历年高考立体几何文科汇编
1．（江苏）如图，在四棱锥ABCD
P 中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：
（1）直线E F‖平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD
2.（北京卷）如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB 的中点.
（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；
3.（福建卷）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，
且CE∥AB。
（I）求证：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积
4.（辽宁卷）如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =
1
2
PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；
5.(陕西卷)如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把
△ABD 折起，使∠BDC=90°。
（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ；
6.（天津卷）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为 平行四边形，045ADC ∠=，1AD AC ==，O 为AC 中点，
PO ⊥平面ABCD ， 2PO =，
M 为PD 中点．
（Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；
7.（新课标）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=?，
2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．
（I ）证明：PA BD ⊥；
（2013年湖南文）如图所示，在直棱柱111C B A ABC -中，?=∠90BAC ，2=
=AC AB ，
31=AA ，D 是BC 的中点，点E 在棱1BB 上运动.
⑴证明：E C AD 1⊥；
⑵当异面直线AC 、E C 1所成的角为?60时，求三棱锥E B A C 111-的体积.
.
（2012年湖南 文） 如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD. （Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.
【解析】（Ⅰ）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥?⊥平面平面所以 又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线，所以BD ⊥平面PAC ， 而PC ?平面PAC ，所以BD PC ⊥.
（Ⅱ）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ， 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO ∠30=. 由BD ⊥平面PAC ，PO ?平面PAC ，知BD PO ⊥. 在Rt POD 中，由DPO ∠30=，得PD=2OD. 因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC 均为等腰直角三角形，
从而梯形ABCD 的高为
111
(42)3,222
AD BC +=?+=于是梯形ABCD 面积 1
(42)39.2
S =?+?=
在等腰三角形ＡＯＤ中，2
OD AD =
=
所以2 4.PD OD PA ===
=
故四棱锥P ABCD -的体积为11
941233
V S PA =
??=??=.
【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面PAC 即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由1
3
V S PA =??算得体积.
（湖南卷）如图3，在圆锥PO
中，已知PO O =的直径
2,,AB C AB D AC =∠点在上,且CAB=30为的中点．
（I ）证明：;AC POD ⊥平面
（II ）求直线和平面PAC 所成角的正弦值．
11．(2008湖南文) 如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，
60=∠BCD ，
E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，3=PA 。
（I ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ； （II ）求二面角A —BE —P 和的大小。
P
A B
C
E
D
11．解：解法一
（I ）如图所示, 连结,BD 由ABCD 是菱形且060=∠BCD 知，
BCD △是等边三角形. 因为E 是CD 的中点，
所以,BE CD ⊥又,AB CD //所以,BE AB ⊥ 又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ?平面ABCD ， 所以,BE PA ⊥而,AB A =PA
因此 BE ⊥平面PAB.
又BE ?平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB. （II ）由（I ）知，BE ⊥平面PAB, PB ?平面PAB,
所以.PB BE ⊥
又,BE AB ⊥所以PBA ∠是二面角A BE P --的平面角．
在Rt PAB △中,
tan 60.PA
PBA PBA AB
∠=
=∠=． 故二面角A BE P --的大小为60.
解法二：如图所示,以A 为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是
(000),A ，，(100),B ，，3(0),22C ，1(0),22D ，
(00P (10).2
E ， （I
）因为0),BE =平面PAB 的一个法向量是0(010),n =，，所以BE 和0n 共线. 从而BE ⊥平面PAB. 又因为BE ?平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB. （II ）易知3
(10,3),(0,
0),PB BE =-=，设1n 111()x y z =，，是平面PBE 的一个法向量, 则由1
100n PB n BE ??=?
??=?
?，得111111000002
x y x y z ?+?=???+
+?=??，
所以111.y
x ==0，
故可取1n =，而平面ABE 的 一个法向量是2(001).n =，， 于是,1212121
cos ,.2
||||n n n n n n ?<>=
=．
故二面角A BE P --的大小为60.
2011年高考立体几何文科答案汇编
（江苏卷）
（安徽卷） （19）（本小题满分13分）本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.
（I ）证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点. 由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以 OB ∥DE 2
1
，OG=OD=2，
同理，设G '是线段DA 与FC 延长线的交点，有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合.
在△GED 和△GFD 中，由OB ∥DE 21
和OC ∥DF 2
1，可知B 和C 分别是GE 和GF
的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF. （II ）解：由OB=1，OE=2，2
3
,60=?=∠EOB S EOB 知，而△OED 是边长为2的正三角形，故.3=O ED S
所以.2
3
3=
+=OED EOB OEFD S S S
= = = =
过点F 作FQ ⊥DG ，交DG 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥
F —OBED 的高，且FQ=3，所以.2
331=?=
-OBED OBED F S FQ V （北京卷）
（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，
所以DE//PC 。
又因为DE ?平面BCP ，
所以DE//平面BCP 。
（Ⅱ）因为D ，E ，F ，G 分别为 AP ，AC ，BC ，PB 的中点，
所以DE//PC//FG ，DG//AB//EF 。 所以四边形DEFG 为平行四边形， 又因为PC ⊥AB ， 所以DE ⊥DG ，
所以四边形DEFG 为矩形。
（Ⅲ）存在点Q 满足条件，理由如下： 连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点
由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q ，且QD=QE=QF=QG=
2
1
EG. 分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN 。
与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线点为EG 的中点Q ， 且QM=QN=
2
1
EG ， 所以Q 为满足条件的点. （福建卷）
20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查
空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分
（I ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ?平面ABCD ，
所以.PA CE ⊥
因为,//,.AB AD CE AB CE AD ⊥⊥所以 又,PA
AD A =
所以CE ⊥平面PAD 。
（II ）由（I ）可知CE AD ⊥，
在Rt ECD ?中，DE=CD cos 451,sin 451,CE CD ??==??= 又因为1,//AB CE AB CE ==， 所以四边形ABCE 为矩形，
所以1151211.222
ECD ADCE ABCD S S S AB AE CE DE ?=+=?+
?=?+??=矩形四边形
又PA ⊥平面ABCD ，PA=1， 所以11551.3326
P ABCD ABCD V S PA -=
?=??=四边形四边形
（湖南卷） 19．（本题满分12分）
解析：（I ）因为,OA OC D AC =⊥是的中点,所以AC OD. 又,,.
PO O AC O AC OD ⊥?⊥底面
底面所以PO 是平面POD 内的两条相交直
线，所以;AC POD ⊥平面
（II ）由（I ）知，,AC POD ⊥平面又
,AC PAC ?平面所以平面,POD PAC ⊥平面在
平面POD 中，过O 作OH
PD ⊥于H,则
,OH PAC ⊥平面连结CH ，则CH 是
OC PAC
在平面上的射影，所以OCH ∠是直线
OC
和平面PAC 所成的角．
在
1
,3Rt POD OH =
=
=中
在,sin OH Rt OHC OCH OC
∠==中 （江西卷）
解：（1）设x PA =，则2(31312
x
x x S PA V PDCB PBCD
A -=?='底面- 令)0(,632)22(31)(3
2>-=-=x x x x x x f
则2
32)(2
x x f -='
由上表易知：当3
3
2=
=x PA 时，有PBCD A V -'取最大值。 证明：
（2）作B A '得中点F ，连接EF 、FP
由已知得：FP ED PD BC EF ////2
1
//
? PB A '?为等腰直角三角形，PF B A ⊥' 所以DE B A ⊥'.
（辽宁卷） 18．解：（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形
因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD.
又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC.
在直角梯形PDAQ 中可得PD ，则PQ ⊥QD 所以PQ ⊥平面DCQ. ………………6分 （II ）设AB=a .
由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311.3
V a =
由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而，△DCQ 的面积为2
22
， 所以棱锥P —DCQ 的体积为321.3
V a =
故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1.…………12分 （山东卷） 19．（I ）证法一：
因为1D D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ，
所以1D D BD ⊥，
又因为AB=2AD ，60BAD ∠=?，
在ABD ?中，由余弦定理得
22222cos603BD AD AB AD AB AD =+-??=，
所以2
2
2
AD BD AB +=， 因此AD BD ⊥， 又1,AD
D D D =
所以11.BD ADD A ⊥平面 又1AA ?平面ADD 1A 1， 故1.AA BD ⊥ 证法二：
因为1D D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ， 所以1.BD D D ⊥
取AB 的中点G ，连接DG ，
在ABD ?中，由AB=2AD 得AG=AD ，
又60BAD ∠=?，所以ADG ?为等边三角形。 因此GD=GB ，
故DBG GDB ∠=∠， 又60AGD ∠=?
1,
D D ∠?∠∠∠???⊥=所以GDB=30,
故ADB=ADG+GDB=60+30=90,所以BD AD.又AD D
所以BD ⊥平面ADD 1A 1， 又1AA ?平面ADD 1A 1， 故1.AA BD ⊥
（II ）连接AC ，A 1C 1，
设AC BD E =，连接EA 1
因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以1
.2
EC AC =
由棱台定义及AB=2AD=2A 1B 1知 A 1C 1//EC 且A 1C 1=EC ，
所以边四形A 1ECC 1为平行四边形， 因此CC 1//EA 1，
又因为EA 1?平面A 1BD ，1CC ?平面A 1BD ， 所以CC 1//平面A 1BD 。 (陕西卷)
16．解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，
∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ， 又DB ?ＤＣ＝Ｄ， ∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，
∵AD 平面平面ABD ．
BDC.ABD ∴⊥平面平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA DB ⊥,DB DC ⊥,DC DA ⊥, DB=DA=DC=1，
∴
从而1111,22
DAM
DBC
DCA
S
S
S
=
==
??
= 1sin
6022
ABC
S
=
?=
表面积：132S =?+=
(上海卷)
20、解：⑴ 连1111,,,BD AB B D AD ，∵ 1111
//,B D B D A B A D =， ∴ 异面直线BD 与1AB 所成角为
11AB D ∠，记11AB D θ∠=，
2221111
111cos 210
AB B D AD AB B D θ
+-=
=
? ∴ 异面直线BD 与1AB 所成角为arccos
10
。 ⑵ 连11,,AC CB CD ，则所求四面体的体积
111111112
42433
ABCD A B C D C B C D V V V --=-?=-?=。
（四川卷）
解法一：
（Ⅰ）连结AB 1与BA 1交于点O ，连结OD ，
∵C 1D ∥平面AA 1，A 1C 1∥AP ，∴AD =PD ，又AO =B 1O ， ∴OD ∥PB 1，又OD ?面BDA 1，PB 1?面BDA 1， ∴PB 1∥平面BDA 1．
（Ⅱ）过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连结BE ．∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC =A ， ∴BA ⊥平面AA 1C 1C ．由三垂线定理可知BE ⊥DA 1． ∴∠BEA 为二面角A －A 1
D －B 的平面角．
在Rt △A 1C 1D 中，1A D =，
D
B
D 1
1
B
又1111122AA D S AE ?=
??=
，∴AE =． 在Rt △BAE
中，BE ，∴2
cos 3
AH AHB BH ∠==．
故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为2
3
．
解法二：
如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，(0,2,0)P ．
（Ⅰ）在△PAA 1中有111
2
C D AA =，即1(0,1,)2D ．
∴1(1,0,1)A B =，1(0,1,)A D x =，1(1,2,0)B P =-． 设平面BA 1D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ，
则1111
0,
1
0.2
A B a c A D b c ??=+=?
??=+=??n n 令1c =-，则11(1,,1)2=-n ． ∵111
1(1)2(1)002
B P ?=?-+?+-?=n ，
∴PB 1∥平面BA 1D ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA 1D 的一个法向量11
(1,,1)2
=-n ．
又2(1,0,0)=n 为平面AA 1D 的一个法向量．∴12121212
cos ,3||||3
12
?<>===??n n n n n n ．
故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为2
3
．
（天津卷）
（17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知
识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分。
（Ⅰ）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O
为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB//MO 。因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB//平面ACM 。
（Ⅱ）证明：因为45ADC ∠=?，且AD=AC=1，所以90DAC ∠=?，即AD AC ⊥，
又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以,PO AD AC PO O ⊥?=而，所以
AD ⊥平面PAC 。
（Ⅲ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因为M 为PD 的中点，所以MN//PO ，且
1
1,2
MN PO PO =
=⊥由平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt DAO ?中，11,2AD AO ==
，所以DO =
，从而
12AN DO =
=
，
在,tan
MN
Rt ANM MAN
AN
?∠===
中，即直线AM与平面ABCD所成角的
（新课标）
(18)解：
（Ⅰ）因为60,2
DAB AB AD
∠=?=，
由余弦定理得BD=
从而BD2+AD2= AB2，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD
（Ⅱ）如图，作DE⊥PB，垂足为E。已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC。由（Ⅰ）知BD⊥AD，又BC//AD，所以BC⊥BD。
故BC⊥平面PBD，BC⊥DE。
则DE⊥平面PBC。
由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，
根据BE·PB=PD·BD，得DE=
2
3
，
即棱锥D—PBC的高为.
2
3
立体几何高考真题专项练习2019 1．（2018）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC 的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离． 2．（2017）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°． （1）证明：直线BC∥平面PAD； （2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
3．（2016）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置． （Ⅰ）证明：AC⊥HD′； （Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=，OD′=2，求五棱锥D′﹣ABCFE体积． 4．（2015）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
5．（2014）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点． （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC； （Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离． 6．（2013）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD； （Ⅱ）AA1=AC=CB=2，AB=，求三棱锥C﹣A1DE的体积． 7．（2012）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=
新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明：在ABD ?中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理，1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理， AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C
3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设 11111 A C B D O ?=，连结1AO ∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴? ∥面11AB D ，1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D （2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又 1111 A C B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即 同理可证 11 A C AD ⊥， 又 1111 D B AD D ?= ∴1A C ⊥面11AB D 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
立体几何高考真题大题 1．（2016 高考新课标 1 卷）如图 , 在以 A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中, 面 ABEF为正方形 ,AF=2FD,AFD 90 ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是 60 ． D C F （Ⅰ）证明：平面ABEF平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 2 19 19 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先证明 F平面FDC ,结合F平面 F ,可得平面F 平面 FDC ．（Ⅱ）建立空间坐标系, 分别求出平面C的法向量 m 及平面 C 的法 向量 n ,再利用 cos n, m n m 求二面角．n m 试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF, F F, 所以F平面 FDC ． 又F平面F,故平面 F 平面FDC ． （Ⅱ）过 D 作DG F ,垂足为 G ,由（Ⅰ）知 DG平面 F ． 以 G 为坐标原点,GF 的方向为 x 轴正方向, GF 为单位长度, 建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz ． 由（Ⅰ）知DF为二面角D F的平面角,故DF60,则DF 2, DG3,可得1,4,0 ,3,4,0,3,0,0, D0,0, 3 ． 由已知 ,// F,所以//平面FDC ． 又平面CD平面FDC DC,故//CD , CD// F ． 由//F,可得平面FDC ,所以 C F为二面角 C F 的平面角, C F60 ．从而可得C2,0,3．
设 n x, y, z 是平面C的法向量,则 n C 0, 即x 3z 0, n0 4 y0 所以可取 n3,0, 3 ． 设 m 是平面 m C0 CD 的法向量,则, m0 同理可取 m0, 3, 4 ．则 cos n, m n m 2 19． n m19 故二面角C 219的余弦值为． 19 考点：垂直问题的证明及空间向量的应用 【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明, 空间中线面位置关 系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系, 其中推理论证的关键是结 合空间想象能力进行推理, 要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面, 该类题目难度不 大 , 以中档题为主．第二问一般考查角度问题, 多用空间向量解决． 2 ．（ 2016 高考新课标 2 理数）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD交于点 O ， AB 5,AC 6，点 E, F 分别在 AD,CD 上， AE CF 5 ，EF交BD于点H．将4 DEF 沿 EF 折到 D EF 位置，OD10． （Ⅰ）证明： D H平面 ABCD ； （Ⅱ）求二面角 B D A C 的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）295 ．25
立体几何(高考真题+模拟新题)专题训练 1、[2011·四川卷]l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3?l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3?l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3?l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点?l 1，l 2，l 3共面 2、[2011·南京质检]平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ?α，a ∥β C ．存在两条平行直线a 、b ，a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α D ．存在两条异面直线a 、b ，a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α 3、[2011·北京崇文一模] 已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的为 ( ) A ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n 4、[2011·宁波二模]已知a ，β表示两个互相垂直的平面，a ，b 表示一对异面直线，则a ⊥b 的一个充分条件是( ) A ．a ∥α，b ⊥β B ．a ∥α，b ∥β C ．a ⊥α，b ∥β D ．a ⊥α，b ⊥β 5、[2011·泸州二诊] 如图K40－4，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1.若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面C 1AB 的距离为( ) A.34 B.12 C.3 2 D ．1 6、[2011·大连一模]已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( ) A.32 B.12 C.33 D.36 7、 [2011·深圳调研] 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 8、 [2011·沈阳模拟] 设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四个点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC → ＝0，AD →·AB →＝0，则△BCD 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．无法确定 9、大纲理数11.G8[2011·全国卷]已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7π B ．9π C ．11π D ．13π 10、大纲文数12.G8[2011·全国卷] 已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7π B ．9π C ．11π D ．13π 11、课标文数7.G8[2011·湖北卷] 设球的体积为V 1，它的内接正方体的体积为V 2，下列说法中最合适的是( ) A ．V 1比V 2大约多一半 B ．V 1比V 2大约多两倍半 C ．V 1比V 2大约多一倍 D ．V 1比V 2大约多一倍半 12、大纲理数6.G5、G11[2011·全国卷]已知直二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足．点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( ) A.23 B.33 C.6 3 D ．1 12、[2011·全国卷] 已知直二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则CD ＝( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 13、课标理数4.G5[2011·浙江卷] 下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 14、大纲理数6.G5、G11[2011·全国卷]已知直二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足．点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( ) A.23 B.33 C.6 3 D ．1 15、大纲理数9.G11[2011·重庆卷] 高为2 4 的四棱锥S －ABCD 的底面是边长为1的正方形，点 S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( ) A.24 B.2 2C ．1 D. 2 16、大纲理数16.G11[2011·全国卷]已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1 上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于________． 17、课标理数12.G8[2011·辽宁卷] 已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为( ) A ．3 3 B ．2 3 C. 3 D ．1 18、课标理数15.G8[2011·课标全国卷] 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，B C ＝23，则棱锥O －ABC D 的体积为________． 18、大纲文数15.G8[2011·四川卷] 如图1－3，半径为4的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________． 4 19、[2011·北京卷] 如图，在四面体P ABC 中，PC ⊥AB ，P A ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点． (1)求证：DE ∥平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形； (3)是否存在点Q ，到四面体P ABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由． 20、[2011·北京卷] 如图1－6，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°.
4.（10安徽）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，E F∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点， (Ⅰ)求证：F H∥平面EDB;（Ⅱ）求证：A C⊥平面EDB;（Ⅲ）求V B—DEF 5.（10江苏本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。 (1)求证：PC⊥BC； (2)求点A到平面PBC的距离。 7.如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。 （1）求证：CE⊥平面PAD； （11）若P A=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积
8.（11安徽19）（本小题满分13分）如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1OA =，2OD =，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。 （Ⅰ）证明直线BC EF ∥；（Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积. 9.（11重庆20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 如题（20）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥==== （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积（Ⅱ）求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。 10.（11新课标18）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=?，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．
（2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为 . 答案： 2 解答： 如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,3PC PF ==，可得出1CF =，同理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，2OC =，222PO PC OC =-= （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=o ， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案： 见解析 解答： （1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . Q ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ， 由MN ?Q 平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE
（2）E Q 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠=o DE BC ∴⊥，又1111ABCD A B C D -Q 为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又12,4AB AA ==Q ， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)
高考立体几何大题及答案 1.（2009全国卷Ⅰ文）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ， 2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，o ∠ABM=60。 （I ）证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.（2009全国卷Ⅱ文）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.（2009浙江卷文）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====， 120ACB ∠=o ，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平 面ABE 所成角的正弦值． A C B A 1 B 1 C 1 D E
4.（2009北京卷文）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB = 且E 为PB 的中点时，求 AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.（2009江苏卷）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。 求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .
6.（2009安徽卷文）如图，ABCD 的边长为2的正方形，直线l 与平面ABCD 平行，g 和F 式l 上的两个不同点，且EA=ED ，FB=FC ， 和是平面ABCD 内的两点，和都与平面ABCD 垂直，（Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD ：（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多 面体ABCDEF 的体积。 7.（2009江西卷文）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球 面交PD 于点M ． （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 8.（2009四川卷文）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面； （II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A --的大小。 O A P B M D
1.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上， ∠ABM=60 。 （I ）证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ； （II ）求 AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形， PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中 点 时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． B C D E O A P B M
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 6.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面； （II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A --的大小。 7.如图，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,SD ＝AD ＝a ,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1）， 都有AC ⊥BE : (Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ，求λ的值。 8.如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E .（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面 11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。 9.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；
2008年-2014年山东高考文科数学立体几何大题及答案 （08年）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC == （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． （09年）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 11111 （10年）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==. （I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ； （II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. （11年）（本小题满分12分） 如图，在四棱台 1111 ABCD A B C D -中， 1D D ABCD ⊥平面，底面 ABCD 是平行四边形， 112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11//CC A BD 平面. A B C M P D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D D B1 D1 C1 C B A A1
（12年） (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC . （13年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ， AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB=2CD ，E ，F ，G ， M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点。 （Ⅰ）求证，CE ∥平面PAD; （Ⅱ）求证，平面EFG ⊥平面EMN 。 （14年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，,//,BC AD PCD AP 平面⊥AD BC AB 2 1 = =,F E ,分别为线段PC AD ,的中点。 （Ⅰ）求证：BEF AP 平面// （Ⅱ）求证：PAC BE 平面⊥ P A C D E
2017年高考数学空间几何高考真题 ?选择题（共9小题） 1 ?如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M , N, Q为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） 2. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为（） A. n B. C. D. 3. 在正方体ABCD- A i B i CD i中，E为棱CD的中点，贝U( ) A. A i E± DC i B. A i E丄BD C A i E丄BG D. A i E丄AC 4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A. 60 B. 30 C. 20 D . i0 侧〔左）视圄 C
5?某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）, 则该几何体的体积（单位：cm 2） 是（ ） 6?如图，已知正四面体 D -ABC （所有棱长均相等的三棱锥）,P 、Q 、R 分别为 AB 、BC CA 上的点，AP=PB ==2,分别记二面角 D- PR- Q , D- PQ- R, D - A .产 aV B B. aV 产 B C ? a< Y D. p< 产 a 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A . 90 n B. 63 n C. 42 n D . 36 n 1 .某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 D . +3 +1
4 角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中 有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A . 10 B. 12 C. 14 D . 16 2. 已知直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，/ ABC=120, AB=2, BC=CC=1，则异面直线 AB 1与BG 所成角的余弦值为（ ） A . B. C. D. 二.填空题（共5小题） 8. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球0的球面上，SC 是球0的直径.若平 面SCAL 平面SCB SA=AC SB=BC 三棱锥S-ABC 的体积为9,则球0的表面 积为 _______ . 9. 长方体的长、宽、高分别为3, 2，1，其顶点都在球0的球面上，则球0的 表面积为 _______ . 10. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18， 则这个球的体积为 ________ . 11. 由一个长方体和两个亍圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的
立体几何咼考真题大题 1. （2016高考新课标1 卷）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方 形,AF=2FD, NAFD =90：且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60： （I ）证明：平面 ABEF 丄平面EFDC （n ）求二面角 E-BC-A 的余弦值. 【答案】（I ）见解析；（n ） -2蜃 19 【解析】 试题分析：（I ）先证明AF 丄平面E FDC ,结合直F U 平面AB E F ,可得平面ABE F 丄 平面E FDC . （n ）建立空间坐标系，分别求出平面E C E 的法向量m 及平面E C E 的法 试题解析：（I ）由已知可得 A F 丄DF, A F 丄F E|,所以A F 丄平面E FDC . 又A F U 平面 AE E F ,故平面AEE F 丄平面|E F D C . _ （n ）过D 作DG 丄E F ,垂足为G ,由（I ）知DG 丄平面［A E 百F . 以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长度，建立如图所示的空间直 角坐标系G —xyz . 由（I ）知N DF E 为二面角D -A F -E 的平面角，故N DF E =60：贝U DF = 2 , DG|=3,可得九(1,4,0 ), B(—3,4,0 ), E(—3,0,0 ), D (0,0, 73 ). 由已知，AE //E F ,所以AE //平面E FDC . 又平面 A ECD n 平面 |E FDC = DC ,故〕AB //CD , CD//EF . 由EE //A F ,可得EE 丄平面I E F DC ,所以N C E F |为二面角C —EE —F 的平面角， 向量n ,再利用cos （n,m ） 求二面角. n ||m |
图 2 俯视图 侧视图 正视图1.（北京8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点， 则 P 到各顶点的距离的不同取值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2.（广东卷6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．1 6 B ．1 3 C ．2 3 D ．1 3. （广东卷8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4. （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1 的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ． B.1 C. 1 2 5. 江西卷8）.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. （辽宁卷10）已知三棱柱 1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A ． 2 B ． C ．13 2 D ．B ．. （全国卷11）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （ A ） 23 （B （C （D ）1 3 8. （四川卷2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
（A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台 9. （全国新课标9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)， (0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ） (A) (B) (C) (D) 10.（浙江卷4）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面， A 、若m ∥α，n ∥α,则m ∥n B 、若m ∥α，m ∥β,则α∥β C 、若m ∥n ，m ⊥α,则n ⊥α D 、若m ∥α，α⊥β,则m ⊥β 11.（浙江卷5）已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是 A 、108cm 3 B 、100 cm 3 C 、92cm 3 D 、84cm 3 12. （重庆卷8）某几何体的三视图如题（8）所示，则该几何体的表面积为（ ） （A ）180 （B ）200 （C ）220 （D ）240 13. （辽宁卷13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . 14.（安徽15）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的 是 （写出所有正确命题的编号）。 ①当1 02 CQ << 时，S 为四边形
2015-2017高考立体几何题汇编 2017(三)16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°； 其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号） 2017(三)19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值． 2017(二)4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 2017(二)10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=?，2AB =， 11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 A ． 32 B ． 155 C ． 105 D ． 33 2017(二)19．（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且 垂直于底 面ABCD ，o 1 ,90,2 AB BC AD BAD ABC == ∠=∠= E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值． 2017(一)7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
2017年高考立体几何大题（文科）1、（2017新课标I文数）（12分） 如图，在四棱锥P-ABC［中，AB//CD,且BAP CDP 90° （1）证明：平面PABL平面PAD 8 （2）若PA=PD=AB=DC APD 90°,且四棱锥P-ABCD勺体积为-，求该四棱锥的侧面 3 积?
如图，四棱锥P ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD , 1 AB BC AD, BAD ABC 90 . 2 (1)证明：直线BC//平面PAD ; (2)若厶PCD的面积为2.1，求四棱锥P ABCD的体积.
(1) 证明：ACL BD ； (2) 已知△ ACD 是直角三角形，AB=BD 若E 为棱BD 上与D 不重合的点, 求四面体 ABCBf 四面体 ACDE 勺体积比. 如图，四面体ABCD K AEL EC,
4、（2017北京文）（本小题14分） 如图，在三棱锥P- ABC中, PAI AB PA! BC AB! BC PAAB=BG=2, D 为线段AC的中点，E 为线段PC上一点. （H）求证：平面BD!平面PAC （川）当PA/平面BDE时，求三棱锥E- BCD勺体积.
由四棱柱ABCDA i BQD截去三棱锥C-BQD后得到的几何体如图所示,四边形ABC［为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A i E 平面ABCD （I）证明：AO //平面BCD； n）设
如图，在三棱锥 A-BCD 中，ABL AD BCL BD 平面 ABDL 平面 BCD 点E , RE 与A , D 求证：（1）EF//平面ABC (2) AD L AC D 不重合）分别在棱AD,
1．（2013年高考辽宁卷（文））如 图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点 (I)求证:BC PAC ⊥平面； (II)设//.Q PA G AOC QG PBC ?为的中点，为的重心，求证：平面 2.2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中 心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA == (Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积. O D 1 B 1 C 1 D A C A 1
3.（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =, 60PAD ∠=o .(1)当正视图方向与向量AD u u u r 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程); (2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面; (3)求三棱锥D PBC -的体积. 4. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点． （1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积．
5.（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中2BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23 AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 图 4G E F A B C D 图 5D G B F C A E 6．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证: (1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD
(2012省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2)求多面体CDEFG 的体积。 2012，(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 201220．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面 的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 （2010）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点， （Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C
2010文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。 2012（18）(本小题满分12分) 如图，直三棱柱/ / / ABC A B C -，90BAC ∠=， 2,AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的 中点。 (Ⅰ)证明：MN ∥平面/ / A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥/ A MNC -的体积。 （椎体体积公式V= 1 3 Sh,其中S 为地面面积，h 为高） 2012，（16）（本小题共14分） 如图1，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，D ，E 分别为 AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ? 沿DE 折起到1A DE ?的位置，使1A F CD ⊥，如图2． D F D E B C A 1 F E C B A