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九年级 圆的性质及与圆有关的位置关系
一．圆的有关概念及性质
1.弦、直径及垂径定理
2.弧、弦、圆心角之间的关系
3.圆周角与圆心角的关系 二．与圆有关的位置关系
1.直线与圆的位置关系、切线的性质和判定
2.点与圆的位置关系
一、圆的有关概念及性质
（1）圆的有关概念 1. 圆心角和圆周角
（1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆周角，它的度数等于它所对的弧的度数． （2） 圆周角：顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
其性质有：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． （3）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦 的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
知识梳理
注意：
①前提条件是在同圆或等圆中；
②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．
1. 垂径定理
（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2） 推论1： ①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
（3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．
“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．
注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与
勾股定理有：222()2
a
r d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三
个量．
二、点与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系
（1） 点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离
与半径的大小关系决定． （2） 设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：点在圆外?d r >；点在圆上?d r =；点
在圆内?d r <.如下表所示：
2.过已知点的圆 1. 过已知点的圆
（1） 经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样
的圆有无数个． （2） 经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过
点A B 、的圆，这样的圆也有无数个． （3） 过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时，圆心是
线段AB 与BC 的中垂线的交点，而这个交点O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个． （4） 过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆
的圆心．
2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆
（1） “不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； （2） “确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”． （3） 三角形的外接圆及外心 1. 三角形的外接圆
（1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，
叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2） 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接
圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 2. 三角形外心的性质
（1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离
相等； （2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形
却有无数个，这些三角形的外心重合.
三、直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系
设O
⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
（2）切线的性质及判定
1.切线的性质
（1）定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）
①过圆心，过切点?垂直于切线．AB过圆心，AB过切点M，则AB l
⊥．
②过圆心，垂直于切线?过切点．AB过圆心，AB l
⊥，则AB过切点M．
③过切点，垂直于切线?过圆心．AB l
⊥，AB过切点M，则AB过圆心．
2.切线的判定
（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．
l
3.切线长和切线长定理
（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
l
（2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切
线的夹角．
三、三角形的内切圆
1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系
c
b a
c
b
a
O F E
D C
A
C
B
A
B A
设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为s
r p
=，其中()12p a b c =
++．若90C ∠=?，则()1
2
r a b c =+-．
考点一 圆的有关概念及性质
（1）圆周角与圆心角
例1.如图，☉O 的半径为4，△ABC 是☉O 的内接三角形，连接OB 、OC 。若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为_________.
例2.如图,经过原点O 的☉P 与x ,y 轴分别交于A ,B 两点,点C 是劣弧OB 上一点,则∠ACB=________.
例题讲解
例3.如图，已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44o，则∠CAD的度数为_________.
变式训练
1.(2016南宁)如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为__________.
2.如图,☉O是△ABC的外接圆,连接OA、OB,∠OBA=50O,则∠C的度数为( )
3、如图，点p是四边形ABCD外接圆☉O上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD 是☉O的直径，AB=BC=CD，连接PA,PB,PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=_____ 。
（2）垂径定理
例1、已知☉O的半径等于5cm，弦AB=6cm,CD=8cm,且AB//CD,则AB、CD之间的距离为________. 例2、如图，⊙O的半径是2，直线与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，
且在直线的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（）
例3、[2012烟台]如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且
若，
值．
（
3）圆的内接四边形
例1.如图，四边形ABCD 内接于☉O ，∠DAB=130O
，连接OC 。点P 是半径OC 上任意一
点，连接DP 、BP ，则∠BPD 可能为_____度。（写出一个即可）
对应训练
（4）三角形的外接圆及圆的内接多边形
例1.设I 为△ABC 的外心,若∠BIC=100O
,则∠A 的度数是____________
例2.如图，在☉O 的内接五边形ABCDE 中,∠CAD=35O
，则∠B+∠E=_______.
（5）与相似的综合
例1.如图，已知AD是△ABC的角平分线，☉O经过A、B、D三点，过点B作BE//A D，交☉O于点E，连接ED。
（1）求证：ED//AC;
（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12-16S2+4=0,，求△ABC的面积。
考点二与圆有关的位置关系
(1)切线的性质
例1.如图, AB是☉O直径,点C在☉O上, AE是☉O的切线, A为切点,连接BC并延长交AE于点D.若∠AOC=80°,则∠ADB的度数为( )
例2如图所示，AB是☉O的弦，AC是☉O的切线，A为切点，BC经过圆心。若∠B=25O，则∠C的大小等于（）。
对应训练
1.如图，PA、RB分别切⊙O于点A、B，若∠P＝70°，则∠C的大小为_________度.
2.如图,AB为☉O的直径,直线l与☉O相切于点C,,垂足为D,AD交☉O于点E,连
接OC、BE.若,,则线段DC的长为___________.
（2）切线长定理
例1如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5，AD、AB、BC分别与☉O相切于E、F、G三点，过点D作☉O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为_____________.
(3)与切线有关的勾股定理和垂径定理的综合
1.如图，已知⊙0是以坐标原点0为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与04平行的直线与⊙0有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是______________.
2.如图在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为____．
（4）圆与相似三角形的综合
1.如图7，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC= ，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切与点E，F，与AB 分别交于点G，H，且 EH 的延长线和 CB 的延
2.如图，AB 是☉O 的直径，点D 是上一点，且∠BDE=∠CBE,BD 与AE 交于点F 。
（1）求证：BC 是☉O 的切线;
（2）若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2=DF DB;
（
3）在（2）的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若PA=AO ，DE=2，求PD 的长和☉O 的半径。
1 （2012?永州）如图，AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，连接PC 交⊙O 于点B ，连接AB ，且PC=10，PA=6．
求：（1）⊙O 的半径； （2）cos ∠BAC 的值．
3.（2012?阜新）如图，在△ABC 中，BC=3cm ，∠BAC=60°，那么△ABC 能被半径至少为 cm 的圆形纸片所覆盖．
4.（2012?玉林）如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D ，E ，过劣弧DE （不包括端点D ，E ）上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB ，BC 分别交于点M ，N ，若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为（ ） A ．r B ．
32r C ．2r D ． 52
r
5.
熟练应用圆的有关概念和性质进行计算和证明，经历垂径定理和圆周角定理的证明过程，深入理解并
能熟练应用；直线与圆的位置关系中相切是重点，掌握切线的性质定理、判定定理，并能熟练应用。