凑五法复习课
师:同学们,今天老师带大家去羊村历险。
师：快看，不好了！小羊们在放学的路上被灰太郎抓到狼堡去了，很危险你们愿意帮忙救出可怜的小羊吗？
师：灰太狼早就想到咱们要去就小羊，所以就在城堡大门设置了密码。只有破解密码才能就出小羊。让我来一起破解密码吧！
师：看看密码一，5加1等于几？
生：（手势）5加1等于6.
师：4加2等于几，你是怎么想的？
生：（手势）4加2等于几，我是这么想的，把4凑成5，把2拆成1和1，4加1得5，5加1得6。所以4加2等于6。
师：3加3等于几？
生：（手势）3加3等于几，我是这么想的，把3凑成5，把另一个3拆成2和1，3加2得5，5加1得6。所以3加3等于6。
师：那么我们发现密码一是几？
生：是6.
师：那么我们来看看密码二，5加2等于几？
生：（手势）5加2等于7.
师：4加3等于几，你是怎么想的？
生：（手势）4加3等于几，我是这么想的，把4凑成5，把3拆成1和2，4加1得5，5加2得7。所以4加3等于7。
师：那么我们发现密码二是几？
生：是7.
师：同学们真棒，我们已经解开两个密码了，现在我们来看看密码三，5加3等于几？
生：（手势）5加3等于8.
师：4加4等于几，你是怎么想的？
生：（手势）4加4等于几，我是这么想的，把4凑成5，把另一个4拆成1和3，4加1得5，5加3得8。所以4加4等于8。
师：那么我们发现密码三是几？
生：是8 。
师：现在到关键时刻了，我们来看看密码四，5加4等于几？
生：（手势）5加4等于9
师：那么我们发现密码四是几？
生：是9
师：恭喜同学们，靠咱们的聪明才智成功的就出了小羊们。
师：观察黑板上这些算式我们发现，我们总是拆小数，把大数凑成5来计算。
师：那下面我们来学习数字7的书写。小眼睛先看老师，起笔点在左线上，到竖中线后向下拐，经中线到底线，终点要在底线中间靠左。（点要点）
师：书空7（多练几遍）
师：立笔，描完字头后立笔。写一行7.
师：那下面我们来学习数字8的书写。小眼睛先看老师，起笔在竖中线中间靠上，画一个饱满的半圆，经中线再画一个饱满的半圆，交点在横中线上，终点在竖中线中间靠下，一定不能封口。（点要点）
师：书空8（多练几遍）
师：立笔，描完字头后立笔。写一行8.
做小卷。
4.6 反证法 教学目标 1、了解反证法的含义. 2、了解反证法的基本步骤. 3、会利用反证法证明简单命题． 4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”. 教学重难点 本节教学的重点是反证法的含义和运用. 课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点. 教学过程 一、情境导入 故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么？王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？ 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维．反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界． 那么什么叫反证法呢？(板书课题) 二、探究新知 (一)整体感知 证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的．这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件、公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定．既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了．你能说出下列结论的反面吗？ 1．a⊥b.
4.6反证法教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
4.6 反证法教案 【教学目标】 1、了解反证法的含义. 2、了解反证法的基本步骤. 3、会利用反证法证明简单命题. 4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”. 【教学重点和难点】 本节教学的重点是反证法的含义和步骤. 课本“”合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点. 【教学准备】 课件 【教学设计】 一、情境导入 故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的他运用了怎样的推理方法 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维.反证法是数学中常用的一种方法.人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界. 那么什么叫反证法呢（板书课题） 二、探究新知 （一）整体感知
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的.这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定.既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了. 你能说出下列结论的反面吗 1.a⊥b 2. d是正数 3. a≥0 4. a∥b （二）师生互动 例求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角. （引导学生独立解决） 1、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 把本题改编成填空题： 已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P. 求证: l3与l2相交. 证明: 假设____________,即_________. ∵_________（已知）, ∴过直线l2外一点P有两条直线和l2平行, 这与“_______________________ _____________”矛盾. ∴假设不成立,即求证的命题正确. ∴l3与l2相交.
二简易逻辑（§1.7.3 四种命题） 教学时间:第三课时 课题: §1.7.3 反证法 教学目标： 1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法. 2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力. 教学重点：反证法证题的步骤. 教学难点：理解反证法的推理依据及方法. 教学方法：讲练结合教学. 教具准备：投影片共3张 教学过程： （I）复习回顾 师：初中已学过反证法，什么叫做反证法？ 生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 师：本节将进一步研究反证法证题的方法. （II）讲授新课 §1.7.3 反证法证题的步骤是什么？ 生： (注：学生回答时，教师投影出：反证法证明命题的一般步骤.) 师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。例如：“在ΔABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角。”显然命题的结论是正确的，但直接证明是较困难的，而用反证法就容易证明之。请一同学证明。生：假设∠B是直角，因∠C是直角，所以∠C+∠B=1800，此时∠A=00，这与ABC 为三角形相矛盾。所以∠B为锐角。 师：请讨论上述证明推理是否正确？为什么？
生：上述证明推理不完整。因∠B 不是锐角有两种情况，即∠B 为直角或钝角， 必须对两种可能均加以否定，才能证明∠B 一定是锐角。 师：分析正确。由此在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时， 必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才能肯定原命题的结论正确. 下面看例题：（投影片2） （由学生回答，教师书写） 证明：假设 不大于 ，即 或 。 ∵ a>0,b>0 ∴ (由学生回答上述步骤转化的目的是什么？) (推理利用了不等式的传递性) 又由 但这些都与已知条件a>b>0矛盾. ∴ 成立。 （投影片3） 师分析：假设弦AB 、CD 被P 平分，连结OP ，由平面几何知识可推出： 生：OP ⊥AB 且OP ⊥CD 。又推出：在平面内过一点P 有两条 直线AB 和CD 同时与OP 垂直，这与垂线性质矛盾，则 原命题成立。 证明：（略）（可由投影片给出证明） 师：由上述两例题可看：利用反证法证明时，关键是从假 设结论的反面出发，经过推理论证，得出可能与命题 的条，或者与已学过的定义、公理、定理等相矛盾的结论，这是由假设所引起的，因此这个假设是不正确的，从而肯定了命题结论的正确性。 例5：若p>0,q>0,p 3+p 3=2.试用反证法证明：p+q ≤2. a b b a ＜b a ＝.b b b a a b b a b a ?
第二十二教时反证法 教材：反证法 目的：要求学生初步学会反证法的步骤，并能用以证明一些命题。 过程： 一、提出问题：初中平几中有一个命题： “过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”。 二、如何证明： 1，（教师给出如下方法） 证：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点， 则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上， 即O 是l 与m 的交点。 但∵A 、B 、C 共线，∴l ∥m (矛盾) ∴过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作图。 2．指出这种证明方法是“反证法”。 定义：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反 证法。 即：欲证p 则q ，证：p 且非q （反证法） 3，反证法的步骤：1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。 2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。 3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 4，反证法：1）反设（即假设） p 则q （原命题） 反设p 且非q 。 2）可能出现三种情况： ①导出非p 为真——与题设矛盾。 ②导出q 为真——与反设中“非q “矛盾。 ③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾。 三、例一（P 32例3） 用反证法证明：如果a >b >0，那么b a >。 证一（直接证法）()()b a b a b a -+=-， ∵a >b >0,∴a b >0即()()0>-+b a b a ,∴ 0>-b a ∴b a > 证二（反证法）假设a 不大于b ，则b a b a =<或 ∵a >0,b >0,∴b a a a b a ?． 例二、（P 32--33例4）用反证法证明圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 证明：反设AB 、CD 被P 平分 ∵P 不是圆心，连结O P 则由垂径定理： O P AB ，O P CD 则过P 有两条直线与O P 垂直（矛盾） ∴弦AB ，CD 不被P 平分 例三、用反证法证明：2不是有理数。 证：假设2是有理数，则不妨设n m = 2（m ,n 为互质正整数） 从而：2)(2 =n m ，222n m =，可见m 是偶数。 设m =2p （p 是正整数），则 22242p m n ==，可见n 是偶数。 这样，m .,n 就不是互质的正整数（矛盾）。∴n m =2不可能 ∴2不是有理数。 四、小结：反证法定义、步骤、注意点 五、作业：P 33练习 P 34习题1．7 5 及《三维设计》P 33例二。 A
1 2. 2.2反证法 课前预习学案 一、预习目标： 使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题. 二、预习内容： 提出问题： 问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？ 学生尝试用直接证明的方法解释。 采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上． 问题2：A 、B 、C 三个人，A 说B 撒谎，B 说C 撒谎，C 说A 、B 都撒谎。则C 必定是在撒谎，为什么？ 分析:假设C 没有撒谎, 则C 真.那么A 假且B 假;由A 假, 知B 真. 这与B 假矛盾.那么假设C 没有撒谎不成立;则C 必定是在撒谎. 推进新课 在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、 学习目标 （1）使学生了解反证法的基本原理； （2）掌握运用反证法的一般步骤； （3）学会用反证法证明一些典型问题. 二、学习过程： 例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα??，且||a b ，求证||a α。
2.2.2反证法 一、 教学目标 （1）了解反证法的基本原理； （2）掌握运用反证法的一般步骤； （3）学会用反证法证明一些典型问题. 二、教学重点和难点 教学重点和难点：用反证法证明一些典型问题. 三、教学过程： 例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα??，且||a b ，求证||a α。 解析：让学生理解反证法的严密性和合理性； 证明：因为||a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。 因为a α?，而a β?， 所以 α与β是两个不同的平面． 因为b α?，且b β?， 所以b αβ= . 下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈= ，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α. 点评：用反证法的基本步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利 变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.
例2、求证：2不是有理数 解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n （,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾． 证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n ， 使得m n = ，从而有m =, 因此，222m n =， 所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有 2242k n =，即 222n k = 所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！ 由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数． 点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。 变式训练2、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ） 例3、设二次函数q px x x f ++=2)(， 求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于2 1. 解析：直接证明)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于 21.比较困难，我们应采用反证法 证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于2 1，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 2)39()24(2)1() 3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
§29.2反证法 教学目标： 1、知识与能力:(１)、通过实例,体会反证法的含义 (２）、培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力. 2、过程与方法:(１）、了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题. (2）、使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法. 3、情感、态度、价值观:在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性. 教学重点: 体会反证法证明命题的思路方法，掌握反证法证题的步骤。 教学难点： 理解反证法的推理依据及方法，用反证法证明简单的命题是教学难点. 教学方法: 讲练结合教学. 教学过程： 提问： 师:通过预习我们知道反证法,什么叫做反证法? 生：从命题结论的反面出发，引出矛盾,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. 师:本节将进一步研究反证法证题的方法,反证法证题的步骤是什么? 生：共分三步： (1）假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立； (2）从假设出发，经过推理，得出矛盾； (３）由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确． 师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时,如果运用直接证明法比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明。 例如:在△ABC中，AB=c,BC=a,AC＝b,如果∠C=90°,a、b、c三边有何关系？为什么? 解析:由∠Ｃ=9０°可知是直角三角形,根据勾股定理可知 a2 +b2 =c2 二、探究 问题: 若将上面的条件改为“在△ABC中,AB=c，ＢC＝a，ＡC=b,∠C≠90°”,请问结论a2 +ｂ2 ≠ c２成立吗?请说明理由。 探究： 假设a2 +b2 ＝c２，由勾股定理可知三角形ＡBC是直角三角形,且∠C=90°,这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立,从而说明原结论a２ +ｂ２≠ c2 成立。 这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的;逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。 三、应用新知 例1:在△AＢC中,AB≠AC，求证:∠B ≠∠ C 证明:假设，∠Ｂ＝∠C 则ＡＢ＝AC 这与已知AB≠AC矛盾． 假设不成立. ∴∠B ≠∠ C
2.2.2 反证法 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次） 2. 提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？ 则O在AB的中垂线l上，O又在B C的中垂线m上， 即O是l与m的交点。 但∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾) ∴过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆. 二、讲授新课： 1. 教学反证法概念及步骤： ①练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么b a> ②提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立. 证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）. 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识. 2. 教学例题： ①出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定结论？→如何从假设出发进行推理？→得到怎样的矛盾？ 与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结O P， 则由垂径定理：O P⊥AB，O P⊥CD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P 平分.
反证法 【教学目标】 1．使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法。 2．培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力。 【教学重点】 反证法证题的步骤。 【教学难点】 理解反证法的推理依据及方法。 【教学方法】 讲练结合教学。 【教学过程】 一、提问： 师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？ 生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？ 生：共分三步： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。 例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？ 解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2+b2＝c2 二、探究 问题：
若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C≠90°”，请问结论a2+b2≠c2成立吗？请说明理由。 探究： 假设a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2+b2≠c2成立。 这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。像这样的证明方法叫做反证法。 三、应用新知 例1：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C 证明：假设，∠B＝∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾。假设不成立。∴∠B≠∠C．小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确。 例2：已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c，b//C。求证：a//b 证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A．那么过点A就有两条直线a．b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立。∴a//B 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾。 例3：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 已知：△ABC，求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。 证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°。 则∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°。 即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾。假设不成立。 ∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。 三、课堂练习： 课本“练习”。 四、课时小结 本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高。 【作业布置】 课本“习题”1、2题。
反证法教案 【教学目标】 1、了解反证法的含义. 2、了解反证法的基本步骤. 3、会利用反证法证明简单命题. 4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”在“同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.【教学重点和难点】本节教学的重点是反证法的含义和步骤. 课本“合”作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点. 【教学准备】 课件 【教学设计】 一、情境导入 故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么王戎回答说: “树在道边而多子, 此必苦李. ”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的他运用了怎样的推理方法 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维.反证法是数学中常用的一种方法.人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界. 那么什么叫反证法呢（板书课题） 二、探究新知 （一）整体感知 在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立 是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的.这
1．教学目标： 知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法； 了解反证法的思考过程、特点。 过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点 3. 教学难点：反证法的思考过程、特点 4．教具准备：与教材内容相关的资料。 5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。 6．教学过程: 学生探究过程：综合法与分析法 (1)、反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 (2)、例子 例1、求证：2不是有理数
反证法”教学案例 数学组梁华超 教学内容：人教版九年义务教育四年制几何第三册第14—16页。 教学目的： 1、知识技能：了解反证法，掌握反证法证题的过程。 2、过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生装经历问题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。 3、情感态度：让学生感情感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。 重点难点：反证法证明命题的过程 教学方法：互动式教学 教学过程： （一）导入（3分钟）： 师：中国古代有一个成语故事——自相矛盾，哪一位同学能讲述这个故事呢？ （让学生讲这个故事） 师：这个故事蕴含什么道理？ 生：这个故事告诉我们要实事求是，不要夸大其辞。 师：很好，虽然这个故事是贬义的，但在数学中，我们常常借鉴这种“以子之矛，攻子之盾”的做法来证明数学命题，这就是我们今天要学习的“反证法”。（板书课题） （二）掀起你的盖头来——认识反证法（10分钟）。
师：请同学们试证明命题“400人中至少有两个人的生日相同。”（课件演示） （让学生分组讨论后交流） 生：写出每个人的生日，对比一下就知道了。 师：可以，有没有比他更简单的方法呢？ 生：假设400人中每两人的生日不同，那么一年会有400天，这与一年有365天不符合，因此是不可能的。 师：很好，这位同学没有从正面去证明，而是从结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。它的特点是快捷、方便，请同学们尝试证明命题：一个三角形中不可能有两个直角。（让学生模仿1的证明方式，尝试证明此命题。） 生：假设有两个直角，则三角形的内角和就大于180度，这与三角形内角和定理矛盾，因此原命题成立 师：很好，通过以上两个命题的证明，同学们能不能归纳出反证法的证题步骤，各小组分开讨论，看看哪一个小组的结论最合理。（让学生分组讨论后进行交流） 生：我们小组的讨论结果是： （1）假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 师：很好，其他小组有没有补充的（让同学们各抒己见，互相补充，归纳出反证法证明命题的步骤）
2.2.2 反证法 一、教学目标 1、知识目标： 通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力. 2、能力目标： 了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题. 3、情感、态度与价值观目标： 在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机. 二、教学重点.难点 重点：1、理解反证法的概念， 2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤， 3、用反证法证明简单的命题. 难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据. 三、学情分析 反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会. 四、教学方法 探析归纳，讲练结合 五、教学过程 教学过程： 复习：综合法与分析法 综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效. 就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.
因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程. 分析归纳，抽象概括 通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤. （1）定义： 反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. （2）步骤 反证法证题的基本步骤： 1．假设原命题的结论不成立；（假设） 2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪） 3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论） 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论. 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个. 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾. 知识应用，深化理解 例1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”. 【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障 (1)互补的两个角不能都大于90°. (2)△ABC中,最多有一个钝角
反证法 【教材内容分析】 “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。 证明一般包括直接证明与间接证明。“直接证明”的两种基本方法是综合法和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点。所以，本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建立应用反证法的感觉。 【设计思想】 本节课的设计遵循问题引领的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，通过提出问题，合作讨论，合情推理，操作确认，归纳出反证法的概念：反证法的基本步骤：反证法的应用关键；适合用反证法证明的四类问题：将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的数学逻辑思维能力。 【教学目标】 知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。 过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。 情感、态度、价值观： （1）在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。 （2）通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
《三角形的中位线》教案 教学目标 1、了解反证法的含义. 2、了解反证法的基本步骤. 3、会利用反证法证明简单命题． 4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.教学重难点 本节教学的重点是反证法的含义和步骤. 课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点. 教学过程 一、情境导入 故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么？王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？ 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维．反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界． 那么什么叫反证法呢？(板书课题) 二、探究新知 (一)整体感知 在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的．这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定．既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了．你能说出下列结论的反面吗？
三 反证法与放缩法 ☆学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式?知识情景： 1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)． 20. 综合法和分析法． 30. 反证法、换元法、放缩法 2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ????? 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系： ?新知建构： 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 分析：反设x y +1≥2，y x +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。 例2 已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 . 12 ( ) n B B B B A ?????结步步寻求不等式已 论成立的充分条件知. 21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证且已知例x y y x y x y x ++>+>. ,0,0,0.0.0,0)(,0, 0,00,0)2(.0,0,0,0)1(. 00,0, ,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能 相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明>>><∴>++<++=++>-=+∴>++<><=∴>==<=≤c b a a ca bc ab bc c b a ca bc ab a c b c b a bc abc a a abc abc a a a a c b a
1 第三课时 2.2.2 反证法 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次） 2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？ 3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点， 则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上， 即O 是l 与m 的交点。 但 ∵A 、B 、C 共线，∴l ∥m (矛盾) ∴ 过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆. 二、讲授新课： 1. 教学反证法概念及步骤： ① 练习：仿照以上方法，证明：如果a >b >0，那么b a > ② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立. 证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）. 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识. 2. 教学例题： ① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？ 与教材不同的证法：反设AB 、CD 被P 平分，∵P 不是圆心，连结O P ， 则由垂径定理：O P ⊥AB ，O P ⊥CD ，则过P 有两条直线与OP 垂直（矛盾），∴不被P 平分. ② 出示例2：求证3是无理数. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为/m n ） 证：假设3是有理数，则不妨设3/m n =（m ,n 为互质正整数）， 从而：2(/)3m n =，223m n =，可见m 是3的倍数. 设m =3p （p 是正整数），则 22239n m p ==，可见n 也是3的倍数. 这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）. ∴3/m n =不可能，∴3是无理数. ③ 练习：如果1a +为无理数，求证a 是无理数. 提示：假设a 为有理数，则a 可表示为/p q （,p q 为整数），即/a p q =. 由1()/a p q q +=+，则1a +也是有理数，这与已知矛盾. ∴ a 是无理数. 3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题） 三、巩固练习： 1. 练习：教材P 54 1、2题 2. 作业：教材P 54 A 组3题. O B C P
4.6 反证法教案 【教学目标】 1、了解反证法的含义. 2、了解反证法的基本步骤. 3、会利用反证法证明简单命题. 4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”. 【教学重点和难点】 本节教学的重点是反证法的含义和步骤. 课本“”合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点. 【教学准备】 课件 【教学设计】 一、情境导入 故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的?他运用了怎样的推理方法? 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维.反证法是数学中常用的一种方法.人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界. 那么什么叫反证法呢？（板书课题） 二、探究新知 （一）整体感知 在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立
是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的.这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定.既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了. 你能说出下列结论的反面吗? 1.a⊥b 2. d是正数 3. a≥0 4. a∥b （二）师生互动 例求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角. （引导学生独立解决） 1、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 把本题改编成填空题： 已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P. 求证: l3与l2相交. 证明: 假设____________,即_________. ∵_________（已知）, ∴过直线l2外一点P有两条直线和l2平行, 这与“_______________________ _____________”矛盾. ∴假设不成立,即求证的命题正确. ∴l3与l2相交. 教师简单引导学生小结：证明两直线相交的又一判定方法. 2、根据上述填空，请同学们归纳一下用反证法证题的步骤.（教师板书步骤）生：①假定结论不成立（即结论的反面成立）；②从假设出发，结合已知条件，