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高考数学总复习 目录及样章 (参考)

高考数学总复习 目录及样章 (参考)
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目录

第一章学好数学必备的几个能力和思想

第一节数学的建模思想

第二节函数与方程的思想

第三节数形结合思想

第四节特殊否定的思想

第五节特殊到一般、有限到无限的归纳思想

第六节正难则反、抽象到具体的转化思想

第七节分类讨论与整合求解的思想

第八节联想与类比的探讨思想

第九节运算能力

第十节构造与凑配的能力

第十一节归类总结能力

第二章函数(函数是中学数学的基础和重点内容,尽管很少以独立的模块知识出现在解答题中,但是在高难度的题中,无处不渗透着函数的思想。缺少了函数思想,其它模块就是无血之肉,无源之水。

因而,我们不但将其作为一个专题模块,而且要细讲、深研究。)

第一节函数的三要素------定义域

第二节函数的三要素------对应法则

第三节函数的三要素------值域

第四节基本初等函数

第五节函数的性质------函数的单调性

第六节函数的性质------函数的奇、偶性

第七节函数的性质------函数对称性

第八节函数的性质------函数的周期性

第九节函数图象及图象变换

第十节常见特殊函数及其应用

第十一节函数的零点及函数方程(既是高频高点,又是高考难点。)

第二章三角函数与平面向量(这些是高考的重点内容,尽管难度不大,易错点还是不少的,同时,这里

面有很多技巧,有四两拨千斤的效果。)

第一节三角函数的概念及三角变换

第二节三角函数的图象及性质

第三节解三角形

第四节平面向量

第三章不等式与线性规划

第一节基本不等式的解法

第二节均值不等式的应用

第三节不等式的证明及应用

第四节线性规划

第五节线性规划的应用

第四章数列

第一节数列的认识

第二节等差、等比数列的通项公式、前n项和及性质

第三节数列通项公式的求法

第四节数列求和

第五节数列的综合问题

第五章立体几何

第一节点、直线、平面之间的位置关系

第二节空间几何体和三视图

第三节空间角

第四节空间直角坐标系在立体几何中的应用

第五节空间距离问题

第六节存在性的问题

第六章概率与统计

第一节古典概型、几何概型及条件概率

第二节排列与组合

第三节统计与概率分布

第七章导数

第一节导数的概念与运算

第二节导数的几何意义的应用

第三节导数在函数的单调性及极值方面的应用

第四节导数在函数交点及函数零点方面的应用

第五节导数在参数的最值及范围方面的应用

第六节导数在函数不等式的证明方面的应用

第八章解析几何

第一节直线与圆的方程

第二节椭圆

第三节双曲线

第四节抛物线

第五节解析几何综合问题--------圆锥曲线的切线问题

第六节解析几何综合问题-------参数的最值和范围问题第七节解析几何综合问题-------- 面积的最值和范围问题第八节解析几何综合问题--------定点、定值问题

第九节解析几何综合问题-------- 存在性的问题

第十节解析几何综合问题--------向量在解析几何中的应用

第一章学好数学必备的几个能力和思想

第一节数学的建模思想

随着素质教育的进一步推进,现行中学数学教学大纲明确指出:“提高数学教学质量,不仅要求学生学好数学基础知识,更进一步要培养学生的逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力,以逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力,使学生能学以致用,避免出现高分低能现象。”为配合教学目的,近几年的高考数学试题增强了对密切联系实际的应用性问题的考查力度,这种考查的日趋明显。解答实际问题,要先从实际问题中抽象出恰当的数学模型,从而把其转移成数学问题,通过解答数学问题,进而使实际问题得以解决。建立数学模型是研究变量依存关系的有效工具,从而,使实际问题抽象为数学问题,使复杂不宜入手的几何问题代数化,是解决问题的捷径和高层次表现。本节以高考中出现的实际问题、几何问题、数字问题等为对象,探讨数学模型的内涵和建立数学模型的过程及方法,希望对各位备考人有所帮助。

1.建模解题的一般顺序:

1)认真审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;

2)恰当建模:将文字语语言、数字关系、几何条件等转化成数学语言,结合数学知识,建立恰当的数学模型;

3)解答数模:由数学模型特点,解答其得到数学结论;

4)还原结论:但获得了数学的解,并不意味着解题工作的终结,还应将它还原成成所求问题的结论。求得的数学解,并不一定都适合所求问题的意义,需从所求问题的角度进行讨论分析,进行取舍。这一过程,

是十分重要的,这也是解题过程中最容易疏漏的地方。

2. 其建模示意图:

2.考题举例

例1. (2012年全国高考新课标试卷(理)18题)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。

)(Ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n N 的函数解析式。

(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

1页

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

①若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列,数学期望及方差;

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝? 请说明理由。

【解析】(Ⅰ)当16n ≥时,16(105)80y =?-= 当15n ≤时,55(16)1080y n n n =--=-

得:1080(15)()80

(16)

n n y n N n -≤?=∈?

≥?

(Ⅱ)① X 可取60,70,80

(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ====== X 的分布列为

600.1700.2800.776EX =?+?+?= 222160.160.240.744DX =?+?+?= ② 购进17枝时,当天的利润为

(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =?-??+?-??+?-??+??=

76.476> 得:应购进17枝

【点评】本题考查了分段函数模型在实际问题中的应用,同时,也考察了随机变量分布列、期望、方差等统计知

识,其中,数学建模是解题的关键一步。

例2. (2012年陕西高考理科13题)右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,

拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.

【解析】建立如图所示的直角坐标系, 使拱桥的顶点O 的坐标为(0,0),

设 l 与抛物线的交点为A 、B , 根据题意知A (-2,-2),B (2,-2)

设抛物线的解析式为2

ax y =, 则有()2

22-?=-a ,∴2

1-

=a

∴抛物线的解析式为2

2

1x y -

=

水位下降1米,则 = - 3y ,此时有6=x 或 6-=x ∴ 此时水面宽为62米。

【点评】本题通过考查识图知识,结合建模思想,建立了二次函数模型,为事实问题的解决创造了捷径。

例3. (2012年湖南高考理科20题)某企业接到生产3000台某产品的A ,

B

,C三种部件的订单,每台产品需要这

三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k (k 为正整数).

2页

(Ⅰ)设生产A部件的人数为x ,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;

(Ⅱ)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k 的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短

时具体的人数分组方案.

【解析】 (Ⅰ)设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为123(),(),(),T x T x T x 由题设有 12

3

23000

1000

2000

1500

(),(),(),

6200(1)T x T x T x x

x

k x k x

?=

=

==-

+ 期中,,200(1)x kx k x -+均为1到200之间的正整数.

(Ⅱ)完成订单任务的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为

2000,.1x x x N k *??

<<∈??+??

易知,12(),()T x T x 为减函数,3

()T x 为增函数.注意到212()(),T x T x k = 则 ① 当2k =时,12()(),T x T x = 此时 {}131000

1500

()max (),()max ,

2003f x T x T x x

x ??==?

?-?

?

由函数13(),()T x T x 的单调性知,当

10001500

2003x

x =

-时()f x 取得最小值,解得400

9

x =.

由于134********

4445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113

f T f T f f <<====<而. 故当44x =时完成订单任务的时间最短,且最短时间为250(44)11

f =

.

② 当2k >时,12()(),T x T x > 由于k 为正整数,故3k ≥,

此时{}1375(),()m ax (),()50T x x T x T x x

?=

=-易知()T x 为增函数,

则{}13()max (),()f x T x T x ={}1max (),()T x T x ≥1000

375()max ,

50x x

x ???

==?

?-?

?

. 由函数1(),()T x T x 的单调性知,当100037550x

x =

-时()x ?取得最小值,解得40011x =

.

由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),11

9

11

13

11

T T ??<

<==

>

==

>

此时完成订单任务的最短时间大于

25011

.

③ 当2k <时,12()(),T x T x < 由于k 为正整数,故1k =,

此时{}232000

750

()m ax (),()m ax ,

.100f x T x T x x

x ??

==?

?-??由函数23(),()T x T x 的单调性知,

2000750100x

x

=

-时()f x 取得最小值,解得80011

x =

. 类似(1)的讨论.

此时完成订单任务的最短时间为2509

,大于

25011

.

3页

综上所述,当2k =时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.

【点评】本题考查数学建模思想的应用,第一问函数模型的建立,为第二问的解决找到了方向。利用函数单调性、

不等式的性质结合分类讨论思想,综合考查分析解决问题的能力,难度较大。

例4. (2012年湖南高考文科20题)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万

元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从

第一年开始,每年年底上缴资金d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.

(Ⅰ)用d 表示12 , a a ,并写出1n a +与n a 的关系式;

(Ⅱ)若公司希望经过m ()3m ≥年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d 的

值(用m 表示).

【解析】(Ⅰ)由题意得12000(150%)3000a d d =+-=-, 211

3(150%)2

a a d a d =+-

=-, 13(150%)2

n n n a a d a d +=+-=

-.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得13

2n n a a d -=

-2233()22n a d d -=--233

()22

n a d d -=--= 12213333()1()()2222n n a d --?

?=-++++????

. 整理得 1133()(3000)2()122n n n a d d --??

=---????1

3

()

(30003)22n d d -=-+.

由题意, 知 4000n a = 即 1

3

()

(30003)240002m d d --+=

解得 13()210001000(32)2332()12

m m m m m

m d +??

-???-??

==-- 故该企业每年上缴资金d 的值为

1

1000(32

)

32

m m m

m

+--时,经过(3)m m ≥年企业的剩余资金为4000元.

【点评】本题考查递推数列模型在实际问题中的应用,第一问建立数学模型,得出1n a +与n a 的关系式132

n n a a d +=

-,

第二问,把第一问中的132

n n a a d +=

-迭代,就可把问题解决.

例5. (2012年江西高考理科8题)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50计,投入资金不超过54万元,

假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

4页

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入 总种植成本)最大, 那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( ) A .50,0 B .30,20 C .20,30 D .0,50

【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y 亩,总利润为z 万元,则目

标函数为(0.554 1.2)(0.360.9)0.9z x x y y x y =?-+?-=+.

线性约束条件为 50,1.20.954,0,0.x y x y x y +≤??+≤??≥??≥? 即50,43180,

0,0.

x y x y x y +≤??+≤??≥??≥?

作出不等式组50,43180,

0,0

x y x y x y +≤??

+≤??≥??≥?表示的可行域, 易求得点()()()0,50,30,20, 0,45A B C .

平移直线0.9z x y =+, 可知当直线0.9z x y =+经过点()30,20B ,即30,20x y ==时, z 取得最大值,且m ax 48z =(万元). 故选B.

【点评】本题考查数学建模的思想、线性规划知识在实际问题中的应用。

例6. (2012年四川高考理科9题)某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原

料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1

千克。每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( )

A 、1800元

B 、2400元

C 、2800元

D 、3100元

【解析】设公司每天生产甲种产品x 桶,乙种产品y 桶,公司共可获得

利润为z 元/天,则由已知,得=300+400z x y

且+2122+1200

x y x y x y ≤??

≤??≥??≥? 画可行域如图所示,

5页

目标函数=300+400z x y 可变形为 3= -

+

4400

z y x 这是随z 变化的一族平行直线,当直线经过点A 时,z 最大

解方程组???=+=+12y 2x 12y x 2 ?

??==∴4y 4x 即A (4,4) 280016001200max =+=∴Z

【点评】由数学建模思想结合线性规划知识,有效的完成实际问题的解答。

例7. (2011年湖北高考理科17题)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大

桥上的车流速度v (单位:千米/小时)是车流密度x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200

辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20020≤≤x 时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (Ⅰ)当2000≤≤x 时,求函数()x v 的表达式;

(Ⅱ)当车流密度x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)()()x v x x f ?=

可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)

【解析】 (Ⅰ)由题意:当200≤≤x 时,()60=x v ;当20020≤≤x 时,设()b ax x v +=,

则 ()b ax x v +=在[]200,20是减函数, 由已知得 ???=+=+60200200b a b a , 解得???

????

=

-=32003

1b a

故函数()x v 的表达式为()x v =()???

??≤≤-<≤.20020,20031,200,

60x x x

(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得()=x f ()???

??≤≤-<≤.20020,

2003

1,200,

60x x x x x

当200≤≤x 时,()x f 为增函数,故当20=x 时,其最大值为12002060=?; 当20020≤≤x 时,()()()3

1000022003120031

2

=

??

?

?

??-+≤-=x x x x x f ,

当且仅当x x -=200,即100=x 时,等号成立.

故 当100=x 时,()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000

综上,当100=x 时,()x f 在区间[]200,0上取得最大值

33333

10000≈,

即 当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时.

【点评】本题考查了实际问题的建模思想。通过分段函数模型,借助分类讨论的思想和均值不等式,体现了建模解

决实际问题特殊效果。

6页

例8. (2011年四川高考理科9题)某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7

辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物,派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车虚配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数,可得最大利润 (A )4650元 (B )4700元 (C )4900元 (D )5000元

【解析】由题意设派甲,乙,x y 辆,则利润450350z x y =+,

得约束条件08071210672219

x y x y x y x y ≤≤??

≤≤??

+≤??+≥?+≤??

画出可行域在12

219x y x y +≤??+≤?

的点75

x y =??

=? 代入目标函数 4900z =

【点评】本题通过建立不等式模型,利用线性规划知识,解决问题。一般地优化问题、最值问题均可设计不等式模

型。

例9. (2011年山东高考理科21题)某企业拟建造如图所示

的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间 为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器 的容积为

803

π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造

费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c (3c >)千元.设该容器的建造费用为y 千元.

(Ⅰ)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r .

【解析】(Ⅰ)由题意可知2

3

480()3

3

r l r l r πππ+

=

≥2,即2

804

233

l r r r =

-

≥,则02r <≤.

容器的建造费用为22

280

42346()433

y rl r c r r r c r ππππ=?+?=-+,

即22

16084y r r c r πππ=

-+,定义域为{02}r r <≤.

(Ⅱ)2

160168y r rc

r

πππ'=--+,令0y '=

,得r =

令2,r =

=

即 4.5c =,

① 当3 4.5c <≤2,当02r <≤,0y '<,函数y 为减函数,当2r =时y

有最小值;

7页

② 当 4.5c >

2,<当

0r <<

0y '<;当

r >

0y '>,

此时当r =

时y 有最小值。

【点评】本题通过建模将实际问题转移成了数学问题,从而,综合了面积、表面积、不等式、导数、分类讨论等数

学知识。考察了运用所学知识分析、题解决实际问题综合能力,难度比较大。

例10. (2011年江苏高考理科17题)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片,切

去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD 四个点重合于图中的点P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm (Ⅰ)若广告商要求包装盒侧面积S (cm 2)最大, 试问x 应取何值? (Ⅱ)若广告商要求包装盒容积V (cm 3)最大, 试问x 应取何值?并求出此时包装盒的 高与底面边长的比值。

【解析】(Ⅰ)2

2

2

2

604(602)2408S x x x x

=---=

-(0

(Ⅱ)2

2(2)

2)(30)(0

30)2

V x x x x =-=-<<,所以,'

(20),V x =-

当020,x <<时,2030V x V <<

递增,当时,

递减,所以,当x=20时,V 最大。 x 12=60-2)

【点评】本题考查数学的建模思想、二次函数的性质、导数知识。体

现了实际问题的解决依托是数学知识。

例11. (2011年湖南高考理科20题)如图6

,长方形物体E 在雨中

P

沿面P (面积为S )的垂直方向作匀速移动,速度为(0)v v >, 雨速沿E 移动方向的分速度为()c c R ∈。E 移动时单位时间.... 内的淋雨量包括两部分:(1)P 或P 的平行面(只有一个面 淋雨)的淋雨量,假设其值与v c -×S 成正比,比例系数为110

(2)其它面的淋雨量之和,其值为

12

,记y 为E 移动过程中的总淋雨量,当移动距离d=100,面积S=

32

时。

8页

(Ⅰ)写出y 的表达式

(Ⅱ)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c 的不同取值范围,确定移动速度v ,使总淋雨量y 最少。 【解析】(I )由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为

31||20

2

v c -+

故100315(

||)(3||10)20

2

y v c v c v

v

=

-+

=

-+.

(II )由( I )知,当0v c <≤时,55(310)

(3310)15c y c v v

v

+=

-+=

-;

当10c v <≤时,55(103)

(3310)15c y v c v

v

-=

-+=

+.

故5(310)

15,05(103)15,10c v c v

y c c v v +?-<≤??=?-?+<≤??

① 当1003

c <≤

时,y 是关于v 的减函数.故当10v =时,m in 3202

c y =-

② 当

1053

c <≤时,在(0,]c 上,y 是关于v 的减函数;在(,10]c 上,y 是关于v 的增函数;

故当v c =时,m in 50y c

=

【点评】本题在考查对实际问题的数学建模转化能力的同时,进一步对函数知识、分类讨论思想以及运算求解能

力综合考查。

例12. (2011年湖南高考文科20题)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ,M 的价值在使用过程

中逐年减少,从第2年到第6年,每年初M 的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M 的价值为上年初的75%.

(I )求第n 年初M 的价值n a 的表达式;

(II )设12,n

n a a a A n

+++=

若n A 大于80万元,则M 继续使用,否则须在第n 年初对M 更新,

证明:须在第9年初对M 更新.

【解析】(I )当6n ≤时,数列{}n a 是首项为120,公差为10-的等差数列. 12010(1)13010;n a n n =--=-

当6n ≥时,数列{}n a 是以6a 为首项,公比为

34

为等比数列,又670a =,

9页

所以 63

70();4n n a -=?

因此,第n 年初,M 的价值n a 的表达式为6

12010(1)13010,6370(),74

n n n n n n a a n ---=-≤??

=?=?≥?

? (II) 设n S 表示数列{}n a 的前n 项和,由等差及等比数列的求和公式得

当 16n ≤≤时, 1205(1),1205(1)1255;n n S n n n A n n =--=--=-

当 7n ≥时,

因()6=120 6 - 56 6 - 1= 570S ???

则 () - 6 - 6

6783

33=S ++++=570+704 1 - =780 - 210444n n n n S a a a ??????

?????? ? ?

????????

- 6

3780 - 2104=

n n A n

??

? ?

??

因为{}n a 是递减数列, 所以{}n A 是递减数列,

又 8696

8933780210()780210()

4779448280,7680,864996

A A ---?-?=

=>==< 所以 须在第9年初对M 更新.

【点评】本题考查了运用数学建模解决实际问题的能力,通过数列模型的建立,利用数列知识结合运算能力使实

际问题得到数学解答。

例13. 跳格游戏:如图1,人从格外只能进入第1格,在格中每次可向前跳1格或2格,那么人从格外跳到第8格

的方法种数为( )

A.21

B.26

C.17

D.13

【解析】设跳到第n 格的方法种数为n a ,则到达第n 格的方法有两类:

① 向前跳1格到达第n 格,方法数为1n a -;

② 向前跳2格到达第n 格,方法数为2n a - ,则由分类加法计数原理知:12n n n a a a --=+,由数列的递推关系得该数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21.所以人从格外跳到第8格的方法种数为21种.

【点评】本题通过数列模型,考查了根据逻辑推理进行分类讨论的能力.

例14. (2011年陕西高考理科14题)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相

距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 (米).

10页

【解析】设树苗放在第i 个树坑旁边(如图2),

1 2 … i … 19 20

那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是

(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10s i i i i i i i =-?+-?++-?++-?++-? (1)(20)(120)

10[(20)]2

2

i i i i i i i i +-++=??-

-?-+

2

10(21210)i i =-+,

所以当10i =或11时,s 的值最小,最小值是1000,所以往返路程的最小值是2000米.

【点评】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题.

例15. (2004年春季上海,8)如图3 ,根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n 个图中有________

个点.

(1) (2) (3) (4)

(5)

【解析】 设第n 个图形的个数为n a ,则 1=1a ,2=3a ,3=7a ,4=13a ,5=21a

设+1- n n n b a a = 则 121- = 2b a a = ,232- = 4b a a = ,343- = 6b a a = ,454- = 8b a a = ,

所以{}n b 是以12b =为首项,公差为2的等差数列 ,故{}n b 的前n 和()2

-1=2+

2=+2

n n n S n n n ?

又 -1123-1213243-11=++++=- +- +- ++- =- n n n n n S b b b b a a a a a a a a a a

所以 ()()2

2

-11=+ =-1+-1+1=- +1n n a S a n n n n 故第n 个图中有2

- +1n n 个点.

图3

图 2

【点评】把数值问题转化为数列模型,进而转为求数列的通项问题。

例16.(2006年广东卷)在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期

间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥” 形的展品,其中第一堆只有一层,就一个乒乓球;第2、 3、4、…堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定

摆放.从第一层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上, 第n 堆第n 层就放一个乒乓球,以()f n 表示第n 堆的

乒乓球总数,则(3)f =_________ ;()f n = ___________ (答案用n 表示) .

11页

【解析】设第n 个图形的个数为n a ,则1=3a ,2= 6a ,()3= 3=10a f , ,()= n a f n 由题意可知 : 211=+3 =+2+1a a a ,322=+4 =+3+1a a a , ,-1= ++1n n a a n 所以 -1- =+1n n a a n ,-1-2- = n n a a n ,-2-3- = - 1 n n a a n , ,32- = 4a a ,21- = 3a a 这 - 1 n 个式子累加 得 ()()

()

2

1+1+3

+3 - 4 - = +1

++

+3= - 1=2

2

n n n n a a n

n n

?

解 得 ()2

+3+2

== 2

n n n a f n

【点评】 借助于图形信息从而把数值问题抽象出数列数列的递推公式模型,因而,所求变成了数列求通项的问题。

例17. 已知某海摈浴场的海浪高度y (米)是时间t (024,)t ≤≤单位小时的函数,记作()y f t =,下表是某日各时

的浪高数据:

根据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据以上数据,推断一天内的上午8:00时至

晚上20:00时之间,大概有多少时间可供冲浪者活动?

【解析】由表中数据可画出函数()y f t =的大致图象,如下图,容易看出比较接近正余、弦函数的图像。 不妨设函数为()=cos ++y A t h ω? (024t ≤≤)

则 A=

11(1.50.5)2

2

-=, 1h = 2126

T π

π

ωω

=

=∴=

1()cos()12

6

y f t t π

==

+

令1()cos(

)112

6

y f t t π

==+>得cos(

)06

t π

>22,2

6

2

k t k k Z π

π

π

ππ∴-

≤+∈

解得 123123,k t k k Z -≤≤-∈, 又820t ≤≤, ∴ 当k 取1合条件 求得:915t ≤≤

T (小时)

12 9 6 3

15 22

所以一天内的上午8:00时至晚上20:00时之间,有6个小时可供冲浪者活动。

【点评】 把数据条件转化为图形语言,能直观地描述出物体变化的本质规律,从而实现了从实际问题到数学模型的

转化,这种转化是以熟练掌握基础知识为前提,如此题没有熟练掌握三角函数的基本知识,就无法进行联

想,从而数学建模也不可能完成,因而基知识的是解决问题的先决条件,平时应要注意双基训练。

例18. A ,B ,C 是我方三个炮兵阵地,A 在B 正东6千米,C 在B 正北偏西30°,相距4千米,P 为敌炮阵地,

某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号,由于B ,C 两地比A 距P 地远,因此4s 后,B ,C 才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s ,A 若炮击P 地,求炮击的方位角(方位角:从指北方向按顺时针旋转到目标方向的水平角).

12页

【解析】 由于B ,C 同时发现这一信号,故B ,C 两地距P 地一样远,即PB PC =

以直线BA 为x 轴,线段BA 的中垂线为y 轴建立如图所示直角坐系, 则 ()3, 0B - ,()3, 0A

,(5,C - . 设点P 坐标为() , x y ,

∴点P

在线段BC 的垂直平分线上.

BC k =

∵BC

中点(D - ,

直线:4)

PD y x -=

+.

又 46PB PA AB -=<= ,故点P 在以A , B 为焦点的双曲线右支上.

则双曲线方程为

2

2

1(0)4

5

x

y

x -

=>.

2

24) = 8 , 1(0)45y x x y x y x ?

-=+?????-=>??

?(8 ,3

P 则

83

P A k =

=

-0 = 60xAP ?∠ 故炮击的方位角为北偏东30°.

【点评】解此类实际问题必须学会转化,抓住问题的实质建立数学模型。本题考查了学生运用圆锥曲线定义解决

实际问题的应用意识和计算技能。解本题的关键是由题目给出的信息能发现P 点在双曲线上;由B ,C 同时发现这一信号,能得到PB PC =,否则,就会陷入解三角形的误区。

1.高考数学考点与题型全归纳——集合

第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. 1. 2.集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. 1.3.元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图: N *或N +表示正整数集,N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. 2. 集合间的基本关系 2.1.子集:一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ?B(或B ?A). 2.2.真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ,A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等:如果A ?B ,并且B ?A ,则A =B. 两集合相等:A =B ?? ??? ? A ? B ,A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性. 2.4.空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集.记作?. ?∈{?},??{?},0??,0?{?},0∈{0},??{0}.

3. 集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A∩B ,即A∩B ={x|x ∈A ,且x ∈B}. (2)并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ={x|x ∈A ,或x ∈B}. (3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作?U A ,即?U A ={x |x ∈U ,且x ?A }. 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”,集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质:A ?A ,??A ,A ∩B ?A ,A ∩B ?B . (2)交集的性质:A ∩A =A ,A ∩?=?,A ∩B =B ∩A . (3)并集的性质:A ∪B =B ∪A ,A ∪B ?A ,A ∪B ?B ,A ∪A =A ,A ∪?=?∪A =A . (4)补集的性质:A ∪?U A =U ,A ∩?U A =?,?U (?U A )=A ,?A A =?,?A ?=A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集,其中有2n -1个真子集,2n -1个非空子集. (6)等价关系:A ∩B =A ?A ?B ;A ∪B =A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( ) A .3 B .2 C .1 D .0 2. 已知a ,b ∈R ,若? ?? ? ??a ,b a ,1={a 2,a +b,0},则a 2 019+b 2 019的值为( ) A .1 B .0 C .-1 D .±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2+y 2=1上的点的集合,B 表示直线y =x 上的点的集合,直线y =x 与圆x 2+y 2=1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0,则b a =0,所以 b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1.又根据集合中元素的互异性可 知a =1应舍去,因此a =-1,故a 2 019+b 2 019=(-1)2 019+02 019=-1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意. [题组训练]

高考数学新题型测试研究

第24卷第1期 数 学 教 育 学 报 Vol.24, No.1 2015年2月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Feb., 2015 收稿日期:2014–10–18 基金项目:全国教育科学规划教育部重点课题——高考能力考查与内容改革创新研究(GFA111006) 高考数学新题型测试研究 任子朝,章建石,陈 昂 (教育部考试中心,北京 100084) 摘要:为深化高考内容和形式改革,数学科研制了5种新题型:多选题、逻辑题、数据分析题、举例题和开放题.从中国东部、中部、西部省份中各选取一省,每个省抽取省重点、市重点和普通中学3个层次学校的高三学生进行试测,各省抽样一千多人,总共有4 205人参加测试.试测统计数据、问卷调查和考后座谈表明:数学科开发的题型新颖别致,能有效考查数学能力,区分度良好,促进中学教学方式的转变,受到学生和教师的欢迎. 关键词:高考;新题型;试测 中图分类号:G420 文献标识码:A 文章编号:1004–9894(2015)01–0021–05 1 研究背景 1.1 问题提出 党的十八届三中全会提出“推进考试招生制度改革”的目标:“探索全国统考减少科目、不分文理科”.改革的出发点主要有两方面:首先是更好地体现高考的选拔功能.高考选拔的目标发生了巨大转变,已经从对学科知识的全面评价向学习能力的重点测量转变,高考成为有力推动选拔有创造力的高素质人才的重要途径.其次是有利于推进素质教育、促进学生全面发展、个性发展和可持续发展.高考科目的设置主要着眼于在高校人才选拔中发挥基础性和通用性的作用,这样的科目设置模式可以为学生个性潜能和学科特长发展提供更大的空间.数学作为高考中重要的基础学科,要积极进行考试内容和形式的改革,发挥基础学科的重要作用. 1.2 题型试测 题型是题目的呈现方式,是实现考查目的的重要手段.高考的考查目标和考查重点进行改革以后,需要新的题型呈现考查要求,实现考查目的.为更好地考查考生的数学能力,高考数学科进行了题型创新设计的专题研究,开发了5种新题型.为检验新题型的考查效果,抽取考生进行试测. 2 研究方法 2.1 样本的选取 试测的考生为当年参加高考高三学生,考虑到中国教育地区之间存在差异,不同学校的学生之间也存在差异,为了检测新题型的效果,选取不同地区的学生作为被试.根据被试样本的抽样原则,从东部、中部、西部省份中各选取一省进行试测,每个省抽取省重点、市重点和一般学校的高三学生进行试测,每省抽样一千多人,样本基本代表了中国高三学生的平均水平.这次试测总共发放试卷4 205份,其中有效试卷3 800份,有效率90.36%.试卷不分文理科,所有考生使用相同的试卷,试测考生中文科考生占38%,理科考生 占62%. 2.2 研究内容 这次试测研究的主要内容包括:试题的难度[1]、区分 度[1],新题型与传统题型的相关性[1],学生对新题型的适应程度,教师和学生对新题型的接受程度和改进建议. 2.3 研究工具 2.3.1 试测试卷 数学科开发了5种新题型(参见附录),分别是: 1. 多项选择题:选择题的答案不唯一,存在多个正确选项. 2. 逻辑题:以日常生活的语言和情景考查推理、论证、比较、评价等逻辑思维能力. 3. 数据分析题:给出一些材料背景以及相关数据,要求考生自己读懂材料,获取信息,根据材料给出的情境、原理以及猜测等,自主分析数据,得出结论,并解决问题. 4. 举例题:要求考生通过给出已知结论、性质和定理等条件,从题干中获取信息,整理信息,写出符合题干的结论或是具体实例. 5. 开放题:试题开放设问,答案并不唯一,要求考生能综合运用所学知识,进行探究,分析问题并最终解决问题. 试测试卷将新题型和高考中现有的题型组合成卷,测试时长60分钟,满分75分,时间和满分都是正式高考的一半.高考中现有题型选取了单项选择题,目的是为和新题型进行对比,测试新题型的考查效果.试卷测试结构如表1所示. 1 需要指出的是,有些新题型是在现有题型的基础上发展

高考数学题型全归纳

2010-2016高考理科数学题型全归纳题型1、集合的基本概念 题型2、集合间的基本关系 题型3、集合的运算 题型4、四种命题及关系 题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型6、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围 题型7、判断命题的真假 题型8、含有一个量词的命题的否定 题型9、结合命题真假求参数的范围 题型10、映射与函数的概念 题型11、同一函数的判断 题型12、函数解析式的求法 题型13、函数定义域的求解 题型14、函数定义域的应用 题型15、函数值域的求解 题型16、函数的奇偶性 题型17、函数的单调性(区间) 题型18、函数的周期性 题型19、函数性质的综合 题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系

题型21、二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布及条件题型22、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题 题型23、指数运算及指数方程、指数不等式 题型24、指数函数的图像及性质 题型25、指数函数中的恒成立的问题 题型26、对数运算及对数方程、对数不等式 题型27、对数函数的图像与性质 题型28、对数函数中的恒成立问题 题型29、幂函数的定义及基本性质 题型30、幂函数性质的综合应用 题型31、判断函数的图像 题型32、函数图像的应用 题型33、求函数的零点或零点所在区间 题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围 题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型36、函数与数列的综合 题型37、函数与不等式的综合 题型38、函数中的创新题 题型39、导数的定义 题型40、求函数的导数 题型41、导数的几何意义 题型42、利用原函数与导函数的关系判断图像

高考数学新题型归纳

2019年高考数学新题型归纳 (一)解析几何中的运动问题 解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型,09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。 在解此类创新题型时,往往需要融入生活中的很多思想,加上题目中所给信息相融合。在数学层面上,需要考生善于从各个角度与考虑问题,将思路打开,同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。 (二)新距离 近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题,考生需要懂得坐标系中坐标差的原理,对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题,可是高考所考察的内容不再新距离本身,而在于建立新的数学模型情况下,考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题,对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题,由于每个位取值情况均相同,故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中

笔者会详细叙述。 (三)新名词 对于题目中出现了新名词新性质,考生完全可以从新性质本身出发,从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型,然后描述的简洁透彻,让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述,即不会给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路)。比如2009年北京卷文科填空压轴题,就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元,这样肯快就可以得到答案。 (四)知识点性质结合 此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题,此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题,需要考生掌握轨迹与方程思想,方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。再比如2009年北京卷填空压轴题,就是对数列递推关系进行了简单的扩展,考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题,而是上升的数学思维方法的层次。

高考数学题型全归纳:数学家高斯的故事(含答案)

数学家高斯的故事 高斯(Gauss,1777—1855)、著名的德国数学家。1777年4月30日出生在德国的布伦兹维克。父亲是一个砌砖工人,没有什么文化。 还在少年时代、高斯就显示出了他的数学才能。据说、一天晚上,父亲在计算工薪账目、高斯在旁边指出了其中的错误、令父亲大吃一惊。10岁那年、有一次老师让学生将1、2、3、…连续相加、一直加到100、即1+2+3+…+100。高斯没有像其他同学那样急着相加、而是仔细观察、思考、结果发现: 1+100=101、2+99=101、3+98=101、…、50+51=101一共有50个101、于是立刻得到: 1+2+3+…+98+99+100=50×101=5050 老师看着小高斯的答卷、惊讶得说不出话。其他学生过了很长时间才交卷、而且没有一个是算对的。从此、小高斯“神童”的美名不胫而走。村里一位伯爵知道后、慷慨出钱资助高斯、将他送入附近的最好的学校进行培养。 中学毕业后、高斯进入了德国的哥廷根大学学习。刚进入大学时、还没立志专攻数学。后来听了数学教授卡斯特纳的讲课之后、决定研究数学。卡斯特纳本人并没有多少数学业绩、但他培养高斯的成功、足以说明一名好教师的重要作用。 从哥廷根大学毕业后、高斯一直坚持研究数学。1807年成为该校的数学教授和天文台台长、并保留这个职位一直到他逝世。 高斯18岁时就发明了最小二乘法、19岁时发现了正17边形的尺规作图法、并给出可用尺规作出正多边形的条件、解决了这个欧几里得以来一直悬而未决的问题。为了这个发现、在他逝世后、哥廷根大学为他建立了一个底座为17边形棱柱的纪念像。

对代数学、高斯是严格证明代数基本定理的第一人。他的《算术研究》奠定了近代数论的基础、该书不仅在数论上是划时代之作、就是在数学史上也是不可多得的经典著作之一。高斯还研究了复数、提出所有复数都可以用平面上的点来表示、所以后人将“复平面”称为高斯平面、高斯还利用平面向量与复数之间的一一对应关系、阐述了复数的几何加法与乘法、为向量代数学奠定了基础。1828年高斯出版《关于曲面的一般研究》、全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学。并提出了内蕴曲面理论。高斯的数学研究几乎遍及当时的所有数学领域、而且在不少方面的研究走在了时代的前列。他在数学历史上的影响可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。 高斯一生共有155篇论文。他治学严谨、把直观的概念作为入门的向导、然后试图在完整的逻辑体系上建立其数学的理论。他为人谨慎、他的许多数学思想与结果从不轻易发表、而且、他的论文很少详细写明思路。所以有的人说:“这个人、像狐狸似的、把沙土上留下的足迹、用尾巴全部扫掉。”

2021届新高考版高考数学专项突破训练:专项4 新高考·新题型专练

2021届新高考版高考数学专项突破训练 专项4 新高考·新题型专练 一、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 1.已知集合M={0,1,2},N={x||x - 1|≤1},则() A.M=N B.N?M C.M∩N=M D.(?R M)∪N=R 2.已知i为虚数单位,则下列结论正确的是() A.复数z=的虚部为 B.复数z=的共轭复数= - 5 - 2i C.复数z=i在复平面内对应的点位于第二象限 D.若复数z满足∈R,则z∈R 3.采购经理指数(简称PMI)是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一,对国家经济活动的监测和预测具有重要作用.制造业PMI在50%以上,通常反映制造业总体扩张,低于50%,通常反映制造业总体衰退.如图1 - 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI的统计图,下列说法正确的是() 图1 - 1 A.大部分月份制造业总体衰退 B.2019年3月制造业总体扩张最大 C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI比上月增长 D.2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点 4.已知函数f (x)=则下列结论中正确的是() A.f ( - 2)=4 B.若f (m)=9,则m=±3

C.f (x)是偶函数 D.f (x)在R上单调递减 5.已知(ax2+)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式中各项系数之和 为1 024,则下列说法正确的是() A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x15项的系数为45 6.已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m<0),且满足b·(a+b)=3,则() A.|b|= B.(2a+b)∥(a+2b) C.向量2a- b与a- 2b的夹角为 D.向量a在b方向上的投影为 7.已知函数f (x)=sin(2x - ),下列结论正确的是() A.f (x)的最小正周期是π B.f (x)=是x=的充分不必要条件 C.函数f (x)在区间(,)上单调递增 D.函数y=|f (x)|的图象向左平移个单位长度后所得图象的对称轴方程为x=π(k∈Z) 8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,记事件A={第一个四面体向下的一面出现偶数},事件B={第二个四面体向下的一面出现奇数},事件C={两个四面体向下的一面同时出现奇数,或者同时出现偶数}.则下列说法正确的是() A.P(A)=P(B)=P(C) B.P(AB)=P(AC)=P(BC) C.P(ABC)= D.P(A)P(B)P(C)=

高考数学知识点题型测试2

高考数学知识点题型测试2 【高考考情解读】 高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式:1.以选择题、填空题的形式考查,主要利用等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题,属于基础题;2.以解答题的形式考查,主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式及其性质等知识交汇综合命题,考查用数列知识分析问题、解决问题的 能力,属低、中档题. 1.a n 与S n 的关系S n =a 1+a 2+…+a n ,a n =??? ?? S 1, n =1, S n -S n -1, n ≥2. 2.等差数列和等比数列 S n = n a 1+a n 2 =na 1+ n n -1 2 d (1)q ≠1,S n = a 11-q n 1-q = a 1-a n q 1-q (2)q =1,S n =na 1

考点一 与等差数列有关的问题 例1 在等差数列{a n }中,满足3a 5=5a 8,S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若a 1>0,当S n 取得最大值时,求n 的值; (2)若a 1=-46,记b n = S n -a n n ,求b n 的最小值. 解 (1)设{a n }的公差为d ,则 由3a 5=5a 8,得3(a 1+4d )=5(a 1+7d ),∴d =-2 23a 1. ∴S n =na 1+ n n -1 2 ×? ?? ??-223a 1=-123a 1n 2 +2423a 1n =-123a 1(n -12)2 +14423 a 1. ∵a 1>0,∴当n =12时,S n 取得最大值. (2)由(1)及a 1=-46,得d =-2 23×(-46)=4, ∴a n =-46+(n -1)×4=4n -50, S n =-46n +n n -12 ×4=2n 2 -48n . ∴b n =S n -a n n =2n 2-52n +50n =2n +50 n -52≥2 2n ×50 n -52=-32, 当且仅当2n =50 n ,即n =5时,等号成立. 故b n 的最小值为-32. (1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差,只要根据已知条件求出这两个量,其他问题就可随之而解,这就是解决等差数列问题的基本方法,其中蕴含着方程思想的运用. (2)等差数列的性质 ①若m ,n ,p ,q ∈N * ,且m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q ; ②S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…,仍成等差数列; ③a m -a n =(m -n )d ?d =a m -a n m -n (m ,n ∈N * ); ④a n b n = A 2n -1 B 2n -1 (A 2n -1,B 2n -1分别为{a n },{b n }的前2n -1项的和). (3)数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n =f (n )是n 的二次函数或一次函

高考数学新题型分类

2019年高考数学新题型分类 新课标以来,高考数学中出现了创新题型,以第8、14、20题为主,创新题型是建立在高中数学思维体系之上的一中新数学题型。2019年高考数学新题型分类为以下几点: (一)解析几何中的运动问题 解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型,09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。 在解此类创新题型时,往往需要融入生活中的很多思想,加上题目中所给信息相融合。在数学层面上,需要考生善于从各个角度与考虑问题,将思路打开,同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。 (二)新距离 近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题,考生需要懂得坐标系中坐标差的原理,对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题,可是高考所考察的内容不再新距离本身,而在于建立新的数学模型情况下,考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题,对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题,由于每个位取值情况均相同,故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中笔者

会详细叙述。 (三)新名词 对于题目中出现了新名词新性质,考生完全可以从新性质本身出发,从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型,然后描述的简洁透彻,让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述,即不会给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路)。比如2009年北京卷文科填空压轴题,就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元,这样肯快就可以得到答案。 (四)知识点性质结合 此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题,此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题,需要考生掌握轨迹与方程思想,方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。再比如2009年北京卷填空压轴题,就是对数列递推关系进行了简单的扩展,考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题,而是上升的数学思维方法的层次。(五)情境结合题 要练说,得练看。看与说是统一的,看不准就难以说得好。练看,就是训练幼儿的观察能力,扩大幼儿的认知范围,让幼儿在观察事物、

2017年高考数学题型归纳完整版

第一章集合与常用逻辑用语 第一节集合 题型1-1 集合的基本概念 题型1-2 集合间的基本关系 题型1-3 集合的运算 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题型1-4 四种命题及关系 题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型1-7 判断命题的真假 题型1-8 含有一个量词的命题的否定 题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围 第二章函数 第一节映射与函数 题型2-1 映射与函数的概念 题型2-2 同一函数的判断 题型2-3 函数解析式的求法 第二节函数的定义域与值域(最值) 题型2-4 函数定义域的求解 题型2-5 函数定义域的应用 题型2-6 函数值域的求解 第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性 题型2-7 函数奇偶性的判断 题型2-8 函数单调性(区间)的判断 题型2-9 函数周期性的判断 题型2-10 函数性质的综合应用 第四节二次函数 题型2-11 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型2-12 二次方程的实根分布及条件 题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题 第五节指数与指数函数 题型2-14 指数运算及指数方程、指数不等式题型2-15 指数函数的图象及性质 题型2-16 指数函数中恒成立问题 第六节对数与对数函数 题型2-17 对数运算及对数方程、对数不等式 题型2-18 对数函数的图象与性质 题型2-19 对数函数中恒成立问题 第七节幂函数 题型2-20 求幂函数的定义域 题型2-21 幂函数性质的综合应用 第八节函数的图象 题型2-22 判断函数的图象 题型2-23 函数图象的应用 第九节函数与方程 题型2-24 求函数的零点或零点所在区间 题型2-25 利用函数的零点确定参数的取值范 围 题型2-26 方程根的个数与函数零点的存在性 问题 第十节函数综合 题型2-27 函数与数列的综合 题型2-28 函数与不等式的综合 题型2-29 函数中的信息题 第三章导数与定积分 第一节导数的概念与运算 题型3-1 导数的定义 题型3-2 求函数的导数 第二节导数的应用 题型3-3 利用原函数与导函数的关系判断图像 题型3-4 利用导数求函数的单调性和单调区间 题型3-5 函数的极值与最值的求解 题型3-6 已知函数在区间上单调或不单调,求 参数的取值范围 题型3-7 讨论含参函数的单调区间 题型3-8 利用导数研究函数图象的交点和函数 零点个数问题 题型3-9 不等式恒成立与存在性问题 题型3-10 利用导数证明不等式 题型3-11 导数在实际问题中的应用 第三节定积分和微积分基本定理 题型3-12 定积分的计算 题型3-13 求曲边梯形的面积 第四章三角函数 第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和 诱导公式 题型4-1 终边相同角的集合的表示与识别 题型4-2 α 2 是第几象限角 题型4-3 弧长与扇形面积公式的计算 题型4-4 三角函数定义 题型4-5 三角函数线及其应用 题型4-6 象限符号与坐标轴角的三角函数值 题型4-7 同角求值——条件中出现的角和结论 中出现的角是相同的 题型4-8 诱导求值与变形 第二节三角函数的图象与性质 题型4-9 已知解析式确定函数性质 题型4-10 根据条件确定解析式 题型4-11 三角函数图象变换 第三节三角恒等变换 题型4-12 两角和与差公式的证明 题型4-13 化简求值 第四节解三角形 题型4-14 正弦定理的应用 题型4-15 余弦定理的应用 题型4-16 判断三角形的形状 题型4-17 正余弦定理与向量的综合 题型4-18 解三角形的实际应用 第五章平面向量 第一节向量的线性运算 题型5-1 平面向量的基本概念 题型5-2 共线向量基本定理及应用 题型5-3 平面向量的线性运算 题型5-4 平面向量基本定理及应用 题型5-5 向量与三角形的四心 题型5-6 利用向量法解平面几何问题 第二节向量的坐标运算与数量积 题型5-7 向量的坐标运算 题型5-8 向量平行(共线)、垂直充要条件的坐 标表示 题型5-9 平面向量的数量积 题型5-10 平面向量的应用 第六章数列 第一节等差数列与等比数列 题型6-1 等差、等比数列的通项及基本量的求 解 题型6-2 等差、等比数列的求和 题型6-3 等差、等比数列的性质应用 题型6-4 判断和证明数列是等差、等比数列 题型6-5 等差数列与等比数列的综合 第二节数列的通项公式与求和 题型6-6 数列的通项公式的求解 题型6-7 数列的求和 第三节数列的综合 题型6-8 数列与函数的综合 题型6-9 数列与不等式综合 第七章不等式 第一节不等式的概念和性质 题型7-1 不等式的性质 题型7-2 比较数(式)的大小与比较法证明不 等式 第二节均值不等式和不等式的应用 题型7-3 均值不等式及其应用 题型7-4 利用均值不等式求函数最值 题型7-5 利用均值不等式证明不等式 题型7-6 不等式的证明 第三节不等式的解法 题型7-7 有理不等式的解法 题型7-8 绝对值不等式的解法 第四节二元一次不等式(组)与简单的线性规 划问题 题型7-9 二元一次不等式组表示的平面区域 题型7-10 平面区域的面积 题型7-11 求解目标函数中参数的取值范围 题型7-12 简单线性规划问题的实际运用 第五节不等式综合 题型7-13 不等式恒成立问题中求参数的取值 范围

高考数学知识点与题型归纳

河南省高中数学知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|l g |l g (,)|l g 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 { } {} 如:集合,A x x x B x a x =--===||2 2301 若,则实数的值构成的集合为B Aa ? (答:,,)-? ?? ? ?? 1013 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n ()若,;2A B A B A A B B ??== (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U UU U U A B A B A B A B ==, 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式的解集为,若且,求实数x a x x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()(∵,∴·∵,∴·,,)335 30 555 50 15392522∈--

例谈近几年高考题中的新题型

例谈近几年高考题中的新题型 江苏省泰州市民兴实验中学丁益民(225300) 综观这两年各地高考数学试题便会发现几乎每份试卷,都有一定量的新定义题.这类题目的特点是命题者通过文字或图表等给出了中学数学内容中没有遇到过的新知识,这些新知识可以是新概念、新定义、新定理、新规则或新情境,并且这些解题的信息有可能不是直接给出的,要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移,即读懂新概念,理解新情境,获取有用的新信息,然后运用这些有用的信息进一步演算和推理,从而考察学生在新的情景下,独立获取和运用新信息的能力,综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力. 就这两年高考题型的走势来看,高考新题型的结构形式大约有以下的7种。 一、情境新颖型 新的立意,新的背景,新的表述,新的设问都能创设试题的新颖情境. 【例1】(2020年全国卷Ⅲ)计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9 十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如,用十六进制表示:E+D=1B,则A×B=【】 A.6E B.72 C.5F D.B0 【点示】情境新颖有三:(1)数符新颖,除熟悉的0,1,…,9这10个数字之外,还有新数字A、B、C、D、E、F. (2)数制新颖,16进制. (3)数意新颖,16进制中的数11,如果说个位数上的1与10进制中的1“数意”相同的话,那么十位数上的1则是另外一种“数意”了;自然,F1这个数在10进制中已经不是两位数了. 【解答】我们用符号[x](10) ,[y] (16) 分别表示10进制和16进制中的数. 依题意,有 [16](10)=[10](16) 则有A×B=[10×11](10) =[110](10)=[6×16+14](10)=[6×10+E](16) =6E. 答案为A. 二、研究学习型 【例2】(2020年江苏卷)相同的正四棱锥组成如图所示的几何体,可放棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点 ...均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有 (A)1个(B)2个 (C)3个(D)无穷多个 【点示】研究有三:(1)正方体内接几何体 的空间模型;(2)截面图形;(3)新课标要求的 三视图. 【解答】法一:本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形,显然有无穷多个.

高考数学题型全归纳

题型1、集合的基本概念 题型2、集合间的基本关系 题型3、集合的运算 题型4、四种命题及关系 题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型6、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围题型7、判断命题的真假 题型8、含有一个量词的命题的否定 题型9、结合命题真假求参数的范围 题型10、映射与函数的概念 题型11、同一函数的判断 题型12、函数解析式的求法 题型13、函数定义域的求解 题型14、函数定义域的应用 题型15、函数值域的求解 题型16、函数的奇偶性 题型17、函数的单调性(区间) 题型18、函数的周期性 题型19、函数性质的综合 题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型21、二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布及条件 题型22、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题 题型23、指数运算及指数方程、指数不等式 题型24、指数函数的图像及性质

题型25、指数函数中的恒成立的问题 题型26、对数运算及对数方程、对数不等式 题型27、对数函数的图像与性质 题型28、对数函数中的恒成立问题 题型29、幂函数的定义及基本性质 题型30、幂函数性质的综合应用 题型31、判断函数的图像 题型32、函数图像的应用 题型33、求函数的零点或零点所在区间 题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围 题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型36、函数与数列的综合 题型37、函数与不等式的综合 题型38、函数中的创新题 题型39、导数的定义 题型40、求函数的导数 题型41、导数的几何意义 题型42、利用原函数与导函数的关系判断图像 题型43、利用导数求函数的单调区间 题型44、含参函数的单调性(区间) 题型45、已知含参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间,求参数范围题型46、函数的极值与最值的求解 题型47、方程解(函数零点)的个数问题 题型48、不等式恒成立与存在性问题

高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案

三角函数的主要考点是:三角函数的概念和性质(单调性,周期性,奇偶性,最值),三角函数的图象,三角恒等变换(主要是求值),三角函数模型的应用,正余弦定理及其应用,平面向量的基本问题及其应用. 题型1 三角函数的最值:最值是三角函数最为重要的内容之一,其主要方法是利用正余 ) . 分析:待定系数求a ,b ;然后用倍角公式和降幂公式转化问题. 解析:函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++.

(1)由(0)8f = ,()126f π=可得(0)28f b == ,3 ()126 22 f a b π = += ,所以4b = ,a = (2 )()24cos 24 f x x x π =++=故当226 2 x k π π π+ =+ 即(6 x k k π π=+ 点评: 结论sin cos a b θθ+= 解决三角函数的图象、单调性、最值、点内容. 题型2 三角函数的图象:三角函数图象从重点考查的问题之一. 例3.(2009只需将函数sin 2y x =的图象 B .向右平移 5π 12个长度单位 D .向右平移5π 6 个长度单位 552sin 2sin 232612x x x ππππ????? ?++=+=+ ? ? ??????? , 5π 12 个长度单位,选择答案A .

例4 (2008 图象是 分析解析:函数tan y x =点评题型3 用三角恒等变换求值:其主要方法是通过和与差的,二倍角的三角变换公式解决. 已知πcos sin 6αα? ?-+= ?? ?7πsin 6α??+ ?? ?的值C .45 - D . 45 )6 π α+,将已知条件分拆整合后解决. 34sin sin 6522565πααα? ??+=?+= ?? ?? ?,所以74sin sin 6 65ππαα??? ?+ =-+=- ? ? ? ?? ?. A

高考数学新题型

2019高考数学新题型 人类的每一次重大进步背后都是数学在后面强有力的支撑。查字典大学网为大家推荐了高考数学新题型,请大家仔细阅读,希望你喜欢。 (一)解析中的运动问题 解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型,09、10、11年 高考数学 选择填空 压轴题 都出现了运动问题。即新课标高考 数学思维 从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。 在解此类创新题型时,往往需要融入生活中的很多思想,加上题目中所给信息相融合。在 数学 层面上,需要考生善于从各个角度与考虑问题,将思路打开,同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。 (二)新距离

近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题,考生需要懂得坐标系中坐标差的原理,对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题,可是高考所考察的内容不再新距离本身,而在于建立新的数学模型情况下,考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题,对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题,由于每个位取值情况均相同,故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中笔者会详细叙述。 (三)新名词 对于题目中出现了新名词新性质,考生完全可以从新性质本身出发,从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型,然后描述的简洁透彻,让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述,即不会给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的 解析几何 大题属于非常规思路)。比如2009年北京卷文科填空压轴题,就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元,这样肯快就可以得到答案。 (四)知识点性质结合 此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题,此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题,需要考生掌握轨迹与

高考数学题型全归纳

高考数学题型全归纳 1高考数学必考七个题型 第一,函数与导数 主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二,平面向量与三角函数、三角变换及其应用 这一部分是高考的重点但不是难点,主要出一些基础题或中档题。 第三,数列及其应用 这部分是高考的重点而且是难点,主要出一些综合题。 第四,不等式 主要考查不等式的求解和证明,而且很少单独考查,主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第五,概率和统计 这部分和我们的生活联系比较大,属应用题。 第六,空间位置关系的定性与定量分析 主要是证明平行或垂直,求角和距离。主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。 第七,解析几何 高考的难点,运算量大,一般含参数。 高考对数学基础知识的考查,既全面又突出重点,扎实的数学基础是成功解题的关键。 针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识,正确理解基本概念,正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆,形成技能。以不变应万变。 2高考数学题型全归纳 题型1、集合的基本概念 题型2、集合间的基本关系 题型3、集合的运算 题型4、四种命题及关系

题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型6、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围题型7、判断命题的真假 题型8、含有一个量词的命题的否定 题型9、结合命题真假求参数的范围 题型10、映射与函数的概念 题型11、同一函数的判断 题型12、函数解析式的求法 题型13、函数定义域的求解 题型14、函数定义域的应用 题型15、函数值域的求解 题型16、函数的奇偶性 题型17、函数的单调性(区间) 题型18、函数的周期性 题型19、函数性质的综合 题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型21、二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布及条件 题型22、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题 题型23、指数运算及指数方程、指数不等式 题型24、指数函数的图像及性质 题型25、指数函数中的恒成立的问题 题型26、对数运算及对数方程、对数不等式 题型27、对数函数的图像与性质 题型28、对数函数中的恒成立问题 题型29、幂函数的定义及基本性质 题型30、幂函数性质的综合应用 题型31、判断函数的图像 题型32、函数图像的应用 题型33、求函数的零点或零点所在区间

【新题型】2020年新高考数学多选题与热点解答题组合练 提升套餐练02(解析版)

提升套餐练02 一、多选题 1.某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况,抽出了一个容量为n 的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[)50,60元的学生有60人,则下列说法正确的是( ) A .样本中支出在[)50,60元的频率为0.03 B .样本中支出不少于40元的人数为132 C .n 的值为200 D .若该校有2000名学生,则定有600人支出在[)50,60元 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图求出每组的频率,补齐第四组的频率,结合频数与频率和样本容量的关系即可判定. 【详解】 样本中支出在[)50,60元的频率为()10.010.0240.036100.3-++?=,故A 错误; 样本中支出不少于40元的人数为 0.036 60601320.03 ?+=,故B 正确; 60 2000.3 n = =,故n 的值为200,故C 正确; 若该校有2000名学生,则可能有0.32000?=600人支出在[50,60)元,故D 错误. 故选:BC. 【点睛】 此题考查根据频率分布直方图求每组的频率,补齐频率分布直方图,用数据特征估计总体的特征. 2.下列有关说法正确的是( ) A .当0x >时, 1 lg 2lg x x + ≥;

B .当0x > 时, 2≥; C .当 0,2 πθ?? ∈ ? ? ?时, 2 sin sin θθ+ 的最小值为; D .当0a >,0b >时,114 a b a b ????++≥ ???????恒成立 【答案】BD 【解析】 【分析】 由基本不等式的条件和结论判断. 【详解】 A. 当01x <<时,lg 0x <,1 lg 2lg x x + ≥不成立,错误; B. 当0x > 0> 2≥,正确; C. 当0, 2πθ?? ∈ ?? ? 时,设sin t θ=,则01t <<,2sin sin θθ+ 2t t =+,函数2 y t t =+在(0,1)上递减,无 最小值,C 错,实际上2sin sin θθ+ ≥=2sin sin θθ= ,即sin θ= 是不可能的,即 D. 当0a >,0b >时,1 2a a +≥,12b b +≥,∴114a b a b ????++≥ ???? ???恒成立,D 正确、 故选:BD . 【点睛】 本题考查基本不等式,解题时注意基本不等式的条件,特别注意在用基本不等式求最值时,等号成立的条件能否满足. 3.已知函数 2 ()sin 22sin 1f x x x =-+,给出下列四个结论,其中正确的结论是( ). A .函数()f x 的最小正周期是2π

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