【2013年中考攻略】专题10：几何三大变换之平移探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。平移由移动的方向和距离决定。经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。
在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，是中考数学的必考内容。
结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面七方面探讨平移变换：（1）构造平移图形；（2）点的平移；（3）直线（线段）的平移；（4）曲线的平移；（5）三角形的平移；（6）四边形的平移；（7）圆的平移。
一、构造平移图形：
典型例题：
例1. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9 X 9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为l个单位长度．
(1)在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A l B l C l．
(2)在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转900后得到的△AB2C2
(3)在(1)中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积．
【答案】解：（1）、（2）如图所示：
（3）∵△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC向上平移过程中，边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，∴边AC所扫过区域的面积=4×2=8。
【考点】作图（旋转和平移变换），平行四边形的判定和性质。
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可。
（2）根据图形旋转的性质画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2。
（3）根据△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论。
例2.（2012黑龙江龙东地区6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，画出两次平移后的△A1B1C1;
（2）写出A1、C1的坐标；
（3）将△A1B1C1绕C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1，求线段B1C1旋转过程中扫过的面积(结果保留π)。
【答案】解：（1）两次平移后的△A1B1C1如图所示：
（2）由△A1B1C1在坐标系中的位置可知，A1（0，2）；C1（2，0）。
（3）旋转后的图形如图所示：
∵由勾股定理可知，2211B C 1417=+=，∴()2901717S 3604ππ??=
=扇形。 ∴线段B 1C 1旋转过程中扫过的面积为
174
π。 【考点】作图（旋转和平移变换），扇形面积的计算。
【分析】（1）根据图形平移的性质画出两次平移后的△A 1B 1C 1即可。
（2）根据△A 1B 1C 1在坐标系中的位置写出A 1、C 1的坐标；
（3）根据图形旋转的性质画出旋转后的△A 2B 2C 1，再根据勾股定理求出B 1C 1的长，由扇形的面积公式即可计算出线段B 1C 1旋转过程中扫过的面积。
例3.（2012贵州六盘水10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt △ABC 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为（﹣4，1），点B 的坐标为（﹣1，1）．
（1）先将Rt △ABC 向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt △A 1B 1C 1．试在图中画出图形Rt △A 1B 1C 1，并写出A 1的坐标；
（2）将Rt △A 1B 1C 1绕点A 1顺时针旋转90°后得到Rt △A 2B 2C 2，试在图中画出图形Rt △A 2B 2C 2．并计算Rt △A 1B 1C 1在上述旋转过程中C 1所经过的路程．
【答案】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求作的三角形。点A 1的坐标为（1，0）。
（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求作的三角形。
根据勾股定理，A1C1=22
2+3=13，
∴旋转过程中C1所经过的路程为901313
=
1802
π
π
??
。
【考点】网格问题，作图（旋转和平移变换），勾股定理，弧长的计算。
【分析】（1）根据网格结构找出点A．B．C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可。
（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1绕点A1顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理求出A1C1的长度，然后根据弧长公式列式计算即可得解。
例4.（2012安徽省8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1.
（1）画出一个格点△A1B1C1，并使它与△ABC全等且A与A1是对应点；
（2）画出点B关于直线AC的对称点D，并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的. 【答案】解：（1）答案不唯一，如图，平移即可：
(2)作图如上，
∵AB=10，AD=10，BD=25，∴AB2+AD2=BD2。
∴△ABD是直角三角形。
∴AD可以看作由AB绕A点逆时针旋转90°得到的。
【考点】作图（平移变换、轴对称变换），全等图形，旋转和轴对称的性质，勾股定理和逆定理。
【分析】（1）利用△ABC三边长度，画出以A1为顶点的三角形三边长度即可，利用图象平移，可得出
△A1B1C1。
（2）利用点B关于直线AC的对称点D，得出D点坐标，根据勾股定理和逆定理可得出AD与AB的位置关系。
例5.（2012海南省8分）如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（－2，4）、（－2，0）、（－4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1.
（2）平移△ABC，使点A移动到点A2（0，2），画出平移后的△A2B2C2并写出点B2、C2的坐标.
（3）在△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2中，△A2B2C2与成中心对称，其对称中心的坐标为.
【答案】解：（1）△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示：
（2）平移后的△A2B2C2如图所示：
点B2、C2的坐标分别为（0，－2），（－2，－1）。
（3）△A1B1C1；（1，－1）。
【考点】网格问题，作图（中心对称变换和平移变换），中心对称和平移的性
质。
【分析】（1）根据中心对称的性质，作出A、B、C三点关于原点的对称点
A1、B1、C1，连接即可。
（2）根据平移的性质，点A（－2，4）→A2（0，2），横坐标加2，纵坐标减2，所以将B（－2，0）、C（－4，1）横坐标加2，纵坐标减2得到B2（0，－2）、C2（－2，－1），连接即可。
（3）如图所示。
例6.（2012江苏泰州10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2．
（1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；
（2）计算线段AC 在变换到A 1C 2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）
【答案】解：（1）如图所示：
（2）∵图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格， ∴22AC 222 2=+=。
∵将△ABC 向下平移4个单位AC 所扫过的面积是以4为
底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=8。
再向右平移3个单位AC 所扫过的面积是以3为底，以2
为高的平行四边形的面积：4×2=6。
当△A 1B 1C 1绕点A 1顺时针旋转90°到△A 1B 2C 2时，A 1C 1所扫过的面积是以A 1为圆心以以2 2为半径，圆心角为90°的扇形的面积，重叠部分是以A 1为圆心，以2 2为半径，圆心角为45°的扇形的面积，去掉重叠部分，面积为：()24522=360ππ??
∴线段AC 在变换到A 1C 2的过程中扫过区域的面积=8＋6＋π×=14+π。
【考点】作图（平移和旋转变换），平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面积的计算。
【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出△A 1B 1C 1及△A 1B 2C 2即可。
（2）画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。
例7.（2012甘肃白银3分）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是【 】
A．B．C．D．
【答案】A。
【考点】生活中的平移现象。
【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小。观察各选项图形可知，A 选项的图案可以通过平移得到。故选A。
练习题：
1. （2012江苏常州6分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。按下列要求画图：以点O为位似中心，将△ABC 向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：
（1）顶点A1的坐标为▲ ，B1的坐标为▲ ，C1的坐标为▲ ；
（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。
3.（2012福建泉州9分）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数
k
y
x
=与直线的交点A、
B均在格点上，根据所给的直角坐标系（点O是坐标原点），解答下列问题：
（1）分别写．出点A、B的坐标后，把直线AB向右平移平移5个单位，再在向上平移5个单位，画．出平移后的直线A′B′.
（2）若点C在函数
k
y
x
=的图像上，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，请写出点C的坐标.
4.（2012湖北武汉7分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(－1，3)、(－4，1)，先
将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1，点A的对应点为A1，点B1的坐标为(0，2)，在将线段A1B1 绕远点O顺时针旋转90°得到线段A2B2，点A1的对应点为点A2．
(1)画出线段A1B1、A2B2；
(2)直接写出在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长．
5.（2012湖南张家界6分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到
△A2B2C2．
6.（2012四川凉山6分）如图，梯形ABCD是直角梯形．
（1）直接写出点A、B、C、D的坐标；
（2）画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形，使它与梯形ABCD构成一个等腰梯形．
（3）将（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形．（不要求写作法）
7.（2012辽宁丹东8分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C （2，2）.（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中
．．．画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2︰1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．
二、点的平移：
典型例题：
-）向上平移2个单位长度得到的点的坐标是【】
例1. （2012广东肇庆3分）点M（2，1
-）
A．（2，0）B．（2，1）C．（2，2）D．（2，3
【答案】B。
【考点】坐标平移。
【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，
∵点M（2，-1）向上平移2个单位长度，∴－1＋2=1。
∴平移后的点坐标是（2，1）。故选B。
例2. （2012辽宁鞍山3分）在平面直角坐标系中，将点P （﹣1，4）向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，得到点P 1，则点P 1的坐标为 ▲ ．
【答案】（1，1）。
【考点】坐标平移。
【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，
∵点P （﹣1，4）向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，∴﹣1+2=1，4﹣3=1。
∴点P 1的坐标为（1，1）。
例2.（2012江苏泰州3分）如图，数轴上的点P 表示的数是－1，将点P 向右移动3个单位长度得到点P′， 则点P′表示的数是 ▲ ．
【答案】2。
【考点】数轴和数，平移的性质。
【分析】如图，根据平移的性质，点P′表示的数是2。
例3.（2012安徽省4分）如图，A 点在半径为2的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线 ，与⊙O 过A 点的切线交于点B ，且∠APB=60°，设OP= x ，则△PAB 的面积y 关于x 的函数图像大致是【 】
【答案】D 。
【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】利用AB 与⊙O 相切，△BAP 是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x 表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象：
∵AB 与⊙O 相切，∴∠BAP=90°，
∵OP=x ，AP=2－x ，∠BPA=60°，∴AB=3(2x)-，
∴△APB 的面积23y (2x)2
=-，（0≤x≤2）。 ∴△PAB 的面积y 关于x 的函数图像是经过（2，0）的抛物线在0≤x≤2的部分。故选D 。
例4.（2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A 的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是【】
A．B．C．D．
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】因为动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，因此，y关于x的函数图象分为四部分：A→B，B→D，D→C，C→A。
当动点P在A→B上时，函数y随x的增大而增大，且y=x，四个图象均正确。
当动点P在B→D上时，函数y在动点P位于BD中点时最小，且在中点两侧是对称的，故选项B 错误。
当动点P在D→C上时，函数y随x的增大而增大，故选项A，C错误。
当动点P在C→A上时，函数y随x的增大而减小。故选项D正确。故选D。
例5.（2012浙江温州4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，
沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【】
A.一直增大
B.一直减小
C.先减小后增大
D.先增大后减小
【答案】C。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】如图所示，连接CM，∵M是AB的中点，
∴S △ACM =S △BCM =
12
S △ABC ， 开始时，S △MPQ =S △ACM =12S △ABC ； 由于P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点，从而点P 到达AC 的中点时，点Q 也到达BC 的中点，此时，S △MPQ =14
S △ABC ； 结束时，S △MPQ =S △BCM =
12S △ABC 。 △MPQ 的面积大小变化情况是：先减小后增大。故选C 。
例6.（2012湖北黄石3分）如图所示，已知A 11
(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x
=图像上的两点，动 点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是【 】
A. 1(,0)2
B. (1,0)
C. 3(,0)2
D. 5(,0)2
【答案】D 。
【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。
【分析】∵把A 11(,y )2，B 2(2,y )分别代入反比例函数1y x =
得：y 1=2，y 2=12 ， ∴A （12 ，2），B （2，12
）。 ∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP －BP|＜AB ，
∴延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA －PB=AB ，
即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大。
设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入得： 12=k+b 21=2k+b 2
???????，解得：k=15b=2-?????。∴直线AB 的解析式是5y x 2=-+。 当y=0时，x= 52，即P （52
，0）。故选D 。
例7.（2012辽宁大连3分）如图，一条抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，其顶点P 在折线C －D －E 上移动，若点C 、D 、E 的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B 的横坐标的最小值为1，则点A 的横坐标的最大值为【 】
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B 。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质。
【分析】∵抛物线的点P 在折线C －D －E 上移动，且点B 的横坐标的最小值为1，
∴观察可知，当点B 的横坐标的最小时，点P 与点C 重合。
∵C （－1，4），∴设当点B 的横坐标的最小时抛物线的解析式为()2
y=a x+1+4。
∵B （1，0），∴()20=a 1+1+4，解得a=－1。
∴当点B 的横坐标的最小时抛物线的解析式为()2y=x+1+4-。
∵观察可知，当点A 的横坐标的最大时，点P 与点E 重合，E （3，1），
∴当点A 的横坐标的最大时抛物线的解析式为()2y=x 3+1--。
令y=0，即()2x 3+1=0--，解得x=2或x=4。
∵点A 在点B 的左侧，∴此时点A 横坐标为2。故选B 。
∴点A 的横坐标的最大值为2。
例8（2012北京市5分）操作与探究： （1）对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13
，再把所得数对应的点向右平移1个 单位，得到点P 的对应点P′.
点A ，B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A ，B 的对 应点分别为A′，B ′．如图1，若点A 表示的数是3-，则点A′表示的数是 ；若点B′表示的
数是2，则点B 表示的数是 ；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E′与点E 重 合，则点E 表示的数是 ；
（2）如图2，在平面直角坐标系xoy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个 点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（m ＞0, n ＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A,B 的对应点分别为A′,B′。已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F′与点F 重合，求点F 的坐标。
【答案】解：（1）0；3；32
。 （2）根据题意得， 3a m 1 3a m 20a n 2-+=-??+=???+=?，解得1a 21m 2n 2?=???=??=???
. 设点F 的坐标为（x ，y ），
∵对应点F′与点F 重合，∴11x x 221y 2y 2
?+=????+=??，解得x 1y 4=??=?。 ∴点F 的坐标为（1，4）。
【考点】坐标与图形的平移变化，数轴，正方形的性质，平移的性质。
【分析】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B 表示的数为a ，根据题意列出方程求解即可得到点B 表示的数，设点E 表示的数为b ，根据题意列出方程计算即可得解：
点A′：－3×1
3
+1=－1+1=0。 设点B 表示的数为a ，则1
3
a+1=2，解得a=3。
设点E 表示的数为b ，则13a+1=b ，解得b=32。 （2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，
然后设点F 的坐标为（x ，y ），根据平移规律列出方程组求解即可。
例9. （2012江苏常州9分）已知，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=2，点M 为边BC 的中点，点P 为边CD 上的动点（点P 异于C 、D 两点）。连接PM ，过点P 作PM 的垂线与射线DA 相交于点E （如图）。设CP=x ，DE=y 。
（1）写出y 与x 之间的函数关系式 ▲ ；
（2）若点E 与点A 重合，则x 的值为 ▲ ；
（3）是否存在点P ，使得点D 关于直线PE 的对称点D′落在边AB 上？若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）y=－x 2＋4x 。
（2）2+2或22-。
（3）存在。
过点P 作PH ⊥AB 于点H 。则
∵点D 关于直线PE 的对称点D′落在边AB 上，
∴P D′=PD=4－x ，E D′=ED= y=－x 2＋4x ，
EA=AD －ED= x 2－4x ＋2，∠P D′E=∠D=900。
在Rt △D′P H 中，PH=2， D′P =DP=4－x ，D′H=()2224x 2x 8x+12--=-。 ∵∠ E D′A=1800－900－∠P D′H=900－∠P D′H=∠D′P H ，∠P D′E=∠P HD′ =900，
∴△E D′A ∽△D′P H 。∴E D EA D P D H '=''，即222x 4x x 4x+24x x 8x+12
--=--＋， 即22x 4x+2
x x 8x+12-=-，两边平方并整理得，2x 2－4x ＋1=0。解得22x 2±=
。 ∵当2+2x 2=时，y=22+22+25+22+4=2222>??-? ? ???
， ∴此时，点E 已在边DA 延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。
∵当22x 2-=时，y=222225+22+4=2222
， ∴此时，点E 在边AD 上，符合题意。 ∴当22x 2
-=时，点D 关于直线PE 的对称点D′落在边AB 上。 【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。
【分析】（1）∵CM=1，CP=x ，DE=y ，DP=4－x ，且△MCP ∽△PDE ，
∴DE DP CP CM =，即y 4x x 1
-=。∴y=－x 2＋4x 。 （2）当点E 与点A 重合时，y=2，即2=－x 2＋4x ，x 2－4x ＋2=0。
解得x 22=±。
（3）过点P 作PH ⊥AB 于点H ，则由点D 关于直线PE 的对称点D′落在边AB 上，可得△E D′A 与△D′P H 相似，由对应边成比例得得关于x 的方程即可求解。注意检验。
例10. （2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆 上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为()x 2x 4<<. ⑴当5x=2
时，求弦PA 、PB 的长度；
⑵当x 为何值时，PD PC ?的值最大？最大值是多少？ l
P
D
C B
O
A
【答案】解：（1）∵⊙O 与直线l 相切于点A ，AB 为⊙O 的直径，∴AB ⊥l 。
又∵PC ⊥l ，∴AB ∥PC. ∴∠CPA=∠PAB 。
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠APB=90°。
∴∠PCA=∠APB.∴△PCA ∽△APB 。 ∴PC PA AP AB
=，即PA 2=PC·PD 。 ∵PC=5x=2，AB=4，∴5PA 4102=
?=。
∴在Rt △APB 中，由勾股定理得：PB 16106=-=。
（2）过O 作OE ⊥PD ，垂足为E 。
∵PD 是⊙O 的弦，OF ⊥PD ，∴PF=FD 。
在矩形OECA 中，CE=OA=2，∴PE=ED=x －2。
∴CD=PC －PD= x －2（x －2）=4－x 。
∴()()2PD PC=2x 24x =2x +12x 16
?-?---()2
=2x 3+2--。
∵2x 4<<
∴当x=3时，PD PC ?有最大值，最大值是2。
【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。
【分析】（1）由直线l 与圆相切于点A ，且AB 为圆的直径，根据切线的性质得到AB 垂直于直线l ，又PC 垂直于直线l ，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB 与PC 平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA 与△PAB 相似，由相似得比例，将PC 及直径AB 的长代入求出PA 的长，在Rt △APB 中，由AB 及PA 的长，利用勾股定理即可求出PB 的长。
（2）过O 作OE 垂直于PD ，与PD 交于点E ，由垂径定理得到E 为PD 的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE 为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC 的长表示出PE ，根据PD=2PE 表示出PD ，再由PC-PD 表示出CD ，代入所求的式子中，整理后得到关于x 的二次函数，配方后根据自变量x 的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x 的取值 练习题：
1. （2012山东东营3分）将点A （2，1）向左．．
平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是【 】 A ．(2，3) B ．（2，－１） C ．（4，1） D. （0，1）
2.（2012广西来宾3分）在平面直角坐标系中，将点M （1，2）向左平移2个长度单位后得到点N ，则点N 的坐标是【 】
A ．（－1，2）
B ．（3，2）
C ．（1，4）
D ．（1，0）
3.（2012广西玉林、防城港3分）在平面直角坐标系中，一青蛙从点A(－1，0)处向右跳2个单位长度，再向上跳2个单位长度到点A ′处，则点A ′的坐标为 ▲ .
4.（2012四川攀枝花3分）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F 点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动秒x时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为【】
A．B．C．D．
5.（2012四川内江3分）如图，正△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿
A B C
→→的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），2
=,则y关于x的函数的图像
y PC
大致为【】
A. B. C. D.
6.（2012江苏无锡10分）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s 的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．
（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
7. （2012广东河源9分）如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，23)、D(0，33)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60o．
(1)点B的坐标是，∠CAO＝o，当点Q与点A重合时，点P的坐标
为；
(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
8. （2012福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一：；结论二：；结论三：．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）
9. （2012福建漳州14分）如图，在 OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时
．．从点O出发，以a c m／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．
设运动时间为t秒．
(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；
(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?
(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．
2016中考数学预测押题--专题22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。 特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。 在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。 中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它图形的问题。 原创模拟预测题1.如图，直线l：y=+y轴交于点A，将直线l绕点A顺时针旋转75o后，所得直线的解析式为【】
A ．y = B ．y x =+ C ．y x =-+ D ．y x =- 【答案】B 。 【考点】旋转的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 故选B 。 原创模拟预测题2. 根据要求，解答下列问题： （1）已知直线l 1的函数表达式为y x 1=+，直接写出：①过原点且与l 1垂直的直线l 2的函数表达式；②过点（1，0）且与l 1垂直的直线l 2的函数表达式； （2）如图，过点（1，0）的直线l 4向上的方向与x 轴的正方向所成的角为600，①求直线l 4的函数表达式；②把直线l 4绕点（1，0）按逆时针方向旋转900得到的直线l 5，求直线l 5的函数表达式； （3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点（1，1）且与直线11y x 55 =-垂直的直线l 6的函数表达式。
一次函数图象的平移及解析式的变化规律 我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律: 一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律: （1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y . （2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y . 注意: （1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±. （2）上面的规律如下页图（51）所示.
2012年中考数学压轴题分类解析 专题7：几何三大变换相关问题 授课老师：黄立宗 典型例题选讲： 例题1：（2012福建龙岩13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对 应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF． （1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长； （2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F是菱形；②在①的 条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形． 例题2：（2012辽宁丹东）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE ①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）； （2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE 则线段BD与CE的数量关系为，∠BMC= （用α表示）； （3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC= （用α表示）． 例题3：（2012福建福州）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点． (1) 求抛物线的解析式； (2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D
的坐标； (3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)． 例题4：（2012广西贵港12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式； （3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线 OP与该抛物线交点的个数。 巩固练习 1、（2012黑龙江大庆）在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)， C″(2,1)，D(－4，1)，A(0，a)，B(a，O)( a 0). （1）结合坐标系用坐标填空． 点C与C′关于点对称; 点C与C″关于点对称; 点C与D关于点对称
平移旋转对称三大变换 1.（2020?安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折 叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究： （1）∠PAQ的大小为30 °； （2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为． 【解答】解：（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP， ∵∠QRA+∠QRP＝180°， ∴∠D+∠C＝180°， ∴AD∥BC， ∴∠B+∠DAB＝180°， ∵∠DQR+∠CQR＝180°， ∴∠DQA+∠CQP＝90°， ∴∠AQP＝90°， ∴∠B＝∠AQP＝90°，
∴∠DAB＝90°， ∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°， 故答案为：30； （2）由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR， ∵四边形APCD是平行四边形， ∴AD＝PC， ∴AR＝PR， 又∵∠AQP＝90°， ∴QR AP， ∵∠PAB＝30°，∠B＝90°， ∴AP＝2PB，AB PB， ∴PB＝QR， ∴， 故答案为：． 2.（2020?天水）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连 接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为 2 ．
【解答】解： 法一：由题意可得， △ADF≌△ABG， ∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG， ∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠EAB＝45°， ∴∠BAG+∠EAB＝45°， ∴∠EAF＝∠EAG， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴GE＝FE， 设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x， ∵CD＝6，DF＝3， ∴CF＝3，
函数()y f x =图像的平移变换与伸缩变换 在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数 y=Asin(x+)+m(A 0, 0)w j w 构的图像是由sin y x =的图像怎样变换得来的，这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时，也要增加函数()y f x =的图像变换的内容。三角函数也属于函数，因此一般函数()y f x =的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。 大家知道，sin y x =的图像向上(下)平移10个单位，可得到 10sin y x -=(10sin y x +=)，即s i n 10y x =+(sin 10y x =-)的图像；sin y x =的 图像向右(左)平移 10π，可得到sin()10y x p =-(sin()10 y x p =+)的图像；sin y x =的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的12 )，可得到1sin 2 y x =(sin 2y x =)的图像；sin y x =的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的13)，可得到1sin 3y x =(3sin y x =)，即3s i n y x =(1sin 3y x =)的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反
2004-2013年浙江11市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题13：几何三大变换问题之对称 一、选择题 1.（2004年浙江绍兴4分）如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD等于【】 A．108°B．144°C．126°D．129° 【答案】C。 【考点】矩形的性质，折叠对称的性质。 【分析】展开如图：五角星的每个角的度数是： 0 180 36 5 。 ∵∠COD=3600÷10=360，∠ODC=360÷2=180， ∴∠OCD=1800－360－180=1260。故选C。 2.（2004年浙江湖州3分）小强拿了一张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是【】 A. B. C. D. 【答案】D。 【考点】剪纸问题，折叠对称的性质，正方形的性质。 【分析】按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个等腰直角三角形，展开得：剪去的为一正方形，且顶点在原正方形的对角线上。故选D。 3.（2007年浙江绍兴4分）如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是【】
A．向右平移7格 B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB为对称轴作轴对称 C．绕AB的中点旋转1800，再以AB为对称轴作轴对称 D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格 【答案】D。 【考点】轴对称和平移变换。 【分析】观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格。故选D。 4.（2008年浙江台州4分）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移， 我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换 ．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结 合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换 ．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是【】 A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分 C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行 【答案】B。 【考点】新定义，轴对称变换和平移变换的性质。 【分析】观察图形，因为进行了平移，所以有垂直的一定不正确，A、C是错误的； 对应点连线是不可能平行的，D是错误的； 由对应点的位置关系可得：对应点连线被对称轴平分。故选B。 5.（2011年浙江温州4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，
二次函数图象的几何变换 内容基本要求略高要求较高要求 二次函数 1.能根据实际情境了解 二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二 次函数的图像； 1.能通过对实际问题中 的情境分析确定二次函 数的表达式； 2.能从函数图像上认识 函数的性质； 3.会确定图像的顶点、 对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图 像求出二次方程的近似 解； 1.能用二次 函数解决简 单的实际问 题； 2.能解决二 次函数与其 他知识结合 的有关问 题； 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函数2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.
二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变
几何三大变换（习题） ?例题示范 例1：如图，四边形ABCD 是边长为9 的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B 落在CD 边上的点B′处，点A 的对应点为A′，折痕为MN．若B′C=3，则AM 的长为． 【思路分析】 要求AM 的长，设AM=x，则MD=9-x． 思路一：考虑利用折叠为全等变换转条件，得AM=A′M=x， A′B′=AB=9．观察图形，∠A′=∠D=90°，△MA′B′和△MDB′都是 直角三角形，MB′是其公共斜边，则MB′可分别在两个直角三角形中借助勾股定理表达，列方程． 思路一思路二 思路二：MN 是对称轴，考虑利用对称轴上的点到对应点的距离相等转条件，得MB=MB′．观察图形，∠A=∠D=90°，MB，MB′ 可分别放到Rt△ABM 和Rt△DB′M 中借助勾股定理表达，列方程． 例2：如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD 的面积为24，则AC 的长为． 【思路分析】 已知四边形ABCD 的面积，要求AC 的长，考虑借助AC 表达四 边形ABCD 的面积．四边形ABCD 为不规则四边形，考虑割补法或转化法求面积．分析题目中条件AB=AD，存在等线段共端点的 结构，且隐含∠B+∠D=180°，故考虑通过构造旋转解决问题，可把△ABC 绕点A 逆时针旋转90°．
1
?巩固练习 1.如图，将边长为2 的等边三角形ABC 沿BC 方向平移1 个单 位得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为． 第1 题图第2 题图 2.如图，已知△ABC 的面积为8，将△ABC 沿BC 方向平移到 △A′B′C′的位置，使点B′和点 C 重合，连接AC′，交A′C 于点D，则△CAC′的面积为． 3.如图，在6 4 的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点 三角形乙，则其旋转中心是（） A．格点M B．格点N C．格点P D．格点Q 第3 题图第4 题图 4.如图，已知OA⊥OB，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD=45°，将△CDE 绕点 C 逆时针旋转75°，点 E 的 对应点N 恰好落在OA 上，则OC 的值为．CD 5.如图，E 是正方形ABCD 内一点，连接 AE，BE，CE，将△ABE 绕点B 顺时针 旋转90°至△CBE′的位置．若AE=1， BE=2，CE=3，则∠BE′C= ． 6.如图，在□ABCD 中，∠A=70°，将该 平行四边形折叠，使点C，D 分别落 在点E，F 处，折痕为MN．若点E， F 均在直线AB 上，则∠AMF= ．
中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解） 几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形 之间的关系(平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同 样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样， 和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形， 大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关 系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地 从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图 形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究. 解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基 本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力. 1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由； （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方 形的性质。 专题：压轴题。 分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG． （3）结论依然成立．还知道EG⊥CG． 解答：（1）证明：在Rt△FCD中， ∵Ｇ为DF的中点， ∴CG=FD， 同理，在Rt△DEF中， EG=FD， ∴CG=EG． （2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG． 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中， ∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴△DAG≌△DCG， ∴AG=CG； 在△DMG与△FNG中， ∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴△DMG≌△FNG，
专题20 几何三大变换问题之轴对称（折叠）问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质： （1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。中考压轴题中轴对称 (折叠)问题，包括有关三角形的轴对称性问题；有关四边形的轴对称性问题；有关圆的轴对称性问题；有关利用轴对称性求最值问题；有关平面解析几何中图形的轴对称性问题。 一. 有关三角形的轴对称性问题 1. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是点E ，F ，连接EF ，交AD 于点G ，求证：AD ⊥EF ． 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=900 ，∠B=300 ， BC=，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为等腰三角形时，BD 的长为 。 F D C E A B
【考点】翻折问题，轴对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等腰三角形的判定，分类思想的应用。 二. 有关四边形的轴对称性问题 3.如图①是3×3菱形格，将其中两个格子涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕菱形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有【】 A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B。 【考点】利用旋转的轴对称设计图案。 【分析】根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案： 得到的不同图案有：
几何三大变换（讲义） 一、知识点睛 1.________、________、____________统称为几何三大变换．几 何三大变换都是_______________，只改变图形的________，不改变图形的_________________． 2.三大变换思考层次 三 大 变 换 基本要素基本性质延伸性质应用 平移平移方向 平移距离 1．对应点所连的线 段平行且相等 2．对应线段平行且 相等 3．对应角相等 平移出现 __________ 天桥问题、 平行四边形 存在性等 旋转旋转中心 旋转方向 旋转角度 1．对应点到旋转中 心的距离相等 2．对应点与旋转中 心的连线所成的角 等于旋转角 3．对应线段、角相 等，对应线段的夹 角等于旋转角 4．对应点所连线段 的垂直平分线都经 过旋转中心 旋转出现 __________ 旋转结构 （等腰）等 轴 对称对称轴 1．对应线段、对应 角相等 2．对应点所连线段 被对称轴垂直平分 3．对称轴上的点到 对应点的距离相等 4．对称轴两侧的几 何图形全等 折叠出现 __________ 折叠问题、 最值问题等
二、精讲精练 1. 如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到 △DEF ，则四边形ABFD 的周长为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 F C E D B A B 1 A 1 y x B A O 第1题图 第2题图 2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 的坐标分别 为(1，0)，(0，2)，将线段AB 平移至A 1B 1，若点A 1，B 1的坐标分别为(2，a )，(b ，3)，则a b +=___________． 3. 如图，在44?的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角 度得到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是（ ） A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D D C B A N 1 M 1 P 1N M P 4. 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90°， ∠A =30°．若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路径长为________________．（结果保留π） C B A l …
中考压轴题（选择、填空）按题型整理： 七、平移旋转对称三大变换 1.（2019?宜昌）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（） A．（﹣1，2+）B．（﹣，3）C．（﹣，2+）D．（﹣3，） 解：如图，作B′H⊥y轴于H． 由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°， ∴∠A′B′H＝30°， ∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝， ∴OH＝3， ∴B′（﹣，3）， 故选：B． 2.（2019?邵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线， 将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（） A．120°B．108°C．72°D．36°
解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝54°． ∵AD是斜边BC上的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°． ∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处， ∴∠ADF＝∠ADC＝72°， ∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°． 故选：B． 3.（2019?株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y 轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5． 解：当光线沿O、G、B、C传输时， 过点B作BF⊥GH于点F，过点C作CE⊥GH于点E，
1.如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不 与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN 的值． 类比归纳：在图（1）中，若 13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14 CE CD =，则AM BN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN 的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓展：如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AM BN 的值等于__．（用含m n ，的式子表示）
2. 2.如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上， 落点记为E，这时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后再展开 铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”. 图一图二图三（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF” 是一个_________三角形； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．当它的“折痕△BEF”的顶 点E位于边AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标； （3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最 大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存 在，为什么？
3.课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的 有关问题． 实验与论证 设旋转角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0A2），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示． （1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________； （2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想 设正n边形A0A1A2…A n-1与正n边形A0B1B2…B n-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…B n-1绕顶点A0逆时针旋转α （ n 180 0< < ）． （3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；（4）试猜想在n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
编辑 一、选择题 1. （2013年湖北荆门3分）如下图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是【】 2. （2013年湖北荆州3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两 点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线 k y x （k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平 移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是【】
A．1 B．2 C．3 D．4 3. （2013年湖北荆州3分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论： ①△A1AD1≌△CC1B； ②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形； ③当x=2时，△BDD1为等边三角形；
④()2s 23x =-（0＜x ＜2）； 其中正确的是 ▲ （填序号）． 4. （2013年浙江湖州3分）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交
点之间的距离为32，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是【 】 A ．16 B ．15 C ．14 D ．13 5. （2013年山东聊城3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y 1x 2 = 经过平移得到抛物线21x 2y 2x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【 】
A 组 基础对点练 1．如图的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象．已知n 分别取±2，±1 2四个值，与 曲线C 1，C 2，C 3，C 4相应的n 依次为( ) A ．2，12，－1 2，－2 B ．2，12，－2，－1 2 C ．－12，－2,2，1 2 D ．－2，－12，1 2 ，2 解析：C 1，C 2对应的n 为正数，且C 1的n 应大于1； 当x ＝2时，C 4对应的值小，应为－2. 答案：A 2. 如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( ) 解析：直线l 在AD 圆弧段时，面积y 的变化率逐渐增大，l 在DC 段时，y 随x 的变化率不变；l 在CB 段时，y 随x 的变化率逐渐变小，故选D. 答案：D 3．函数y ＝xa x |x | (0＜a ＜1)的图象的大致形状是( ) 解析：函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝? ??? ? a x ，x ＞0，－a x ，x ＜0.当x ＞0时，函数是一 个指数函数，其底数0＜a ＜1，所以函数递减；当x ＜0时，函数递增，所以应选D.
答案：D 4．函数f (x )＝ln ??? ?x －1 x 的图象是( ) 解析：自变量x 满足x －1x ＝x 2－1 x ＞0，当x ＞0时可得x ＞1，当x ＜0时可得－1＜x ＜0， 即函数f (x )的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A 、D 中的图象．当x ＞1时，函数x －1 x 单调递增，故f (x )＝ln ????x －1x 单调递增． 答案：B 5. (2018·武昌调研)已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝2－x 2 2x B ．f (x )＝cos x x 2 C ．f (x )＝－cos 2x x D ．f (x )＝cos x x 解析：A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x →0＋ 时，f (x )<0，与题图不符，故不成立．选D. 答案：D 6．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( ) A ．e x ＋ 1 B ．e x － 1 C ．e －x ＋1 D ．e －x －1 解析：与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝e － x ，将函数y ＝e － x 的图象向左平移1个单位长度即得y ＝f (x )的图象，∴f (x )＝e －(x ＋1) ＝e －x －1 ，故选D. 答案：D 7．函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )
专题：函数图象的平移与对称变换 一．知识结构 1．利用描点法作函数的图象的基本步骤： ①确定函数的定义域 ②简化函数的解析式 ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、最值等) ④画出函数的图象 2．图象的平移变换 ①)(a x f y -=( 0>a )的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到；)(a x f y +=( 0>a )的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到 ②h x f y ±=)()0(>h 的图象可由)(x f y =的图象沿y 轴向上或向下平移h 个单位得到 注意： （1）可以将平移变换化简成口诀：左加右减，上加下减 （2）谁向谁变换是)()(a x f y x f y -=→=还是)()(x f y a x f y =→-= 3．图象的对称变换 ①)(x f y =与)(x f y -=的图象关于y 轴对称 ②)(x f y =与)(x f y -=的图象关于x 轴对称 ③)(x f y =与)(x f y --=的图象关于原点对称 ④)(x f y =的图象是保留)(x f y =的图象中位于上半平面内的部分，及与x 轴的交点，将的)(x f y =图象中位于下半平面内的部分以x 轴为对称翻折到上半面中去而得到。 ⑤)(x f y =图象是保留中位于右半面内的部分及与y 轴的交点，去掉左半平面内的部分，而利用偶函数的性质，将右半平面内的部分以y 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到。 ⑥奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形 二．题型选编 题组一：利用描点法作函数的图象 1．作出函数|5||2|)(--+=x x x f 的图象； 2．作出函数2 213)(-+=x x x f 的图象； 3．作出函数34)(2+-=x x x f 的图象； 题组二：利用图象的变换解决相应的问题 1．设函数)(x f y =图象进行平移变换得到曲线C ，这时)(x f y =图象上一点)1,2(-A 变
几何综合——三大变换 【例1】已知△ABC ，AD ∥BE ，若∠CBE ＝4∠DAC ＝80°，求∠C 的度数。 C D E B A 【例2】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，且BD ＝BC ，AC ⊥BD 。求证：AD ＋BC ＝2CM 。 M D C B A
【例3】已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，FG ⊥DE 于点H 。 ⑴求证：FG ＝DE 。 ⑵求证：FD EG 。 H G F E D C B A 【例4】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是AB 、AC 上的点且AD ＝CE 。求证：2DE ≥BC 。 E D C B A 【例5】(2007北京)如图，已知△ABC 。 ⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E (BC 的中点除外)，连结AD 、AE ，写出使此 图中只存在．．． 两对．． 面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB ＋AC ＞AD ＋AE 。 板块二 轴对称变换 【例6】把正方形沿着EF 折叠使点B 落在AD 上， B 'C '交CD 于点N ，已知正方形的边长为1，求△DB'N 的周长。 N C' F E B' D C B A 【例7】（2009山西太原）问题解决： 如图1，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D 、重合），压平后得到折痕MN 。当 12CE CD 时，求 AM BN 的值。 图1 N M F E D C B A 【例8】⑴(2009浙江温州)如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙O 的半径为2，圆心在正方形的中
专题21几何三大变换问题之平移问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。平移由两大要素构成：①平移的方向，②平移的距离。平移有如下性质： 1、经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变，即平移前后的图形全等； 2、平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等； 3、平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。 中考压轴题中平移问题，包括直线（线段）的平移问题；曲线的平移问题；三角形的平移问题；四边形的平移问题；其它曲面的平移问题。 一.直线（线段）的平移问题 1.定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点. （1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____, 当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______ （2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式. （3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M. ①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长; ②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴,垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2；5（2） () () 2 m8m122m4 d 24m6 < ?-+-≤ ? =? ≤≤ ?? （3）①16+4π②存在，m=1，m=3，m= 14 3 【解析】解：（1）2；5。 （2）∵点B落在圆心为A，半径为2的圆上，∴2≤m≤6。当4≤m≤6时，根据定义， d=AB=2。 当2≤m＜4时，如图，过点B作BE⊥OA于点E，则根据定义，d=EB。
《函数图像的平移变换》专题 2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名 【一次函数图像的平移】 画x x f 2)(=、22)(+=x x f 、22)(-=x x f 的图像 备用图 思考：已知x x f 2)(=，那么=+)1(x f ，=-)1(x f 。 对比上图，我们发现： ①函数22)1(+=+x x f 可以看作x x f 2)(=向 平移 单位得到，也可以看做x x f 2)(=向 平移 单位得到。 ②函数2-2)1-(x x f =可以看作x x f 2)(=向 平移 单位得到，也可以看做 x x f 2)(=向 平移 单位得到。 ?? ? ? ?<>?+?）平移 时，图像向（）平移 时，图像向（）00()(a a a x f x f ?? ? ? ?<>?+?）平移 时，图像向（）平移 时，图像向（00)()(a a a x f x f 【反比例函数图像的平移】
画x x f 2)(= 、22)(+=x x f 、22)(+=x x f 的图像 备用图 思考：已知x x f 2 )(= ，那么=+)2(x f ，=+2)(x f 。 对比上图，我们发现： ①函数=+)2(x f 可以看作x x f 2 )(= 向 平移 单位得到。 ②函数=+2)(x f 可以看作x x f 2 )(=向 平移 单位得到。 ?? ? ? ?<>?+?）平移 时，图像向（）平移 时，图像向（）00()(a a a x f x f ?? ? ? ?<>?+?）平移 时，图像向（）平移 时，图像向（00)()(a a a x f x f 【二次函数图像的平移】 画2)(x x f =、32)(2--=x x x f 、54)(2 --=x x x f 的图像