河南省2017-2018学年高一全国高中联赛预赛数学试题
一、填空题
1.集合2{|560}P x x x =-+=，{|10}M x mx =-=，且M P ?,则满足条件的实数m 组成的集合为 ．
2.函数()f x =的值域是 ．
3.已知函数|2|3||220181()41
x x x f x -+=+在R 上的最大值为M ,最小值为m ,则M m += ．
4.已知四面体ABCD 中, 5AB CD ==,AD BC ==AC BD ==,则该四面体的体积为 ．
5.已知关于x 的方程32
x ax bx ++10a b ---=有两个根分别在(0,1),(1,)+∞内,则211
a b a +++的取值范围是 ． 6.在直线3x =上任取一点P ,过点P 向圆22(2)4x y +-=作两条切线,其切点分别为,A B ,则直线AB 经过一个定点，该定点的坐标为 ．
7.已知A ∠为锐角,的最小值为 ．
8.甲乙两人打乒乓球,甲每局获胜的概率为23
,当有一人领先两局的时候比赛终止比赛的总局数为+()N i x i ∈的概率为i p ,这里要求1()N i I x x i +<∈,则1i i i S x p +∞==
=∑ ． 二、解答题
9.(1)证明对于任意的正实数,a b 都有: a b +≥
(2)已知正数,x y 满足: 1x y +=，求
14x y
+的最小值.
10.设锐角ABC ?边,,BC CA AB 上的垂足分别为,,D E F ,直线EF 与ABC ?的外接圆的一个交点为P ,直线BP 与DF 交于点Q .证明: AP AQ =.
11.已知实数,x y 满足:2
1cos (1)x y ++-=222(1)(1)1x y x y x y +++--+，求xy 的最小值.
12.设,S T 是两个非空集合若存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:
(i) {()|}T f x x S =∈；
(ii) 12,x x S ?∈,当12x x <时,恒有12()()f x f x <.
那么称这两个集合“保序同构”.
证明: (1)(0,1),R A B ==是保序同构的；
(2)判断,Z Q A B ==是不是保序同构的，若是，请给出一个函数的表达式；若不是，请说明理由.
【参考答案】
一、填空题
1. 11{,,0}23
2.
3. 2
4. 20
5. (0,2)
6. 4(,2)3
7. 8. 185
二、解答题
9.解：(1)由a b +-20=≥，故a b +≥.
(2) 1414()()x y x y x y +=++414y x x y =+++59≥+=， 等号在12,33x y =
=处取到，故最小值为9. 10.解：如下图所示,由于,,D E F 是垂足,则90BFC BEC ∠=∠=,
故,,,C B F E 四点共圆，从而AFE ACB ∠=∠
而 =BFD FQB FBQ BCA PCB PCA
∠∠+∠??∠=∠+∠?FQB ?∠=PCB PAF ∠=∠ 故,,,A F P Q 四点共圆
AQP AFE ?∠=∠=ACB APQ ∠=∠AP AQ ?=
11.解：2
1cos (1)x y ++-=222(1)(1)1x y x y x y +++--+=22(2)2()111x y xy x y x y +-+-++-+ 2(1)11
x y x y -++==-+111x y x y -++-+， 由于201cos <+(1)2x y +-≤，故10x y -+>，从而1121x y x y -++≥-+
21cos (1)211x y x y ?++-=??-+=?2cos (1)1x y x y
?+-=??=?1π,Z x y k k x y +-=∈???=? 1π2k x y +?==
，Z k xy ∈?=21π1(),24Z k k +≥∈，故min 1()4
xy =. 12.解：(1)令()tan[(f x x =-1)π]()2x A ∈， 则()f x 单调增,且其值域为R ,因此A 和B 是保序同构的.
(2)集合,Z Q A B ==不是保序同构的.
事实上上若集合,Z Q A B ==是保序同构的.
则存在函数()y f x =,使得(1),(2)f a f b ==,其中,,Q a b a b ∈<. 考察数2
Q a b c +=∈，则a c b <<,由于A 和B 是保序同构的,则存在Z x ∈使()f x c =， 结合()y f x =单调递增,则12x <<,矛盾.
2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α
2018 年泉州市普通高中数学学科竞赛试题 （总分 200 分，考试时间： 150 分钟） 学校 姓名 准考证号 一、填空题：本大题共 15 小题，每小题 6 分，共 90 分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 1．已知全集 U R ，集合 M { x | x 2 x 2 0} ， N { x | x 3} ， 则 ( e U M ) N ___________． x y 4 0， 2．实数 x ， y 满足约束条件 x y 2 0， 则 z 3x 2 y 的最小值为 ___________． x 3， 3．若 sin cos 3 ，且 2 ，则 cos sin 的值为 ___________． 8 4 4．已知等差数列 a n 满足 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 40 ，则 4a 6 a 9 ___________． 5．若 x log 4 2 log 2 9 log 4 9 ，则 2x 2 x ___________． 6．在 ABC 中， AB AC 2， BAC 90 ， BP BC (0 1) ， 则 ( AB AC) AP ___________ ． 7．设函数 f ( x) ax 2 2x 1，当 x [0, 2] 时， f (x) 0恒成立，则 a 的取值范围是 ． 8．四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PCD 为等边三角形， AB=2 3 ，BC =2 ， PA 4 ，则 P ABCD 外接球的表面积为 ___________． 9．已知 P 为圆 x 2 y 2 4 上的动点， A(0, 2 2) ，B( 2, 2) ，则 PB 的最大值为 ________． PA 10．已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f (x 2) f (x) ，且当 x [0,1] 时， f ( x) 3x ． 函数 g( x) f (x) kx 2k (k 0) 的所有零点为 n x 1 ， x 2 ， x 3 ， ， x n ，若 8 x i 12 ， i 1 则 k 的取值范围是 ___________．
2018年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷 一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分. 1. 函数1()1x x ae f x e --+=+（1a ≠）的值域为 ． 2.设集合2{|[]2}A x x x =-=和{|||2}B x x =<，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则 A B = ． 3.已知方程20x xe k -+=在区间(2,2)-内恰有两个实根，则k 的取值范围是 ． 4.已知ABC ?的三个角A 、B 、C 成等差数列，对应的三边为a 、b 、c ，且a 、c 成等比数列，则2:ABC S a ?= ． 5.已知点(1,1)A ，(1/2,0)B ，(3/2,0)C ，经过点A ，B 的直线和经过A ，C 的直线与直线 y a =（01a <<）所围成的平面区域为G ，已知平面矩形区域{(,)|02,01} x y x y <<<<中的任意一点进入区域G 的可能性为 1 16 ，则a = ． 6.袋中装有m 个红球和n 个白球，4m n >≥.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系40m n +≤的数组(,)m n 的个数为 ． 7.已知关于x 的实系数方程2 220x x -+=和2 210x mx ++=的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是 ． 8.已知圆2 2 8x y +=围成的封闭区域上（含边界）的整点（坐标均为整数的点）数是椭圆 22 214 x y a +=围成的封闭区域上（含边界）整点数的15，则正实数a 的取值范围是 ． 二、解答题 ：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.设函数()1x f x e x =--， （1）求()f x 在区间1[0,]n （n 为正整数）的最大值n b ； （2）令1 1n n n a e b =--，1421321 k k k a a a p a a a -= （n ，k 为正整数），求证：
2017-2018学年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题：本大题共6个小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合{}2log 2A x Z x =∈≤的真子集个数为（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 2.三棱锥P ABC -的底面ABC ?是边长为3的正三角形，3,4,5PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积为（ ） A ．3 B ． 3.已知函数()f x 满足：()1 14 f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则()2019f =（ ） A ． 12 B ．12- C ．14 D ．14 - 4.已知()sin 2cos x f x x = +，则对x R ?∈，下列说法中错误的是（ ） A ．()1 sin 3 f x x ≥ B ．()f x x ≤ C ．()f x ≤ D ．()()0f x f x ππ++-= 5.已知()() 2 2112x x f x x += +?在[)(]2018,00,2018-?上的最大值为M ，最小值为N ，则M N += （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6.设0,0,0x y z >>>，满足,x y xy x y z xyz +=++=，则z 的取值范围是（ ） A ．( B ．( C ．40,3?? ??? D ．41,3?? ??? 第Ⅱ卷（共120分） 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 7.函数 23log 21x y x +?? = +- ?-??的定义域为 ． 8.已知圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线()2y kx k R =-∈上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值等于 ．
2018年高中数学竞赛初赛 一、填空题（每题7分，共10题，共70分） 1. 函数y=│cos x │-cos 2x （x ∈R ）的值域 2. 已知（a+bi ）2=3+4i ，其中a,b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2+b 2= 3. 圆心在抛物线x 2=2y 上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程 4. 设函数f （x ）=x 2 4-1x -x ，则不等式f （1-x 2）+f （5x-7）<0的解集为 5. 已知等差数列{a n }的前12项的和为60，则321a a a +++...+12a 的最小值 6. 已知正四面体内切球的半径是1，则该四面体的体积为 7. 在△ABC 中，AB=5,AC=4，且=12，设P 为平面ABC 上一点，则的最小值为 8. 设g （n ）=∑=n k n k 1 ),(，其中n ∈N *，（k,n ）表示k 与n 的最大公约数，则g （100）的值为 9. 将1,2,3,4,5,6,7,8,9,这九个数随机填入3×3的方格表中，每个小方格填一个数，且所填各 部相同，则使每行，每列所填数之和都是奇数的概率是 10. 在1,2,3,4，...1000中，能写出a 2-b 2+1（a,b ∈N ）的形式，且不能被3整除的数有 个 二、解答题（每题20分，共4题，共80分） 11. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知圆O 的方程为x 2+y 2=4,过P （0,1）点的直线l 与圆O 交于A,B ，与x 轴交于Q ，设，，求证：μλ与为定值. 12. 已知{a n } 是公差为d 的等差数列，且a 1+t 223(1). 求实数t,d 的值；
2018年全国高中数学联赛试题及参考答案 试题 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。 （A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞） 2、若实数x，y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为（）。 （A）2 （B）1 （C）√3（D）√2 3、函数f(x)=x/1-2x-x/2（） （A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数 （C）既是偶函数又是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数 4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3，这样的点P共有（）。 （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。 （A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C4999 6、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）。 （A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、已知复数Z1,Z2满足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1＋ Z2)/(Z1＋Z2)∣=。 8、将二项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。 9、如图，点P 1，P2，…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平 面上的四点组（P1，P i，P j，P k）（1＜i＜j＜k≤10）有个。 10、已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有 f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2018)= 。 11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则∣x∣-∣y∣的最小值是。 12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13、已知点A（0,2）和抛物线y2=x+4上两点B，C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围。 14、如图，有一列曲线P0，P1，P2……，已知P0所围成的图形是 面积为1的等边三角形，P k+1是对P k进行如下操作得到：将P k的每条 边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中 间部分的线段去掉（k=0,1,2,）。记S n为曲线P n所围成图形的面积。 （1）求数列｛S n｝的通项公式； （2）求limS n. n→∞ 15、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件： （1）当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x; （2）当x∈(0,2)时，f(x)≤((x+1)/2)2; （3） f(x)在R上的最小值为0. 求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x。 参考答案 一、选择题
【数学竞赛】2018高一数学竞赛试题及答案 一、选择题（每题5分，共60分） 1．已知集合A ＝{x||x|≤2，x ∈R }，B ＝{x|x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2) B ．[0，2] C ．{0，2} D ．{0，1，2} 2．若,,,,b a R c b a >∈则下列不等式成立的是( ) A ．b a 11< B ．22 b a > C ． 1 122+>+c b c a D ．c b c a > 3.下列函数为偶函数，且在)0,(-∞上单调递减的函数是( ) A ．3 2)(x x f = B ．3)(-=x x f C ．x x f )2 1()(= D ．x x f ln )(= 4. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β C ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α D ．若m ∥n ，m ?α，n ?β，则α∥β 5. 等比数列{}n a 的前项和为n S ，且321,2,4a a a 依次成 等差数列，且11=a , 则10S =( ) A ．512 B. 511 C ．1024 D ．1023 6．已知f(x)＝2tanx －2sin 2x 2－1 sin x 2cos x 2，则f(π 12)的值为( ) A. 83 3 B. 8 C ．4 D. 4 3 7．设变量x ，y 满足约束条件???y ≥x ， x ＋3y ≤4，x ≥－2， 则z ＝x －3y 的最大值为( ) A ．10 B ．8- C ．6 D ．4 8．已知0,0>>y x ，且 11 2=+y x ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取
2018高二数学竞赛试题及答案 一、选择题（本题满分60分，每题5分） 1．复数() ()2 12z i i =++的虚部为( ) A. 2i - B. 2- C. 4i D. 4 2．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋a 2y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y)|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝?，则a 的值是( ) A. 3或-1 B. 0 C. －1 D. 0或－1 3．()4 23a b c +-的展开式中2abc 的系数为（ ） A. 208 B. 216 C. 217 D. 218 4.某公司在2013-2017年的收入与支出情况如下表所示： 根据表中数据可得回归直线方程为0.8y x a ∧ ∧ =+，依此估计如果2018年该公司收入为7亿元时的支出为( ) A. 4.5亿元 B. 4.4亿元 C. 4.3亿元 D. 4.2亿元 5. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 的方程为20x y -= ）的点的个数的估计值为( ) A. 5000 B. 6667 C. 7500 D. 7854 6. 函数2cos cos y x x x =在区间,64ππ?? - ???? 上的值域是（ ） A. 1,12?? - ???? B. 12?-??? C. 0,32?? ???? D. 0???? 7．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”.已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断出得第一名的人是（ ）
2017-2018学年镇海中学数学竞赛模拟试卷（1） 姓 名_______ 一、填空题 1、已知函数1)1(ln )(22+-+=ax x a x f )0(>a ，则=+)1(l n )( l n a f a f ____________. 2、A ,B 两点分别在抛物线x y 62=和1)2(:⊙22=+-y x C 上，则AB 的取值范围是____________. 3、若?? ? ?? <≤<=20tan 3tan παβαβ，则βα-的最大值为____________. 4、已知△ABC 等腰直角三角形，其中∠C 为直角，AC =BC =1，过点B 作平面ABC 的垂线DB ，使得DB =1，在DA 、DC 上分别取点E 、F ，则△BEF 周长的最小值为____________. 5、已知函数x x x f 3)(3+=，对任意的[]2,2-∈m ，0)2()8(<+-x f mx f 恒成立，则正． 实数．．x 的取值范围为____________.
6、已知向量,,满足)(3::2||:||:||*N k k ∈=，且)(2-=-，若α为,的夹角，则αcos 的值为____________. 7、现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为____________. 8、将10个小球（5个黑球和5个白球）排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________. 二、解答题 9.(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ，向量()B C A sin ,sin sin +=p ，向量),(a b c a --=q ，且满足q p ⊥. (Ⅰ)求△ABC 的内角C 的值； (Ⅱ)若c =2，2sin2A +sin(2B +C )=sin C ，求△ABC 的面积.
2018年贵州省高中数学联赛试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：每小题6分，本大题共30分. 1.小王在word 文档中设计好一张4A 规格的表格，根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制——粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word 文档中“粘贴”）的办法满足要求.请问：小王需要使用“复制——粘贴”的次数至少为（） A．9次B．10次C．11次D．12次 2.已知一双曲线的两条渐近线方程为30x y -=和30x y +=，则它的离心率是（）A．2B．3C．22D．31 +3.在空间直角坐标系中，已知(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则到面OAB 、面OBC 、面OAC 、面ABC 的距离相等的点的个数是（） A．1B．4C．5D．无穷多 4.若圆柱被一平面所截，其截面椭圆的离心率为223，则此截面与圆柱底面所成的锐二面角是（）A．1arcsin 3B．1arccos 3C．2arcsin 3D．2 arccos 3 5.已知等差数列{}n a 及{}n b ，设12n n A a a a =++???+，12n n B b b b =++???+，若对*n N ?∈，有35 53n n A n B n + =+，则106 a b =（）A．3533B．3129C．17599D．15587 二、填空题（每小题6分，本大题共60分） 6.已知O 为ABC ?所在平面上一定点，动点P 满足()AB AC OP OA AB AC λ=++ ，其[0,)λ∈+∞，则P 点的轨迹为． 7.牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是． 8.方程组2 226 ()6x y xy x y ?+=?+=-?的实数解为． 9.如图，在ABD ?中，点C 在AD 上，2ABC π ∠=，6DBC π ∠=，1AB CD ==，则AC = ．10.函数2222121013z x x x x =-++-+的最小值是．
2018年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨2018年福建省高中数学竞赛试卷 （考试时间：2018年5月20日上午9：00—11:30，满分160分） 一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分.请直接将答案写在题中的横线上） 1.将正偶数集合{}2,4,6，从小到大按第n 组有32n -个数进行分组： {}{}{}2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24，，则2018位于第 组. 2.在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若2,3,2a b C A ===，则cos C = . 3.设复数z 满足2z i -= ，则 z z -的最大值为 .（i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数） 4.已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线2x =对称，当02x <≤时，()1f x x =+，则()()100101f f -+-= . 5.从如图所示的由9个单位小方格组成的33?方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为 . 6.如图，在三棱锥P ABC -中，,PAC ABC ??都是边长为6的等边三角形，若二面角P AC B --的大小为0 120，则三棱锥P ABC -外接球的面积为 . 7.已知12,F F 分别为双曲线22 :1412 x y C -=的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，,G I 分别为12F PF ?的重
心、内心，若//GI x 轴，则12F PF ?的外接圆半径R = . 8.最近网络上有一篇文章很火.源于一道常见题目：（见图），这貌似易解的题目，里面竟然蕴藏了深奥的大道理. （本题不作为本次考试的试题，本次试题如下） 设{},2,3,4,5,6,7,8a b ∈，则1010a b b a a b +++的最大值为 . 9.已知整数系数多项式()543212345f x x a x a x a x a x a =+++++，若() 320f +=，()()130f f +=则()1f -= . 10.已知函数()f x 满足：对任意实数,x y ，都有()()()6f x y f x f y xy +=++成立，且 ()()119f f ?-≥，则23f ??= ??? . 二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程） 11.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2,*n n S na n n N -=∈，且23a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设111n n n n n b a a a a ++= +，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使920n T >成立的最小正整数n 的值. 12.已知12,F F 分别为椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点26,13P ?? ? ??? 在椭圆C 上，且12F PF ?的垂心为265,33P ?? - ? ??? . （1）求椭圆C 的方程；
2018年浙江省高中数学联赛试题 一．填空题 1.已知a 为正实数，且11()1 x f x a a 是奇函数，则()f x 的值域为______________. 2.设数列{}n a 满足11 151(12)n n a a a n ，，，，则 2018 1 n n a ______________. 3.已知 3()4 ， ，，412cos( ) sin( ) 5 4 13 ，，则cos( ) 4 ______________. 4.在八个数字24678111213，，，，，，，中任取两个组成分数，则这些数中有_______文化既约分数. 5.已知虚数z 满足3 1 0z ，则 2018 2018 11 1 z z z _____________. 6.设||10AB ，若平面上点P 满足，对于任意t R ，有||3AP t AB ，则当PA PB 取得 最小值时，||PA PB ____________. 7.在 ABC 中，7AB AC ，且其面积4ABC S ，则sin A 的最小值为____________. 8.设()|1||||2|f x x x x ，则(())1 0f f x 有__________个不同的解. 9.设x y R ，满足6412 0x y x y ，则x 的取值范围为____________. 10.四面体P ABC ，6PA BC ，8PB AC ，10PC AB ，则该四面体P ABC 外接球的半径为____________. 二．解答题 11.已知动直线l 与圆2 2 1O x y ：相切，与椭圆2 2 19 x y 相交于不同的两点A B ，.求原点 到线段AB 的中垂线的最大距离. 12.设a R ，且对任意实数 b 均有2 [01] max ||1x x ax b ，，求a 的取值范围. 13.设实数122018x x x ，，，满足21 2(122016)n n n x x x n ，，，和 2018 1 1n n x ，证明：10091010 1x x . 14.将2(2)n n 个不同整数分成两组1212n n a a a b b b ，，，；，，，. 证明： 111|| (||||) i j i j i j i n i j n j n a b a a b b n . 15.如图所示将同心环均匀分成(3)n n 格，在内环中固定数字 1~n .问能否将数字1~n 填 入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？
2018年浙江省高中数学竞赛试卷 一、填空题 1.已知a 为正实数，且11 ()1 x f x a a = -+是奇函数，则()f x 的值域为 ． 2.设数列{}n a 满足11a =，151(1,2,)n n a a n +=+=???，则 2018 1 n n a ==∑ ． 3.已知3,,4παβπ??∈ ???，4cos()5αβ+=， 12sin 413πα??-= ???，则c o s 4πβ? ?+= ?? ? ． 4.在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有 个既约分数． 5.已知虚数z 满足3 10z +=，则2018 2018 111z z z ????+= ? ?--?? ?? ． 6.设10AB =，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有3AP tAB -≥，则PA PB ?的最小值为 ，此时PA PB += ． 7.在ABC ?中，7AB AC +=，且三角形的面积为4，则sin A ∠的最小值为 ． 8.设()12f x x x x =++--，则(())10f f x +=有 个不同的解． 9.设,x y R ∈满足120x -=，则x 的取值范围为 ． 10.四面体P ABC -，PA BC ==PB AC ==PC AB ==，则该四面体外 接球的半径为 ． 二、解答题 11.已知动直线l 与圆O ：2 2 1x y +=相切，与椭圆2 219 x y +=相交于不同的两点A ，B .求原点到AB 的中垂线的最大距离. 12.设a R ∈，且对任意实数b 均有2 [0,1] max 1x x ax b ∈++≥，求a 的取值范围. 13.设实数1x ，2x ，…，2018x 满足21 2(1,2,,2016)n n n x x x n ++≤=???和2018 1 1n n x ==∏，证明： 100910101x x ≤. 14.将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1a ，2a ，…，n a ；1b ，2b ，…，n b .证明
2018年河北省高中数学竞赛试卷（高二年级组）答案 一、填空题：共8道小题，每小题8分，共64分. 1.已知集合{,,}A x xy x y =+，{0,,}B x y =且A B =，则20182018x y += ． 2.规定：x R ?∈，当且仅当*1()n x n n N ≤<+∈时，[]x n =，则[][]2 428450x x -+≤的解集为 ． 3.在平面直角坐标系中，若与点()2,2A 的距离为1，且与点(),0B m 的距离为3的直线恰有三条，则实数m 的取值集合是 ． 4.在矩形ABCD 中，已知3AB =，1BC =.动点P 在边CD 上，设PAB α∠=， PBA β∠=，则cos() PA PB αβ?+的最大值为 ． 5.已知1x ≥，1y ≥且2222lg lg lg10lg10x y x y +=+，则lg u xy =的最大值为 ． 6.若123A A A ?的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B 、C 、D ，将三个中点两两连接得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A BCD -的表面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是 ． 7.1 >，则tan θ的取值范围是 ． 8.在ABC ?中，3AC =，sin sin C k A =，(2)k ≥，则ABC ?的面积的最大值为 ． 二、解答题 9.已知O 是ABC ?的外心，且3450OA OB OC =+=，求cos BAC ∠的值. 10.设α、0,2πβ??∈ ???，证明：cos cos sin 2αβαβ++≤. 11.若a 、b 、c 为正数且3a b c ++=，证明：3ab bc ca ++≤. 12.若函数()f x 的定义域为()0,+∞且满足：①存在实数(1,)a ∈+∞，使得()1f a =.②当m R ∈且()0,x ∈+∞时，有()()0m f x mf x -=恒成立. （1）证明：()()x f f x f y y ??=- ??? （其中0x >，0y >） ；