中国工程热物理学会传热传质学
学术会议论文编号：113001 地源热泵U形地下换热器模型比较
苏华1，李茜1，施恂根2，李晓虹1，张燕1，康一亭1，司子辉1
（1绿色建筑与建筑节能实验室四川省高等学校重点实验室，西华大学能源与环境学院，成都610039；
2 中国建筑西南勘察设计研究院成都610086）
（Tel: 028-********; Mobile: 130********; Email: cq_suhua@https://www.doczj.com/doc/973302972.html,）
摘要：地源热泵系统设计中，地下换热器的性能预测非常重要；而地下换热器的性能预测需要准确实用的数学模型。给出了一种非稳态显式一维数值模型及其算法。比较了线热源解析模型，柱热源解析模型以及非稳态一维数值模型。并用2组实测数据验证了一维数值模型。结果表明，一维数值模型准确性较高，计算速度快，具有工程实用价值。
关键词：地源热泵；地下换热器；模型；算法
Comparison of models for U-tube ground heat exchanger of ground source heat pump system
Su Hua 1,*, Li Qian 1, Shi Xungen2, Li Xiaohong 1, Zhang Yan 1, Kang Yiting1, Si Zihui1,
(1 School of Energy and Environment, Xihua University, Chengdu 610039, P. R. China
2 C hina Southwest Geotechnical Investigation and Surveying Institute, C hengdu 610086, P. R. C hina) Abstract The performance prediction of vertical U-tube ground heat exchanger is important in the design of ground source heat pumps system, and precise prediction needs efficient heat transfer model. An explicit one-dimensional transient numerical model has been presented for single-borehole ground heat exchanger, and two computing algorithms are given. This one-dimensional numerical model has been compared with analytical models in constant and variable load cases; test data of two boreholes is used to validate accuracy of the numerical model. Results show that this one-dimensional numerical model is considerably accurate; the computational speed is fast. In general, this one-dimensional numerical model is highly efficient for simulation of ground heat exchanger.
Keywords:Ground source heat pump;Ground heat exchanger; Model; Algorithm
0引言
地源热泵系统因具有高能效的潜在优势，其应用逐步增加。地下换热器是地源热泵工程的关键，因为地下换热器关系到工程的初投资以及长期运行性能。为了设计和分析地下换热器，已经发展了很多模型[1]。文献[2]对国际上流行的地下换热器计算方法做过对比，对比结果显示，某些情况下这些地下换热器模型之间存在一定的计算偏差，不能
确定“绝对准确”的模型，差异原因尚待考察。因此地下换热器模型研究仍有必要。
现有方法大部分基于月峰值负荷，月平均负荷设计地下换热器。而短时步（如逐时）模拟可能是更准确的分析方法
[3-7]
。流行的方法多基于线热源解析模型或柱热源解析模
型[8-9]
。线热源解析模型或柱热源解常依赖于g-函数或G 函数。为了处理变热流，解析
解必须采取“卷积（时间叠加）”方法，而这可能比较耗时[3]
。处理变热流的另一方法是非稳态数值模型[10-12]。三维模型T(r, θ, z, t)，甚至即使二维模型T(r, θ, t)，占用计算机资源都较大，直接应用高维数值模型进行工程设计有一定局限性。所以数值模型常用来事先产生解析模型需要的g-函数[13，14]。文献[5,15]给出了一种不依赖于g-函数的线热源解析模型。作者曾给出一种不依赖于g-函数的一维数值模型，可以直接用于地下换热器模拟分析[16]。本文对线热源解析模型、柱热源解析模型以及一维数值模型进行了比较，用2组实测数据验证了一维数值模型。结果表明，一维数值模型具有较高的准确性和实用性。
1 数学模型及算法
地源热泵系统如图1所示。本文主要关注地下换热器的模型，暂未考虑整个系统的模拟。
图1 地源热泵示意图
Figure 1 Ground source heat pump system
图2 地下换热器离散网格
Figure 2 Meshes of ground heat exchanger
1.1
计算土壤温度的线热源解析模型 假设热量施加于孔壁。如果换热器吸放热量Q 保持恒定，描述钻孔周围土壤温度的线热源模型如下：
???
?
?
??+=∞t c r Ei L Q
T t r T s s
s s λρπλ44),(2 (1) 其中r 代表距离钻孔中心的半径，m; T ∞是土壤原始温度，°C ；是土壤导热系数，W/ (K· m)；
s s c ρ是土壤体积比热，J/ (m 3· K)；L 是钻孔深度，m ；Ei(x)是指数积分函数。
如果换热器吸放热量Q 是时变的，采用“时间叠加”方法，则第n 步的土壤温度计算如下[5，15]：
()
???
?
?
?-?-+
=-=-∞∑
1
2
1
1
44),(j n s s s n
j s j j t t c r Ei L
Q
Q T t r T λρπλ (2) 其中孔壁温度T b (t) 用r = r b ,代入方程(2) 计算。r b 为钻孔半径，m 。
1.2
计算土壤温度的柱热源解析模型
恒热流条件下 ，柱热源解析模型如下：
???
?
???+=∞p r c t G L Q
T t r T s s s s ,),(2ρλλ (3) 其中2
r
c t Fo s s s ρλ=；p=r/r b 代表相对位置。
变热流条件下，第n 步的土壤温度计算如下[3]：
()
?
??
?
??-?-+
=-=-∞∑
p r c t t G L
Q
Q T t r T s s j n s n
j s j j ,),(211
1
ρλλ (4) 孔壁温度T b (t) 用r = r b (p = 1)代入方程(4)计算，G (Fo, 1) 用经验式计算[8]:
()()()()33
2
10
59617.305508.00.36081-0.891291,LgFo LgFo LgFo Fo LgG -?+-+=
(5) 1.3
计算土壤温度的一维非稳态数值模型
在1.1及1.2节中，假设热量施加于孔壁。实际上，热量是施加于流体。如果采用二维数值模型T(r, θ, t) 或三维数值模型T(r, θ, z, t)，热量施加在孔壁的假设可以抛弃。然而，用T(r, θ, z, t) 或T(r, θ, t)模型计算，耗时太多，其工程实用性降低。考虑到计算时间及实用性，忽略钻孔内的温度分布细节，仍假设热量施加于孔壁。循环水与孔壁通过方程(24)耦合（见1.4节）。文献[10]
给出的二维数值分析结果显示，钻孔周围θ方向温度分布变化不太显著，因此可以考虑用竖向二维模型T(r, z, t) 或最简单的一维模型T(r, t)来计算钻孔周围的温度变化。只考虑地下换热器整体性能，因此选用一维模型T(r, t)[16] 。采用均匀网格，如图2所示。离散方程采用热容热阻式[17]建立，采用显式格式。
对孔壁上的第一个节点，有：
1
1
11
2
,11
1--++?=
=j j e s s j
j
j
b T B T a V
c t
Q T T ρ (6)
其中 e
s s e R V c t
a ,11,1ρ?=
(7)
2/21rL r V b ?=π (8)
()s
b e L r r r
R λπ2/2,1?+?=
(9)
e a B ,111-= (10)
1
--=?∞M r r r b (11)
对于内部节点(12-≤≤M i )，有 1
1
1,1
1,--+--++=j i i j i e i j i w i j
i T B T a T a T (12)
其中 w
i i s s w i R V c t
a ,,ρ?=
(13)
e
i i s s e i R V c t
a ,,ρ?=
(14)
rL r V i i ?=π2 (15)
e i w i i a a B ,,1--= (16)
()s
i e i L r r r
R λπ2/2,?+?=
(17)
()s
i w i L r r r
R λπ2/2,?-?=
(18)
对于无穷远边界，可以采用恒温边界条件[16]，也可近似采用绝热边界条件。若采用绝热边界条件，节点M 的方程为：
1
1
1,---+=j M M j M w M j
M T B T a T (19)
其中 w
M M s s w M R V c t
a ,,ρ?=
(20)
2/2rL r V M ?=∞π (21)
()s
w M L r r r
R λπ2/2,?-?=
∞ (22)
w M M a B ,1-= (23)
其Q j 中是j 时步施加在孔壁上的总热量，W;假设向土壤放热为正，从土壤吸热为负；
t ?是时间步长，s ；V i 是控制体i 的体积，m 3；r ?是空间步长，m ；i r 是第i 个节点的半径，m ；r ∞是无穷远边界半径，m ，对于单孔换热器，一般取10m 。 1.4
水温计算
假设每个时步之内，循环水与孔壁之间传热为准稳态传热，即忽略孔内热容的影响，
则第j 时步的平均水温j f
T 计算如下：
j
b j
b j
f T R L
Q T +=
(24)
其中R b 是单位孔深的热阻，可以用下式计算[18]: ??
???+
???? ???+??
??
????????????? ??-?+-+??? ??+???? ??=h d d d D d d D d d d
R i i
o
p
b
b s g s g b b
g
b ππλ
λλλλπλ1ln 21
ln 2ln ln 21214
44
o
(25)
其中d i 是PE 管内径，m; d o is 是PE 管外径, m; D 是PE 管间距s, m; d b =2r b 是钻孔直径, m; λp 是PE 管导热系数, W/ (K· m); h is 对流换热系数, W/ (m 2?K), 可以按下式计算[17]:
n
f
i
hd Nu Pr Re
023.08
.0==
λ (26)
其中Nu 是Nusselt 数; Re 是Reynolds 数; Pr 是Prandtl 数; λf is 是流体导热系数, W/ (m? K); 水受热n=0.4, 水放热n=0.3。 R b 可以用数值方法（比如边界元法[19]）事先计算。如果有热响应测试数据，R b 也可用最优化方法进行估计[20]，2.2.2节简单介绍了估计方法。
进口温度j in f T ,，出口温度j
out f T ,计算如下：
mCp
Q
T j
j
f =
? (27)
2/,j
f j
f j
in f T T T ?+= (28) 2/,j
f j
f j
out f T T T ?-= (29) 其中m 是质量流量，kg/s ；Cp 是循环水比热，J/ (kg· °C)。 1.5 算法1： 以热量Q 为输入 算法以伪代码形式给出。
(1) 输入基本数据，如土壤，回填料，水，PE 管的热物性参数，钻孔几何尺寸，节点数，
最大模拟步数，时间步长，等；
(2) 输入初始温度；
(3) For j=1 to N (N 是最大模拟步数)
1) 输入第j 步的热量j
Q 和管内流速； 2) IF Q<>0 then
用方程 (2), (4)或. (6, 12, 19).计算土壤温度； 输入孔内热阻，或用方程(25, 26)计算孔内热阻； 用方程(24)计算平均水温；
用方程 (27-29)计算进出口温度； Else
用方程 (2), (4)或. (6, 12, 19).计算土壤温度； End IF
3) 更新初始温度；
Next j
1.6 算法2： 以进口温度为输入
如果进口温度已知，出口温度可通过迭代方法计算。二分法或其他迭代方法 [20]
都可采用。计算流程修改为:
(1) 输入基本数据，如土壤，回填料，水，PE 管的热物性参数，钻孔几何尺寸，节点数，
最大模拟步数，时间步长，等； (2) 输入初始温度；
(3) For j=1 to N (N 是最大模拟步数)
1) 输入第j 步进口温度 j
in f T , 及管内流速；
2) 输入孔内热阻，或用方程 (25, 26)计算孔内热阻； 3) While error > EPS (EPS 是收敛准则)
假设出口温度j out f T ,, 计算温差j
out f j in f j f T T T ,,-=?； 计算热量j
f p j f T mC Q ?=；
根据j
f Q 用方程 (2), (4)或. (6, 12, 19).计算土壤温度； 计算热量 L R T T Q b
j
j b
f j
-=
（热阻 R b 和孔壁温度 j
b T 已给出）；
计算误差error=|j
f Q -j
Q |； End While
4) 更新初始温度； Next j
2 比较验证
2.1 比较1: 恒热流工况下模型交叉比较
假设：L=80 m,D b =130 mm,λs =1.8 W/ (K· m),s s c ρ =3.5×106 J/ (m 3·K),T ∞
=18 ℃,Q=6400 W 。换热器单位深度放热量为Q/L=80 W/m ，这几乎是地下换热器最大的换热量。孔壁温度分别用方程方程(1)，(2)，(3)，(4) 以及方程 (6, 12, 19) 计算。数值计算时，时间步长△t = 60 s ；r ∞=10 m ，孔壁到无穷远处边界之间节点数目为150，故 △r =(10-0.065)/(150-1)=0.067 m 。对于方程(2) 及 (4)，时间步长为1 h (3600 s)。
孔壁温度如图3所示，模型之间的偏差如图4所示。数值模型与柱热源模型基本一致，线热源与柱热源模型存在一定偏差，特别是在放热初期阶段偏差较大。因此，一维数值模型的准确性与柱热源解析模型相当。由于数值模型为显示格式，空间步长和时间步长会影响计算精度。取不同的空间步长和时间步长组合进行计算，结果表明△t = 60 s ，△r= 0.033~0.067 m 比较适合，具有足够准确性，计算时间适中。
图3恒热流工况下钻孔壁温
Figure 3 Borehole wall temperatures of constant
heat load case
图4恒热流工况下钻孔壁温偏差比较:数值模型-
柱热源解析模型，线热源解析模型-柱热源解析
模型
Figure 4 Differences of borehole wall temperatures: Numerical model vs. analytical cylinder model and Line-source model vs. analytical cylinder model
2.2
比较2: 数值模型的实测验证
2.2.1 实测数据 四川都江堰某2个换热孔的热响应测试数据被用来验证数值模型。热响应测试装置包含电加热器，水泵，管路，传感器，控制器，数据采集器等。土壤原始温度测量方法：不开加热器，只开水泵运行30 min ，测出循环水温作为原始地温的近似值。表1给出了换热孔几何尺寸数据，流量，以及估算的土壤热物性参数。 2.2.2 λs ，s s c ρ及R b 的估计
关于土壤热物性参数估计不予详述，这里只作简单介绍。平均水温据进出口温
度计算，()2/,,j out f j in f j f T T T +=；同样，热量()j
out f j in f j T T mCp Q ,,-=。土壤热物性
参数，孔内热阻采用步长加速法(Hook-Reeves 法) [21] 估计，最终估计参数使以下目
标函数最小： ()()
∑-=
n
j
j
test
f j cal
f b s obj T T
R f 2
,,,λ (30)
其中j cal f T ,是基于平均换热量，采用线热源模型式（1）及（24）计算的第j 步平均水温；j test f T , 是实测水温。曾尝试把目标函数定义为()b s s s obj R c f ,,ρλ ，但估计得到的s s c ρ可能超出经验数量级。Austin [20]提到过类似问题。所以最终采取了只有2个独立变量的目标函数 ()b s obj R f ,λ，s s c ρ不作为独立变量，但s s c ρ是必需的，故提出如下关联式：
()()1252.03673.2494.01026-+-?=s s
s s s c λλλρ （8.25.0≤≤s λ） (31) 若,5.0s λ ()()8.2s s s s s c c ρλρ=。如是，s λ,
s s c ρ及b R 可以同时估计，并且s s c ρ的数量级不会超出经验范围。
表1两个换热孔基础数据 Table 1 Basic test data of two boreholes
孔号 No.1 No.2 孔内U 形管根数 2 2 L m 45 70 d b mm 150 150 d o mm 32 32 d i mm 25 25 D mm 100 100 T ∞ °C 18.5 18.5 流量 m 3/h 1.777 1.61 λs W/(K· m) 2.64 2.557 R s C s J/(m 3·K) 2.68×106 2.69×106
R b m·K/W 0.052 0.072 采样间隔
min
1
1
2.2.3 出口温度实测值与数值模拟值比较 基于数值模型，出口温度用算法2计算。△t = 60 s ，r ∞ = 10 m ， △r = (10-0.065)/ (150-1) =0.067 m 。b R 用
3.2.2节方法估计。1号孔的出口温度偏差最大0.6℃，2
号孔出口温度偏差最大0.4℃。文献[16]也给出了2组实测数据验证，大部分情况下的偏差在1℃之内。实测验证表明数值模型具有较高的准确性，并且可用于短步长（△t = 60 s）模拟。
图5 1号换热孔进出水温
Figure 5 Test value vs. numerical value of outlet temperature of No.1 borehole
图6 2号换热孔进出水温
Figure 6 Test value vs. numerical value of outlet temperature of No.2 borehole
2.3比较3: 全年模拟
采用算法1，分别基于线热源解析模型（2），柱热源解析模型（4）和数值模型进行了3次全年模拟。没考虑地下换热器与热泵机组的耦合。假设地下换热器从1月1日0时开始运行，全年逐时负荷如图7所示。本例中冷热不平衡率-0.034 kWh，换热器运行总时间2172h。其余时间建筑没有负荷或者由其他设备（冷却塔，或空气源热泵机组等）承担。模拟基础数据见表2。模型（2）和（4）的时间步长为1 h (3600 s)。数值模拟中，r∞ = 10 m，△r= (10-0.065)/149 = 0.067 m；每小时步分为60子步即△t = 60 s。这里
b
R用式(25)计算。
表2全年模拟换热孔基础数据
Table 2 Basic data for one-year simulation
参数数值
孔内U形管根数 1
L m 80
d b mm 130
d o mm 32
d i mm 25
D mm 100
T∞°C 18
λs W/(K· m) 1.8
R s C s J/(m3·K) 3.5×106
λg W/(K· m) 1.4
λp W/(K· m) 0.4
管内流速m/s 0.85
三个模型计算的全年出口温度如图8所示。出口温度及孔壁温度的局部放大见图9。
需要解释，孔壁温度连续，而出口水温不连续，这是因为地下换热器不运行时，只计算土壤温度，水温不计算。图9再次表明，数值模型与柱热源解析模型基本一致，和线热源解析模型存在一定的偏差（全年最大1.17℃）。
模拟在普通微机（Intel? Core(TM) i3 CPU (530@2.93GHz)， 2G RAM ）上完成。线热源解析模型全年模拟时间1742 s ；柱热源解析模型697 s ；数值模型52 s 。可以预见，如果要进行长期预测（如30年），模型（2）的计算时间远远大于30×1742 s ，模型（4）的计算时间远远大于30×697 s，因为“卷积”长度随模拟步数增加越来越长 ；而数值模型的计算时间仅仅30×52 s。因此，从计算速度来说，一维数值模型具有很大优势。文献[3, 4]给出了一些模型的全年模拟计算时间，从 1 s 到2130 s 不等，该时间不包括事先计算g-函数的时间。可以认为一维数值模型属计算最快之列。
图7 地下换热器全年负荷
Figure 7 Hourly load of borehole heat exchanger during
the whole year
图8 地下换热器全年出口温度
Figure 8 Hourly outlet temperature of borehole heat
exchanger during the whole year
图9 地下换热器出口温度及孔壁温度 Figure9 Segment of hourly outlet temperature and
borehole wall temperature
2.4
讨论
解析模型和数值模型都可以给出水温，据此可以评判地下换热器是否满足热泵机组高效运行条件[16]。解析模型可以给出孔壁温度及土壤其他位置的温度变化，但并不简便快捷。一维数值模型可以同时快速给出水温，土壤温度径向分布。分析土
壤温度场全年变化可以确定钻孔间距[16]。
由于一维数值模型计算快捷，在短时间内可以对多种设计方案进行分析，得到计算结果，从而确定较优的方案。
线热源解析模型（1）、（2）的计算速度及精度，与指数积分函数Ei(x)的计算方法有关系，本文不再详细讨论。
本文没有模拟地源热泵整个系统性能，但通过加入热泵机组模型，并修改算法2，热泵与地下换热器的耦合模拟[2，15]很容易实现。
本文没有考虑轴向传热，某些情况下可能需要考虑轴向效应[22]，则必须采用二维或三维模型，但是必须采取某种方法降低计算时间[23]。
3结论
（1）一维非稳态数值模型与线热源解析模型，柱热源解析模型比较表明，一维数值模型与柱热源解析模型准确性相当，计算速度更快。
（2）一维非稳态数值模型用2组实测数据进行了验证，模拟值与实测值吻合较好。
（3）一维非稳态数值模的空间步长建议取0.033~0.067 m，时间步长建议取60 s。参考文献
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