2011年 天津市大学数学竞赛试题参考解答
(理工类)
一. 填空题(本题15分,每小题3分): 1. 设()f x 是连续函数, 且0()lim
41cos x f x x →=-, 则01
()lim 1x f x x →?
?+= ??
? 2
e .
2. 设223
()2
x f x ax b x +=++- , 若 l i m ()0x f x →∞= 则 a =2,-
b =4.-
3.
1e ln d x x x x ??+= ???
?
e l n .x
x C +
4. 设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,D
f x y xy f x y x y =+??
其中D 由x 轴、y 轴以
及直线1x y +=围成, 则(,)f x y =
1.12
xy +
5. 椭球面22221x y z ++=平行于平面20x y z -+=的切平面方程为
20x y z -++
= 和
20.x y z -+-=
二. 选择题(本题15分,每小题3分):
1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处
(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可
导. 答: (A)
2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知0()0,f x '=则
(A) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增加, (B) ()f x 在0x 的某个邻域中单
调增少,
(C) ()f x 在0x 处取得极小值, (D) ()f x 在0x 处取得极大值. 答: ( C)
3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数, 则积分
()d a x f x x '?
表示
(A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形
(C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形 答: (D)
4. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令
1()d ,b a
S f x x
=?
2()(),S f b b a =- 31
[()()](),2
S f a f b b a =+- 则 (A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D)
231.S S S <<
答: (C )
5. 设 曲面22{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正, 1∑是 ∑在 0x ≥的部分, 则曲面积分 (A)
d d 0,x y z ∑
=??
(B)
1
d d 2d d .z x y z x y
∑
∑=??
??
(C)
1
22d d 2d d ,y y z y y z ∑
∑=??
?? (D)
1
22d d 2d d ,x y z x y z ∑
∑=??
??
答: (B)
三. (6分) 设函数 ()2
002
[(1)()d ]d 0sin 00x
t t u u t
,x ,f x x
,
x .
??-?≠=??=??? 其中函数?处处连续. 讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性.
解 2
2
2
[(1)()d ]d (1)()d lim ()lim
lim
2x x x x t x t u u t
x u u
f x x
x
??→→→--==???
2
2
()d ()d lim
lim
22x x x x x u u
u u
x
x
??→→=-??
202()0l i m
0(0)
2
x x x f ?→?=-== 因此, ()f x 在0x =处连续.
200300[(1)()d ]d ()(0)lim lim
x
x x t t u u t f x f x x ?→→--=?? 2
20(1)()d lim 3x x x u u x ?→-=? 2
2
00
2200()d ()d 11lim lim 33x x x x x u u u u x x
??→→=-?? 1
(0)3
?=-
因此, ()f x 在0x =处可导, 且 1
(0)(0).
3f ?'=-
四. (6分) 设函数()x x t =由方程cos 0t x x +=确定, 又函数()y y x =由方程
2e 1y xy --=确定, 求复合函数(())y y x t =的导数
d d .t y
t
=
解 方程cos 0t x x +=两边对t 求导
d d cos sin 0.d d x x
x t x t t -?+=
当 t=0时, x=0, 故
00
d c o s
1.d sin 1t t x x x t t x ====--=
方程2
e 1y xy --= 两边对x 求导 2
d d e
0.d d y y y
y x x x
-?--?= 当 0x =时,2,y = 故 02
2
d 2.d e
x y y x y y x
x
==-==-=
因此,
00
d d d .d d d 2t x t y y
x
t x
t ====?
=-
五. (6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导,且0()
lim
0x f x x
→=,记10()()x f xt d t ?'=?,求)(x ?的导数,并讨论)(x ?'在0x =处的连续性. 解 由已知的极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有 10(0)(0)d 0.f t ?'=
=?
当 0x ≠时, 1
10
0011()
()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ?'''==
==???
从而有
()
,0()0,
0.
f x x x x
x ??≠?
=??=?
因为
()
lim ()lim
0(0),x x f x x x
??→→===
所以, ()x ?在0x =处连续. 当 0x ≠时, 2
()()
(),xf x f x x x ?'-'=
在0x =处, 由(0)0,?= 有 20
0()(0)
()()1
(0)lim
lim
lim (0)22
x x x x f x f x f x
x x ???→→→'-'''==== 所以,
2()()
,0
()1(0),0.
2
xf x f x x x x f x ?'-?≠??'=?
?''=??
而
20
000
0()
()
()()l i m
()l i m l i m l i m l i m 2x x x x x f x f x f x f x x x x
x x
?→→→→→''''=-=-
001()1()(0)1
lim lim (0)(0),222
x x f x f x f f x x ?→→'''-'''=
=== 故 ()x ?'在0x =处连续.
六. (7分) 设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足: 22,(0)0.y x y y '=+=
(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞的单调性和曲线()y y x =的凹凸性.
(Ⅱ) 求极限 3
0()
lim
.
x y x x →
解 (Ⅰ) 当0x >时, 有
220,y x y '=+>
故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增加. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增加. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. (或当0x >时, 可得
222222()0.y x y y x y x y '''=+?=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. )
(Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则
22
322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x
→→→'+==
[]2
2
011111
l i m (0).3333
3
x y y x →??'=+=+= ??? 七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有连续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证
2
11300()d ][()]d .
f x x f x x ??≥??????
证 令 2
300()()d [()]d ,x x
F x f t t f t t ??=-??????
则 ()F x 在 [0,1]连续, 且对
(0,1)x ∈,
30()2()
()d [()]
x
F x f x f t t
f x '=-?
2
()2
()d ().
x f x f t t
f x ??=-???
?
?
又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20
()2
()d (),x g x f t t f x =-?
则
()g x 在[0,1]上连续, 且
()2()[1()]0,(
g x f x f x x ''=-≥∈ 故有
()(0)0(0,1).g x g x ≥=∈
因此
()0,
(0,1
F x x '≥∈ 于是()F x 在[0,1]上单调增加, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得
2
11
300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ??=-≥????
??
所证结论成立.
八. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''> 直线a L 是曲线()y f x =上任意一
点(,())a f a 处的切线, 其中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为().V a 试问a 为何值时()V a 取得最小值.
解 切线a L 的方程为 ()()()y f a f a x a '-=- 即
()()()y f a x a f a f a
''=-+ 于是
10
()2
[()()()()]d V a x f x f a x a f a f a x
π''=-+-?
10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π??
''=-+-????
?
可见, ()V a 在[0,1]连续, 在(0,1)可导. 令
1()2[()
()]
()(32)0
32
3
a
V a f a f a f a a π
π'''''''=-+=-=,
a
由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一的驻点2
.3
a = 并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2
(,1)3
a ∈时, ()0,V a '> 因此,
()V a 在2
3
a =处取得最小值.
九. (7分) 计算
(sin )d (cos 1)d ,L
y y x x y y -+-?其中L 为从点(0,0)O 沿圆周2
22x
y x
+=在第一象限部分到点(1,1)A 的路径.
解 令 sin ,cos 1,P y y Q x y =-=- 则
c o s (c o s 1)1.
Q P
y y x y
??-=--=?? 取点(1,0).B 作有向直线段,OB 其方程为 0(y x =从0变到1).
作有向直线段,BA 其方程为 1(x y =从0变到1). 由曲线L 、有向直线段AB 和BO 形成的闭曲线记为0L (沿顺时针方向), 0L 所围成的区域记为D , 则
(s i n )d (c o s
1L
y y x x y y
-+-?
()((s i n )d (c o s 1)d )
A B
B O
L y y
x x y y =---+-??
?
d (s i n )d (c o s 1)d
D
B A
y y
x x y y σ=-+-+-??? (s i n )d (c o s 1)d
y y x x y y +
-+-?
10
1
(c o s 1)d 0
4
y y π=-+
-+?
1
s i n 11.
4
π=-+- 十. (8分) 设(1)有向闭曲线Γ是由圆锥螺线 OA
:θθθθθ===z y x ,sin ,cos ,(θ从0变到2π)和有向直线段 AO 构成, 其中()0,0,0O , ()2,0,2A ππ; (2)闭曲线Γ
将其所在的圆锥面z =
∑是其中的有界部分.
(Ⅰ)如果()x z F -=,1, 表示一力场,求F
沿Γ所做的功W ;
(Ⅱ)如果()x z F -=,1,
表示流体的流速,求流体通过∑流向上侧的流量. (单位从
略)
解(Ⅰ)作有向直线段,AO 其方程为 ??
?==x
z y 0
(x 从 2π变到0). 所求F
沿Γ所做的功为
d d d W z x y x z Γ
=
+-?
()(d d d )O
A O
z x y x z =
++-?
?
()20
cos sin sin cos cos d πθθθθθθθθθθ=-++-?????
()0
2d x x x π+-?
220
(cos sin )d 0πθθθθθ=
-+?
24π=.
(Ⅱ)Γ
所在的圆锥面方程为z =
∑上任一点处向上的一个法向量为
(,,1)x y n z z =--=
∑在xOy 面上的投影区域为D , 0,
02.r θθπ≤≤≤≤
故所求流体通过∑流向上侧的流量为
d d d d d d ()()d d x y z y z z x x x y z z z x x y ∑
∑??Φ=
+-=?-+--?
???
?? d d x x x y ∑??=-- ? ???
?? ()20
d 2cos sin d r r r πθ
θθθ=-+?
?
2230
2cos sin d 32πθθθθθ??=-
+ ???
?
2
6π-=.
注: (Ⅰ)的另一解法 应用Stokes 公式, 可得 W 2d d 2d d y z x z x y ∑
∑
=
=-??
??2d x y
∑
=??
2220
0sin 2d d sin d r r r r
πθπθ
θθθθ=-?=-?
?
? 24π=.
x
十一. (8分) 设函数(,)u u x y =在心形线:1cos L r θ=+所围闭区域D 上具有二
阶连续偏导数, n 是在曲线L 上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向), u
n ??是
(,)u x y 沿L 的外法向的方向导数, L 取逆时针方向.
(Ⅰ) 证明:
d d d .L L u u u
s x y n y x
???=-+?????
(Ⅱ) 若222221,u u
x y y x y
??+=-+?? 求d L u s n ??? 的值. (Ⅰ) 证 由方向导数的定义
d (c o s s i n )d .
L L u u u
s s n x y
αα???=+?????
其中, α是n
相对于 x 轴正向的转角.
设1α是 L 的切向量τ 相对于x 轴正向的转角, 则1,2παα=+ 或 1.
2π
αα=-
故
11d (sin cos )d .L L u u u
s s n x y αα???=-?????
d d .L
u u
x y y x ??=-
+???
(Ⅱ) 解 应用格林公式
22222d ()d d (1)d d D D L u u u
s x y x y y x y
n x y ???=+=-+????????
由对称性
1cos 00d 1d d 2d d D L u
s x y x r r
n πθ+?==??????
203
(1c o s )d .2πθθπ=+=?
十二.(8分) 设圆2
2
2x y y +=含于椭圆22
221x y a b
+=的内部, 且圆与椭圆相切于
两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).
(Ⅰ) 求 a 与b 满足的等式; (Ⅱ) 求a 与b 的值, 使椭圆的面积最小.
解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在
00(,)x y 处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即2002001
b x x
a y y -=--. 注意到00,x ≠
因此, 点00(,)x y 应满足
22
0022
2200022001(1)2(2)1
(3)
1
x y a b x y y b a y y ?
+=???
+=?
??=
-??
由(1)和(2)式, 得
2222
002
20.b a y y a b
--+= (4)
由 (3) 式得 2
022
.b y b a =
- 代入(4) 式
22422
222222
20.()b a b b a b b a b a
-?-+=-- 化简得 22
22
,b a b a
=- 或 2242
0.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下的最小值. 构造函数2242(,,)().L a b ab a b a b λλ=+-- 令
232
2242(24)0(6)(22)0(7)0(8)
a b L b ab a L a a b b L a b a b λ
λλ?=+-=?=+-=??=--=?
(6) ·a ? (7)·b , 并注意到 0λ≠, 可得 242b a =. 代入 (8) 式得 644220a a a --=,
故 a =
从而 2b == 由此问题的实际可知, 符合条件的椭圆面积的最小值存在, 因此当
a b =
=
时, 此椭圆的面积最小.
2011年高考理科数学试题及答案(天津卷) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 注意事项:? 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式: 如果事件A,B 互斥,那么 如果事件A,B 相互独立,那么 ()()()P A B P A P B =+?()()().P AB P A P B = 棱柱的体积公式.V Sh = 圆锥的体积公式1.3V Sh = 其中S 表示棱柱的底面面积?其中S 表示圆锥的底面面积 h 表示棱柱的高? h 表示圆锥的高 一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位,复数131i i --= ?A.2i + B.2i - C.12i -+ ?D .12i -- 2.设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“ 224x y +≥”的 A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为 ?A.3 ?B .4 C.5 ??D .6 4.已知{}n a 为等差数列,其公差为-2,且7a 是3a 与9a 的等比中项,n S 为 {}n a 的前n 项和,*n N ∈,则10S 的值为 A.-110 ? B .-90 ?C.90 ? D .110 5.在6x x ??- ? ???的二项展开式中,2x 的系数为 A .154- ?B.154 ?C.38- ?D .38 6.如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且,23,2AB CD AB BD BC BD ===,则sin C 的值为 ?A.3 ? B.3 ?C .6 ? D.6 7.已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ??=== ???则 ?A.a b c >> B.b a c >> C .a c b >> ?D .c a b >> 8.对实数a 和b ,定义运算“?”:,1,, 1.a a b a b b a b -≤??=?->? 设函数 ()()22()2,.f x x x x x R =-?-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是 A . (]3,21,2??-∞-?- ??? ?B.(]3,21,4??-∞-?-- ??? C .111,,44????-?+∞ ? ????? ? D .311,,44????--?+∞ ??????? 第I I卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理科数学 乐享玲珑,为中国数学增光添彩! 免费,全开放的几何教学软件,功能强大,好用实用 第Ⅰ卷 一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则A B ?= (A) (,2] -∞(B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 2.设变量x, y满足约束条件 360, 20, 30, x y y x y≥ --≤ +- ? -≤ ? ? ? ? 则目标函数z = y-2x的最小值为 (A) -7 (B) -4 (C) 1 (D) 2 3.阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为 (A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 4.已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的1 2 , 则其体积缩小到原来的 1 8 ; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆221 2 x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③(B) ①②(C) ②③(D) ②③ 5.已知双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0) px p y=>的准线分别交于A, B两点, O
为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p = (A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3 6.在△ABC 中, ,3,4 AB BC ABC π ∠===则sin BAC ∠ = (A) (B) (C) (D) 7. 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 8.已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ?? -????? , 则实数a 的取值范围是 (A) ????? (B) ? ???? (C) ?? ????? ?? (D) ?- ?? ∞ 第Ⅱ卷 二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9.已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . 10.6 x ? ? 的二项展开式中的常数项为 . 11.已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π?? ??? , 则|CP | = . 12.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ? ∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE = , 则AB 的长为 . 13.如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点 E , AD 与BC 交于点 F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 . 14.设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b +取得最小值. 三.解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分13分) 已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π? ?=++- ?+? ?∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;
2016年天津市高考数学试卷(理科) 一、选择题 1.(5分)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x﹣2,x∈A},则A∩B=() A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4} 2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+5y的最小值为 () A.﹣4 B.6 C.10 D.17 3.(5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=() A.1 B.2 C.3 D.4 4.(5分)阅读如图的程序图,运行相应的程序,则输出S的值为() A.2 B.4 C.6 D.8 5.(5分)设{a n}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n﹣ 1+a2n<0”的() A.充要条件B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件 6.(5分)已知双曲线﹣=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程
为() A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 7.(5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、BC的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE=2EF,则?的值为() A.﹣B.C.D. 8.(5分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()A.(0,]B.[,]C.[,]∪{}D.[,)∪{} 二、填空题 9.(5分)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1﹣bi)=a,则的值为. 10.(5分)(x2﹣)8的展开式中x7的系数为(用数字作答) 11.(5分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为 m3 12.(5分)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE 的长为. 13.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增,若实数a
2011年天津市高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分) 1.(5分)(2011?天津)i是虚数单位,复数=() A.2+i B.2﹣i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】要求两个复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分子和分母上进行复数的乘法运算,最后结果要化简成最简形式. 【解答】解:复数===2﹣i 故选B. 【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算,是一个基础题,这种题目运算量不大,解题应用的原理也比较简单,是一个送分题目. 2.(5分)(2011?天津)设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可证明充分性;由满足“x2+y2≥4”可举出反例推翻“x≥2且y≥2”,则证明不必要性,综合可得答案. 【解答】解:若x≥2且y≥2,则x2≥4,y2≥4,所以x2+y2≥8,即x2+y2≥4; 若x2+y2≥4,则如(﹣2,﹣2)满足条件,但不满足x≥2且y≥2. 所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件. 故选A. 【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义. 3.(5分)(2011?天津)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为()
A.3 B.4 C.5 D.6 【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图. 【分析】通过程序框图的要求,写出前四次循环的结果得到输出的值. 【解答】解:该程序框图是循环结构 经第一次循环得到i=1,a=2; 经第二次循环得到i=2,a=5; 经第三次循环得到i=3,a=16; 经第四次循环得到i=4,a=65满足判断框的条件,执行是,输出4 故选B 【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环结果,找规律. 4.(5分)(2011?天津)已知{a n}为等差数列,其公差为﹣2,且a7是a3与a9的等比中项,S n为{a n}的前n项和,n∈N*,则S10的值为() A.﹣110 B.﹣90 C.90 D.110 【考点】等差数列的前n项和;等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】通过a7是a3与a9的等比中项,公差为﹣2,求出 【解答】解:a7是a3与a9的等比中项,公差为﹣2,所以a72=a3?a9, ∵{a n}公差为﹣2, ∴a3=a7﹣4d=a7+8,a9=a7+2d=a7﹣4, 所以a72=(a7+8)(a7﹣4),所以a7=8,所以a1=20, 所以S10==110 故选D 【点评】本题是基础题,考查等差数列的前n项和,等比数列的应用,考查计算能力,常考题型. 5.(5分)(2011?天津)在的二项展开式中,x2的系数为()A.B.C. D. 【考点】二项式定理. 【专题】二项式定理. 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数为2,求出展开式中,x2的系数,即得答案. 【解答】解:展开式的通项为T r+1=(﹣1)r22r﹣6C6r x3﹣r 令3﹣r=2得r=1 所以项展开式中,x2的系数为﹣ 故选C 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.
2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类) 第Ⅰ卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 2.本卷共8小题。 参考公式: ·如果事件A 、B 互斥,那么()()()P A B P A P B ?=+. ·如果事件A 、B 相互独立,那么()()()P AB P A P B =. ·圆柱的体积公式V Sh =,其中S 表示圆柱的底面面积,h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13 V Sh =,其中S 表示棱锥的底面面积,h 表示棱锥的高. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5}, {2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈ 2.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1, x y x y x y +-≤??-+≥??-??-?……则目标函数4z x y =-+的最大值为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 画出可行域,用截距模型求最值。 【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距, 故目标函数在点A 处取得最大值。 由20,1 x y x -+=??=-?,得(1,1)A -, 所以max 4(1)15z =-?-+=。 故选C 。 【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围.即:一画,二移,三求. 3.设x R ∈,则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) 2011年天津市高考数学试卷(理科) 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分) 1.(5分)(2011?天津)i是虚数单位,复数=() A.2+i B.2﹣i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i 2.(5分)(2011?天津)设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3.(5分)(2011?天津)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为() A.3B.4C.5D.6 4.(5分)(2011?天津)已知{a n}为等差数列,其公差为﹣2,且a7是a3与a9的等比中项,S n为{a n}的前n项和,n∈N*,则S10的值为() A.﹣110B.﹣90C.90D.110 5.(5分)(2011?天津)在的二项展开式中,x2的系数为() A.B.C.D. 6.(5分)(2011?天津)如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sinC的值为() A.B.C.D. 7.(5分)(2011?天津)已知,则() A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 8.(5分)(2011?天津)对实数a与b,定义新运算“?”:设函数f(x)=(x2﹣2)?(x﹣x2), x∈R.若函数y=f(x)﹣c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是() A.B.C.D. 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分) 9.(5分)(2011?天津)一支田径队有男运动员48人,女运动员36人,若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本,则抽取男运动员的人数为_________. 10.(5分)(2011?天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则这个几何体的体积为_________m3. 11.(5分)(2011?天津)已知抛物线C的参数方程为(t为参数),若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点,且与圆(x﹣4)2+y2=r2(r>0)相切,则r=_________. 12.(5分)(2011?天津)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF:FB:BE=4:2:1.若CE与圆相切,则CE的长为. 13.(5分)(2011?天津)已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9},B=,则集合A∩B=_________. 14.(5分)(2011?天津)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为_________. 三、解答题(共6小题,满分80分) 2011年高考理科数学试题及答案(天津卷) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式: 如果事件A ,B 互斥,那么 如果事件A ,B 相互独立,那么 ()()()P A B P A P B =+U ()()().P AB P A P B = 棱柱的体积公式.V Sh = 圆锥的体积公式1.3V Sh = 其中S 表示棱柱的底面面积 其中S 表示圆锥的底面面积 h 表示棱柱的高 h 表示圆锥的高 一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位,复数131i i --= A .2i + B .2i - C .12i -+ D .12i -- 2.设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“ 224x y +≥”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .即不充分也不必要条件 3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为 A .3 B .4 C .5 D .6 4.已知{}n a 为等差数列,其公差为-2,且7a 是3a 与9a 的等比中项,n S 为 {}n a 的前n 项和,*n N ∈,则10S 的值为 A .-110 B .-90 C .90 D .110 5.在6x x ??- ? ???的二项展开式中,2x 的系数为 A .154- B .154 C .38- D .38 6.如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且,23,2AB CD AB BD BC BD ===,则sin C 的值为 A .33 B .36 C .6 D .6 7.已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ??=== ???则 A .a b c >> B .b a c >> C .a c b >> D .c a b >> 8.对实数a 和b ,定义运算“?”:,1,, 1.a a b a b b a b -≤??=?->? 设函数 ()()22()2,.f x x x x x R =-?-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是 A . (]3,21,2??-∞-?- ??? B .(]3,21,4??-∞-?-- ??? C .111,,44????-?+∞ ? ????? D .311,,44????--?+∞ ??????? 2018年天津市高考数学试卷(文科) 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5.00分)设集合A={1,2,3,4},B={﹣1,0,2,3},C={x∈R|﹣1≤x<2},则(A∪B)∩C=() A.{﹣1,1}B.{0,1}C.{﹣1,0,1}D.{2,3,4} 2.(5.00分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x+5y的最大 值为() A.6 B.19 C.21 D.45 3.(5.00分)设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.(5.00分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.(5.00分)已知a=log3,b=(),c=log,则a,b,c的大小关系 为() A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 6.(5.00分)将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数() A.在区间[]上单调递增B.在区间[﹣,0]上单调递减 C.在区间[]上单调递增D.在区间[,π]上单调递减 7.(5.00分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且 垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为() A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 8.(5.00分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2,=2,则的值为() A.﹣15 B.﹣9 C.﹣6 D.0 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(5.00分)i是虚数单位,复数=. 10.(5.00分)已知函数f(x)=e x lnx,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为. 11.(5.00分)如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1﹣BB1D1D 的体积为. 12.(5.00分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为. 13.(5.00分)已知a,b∈R,且a﹣3b+6=0,则2a+的最小值为.14.(5.00分)已知a∈R,函数f(x)=.若对任意x∈[﹣3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是. 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(13.00分)己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160, 2013年天津市高考数学试卷(理科) 一.选择题:(每题5分,共40分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=()A.(﹣∞,2]B.[1,2]C.[﹣2,2]D.[﹣2,1] 2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=y﹣2x的最小 值为() A.﹣7 B.﹣4 C.1 D.2 3.(5分)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为1,则输出 S的值为() A.64 B.73 C.512 D.585 4.(5分)已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的; ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; ③直线x+y+1=0与圆相切. 其中真命题的序号是() A.①②③B.①②C.①③D.②③ 5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px (p>0)的准线分别交于O、A、B三点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=() A.1 B.C.2 D.3 6.(5分)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=() A.B.C.D. 7.(5分)函数f(x)=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 8.(5分)已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为A,若,则实数a的取值范围是() A.B. C.D. 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi=.10.(5分)的二项展开式中的常数项为. 11.(5分)已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆心为C,点P的极坐标为,则|CP|=. 12.(5分)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若,则AB的长为. 2011 年天津市高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1.( 5 分)( 2011?天津) i 是虚数单位,复数 =( ) A . 2+i B . 2﹣ i C .﹣ 1+2i D .﹣ 1﹣ 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算. 【专题】 数系的扩充和复数. 【分析】 要求两个复数的除法运算, 分子和分母同乘以分母的共轭复数, 分子和分母上进行复数的乘法运算,最后结果要化简成最简形式. 【解答】 解:复数 = = =2 ﹣ i 故选 B . 【点评】 本题考查复数的代数形式的乘除运算,是一个基础题,这种题目运算量不大, 解题应用的原理也比较简单,是一个送分题目. 2 2 ) 2.( 5 分)( 2011?天津)设 x , y ∈R ,则 “x ≥2 且 y ≥2”是 “x +y ≥4”的( A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】 简易逻辑. 2 2 2 2 【分析】 由“x ≥2 且 y ≥2”推出 “x +y ≥4”可证明充分性;由满足 “x +y ≥4”可举出反例推翻 “x ≥2 且 y ≥2”,则证明不必要性,综合可得答案. 2 2 【解答】 解:若 x ≥2 且 y ≥2,则 x ≥4, y ≥4,所以 若 x 2 +y 2 ≥4,则如(﹣ 2,﹣ 2)满足条件,但不满足 所以 “x ≥2 且 y ≥2”是 “x 2 2 +y ≥4”的充分而不必要条件. 故选 A . 【点评】 本题主要考查充分条件与必要条件的含义. 2 2 2 2 ≥4; x +y ≥8,即 x +y x ≥2 且 y ≥2. 3.( 5 分)( 2011?天津)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( ) 2018年天津市高考数学试卷(理科) 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(?R B)=()A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2} 2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x+5y的最大值 为() A.6 B.19 C.21 D.45 3.(5分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.(5分)设x∈R,则“|x﹣|<”是“x3<1”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.(5分)已知a=log 2e,b=ln2,c=log,则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 6.(5分)将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数() A.在区间[,]上单调递增B.在区间[,π]上单调递减 C.在区间[,]上单调递增D.在区间[,2π]上单调递减 7.(5分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直 于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为() A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 8.(5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若 点E为边CD上的动点,则的最小值为() A.B.C.D.3 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(5分)i是虚数单位,复数=. 10.(5分)在(x﹣)5的展开式中,x2的系数为. 11.(5分)已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体 2011年天津市高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分) 1.(5分)(2011?天津)i是虚数单位,复数=() A.2﹣i B.2+i C.﹣1﹣2i D.﹣1+2i 2.(5分)(2011?天津)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最 大值为() A.﹣4 B.0 C.D.4 3.(5分)(2011?天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为﹣4,则输出y的值为() A.0.5 B.1 C.2 D.4 4.(5分)(2011?天津)设集合A={x∈R|x﹣2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x﹣2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 5.(5分)(2011?天津)已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6则() A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b 6.(5分)(2011?天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px的 焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1),则双曲线的焦距为() A.2 B.2C.4D.4 7.(5分)(2011?天津)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,﹣π<φ≤π.若函数f(x)的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则() A.f(x)在区间[﹣2π,0]上是增函数B.f(x)在区间[﹣3π,﹣π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 8.(5分)(2011?天津)对实数a与b,定义新运算“?”:a?b=.设函数f (x)=(x2﹣2)?(x﹣1),x∈R.若函数y=f(x)﹣c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是() A.(﹣1,1]∪(2,+∞)B.(﹣2,﹣1]∪(1,2]C.(﹣∞,﹣2)∪(1,2]D.[﹣2,﹣1] 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分) 9.(5分)(2011?天津)已知集合A={x∈R||x﹣1|<2},Z为整数集,则集合A∩Z中所有元素的和等于. 10.(5分)(2011?天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则这个几何体的体积为m3. 11.(5分)(2011?天津)已知{a n}为等差数列,S n为{a n}的前n项和,n∈N*,若a3=16,S20=20,则S10值为. 12.(5分)(2011?天津)已知log2a+log2b≥1,则3a+9b的最小值为. 2015年天津市高考数学试卷(理科)及解析2015年天津市高考数学试卷(理科) 一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1((5分)(2015?天津)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A??B=( ) U A({2 ,5} B( {3,6} C( {2,5,6} D({2 ,3,5,6,8} 2((5分)(2015?天津)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( ) A( B( C( D( 3 4 18 40 3((5分)(2015?天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为( ) A(, 10 B( C( D( 6 14 18 24((5分)(2015?天津)设x=R,则“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的( ) A(充分而不必要条件 B( 必要而不充分条件 C( 充要条件 D(既不充分也不必要条件 5((5分)(2015?天津)如图,在圆O中,M、N是弦AB的三等分点,弦CD,CE 分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为( ) 第1页(共21页) A( B( C( D( 3 6((5分)(2015?天津)已知双曲线,=1 (a,0,b,0)的一条渐近线过点(2,), 2且双曲线的个焦点在抛物线y=4x的准线上,则双曲线的方程为( ) A( B( ,=1 ,=1 C( D( ,=1 ,=1 ,|xm|((5分)(2015?天津)已知定义在R上的函数f(x)=2,1(m为实数)为偶函数,7 记a=f(log3),b=f(log5),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( ) 0.52 A(a ,b,c B( a,c,b C( c,a,b D(c ,b,a 2012年天津市高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分) 1.(5分)(2012?天津)i是虚数单位,复数=() == 2.(5分)(2012?天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x﹣ y=﹣,即斜率为,截距为﹣ 3.(5分)(2012?天津)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出s的值为() 4.(5分)(2012?天津)已知a=21.2,b=()﹣0.8,c=2log52,则a,b,c的大小关系为() ) 5.(5分)(2012?天津)设x∈R,则“x>”是“2x2+x﹣1>0”的() ; ” > ” ][ ,[, 7.(5分)(2012?天津)将函数y=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是() B ) ﹣)ω)=k )的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的 ) 再由所得图象经过点(﹣ω)ω? 8.(5分)(2012?天津)在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点P,Q满足, ,λ∈R.若=﹣2,则λ=() B 由题意可得,根据﹣λ =0 ((=[﹣[] +0= , 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) 9.(5分)(2012?天津)集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为﹣3. 10.(5分)(2012?天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为30m3. ) 11.(5分)(2012?天津)已知双曲线C1:与双曲线C2: 有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0).则a=1,b=2. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(天津卷) 第Ⅰ卷 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013天津,文1)已知集合A ={x ∈R ||x |≤2},B ={x ∈R |x ≤1},则A ∩B =( ). A .(-∞,2] B .[1,2] C .[-2,2] D .[-2,1] 2.(2013天津,文2)设变量x ,y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥?? --≤??-≤? 则目标函数z =y -2x 的最小值为( ). A .-7 B .-4 C .1 D .2 3.(2013天津,文3)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出n 的值为( ). A .7 B .6 C .5 D .4 4.(2013天津,文4)设a ,b ∈R ,则“(a -b )·a 2 <0”是“a <b ”的( ). A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 5.(2013天津,文5)已知过点P (2,2)的直线与圆(x -1)2+y 2 =5相切,且与直线ax -y +1=0垂直,则a =( ). A .12- B .1 C .2 D .12 6.(2013天津,文6)函数()πsin 24f x x ??=- ???在区间π0,2?? ???? 上的最小值为( ). A .-1 B .2- C .2 D .0 7.(2013天津,文7)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a 满足f (log 2a )+12 (log )f a ≤2f (1),则a 的取值范围是( ). A .[1,2] B .10,2?? ??? C .1,22??? ??? D .(0,2] 8.(2013天津,文8)设函数f (x )=e x +x -2,g (x )=ln x +x 2 -3.若实数a ,b 满足f (a )=0,g (b )=0,则( ). A .g(a)<0<f(b) B .f(b)<0<g(a) C .0<g(a)<f(b) D .f(b)<g(a)<0 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(2013天津,文9)i 是虚数单位,复数(3+i)(1-2i)=__________. 10.(2013天津,文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为9π 2 ,则正方体的棱长为__________. 11.(2013天津,文11)已知抛物线y 2 =8x 的准线过双曲线22 22=1x y a b -(a >0,b >0)的一个焦点,且 双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为__________. 12.(2013天津,文12)在平行四边形ABCD 中,AD =1,∠BAD =60°,E 为CD 的中点.若AC ·BE = 1,则AB 的长为__________. 13.(2013天津,文13)如图,在圆内接梯形ABCD 中,AB ∥DC .过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于 2017年天津市高考数学试卷(理科) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|﹣1≤x≤5},则(A∪B)∩C=() A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,5}D.{x∈R|﹣1≤x≤5} 2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值 为() A.B.1 C.D.3 3.(5分)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 4.(5分)设θ∈R,则“|θ﹣|<”是“sinθ<”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若 经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为() A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 6.(5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 7.(5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<x.若f()=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则() A.ω=,φ=B.ω=,φ=﹣ C.ω=,φ=﹣D.ω=,φ= 8.(5分)已知函数f(x)=,设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,则a的取值范围是() A.[﹣,2]B.[﹣,]C.[﹣2,2] D.[﹣2,] 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(5分)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.10.(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为. 11.(5分)在极坐标系中,直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为. 12.(5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为. 13.(5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ﹣(λ∈R),且=﹣4,则λ的值为. 14.(5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答) 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 2008年天津市高考数学试卷(理科) 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分) 1.(5分)i是虚数单位,=() A.﹣1 B.1 C.﹣i D.i 2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=5x+y的最大值为 () A.2 B.3 C.4 D.5 3.(5分)设函数,则函数f(x)是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数 4.(5分)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是() A.a⊥α,b∥β,α⊥βB.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a?α,b⊥β,α∥βD.a?α,b∥β,α⊥β 5.(5分)设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则P点到右准线的距离为() A.6 B.2 C.D. 6.(5分)设集合S={x||x﹣2|>3},T={x|a<x<a+8},S∪T=R,则a的取值范围是() A.﹣3<a<﹣1 B.﹣3≤a≤﹣1 C.a≤﹣3或a≥﹣1 D.a<﹣3或a >﹣1 7.(5分)设函数的反函数为f﹣1(x),则() A.f﹣1(x)在其定义域上是增函数且最大值为1 B.f﹣1(x)在其定义域上是减函数且最小值为0 C.f﹣1(x)在其定义域上是减函数且最大值为1 D.f﹣1(x)在其定义域上是增函数且最小值为0 8.(5分)已知函数,则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是() A.B.{x|x≤1}C. D. 9.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数.令a=f(sin),b=f(cos),c=f(tan),则() A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 10.(5分)有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有() A.1344种B.1248种C.1056种D.960种 二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分) 11.(4分)在(x﹣)5的二次展开式中,x2的系数为(用数字作答).12.(4分)一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为,则该正方体的表面积为. 13.(4分)已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称.直线4x ﹣3y﹣2=0与圆C相交于A、B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为. 14.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,,则=.2011年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
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