深圳高级中学2005—2006学年度上学期期末考试
高一数学试题
说明：1．试卷总分150分，考试时间120分钟；
2．不允许．．．
用计算器； （第Ⅰ卷）
一． 选择题（每小题只有唯一选项是正确的，每小题5分，共计50分） 1．左面的三视图所示的几何体是（ ）
A. 六棱台
B. 六棱柱
C. 六棱锥
D. 六边形 2．下列命题：
(1)平行于同一平面的两直线平行; (2)垂直于同一平面的两直线平行;
(3)平行于同一直线的两平面平行; (4)垂直于同一直线的两平面平行; 其中正确的有 ( )
A. (1) (2)和(4)
B. (2)和(4) B. (2) (3)和(4) D. (3)和(4)
3．设A 在x 轴上，它到P （0，2，3）的距离为到点Q （0，1，-1）的距离的两倍那么A 点的坐标是（ ）
A.（1，0，0）和（ -1，0，0）
B.（2，0，0）和（-2，0，0）
C.（12 ，0，0）和（–12 ，0，0）
D.（–22，0，0）和（22
，0，0）
4．设Rt △ABC 斜边AB 上的高是CD ，AC=BC=2, 沿高CD 作折痕将之折成直二面 角A —CD —B （如图）那么得到二面角C —AB —D 的余弦值等于 ( )
A.
22 B. 33 C. 12 D.
3
6
B
A
C 1
B 1
A 1
C
B
A
5．如图，111C B A ABC -是体积为1的棱柱，则四棱锥B B AA C 11-的体积是（ ） A.
3
1
B.
2
1
C.
3
2 D.
4
3 6．根据表格中的数据，可以判定方程e x
-x -2=0的一个根所在的区间为 （ ）
（第4题图）
（第5题图）
A. (-1,0)
B. (0,1)
C. (1,2)
D. (2,3)
7．点E ，
F ，
G ，
H 分别为空间四边形ABCD 中
AB ，BC ，CD ，AD 的中点， 若AC=BD ，且
AC 与BD 成900，则四边形EFGH 是（ ）
（A ）菱形 （B ）梯形
（C ）正方形 （D ）空间四边形
8．已知定义在实数集上的偶函数()x f y =在区间（0，+∞）上是增函数，那么??
?
??=31πf y ，()
1
2
23
+=x f y 和??? ?
?
=41log 23f y 之间的大小关系为 ( )
A. y 1 < y 3 < y 2
B. y 1 C. y 3 D. y 3 9．直线y = 33 x 绕原点按逆时针方向旋转0 30后所得直线与圆 (x-2)2+y 2=3的位置关系是（ ） （A ）直线过圆心 （B ） 直线与圆相交，但不过圆心 （C ）直线与圆相切 （D ） 直线与圆没有公共点 10．函数)1(log )(++=x a x f a x 在]1,0[上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（ ） A. 41 B. 2 1 C. 2 D. 4 （第II 卷） 二． 填空题（每小题5分，共计20分） 11．用一张圆弧长等于12π分米，半径是10分米的扇形胶片制作一个圆锥体模型，这个圆锥体的体积等于 立方分米。 12．直线l 的斜率是-2，它在x 轴与y 轴上的截距之和是12，那么直线l 的一般式方程是 。 13．某工厂12年来某产品总产量S 与时间t(年)的函数关系如图所 示，下列四种说法： (1) 前三年总产量增长的速度越来越快； (2) 前三年总产量增长的速度越来越慢； (3) 第3年后至第8年这种产品停止生产了； (4) 第8年后至第12年间总产量匀速增加。 其中正确的说法是 。 （第13题图） 14．把一坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与（－2，0）重合，且点（2004，2005）与点（m ，n ）重合，则m －n 的值为 三．解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题12分） 已知集合A={} 71<≤x x ，B={x|2 F C B （ 第7题图） △ABC 中，BC 边上的高所在直线方程为A y x ∠=+-,012的平分线所在直线方程为y=0，若点B 的坐标是（1，2） 求（1）A 点的坐标；（2）C 点的坐标。 17（本小题14分） 如图，长方体1111D C B A A B C D -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为1DD 的中点。 （1）求证：直线1BD ∥平面PAC ； （2）求证：平面PAC ⊥平面1BDD ； （3）求证：直线1PB ⊥平面PAC 。 18．（本小题14分） 甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图： 甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只。 乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个。 请你根据提供的信息说明： （1）第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数。 （2）到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？说明理由。 （3）哪一年的规模(即总产量)最大?说明理由。 19．（本小题14分） 设实数y x ,同时满足条件：,369422=-y x 且.0 （3）若方程))(1()(R k x k x f ∈-=恰有两个不同的实数根，求k 的取值范围。 20．（本小题14分） 圆C 的半径为3，圆心C 在直线02=+y x 上且在x 轴下方，x 轴被圆C 截得的弦长为52。（1）求 圆C 的方程； P D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A （2）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。 深圳高级中学2005—2006学年度上学期期末考试 高一数学试题答卷 学籍号班级姓名学号成绩 一. 选择题答题卡 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 三．解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （本题满分12分） 16. （本题满分12分） 17. （本题满分14分） 18. （本题满分14分） P D1 C1B 1 A1 D C B A 19. （本题满分14分） 20. （本题满分12分） 深圳高级中学2005-06学年度上学期期末考试 高一级数学试题参考答案 一、选择题（每小题5分，共计50分） CBABC CCACB 二、填空题（每小题5分，共计20分） 11． 96π 。 12． 2x +y -8=0 。 13． (2) (3) (4) 。 14． -1 。 三． 解答题（共计80分） 15．（本小题12分） 已知集合A={} 71<≤x x ，B={x|2 △ABC 中，BC 边上的高所在直线方程为A y x ∠=+-,012的平分线所在直线方程为y=0，若点B 的坐标是（1，2）求（1）A 点的坐标；（2）C 点的坐标。 解：(1) 由? ? ?==+-00 12y y x 得A 点的坐标（-1，0）。---------（4分） (2)角A 的平分线为y=0，故点B 关于y=0的对称点D （1，-2）在直线AC 上，由A ，D 两点得直线AC 的方程为01=++y x ------（8分） BC 边上的高所在直线方程为012=+-y x ， 则直线BC 的方程是y-2=-2（x-1） 由AC ，BC 的方程得C 点的坐标为（5，-6）------------（12分） 17（本小题14分） 如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为1DD 的中点。 （1）求证：直线1BD ∥平面PAC ； （2）求证：平面PAC ⊥平面1BDD ； （3）求证：直线1PB ⊥平面PAC 。 解：（1）设AC 和BD 交于点O ，连PO ， 由P ，O 分别是1DD ，BD 的中点，故PO//1BD ， 所以直线1BD ∥平面PAC --（4分） （2）长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ， 底面ABCD 是正方形，则AC ⊥BD 又1DD ⊥面ABCD ，则1DD ⊥AC ， 所以AC ⊥面1BDD ，则平面PAC ⊥平面1BDD -------------------------（9分） （3）PC 2=2，PB 12=3，B 1C 2=5，所以△PB 1C 是直角三角形。1PB ⊥PC ， 同理1PB ⊥PA ，所以直线1PB ⊥平面PAC 。--（14分） 18．（本小题14分） 甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图： 甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只。 乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个。 请你根据提供的信息说明： （1）第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数。 （2）到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？说明理由。 （3）哪一年的规模(即总产量)最大?说明理由。 解：由题意可知,图甲图象经过（1,1）和（6,2）两点, 从而求得其解析式为y 甲=0.2x+0.8-----------------------（2分） 图乙图象经过（1,30）和（6,10）两点, 从而求得其解析式为y 乙=-4x+34.------------------------- （4分） (1)当x=2时，y 甲=0.2×2+0.8 =1.2,y 乙= -4×2+34=26， y 甲·y 乙=1.2×26=31.2. 所以第2年鱼池有26个,全县出产的鳗鱼总数为31.2万只.------------ ---（6分） (2)第1年出产鱼1×30=30（万只）, 第6年出产鱼2×10=20（万只）,可见,第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了----------------------------------（8分） (3)设当第m 年时的规模总出产量为n, 那么n=y 甲·y 乙=（0.2m+0.8） (-4m+34)= -0. 8m 2 +3.6m+27.2 =-0.8(m 2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2 +31.25---------------------------（11分） P D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A 因此, .当m=2时,n 最大值=31.2. 即当第2年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万只. --------------（14分） 19．（本小题14分） 设实数y x ,同时满足条件：,369422=-y x 且.0 （3）若方程))(1()(R k x k x f ∈-=恰有两个不同的实数根，求k 的取值范围。 解：（1）,369422=-y x 93 22 -± =∴x y .------------------------- （1分） ,0 又,0936422>=-y x .3,3-<>∴x x ------------------------- （2分） ,0 ?>---<-=∴)3(93 2)3(932)(22 x x x x x f . 函数)(x f y =的定义域为集合D=}3,3{-<>∈x x R x .----------- （4分） （2）当3- x 93 2 2--=x )(x f -=--（6分） 同理，当3>x 时，有)()(x f x f -=-. 任设D x ∈,有)()(x f x f -=-)(x f ∴为定义域上的奇函数. ----------- （8分） (3) 联立方程组???-==-) 1(36 9422x k y y x 可得,0)369(18)94(2222=+-+-k x k x k --------------------------（9分） (Ⅰ)当942 = k 时,即32±=k 时,方程只有唯一解,与题意不符; 32 ±≠∴k -------- （10分） (Ⅱ)当9 42 ≠k 时,即方程为一个一元二次方程, 要使方程有两个相异实数根,则 .0)369)(94(4)18(2222>+-?+=?k k k 解之得 2 2 22< <- k ,但由于函数)(x f 的图象在第二、四象限。-----------（13分） 故直线的斜率,0 222-<<-k 或.032<<-k ------------------ （14分） 20．（本小题14分） 圆C 的半径为3，圆心C 在直线02=+y x 上且在x 轴下方，x 轴被圆C 截得的弦长为52。（1）求 圆C 的方程； （2）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。 解：（1）如图易知C （1，-2） ∴圆C 的方程是（X-1）2 +（Y+2）2 =9--（4分） （2）设L 的方程y=x+b ，以AB OA ⊥OB ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 x 1x 2+ y 1y 2=0 ①---------------（6分） 由???+==++-b x y y x 9)2()1(22得 0)44()22(222=-++++b b x b x ----------（8分） 要使方程有两个相异实根，则 △=)44(24)22(22-+?-+b b b ＞0 即323-- 2 4 4,122121-+= --=+b b x x b x x ------------------------------------------（10分） 由y 1=x 1+b ，y 2=x 2+b ，代入x 1x 2+ y 1y 2=0，得2x 1x 2+（x 1+x 2）b+b 2=0---------（12分） 即有b 2+3b-4=0，b=-4,b=1（舍去） -----------------------------------------------（13分） 故存在直线L 满足条件，且方程为4-=x y 或1+=x y ----------------------（14分）
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