第一章 泛函极值问题的一些基本概念
§1.1 泛函的极大值和极小值问题
如果函数)(x y 在0x x =附近的任意点上的值都不大(小)于)(0x y ,也即)0(0)()(d 0≥≤-=x y x y y 时,则称函数)(x y 在0x x =上达到极大(极小),而且在0x x =上,有
0d =y (1-1)
对于泛函)]([x y ∏,也有类似的定义。如果泛函)]([x y ∏在任何一条与)(0x y y =接近的曲线上的值不大(或不小)于)]([0x y ∏,也就是,如果0)]([)]([δ0≤∏-∏=∏x y x y (或0≥)时,则称泛函)]([x y ∏在曲线)(0x y y =上达到极大值(或极小值),而且在)(0x y y =上,有
0δ=∏ (1-2)
在这里,对于泛函的极值概念有进一步说明的必要,凡说到泛函的极大(或极小)值,主要是说泛函的相对的极大(或极小)值,也就是说,从互相接近的许多曲线来研究一个最大(或最小)的泛函值,但是曲线的接近有不同的接近度。因此,在泛函的极大极小的定义里,还应说明这些曲线有几阶的接近度。
如同一般函数极大(极小)讨论一样,如果泛函在)(0x y y =曲线上有强极大(极小)值,不仅对于那些既是函数接近而且导数也接近的)(x y 而言是极大(极小)值,而且对于那些只是函数接近但导数不接近的)(x y 而言,也是极大(极小)值,所以泛函在)(0x y y =曲线上是强极大(极小)值时,也必在)(0x y y =上是弱极大(极小)值。反之,则不然,即泛函在)(0x y y =曲线上有弱极大(极小)值时,不一定是强极大(极小)值,因为有可能对于那些只是函数接近但导数不接近的)(x y 而言,有一个比函数与导数都接近的)(x y 所求的极大(极小)更大(小)的极大(极小)值存在。所以弱极大(极小),不能满足强极大(极小)的要求。
这一概念可以推广到包含多个函数的泛函中去。
§1.2 求解泛函极值的欧拉方程
变分法的早期工作是如何将泛函驻立值问题转化为微分方程问题。当把泛函的驻立值问题转化为微分方程时,第一步工作就结束了,下一步是如何求解这一微分方程。这种求解方法在实际应用上碰到很大的困难。自从里兹提出直接求泛函极值的近似法(里兹法)以后,人们才认识到直接从泛函极值出发,而避免从微分方程式出发更为有效与方便,这样的处理方法可以充分利用电子计算机的作用。于是人们研究的目标有所转移,即把原来从泛函驻立值问题化为微分方程问题,转变为把微分方程问题转变为定义一个泛函,而成为泛函求驻立值的问题。对于前一种问题由欧拉、拉格朗日等已建立了一套比较成熟、比较系统的方法,而对于后一类问题,虽然正在大力进行工作,但尚不成熟。目前用的多的方法,还是根据微分方程物理和工程背景,采取尝试和核对的方法,即先试猜一个泛函的极值和驻立值问题,然后再核对一下,看它是否与原来的微分方程问题等价。这种方法在以后的变分原理中将经常用到。
现在研究最简单泛函(1-3)式的极值问题所得到的欧拉方程,其中能确定泛函极值曲线)(x y y =的边界是固定不变的,而且有11)(y x y =,22)(y x y =,函数),,(y y x F '将认为是三阶可微的。
∏?'=2
1
d )](),(,[x x x
x y x y x F (1-3)
首先让我们用拉格朗日法来求泛函的变分
x y y y y x F y y x x d ]εδ,εδ,[]εδ[2
1
?'+'+=+∏
于是有
x
y y y y y x F y y y y y y x F y y y x x d }δ]εδ,εδ,[ δ]εδ,εδ,[{]εδ[ε
21''+'+'
??
+
'+'+??=+∏??
?
让0ε→,得
x y y
F
y y F y y x x d ]δδ[|]εδ[δ210ε?''??+??=+∏ε??=
∏→ (1-4)
其中),,(y y x F y
y F '??=??,),,(y y x F y y F ''??
='??
而且
??'
??-'??=''??212
1d }δ)(d d ]δ[d d {d δx x x x x y y F
x y y F x x y y F 对于固定边界条件,因为有0)(δ)(δ12==x y x y ,所以
x y y F x x y y F
x x x x d δ)(d d d δ21
21'
??-=''???
? (1-5)
将(1-5)式代入(1-4)式,得到变分极值条件
0d δ)](d d [
δ2
1
='
??-??=∏?x y y F
x y F x x (1-6) 根据变分法的基本预备定理,求得本题的欧拉方程为
0)(d d ='
??-??y F
x y F (1-7) 这里必须指出,上式中的第二项是对x 的全导数,不是偏导数,且),,(y y x F F '=,所以
y F y F F x
y y F x y y x F y x F y F x y y y y y x ''''+'''+''='
'??+'???+'???='??''''d d d d )(d d 2
222 (1-8) 其中y x F ''',y y F ''',y y F ''''都是),,(y y x F '对y y x ',,的二阶偏导数。22d d d d x
y
y x y y =''=',,所以欧拉方程(1-7)式也可以写成
0=''''-'''-''-'''''y F y F F F y y y y y x y (1-9)
这就是1744年欧拉所得的著名方程。该方程也被称为欧拉-拉格朗日方程。
(1-9)式是关于)(x y 的一个二阶微分方程,其积分常数有两个1c 和2c ,它的积分曲线),,(21c c x y y =叫做极值曲线,只有在这族极值曲线上,泛函(1-3)式才能达到极值,积分常数是由极值曲线通过2211)()(y x y y x y ==,这两个端点条件所决定的。
把泛函的变分作为泛函增量的主部,也同样得到欧拉方程(1-7)式及(1-8)式。求泛函增量主部的过程实质上与求微分的过程非常相似。例如从(1-3)式,因为积分限是固定的(不变的),所以有
x y y x F x y y x F x x x x d ),,(δd ),,(δδ2
1
21
??
'='=∏
其F δ是从y y ',增量引起的,其主部为
y y
F
y y F y y x F ''??+??=
'δδ),,(δ
于是得到(1-4)式,这和拉格朗日法得到的变分表达式是相同的。
这里还应指出,(1-9)式这样的欧拉方程,有下列四种特殊的情况,应该予以注意。
(1)),,(y y x F '和x 无关,即
),(y y F F '= (1-10)
于是(1-9)式可以写成
0=''''-'''-''''y F y F F y y y y y (1-11)
上式可以简化为
0)(d d =''
??-y y F F x (1-12) 一次积分后
1c y y
F
F =''??-
(1-13) 其中1c 为积分常数。
(2)),,(y y x F '和y 无关,即
),(y x F F '= (1-14)
代入(1-7)式,得
0)(d d ='
??y F
x (1-15) 积分得
c y F
='
?? (1-16) 其中c 为积分常数。
(3)),,(y y x F '和y '无关,即
),(y x F F = (1-17)
于是欧拉方程为
0),(='y x F y (1-18)
它不是微分方程,不包含什么特定常数,一般情况,所讨论的变分问题不存在,只在个别的情况下,当曲线(1-18)式通过固定端点时,才存在可能达到极值的曲线。
(4)),,(y y x F '是y '的线性函数,即
()()()y y x Q y x P y y x F '+=',,,, (1-19)
于是欧拉方程为
0d d =-'??+??x
Q y y Q y P (1-20) 但是
y y
Q
x Q y P '??+??=d d (1-21) 所以(1-20)式可以简化为
0=??-??x
Q y P (1-22) 它也不是一个微分方程式,因为它没有y '项,一般说来它不满足固定端点条件,因此,变分问题根本不存在。
现在我们将上述变分问题推广到含有高阶导数的泛函的极值问题和泛函变分得到的欧拉方程。 我们研究泛函
?'''=∏2
1
d )](,),(),(),(,[)]([)(x x n x x y x y x y x y x F x y (1-23)
的极值,其中泛函F 被认为对于)(x y ,)(x y ',)(x y '',...,)()
(x y n 是2+n 阶可微的,并且假定,端点上有固定条
件
)
1(11)1(111
111)()()()(--=''='''='=n n y x y y x y y x y y x y ,,,,
)1(2
2)1(222222)()()()(--=''='''='=n n y x y y x y y x y y x y ,,,, (1-24) 端点上不仅给出函数值,而且还给出直至1-n 阶导数的值。我们将假定,极值在2n 阶可微曲线)(x y y =上达到。
用上面相同的求泛函变分方法,我们可以证明:
???++''''??+''??+??=∏2
1
d }δδδδ{
δ)()(x x n n x y y
F y y F y y F y y F (1-25) 其中用简略符号y δ代替)(δx y ,)
(δk y
代替[])(δd d )(δ)
(x y x
x y
k k
k =。
积分(1-25)式中的第二项可以分部积分一次,得
x y y F x y y F x y x y F x x x x x x d δ)(d d |δd )δ(d d 212
121
??
'??-'
??='?? (1-26) 将积分(1-25)式中第三项分部积分两次,得
x y y
F
x y y F x y y F x y x y F x x x x x x x x d δ)(d d |δ)δ(d d |δd )δ(d d 2
1
2
121
21
2
2
22?
?
''??+'
'?-'''??=''?? (1-27)
最后一项经过n 次分部积分后,得
x y y
F x y y F x y y
F x y x y F x x n n n
n x x n n x x n n x x n n n d δ)(d d )1(|)(d d |δd )δ(d d 21
2
12121
)()2()
()1()()(?
?
??-++??-??=??-- (1-28)
根据变分法的预备定理,(1-25)式为零时,得
0)(d d )1()(d d )(d d )
(22=??-++''??+'??-'n n n
n y y
F x y F x y F x F (1-29) 这是)(x y y =的2n 阶微分方程式,一般称之为泛函(1-23)式的欧拉-泊桑方程,而它的积分曲线就是所讨论变分问题的解(极值曲线)。这个方程的解通常有2n 个特定常数,由2n 个端点条件(1-24)式决定的。
【例1-1】 梁在横向载荷作用下的弯曲问题,就是含有较高阶导数的泛函极值问题的一个例子。设梁的抗弯刚度为EJ ,两端固定,在横向分布载荷)(x q 作用下
发生弯曲变形(或称挠度)
)(x w ,如图1-1所示。端点固定条件为
?
??
='=='=0)()(0)0()0(L w L w w w (1-30)
在梁达到平衡时,其总位能达到最小值。梁的位能等于梁在弯曲时所贮存的
弯曲能,它等于
x EJ U L d 2
1
2?
=χ (1-31) 其中χ为梁弯曲后的曲率,它和挠度w (x )的关系为
图1-1 梁在横向载荷作用下的弯曲
222
322
2d d )d d (1d d x
w
x w x w ???
????+=
χ 这里假定挠度很小,略去高次项。(1-31)式可以写成
x x
w EJ U L
d )d d (210
2
2?
= 载荷)(x q 在变形)(x w 上的位能为
?-=L
x x w x q V 0
d )()( (1-32)
于是,梁所形成的总位能∏为
?-=+=∏L
x x w x q x
w EJ V U 02
2d )]()()d d (21[ (1-33)
梁的平衡条件为)(x w 使总位能达到最小值,即0δ=∏。于是利用变分计算,并利用固定端条件(1-30),得
0d )(δ)](d d [δ044=-=∏?L
x x w x q x
w
EJ (1-34)
利用变分法的预备定理,求得梁的平衡方程为
0)(d d 44=-x q x
w
EJ
这就是欧拉—泊桑方程。(1-34)式在静力学中被称为虚位移原理,)(δx w 就是满足端点位移约束条件的虚位移。虚位移原理为:
对于平衡的力系而言,对一切满足约束条件(这里指端点条件)的虚位移作的功都等于零。最小位能原理(或称总位能原理)和虚功原理是一致的。 下面讨论另一种形式的泛函
???Φ+ΦΦΦ=ΦΦΦ∏c
S R
d )(d d ),,(),,(s G y x F y x y x (1-35)
的欧拉方程。
函数中),(y x Φ在域R 内连续,其边界S 由b S 和c S 组成,其中
b Φ=Φ (在b S 上)
b Φ为给定的,式中x
x ?Φ?=
Φ,y y ?Φ
?=Φ。 现在对(1-35)泛函取一次变分,得到
???ΦΦ??+ΦΦ??+ΦΦ??+ΦΦ??=∏c S R
d δd d ]δδδ[
δs G
y x F F F y y
x x (1-36)
因为
Φ
??
=?Φ?=ΦΦ??
=?Φ?=Φδδδδδ
δy y x
x y x
(1-36)式等号右边第一个积分中的末两项可化为
??
??
??ΦΦ????+Φ????-
ΦΦ????+ΦΦ????=ΦΦ??+ΦΦ??R
R
R d d δ)]()([
d d )]δ()δ([d d ]δδ[
y x F
y F x y x F
y F x y x F F y
x y
x y y x x
利用高等数学中的格林公式
???
-=??+??S R
)(d d )(
Pdx Qdy y x y
P
x Q
上式可化为
?????
ΦΦ????+Φ????-
ΦΦ??-ΦΦ??=ΦΦ??+ΦΦ??R S R
d d δ)]()([]d )δ(d )δ[(d d ]δδ[
y
x F y F x x F
y F y x F F y x y
x y y x x
将s l x s l y y x d d d d -==,(y x l l ,为周边法线的方向余弦)代入上式,并引入边界b S 上的给定条件,再代回(1-36)
式中,可得
0d δ][d d δ)]()([
c S R
=ΦΦ??+Φ??+Φ??+ΦΦ????-Φ????-Φ?????
s F
l F l G y x F y F x F y
y x x y x
因为Φδ为在不同域的任意变分量,由变分法的预备定理,可以求得欧拉方程为
0)()(=Φ????-Φ????-Φ??y
x F
y F x F (在R 域内) (1-37) 及
0=Φ??+Φ??+Φ??y
y x x F l F l G (在c S 上) §1.3 含多个待定函数的泛函及其欧拉方程,哈密顿原理
让我们把上一节的泛函极值和欧拉方程推广到含多个待定函数的泛函极值问题。
设有泛函
x
y
y
y
y y y y y y x F y y y n i
n n x x i i i d ),,,,,,,,(],,[)()(2
)
(1
21
21212
1
?'''=∏ (1-38)
其中)21()(i k x y y k k ,,, ==为i 个待定函数,,,, )()(x y y x y y k k k k ''='''=' )()
()(x y y n k n k =分别表示一阶,二
阶,…,n 阶的导数,设这些函数有端点值
)
21()()()()()()()
(2)(22)
(1)(112
221
11i k y x y y x y y x y y x y y x y y x y n k
n k k k k k n k
n k k k k k ,,,,,,,,, =='='=='='= (1-39) 对所有的x ,)2121()
(i k n j y j k ,,,;,,, ==而言,F 都是(n +2)阶可微的,待定曲线),2,1)((i k x y k =是2n 阶可微的。
泛函],,,[21i y y y ∏的变分极值条件为
?++??++''''??+'??+??=∏2
1
)(1)(1
1
11111δδδδ{
δx x n n y y F
y y F y y F y y F
0d })()(=δ??++''δ''''??+'δ'??+δ??x y y F y y F y y F y y F n i n i
i i i i i i (1-40) 通过分部积分,利用端点固定的条件,即利用
)
,,2,1(),,2,1(0
)(δ0)(δ2)
(1)(i k n j x y x y j k j k ====;, (1-41)
后,可以把(1-40)式化为
?
+??-+-''??+'??-??=∏21
d δ)](d )1()(d d )(d d [δ1)
(1
12211x x n n n
n x y y F dx y F x y F x y F
+??-+-''??+'??-???
21
d δ)](d d )1()(d d )(d d [2)
(2
22222x x n n n n x y y F x y F x y F x y F 0d δ)](d d )1()(d d )(d d [21
)(22=??-+-''??+'??-???
x x i n i
n n
n i i i x y y F x y F x y F x y F (1-42) 利用上节相同的方法,我们可以得到i 个欧拉方程
)
,2,1(0)(d d )1()(d d )(d d )
(22n k y F x y F x y F x y F n k
n n n k k k ==??-+-''??+'??-?? (1-43) 这是决定i y y y ,,,21 的i 个待定函数的i 个微分方程式组。
现在我们研究力学中的一个基本变分原理——哈密顿(Hamilton )原理(或称为最小作用量原理),该原理可叙述为:
质点系满足某些约束条件的运动,必使积分“作用量”
?-=2
1
d )(t t t U T A (1-44)
成极值(最小值)。其中U T ,分别表示质点系的动能和位能,t 为时间。满足某些约束条件是指质点系满足下列边值条件:
?
??
====)](),(),([)](),(),([)](),(),([)](),(),([22221111t z t y t x t z t y t x t t t z t y t x t z t y t x t t i i i i i i i i i i i i ,,时在时在 (1-45)
如果质点的质量为),2,1(n i m i =,坐标为),,(i i i z y x ,作用在质点上的力i F 是以U -为力函数(即势函数)的
i xi x U F ??-
=,i yi y U F ??-=,i
zi z U
F ??-=, ),,2,1(n i = (1-46) 而势函数U 只依赖于质点的坐标,这是一个保守力场,即
),,;,,;,,(222111n n n z y x z y x z y x U U = (1-47)
动能是
∑=++=n
i i i i i z y x
m T 1
222)(21 (1-48) 其中i i i z y x
,,分别代表dt
dz dt dy dt dx i
i i ,,,最小作用原理(即哈密顿原理)要求 0d )δδ(d )(δδ2
1
21
??=-=-=t t t t t U T t U T A (1-49)
其中
∑=++=n
i i i i i i i i z z y y x x
m T 1
)δδδ(δ ∑∑==++-=??+??+??=n
i i z i y i x n
i i i
i i i i z F y F x F z z U
y y U x x U U i i i 1
1
)
δδδ()δδδ(
δ (1-50)
通过分部积分,并由约束条件(1-45)式有)(δ),(δ),δ111t z t y t x i i i (和)(δ),(δ),(δ222t z t y t x i i i 都等于零,即得
?
∑?∑==++-=++21
2
1
d )δδδ(d )δδδ(1
1
t t n
i i i i i i
i
i
t t n
i i i i i i
i
i
t z z
y y x x m t z z y y
x x
m
(1-52)
于是哈密顿原理可以写为
{}
?∑==+-+-21
1
0d δ)(δ)(δ)(t t n
i i z i i i y i i i x i
i t z F z
m y F y m x F x m i i i
(1-52) 由于i i i z y x δ,δ,δ为任意的独立变分,所以得到欧拉-泊桑方程
i i z i i y i i x z
m F y m F x m F i i i ===,,),,2,1(n i = (1-53) 这就是n 个质点的n 3个牛顿运动方程式。
从上述的讨论中不难发现,最小位能原理等价于静力平衡方程。而哈密顿原理等价于牛顿运动方程。 如果运动还受另外一组独立关系
0),,;,,;,,,(212121=Φn n n j z z z y y y x x x t
)3,,,2,1(n m m j <= (1-54)
的约束,则独立变量只剩下m n -3个。如果我们用m n -3个新的变量(或称广义坐标)
m n q q q -321,,,
来表示原来的变量i i i z y x ,,,即
??
?
??
===---),,,(),,,(),,,(321321321t q q q z z t q q q y y t q q q x x m n i i m n i i m n i i ),,2,1(n i = (1-55) 则U 、T 可以写成
???
==---),,,,,,,(),,,,(321221321t q q q
q q q T T t q q q U U m n m n m n (1-56)
于是哈密顿原理或最小作用量原理可以写成
?
∑-==?
???????+?-?=21
310d δδ)(δt t m n i i i i i t q q T
q q U T A (1-57) 经过部分积分可以为
?
∑-==???
?????+?-?=21
310d δ)(d d )(δt t m n i i i i
t q q T t q U T A (1-58) 而欧拉—泊桑方程为
0)(d d )(=??-?-?i i q
T
t q U T ,m n i -=2,,2,1 (1-59)
习惯上,人们把
U T L -= (1-60)
称为拉格朗日函数。于是哈密顿原理可以写成
∑?
?-=???
?????-??=
=m n i t t i i i t t t q q
L t q L t L A 31
21
2
1
d δ)(d d d δδ (1-61) 而欧拉-泊桑方程为
0)(d d =??-??i i q
L
t q L )3,,2,1(m n i -= (1-62)
在理论力学中,方程组(1-62)是著名的拉格朗日方程。
上面用i q 称为“广义坐标”,(1-59)、(1-62)式都是用广义坐标表示的。其优点是不一定要用真正的坐标或位移来表示,这样就显得灵活与方便得多。现以下面耦合摆为例来说明。
【例1-2】 如图1-2所示的耦合摆,它们之间以弹簧相连,若略去摆的重量,取321,,θθθ为广义坐标,于是动能和势能分别为
图1-2 耦合摆的运动
)(223
22212θθθα ++=m T (1-63) []
)cos 1()cos 1()cos 1(2)sin (sin 2
1
)sin (sin 213212
3222212θθθαθθαθθα-+-+-+-+-=
mg K K U (1-64) 对于微振幅的摆动而言,
θθ≈sin , 22
1
c o s 1θθ≈-
于是
[]
)()()(2
1
2322212322212θθθαθθθθα+++-+-=
mg K U (1-65) 拉格朗日方程为
0)(d d 0)(d d 0)(d d 3
32211=??-??=??-??=??-??θθθθθθ L
t L L t L L t L ,, (1-66)
将U T L -=代入,即得
??
???---=----=---=32323222122221
212122)(42)2(42)(4αθθθαθααθθθθαθααθθθαθαmg K mg mg K mg mg K mg (1-67)
由以上三式,即可求得321,,θθθ。
我们也可以在m 个(1-54)式的约束条件下用广义坐标来求非保守系统的拉格朗日方程。非保守系统没有这样一个势函数U ,但我们可以把外力i i i z y x F F F ,,对i i i z y x δ,δ,δ作的功用广义坐标k q 的变分k q δ对广义力k Q 作的功来表示。
设
∑∑-===
++m n k k
k
n
i i z i y i x q
Q F F x F
i i i
31
1
δ)δz δy δ( (1-68)
因为
∑∑∑-=-=-=??=??=??=m
n k k k
i i m n k k k i i m
n k k k i i q q z
q q y q q x x 313131δδz δδy δδ,,
将上式代入(1-68)式,有关k q δ的系数给出
∑=??+??+??=n
i k
i z k i y k i x k q z
F q y F q x F Q i i i
1
)( (1-69) 这就是广义力的表达式。
于是,在非保守力系下的最小作用量原理可以写成
0d )δδ(δ2
1
31
=+
=?∑-=t t m n k k
k
t q
Q T A (1-70)
或可写成
∑?
-==+??-??=
m
n k t t k k k
k t q Q q T
t q T A 31
0d δ)d d (
δ21
(1-71)
于是由在非保守力场中的运动方程(即拉格朗日方程)
)3,,2,1()(d d m n k Q q T
q T t k
k
k -==??-?? (1-72)
广义坐标在理论力学中受到重视的原因,不止一个。广义坐标使力学系统的描述不受坐标选用的限制。如果我们
把一组广义坐标i q 换置为另一组广义坐标
),,,(21p i i q q q q q =,其中p i ,2,1=
则哈密顿原理
0d )(δδ2
1
=-=?t t t U T A (1-73)
仍旧给出拉格朗日方程(运动方程)为
),2,1(0
)(d d p i q
L
t q L i ==??-?? (1-74)
其形状和坐标无关。
用广义坐标的变分原理较易于求得近似解。
§1.4 含多个自变量的函数的泛函及其极值问题
许多平面问题,如弹性板的弯曲、平面应力或应变问题、轴对称问题等都有y x ,或z r ,两个自变量,其它问题诸如弹性振动、平面热传导、弹塑性理论等有三个或四个自变量,这一类问题在力学物理中非常重要,也是变分法中的
主要方面。这类泛函极值问题本质是类似的。
首先研究泛函
????
??=∏S
d d )],(),,(),
,(,,[)],([y x y x w y
y x w x y x w y x F y x w (1-75) 的极值问题。其中函数),(y x w 在域S 的边界C 上的值已经给出,即在边界C 上),(y x w 为已知。记
x w x w =??, y w y
w
=?? (1-76) 式(1-75)表达的泛函的变分可以写成
??δ??+δ??+δ??=∏S
y y
x x y x w w F
w w F w w F d d ][
δ (1-77) 根据函数变分的定义,有
w x x w w x δδ
δ??=??=, w y
y w w y δδδ??
=??= 而且
w w F x w w F x w w F x
x x x δ)()δ(δ????-????=?? w w F
y w w F y w w F y
y y y δ)()δ(δ????-????=?? 将上式代入(1-77)式,则得
????????+????+????-????-??=∏S
y
x S
y
x y x w w F y w w F x y x w w F
y w F x w F d d )]δ()δ([
d d δ)]()([
δ (1-78)
根据格林公式(Green formula ),对),(),(y x g y x f ,两个连续函数有
????α-α=-=??+??C C S
s g f x g y f y x y
g
x f d )cos sin ()d d (d d )(
(1-79)
其中s 为边界围线C 的弧长,以逆时针为正,顺
时针为负,α为切线和x
轴的夹角(图1-3)。并且有以下关系式
s x d cos d α=, s y d s i n d α=
?
??
α+α-=α
+α=sin cos cos sin s n y s n x (1-80) ?
??
α
-α=α+α=cos sin sin cos y x n y x s (1-81) 并有
???
?
???
??α-??α=????+????=????α+??α=????+????=??n
s n y n s y s y n s n x n s x s x cos sin sin cos (1-82) 或
图1-3 边界的切线和法线
???
?
???
??α-??α=????+????=????α+??α=????+????=??y
x y n y x n x n y x y s y x s x s cos sin sin cos (1-83) 以上各式,对简化二维问题时都是很有用的。按(1-79)式,我们有
???α??-α??=????+????C d δ)cos sin (d d )]δ()δ([
s w w F
w F y x w w F y w w F x y
x S
y x (1-84)
在边界C 上,),(y x w 已知为),(c y x w ,对于都通过),(c y x w 的任意),(y x w 的变分w δ在边界C 上都恒等于零。因此(1-84)式右侧围线积分应该恒等于零,于是(1-78)式最后化为
??????-????-??=∏S
y
x y x w w F
y w F x w F d d δ)]()([
δ (1-85) 当泛函达到极值时,0δ=∏,根据变分法基本预备定理,得
0)(d d )(d d =??-??-??y
x w F y w F x w F (1-86) 这就是决定),(y x w (在边界上满足),(c y x w w =)的微分方程,也称为欧拉方程式。
【例1-3】 弦的振动问题就是和(1-75)式相类似的泛函变分问题。 设有均匀弦AB ,单位长度的密度为ρ,弦内拉力为N ,0=x ,L x =的两端固定。单位长度弦的横向位移),(t x w 既是x 的函数,也是时间t 的函数。整个弦的动能为
x t
w
T l d )(22
0???ρ= (1-87)
弦内由于变形所积蓄的弹性变形能(即势能)等于弦内拉力(即两端的拉力N )和弦长增长的总量的乘积。弦的元素x d 在变形后增长到x x
w d )(
12
??+,因此势能为 ????≈-??+=l l
x x w N x x
w N U 0202
d )(21d }1)(1{ (1-88)
这里略去了)(
x
w
??的高次项。为了寻求运动方程,我们可以利用哈密顿原理,即寻求),(t x w , 使弦在21t t t <<中的作用量为最小,即求泛函
??????-??ρ=
-==212
1
21
d d ]))([21d )(d 02
2t t l t t t t t x x
w N t w t U T t L A (1-89) 的极值。),(t x w 应满足固定条件,
0),0(=t w , 0),(=t l w (1-90)
和满足初始和结束时弦的形状条件
)(),(11x w t x w =, )(),(22x w t x w = (1-91)
0δ=A 的变分极值条件给出
0d d ]δδ[δ21
=????-????ρ
=?
?
t x x
w x w N t w t w A t t l (1-92)
根据(1-90)、(1-91)式,我们有0),(δ),(δ),(δ),0(δ21====t x w t x w t l w t w ,所以
+??ρ-=????ρ???
?2121
d d δd d δ22
00t t l t t l
t x w t w t x t w
t w ?????ρ-=???
?????ρl
t t l t t t x w t w x w t w 0023
212
1
d d δd δ (1-93) +??-=???????
?2121
d d δd d δ0220t t l t t l
t x w x w
N t x x w x w N ???
??-=???
?????2121
0230
d d δd δt t l t t l
t x w x w N t w x w N (1-94) 最后(1-92)式可以写成
?
?=???
?????ρ-??=21
022220d d δδt t l
t x w t w x
w N A (1-95) 根据变分预备定理,得到弦振动的欧拉方程
02
222=??ρ-??t w N x
w (1-96) 在以下的公式推导中,将用到下面诸微积分定理,进行简化。
(1)格林(Green )定理或高斯(Gauss )定理
?????γ+β+α=Ω??+??+??Ω
S
d )cos cos cos (d )(
s C B A z A y A x A (1-97) 其中C B A ,,为Ω中和S 上的连续函数,S 为闭域Ω的界面,γβα,,为界面S 的外法线n 和z y x ,,轴之间的方向角。
(2)格林定理的形式之一
??????????=Ω????+????+????-Ω?Ω
Ω
S
2d d )(d s n V
U z V z U y V y U x V x U V U (1-98)
其中n V ??为V 对外法线方向n 的导数,22
222
22
z
y x ??+??+??=?。 这一公式证明很容易,因为
γ??+β??+α??=????+????+????=??cos cos cos z V
y V x V n z z V n y y V n x x V n V
利用分部积分对(1-98)式右边第一项进行运算,以其中第一项为例,有
????????α??+Ω????-=Ω??ΩΩS
22d cos d d s x V
U x V x U x V U 整理后即得到(1-98)式。
(3)格林定理
???????-??=Ω?-?Ω
S
2
2d )(d )(s n
U
V n V U U V V U (1-99) 该式可以由(1-98)式进行证明。
在使用了这些定理之后,我们可以证明下列常见的欧拉方程。 (1) 泛函
???Ω
??????=∏z y x z
w y w x w w z y x F z y x w d d d ),,,
,,,()],,([ (1-100)
由极值必要条件0δ=∏,其欧拉方程为
0)()()(=????-????-????-??z
y x w F z w F y w F x w F (1-101) 其中z
w
w y w w x w w z y x ??=??=??=
,,,其边界条件为),,(z y x w 在Ω的表面上为已知,即在 边界上0δ=w 。
(2) 泛函
?????????????=∏S
y y x w
y w x w y w x w w y x F y x w dxd ),,,,,,,()],([22222 (1-102)
为极值的必要条件是0δ=∏,其欧拉方程为
+????+????-????-??)()()(22xx
y x w F
x w F y w F x w F 0)()(222=????+?????yy
xy w F
y w F y x (1-103) 其中22222,,,,y
w
w y x w w x w w y w w x w w yy xy xx y x ??=???=??=??=??=。其边界条件为),(t x w 和 n w ??在边界C 上为已知,n 为外向法线,也即在边界C 上0δ=w ,
0δ=??n
w
。 (3) 泛函
?
???Ω
????????=∏2
1
d d d ),,,,
,,,,()],,,([t t t z xdy t
w
z w y w x w w t z y x F t z y x w (1-104) 为极值的必要条件是0δ=∏,其欧拉方程为
)()()()(t
z y x w F t w F z w F y w F x w F ????-????-????-????-?? (1-105) 其中t
w
w z w w y w w x w w t z y x ??=??=??=??=
,,,。其边界条件为),,,(t z y x w 在Ω的表面S 上已知,即在边界S 上无论在),(21t t 内任何时间,0δ=w ,其起始和终止条件为),,,(1t z y x w 和),,,(2t z y x w 为已知,即当22,t t t =时,Ω中的任意点0δ=w 。
(4) 泛函
?
???????????????=∏2
1
d d d ),,,,,,,,,()],,([S
22222t t t y x t w
y x w y w x w y w x w w t y x F t y x w (1-106) 为极值的必要条件是0δ=∏,其欧拉方程为
)()()()()()(22222=?????+????+????+????-????-????-??xy yy
xx t
y x w F y x w F y w F x w F t w F y w F x w F (1-107)
其中22222,,,,,y
w
w y x w w x w w t w w y w w x w w yy xy xx t y x ??=???=??=??=??=??=。其边界条件为),,(t y x w 和
n w ??在边界C 上是已知的,即在边界C 上不论21t t t ≤≤内那个时间,0δδ=??
=w n
w ,其起始和终止条件为),,(1t y x w ,),,(2t y x w 为已知,即在21,t t t t ==
时S 上任意点的0δ=w 。
下面列出几个常见的例子。 例(1) 泛函
???Ω
??+??+??=∏z y x z
w y w x w d d d })()(){(
2
22 (1-108) 的变分极值问题。由上式取极值必要条件0δ=∏,可得到欧拉方程
02
22222=??+??+??z w
y w x w (1-109) 这是三维的拉普拉斯方程,),,(z y x w 在边界S 上的值为给定的,即有0δ=w 。
例(2) 泛函
???Ω
ρ+??+??+??=∏z y x z y x w z
w
y w x w d d d )},,(2)()(){(
222 (1-110) 的变分极值问题。给出的欧拉方程是三维泊桑方程
),,(2
22222z y x z w
y w x w ρ=??+??+?? (1-111) ),,(z y x w 在边界S 上的值为已知的,即有0δ=w 。
例(3) 泛函
????-???+??+??=∏S
S 2
22222221d d ),(d d })(2)(){(2y x w y x q y x y x w y w x w D (1-112a )
或泛函
????-??+??=∏S
S 2
222222d d ),(d d })(){(2y x w y x q y x y w x w D (1-112b )
或泛函
????-???-????μ--??+??=∏S
S 2
22
222222223d d ),(d d ]})()[1(2){(2y
x w y x q y x y x w y
w x w y w x w D (1-112c )
其中D 为抗弯刚度,μ为泊桑比,),(y x q 为平板所受的横向分布载荷。以上三式的变分极值条件,都给出同一个四
阶欧拉方程
),()2(44224442
2
y x q y
w
y x w x w D w D =??+???+??=?? (1-113)
以上三个泛函都被用于板弯曲问题。但必须指出,这三个泛函虽然给出了相同的欧拉方程,却代表着不同的边界条件。
考虑式(1-112a )表示的泛函。首先对式(1-112a )进行变分,
????-??????+????+????=∏S
S 222
22222221d d δd d }δ2δδ{δy x w q y x y x w
y x w y w y w x w x w D (1-114) 利用分部积分,等号右边第一、二、三项可分解为
w x w w x w x x w x w x x w
x w δ)δ()δ(δ4433222
222??+????-??????=????
w y w w y w y y w y w y y
w
y w δ)δ()δ(δ44
33222
222??+????-??????=????
w y
x w
w y x w y y w y x w x y x w y x w δ)δ()δ(δ22423222???+?????-???????=??????
或
w y
x w
w y x w x x w y x w y y x w y x w δ)δ()δ(δ22423222???+?????-???????=?????? (1-115)
合并(1-115)各式,可得
]δ)[(]δ)[(]δδ[]δδ[δ)(δ2δδ2
222
22222
2
222
2222222w w y
y w w x x y w y w x w y x w y y
w
y x w x w x w x w w y x w
y x w y w y w x w x w ?????-?????-????+???????+
?????+??????+??=??????+????+???? (1-116)
根据格林公式(1-79)式,有
=?δ???+?????+?δ????+?δ???????S
222222d d ]}[][{y x y w y w y x w y y w y x w x w x w x ?α?δ???+?δ????-α?δ????+?δ???C 222222d }cos ][sin ]{[s y w
y w x w y x w y w y x w x w x w (1-117)
=δ?????+δ???????S
22d d ]}[][{y x w y w y w x w x ?α???-α???C s w y w
x w d δ}cos sin {22 (1-118)
在边界C 上,如果w 已知,即0δ=w ,即(1-118)式等号右边边界围线积分等于零。如果周边C 上w 为已知的,那么n w ??也一定是已知的,在边界C 上,w δ=0,n w ??)δ(。现在证明(1-117)等号右边边界围线积分等于零,为了证明这点,我们引进),(s n 边界正交坐
标(图1-4),坐标dx ,dy ,ds ,dn 之间的变换关系如(1-82)和(1-83)式。这里α是s 的函数,即
)(s α=α,而且有
s
s ρ=
?α?1
,0=?α?n (1-119) 其中s ρ为边界曲线的曲率半径,当曲率中心在S 域内部时为正,在外侧时为负。于是利用(1-83)式后,可以证明
α????-α????=α???-α??cos )(sin )(cos sin 22
2x
w
y x w x y x w
x
w
)(x
w
n ????=
(1-120)
图1-4 边界正交坐标
同样,可以证明
)(cos sin 222y w
n y
w y x w ????=α??-α??? (1-121) 于是(1-117)式中被积函数可以写成
y
w y w n x w x w n y
w
y w y w y x w y w y x w x w x w ??????+??????=α
????+?????-α?????+????δ)(δ)(cos )δδ(sin )δδ(222222 (1-122)
这里必须指出,我们不能把(1-82)、(1-83)式的
y x ????,直接代入)(),(y
w
n x w n ????????来计算(1-122)式,因为(1-82)式所表示的
y
w
x w ????,
,是在周边C 上的导数极限,它们只是s 的函数,它们对法线n 的导数一定等于零。(1-122)式中的
)(),(y w n x w n ????????应该是边界线附近的)(),(y
w
n x w n ????????在0→n 时的极限,即 ??
?
??
??
????=????????=????→→)(Lim |)()(Lim |)(0c 0c y w n y w n x w n x
w n n n (1-123) 让我们取边界正交坐标),(*s n ,这一坐标不在边界C 上,如图1-4。同样有以下关系
n s
y n s x ??α+??α=????
α+??α=??cos sin sin cos ** 在*
s 上 (1-124)
且
s n s
s s ??+ρρ=??
*
(1-125) 所以
α??+α??ρ-???=α??+α???+ρρ-???+ρρ=α??+α??+υρ??=????→→→sin cos ]1[}sin cos ])({[Lim }
sin cos {Lim )(Lim
2222222000
n
w s w s n w n w s w n s n w n n w
s w n n x w n s s s s s n s
s n n 同样,得
α??-α??ρ-???=????→cos sin ]1[)(Lim 2220n
w s w s n w y w n s n 于是(1-122)式可以化为
n
w n w w s w s s n w w s w s n w s n
w n w s w s w s n w n w
s w n w s w
s n w n w s w n
w s w s n w y w y w n x w x w n s s s s s ????+??ρ??-???-??ρ-?????=????+????ρ-???=α??-α??α??-α??ρ-???+α??+α??α??+α??ρ-???=??????+??????δδ]1[]δ)1[(δ)δ)(1()
cos δsin δ}(cos sin ]1{[)sin δcos δ}(sin cos ]1{[]δ)(δ)([2
22
322
222
222
22c (1-126)
而且,根据边界的封锁性,我们有
k k s i
k s w s w
s n w s w s w s n w s δ)1(d ]δ)1[(21
c 2??ρ-????-=??ρ-?????∑?= (1-127) 其中k k s w s
w
s n w δ)1(2??ρ-????代表边界C 上第k 角点的增值量(注意C 的方向走向,k 角点增量顺序)
,这里假设共有i 个不连续角点,k w δ为k 角点的w δ值。
最后,从(1-117)式导出
-??ρ??-???-????=????+???????+?????+?????????c
2
3
22S 222222d }δ]1[δ{
d d ]}δδ[]δδ[{s w s w
s s
n w n w n w y x y w y w x w y x w y y w y x w x w x w x s
∑=??ρ-????i
k k k s
w s w s n w 12δ)1( (1-128) 同样,利用(1-83)式中的第二式,我们可以从(1-118)式证明
??????=?????+δ?????c 2S
22d δd d )]δ()([s w n w y x w y w y w x w x (1-129) 最后,得1∏的极值(必要)条件
δ)1(d δ]1)([d δd d δ)(δ1
2c 222
c 22S
2
2
1=??ρ-????-??ρ??-??+???-
????+-??=∏∑????=k k i
k s s w s w s n w D s w s w s s w w n D s n w n w D y x w q w D (1-130)
如果在边界C 上,w 和n w ??为已知,包括边界为固定的,则有
0δ=w ,
0δ=??n
w
在边界C 0δ=k w 在角点i k ,2,1=上 (1-131)
从(1-130)式中利用(1-131)的条件,利用变分法的预备定理,就得到欧拉方程,这里为板的平衡方程为
022=-??q w D (1-132)
如果在边界C 的一部分C 1上,w 和n w ??都是未知的,在C 1边界上w 和n w ??均不等于零,它们可以是任选的。利用变分法预备定理,则在C 1上必须满足的条件为
001)(2
2
222
=??=??ρ??-??+???n
w
s w s s w w n s (在C 1边界上) (1-133)
如果在角点1k 上,w 也是未知的,则在那里w δ不等于零,利用变分法的预备定理,在1k 角点上必须满足角点条件
0)1(12=??ρ-????k s s
w s n w (在角点1k 上) (1-134) 像(1-133)及(1-134)的条件,称之为自然边界条件。
凡变分法中因边界值事先未给定而由驻值要求所引起的必须满足的边界条件,统称为自然边界条件。例如(1-133)式就是在(1.112a )式的泛函变分中,因一部分边界1C 上的w 和n w ??未知,而必须满足的两个自然边界条件。
其它二个泛函2∏和3∏,利用上述类似的方法推导,由各自极值的必要条件0δ2=∏和0δ3=∏,均可得到板弯曲的欧拉方程(即板弯曲微分方程),但代表不同的自然边界条件,读者可自行推导。以上问题的详细论述,可参阅文献[1]。
例(4) 梁的弯曲振动问题。
梁弯曲振动时,梁的弹性变形能U 为
???=l x x
w EI U 02
22d )(21 (1-135)
梁的动能为
?
??ρ=l
x t
w T 02
d )(21 (1-136) 其中ρ为梁单位长度的质量,),(t x w 为梁的弯曲挠度。根据哈密顿原理,),(t x w 由
0d )(δδ2
1
=-=?t t t U T A (1-137)
决定,即
?
??????
???????-????ρ=???
?????-??ρ=21
21022
2202222d d δδd d )()(δ21δt t l
t t l t x x w x w EI t
w t w t
x x w EI t w A
因为),(),,(21t x w t x w 已知,所以0),(δ),(δ21==t x w t x w ,于是
?
??
??????
??ρ-??ρ-????????ρ=?
??
?????ρ-??ρ??=????ρ
21
212
1
212
1
0220022
00
d d δd d δd δd d δ)(d d )δ(d d δt t l
l t t l t t t t l t t l t
x w t w
t x w t w l w t w t
x w t w t w t w t t x t w t w (1-138) 因为),(),,0(),,(),,0(t l w t w t l w t w x x 已知,所以
0),(δ),0(δ==t L w t w ,
0),(δ),0(δ=??
=??t l w x
t w x (1-139) 于是
?
??
?
????
?????=??????????-????+
????=??????????+????????????-????????????=??
?
?
??????21
21212
121
0222202
2220222222220222202222d d δ)(d δ)(δd d δ)(d d δ)(δ)(δd d δt t l
l
t t t t l
t t l
t t l t
x w x w
EI x t w x w EI x x w x w EI t x w x w
EI x t x w x w
EI x w x w EI x
x x w x w EI x t x x w x w EI (1-140) 最后,得
t x w x w EI x t
w A t t l
d d δδ21
0222222?
????
???????+??ρ-= (1-141) 根据变分法预备定理,得梁的振动方程
0222222=????+??ρx
w
EI x t w (1-142) 如果EI 为常数,上式可以写成
02
244=??ρ+??x w
EI x
w 如果端点条件w 及x w ??为未定的,则我们有相应的自然边界条件
(1)
0=??t
w
(当1t t =及2t t =) (2) 02
2=??x
w
(当0=x 及l x =) (3) 0)(22=????x
w
EI x (当0=x 及l x =) (1-143) 显然,(1-143)式之(1)式,相当于起始及终结速度为零;(2)相当于梁两端弯矩为零,(2)与(3)相加在一起,
表示自由端的条件,单独(3)表示在端点处剪力为零。
例(5) 薄板弯曲振动问题。
设薄板的抗弯刚度为D ,横向位移为),,(t y x w ,泊桑比为μ,222
2,y
w
x w ????为变形后的两个曲率,y x w ???2为扭率,弯矩y x M M ,及扭矩xy M 分别为
泛函分析期末考试试卷(总分100分) 一、选择题(每个3分,共15分) 1、设X 是赋范线性空间,X y x ∈,,T 是X 到X 中的压缩映射,则下列哪个式子成立(). A .10<<-≤-αα, y x Ty Tx B .1≥-≤-αα, y x Ty Tx C.10<<-≥-αα, y x Ty Tx D.1≥-≥-αα, y x Ty Tx 2、设X 是线性空间,X y x ∈,,实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件:(). A. 等价于0且,0==≥x x x C.y x y x +≤+ 3 ? 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ,则有1 1p q +的值为(). A.1- B. 12C.1D.12 - 二、填空题(每个3分,共15分) 1、度量空间中的每一个收敛点列都是()。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是()。 3、1l 的共轭空间是()。 4、设X 按内积空间
当且仅当x 与y 线性相关时不等式等号成立。 5、设T 为复希尔伯特空间X 上有界线性算子,则T 为自伴算子的充要条件是()。 三、判断题(每个3分,共15分) 1、设X 是线性赋范空间,X 中的单位球是列紧集,则X 必为有限维。() 2、?距离空间中的列紧集都是可分的。() 3、?若范数满足平行四边形法则,范数可以诱导内积。() 4、?任何一个Hilbert 空间都有正交基。() 5、设X 是线性赋范空间,T 是T 有逆算子。() 四、计算题(10分) 叙述1l 空间的定义,并求1l 12,证 明3i X 与n R 按范数1 ||||||n i i x ξ==∑组成的赋范线性空 间Y 共轭。 4、设X 是可分Banach 空间,M 是X '中的有界集,证明M 中每个点列含有 一个弱*收敛子列。 5、设H 是内积空间,M 为H 的子集,证明M 在H 中的正交补是H 中的闭线性子空间。 泛函分析期末考试试卷答案 一、选择题 1、A 2、D 3、B 4、D 5、D 二、填空题 1、柯西点列 2、巴拿赫空间 3、∞ l 4、|
《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一.空间 (1)距离空间 (集合+距离)!验证距离的三个条件:称为是距离空间,如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】,并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】; x y =(ii) 【对称性】; (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表:空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 (2)赋范线性空间 (线性空间 + 范数) !验证范数的三个条件:称为是赋范线性空间,如果 (,||||)X ?是数域(或)上的线性空间,对于和 X K =?K =£a K ∈,成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】,并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =; (ii) 【齐次性】; ||||||||||ax a x =?
(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表:空间()、空间(n ?1,2,3,n =L n £) 、空间()、空间(1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b )、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间(范数是由内积导出的范数)。 (3)内积空间 (线性空间 + 内积) !验证内积的四个条件:称为是内积空间,如果 (,(,))X ??是数域(或)上的线性空间,对于和 X K =?K =£a K ∈,成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】,并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】; (ii) 【第一变元可加性】; (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】; (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表:空间()、空间(n ?1,2,3,n =L n £) 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中,,当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→; k →∞赋范线性空间中,,当;|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞
第1章 泛函和变分 1.1引言 以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题: 一个足够光滑的连续函数 12(,,...,)n y f x x x =,其在区域n R Ω?内任何一点12(,,...,)T n x x x =x 都可以作以下的 Taylor 展开 2 12 1 2()()()()(||||)(),,...,T T T T n f f f f o f f f f x x x +?=+?+??+??????= ? ?????x x x x x x D x x x x ?? ( 函数在某一点有极值的必要条件是 但是,我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题—泛函的极值问题(泛函简单地讲, 就是函数的函数,详细见后面)。 例1.1 一个简单的变分问题: 最短线问题 图1.1最短线问题 假设经过,A B 两点距离最短的曲线方程为 *()y y x = ( 另有一任意的连续可导函数()x ηη=,()x η满足两端固定的边界条件 01()()0x x ηη== ( 显然()()y y x x αη=+依旧是过固定两点,A B 的连续曲线,其对应的长度为 1 ()x x L x α=? ( 当0α=,()y y x =时()L α取到极小值,也就是说 0d () |0d L ααα == ( 把(, 展开后有 ( )() 101 1 1 000110 000 33 d ()||d |d ''''''d d 0 x x x x x x x x x x x x L y x y y y x x y y y y y x x ααααηηη==='??==-?? ?=-=-???=????? ( 由于( 对于任意的()x ηη=都成立,根据变分引理(见, 我们可以得到 ( ) 3 '' 0y = (
密度泛函理论及其应用 一、密度泛函理论(Density Functional Theory :DFT ) VASP 的理论基础是电荷密度泛函理论在局域电荷密度近似(LDA )或是广 义梯度近似(GGA )的版本。DFT 所描述的电子气体交互作用被认为是对大部分 的状况都是够精确的,并且它是唯一能实际有效分析周期性系统的理论方法。 1.1 单电子薛定谔方程式 一个稳定态(与时间无关)的单一粒子薛定谔方程式可表示为一个本征值问 题(暂略动能项的 /2m ): ()()H r E r ψψ= (1) 2[]()()V r E r ψψ-?+= (2) 多体量子系统 (如双电子的薛定谔方程式): 2212121212[(,)](,)(,)V r r r r E r r ψψ-?-?+= (3) 在普遍的状况下,12(,)V r r 里的12,r r 是无法分离变量的,因此,即便简单如 双电子的薛定谔方程式就己经没有解析解了。而任何的计算材料的量子力学问 题,都需要处理大量数目的电子。 1.2 Hohenberg-Kohn 定理 量子力学作为20世纪最伟大的发现之一,是整个现代物理学的基石。量子力 学最流行的表述形式是薛定谔的波动力学形式,它的核心是波函数及其运动方程 薛定谔方程。对一个给定的系统,我们可能得到的所有信息都包含在系统的波函 数当中。对一个外势场v (r)中的N 电子体系,量子力学的波动力学范式可以表示 成: v (r) ?Ψ (r1; r2; …; r N ) ?可观测量 (4) 即,对给定的外势,将其代入薛定谔方程可以得到电子波函数,进一步通过
波函数计算力学量算符的期望值可以得到所有可观测量的值。电荷密度是这些可 观测量中的一个: 333* 232()...(,...)N N n r N d r d r d r r r r =ψ???2(,...)N r r r ψ (5) 如前所述,任何的计算材料的量子力学问题,都需要处理大量数目的电子。 而,对于超过两个电子以上的体系,薛定谔方程就已经难以严格求解了。对于实 际物质的这样一种每立方米中有2910数量级的原子核和电子的多粒子系统,我们 是更不可能由薛定谔方程来严格求解其体系的电子结构的。但,建立于 Hohenberg-Kohn 定理上的密度泛函理论不但给出了将多电子问题简化为单电子 问题的理论基础,同时也成为分子和固体的电子结构和总能量计算的有力工具。 因此,密度泛函理论是多粒子系统理论基态研究的重要方法。 密度泛函理论的基本想法是原子、分子和固体的基态物理性质可以用粒子密 度函数来描述,这源于H.Thomas 和E·费米1927年的工作。密度泛函理论基础是建 立在P.Hohenberg 和W.Kohn 的关于非均匀电子气理论基础上的,它可归结为两个 基本定理: 定理一:不计自旋的全同费米子系统的基态能量是粒子数密度函数()n r 的唯 一泛函。 它的推论是,任何一个多电子体系的基态总能量都是电荷密度()n r 的唯一泛 函,()n r 唯一确定了体系的(非简并)基态性质。 由于电荷密度与电子数N 直接联系:()n r dr N =?,这样决定多电子薛定谔 方程解的电子数N 和外势场都由电荷密度()n r 唯一确定,因此基态波函数[] F n 以及其它的电子结构性质都由电荷密度唯一确定。 由于()V r 决定了哈密顿量,多电子体系的基态ψ是()n r 的唯一泛函,自然 动能和库仑能也是()n r 的泛函,那么体系的所有性质也将是基态密度的泛函。于 是定义一个普适泛函[]F n ,有: 2,,22,()1 (1)()2()l ps l ps l l ps d r l l V r E r dr r ??Φ+??=+-????Φ?????? []??()F n r T U ≡<ψ+ψ> (6) 适用于任何外场下的具有任意电子数的体系。所以系统基态的能量可表示为
主要内容 本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质. 外测度和内测度是比较直观的两个概念,内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是,这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集(即定义),为此,首先讨论了外测度的性质(定理). 注意到外测度仅满足次可列可加(而非可列可加)性,这是它和测度最根本的区别. 我们设想某个点集上可以定义测度,该测度自然应该等于这个集合的外测度,即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来,因为这个条件无非是一种可加性的要求. 本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中,最基本的是测度满足在空集上取值为零,非负,可列可加这三条性质. 由此出发,可以导出测度具有的一系列其它性质,如有限可加,单调,次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论. 本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和 型集逼近. 正是由于勒贝格可测集,勒贝格可测集类,勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质,才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用. 本章中,我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理,其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道:任何具有正测度的集合一定含有不可测子集. 复习题 一、判断题
1、对任意n E R ?,* m E 都存在。(√ ) 2、对任意n E R ?,mE 都存在。(× ) 3、设n E R ?,则* m E 可能小于零。(× ) 4、设A B ?,则** m A m B ≤。(√ ) 5、设A B ?,则** m A m B <。(× ) 6、* *1 1( )n n n n m S m S ∞ ∞===∑。(× ) 7、* *1 1 ( )n n n n m S m S ∞ ∞==≤∑。(√ ) 8、设E 为n R 中的可数集,则* 0m E =。(√ ) 9、设Q 为有理数集,则* 0m Q =。(√ ) 10、设I 为n R 中的区间,则* m I mI I ==。(√ ) 11、设I 为n R 中的无穷区间,则* m I =+∞。(√ ) 12、设E 为n R 中的有界集,则*m E <+∞。(√ ) 13、设E 为n R 中的无界集,则*m E =+∞。(× ) 14、E 是可测集?c E 是可测集。(√ ) 15、设{n S }是可测集列,则 1 n n S ∞=, 1 n n S ∞=都是可测集。 (√ ) 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。(√ ) 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。(√ ) 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。(√ ) 19、若E =?,则* 0m E >。(× ) 20、若E 是无限集,且*0m E =,则E 是可数集。(× ) 21、若mE =+∞,则E 必为无界集。(√ ) 22、在n R 中必存在测度为零的无界集。(√ )
第1章泛函和变分 1.1引言 以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题:一个足够光滑的连续函数 12(,,...,)n y f x x x =,其在区域n R Ω?内任何一点12(,,...,)T n x x x =x 都可以作以下的 Taylor 展开 2 121 2()()()()(|| ||) (),,...,T T T T n f f f f o f f f f x x x +?=+?+??+??????= ? ?????x x x x x x D x x x x ??(1.1.1) 22221121222 212...()...n n n n f f f x x x x x f f f f x x x x x ??????? ?????? ???=???????????????? D x 函数在某一点有极值的必要条件是 12 ,,...,0 T n f f f f x x x ?? ???== ???????但是,我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题—泛函的极值问题(泛函简单地讲,就是函数的函数,详细见后面)。 例1.1一个简单的变分问题:最短线问题 图1.1最短线问题 假设经过,A B 两点距离最短的曲线方程为 *() y y x =(1.1.2) 另有一任意的连续可导函数()x ηη=,()x η满足两端固定的边界条件 01()()0 x x ηη==(1.1.3) 显然()()y y x x αη=+依旧是过固定两点,A B 的连续曲线,其对应的长度为
1 2()1('')d x x L y x ααη=++? (1.1.4) 当0α =,()y y x =时()L α取到极小值,也就是说 0d () |0d L ααα ==(1.1.5) 把(1.1.4)代入(1.1.5),展开后有 ()() 10 1 1 1 000110 000 222233 222 d ()('')'|d |d 1('') ''''d |d 1'1'1'''''''''d d 1'1'1'0 x x x x x x x x x x x x L y x y y y y x x y y y y y y y y x x y y y ααααηηααηηη ηηη==+=++'?? ?==- ?+++???? ?=--=- ?+ ?++??=?????(1.1.6) 由于(1.1.6)对于任意的()x ηη=都成立,根据变分引理(见2.2.2节),我们可以得到 ( ) 3 2 '' 1'y y =+(1.1.7) 意味着 12 y C x C =+(1.1.9) 因此,在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。 下面我们来看几类比较典型的变分问题。例1.2最速降线问题 图1.2最速降线问题 我们在该铅直平面上取一直角坐标系,以A 为坐标原点,水平为x 轴,向下为y 轴。 曲线的方程为()y y x =,A 点坐标00 (,)(0,0)x y =,B 点坐标11(,)x y 。曲线上任意一点P 时的速度为 d 2d s v gy t = =(1.1.10)
-、(10分)设d(x, y)为空间X上的距离。证明 l + d(3) 也是X上的距离。 1、求证/(X,r)为3空间。(其中X为/空间,丫为B空间) 2、S是由一切序列兀=(召,兀2,?…,£,???)组成的集合,在S中定义距离为 p(x,y ,求证S是一个完备的距离空间。 3、Hilbert空间X中的正交投影算子为线性有界算子。 4、附加题 开映射定理(P92) 设x,y都是B空间,若TG/(x,r)是一个满射,则卩是开映射。Hahn—Banach延拓定理(%) 设X是T空间,X。是X的线性子空间,人是定义在X。上的有界线性泛函,则在X上必有有界线性泛函/满足: ⑴芦(兀)=九(兀)(办丘Xo)(延拓条件); (2)||/|| = UII0(保范条件), 其中表示人在X。上的范数。 闭图像定理(乙8)设都是3空间,若丁是X T Y的闭线性算子,并且D(T)是闭的,则卩是连续的。 共鸣定理(毘9)设X是B空间,丫是£空间,如果 Wu/(X,Y),使得sup||Ar|| x-x0 = inf x-y yeM 七、(15分)设/(兀)=匸兀(『)力—[比)力,求证:/G(C[-1,1])\且求||/||。 八、(15分)简答题 1?试说明C[a,b]与I3[a,b]中函数的差异; 2.泛函分析也称无穷维分析,为什么耍研究无穷维分析,试举例说明; 3.H订bert空间是最接近有限维Euclid空间的空间,请做简要说明。 一、在C[-1,1]上定义内积V /,g〉=[/(f)ga)〃,若记M为C[-1,1]屮奇函数全 体,N为C[-l,l]中偶函数全体,求证:M十W二且丄。 设厶为内积空间H中的一个稠密子集,且x丄厶,证明x = 0. 二、在R中赋予距离p(x,y) =| arctan x-arctan y |,问(R,p)是完备空间吗?为什么?设Tx(t) = rx(r),若T是从厶[0,1] t厶[0,1]的算了,计算||T||;若T是从 Q0,1]T Q0,1]的算子再求||门 四论述题: 1、证明C[a,b]完备,并叙述证明空间完备的一般步骤。 2、论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。 3、证明||x||=maxx(r)为心,刃上范数,并论述证明范数的一般步骤。 ie[a,b] 设H是内积空间,£,兀儿则当X" t X,儿Ty时,(£,几)T(x,y),即内积 关于两变元连续。 10?设叭叭皿赋范空何,?“ 八码),证明 ⑴+ 7V, (2) fit (】)任取f€E;及则 (T: + T t) V(r)r s)?> f(T^) + /(r?z > -r:/(z) + Ty(x) = (T: +T;)/(z) ? 山人工的任尴性.得: 《珀 + T护= + <2)由共馳算子性质1?■即得:工 第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播; ② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也是光传播最短路径(Heron ); ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学方 法),是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间 的(映射)关系 特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ;∑=∞=n j ij i a A 1max ;21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分: 函数空间数域 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素(定义域);值域是实数域。 Discussion : ① 判定下列那些是泛函: )(max x f f b x a <<=; x y x f ??) ,(; 3x+5y=2; ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能: ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量: dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能: ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能: 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个w (x ),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题:已知空间两点A 和B ,A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时,从A 到B 所需时间最短(忽略摩擦力)。 作法: i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知:x = 0,y = 0;x = a ,y = b ii. 建立泛函: x 泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上,做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分,共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间,是中点列,如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间,是上线性泛函,那么的零空间是中的闭子空XXX,,间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子,如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间,对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间,是的共轭空间,泛函列,如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义,并求的共轭空间。 lp(1),,,, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1), ,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间,证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的,证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义,并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页 量子力学泛函计算 纪岚森 (青岛大学物理科学学院材料物理一班) 摘要:文章叙述了密度泛函理论的发展,密度泛函理论以“寻找合适的交换相关为主线,从 最初的局域密度近似,,从最初的局域密度近似、广义梯度近似到现在的非局域泛函、自相 互作用修正,多种泛函形式的出现,是的密度泛函在大分子领域的计算越来越精确。近年来 密度泛函理论在含时理论与相对论方面发展也很迅速。计算体系日臻成熟,而我所参加的创 新实验小组就是以密度泛函研究大分子体系。在量子力学泛函计算的产生,发展,理论,分 支,前景等方面予以介绍,本着科学普及的态度希望大家能够更加进一步的理解泛函计算。 关键字:量子力学泛函计算,发展,理论分支,前景,科普 1引言:随着量子理论的建立和计算机技术的发展,人们希望能够借助计算机对微观体系的量子力学方程进行数值求解【3】,然而量子力学的基本方程———Schirdinger 方程的求解是极其复杂的。克服这种复杂性的一个理论飞跃是电子密度泛函理论(DFT)的确立电子密度泛函理论是上个世纪60 年代在Thomas-Fermi 理论的基础上发展起来的量子理论。与传统的量子理论向悖,密度泛函理论通过离子密度衡量体系的状态,由于离子密度只是空间的函数,这样是就使得解决三维波函数方程转化为解决三维密度问题,使得在数学计算上简单了很多,对于定态Schirdinger 方程,我们只能解决三维氢原子,对于更加复杂的问题,我们便无法进行更为精确的计算,而且近似方法也无法是我们得到更为精确的结果。但是密度泛函却在这方面比较先进,是的大分子计算成为可能。【2】 2.过程:第一性原理,密度泛函是一宗量子力学重头计算的计算方法,热播呢V啊基于密度泛函的理论计算成为第一性原理——first-principles。经过几十年的发展密度泛函理论被广泛的应用于材料,物理,化学和生物等科学中,Kohn也由于其对密度泛函理论的不可磨灭的先驱性贡献获得了诺贝尔化学奖。密度泛函理论体系包括交换相关能量近似,含时密度泛函。 3.密度泛函理论的发展: 1交换相关能,在密度泛函理论中我们把所有近似都归结到交换相关能量一项上,所以密度泛函的精确度也就是由交换相关能一项上。寻求更好的更加合适的相关近似,即用相同密度的均匀电子气交换相关泛函作为非均匀系统的近似值,或许这也出乎人们的意料,这样一个简单的近似却得到了一个极好的结论。直接导致了后来的泛函理论的广泛应用。由此获 密度泛函理论的进展与问题 摘要:本文综述了密度泛函理论发展的基础及其最新进展,介绍了求解具体物理化学问题时用到的几种常用的数值计算方法,另外对密度泛函理论的发展进行了展望。密度泛函理论的发展以寻找合适的交换相关近似为主线,从最初的局域密度近似、广义梯度近似到现在的非局域泛函、自相互作用修正,多种泛函形式的相继出现使得密度泛函理论可以提供越来越精确的计算结果。另外,在密度泛函理论体系发展的同时,相应的数值计算方法的发展也非常迅速。随着密度泛函理论本身及其数值方法的发展,它的应用也越来越广泛,一些新的应用领域和研究方向不断涌现。 关键词:密度泛函数值计算发展应用 1 研究背景 量子力学作为20世纪最伟大的发现之一,是整个现代物理学的基石。量子力学最流行的表述形式是薛定谔的波动力学形式,核心是波函数及其运动方程薛定谔方程。对一个外势场v(r)中的N电子体系,量子力学的波动力学范式可以表示成: 即对给定的外势,将其代入薛定谔方程可以得到电子波函数,可以得到所有可观测量的值。 当用量子力学处理真实的物理化学体系时,传统的波动力学方法便显得有点力不从心。因为在大多数情况下,人们只是关心与实验相关的一部分信息,如能量、密度等。所以,人们希望使用一些较简单的物理量来构造新的理论[1]。 电子密度泛函理论是上个世纪60年代在Thomas-Fermi理论的基础上发展起来的量子理论的一种表述方式。传统的量子理论将波函数作为体系的基本物理量,而密度泛函理论则通过粒子密度来描述体系基态的物理性质。因为粒子密度只是空间坐标的函数,这使得密度泛函理论将3N 维波函数问题简化为3维粒子密度问题,十分简单直观。另外,粒子密度通常是可以通过实验直接观测的物理量。粒子密度的这些优良特性,使得密度泛函理论具有诱人的应用前景。 2 密度泛函理论的基础 Thomas-Fermi模型 1927 年Thomas和Fermi分别提出:体系的动能可以通过体系的电子密度表达出来。他们提出了一种的均匀电子气模型,把空间分割成足够小的立方体,通过在这些立方体中求 泛函分析期末复习题(2005-2006年度) (1)所有矩阵可以构成一个线性空间。试问这个线性空间中的零元素是什么? (2)什么是线性空间的子空间?子空间是否一定包含零元素?为什么? (3)什么是线性流形? (4)什么是线性空间中的凸集? (5)如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离,那么这个度量必须满足什么条件?试给出几个在维欧几里德空间上常用的距离定义 (6)距离空间上的收敛是如何定义的? (7)线性空间上定义的范数必须满足哪些条件? (8)什么是巴拿赫空间?赋范空间中的基本列一定收敛吗? (9)有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗? (10)什么是希尔伯特空间? (11)空间是如何构成的?在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间?(12)什么是算子?为什么要求算子的定义域是一个子空间? (13)算子的范数是如何定义的?从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。 (14)线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗? (15)什么是有界算子?举一个无界算子的例子。 (16)算子的强收敛是如何定义的? (17)设为一个线性赋范空间,而为一个Banach空间。那么从到的线性算子所构成的空间是否构成一个Banach空间? (18)什么是压缩映像原理?它在力学中有什么重要应用? (19)什么是泛函?什么是泛函的范数? (20)什么是线性赋泛空间的共轭空间?线性赋泛空间的共轭空间是否总是完备的?(21)什么是弱收敛?弱收敛与强收敛之间是什么关系? (22)什么是的Gateaux微分? (23)什么是泛函的(一阶)变分?它是如何定义的? (24)形如的泛函,其对应的Euler-Lagrange方程是什么? (25)什么是结构的应变能密度?什么是余能密度?二者关系如何?试画图说明。(26)有限元方法的本质是什么?瑞兹+具有局部紧支集的分片插值函数 (27)什么是最小势能原理?最小势能原理中的基本未知函数是什么?对这些基本未知函数有什么要求?推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。(28)什么是最小余能原理?最小余能原理中的基本未知函数是什么?对这些基本未知函数有什么要求?推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的应力场。(29)什么是Hellinger-Reissner混合变分原理?推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数和应力函数对应结构真实的位移场和应力场。 1分子(或原子)间相互作用势简介 分子(或原子)间相互作用势的准确性对计算结果的精度影响极大,但总的来说,原子之间的相互作用势的研究一直发展得很缓慢,从一定程度上制约了分子动力学在实际研究中的应用.原子间势函数概念本身已把电子云对势函数的贡献折合在内了,原子间势函数的发展经历了从对势,多体势的过程.对势认为原子之间的相互作用是两两之间的作用,与其他原子的位置无关,而实际上,在多原子体系中,一个原子的位置不同,将影响空间一定范围内的电子云分布,从而影响其他原子之间的有效相互作用,故多原子体系的势函数更准确地须用多体势表示. 2 力场简介 图1 键伸缩势示意图图2键伸缩势示意图 图3二面角扭曲势示意图 在分子动力学模拟的初期,人们经常采用的是对势.应用对势的首次模拟是Alder和Wainwright在1957年的分子动力学模拟中采用的间断对势.Rahman在1964年应用非间断的对势于氩元素的研究,他和Stillinger在1971年也首次模拟了液体HzO分子,并对分子动力学方法作出了许多重要的贡献,比较常见的对势有以下几种: (a)间断对势 Alder和Wainwrigh在1957年使用间断对势 这个势函数虽然很简单,但模拟结果给人们提供了许多有益的启示.后来他们又采取了另一种形式的间断对势。 (b)连续对势 对势一般表示非键结作用,如范德瓦耳斯作用;常见的表达方式有以下几种: ij ij 其中,Lennard —Jones 势是为描述惰性气体分子之间相互作用力而建立的,因此它表达的作用力较弱,描述的材料的行为也就比较柔韧.也有人用它来描述铬、钼、钨等体心立方过渡族金属.Born-Lande 势是用来描述离子晶体的. Morse 势与Johnson 势经常用来描述金属固体,前者多用于Cu ,后者多用于 Fe .Morse 势的势阱大于Johnson 势的势阱,因此前者描述的作用力比后者强,并且由于前者的作用力范围比后者长,导致Morse 势固体的延性比Johnson 势固体好.对势虽然简单,得到的结果往往也符合某些宏观的物理规律,但其缺点是必然导致Cauchy 关系,即Cl2=C44,而一般金属并不满足Cauchy 关系,因此对势实际上不能准确地描述晶体的弹性性质 第四章 密度泛函理论(DFT) 4.1 引言 2。地位和作用 ? 近几年来,DFT同分子动力学方法相结合, 有许多新发展; ? 在材料设计、合成、模拟计算和评价诸多方 面有明显的进展; ? 已成为计算凝聚态物理、计算材料科学和计 算量子化学的重要基础和核心技术; ? 在工业技术领域的应用开始令人关注。 4.2 DFT的优点 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰,手留余香。 泛函分析期末考试试卷(总分100分) 一、选择题(每个3分,共15分) 1、设X 是赋范线性空间,X y x ∈,,T 是X 到X 中的压缩映射,则下列哪个式子成立( ). A .10<<-≤-αα, y x Ty Tx B.1≥-≤-αα, y x Ty Tx C.10<<-≥-αα, y x Ty Tx D.1≥-≥-αα, y x Ty Tx 2、设X 是线性空间,X y x ∈,,实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件:( ). A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的( ). A .收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C .基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是( ). A .集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l,则有11 p q +的值为(). A. 1- B.1 2 C. 1 D. 1 2 - 二、填空题(每个3分,共15分) 1、度量空间中的每一个收敛点列都是()。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是()。 3、1l的共轭空间是()。 4、设X按内积空间 第二章 泛函极值及变分法(补充内容) 2.1 变分的基本概念 2.1.1 泛函和变分 泛函是一种广义的函数,是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x ),变量J 有一值与之对应,或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立,则我们称变量J 是函数y (x )的泛函,记为J [y (x )]。 例1:如果表示两固定端点A (x A ,y A ),B (x B ,y B )间的曲线长度J (图2.1.1),则由微积分相关知识容易得到: dx dx dy J B A x x ? += 2)/(1 (2.1.1) 显然,对于不同的曲线y (x ),对应于不同的长度J ,即J 是函数y (x )的函数,J =J [y (x )]。 图2.1.1 两点间任一曲线的长度 例2:历史上著名的变分问题之一——最速降线问题,如果2.1.2所示。设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线,质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2,这里不考虑摩擦作用影响,希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。 图2.1.2 最速降线问题 选取一个表示曲线的函数y (x ),设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动,则其运动速度为: ds v dt == 其中,S 表示曲线的弧长,t 表示时间,于是: dt = 设重力加速度为g ,则gy v 2=。 因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2,那么质点从P 1到P 2所用时间便为: 1 [()]x x J y x =? 2 1 1/2 211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ??'+=??-?? ? (2.1.2) 则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。 回顾函数的微分: 对于函数的微分有两种定义: 一种是通常的定义,即函数的增量: ),()()()(x x x x A x y x x y y ?+?=-?+=?ρ (2.1.3) 其中A (x )与?x 无关,且有?x →0时ρ(x ,?x )→0,于是就称函数y (x )是可微的,其 线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=?=?,函数的微分就是函数增量的主部。 函数微分的另外一种定义: 通过引入一小参数ε,对)(x x y ?+ε关于ε求导数,并令ε→0的途径得到,即: dy x x y x x x y d x x dy =?'=??+'=?+→→)()() (00 εεεε ε (2.1.4) 上式说明)(x x y ?+ε在ε=0处关于ε的导数就是函数y (x )在x 处的微分。相应地,在泛函J [y (x )]中,变量函数y (x )的增量在其很小时称为变分,用δy (x )或δy 表示, 密度泛函理论, Density functional theory (DFT)是一种研究多电子体系电子结构的量子力学方法。密度泛函理论在物理和化学上都有广泛的应用,特别是用来研究分子和凝聚态的性质,是凝聚态物理和计算化学领域最常用的方法之一。 理论概述 电子结构理论的经典方法,特别是Hartree-Fock方法和后Hartree-Fock方法,是基于复杂的多电子波函数的。密度泛函理论的主要目标就是用电子密度取代波函数做为研究的基本量。因为多电子波函数有个变量(为电子数,每个电子包含三个空间变量),而电子密度仅是三个变量的函数,无论在概念上还是实际上都更方便处理。 虽然密度泛函理论的概念起源于Thomas-Fermi模型,但直到Hohenberg-Kohn定理提出之后才有了坚实的理论依据。Hohenberg-Kohn第一定理指出体系的基态能量仅仅是电子密度的泛函。 Hohenberg-Kohn第二定理证明了以基态密度为变量,将体系能量最小化之后就得到了基态能量。 最初的HK理论只适用于没有磁场存在的基态,虽然现在已经被推广了。最初的Hohenberg-Kohn定理仅仅指出了一一对应关系的存在,但是没有提供任何这种精确的对应关系。 正是在这些精确的对应关系中存在着近似(这个理论可以被推广到时间相关领域,从而用来计算激发态的性质[6])。密度泛函理论最普遍的应用是通过Kohn-Sham方法实现的。在Kohn-Sham DFT的框架中,最难处理的多体问题(由于处在一个外部静电势中的电子相互作用而产生的)被简化成了一个没有相互作用的电子在有效势场中运动的问题。这个有效势场包括了外部势场以及电子间库仑相互作用的影响,例如,交换和相关作用。处理交换相关作用是KS DFT中的难点。目前并没有精确求解交换相关能的方法。最简单的近似求解方法为局域密度近似(LDA)。LDA近似使用均匀电子气来计算体系的交换能(均匀电子气的交换能是可以精确求解的),而相关能部分则采用对自由电子气进行拟合的方法来处理。 自1970年以来,密度泛函理论在固体物理学的计算中得到广泛的应用。在多数情况下,与其他解决量子力学多体问题的方法相比,采用局域密度近似的密度泛函理论给出了非常令人满意的结果,同时固态计算相比实验的费用要少。尽管如此,人们普遍认为量子化学计算不能给出足够精确的结果,直到二十世纪九十年代,理论中所采用的近似被重新提炼成更好的交换相关作用模型。密度泛函理论是目前多种领域中电子结构计算的领先方法。尽管密度泛函理论得到了改进,但是用它来恰当的描述分子间相互作用,变分原理与变分法
泛函分析试题B
量子力学泛函计算简介
密度泛函理论的进展与问题
泛函分析答案2:
力场简介
第四章 密度泛函理论(DFT)
4.1 引言 4.2 DFT的优点 4.3 Hohenberg-Kohn定理 4.4 能量泛函公式 4.5 局域密度近似 4.6 Kohn-Sham方程 4.7 总能Etot表达式 4.8 DFT的意义 4.9 小 结
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1。概述 ? DFT = Density Functional Theory (1964): 一种用电子密度分布n( r)作为基本变量,研究多粒子 体系基态性质的新理论。 W. Kohn 荣获1998年Nobel 化学奖 ? 自从20世纪60年代(1964)密度泛函理论(DFT) 建立并在局域密度近似(LDA)下导出著名的Kohn -Sham (沈呂九)(KS)方程以来,DFT一直是凝聚态 物理领域计算电子结构及其特性最有力的工具。
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? 它提供了第一性原理或从头算的计算框 架。在这个框架下可以发展各式各样的能 带计算方法。 ? 在凝聚态物理中,如: 材料电子结构和几何结构, 固体和液态金属中的相变等。 ? 这些方法都可以发展成为用量子力学方法 计算力的, 精确的分子动力学方法。
4泛函分析试卷(优选.)
第二章-泛函极值及变分法(补充内容)
DFT密度泛函理论简介