题型一 整体法与隔离法的应用
例题1 如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg 。现用水平拉力F 拉其中一个质量为2 m 的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m 的最大拉力为
A 、5m g 3μ
B 、4m g 3μ
C 、2m g
3μ D 、mg 3μ
变式1 如图所示的三个物体A 、B 、C ，其质量分别为m 1、m 2、m 3，带有滑轮的物体B 放在光滑平面上，滑轮和所有接触面间的摩擦及绳子的质量均不计．为使三物体间无相对运动，则水平推力的大小应为F ＝__________ 2.如图，质量为2m 的物块A 与水平地面的摩擦可忽略不计，质量为m 的物块B 与地面的动摩擦因数为μ，在已知水平推力F 的作用下，A 、B 做加速运动，A 对B 的作用力为多少？
3.如图所示，质量为M 的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上套着一个质量为m 的小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为a =2
1
g ,则小球在下滑的过程中，木箱对地面的压力为多少？
4.两个质量相同的小球用不可伸长的细线连结，置于场强为E 的匀强电场中，小球1和小球 2均带正电，电量分别为q 1和q 2（q 1＞q 2）。将细线拉直并使之与电场方向平行，如图所示。 若将两小球同时从静止状态释放，则释放后细线中的张力T 为（不计重力及两小球间的库 仑力）（ ）
A ．121
()2T q q E =
- B ．12()T q q E =- C ．121
()2
T q q E =+ D ．12()T q q E =+
5.如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 、2m 和3m 的三个木块，其中质量为2m 和3m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为F T 。现用水平拉力F 拉质量为3m 的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是（ ） A ．质量为2m 的木块受到四个力的作用 B ．当F 逐渐增大到F T 时，轻绳刚好被拉断
C ．当F 逐渐增大到1.5F T 时，轻绳还不会被拉断
D ．轻绳刚要被拉断时，质量为m 和2m
T
1
2-图 E
球1
球2
题型二 通过摩擦力的连接体问题
例题2 如图所示，在高出水平地面h = 1.8m 的光滑平台上放置一质量M = 2kg 、由两种不同材料连成一体的薄板A ，其右段长度l 2 = 0.2m 且表面光滑，左段表面粗糙。在A 最右端放有可视为质点的物块B ，其质量m = 1kg ，B 与A 左段间动摩擦因数μ = 0.4。开始时二者均静止，现对A 施加F = 20N 水平向右的恒力，待B 脱离A （A 尚未露出平台）后，将A 取走。B 离开平台后的落地点与平台右边缘的水平
距离x = 1.2m 。（取g = 10m/s 2
）求： （1）B 离开平台时的速度v B 。
（2）B 从开始运动到脱离A 时，B 运动的时间t B 和位移x B 。
（3）A 左段的长度l 1。
变式2 如图所示，平板A 长L =5m ，质量M =5kg ，放在水平桌面上，板右端与桌边相齐。在A 上距右端s =3m 处放一物体B （大小可忽略，即可看成质点），其质量m =2kg.已知A 、B 间动摩擦因数μ1=0.1，A 与桌面间和B 与桌面间的动摩擦因数μ2=0.2，原来系统静止。现在在板的右端施一大小一定的水平力F 持续作用在物体A 上直到将A 从B 下抽出才撤去，且使B 最后停于桌的右边缘，求：
（1）物体B 运动的时间是多少？ （2）力F 的大小为多少？
变式3 如图所示，质量M = 1kg 的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数μ1=0.1，在木板的左端放置一个质量m =1kg 、大小可以忽略的铁块，铁块与木板间的
动摩擦因数μ2=0.4，取g =10m/s 2
，试求：（1）若木板长L =1m ，在铁块上加一个水平向右的恒力F =8N ，经过多长时间铁块运动到木板的右端？（2）若在木板（足够长）的右端施加一个大小从零开始连续增加的水平向左的力F ，通过分析和计算后，请在图中画出铁块受到的摩擦力f 随拉力F 大小变化的图像．
例题3 如图所示，某货场而将质量为m 1=100 kg 的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物中轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8 m 。地面上紧靠轨道依次排放两块完全相同的木板A 、B ，长度均为l =2m ，质量均为m 2=100 kg ，木板上表面与轨道末端相切。货物与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与地面间的动摩擦因数μ=0.2。 （1）求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力。
（2）若货物滑上木板A 时，木板不动，而滑上木板B 时，木板B 开始滑动，求μ1应满足的条件。
（3）若μ1=0.5，求货物滑到木板A 末端时的速度和在木板A 上运动的时间。
题型三 通过绳（杆）的连接体问题 例题4 如图所示，半径为R 的四分之一圆弧形支架竖直放置，圆弧边缘C 处有一小定滑轮，绳子不可伸长，不计一切摩擦，开始时，m 1、m 2两球静止，且m 1＞m 2，试求： (1)m 1释放后沿圆弧滑至最低点A 时的速度．
(2)为使m 1能到达A 点，m 1与m 2之间必须满足什么关系．
(3)若A 点离地高度为2R ，m 1滑到A 点时绳子突然断开，则m 1落地点离A 点的水平距离是多少？
变式5 如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O 1、O 2和质量m B =m 的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量m A =m 的小物块连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角θ=60°，直杆上C 点与两定滑轮均在同一高度，C 点到定滑轮O 1的距离为L ，重力加速度为g ，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰．现将小物块从C 点由静止释放，试求： （1）小球下降到最低点时，小物块的机械能（取C 点所在的
水平面为参考平面）；
（2）小物块能下滑的最大距离；
（3）小物块在下滑距离为L 时的速度大小．
变式6 如图所示，物块A 、B 、C 的质量分别为M 、m 3、m ，并均可
视为质点，它们间有m M m 4<<关系。三物块用轻绳通过滑轮连接，物块B 与C 间的距离和C 到地面的距离均是L 。若C 与地面、B 与C 相碰后速度立即减为零，B 与C 相碰后粘合在一起。（设A 距离滑轮足够远且不计一切阻力）。
（1）求物块C 刚着地时的速度大小？ （2）若使物块B 不与C 相碰，则 m
M
应满足什么条件？
（3）若m M 2=时，求物块A 由最初位置上升的最大高度？
（4）若在（3）中物块A 由最高位置下落，拉紧轻绳后继续下落，求物块A 拉紧轻绳后下落的最远距离？
题型四 通过弹簧的连接体问题
例题5 如图，质量为m 1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m 2的物体B 相
连，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为m 3的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升。若将C 换成另一个质量为（m 1＋m 3）的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g 。
变式7 如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上；B、C两物体通过细绳绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上．用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为m，C的质量为4m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放C后它沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度，求：(1) 从释放C到物体A刚离开地面时，物体C沿斜面下滑的距离.
(2) 斜面倾角α．
(3) B的最大速度v Bm．
变式8 如图所示，挡板P固定在足够高的水平桌面上，小物块A和B大小可忽略，它们分别带有+Q A和+Q B的电荷量，质量分别为m A和m B。两物块由绝缘的轻弹簧相连，一不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B连接，另一端连接一轻质小钩。整个装置处于场强为E、方向水平向左的匀强电场中。A、B开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k，不计一切摩擦及A、B间的库仑力，A、B所带电荷量保持不变，B不会碰到滑轮。 (1) 若在小钩上挂一质量为M的物块C并由静止释放，可使物块A恰好能离开挡板P，求物块C下落的最大距离； (2) 若C
的质量改为2M，则当A刚离开挡板P时，B的速度多大？
题型五传送带问题
例题6 如图所示，x轴与水平传送带重合，坐标原点O在传送带的左端，传送带长L＝8m，匀速运动的速度v0＝5m／s.一质量m＝1kg的小物块轻轻放在传送带上x p＝2m的P点，小物块随传送带运动到Q点后冲上光滑斜面且刚好到达N点.（小物块到达N点后被收集，不再滑下）若小物块经过Q处无机械能损失，小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，求：
（l）N点的纵坐标；
（2）小物块在传送带上运动产生的热量；
（3）若将小物块轻轻放在传送带上的某些位置，最终均能沿光滑斜
面越过纵坐标y M＝0.5m的M点，求这些位置的横坐标范围.
变式9 如图甲所示为传送装置的示意图。绷紧的传送带长度L =2.0m ，以v =3.0m/s 的恒定速率运行，传送带的水平部分AB 距离水平地面的高度h =0.45m 。现有一行李箱（可视为质点）质量m =10kg ，以v 0＝1.0 m/s 的水平初速度从A 端滑上传送带，被传送到B 端时没有被及时取下，行李箱从B 端水平抛出，行李箱与传送带间的动摩擦因数μ＝0.20，不计空气阻
力，重力加速度g 取l0 m/s 2
。
（1）求行李箱从传送带上A 端运动到B 端过程中摩擦力对行李箱冲量的大小；
（2）传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦，求为运送该行李箱电动机多消耗的电能；
（3）若传送带的速度v 可在0～5.0m/s 之间调节，行李箱仍以v 0的水平初速度从A 端滑上传送带，且行李箱滑到B 端均能水平抛出。请你在图15乙中作出行李箱从B 端水平抛出到落地点的水平距离x 与传送带速度v 的关系图像。（要求写出作图数据的分析过程）
变式10 如图所示，用半径为0.4m 的电动滚轮在长薄铁板上表面压轧一道浅槽．薄铁板的长为2.8m 、质量为10kg ．已知滚轮与铁板、铁板与工作台面间的动摩擦因数分别为0.3和0.1．铁板从一端放人工作台的滚轮下，工作时滚轮对铁板产生恒定的竖直向下的压力为100N ，在滚轮的摩擦作用下铁板由静止向前运动并被压轧出一浅槽．已知滚轮转动的角速
度恒为5rad/s ，g 取10m ／s 2
．
（1）通过分析计算，说明铁板将如何运动? （2）加工一块铁板需要多少时间?
（3）加工一块铁板电动机要消耗多少电能?(不考虑电动机自身的能耗)
参考解答
例题1.B 变式1 以F 1表示绕过滑轮的绳子的张力，为使三物体间无相对运动，则对于物体C 有：F 1＝m 3g ，以a 表示物体A
在拉力F 1作用下的加速度，则有
g m m m F a 1
3
11==
，由于三物体间无相对运动，则上述的a
也就是三物体作为一个整物体运动的加速度，故得F ＝（m 1＋m 2＋m 3）a ＝
1
3m m （m 1＋m 2＋m 3）
g
例题2 1. 2m/s 2. 0.5s 0.5m 3. 1.5m
变式2 【答案】（1）3s （2）F =26N 【解析】（1）对于B ，在未离开A 时，其加速度a B1=m/s 2
，设经过时间t 1后B 离开A 板，离开A 后B 的加速度为
m/s 2
.据题意可结合B 速度图像。v B =a B1t 1，
代入数据解得t 1=2s. 而，所以
物体B 运动的时间是t =t 1+t 2=3s.
（2）设A 的加速度为a A ，则据相对运动的位移关系得：
解得
a A =2m/s 2. 根据牛顿第二定律得：
代入数据得F =26N.
变式3 （1）研究木块m F －μ2mg =ma 1 研究木板M μ2mg －μ1（mg ＋Mg ）=Ma 2
L =
12a 1t 2－12
a 2t 2
解得：t =1s （2）当F ≤ μ1（mg +Mg ）时，f =0N 当μ1（mg +Mg ） 则有：F －μ1（mg +Mg ）=（m +M ）a f =ma 即：f = 2 F －1（N ） 当10N 10 12 mgR m v = ①， 设货物在轨道末端所受支持力的大小为N F ,根据牛顿第二定律得，20 11N v F m g m R -=②，联立以上两式代入数据得3000N F N =③, 根据牛顿第三定 律，货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小为3000N ，方向竖直向下。 （2）若滑上木板A 时，木板不动，由受力分析得11212(2)m g m m g μμ≤+④， 若滑上木板B 时，木板B 开始滑动，由受力分析得11212()m g m m g μμ>+⑤， 联立④⑤式代入数据得10.6μ0.4<≤⑥。 （3）10.5μ=，由⑥式可知，货物在木板A 上滑动时，木板不动。设货物在木板A 上做减 速运动时的加速度大小为1a ，由牛顿第二定律得1111m g m a μ≤⑦， 设货物滑到木板A 末端是的速度为1v ，由运动学公式得22 1012v v a l -=-⑧， 联立①⑦⑧式代入数据得14/v m s =⑨，设在木板A 上运动的时间为t ，由运动学公式得 101v v a t =-⑩，联立①⑦⑨⑩式代入数据得0.4t s =。 【考点】机械能守恒定律、牛顿第二定律、运动学方程、受力分析 例题4 解析：(1)设m 1滑至A 点时的速度为v 1，此时m 2的速度为v 2，由机械能守恒得： m 1gR －2m 2gR ＝12m 1v 12＋12 m 2v 22 又v 2＝v 1cos45° 得：v 1＝ 4(m 1－2m 2)gR 2m 1＋m 2 . (2)要使m 1能到达A 点，v 1≥0且v 2≥0，必有：m 1gR －2m 2gR ≥0，得：m 1≥2m 2. (3)由2R ＝12gt 2 ，x ＝v 1t 得x ＝4R · (m 1－2m 2) 2m 1＋m 2 . 答案：(1) 4(m 1－2m 2)gR 2m 1＋m 2 (2)m 1≥2m 2 (3)4R ·(m 1－2m 2) 2m 1＋m 2 变式5 解：（1）设此时小物块的机械能为E 1．由机械能守恒定律得 1(sin )(12)B E m g L L mgL θ=-= （2）设小物块能下滑的最大距离为s m ，由机械能守恒定律有 sin A m B B m gs m gh θ=增 而B h L =增 代入解得 4(1m s L = （3）设小物块下滑距离为L 时的速度大小为v ，此时小球的速度大小为v B ，则 cos B v v θ= 2211sin 22 A B B A m gL m v m v θ= + 解得 v = 变式6 解：①设C 到达地面时三者速度大小为V 1，21)4(2 14v M m MgL mgL += - 解得 M m gL M m v +-= 4)4(21 ②设此后B 到达地面时速度恰好为零。有：21)3(2 1 03v m M MgL mgL +- =- 解得：m M 32= 因此应满足：32>m M 时，物块B 不能着地。 ③若m M 2=时，设C 到达地面时三者速度大小为V 2， 2 2)24(2124v m m mgL mgL += -，再设AB 运动到B 到达地面时速度大小为3v ，有： 2 223)23(21)23(2123v m m v m m mgL mgL +-+=-， 此后A 物块还能上升的高度为h ，232212mv mgh = 可得A 物块上升的最大高度为L h L H 15 38 2=+= ④物块A 下落距离L h 15 8 =时，拉紧细线，设此时物块A 速度大小为4v ，有： 2 422 11582mv L mg = 此时由动量守恒定律得A 、BC 三者有大小相等的速度设为5v 54)42(2v m m mv += 设A 拉紧细线后下落的最远距离为s ：2 5 )24(2 1042v m m mgs mgs +-=- 由以上几式可得：L s 45 8= 例题5 开始时，A 、B 静止，设弹簧压缩量为x 1，有 k x 1＝m 1g ① 挂C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动，设B 刚要离地时弹簧伸长量为x 2， 有 k x 2＝m 2g ② B 不再上升，表示此时A 和 C 的速度为零，C 已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧性势能的增加量为 △E ＝m 3g(x 1＋x 2)－m 1g(x 1＋x 2) ③ C 换成 D 后，当B 刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得 E x x g m x x g m m v m v m m ?-+-++=++)()()(2 1 )(21211211321213 ④ 由③④式得 )()2(2 12112 31x x g m v m m +=+ ⑤ 由①②⑤式得 k m m g m m m v )2()(2312 211++= ⑥ 变式7 解：⑴设开始时弹簧的压缩量x B ，则B kx mg = ① 设当物体A 刚刚离开地面时，弹簧的伸长量为x A ，则A kx mg = ② 当物体A 刚离开地面时，物体B 上升的距离以及物体C 沿斜面下滑的距离均为 A B h x x =+ ③ 由①②③式解得 2mg h k = ④ ⑵物体A 刚刚离开地面时，以B 为研究对象，物体B 受到重力mg 、弹簧的弹力kx A 、细线的拉力T 三个力的作用，设物体B 的加速度为a ，根据牛顿第二定律，对B 有 A T mg kx ma --= ⑤ 对C 有4sin 4mg T ma α-= ⑥ 由⑤、⑥两式得4sin 5A mg mg kx ma α--= ⑦ 当B 获得最大速度时，有0a = ⑧ 由②⑦⑧式联立，解得1sin 2 α= ⑨所以：0 30α= （3）由于x A =x B ，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，且物体A 刚刚离开地面时，B 、C 两物体的速度相等，设为v Bm ，以B 、C 及弹簧组成的系统为研究对象，由机械能守恒定律得： 2 14sin (4)2 Bm mgh mgh m m v α-=+ ⑩ 由④、⑨、⑩式，解得：2Bm v g ==变式8 （1）开始平衡时有：K EQ x EQ kx B B ==11可得 当A 刚离开档板时：K EQ x EQ kx A A = =22可得 故C 下落的最大距离为：21x x h += 由①～③式可解得h= )(A B Q Q K E + （2）由能量守恒定律可知：C 下落h 过程中，C 重力势能的的减少量等于B 的电势能的增 量和弹簧弹性势能的增量、系统动能的增量之和 当C 的质量为M 时：B Mgh Q E h E =?+?弹 当C 的质量为2M 时：2)2(2 1 2V m M E Eh Q Mgh B B ++?+=弹 解得A 刚离开P 时B 的速度为：) 2() (2B B A m M K Q Q MgE V ++= 例题6 1. 1.25m 2. 12.5J 3. [0,7 )m 变式9 （1）行李箱刚滑上传送带时做匀加速直线运动，设行李箱受到的摩擦力为F f 根据牛顿第二定律有 F f ＝μmg ＝ma 解得 a ＝μg ＝2.0 m/s 2 设行李箱速度达到v ＝3.0 m/s 时的位移为s 1 v 2 －v 02 ＝2as 1 s 1＝a v v 22 2-＝2.0m 即行李箱在传动带上刚好能加速达到传送带的速度3.0 m/s 设摩擦力的冲量为I f ，依据动量定理I f ＝mv －mv 0 解得I f ＝20N ?s （2）在行李箱匀加速运动的过程中，传送带上任意一点移动的长度s ＝vt ＝3 m 行李箱与传送带摩擦产生的内能Q ＝μmg (s -s 1) 行李箱增加的动能ΔE k ＝ 2 1 m (v 2－v 02) 设电动机多消耗的电能为E ，根据能量转化与守恒定律得 E ＝ΔE k +Q 解得 E ＝60J （3）物体匀加速能够达到的最大速度v m ＝aL v 22 0+＝3.0m/s 当传送带的速度为零时，行李箱匀减速至速度为零时的位移s 0＝a v 22 0=0.25m 当传送带的速度0 ，式中0.3s t ==为恒量，即水平位移x 与传送带速度v 成正比。 （1分） 当传送带的速度v ≥3.0m/s 时， x ＝g h v 2m ＝0.9 m （1分） 行李箱从传送带水平抛出后的x-v 图象 如答图1所示。 （1分） 变式10 (1)开始砂轮给铁板向前的滑动摩擦力F 1＝μ1F lN ＝0.3X100N ＝30N 工作台给平板的摩擦阻力F 2＝μ2F 2N ＝0.1×(100+10×10)N＝20N 铁板先向右做匀加速直线运动a =(F 1-F 2)/m =1m/s 2 加速过程铁板达到的最大速度v m =ωR =5×0.4m／s ＝2m ／s 这一过程铁板的位移s l ＝v m /2a =2m<2.8m 此后砂轮给铁板的摩擦力将变为静摩擦力F l ′，F l ′＝F 2，铁板将做匀速运动． 即整个过程中铁板将先做加速度a ＝lm ／s 2 的匀加速运动，然后做v m ＝2m ／s 的匀速运动(只要上面已求出，不说数据也得分) (2)在加速运动过程中，由v m =at 1得t 1＝2s ， 匀速运动过程的位移为s 2＝L -s 1＝0.8m 由s 2＝vt 2，得t 2＝0.4s ． 所以加工一块铁板所用的时间为T ＝t 1+t 2＝2.4s ． (3)E ＝ΔE k +Q 1+Q 2＝136J ．
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