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2009年高考数学试题分类汇编——概率与统计

一、选择题

1.(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是().

A.90

B.75

C.60

D.45

【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n ,则

300.036

,所以120=n ,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.故选A.答案:A

【命题立意】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据.

2.(2009山东卷理)在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到2

之间的概率为().

2 C.

1 D.

2【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x ∈?时,要使cos 2x π的值介于0到2

之间,需使223x πππ?≤≤?或322x πππ≤≤∴213x ?≤≤?或213x ≤≤，区间长度为3

2，由几何概

型知cos 2x π的值介于0到21之间的概率为3

232

=.故选A.

答案:A

【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围,得到函数值

第8题图

cos

π的范围,再由长度型几何概型求得.3.(2009山东卷文)在区间[,]22ππ?上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21

之间的概率为

().

2 C.

1 D.

2【解析】:在区间[,22ππ?上随机取一个数x,即[,]22x ππ∈?时,要使cos x 的值介于0到2

1之间,需使23x ππ?≤≤?或32x ππ≤≤，区间长度为3π，由几何概型知cos x 的值介于0到21

之

间的概率为3

3=ππ

.故选A.

答案:A

【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围,得到函数值

cos x 的范围,再由长度型几何概型求得.

4.（2009安徽卷理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于

（A ）

（B ）

275

（C ）

375

（D ）

475

[解析]如图，甲从这6

个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有226

1515225C C ?=×=种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有

//,//,//,AC DB AD CB AE BF //,//,//AF BE CE FD CF ED

共12对，所以所求概率为124

22575

p =

，选D 5.（2009安徽卷文）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于

A.1

D.0

【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有3

6C 个.由正方体各中心的对称性可得任

取三个点必构成等边三角形,故概率为1，选A 。【答案】A

????

E F

6.（2009江西卷文）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为A ．

B ．

C ．

D ．

答案：D

【解析】所有可能的比赛分组情况共有22

424122!

C C ×=种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，

故选D .

7.（2009江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为A ．

3181

B ．

3381

C ．

4881

D ．

5081

答案：D

【解析】555

3(323)50

381

P ?×?==故选D 8.（2009四川卷文）设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝

618.02

5≈?，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.618

0.613

0.592

0.622

0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是A.甲批次的总体平均数与标准值更接近B.乙批次的总体平均数与标准值更接近C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【答案】A

【解析】甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613

9.（2009宁夏海南卷理）对变量x,y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散

点图1；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2.由这两个散点图可以判断。

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关（B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关（C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关

（D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关

解析：由这两个散点图可以判断,变量x 与y 负相关，u 与v 正相关,选C

10.（2009辽宁卷文）ABCD 为长方形，AB＝2，BC＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为

（A）

π（B）14

π?

（C）

π（D）18

π?

【解析】长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为

π因此取到的点到O 的距离小于1的概率为

2π÷2＝4

π取到的点到O 的距离大于1的概率为14

π?

【答案】B

11.（2009四川卷文）设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝

618.02

0.613

0.592

0.622

0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是A.甲批次的总体平均数与标准值更接近

B.乙批次的总体平均数与标准值更接近

C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同

D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【答案】A

【解析】甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613【备考提示】用以上各数据与0.618（或0.6）的差进行计算，以减少

计算量，说明多思则少算。

12.（2009陕西卷文）某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（A ）9（B ）18

（C ）27

(D)36

答案B.

解析:由比例可得该单位老年职工共有90人，用分层抽样的比例应抽取18人.13.（2009福建卷文）一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别

(0,10](20,20](20,30)(30,40)(40,50](50,60](60,70]

频数1213241516137

则样本数据落在(10,40)上的频率为

A.0.13

B.0.39

C.0.52

D.0.64

解析由题意可知频数在(]10,40的有：13+24+15=52，由频率=频数÷总数可得0.52.故选C.14.（2009年上海卷理）若事件E 与F 相互独立，且()()1

P E P F ==，则()P E F I 的值等于（A ）0（B ）

116

（C ）

（D ）

【答案】B

【解析】()P E F I ＝()()1144P E P F ?=

×＝116

15.（2009年上海卷理）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是

（A ）甲地：总体均值为3，中位数为4（B ）乙地：总体均值为1，总体方差大于0（C ）丙地：中位数为2，众数为3（D ）丁地：总体均值为2，总体方差为3

【答案】D

【解析】根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C 中也有可能；选项B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D 中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.二、填空题

1.(2009年广东卷文)某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是。若

用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取

人.

图2

【答案】37,20

【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.

40岁以下年龄段的职工数为2000.5100×=,则应抽取的人数为

10020200

×=人.2.（2009广东卷理）已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0EX =，1DX =，则

a =，

b =

．

【解析】由题知1211=

++c b a ，061=++?c a ，1121211222=×+×+×c a ，解得12

=a ，4

b .3.（2009浙江卷文）某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5)上的数据的频数..为

．

30【命题意图】此题考查了频率分布直方图，通过设问既考查了设图能力，也考查了运用图表解决实际问题的水平和能力

【解析】对于在区间[]4,5的频率/组距的数值为0.3，而总数为100，因此频数为304.（2009安徽卷理）若随机变量2~(,)X N μσ，则

()P X μ≤=________.

[解析]

5.（2009安徽卷文）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。

【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:

2、3、4或3、4、5或2、4、5，故3

433

P C =

==0.75.【答案】0.75

6.（2009江苏卷）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为.

【解析】考查等可能事件的概率知识。

从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。

7.（2009江苏卷）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班

9则以上两组数据的方差中较小的一个为2s =.【解析】考查统计中的平均值与方差的运算。甲班的方差较小，数据的平均值为7，

故方差222222

(67)00(87)02

s ?+++?+==

8.（2009辽宁卷理）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比

为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h ，1020h ，1032h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为

【解析】9801+10202+10321

x ×××=

＝1013

【答案】1013

9.（2009湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，

则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是

。

【答案】0.24

0.76

【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.7610.（2009湖北卷文）下图是样本容量为200的频率分布直方图。根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在【6，10】内的频数为，数据落在（2，

10）内的概率约为

。

【答案】64

【解析】观察直方图易得频数为2000.08464××=,频率为0.140.4

×=11.（2009湖南卷文）一个总体分为A ，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知B

层中每个个体被抽到的概率都为

12，则总体中的个体数为120.

解:设总体中的个体数为x ，则101

120.

x x =?=12.(2009湖南卷理)一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为1

，则总体中的个数数位50。【答案】：40

【解析】由条件易知B 层中抽取的样本数是2，设B 层总体数是n ，则又由B 层中甲、乙都

被抽到的概率是22

2n C C =128

，可得8n =，所以总体中的个数是48840

×+=13.（2009天津卷理）某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取____名学生。【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题。

解析：C 专业的学生有4004203801200=??，由分层抽样原理，应抽取401200

400

120=×名。

14.（2009福建卷文）点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为

。

解析解析：如图可设1AB =,则1AB =,根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是

。15.（2009上海卷文）若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是（结果用最简分数表示）。

【答案】

【解析】因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时有：

，概率为:：

723

735=C C ，所以，均不少于1名的概率为：1－7

72=。16.（2009重庆卷文）5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有种（用数

字作答）．【答案】72

解析可恩两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有33A 种，第二步将甲乙二人插

入前人形成的四个空隙中，有24A 种，则甲、乙两不相邻的排法有32

34A A 72=种。

17．（2009重庆卷文）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125124*********则该样本标准差s =（克）（用数字作答）．

【答案】2

解析因为样本平均数1

(125124*********)1245

x =

++++=，则样本方差2222221

(1313)4,5

s O =++++=所以2

s =18.(2009湖北卷理)样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为，数据落在[2,10)内的概率约

为

【答案】640.4

【解析】由于在[6,10)范围内频数、组距是0.08，所以频率是0.08*组距=0.32，而频数=频率*样本容量，所以频数=（0.08*4）*200=64

同样在[2,6)范围内的频数为16，所以在[2,10)范围内的频数和为80，概率为80/200=0.4三、解答题

1.(2009年广东卷文)（本小题满分13分）

随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.

【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179

:之间，而乙班身高集中于170180:之间。因此乙班平均身高高于甲班;

(2)158162163168168170171179179182

170

x +++++++++=

=甲班的样本方差为()()()()

2222

21[(158170)16217016317016817016817010

?+?+?+?+?()()()()()22222

170170171170179170179170182170]+?+?+?+?+?＝57

（3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ；

从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）(178,176)

（176，173）共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件；

()42105

P A ∴=

=；

2.（2009广东卷理）（本小题满分12分）

根据空气质量指数API （为整数）的不同，可

将空气质量分级如下表：

对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API 数据按照区间]50,0[，]100,50(，

]150,100(，]200,150(，]250,200(，]300,250(进行分组，得到频率分布直方图如图5.

（1）求直方图中x 的值；

（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；

（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.（结果用分数表示．已知7812557=，12827=，

++3652182531825

9125

123

9125818253=

，573365×=）解：（1）由图可知?=150x ++365218253(182********

123

1509125818253×?=×++，

解得18250

119

=x ；

（2）219)503652

5018250119(365=×+××；

（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为

533652195036525018250119==×+×，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为5

2531=?，

一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为78125

76653)53(52(53()52(11

6670777=??C C .

3.（2009浙江卷理）（本题满分14分）在1,2,3,,9?这9个自然数中，任取3个数．

（I ）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；

（II ）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数

1,2和2,3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．

解析：（I ）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A ，则12453

910

()21

C C P A C ==；

（II ）随机变量ξ的取值为0,1,2,ξ的分布列为

012

51212

112

所以ξ的数学期望为5112012122123

E ξ=×

+×+×=4.（2009北京卷文）（本小题共13分）

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率.

【解析解析】】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.

（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为()1114

1133327

P A ?

???=?×?×

????????.（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 为事件B ，这名学生

在上学路上遇到k 次红灯的事件()0,1,2k B k =.

则由题意，得()4

0216

381

P B ??==????，

()()1

12142412321224,33813381

P B C P B C ????????====????????

????????.由于事件B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，∴事件B 的概率为()()()()0128

P B P B P B P B =++=

.5.（2009北京卷理）（本小题共13分）

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.

【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.

1133327

P A ????=?×?×

????????.（Ⅱ）由题意，可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min ）.

事件“2k ξ=”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（k =0，1，2，3，4），

∴()()441220,1,2,3,433k k

k P k C k ξ?????

===????

????

，

∴即ξ的分布列是

ξ02468

813281827881181

∴ξ的期望是16328818

0246881812781813

E ξ=×+×+×+×+×=.

6.(2009山东卷理)(本小题满分12分)

在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

02345p

0.03

P 1

P 2

P 3

P 4

（1）求q 2的值；

（2）求随机变量ξ的数学期望E ξ;

（3）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概

率的大小。

解:（1）设该同学在A 处投中为事件A,在B 处投中为事件B,则事件A,B 相互独立,且P(A)=0.25,()0.75P A =,P(B)=q 2,2()1P B q =?.

根据分布列知:ξ=0时22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==?=0.03,所以210.2q ?=，q 2=0.8.

（2）当ξ=2时,P 1=)

()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +==0.75q 2(21q ?)×2=1.5q 2(21q ?)=0.24

当ξ=3时,P 2=22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==?=0.01,当ξ=4时,P 3=22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ===0.48,当ξ=5时,P 4=()()()

P ABB AB P ABB P AB +=+222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=?+=0.24

所以随机变量ξ的分布列为

02345p

0.03

0.24

0.01

0.48

0.24

随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=×+×+×+×+×=（3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()

P BBB BBB BB ++()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =?+=;

该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大.

【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.

7.(2009山东卷文)（本小题满分12分）

一汽车厂生产A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

轿车A

轿车B 轿车C 舒适型100150z 标准型

300

450

600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆.（1）求z 的值.

（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从

中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;

（3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,

9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

解:(1).设该厂本月生产轿车为n 辆,由题意得,5010

100300

n =

+,所以n=2000.z=2000-100-300-150-450-600=400

(2)设所抽样本中有m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以

40010005

=,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S 1,B 1),(S 1,B 2),(S 1,B 3)(S 2,B 1),(S 2,B 2),(S 2,B 3),((S 1,S 2),(B 1,B 2),(B 2,B 3),(B 1,B 3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件:(S 1,B 1),(S 1,B 2),(S 1,B 3)(S 2,B 1),(S 2,B 2),(S 2,B 3),((S 1,S 2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为710

.(3)样本的平均数为1

(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98

x =

+++++++=,那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,8.6,

9.2,8.7,9.3,9.0这6个数,

总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为

75.08

=.【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.8.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。

（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。

解析：本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率。解：（I）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。

（II）记A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则

)(2101614=

=C C C A P （III）i A 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，2

10，，=i j B 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j 名男工人，210j ，，=B 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。

i A 与j B 独立，210，，，=j i ，且0

21120B A B A B A B ?+?+?=故

)

()(021120B A B A B A P B P ?+?+?=)

()()()()()(021120B P A P B P A P B P A P ?+?+?=210

2621026281

4162101614

2102421024C C C C C C C C C C C C C C ?+?+?=9.（2009全国卷Ⅰ理）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）.............

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（I ）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（II ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望。分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。

需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。

另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。

10.（2009安徽卷理）（本小题满分12分）

某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概

率都是1

.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是

.在这种假定之下，B、C、D中直接

受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.

本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。

解：随机变量X的分布列是

X123

X的均值为

11111 123

3266 EX=×+×+×=

附：X的分布列的一种求法

共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是1

：

①②③④⑤⑥

A—B—C—D A—B—C

└D A—B—C

└D

A—B—D

└C

A—C—D

└

在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。

11.（2009安徽卷文）（本小题满分12分）

某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照

试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：

品种A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414，

415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454

品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397

397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430

（Ⅰ）完成所附的茎叶图

（Ⅱ）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？

（Ⅲ）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论。

【思路】由统计知识可求出A、B两种品种的小麦稳定性大小并画出茎叶图，用茎叶图处理数据，看其分布就比较明了。

【解析】（1）茎叶图如图所示

A B

9735

87363

53714

838356

92391244577

5040011367

542410256

7331422

400430

55344

4145

（2）用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具体数据.

（3）通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均每亩产量为411.1千克，品种B的平均亩产量为397.8千克.由此可知,品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高.但品种A的亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较集中D平均产量附近.

12.（2009江西卷文）（本小题满分12分）

某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进

行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1

.若某人获得两个“支持”，则

给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：

(1)该公司的资助总额为零的概率；

（2）该公司的资助总额超过15万元的概率．

解：（1）设A 表示资助总额为零这个事件，则

11()264

P A ??

????（2）设B 表示资助总额超过15万元这个事件，则

666

11111

()15622232

P B ??????=×+×+=

????????????13.（2009江西卷理）（本小题满分12分）

某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是

.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．(1)写出ξ的分布列；(2)求数学期望E ξ．解：（1）ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30

1(0)64P ξ==

3(5)32P ξ==15(10)64P ξ==5

(15)16P ξ==15(20)64P ξ==3(25)32P ξ==1

(30)64P ξ==

（2）31551531

5101520253015326416643264

E ξ=×+×+×+×+×+×=.

14.（2009天津卷文）（本小题满分12分）

为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A ，B,C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B ，C 区中分别有18，27，18个工厂

（Ⅰ）求从A,B,C 区中分别抽取的工厂个数；

（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率。

【答案】(1)2，3，2(2)

【解析】（1）解：工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为9

1637=，所以从A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2.

（2）设21,A A 为在A 区中抽得的2个工厂，321,,B B B 为在B 区中抽得的3个工厂，2

1,C C 为在C 区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：2

7C 种，随

机的抽取的2个工厂至少有一个来自A 区的结果有),(21A A ，

),(21B A ),(11B A ),(31B A ),(21C A ),(11C A ,同理2A 还能组合5种，一共有11种。所以所求

的概率为

1127=C 【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。15.(2009湖北卷理)（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效.........）

一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x ；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y ，记随机变量η＝x＋y ，求η的分布列和数学期望。

16.解析：依题意，可分别取5η=、6、????11取，则有

1123

(5),(6),(7)441616164321

(8),(9),(10),(11)16161616

p p p p p p p ηηηηηηη==

=====×========

η∴的分布列为

η567891011

162163164163

216116

1234321

567891011816161616161616

E η=×+×+×+×+×+×+×=.

16.（2009四川卷文）（本小题满分12分）

为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中3

是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有

13持金卡，在省内游客中有2

持银卡。