第一章习题
1.1 已知不变线性系统的输入为
()()x x g comb = 系统的传递函数??
?
??b f Λ。若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '
。并画出输出函数及其频谱的图形。
答：（1）()(){
}1==x x g δF 图形从略， （2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ23
2+1=?
???
??1+3
1+1-31+=F 图形从略。
1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1）如果L a 1<
，W
b 1<，试证明
()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*??
?
????? ??1 证明：
(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f W
f L f rect y x f y x,f y x y x y
x *??
? ????? ??1==∴=????
??=,,F F ,,F ,,F F 1-
（2）如果L a 1>
， W
b 1
>，还能得出以上结论吗？ 答：不能。因为这时(){}(){}()y x y
x bf af rect y x f W
f L f rect y x f ,,F ,,F ≠???
? ??。
1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为
()()()y x y x h δ77=sinc ,
试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。（必要时，可取合理近似） （1）()x y x f π4=1cos ,
答：
()(){}(){}{}{}()(){}{}
{}{}{}x
cos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=???
?
????? ??74=74==1-1
-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,
（2）()()??
? ??75??? ??754=2y rect x rect x cos y x f π, 答：
()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()?
?? ??75??? ??754??
???????? ??77575?75*4=?
?
????7????????? ??75??? ??754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]??
?
??758+1=3x rect x cos y x f π,
答： ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}?
?? ??75=75????
?
????? ??775???
??????? ??7??? ??75*??? ?
?4+81+4-81+=??
?
?
????? ??775*8+1=?
?
?
???7????????? ??758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,
（4）()()()()()y rect x rect x comb
y x f 22*=4, 答：
()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}
()()
x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f com b y 7x sin y rect x rect x com b
y x g y x y x y x y x y x x y
x y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=????
????? ??7??? ??-3-2120-1+6370+1-6370+41=??
??????????? ??7???? ?????? ??2??? ??41=722*=1-1-1
-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ
1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 ()()x x rect x comb x g i Λ*??
???????
??50??? ??331
=
对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。 （1）()??
?
??2=f f H rect （2）()??
? ??2-??? ??4=f f f H rect rect 略.
1.5 若对二维函数
()()ax a y x h 2
=sinc ,
抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。
答：(){}(){}
()y x f δa f ax sinc a y x h ??
?
??==2
ΛF ,F
≤∞21=21≤
∴Y a
B X x ;
也就是说，在X 方向允许的最大抽样间隔小于1/2a ，在y 方向抽样间隔无限制。
1.6 若只能用b a ?表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即 ()()??
? ????? ??????????? ?????
??=b y a x Y y X x
y x g y x g s rect rect comb comb ,, 试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复()y x g ,。 答：因为b a ?表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复()y x g ,也有贡献，不可省略。
1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”()()x y x f δ=,，系统对线脉冲的输出响应称为线响应()x L 。如果系统的传递函数为()
y x f f H ,，证明：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿x f 轴的截面分布()0,x f H 。
证明：(){}()(){}()()
()0==*=,,,F F x y x y f H f f H f δy x h x x L δ
? 线脉冲实质上也是二维的函数，只是沿 方向函数值不变，是常数1。 ()()1,?=x y x f δ
? 系统对线脉冲的输出响应，即线响应也是二维的函数，可表示为
()(){}()δ(),L x L x x h x y δ==*
? 线响应的一维傅里叶变换则为
(){}()(){}()()
()δ,,,0y x y x F L x F x h x y f H f f H f δ=*==
? 这就是系统传递函数沿x f 轴的截面分布 ? 证毕。 ?
这里要注意的一点是
(){}()
y f x δδ=F
这是二维傅里叶变换的特点，另一个变量是隐含着的。
?
从这一题中我们还要引伸出一个重要的概念，即二维传递函数测量可以通过一维线响应，即线扩散函数来测量和计算。因为两维的测量在过去没有图像传感器时是相当困难的，而转换成一维信号就可以用全部光能积分随时间变化的线响应来实现了。
1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间x x B f ≤，y y B f ≤之外恒为零，系统输入为非限带函数()y x g ,0，输出为()y x g ,'
。证明，存在一个由脉冲的方形阵列
构成的抽样函数()y x g ,'0，它作为等效输入，可产生相同的输出()y x g ,'
，并请确定()y x g ,'0。
答：参阅《傅里叶光学（基本概念和习题）》P45。 为了便于从频率域分析，分别设：
物的空间频谱 00(,){(,)}x y A f f g x y =F ； 像的空间频谱 (,){(,)}i x y i A f f g x y =F ； 等效物体的空间频谱 00'(,){'(,)}x y A f f g x y =F ； 等效物体的像的空间频谱 00'(,){'(,)}.x y A f f g x y =F
由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在,x x y y f B f B ≤≤之外恒为零，故可将其记为：
(,)22y x
x y x
y f f
H f f rect rect B B ??
??
? ? ?????
、 利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为
0(,)(,)22(,)
y x x y x y x y i x y f f A f f H f f rect rect B B A f f ????
? ? ?????
= 在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办
法是把0(,)22y x x y x
y f f A f f rect rect B B ??
?? ?
? ?????
安置在x y f f 平面上成矩形格点分布的每一个(2,2)x y B n B m 点周围，选择矩形格点在x f 、y f 方向上的间隔分别为2x B 和2y B ,以免频谱
混叠，于是
()00'(,)(,)2,222y x
x y x y x x y y n m x
y f f
A f f A f f rect rect f
B n f B n B B δ∞∞
=-∞=-∞
????=*-- ? ? ?????∑∑
01(,)22422y y x
x x y x
y
x y x y
f f f
f A f f rect rect comb comb B B B B
B B ????
??
??
=* ? ? ? ? ? ???????
??
对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许0'(,)x y A f f 的中央一个周期成份（0n m ==）通过，所以成像的谱并不发生变化，即
0'(,)(,)22y x
x y x y x
y f f
A f f H f f rect rect
B B ??
??
? ? ?????
'(,)i x y A f f = (,)i x y A f f =
第二章习题：
2.1 一列波长为λ的单位振幅平面光波，波矢量k 与x 轴的夹角为0
30，与y 轴夹角为
060，试写出其空间频率及1z z =平面上的复振幅表达式。
答：λ23
=x f , λf y 21= , ()()()000???
?
??21+=1,,,,U y x e x p j 2j k z e x p z y x U 1λ2λ3π
2.2 尺寸为a ×b 的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面
上的透射光场的角谱。 答：()?
?
? ????? ??=b y rect a x rect y x U , ，??? ????? ??=??? ??λβλλcos b sinc αcos a sinc ab βcos λαcos A , ，
2.3 波长为λ的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的
模板，其振幅透过率为()
??
? ?
?32+150=0λπ0
x cos x t .，求紧靠孔径透射场的角谱。 答:：
??
?
????? ????? ??31
++??? ??31-250+?
?? ??50=?
??
????? ?
???? ??1+33+?
?? ??1-3250+??? ??50=??? ??λβδλλαδλλ
αδλβλαδλβδλαλλδλαλ3λλβλαδλβλαcos cos cos cos cos cos cos cos δcos cos cos cos A .,..,.,
2.4 参看图2-13，边长为a 2的正方形孔径内再放置一个边长为a 的正方形掩模，其中心落
在()ηξ,点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为z 的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。画出0==ηξ时，孔径频谱在x 方向上的截面图。
图2.13 （2.4题图）
答：()
??
?
??-??? ??--?
?? ??2???
??2=000000a ηy rect a ξ
x rect a y rect a x rect y x t , (){}()()()()()()
y x y x y x f f a j2-exp af sinc af sinc a 2af sinc 2af sinc a y x t +-4=2200π,F
()()()??
??????? ????? ??+??? ????? ??-??? ????? ??4???
?
??+1=
2222z y z x a j2-exp z λy a sinc z λx a sinc a z λy 2a sinc z λx 2a sinc a y x 2z k j exp jkz exp z λj y x U λλπ,
()2
222??
? ????? ??+??? ????? ??-??? ????? ??41=z y z x a j2-exp z y a sinc z x a sinc a z y 2a sinc z x 2a sinc a z y x I λλπλλλλλ2,
2.5 图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为a ，长度为b ，中心相距为
d 。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求与它相距为z 的观察平面上夫琅和费衍
射图样的强度分布。假定a b 4=及a d 51=.，画出沿x 和y 方向上强度分布的截面图。如果对其中一个矩形引入位相差π，上述结果有何变化？
图2.14（2.5题图）
答：参阅《傅里叶光学（基本概念和习题）》P73。
（1）如图所示，双缝的振幅透射率是两个中心在(0,)2d
及(0,)2
d
-的矩形孔径振幅透射率之和：
11111122(,)()(
)()()d d
y y x
x t x y rect rect rect rect a
b a b
-
+
=+ （1） 由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场
011(,)1U x y = ，
透射光场
1111110111122(,)(,)(,)()(
)()()d d
y y x
x U x y U x y t x y rect rect rect rect a
b a b
-
+
==+ （2） 由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z 的观察平面上得到夫琅和费衍射图样
11(,)U x y ，它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标00,x y x y
f f z z
λλ=
=），即 {}
22000011exp()exp ()2(,)(,)k jkz j x y z U x y U x y j z
λ??+??
??=?F （3）
利用傅立叶变换的相移定理，得到
{}11111122(,)()()()(
)d d y y x x U x y rect rect rect rect a b a b ?
??
?-+????=+????????????
F F F
sin ()sin ()[exp()exp()]x y y y ab c af c bf j f d j f d ππ=?-+
000
2sin (
)sin ()cos()ax by dy ab c c z z z
πλλλ=?
把它带入（3）式，则有
220000000exp()exp ()2(,)2sin ()sin ()cos()k jkz j x y ax by dy z U x y ab c c j z z z z
πλλλλ??+????=
??
强度分布
222000002(,)sin sin cos ax by dy ab I x y c c z z z z πλλλλ????????= ? ? ? ?????????
不难看出，这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制的结果。
双缝的振幅透射率也可以写成下述形式：
11111111(,),,22x y d d t x y rect rect x y x y a b δδ?????????
?=*-++ ? ? ? ????
????????? （4）
它和（1）式本质上是相同的。由（4）式可以利用卷积定理直接求出其傅立叶变换式，导出与上述同样的结果。
2.6 图2-14所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可用阶跃函数表示为()()00=x x t step 。采
用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅和费衍射图样的复振幅分布。画出在x 方向上的振幅分布曲线。
图2.15 （2.6题图）
答：(
){}(){}()()??? ????
????2+??? ??21=??????21+
2
1
==000z y δx j z z x f δf j f x step y x t y x x λπλλδπδF ,F ()()()()??
? ?????? ?????? ??+21
-??? ??2=
???
????????2+??? ??21???? ??+1=
2
22z y 2z x z jk exp πz y z x z j jkz exp z y δx j z z x y x 2z k j exp jkz exp z j y x U λδx λλδλλπλλδλ,,
振幅分布曲线图从略。
2.7 在夫琅和费衍射中，只要孔径上的场没有相位变化，试证明：（1）不论孔径的形状如
何，夫琅和费衍射图样都有一个对称中心。（2）若孔径对于某一条直线是对称的，则衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。
证明：（1）在孔径上的场没有相位变化时，衍射孔径上的光分布()y x g ,是一个实函数，其傅里叶变换()
y x f f G ,是厄米型函数，即： ()
()
y x y x f f G f f G --=,,*
因此()()
()()y x y x y x y x f f I f f G f f G f f I --=--==2
2
,,,,*，所以夫琅和费衍射图样有一个对
称中心。
（2）孔径对于某一条直线是对称时，以该直线为y 轴建立坐标系。有： ()()y x g y x g ,,-= 因此 ()
()
y x y x f f G f f G ,,*
-= 同时 ()
(
)
y x y x f f G f f G --=,,*
所以
()()()
()()
y x y x y x
y x y x f f G f f G f f
G f f G f f G -==-=-,,,,,*
*
可见衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。
2.8 试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有N 个形状和方位都相同的全等形开孔，在每
一个开孔内取一个相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是下列两个因子的乘积：（1）置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射（该衍射屏的原点处不一定有开孔）；（2）N 个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉。
证明：假设置于原点的一个孔径表示为()
000y x t ,，N 个处于代表孔位置的点上的点光源表
示为
()i
i
N
y y x x --∑,δ，则衍射屏的透过率可表示为
()(
)()i
i
N
y y x x y x t y x t --*=∑00000,,,δ，
其傅里叶变换可表示为
(){}(
){}()?
????
?--?=∑00000i
i
N
y y x x y x t y x t ,F ,F ,F δ，
该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射，第二项对应于N 个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉，因此该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因子的乘积。
2.9 一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数 ()??
? ?????
??21+21=2a r ar r t circ cos （1）这个屏的作用在什么方面像一个透镜？ （2）给出此屏的焦距表达式。
（3）什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置（特别是对于彩色物体）？ 答：参阅《傅里叶光学（基本概念和习题）》P116。 （1）解
衍射屏的复振幅投射率如图所示，也可以把它表示为直角坐标的形式：
22
2211(,)cos[()]22x y t x y x y circ l α??
+??
?=++?? ?????
22
2222111exp[()]exp[()]244x y j x y j x y circ l αα??
+??
?=+-+++??? ????
?
（1） （1）式大括号中第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜位相变换因子2
2exp ()2k j
x y f ??-+????
比较，可见形式相同。当平面波垂直照射时，这两项的作用是分
别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏都有些类似
与透镜，因子22x y circ l ??
+
? ??
?
表明该屏具有半径为l 的圆形孔径。 （2）解
把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较，得到相应的焦距，对于
221exp[()]4j x y α-+项，令1
2k f α=，则有 12k f π
αλα
=
= 焦距1f 为正，其作用相当于会聚透镜，对于221exp[()]4j x y α+项，令2
2k f α-=，则有 12k f π
αλα
=-
=- 焦距2f 为负，其作用相当于发散透镜，对于“1
2
”这一项来说，平行光波直接透过，仅振幅衰减，可看作是 3f =∞ （3）解
由于改衍射屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可以形成三个像，例如对于无穷远的点光源，分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像，另一个像在无穷远（直接透射光）（参看图4.12）。当观察者观察其中一个像时，同时会看到另外的离焦像，无法分离开。如用接收屏接收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。除此以外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都与波长λ成反比。例如取
red 6900A λ=。，blue 4000A λ=。
，则有
4000
6900
red blue f f =
0.57blue f ≈
这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到严重的色散现象。
这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图，即伽柏全息图。
2.10 用波长为
A 6328=λ的平面光波垂直照明半径为mm 2的衍射孔，若观察范围是与衍
射孔共轴，半径为mm 30的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。 答：由式(2.55)221203
+4??)(L L z λπ及式(2-57))(2
12
020y x k z +??有菲涅耳衍射和夫琅和费衍射分别要求 221203
+4??
)(L L z λπ即()mm z 7398=15+110
?63280?4??32223-..π (
)
mm π
y x k z 64964=110
?63280=+2
1??23
-2
020..
2.11 单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a 的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在
轴上的强度分布。 答：圆形孔径的透过率可表示为
()()???
? ??+=∴???? ?
?+=2
200002
2000a y x circ y x U a y x circ y x t ,, 根据式(2.53)有
()()()()()00002020∞∞
-202022????
??+2-??????+2????
?
? ??+??????+2=??dy dx yy xx z j exp y x z k j exp a y x circ y x z k j exp z j jkz exp y x U λπλ, 轴上的振幅分布为
()()()()()??? ????????2-1=??????2=??????+2???? ??+=002200
2002020∞∞
-2020????a z k j exp jkz exp rdrd r z k j exp z j jkz exp dy dx y x z k j exp a y x circ z j jkz exp z U a
θλλπ,,
轴上的强度分布为
()()?
?
?
??44=????????? ??2-12=??? ????????2-1=00222a z k sin a z k cos a z k j exp jkz exp z U 2
,,
2.12 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为 ()
d
x cos b a x t 002+=π
式中，d 为光栅周期，0>>b a ，0>>b a 。观察平面与光栅相距z 。当z 分别取下列各数
值：（1）λ2
2==d z z T ；（2）λ2=2=d z z T ；（3）λ
2=4=2
d z z T （式中T z 称作泰伯距离）
时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。 答：根据式(2.31)单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布为 ()
d
x cos b a y x U 0002+=π,
强度分布为
()2
000??? ?
?2+=d x cos b a y x I π,
角谱为
()()()()?
?
?
????? ??1++??? ??1-2+=+2-??? ?
?2+=??∞
∞-000000y x y x y x y x y x f d f f d f b f f a dy dx f y f x j exp d x cos b a f f A ,,,,δδδππ
传播距离z 后，根据式(2.40)得到角谱
()()()()[]()()()[
]
()[]???
???????? ??-1??? ????? ??1++??? ??1-+=--1???? ?
???? ????? ??1++??? ??1-2+=--1=2
2
22
20d λδδδλλδδδλλjkz exp f d f f d f 2b jkz exp f f a f f jkz exp f d f f d f b f f a f f jkz exp f f A z f f A y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ,,,,,,,,, 利用二项式近似有
()??
? ??-=?????????? ????? ??21-1????
???????? ??-1222d λz πj exp jkz exp jkz exp jkz exp d λd λ
故
[]()???
?
????????-??? ????? ??1++??? ??1-+=2d λz πj exp f d f f d f 2b f f a jkz exp z f f A y x y x y x y x ,,,),,(δδδ
（1）λ
2
2=
=d z z T 时
()????
?
???? ????? ??1++??? ??1-+??????4=22y x y x y x y x f d f f d f 2b f f a λd πj exp z f f A ,,,),,(δδδ 与()
y x f f A ,0仅相差一个常数位相因子，因而观察平面上产生的强度分布与单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。
（2）λ
2
=2=d z z T 时 ()????
?
???? ????? ??1++??? ??1--??????4=22y x y x y x y x f d f f d f 2b f f a d j exp z f f A ,,,),,(δδδλπ 对应复振幅分布为
()d
d x cos2b a d x
cos b a y x U 2-+=2-=π
π, 因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布。
（3）λ
2=4=2
d z z T []()????
?
???????2-??? ????? ??1++??? ??1-+=πδδδj exp f d f f d f 2b f f a jkz exp z f f A y x y x y x y x ,,,),,( 对应复振幅分布为
()
()??
?
??
?
2-=d x cos jb a jkz exp y x U π, 强度分布为
()
d
x cos b a y x I 2
π
2+=22,
2.13 图2.16所示为透射式锯齿型位相光栅。其折射率为n ，齿宽为a ，齿形角为α，光栅
整体孔径为边长L 的正方形。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求距离光栅为z 的观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。若让衍射图样中的某个一级谱幅值最大，α应如何选择？
图2.16（2.13题图）
答：在如图的透射式锯齿型位相光栅中，单位振幅的单色平面波由光栅的背后平面入射垂直照明，则在齿顶平面形成的光波复振幅分布可表示为 ()
()()??? ????? ???
?
? ??1*??? ??=00L y rect L x rect a x comb a a x rect 1n-jkxtg exp y x U α,
其角谱为
()()
()()()()()()()()()()()()y x y x x y x y x x y x y x x x y x 00y x sincLf sincLf L f m af n tg f a sinc a sincLf sincLf L f af com b n tg f a sinc a sincLf sincLf L f af com b
af asinc n tg f dy dx f y f x j exp y ,x U f f A 22
2∞
∞
-0
0000*???
? ??-???? ????? ??1--=*???? ?????? ????? ??1--=*??
? ???*??? ??
1--=+2-=∑??δδλαδλαδλαδπ,
若让衍射图样中的m 级谱幅值最大，应选择α使得 ()a m
λ1n-αtg = 因而有 a
λm tg n α1-1-1=
2.14 设)(x u 为矩形函数，试编写程序求41=p ，21，43时，其分数阶傅里叶变换，
并绘制出相应()
()ξp U
的曲线。
答：根据分数阶傅里叶变换定义式(2.62)
()(){}()
()dx x g x j x j j x g G a ?∞
∞
-???
???-+???
???
????????????????? ??--==αξαξαπαπξsin tg 2exp sin 22exp 222
1
F 以及式 π
α
2
=p (2.79) 即可编程计算41=p ，21，43时的分数阶傅里叶变换。 \
第三章 习题
3.1 参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时，对于积分号前的相
位因子
???
?
???????? ??+≈??????+2220
202002exp )(2exp M y x d k j
y x d k j i i 试问
（1）物平面上半径多大时，相位因子
??
????+)(2exp 20200y x d k j
相对于它在原点之值正好改变π弧度？
（2）设光瞳函数是一个半径为a 的圆，那么在物平面上相应h 的第一个零点的半径是
多少？
（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a ，λ和d o 之间存在什么关系
时可以弃去相位因子
??
????+)(2exp 20200y x d k j 3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为 00002cos 2
1
21),(x f y x t π+=
放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在x 0z 平面内，与z 轴夹角为θ。透镜焦距为f ，孔径为D 。
（1）求物体透射光场的频谱；
（2）使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；
(3) 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ=0时的截止频率比较，结论如何？
3.3光学传递函数在f x = f y =0处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？
3.4当非相干成像系统的点扩散函数h I （x i ，y i ）成点对称时，则其光学传递函数是实函数。
3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a ，出瞳到像面的距离为d i ，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？
3.6 试用场的观点证明在物的共轭面上得到物体的像 解：如图
设1∑是透过率函数为),(00y x t 的物平面，2∑是与1∑共轭的像平面，即有
f
d d i 1110＝+ ),(00y x t
),(i i y x
0d
i d
),(y x
式中f 为透镜的焦距，设透镜无像差，成像过程分两步进行：
（1） 射到物面上的平面波在物体上发生衍射，结果形成入射到透镜上的光场l U ； （2） 这个入射到透镜上的光场经透镜作位相变换后，在透镜的后表面上形成衍射场
'
l U ，这个场传到像面上形成物体的像。
为了计算光场，我们用菲涅耳近似，透镜前表面的场为
??∞∞
-+-++=000
002
0200002
222dy dx d yy xx jk d y x jk y x t d λj d y x jk U i l )exp()exp(),()exp( 这里假定),(00y x t 只在物体孔径之内不为零，所以积分限变为∞±，此积分可以看成
是函数)exp(),(0
2
20002d y x jk y x t +的傅立叶变换，记为),(y x f f F ，其中
0d λy
f d λx f y x =
=
, 在紧靠透镜后表面处
)exp(),()
exp('f
y x jk f f F d λj d y x jk U y x l 222200
22++=
这个被透镜孔径所限制的场，在孔径上发生衍射，在用菲涅耳近似，便可得到像面2∑上的光场
??∞∞
-+-+'+=dxdy d yy xx jk f y x jk U d λj d y x jk y x U i
i
i l i i i i i i i )exp()exp()exp(),(222
22
2
??∞∞
-+-++-++=dxdy
d yy xx jk d y x jk f y x jk d λj d y x jk f f F d λj d y x jk i
i
i i
y x i
i
i
i )e xp()e xp()e xp()e xp(),()e xp(22222
222002
22
2
??∞
∞
-+--+++=dxdy d yy xx jk f d d y x jk f f F d d λd y x jk i i i i y x i i i
i )exp()](exp[),()exp(1
112202202
2
2
由题设知，
01
110=-+f
d d i 并且假定透镜孔径外的场等于零，且忽略透镜孔径的限制，所以将上式中的积分限写成无穷，于是上述积分为
??∞
∞
-+-+-=dxdy d yy xx jk f f F d d λd y x jk y x U i i
i y x i i i
i i i i )exp(),()exp(),(02
2
22
??∞
∞
-+-+-=dxdy d λy y d λx x πj f f d λy
d λx F d d λd y x jk i i i i y x i i i
i )(exp(),,()exp(2200022
2 注意
,,,0
000d λdy
df d λdx df d x d x y x i i ==-= 于是得 ??∞
∞
-+-+-=y x y x y x i i
i
i i i i df df yf xf πj f f F d d d y x jk y x U ))(exp(),(/)exp(),(220
2
2
2
20
0022022d y x jk y x t d y x jk d d i i i i ++-=exp(),()exp(
),()exp()exp(000
2
02022022y x t d y x jk d y x jk d d i i i i ++-=
再考虑到0x 和i x 之间的关系得到
),(i
i i i i i d d
y d d x t d d U 000--=
即得到像平面上倒立的，放大
d d i
倍的像。
一、填空题 1、光学系统中物和像具有共轭关系的原因是 。 2、发生全反射的条件是 。 3、 光学系统的三种放大率是 、 、 ，当物像空间的介质的折射率给定后，对于一对给定的共轭面，可提出 种放大率的要求。 4、 理想光学系统中，与像方焦点共轭的物点是 。 5、物镜和目镜焦距分别为mm f 2'=物和mm f 25'=目的显微镜，光学筒长△= 4mm ，则该显微镜的视放大率为 ，物镜的垂轴放大率为 ，目镜的视放大率为 。 6、 某物点发出的光经理想光学系统后对应的最后出射光束是会聚同心光束，则该物点所成的是 (填“实”或“虚”)像。 7、人眼的调节包含 调节和 调节。 8、复杂光学系统中设置场镜的目的是 。 9、要使公共垂面内的光线方向改变60度，则双平面镜夹角应为 度。 10、近轴条件下，折射率为1.4的厚为14mm 的平行玻璃板，其等效空气层厚度为 mm 。
11、设计反射棱镜时，应使其展开后玻璃板的两个表面平行，目的 是。 12、有效地提高显微镜分辨率的途径是。 13、近轴情况下，在空气中看到水中鱼的表观深度要比实际深度。 一、填空题 1、光路是可逆的 2、光从光密媒质射向光疏媒质，且入射角大于临界角I0，其中，sinI0=n2/n1。 3、垂轴放大率；角放大率；轴向放大率；一 4、轴上无穷远的物点 5、－20；－2； 10 6、实 7、视度瞳孔 8、在不影响系统光学特性的的情况下改变成像光束的位置，使后面系统的通光口径不致过大。 9、30 10、10 11、保持系统的共轴性 12、提高数值孔径和减小波长
13、小 二、简答题 1、什么是共轴光学系统、光学系统物空间、像空间？ 答：光学系统以一条公共轴线通过系统各表面的曲率中心，该轴线称为光轴，这样的系统称为共轴光学系统。物体所在的空间称为物空间，像所在的空间称为像空间。 2、如何确定光学系统的视场光阑？ 答：将系统中除孔径光阑以外的所有光阑对其前面所有的光学零件成像到物空间。这些像中，孔径对入瞳中心张角最小的一个像所对应的光阑即为光学系统的视场光阑。 3、共轴光学系统的像差和色差主要有哪些？ 答：像差主要有：球差、慧差（子午慧差、弧矢慧差）、像散、场曲、畸变；色差主要有：轴向色差（位置色差）、倍率色差。 4、对目视光学仪器的共同要求是什么？ 答：视放大率| | 应大于1； 通过仪器后出射光束应为平行光束，即成像在无限远，使人眼相当观察无限远物体，处于自然放松无调节状态。 5、什么叫理想光学系统？ 答：在物像空间均为均匀透明介质的条件下，物像空间符合“点对应点、直线
第二章 信息光学的数学基础 ◆引言 在这一节，我们将以简明的格式，全面地罗列傅里叶变换和卷积、相关及其主要性质，着重从光学眼光看待那些公式和数学定理，给出相应的光学显示或光学模拟，这有助于生动地理解、掌握傅里叶变换和卷积、相关，其意义就不仅仅限于光学领域了。 2.1傅里叶变换 ◆傅里叶级数 首先．让我们回忆周期函数的傅里叶级数展开式， 这里，)(x g 称为原函数，n G 称为博里叶系数或频谱值，它是傅里叶分量n f x i e 2π的 幅值． ◆频谱的概念 频谱的概念，广义上讲就是求一个函数的傅立叶级数或一个函数的傅立叶变换。因此，傅立叶分析也称频谱分析。频谱分为振幅型频谱和相位型频谱。相位型频谱用的较少，通常提到的频谱大都指振幅型频谱。 为了更深刻的理解不同形式的频谱概念，以实例来进一步说明。对于光栅我们可以用透过率函数)(x g 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形波函数。为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N 无限大 . )(x g 是周期性函数 则： 上式表明，图中表示的矩形波可以分解为不同频率的简谐波,这些简谐波的频率为 ), ()(md x g x g +=) ,2,1,( ±±=m ++-+=)52cos(52)32cos(32)2cos(221)(000x p x f x f x g ππππππ
这里f 称为空间频率. 0f 是f 的基频.。周期性函数的频谱都是分立的谱,各谱线的频率为基频整数倍.在f =0处有直流分量. 透过率函数也可用复数傅里叶级数表示: 再回到光栅装置.由光栅方程, 在近轴条件下 因此透镜后焦面上频率为 当单色光波入射到待分析的图象上时,通过夫琅和费衍射,一定空间频率的信息就被一定特定方向的平面衍射波输送出来. 这些衍射波在近场彼此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而达到分频的目的. 故傅立叶变换能达到分频的目的。 ◆傅里叶变换 在现实世界中，不存在严格意义下的周期函数，非周期变化是更为普遍的现象．从数学眼光看，非周期函数可看作周期∞→d 的函数．据此，可将上述傅里叶级数求和式过渡到积分表达式．结果如下， 上式(*******)称为傅里叶变换，下式******)称为博里叶逆变换．对于二维情形，傅里叶变换和逆变换的积分式为 简单地表示为 ,5 ,3,1, d d d f =x f i n x f i x f i x f i x p i x f i x f i n e G e e e e e e x g 25252323222 )(51)(31)(121)(000000ππππππππ ππ∑ =++++-++=--- ,sin λθn d =) ,2,1,0( ±±=n ,sin 0λλθnf d n f x =='≈λ f x nf f '==0
总复习 第一章几何光学的基本定律返回内容提要 有关光传播路径的定律是本章的主要问题。 折射定律(光学不变量)及其矢量形式 反射定律(是折射定律当时的特殊情况) 费马原理(极端光程定律)，由费马原理导出折射定律和反射定律(实、虚)物空间、像空间概念 完善成像条件(等光程条件)及特例 第二章球面与球面系统返回内容提要 球面系统仅对细小平面以细光束成完善像 基本公式： 阿贝不变量放大率及其关系： 拉氏不变量 反射球面的有关公式由可得。 第三章平面与平面系统返回内容提要
平面镜成镜像 夹角为α的双平面镜的二次像特征 平行平板引起的轴向位移 反射棱镜的展开，结构常数，棱镜转像系统 折射棱镜的最小偏角，光楔与双光楔 关键问题：坐标系判断，奇次反射成像像，偶次反射成一致像，并考虑屋脊的作用。第四章理想光学系统返回内容提要 主点、主平面，焦点、焦平面，节点、节平面的概念 高斯公式与牛顿公式： 当时化为，并有三种放大率 ，， 拉氏不变量 ，，
厚透镜：看成两光组组合。 ＋＋组合：间隔小时为正光焦度，增大后可变成望远镜，间隔更大时为负光焦度。 －－组合：总是负光焦度 ＋－组合：可得到长焦距短工作距离、短焦距长工作距离系统，其中负弯月形透镜可在间隔增大时变 成望远镜，间隔更大时为正光焦度。 第五章光学系统中的光束限制返回内容提要 本部分应与典型光学系统部分相结合进行复习。 孔阑，入瞳，出瞳；视阑，入窗，出窗；孔径角、视场角及其作用 拦光，渐晕，渐晕光阑 系统可能存在二个渐晕光阑，一个拦下光线，一个拦上光线 对准平面，景像平面，远景平面，近景平面，景深 物方（像方）远心光路——物方（像方）主光线平行于光轴 第六章光能及其计算返回内容提要 本章重点在于光能有关概念、单位和像面照度计算。 辐射能通量，光通量，光谱光视效率，发光效率 发光强度，光照度，光出射度，光亮度的概念、单位及其关系 光束经反射、折射后亮度的变化，经光学系统的光能损失 ， 通过光学系统的光通量，像面照度 总之,
应用光学习题. 第一章 : 几何光学基本原理 ( 理论学时： 4 学时 ) ?讨论题：几何光学和物理光学有什么区别它们研究什么内容 ?思考题：汽车驾驶室两侧和马路转弯处安装的反光镜为什么要做成凸面，而不做成平面 ?一束光由玻璃（ n= ）进入水（ n= ），若以45 ° 角入射，试求折射角。 ?证明光线通过二表面平行的玻璃板时，出射光线与入射光线永远平行。 ?为了从坦克内部观察外界目标，需要在坦克壁上开一个孔。假定坦克壁厚为 200mm ，孔宽为 120mm ，在孔内部安装一块折射率为 n= 的玻璃，厚度与装甲厚度相同，问在允许观察者眼睛左右移动的条件下，能看到外界多大的角度范围 ?一个等边三角棱镜，若入射光线和出射光线对棱镜对称，出射光线对入射光线的偏转角为40 °，求该棱镜材料的折射率。 ?构成透镜的两表面的球心相互重合的透镜称为同心透镜，同心透镜对光束起发散作用还是会聚作用?共轴理想光学系统具有哪些成像性质 第二章 : 共轴球面系统的物像关系 ( 理论学时： 10 学时，实验学时： 2 学时 ) ?讨论题：对于一个共轴理想光学系统，如果物平面倾斜于光轴，问其像的几何形状是否与物相似为什么 ?思考题：符合规则有什么用处为什么应用光学要定义符合规则 ?有一放映机，使用一个凹面反光镜进行聚光照明，光源经过反光镜以后成像在投影物平面上。光源高为 10mm ，投影物高为 40mm ，要求光源像高等于物高，反光镜离投影物平面距离为 600mm ，求该反光镜的曲率半径等于多少 ?试用作图法求位于凹的反光镜前的物体所成的像。物体分别位于球心之外，球心和焦点之间，焦点和球面顶点之间三个不同的位置。 ?试用作图法对位于空气中的正透镜（）分别对下列物距： 求像平面位置。
第四章 标量衍射理论 如图所示，衍射理论所要解决的问题是：光场中任一点Q 的复振幅能否用光场中其它各点的复振幅表示出来，例如由孔径平面上的场分布计算孔径后面任一点处的复振幅．显然，这是一个根据边界值求解波动方程的问题． 4.1 标量衍射理论 ◆惠更斯—菲涅耳原理及其数学形式 历史上第一个给出求解衍射理论所要解决问题的学者，是法国物理学家菲涅耳(A ．J ．Fresnel ，1788—1827)．他汲取了惠更斯原理中的次波概念，并以光波干涉的思想补充了惠更斯原理，提出了“次波相干叠加”的理念，据此成功地解释了衍射现象，它为衍射现象的分析确立了一个统一的理论框架，从此光波衍射研究进入了正确轨道．后人称之为惠更斯—菲涅耳原理的内容，可表述如下：波前上的每个面元可以看为次波源，它们向四周发射次波；波场中任一场点的扰动，是所有次波源所贡献的次级扰动的相干叠加，见下图 参见上图，设波前上任一面元dS 对场点P 贡献的次级扰动为)(p dU ，则场点的总扰动)(p U 按惠更斯—菲涅耳原理应当表达为 其中
上述积分称为菲涅耳衍射积分式，它可以作为惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式。 ◆基尔霍夫衍射积分式 约六十年后的1880年，德国物理学家基尔霍夫，从定态波场的亥姆霍兹方程出发，利用矢量场论中的格林公式，在1>>kr ，即λ>>r 条件下，导出了无源空间边值定解的表达式， 与菲涅耳凭借朴素的物理思想所构造的衍射积分式(*****)比较，两者主体结构是相同的．基 尔霍夫的新贡献是： (1)明确了倾斜因子2/)cos (cos ),(00θθθθ+=f ，据此，那些2/πθ>的次波面元依然对场点扰动有贡献，即闭合波前面上的各次波源均对场点扰动有贡献． (2)给出了比例系数，λλπ//2 /i e i K -=-=． (3)指出波前面( ∑ )并不限丁等相面，凡是隔离实在的点光源与场点的任意闭合面，都 可以作为衍射积分式中的积分面，如图（a,b,c ） 所示．形象地说，立足于场点P 而环顾四周是看不见真实光源的，看到的只有边界面上的大量次波源，在这个被包围的空间中是无源的．积分面不限于等相面这一点．有重要理论价值．它为求解实际衍射场分行大开方便之门。 ◆亥姆霍兹方程 在自由空间中电磁场),(t r E ),(t r H 具有波动性，满足波动方程 若以标量场),(~ t r U 代表六个分量中的任一个，则波动方程表现为
第一章例题 1．P20习题1（部分）：已知真空中的光速c=3í108m/s,求光在火石玻璃（n=1.65）和加拿大树胶（n=1.526）中的光速。 解：根据折射率与光速的关系 v c n = 可求得 火石玻璃 )/(10818.165 .11038 8 11s m n c v ?=?== 加拿大树胶 )/(10966.1526 .110388 22s m n c v ?=?== 3．P20习题5， 解：设水中一点A 发出的光线射到水面。 若入射角为I 0（sinI 0=n 空/ n 水 ），则光线沿水面掠射；据光路可逆性，即与水面趋于平行的光线在水面折射进入水中一点A ，其折射角为I 0（临界角）。 故以水中一点A 为锥顶，半顶角为I 0 的 圆锥范围内，水面上的光线可以射到A 点（入射角不同）。因此，游泳者向上仰 望，不能感觉整个水面都是明亮的，而只 能看到一个明亮的圆，圆的大小与游泳者 所在处水深有关，如图示。满足水与空 气分界面的临界角为 75.033 .11 sin 0== I 即 '36480?=I ， 若水深为H ，则明亮圆的半径 R = H tgI 0 4. ( P20习题7 ) 解：依题意作图如图按等光程条件有： ''''1OA n O G n MA n GM n ?+?=?+? 即 .1)100(5.112 2 1+=+-?++O G y x x O G
所以 x y x -=+-?150)100(5.122 两边平方得 222)150(])100[(25.2x y x -=+- 2223002250025.245022500x x y x x +-=++- 025.225.115022=++-y x x 0120101822=-+x x y ——此即所求分界面的表达式。 第二章例题 1．（P53习题1）一玻璃棒（n =1.5），长500mm ，两端面为半球面，半径分别为50mm 和100mm ，一箭头高1mm ，垂直位于左端球面顶点之前200mm 处的轴线上，如图所示。试求： 1）箭头经玻璃棒成像后的像距为多少？ 2）整个玻璃棒的垂轴放大率为多少？ 解：依题意作图如图示。 分析：已知玻璃棒的结构 参数：两端面的半径、间 隔和玻璃棒材料的折射率 n ，以及物体的位置和大小， 求经玻璃棒之后所成像的位置和大小。解决这一问题可以采用近轴光学基本公式（2.13）和（2.15），即单个球面物像位置关系式和物像大小关系式，逐面进行计算。 1）首先计算物体（箭头）经第一球面所成像的位置： 据公式（2.13）有 1111111'''r n n l n l n -=- ， 将数据代入得 50 1 5.12001'5.11-=--l 解得 )(300 '1mm l =； 以第一球面所成的像作为第二球面的物，根据转面公式（2.5）可求出第二面物距 )(200500300'12mm d l l -=-=-= 对第二球面应用公式（2.13）得 2222222'''r n n l n l n -=- 即 100 5 .112005.1'12--=--l
中 国 海 洋 大 学 命 题 专 用 纸 (首页) 2005-2006学年第 二 学期 试题名称: 应用光学 A 课程号： 共 2 页 第 1 页 专业年级__物理学2003_____ 学号___________ 姓名____________ 考试日期（考生填写）_______年____月__日 分数_________ 一．简答题（15分）（写在答卷纸上） 1．（5分）物理光学研究什么内容？几何光学研究什么内容？ 2．（5分）什么是场镜？场镜的作用是什么（要求写出两种作用）？ 3．（5分）写出轴外点的五种单色像差的名称。 二．作图题（15分）(画在试卷上) 4．（５分）已知焦点F 和F ’和节点J 和J ’（见图2），求物方主点H 和像方主点H ’ 。 5．（10分）应用达夫棱镜的周视瞄准仪示意图(见图1)，分别标出A 、B 、C 、D 点光的坐标方向。 J F ’ F J ’ 图2 z y x A B C D 图1
授课教师 李颖命题教师或命题负责人 签字李颖 院系负责人 签字 年月日 注：请命题人标明每道考题的考分值。 中国海洋大学命题专用纸（附页） 2005-2006学年第二学期试题名称: 应用光学课程号：共 2 页第 2 页
三．计算题（70分） 6．（10分）某被照明目标，其反射率为ρ=，在该目标前15m距离处有一200W的照明灯，各向均匀发光，光视效能（发光效率）为30lm/W，被照明面法线方向与照明方向的夹角为0度。 求：（1）该照明灯的总光通量；（2）被照明目标处的光照度；（3）该目标视为全扩散表面时的光亮度。 7．（10分）显微镜目镜视角放大率为Γe=10，物镜垂轴放大率为β=-2，NA=，物镜共轭距为180mm，物镜框为孔径光阑，求：（1）显微镜总放大率，总焦距。（2）求出瞳的位置和大小。8．（15分）一个空间探测系统（可视为薄透镜），其相对孔径为1:，要求将10km处直径为２ｍ的物体成像在1/2英寸的探测器靶面上，物体所成像在探测器靶面上为内接圆，问此系统的焦距应该为多少？口径为多少？所对应的最大物方视场角是多少？（一英寸等于毫米，探测器靶面长与宽之比为４:3） 9．（10分）有一个薄透镜组，焦距为100mm，通过口径为20mm，利用它使无限远物体成像，像的直径为10mm，在距离透镜组50mm处加入一个五角棱镜（棱镜的玻璃折射率为，透镜展开长度为L=，D为棱镜第一面上的通光口径），求棱镜的入射面和出射面的口径，通过棱镜后的像面位置。 10．（15分，A、B任选） A．有一个焦距为50mm的放大镜，直径D=40mm，人眼（指瞳孔）离放大镜20mm来观看位于物方焦平面上的物体，瞳孔直径为4mm。求系统的孔径光阑，入瞳和出瞳的位置和大小，并求系统无渐晕时的线视场范围。 B．有一开普勒望远镜，视放大率Γ=8，物方视场角2ω=8?，出瞳直径为6mm，物镜和目镜之间的距离为180mm，假定孔径光阑与物镜框重合，系统无渐晕，求（1）物镜焦距，目镜焦距；（2）物镜口径和目镜口径；（3）出瞳距离。 11．（10分，要求用矩阵法求解）有一个正薄透镜焦距为8cm，位于另一个焦距为－12cm的负薄透镜左边6cm处，假如物高3cm，位于正透镜左边的24cm处，求像的位置和大小。 四．附加题（10分） 12．谈谈你对《应用光学》课程教学和课程建设的设想和建议。
武汉理工大学考试试题纸（A卷） 课程名称应用光学专业班级0501～03 题号一二三四五六七八九十总分 题分 备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题 一、选择题（每题1分，共5分） 1．发生全反射现象的必要前提是： A)光线由光疏介质到光密介质传播B) 光线由光密介质到光疏介质传播 C)光线在均匀介质中传播D) 以上情况都可能产生 2．周视照相机可以拍摄大视场景物，其利用的： A)节点的性质B)主点的性质C)焦点的性质D)以上答案都正确 3．在望远镜的视度调节中，为适应近视人群，应采取的是： A)使物镜远离目镜B)使目镜远离物镜C)使目镜靠近物镜D)应同时调节物镜和目镜 4．棱镜系统中加入屋脊面，其作用是： A 改变光轴的方向B)改变主截面内像的方向C)改变垂轴于主截面方向上像的方向D)以上都正确5．光学系统中场镜的作用是： A)改变成像光束的位置B)减小目镜的尺寸C)不改变像的成像性质D)以上都正确 二、填空题（每题2分，共10分） 1．显微镜中的光学筒长指的是（）2．光学系统中像方顶截距是（）3．用波像差评价系统成像质量的瑞利准则是（）4．望远系统中物镜的相对孔径是（）5．棱镜的转动定理是（） 三、简答题（共20分） 1．什么叫孔径光阑？它和入瞳和出瞳的关系是什么？（4 分） 2．什么叫视场光阑？它和入窗和出窗的关系是什么？（4 分） 3．几何像差主要包括哪几种？（4 分） 4. 什么叫远心光路？其光路特点是什么？（4 分）
四、分析作图题（共25分） 1.已知正光组的F和F’，求轴上点A的像，要求用五种方法。（8分） 2. 已知透镜的焦距公式为f '= nr1 ，l 'H= -f ' n -1 d ， l H = - f ' n -1 d ， ? r d ? nr nr ( n -1 ) ? n( 1 - 1 ) + ( n -1) ? 1 2 ? r2 r 2 ? 分析双凹透镜的基点位置，并画出FFL、BFL和EFL的位置。（9分） 3. 判断下列系统的成像方向，并画出光路走向（8分） （a）（b） 五、计算题（共35分） 1．由已知f1'=50mm，f2' = -150mm的两个薄透镜组成的光学系统，对一实物成一放大 4 倍的实像，并且第一透镜的放大率β1= -2?，试求：1.两透镜的间隔；2.物像之间的距离；3.保持物面位置不变，移动第一透镜至何处时，仍能在原像面位置得到物体的清晰像？与此相应的垂铀放大率为多大?（15分）2.已知一光学系统由三个零件组成，透镜1：f1'= -f1=100，口径D1=40；透镜2：f2' = -f2=120， 口径D2=30，它和透镜1之间的距离为d1=20；光阑3口径为20mm，它和透镜2之间的距离d2= 30。物点A的位置L1= -200，试确定该光组中，哪一个光孔是孔径光阑，哪一个是视场光阑？（20分）
第一章 1、游泳者在水中向上仰望，能否感觉整个水面都是明亮的？（不能，只能感觉到一个明亮的圆，圆的大小与游泳都所在的水深有关，设水深H，则明亮圆半 径R Htglc） 2、有时看到窗户玻璃上映射的太阳光特别耀眼，这是否是由于窗玻璃表面发生了全反射现象？ 答：是。 3、一束在空气中波长为589.3nm的钠黄光从空气射入水中时，它的波长 将变为多少？在水中观察这束光时其颜色会改变吗？ 答：n —；，' 442nm 不变 4、一高度为1.7m的人立于路灯边（设灯为点光源）1.5m远处，路灯高度为 答：设影子长x，有: x 17 ??? x=0.773m x 1.5 5 5、为什么金钢石比磨成相同形状的玻璃仿制品显得更加光彩夺目？ 答：由于金钢石折射率大，所以其临界角小，入射到其中的光线大部分都能产生全反射。 6为什么日出或日落时太阳看起来稍微有些发扁？（300例P1） 答：日出或日落时，太阳位于地平线附近，来自太阳顶部、中部和底部的光线射向地球大气层的入射角依次增大（如图）。同时，大气层密度不均匀，折射率水接近地面而逐渐增大。 当光线穿过大气层射向地面时，由于n逐渐增大，使其折射角逐渐减小，光线的传播路径就发生了弯曲。我们沿着光线去看，看到的发光点位置会比其实际位置高。另一方面，折射光线的弯曲程度还与入射角有关。入射角越大的光线，弯曲越厉害，视觉位置就被抬得越高，因为从太阳上部到下部发出的光线，入射角依次增大，下部的视觉位置就依次比上部抬高的更多。
第二章 1、如图2-65所示，请采用作图法求解物体AB的像，设物像位于同一种介质空间。 图2-65 2、如图2-66所示，MM '为一薄透镜的光轴，B为物点，B'为像点，试采用作 图法求解薄透镜的主点及焦点的位置。
第二章 例 题 例题2.1 凸平透镜r 1=100mm ，r 2=∞，d=300mm ，n=1.5，当物体在-∞时候， 1）求高斯像面的位置； 2）在平面上刻十字，问其共轭像在什么位置； 3）当入射高度为h=10mm ，问光线的像方截距是多少？和高斯像面相比相差多少？说明什么问题？ 解： 1）根据近轴光线光路计算公式可以求出高斯像面的位置。 将1111,' 1.5,1,100l n n r mm =-∞===代入单个折射球面成像公式 '''n n n n l l r --= ，可以求得1'300l mm =。又由题意d=300mm ，发现此时所成的像在凸平透镜的第二面上。 2）由光路可逆原理知道，若在平面上刻十字，其共轭像应在物方 -∞处。 3）当入射高度为h=10mm 时，光路如下图所示：
此时利用物在无限远时，L =?∞时， 公式sin sin 'sin ' ''sin ''(1)sin 'h I r n I I n U U I I I L r U ?=?? ?=???=+-? ?=+?? 中的第一和第四式求解得： ※ 光线经过第一面折射时，11110 sin 0.1100 h I r = ==，所以1 5.739o I =。又11111sin 'sin 0.10.06667' 1.5 n I I n = =?=，所以1'a r c s i n 0.066673.822o I ==， 1111''(0 5.739 3.822) 1.9172o o U U I I =+-=+-=， 1111sin '0.0667'11001299.374sin '0.0334547I L r mm U ??? ?=?+=?+= ? ????? 。 ※ 光线再经过第二个面折射，21'0.626L L d mm =-=-，21' 1.9172o I U -==，则2 222sin 'sin 1.5sin1.91720.05018' o n I I n = =-=-，2' 2.87647o I =-。 2222'' 1.9172 1.9172 2.87647 2.87647o o o o U U I I =+-=-+=。 由三角关系知道：21tan '0.626tan1.91720.02095o x L U mm ==-=-， 20.02095 '0.4169tan 2.87647 o L mm =- =-。即此时像与高斯像面的距离为-0.4169mm 。 说明：正透镜，负球差！ 例题2 一个玻璃棒（n=1.5）长500mm ，两端为半球面，半径分别是50mm 和-100mm ，物体高1mm ，垂直于左端球面顶点之前200mm 处的轴线上，试求：
《信息光学》教学大纲 课程编号：PY5402 课程名称：信息光学英文名称：Information Optics 学分/学时：3/48 课程性质：必修 适用专业：应用物理学建议开设学期：第六学期 先修课程：光学、电动力学，信号与系统开课单位：物理与光电工程学院 一、课程的教学目标与任务 本课程为应用物理学专业的一门专业必修课。在经典光学基础上，利用线性系统理论和傅里叶分析方法分析光学问题，从光的物理本质电磁波出发，系统学习现代光学的基础理论,其中包括标量衍射理论，光学成像系统频率特性以及光学全息等；学习空间光调制器、光信息存储、光学信息处理等应用技术原理以及最新技术进展。 二、课程具体内容及基本要求 (一) 二维线性系统分析 (2学时) 线性系统，二维线性不变系统，二维傅里叶变换，抽样定理 1.基本要求 （1）掌握二维线性不变系统特点和分析方法。 （2）掌握傅里叶变换性质和常用函数的傅里叶变换。 2.重点、难点 重点：二维线性不变系统的定义、传递函数以及本征函数 难点：将线性系统理论应用于光学系统分析的条件 3.作业及课外学习要求：本章主要复习线性系统理论和傅里叶变换相关概念，初步了解线性系统理论研究光学系统相关理论和方法的条件和特点。 （二）标量衍射的角谱理论（8学时） 光波数学描述，复振幅分布的角谱及角谱传播，标量衍射的角谱理论，菲涅耳衍射和夫琅和费衍射 1.基本要求 （1）掌握平面波空间频率的概念和计算方法。 （2）掌握标量衍射的角谱理论（基尔霍夫衍射、菲涅耳衍射和夫琅和费衍射） （3）掌握夫琅和费衍射与傅里叶变换关系 （4）了解菲涅耳衍射与分数傅里叶变换关系 2.重点、难点 重点：平面波空间频率概念和标量衍射角谱理论 难点：（1）基尔霍夫衍射公式的光学物理意义 （2）复振幅分布和标量衍射理论的角谱理论物理意义 3.作业及课外学习要求：本章主要介绍光波传播过程中的空间域以及空间频域描述方法，是本课程理论基础，其研究方法、研究特点以及结论和公式是此后各章都要用到的，本
第二章 习题 2-1. 如图所示，两相干平行光夹角为α，在垂直于角平分线的方位上放置一观察屏，试证明屏上的干涉亮条纹间的宽度为： 2 sin 2α λ = l 。 2-2. 如图所示，两相干平面光波的传播方向与干涉场法线的 夹角分别为0θ和R θ，试求干涉场上的干涉条纹间距。 2-3. 在杨氏实验装置中，两小孔的间距为0.5mm ，光屏离小孔的距离为50cm 。当以折射率为1.60的透明薄片贴住小孔S2时，发现屏上的条纹移动了1cm ，试确定该薄片的厚度。 2-4. 在双缝实验中，缝间距为0.45mm ，观察屏离缝115cm ，现用读数显微镜测得10个条纹（准确地说是11个亮纹或暗纹）之间的距离为15mm ，试求所用波长。用白光实验时，干涉条纹有什么变化？ 2-5. 一波长为0.55m μ的绿光入射到间距为0.2mm 的双缝上，求离双缝2m 远处的观察屏上干涉条纹的间距。若双缝距离增加到2mm ，条纹间距又是多少？ 2-6. 波长为0.40m μ～0.76m μ的可见光正入射在一块厚度为1.2×10-6 m 、折射率为1.5的薄玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强？ 2-7. 题图绘出了测量铝箔厚度D 的干涉装置结构。两块薄玻璃板尺寸为75mm ×25mm 。在钠黄光（λ= 0.5893m μ）照明下，从劈尖开始数出60个条纹（准确地说是从劈尖开始数出61个明条纹或暗条纹），相应的距离是30 mm ，试求铝箔的厚度D = ？若改用绿光照明，从劈尖开始数出100个条纹，其间距离为46.6 mm ，试求这绿光的波长。 2-8. 如图所示的尖劈形薄膜，右端厚度h 为0.005cm ，折射率n = 1.5，波长为0.707m μ的光以30°角入射到上表 2-1题用图 2-2题用图 2-7题用图 2-8题用图
应用光学习题及答案 武汉理工大学考试试题纸(A卷) 课程名称应用光学专业班级0501～03 题号一二三四五六七八九十总分 题分 备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题 一、选择题(每题1分,共5分) 1.发生全反射现象的必要前提就是: A)光线由光疏介质到光密介质传播B) 光线由光密介质到光疏介质传播 C)光线在均匀介质中传播D) 以上情况都可能产生 2.周视照相机可以拍摄大视场景物,其利用的: A)节点的性质B)主点的性质C)焦点的性质D)以上答案都正确 3.在望远镜的视度调节中,为适应近视人群,应采取的就是: A)使物镜远离目镜B)使目镜远离物镜C)使目镜靠近物镜D)应同时调节物镜与目镜 4.棱镜系统中加入屋脊面,其作用就是: A 改变光轴的方向B)改变主截面内像的方向C)改变垂轴于主截面方向上像的方向D)以上都正确 5.光学系统中场镜的作用就是: A)改变成像光束的位置B)减小目镜的尺寸C)不改变像的成像性质D)以上都正确 二、填空题(每题2分,共10分) 1.显微镜中的光学筒长指的就是() 2.光学系统中像方顶截距就是() 3.用波像差评价系统成像质量的瑞利准则就是() 4.望远系统中物镜的相对孔径就是() 5.棱镜的转动定理就是() 三、简答题(共20分) 1.什么叫孔径光阑？它与入瞳与出瞳的关系就是什么？(4 分) 2.什么叫视场光阑？它与入窗与出窗的关系就是什么？(4 分) 3.几何像差主要包括哪几种？(4 分) 4、什么叫远心光路？其光路特点就是什么？(4 分)
应用光学习题及答案 四、分析作图题(共25分) 1、已知正光组的F与F’,求轴上点A的像,要求用五种方法。(8分) 2 、已知透镜的焦距公式为f '= nr1 , l 'H= -f ' n -1 d , l H = - f ' n -1 d , ? r d ? nr nr ( n -1 ) ? n( 1 - ) + ( n -1) ? ? r2 r 2 ? 分析双凹透镜的基点位置,并画出FFL、BFL与EFL的位置。(9分) 3 、判断下列系统的成像方向,并画出光路走向(8分) (a)(b) 五、计算题(共35分) 1.由已知f1'=50mm,f2' = -150mm的两个薄透镜组成的光学系统,对一实物成一放大 4 倍的实像,并 且第一透镜的放大率β1= -2? ,试求:1、两透镜的间隔;2、物像之间的距离;3、保持物面位置不变,移动第一透镜至何处时,仍能在原像面位置得到物体的清晰像？与此相应的垂铀放大率为多大?(15分) 2.已知一光学系统由三个零件组成,透镜1: f1'= -f1=100 ,口径D1=40 ;透镜2: f2' = -f2=120 ,口径D2 =30 ,它与透镜1之间的距离为d1=20 ;光阑3口径为20mm,它与透镜2之间的距离d2=30。物点A 的位置L1= -200 ,试确定该光组中,哪一个光孔就是孔径光阑,哪一个就是视场光阑？(20分)
《应用光学》第二版胡玉禧第二章作业参考题解 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第二章作业参考题解 1． P.53习题2-2； 解：依题意作图如图。mm r 50=，n=1.5 ，n ＇=1 1）对球心处气泡，mm l 50'=，据r n n l n l n -=-''' 将数值代入解得 mm l 50=； 2）对球心与前表面间的一半处气泡，mm l 25'=， 据r n n l n l n -=-'''，将数值代入得 505 .115.1251-= -l ，解得：mm l 30= 2. P.54习题2-6（c),(d),(f )； 3. 用作图法求下列各图中物体AB 的像A ′B ′ 4. P.54习题2-7 l 1 l 2 r A H H ′ F ′ （c A ′ F F H H ′ （d F ′ A A ′ F 1 （f F 2′ A A ′ F 1′F 2 B F A H H ′ F ′ （a A ′ B ′ A B H H ′ （b F F ′ A B F A B H H ′ F ′ A B A B H ′ H F F ′ A B
5. P.55习题2-10 解： 据题意有2111-=- =x f β （1） 12 2-=-=x f β （2） 10012+=x x （3） 联立（1）（2）（3）式解得 )(100mm f -=； 或据 ' ' f x - =β 和题目条件可以解得 )(100'mm f = （说明：本题也可以用高斯公式求解） 6. P.55习题2-13 解：由于两透镜密接，故d = 0 ， 所求 ''x f f x L ++--= ，或 'l l L +-= 把透镜看成光组，则此为双光组组合问题。可由? -=' ''21f f f 和?=21f f f 计算 组合后系统的焦距： )(31005010050100'''21mm f f f =+?-=?- = ，)(3 100 50100)50(10021mm f f f -=---?-=?= 又 （法一）101''-=-=- =x f f x β， 所以 )(3 10 '101'mm f x =-= ，)(3 1000 10mm f x - == )(3.40331210 3103100310031000''mm x f f x L ≈=+++=++--= 又 （法二）10 1 '-==l l β， 所以 '10l l -= ，代入高斯公式得 100 3 '1011= --'l l 解得 )(311031001011'mm l =?=， )(3 1100 '10mm l l -=-= 所以 )(3.4033 1210 311031100'mm l l L ≈=+=+-= 7. P.55习题2-18 解：据题意透镜为同心透镜，而r 1=50mm ，d =10 mm ，故有 r 2= r 1-d = 40 mm ，所以，由
第一章 信息光学的物理基础 1.1光是一种电磁波 ◆特定波段的电磁波 光的波动性由大量的光的干涉、衍射和偏振现象和实验所证实，这是19世纪上半叶的 事．到了19世纪下半叶，麦克斯韦电磁场理论建立以后，光的电磁理论便随之诞生．光是一种特定波段的电磁波．可见光的波长A 在380~760 nm ，相应的光频按λ/c f =计算约为 1414104~108??Hz 。虽然齐整个电磁波增中光波仅占有一很窄的波段，它却对人类的生 命和生存、人类生活的进程和发展，有着巨大的作用和影响，还由于光在发射、传播和接收方面具有独特的性质，以致很久以来光学作为物理学的一个工要分支—直持续地皮勃发展着． ◆主要的电磁性质 光的电磁理论全面地揭示了光波的主要性质．现扼要分列如下，在以后的章节中不免时 有引用这其中的某些性质． (1)光扰动是—种电磁扰动． 光扰动随时间变化和随空间分布的规律，遵从麦克斯韦电磁场方程组， 这是普遍的麦充斯卡韦方程组在介质分区均匀空间中的表现形式．这里没有自由电荷，也没有传导电流，人们称其为自内空间．其中，ε是介质的相对介电常数、μ是介质的相对磁导率；),(t r E 表水电场强度矢量， ),(t r H 表示磁场强度矢量。 (2)光波是一种电磁波． 由方程组(1.1)按矢量场论运算规则，推演出以下方程 这里，2 ?称为拉普拉斯算符，其运算功能在直角坐标系中表现为 由此可见，(1.2)式正是波动方程的标准形式，这表明白由空间中交变电磁场的运动和变化
具有波动形式，而形成电磁波．不论它是多么复杂的电磁波，具传播速度v 已被方程制约为 由此获得真空中的电磁波速度公式为 这里，00,με是两个可以由实验确定的常数，故真空电磁波速是一个恒定常数．按数据 22120/1085.8m N C ??=-ε，270/104A N -?=πμ，得真空电磁波速s m C /1038?=， 如此巨大约波速惟有光速可以相比且惊人地相近．莫非光就是一种电磁波。 （3)平面电磁波是自由空间电磁波的一基元成分． 平面电磁波函数 是满足被动方程(1.2)式的，其中k 称作波矢，其方向与平面等相面正交，即k 指向波法线方 向，其大小k 与平面波的空间周期即波长λ相对应， (4)光是横波． 将平面波函数代入散度为零的那两个方程0,0=??=??H E ．可以 得到k H H E ⊥⊥,，这表明，电磁场振荡方向与波矢方向正交。沿等相面的切线方向，在与波矢正交的横平面个振动．换言之，自由空间中光波是横波． （5)电场与磁场之间的正交性相同步性 将平面波函数代入旋度方程 可以导出 进而得 E H H E E H 000,,εεμμ??==⊥ 这表明，振荡着的电场与磁场，彼此之间在方向上是时时正交的．k H E ,,三者方向构成一个右手螺旋，即k H E //)(?．如图1.1所示；相位是相等的．两者变化步调是一致的；振幅之间有一个简单的比例关系． (6)电磁波能流密度——坡印亭矢量． 伴随着波的传播必定有能量的传输．电磁波或光波也是如此，即光波携带能量离开光源而向外辐射．人们称这种有定向能流离源远行的电磁场或光场为辐射场或电磁辐射．经推导，电磁波能流密度矢量为 t H E ??-=??0 μμE k H ?= ω μμ1
1、 一束光由玻璃（n=1.5）进入水（n=1.33），若以45°角入射，试求折射角。（52.6°） 2、 一薄透镜焦距为200mm ，一物体位于透镜前300nm ，求像的位置和垂轴放大率。 （`600,2l m m β==-） 3、 一组合系统由薄正透镜（前）和薄负透镜（后）组成，1`20f mm =，2`20f m m =-， 两透镜之间的距离10d mm =，当一物体位于正透镜前方100mm 处，求组合系统的垂轴放大率和像的位置。（可用两种方法解）。（2`60,1l mm β==-） 4、 一双凸薄透镜的两表面半径分别为1250,50r mm r mm ==-，求该透镜位于空气中和浸 入水（0 1.33n =）中的焦距分别为多少？（透镜材料折射率n=1.5） （`50f mm =空，`195.6f m m =水） 5、 符号规则标注 6、 作图求物像：掌握第二章作业里作图题 7、 棱镜成像方向的判断。 8、 一凹球面反射镜浸没在水中，物在镜前300mm ，像在像前90mm ，求球面反射镜的曲率 半径和焦距。（138.46,`69.23r m m f f m m =-==-） 9、 有一正薄透镜对某一物体成实像时，像高为物高的一半；若将物体向透镜移近100mm 时，则所得的实像与物大小相同，求透镜的焦距。（`100f m m =） 10、 已知显微镜的视放大率为-300，目镜的焦距为20mm ，求显微镜物镜的倍率。假定 人眼的视角分辨率为60``,问使用该显微镜观察时，能分辨的两物点的最小距离等于多少？（24,0.00024m m βσ=-=） 11、 用两个焦距都是50mm 的正透镜组成一个10倍的显微镜，问目镜的倍率，物镜的 倍率以及物镜和目镜之间的间隔为多少？ 12、 有一焦距为150mm 的望远物镜，其口径为10mm ，像的直径为20mm 。在物镜后 方80mm 处放置一直角棱镜（n1.5），假如系统没有渐晕，求棱镜入射表面的通光口径及像平面离开棱镜出射表面的距离。（D=29.33，l`=50.44mm ） 13、 6倍双目望远镜系统中，物镜焦距为108mm ，物镜口径为30mm ，目镜口径为20mm ， 如果系统中没有视场光阑，问该望远镜最大极限视场角等于多少？渐晕系数K D =0.5时的视场角等于多少？（m ax 0.5211.33,29.08ωω== ） （理解） 14、 7倍望远系统，视场28ω= ，目镜焦距为25mm ，出瞳直径为5mm ，假定无渐晕，求孔径光阑、入瞳、出瞳位置，物镜和目镜的口径，视场光阑口径/位置。 （理解） （D 视阑=24.5，`28.58z l mm =，D 物镜=35mm ） 图见下图。
应用光学例题 近轴光学系统 例 1. 一厚度为 200mm 的平行平板玻璃(n=1.5)下面放着一直径为 1mm 的金属片。若在玻璃板上盖一圆形纸片, 要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片, 问纸片的最小直径为多少? 例 2. 用费马定理证明光的折射定律和反射定律。 例 3. 如图有两个平面反射镜, M1、 M2夹角为α, 今在两反射镜之间有一光线以50°角入射, 入射到 M1的反射镜上,经 M1、 M2四次反射后,起反射光线与 M1平行,求其夹角α。 例 4. 设计一个在空气中和某种玻璃之间的单个折射表面构成的光学系统,希望物在空气中离表面 15.0cm 。实像在玻璃中,离表面 45.0cm ,放大率为 2.0。那么玻璃的折射率应为多少?表面的曲率半径为多少? 例 5. 直径为 100mm 的球形玻璃缸,将半面镀银,内有一条鱼在镀银面前 25mm 处。问缸外的观察者看到几条鱼?位置在何处?相对大小事多少?(水的折射率为 4/3) 例 6. 在一张报纸上放一个平凹透镜,通过镜面看报纸。当平面朝着眼睛时,报纸的虚像在平面下 13.3mm 处。当凸面朝着眼睛时, 报纸的虚像在凸面下 14.6mm 处。若透镜中央厚度为 20mm 。求透镜的折射率和凸球面的曲率半径。 例 7. 一凹球面镜将一实物成一实像,物与像的距离为 1m ,物高为像高的 4倍,求凹面镜的曲率半径。 例8. ①一束平行光入射到一半径 r=30mm,折射率 n=1.5的玻璃球上,求其汇聚点的位置。②如果在凸面上镀反射膜, 其汇聚点应在何处?③如果凹面镀反射膜, 则反射光束在玻璃中的汇聚点在何处?④反射光束经前表面折射后,汇聚点在何处?说明各汇聚点的虚实。 (2) (3)