定理---习题1-3-5(重点证明题)-10的1-11========[证明一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数找辅助函函数]=========[注意洛必达法则失败的情况]==习题1 的3-5-6-910-11-12-14-17 18. 函数凹凸性:定理2/例6/例8/习题4 的2-3,6的2 19. 习题3-5中的8 20. 导数在经济学中的应用---例3(应用题)/例4/例5 /例6/习题的5-9-10 21. 总复习题1 的2/13 的1-5/24的1 22. 不定积分----例4(可能与不定积分结合)/性质1性质2(可能出选择题)/基本积分表/例8/例9/习题1 的7-10-12/3/4====有一个会有第一类间断点的函数都没有原函数 23. 换元积分法---例2 /例3/例6/常用凑微分公式/习题2 的7-8-10-11-12/3的1/4 24. 分部积分法----按”反-对-幂-三-指”的顺序,在前的设为U,在后的设为V/例3/例4/例10/习题1的2-5-14/3 25. 注意---------------------微积分重点小节是:1.7-----1.8----2.2-----2.4-----3.2-----3.7------4.2------4.3----- 计算题4题分别是分步积分凑积分法极限隐函数的求导 应用题的是弹性函数和利用函数求最值 以上是其他老师划的一些重点知识和例题,习题,请各位同学根据老师讲的内容并结合自身复习情况,做适当的调整 第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可 即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 知 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。 例4：设 解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 例5： f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数 是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D．周期函数 解：由于 ，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由 ，可得 ，从而有 。可见，对于任意的x， 有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定 解：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y = -x，得0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)所以有f(-x) = - f(x)，即f(x)为奇函数，故应选 A 。 例 8：函数 的反函数是（）。 习题 1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2 =+'-'xy y y y x (2) 02 =+'-y y x y x (3)0)(sin 42 =+''+'''y x y y x (4)θθ 2sin d d =+p p 解 (1) 1阶 非线性 (2) 1阶 线性 (3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性 2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) x x y x y y x sin ,cos = =+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) x Ce y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x x e C e C y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数) (5) C y xy x y x y y x =+--='-2 2 ,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2 xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x x x x x x x cos sin sin cos 2 =+-=右 (2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1) 1(22 2 =-++---=右 (3) 是，左=02=+-x x x Ce Ce Ce =右 (4) 是，左= 0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ =右 第九章检测试题B 一、选择题（每小题2 分，共20分） 1、L 为逆时针方向的圆周:22(2)(3)4x y -++=,则L ydx xdy -=??( )。 A ． 8π B ． 8π- C ． 4π D ． 4π- 2、设L 是曲线3x y =与直线x y =所围成区域的整个边界曲线，),(y x f 是连续函数，则曲线积分ds y x f L ?),(＝( ) （Ａ）??+1 10 3),(),(dx x x f dx x x f （Ｂ）??+1 1 3 2),(),(dx x x f dx x x f （Ｃ）11 30 (,(,f x x f x x +?? （Ｄ）[]dx x x f x x x f 2),(91),(41 1 3++? - 3、已知L ：)(),(),(βαφ?≤≤==t t y t x 是一连接)(),(βαB A 两点的有向光滑曲线段，其中始点为)(βB ，终点为)(αA 则?=L dx y x f ),(( ) （A ）dt t t f ))(),((φ?βα ? （B ） dt t t f ))(),((φ?α β ? (C) dt t t t f )())(),((/ ?φ?α β ? (D) dt t t t f )())(),((/?φ?β α ? 4、 对于对于格林公式dxdy y P x Q Qdy Pdx L D )( ??-??=+???，下列说法正确的( ) ，D 为L 围成的单连通区域。 (A)L 取逆时针方向，函数P,Q 在闭域D 上存在一阶徧导数且 x Q y p ??=?? (B)L 顺时针方向，函数P,Q 在闭域D 上存在一阶徧导数且 x Q y p ??=?? (C)L 取逆时针方向，函数P,Q 在闭域D 上存在一阶连续的偏导数 (D) L 取顺时针方向，函数P,Q 在闭域D 上存在一阶连续的偏导数 5、设曲线L:()23 ,,,0123 t t x t y z t ===≤≤,其线密度ρ 第一章 函数极限与连续 一、填空题 1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。 2、=-+→∞) 1()34(lim 22 x x x x 。 3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的 阶无穷小。 4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。 5、=-∞ →x e x x arctan lim 。 6、???≤+>+=0,0 ,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。 7、=+→x x x 6)13ln(lim 0 。 8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→x x a x a x 。 11、已知当0→x 时,1)1(3 12-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。 12、函数x x x f +=13arcsin )(的定义域就是__________。 13 、lim ____________x →+∞ =。 14、设8)2( lim =-+∞→x x a x a x ,则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞ →=____________。 二、选择题 1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。 (Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。 2、x x x +-= 11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。 (Ａ)α就是比β高阶的无穷小; (Ｂ)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。 3、函数?? ???=-≥≠-+-+=0)1(0,1 111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续,则=k 。 (Ａ)23; (Ｂ)3 2 ; (C)1; (D)0。 4、数列极限=--∞ →]ln )1[ln(lim n n n n 。 (Ａ)1; (Ｂ)1-; (C)∞; (D)不存在但非∞。 《高等数学》中部分典型习题、较难习题解答（或提示） （二） 1 167页第24题 提示：根据罗尔定理容易知道()0f x '=至少有4个实根。同时注意到()f x 是5次多项式，则()0f x '=是4次方程，它最多有4个实根。 167页第26题 证明：由于(())()0f x ax f x a ''-=-=，根据拉格朗日定理的推论1，()f x ax -为一常数，不妨设此常数为b,则有 (). f x a x b =+ 167页第27题（2）（3）（4） （2）证明：设()ln(1).f t t =+显然0,x ?> ()f t 在[0，x]上连续，在（0，x ）内可导，根据拉格朗日中值定理，()f t 在（0，x ）内至少存在一点0,x 使得 1ln(1)ln1(0)1x x x +-=-+ 即0 ln(1)1x x x +=+ 注意到00,x x <<所以， 11x x x x x <<++，即得到 ln(1).1x x x x <+<+ （3）证明：设(),().t f t e g t t ==显然0,x ?>()f t ，()g t 在[0，x]上连续，在（0，x ）内可导，且()0g t '≠.根据柯西中值定理， ()f t ,()g t 在（0，x ）内至少存在一点0,x 使得 00110x x x e e e e x x --==>-,所以, 1,x e x -> 即1.x e x >+ （当x<0时可以类似得证．） （4）提示：和上例类似，设(),t f t e = (),g t et =在区间[1，x]上用柯西定理。 168页第29题（6）（7）（10） 解：（6） 2222222tan33sec 33cos lim lim lim tan sec cos 3x x x x x x x x x πππ→→→== 26cos sin lim 6cos3sin3sin 22cos 2lim lim sin 66cos61.3x x x x x x x x x x x π ππ→→→-=-=== 微积分基本定理典型例题解析 一、填空题 ⒈设G x t t a x ()sin = ? d 2，则'=G x () ． 解：222sin 2)()sin()(x x x x x G ='?='． ⒉ 1624 4-=? x x d － ． 解：由定积分的几何意义，此积分计算的是圆2224=+y x 的上半部，故结果为π8． 3． (x x x a a 5 -+=?212 )d － ． 解：由定积分的性质和奇偶函数在对称区间的性质得 x x x x x x x x a a a a a a a a d 21d 2d d )212(---5 -5 ????+-=+- a x x a a ==+-=??0 0d d 21200 二、单项选择题 ⒈ d d d x t t x b (ln )2 ?=（ ）． A.2ln x ； B.ln 2t ； C.ln 2x D.-ln 2 x 解： x t t x t t x x b b x 222ln )d ln (d d )d ln (d d -=-=??，故选项D 正确． ⒉由曲线y f x y g x ==(),()及直线x a x b a b ==<,()所围成的平面图形面积的 计算公式是（ ）． A. (()())f x g x x a b -?d ； B.(()())g x f x x a b -? d ； C. g x f x x a b ()()-? d ； D. (()())f x g x x a b -? d 解：A, B 选项的积分可能出现负值，而D 选项虽非负，但面积可能被抵消，故选项C 正确． 3．下列广义积分中，（ ）收敛． A. 1 d x x 21+∞ ?； B.1d x x 201?； C.1d x x 1+∞?； D.1d x x 01? 解：对于?∞+1d 1x x p ，当p >1时积分收敛；对于?10d 1 x x p ，当p <1时积分收敛。故选项A 正确． 三、计算题 ⒈计算下列积分： ⑴ d x x 4201 -? ⑵ln x x d e １? ⑶d x x x 221()+∞?１＋ 解：⑴将被积函数作变换大一微积分练习题及答案
微积分习题讲解与答案
高等数学(下)典型习题及参考答案
《微积分初步》期末复习典型例题
微积分典型例题和重点知识点
高等数学典型例题
微积分习题讲解与答案
【浙大】高等数学经典测试题2
《微积分》各章习题及详细答案
《高等数学》中部分典型习题较难习题解答(
微积分基本定理典型例题解析
相关主题
文本预览