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1.1~1.3集合

1．1集合的含义及其表示

教学目标

一、知识与技能

1．初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．

2．初步了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义．

3．初步掌握集合的两种方法－列举法和描述法，并能正确地表示一些简单的集合．

二、过程与方法

1．通过集合概念的学习和应用，引导学生体会数学源于生活，又服务于生活．

2．通过集合的两种表示方法的学习，让学生经历生活语言到数学符号和图形语言的过渡过程，体会数学符号语言的简洁美．

三、情感态度与价值观

培养学生学数学用数学的意识．

教学重点和难点

1．重点：集合的基本概念和表示方法；

2．难点：运用集合的两种常用表示方法正确表示一些简单的集合．

这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键．

教学过程

一、问题情境

１．问题情境

军训时，我们经常听到教官下“集合”的口令，例如“一排集合”，这里的“集合”是什么意思？口令下达后，到教官前面排队的同学有什么共同的特征？

2．学生活动

问题1：“一排的高个子集合”，这样的口令教官能下吗？为什么？

二、讲解新课

军训时的“集合”是动词，正确的“集合”口令形成了一个群体，这样的群体在数学中也把它称为“集合”．

１．数学理论

（1）集合的概念

集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素．

练习：下面的群体构成集合吗？

①著名科学家；②小朋友；③电脑发烧友．

区别：前面一些群体的对象是确定的，而后面一些群体的边界则是模糊的．

练习：请举出一些集合的实例．

（2）集合的表示

用｛｝将刚才的一些群体括起来，表示集合．

说明：①该方法称为集合的列举法，用列举法书写集合时，同一个元素不要重复书写（互异性），而且元素的书写顺序是任意的（无序性）．

②集合常用大写拉丁字母表示，如集合A，集合B等，集合的元素常用小写拉丁字母表示．注意a和｛a｝是不一样的．

③元素和集合之间的关系，用“∈”和“ ”表示．

练习用列举法表示下列集合：①本校高一年级的班级；②中国的直辖市；③“mathematics”中的字母．问题2：适宜用列举法来表示正数组成的集合吗？如果不适宜，又如何表示这样的集合？

④集合的描述法：其一般形式是{x│P}，大括号内加竖线法（竖线前面左边的x叫作此集合的代表元素，竖线右边的P指出元素所具有的公共属性）．

例如正数所组成集合就可以表示为｛x|x是正实数｝或｛x|x＞0，且x是实数｝．

为了书写方便，引入一些数集的特殊的记号：

自然数集N；正整数集N＊或N＋；

整数集Z；有理数集Q；

实数集R Array则正数组成的集合又可以表示为｛x|x＞0，且x∈R｝．

练习：用描述法表示刚才用列举法表示过的集合．

⑤集合还有Venn图表示法，更加形象直观．

2．数学应用

例1求方程x2－1＝0的解集．

解：列举法：｛－1，1｝；

描述法：｛x| x2－1＝0｝．

说明：集合的各种表示方法，各有优点，有些集合只能用其中一种方法表示，有些集合能同时用几种方法表示．

例2 （1）集合{x│x－3＞2}表示什么意思？

（2）集合{(x，y)│y＝x＋1 }表示什么意思？

说明：认识集合应从集合元素是什么开始，要明确该集合的元素是数、点还是其它.一般地，数集中的元素是数的表示形式，点集、方程组的解集中，元素的形式是有序实数对．

例3 求方程x2＋x＋1＝0所有实数解的集合．

说明：方程没有实数解，即原方程解的集合里没有任何元素，给这样一个集合一个名称：空集．记为：?．如果一个集合里的元素是有限的，称其为有限集，一个集合不是有限集，称其为无限集．思考：集合｛0｝是空集吗?

3．巩固练习

（1）P7练习3（1）

（2）用列举法表示下列集合：

①｛x│x是15的约数，x∈N｝；

②｛(x，y)| x∈｛1，2｝，y∈｛2，3｝｝；

③｛(x，y)| x＋y＝3，x－2y＝0｝；

说明：错误表示：｛2，1｝，｛x＝2，y＝1｝．

④｛x│x＝(－1)n，n∈N｝；

⑤{(x，y)|x+y＝4，x∈N*，y∈N*}．

（3）用描述法表示下列集合；

①偶数集；

②正奇数集；

③｛1，4，7，10，13｝；

④｛－2，－4，－6，－8，－10｝．

三、回顾小结

本节课学习了以下内容：

1．集合的有关概念；

2．集合的表示方法；

3．常用数集的定义及记法．

四、布置作业

略

1．2子集、全集、补集

教学目标

一、知识与技能

1．了解集合间包含关系的含义．

2．理解子集、真子集的概念和意义．

3．了解全集的意义，理解补集的概念和意义．

二、过程与方法

引导学生从特殊集合间的关系形成子集、全集、补集的概念，经历观察、分析、抽象的思维过程．三、情感态度与价值观

学习用“关系”反映事物之间普遍联系．

重点和难点

1．重点：子集、补集的概念．由于学生是刚开始接触集合的符号表示，所以子集和真子集的符号要提醒学生注意这些符号地方向不要搞错．

2．难点：弄清元素与子集，属于与包含之间的区别．学生在第一节集合概念学习中，刚刚接触了元素与集合之间的属于关系，现在又出现了子集、集合和集合之间的包含关系概念，由于对概念的本质认识不深刻，初学者容易弄混这些概念，在使用符号∈，?表示时经常混用．

教学过程

一、问题情境

问题1：元素与集合的关系如何表示？集合有几种表示方法？

问题2．观察下列几组集合，它们之间的共同特点是什么？如何用符号描述这种关系？

（1）A＝｛－1，1｝，B＝｛－1，0，1｝；

（2）A＝N，B＝R；

（3）A＝｛x│x是江苏人｝，B＝｛x│x是中国人｝．

A集合中的元素都是B集合中的元素（A集合是B集合的一部分），即：任意x∈A，则x∈B．

二、讲解新课

1．数学概念：子集的概念及符号表示

对于两个集合A和B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A为集合B的子集，记为：A?B (或B?A)，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．

若任意x∈A?x∈B，则A?B．

规定：空集是任何集合的子集．

问题2 ①A?A正确吗？

②A?B和B?A能否同时成立？

③A?B和B?A意味着什么？

④A?B，B?C，你能得出什么结论？

说明：区别∈和?的使用．元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如1∈N，－1?N，N?R，??R，{1}?{1，2，3}．

2．数学应用

例1 写出集合｛a，b｝的所有子集．

思考：（1）如何书写有限集的所有子集？

（2）一个n元集合的子集个数有多少个？

3．数学概念：真子集

由例1可知，A?B有两种可能：（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合，因此不能把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合．

如果A?B，并且A≠B，这时集合A称为集合B的真子集，记为A?≠B（或B?≠A），读作“A真包含于B”或“B真包含A”．

问题3：（1）能说空集是任何集合的真子集吗？

（2）如何判别A ?≠B ？

4．数学应用

例2下列各组的三个集合中，哪两个集合之间具有包含关系？（1）S ＝｛－2，－1，1，2｝，A ＝｛－1，1｝，B ＝｛－2，2｝；（2）S ＝R ，A ＝｛x │x ≤0，x ∈R ｝，B ＝｛x │x ＞0，x ∈R ｝；（3）S ＝｛x │x 为地球人｝，A ＝｛x │x 为中国人｝，B ＝｛x │x 为外国人｝．

课堂练习：用适当的符号填空： (1)a ＿｛a ｝； (2)a ＿｛a ，b ，c ｝；(3)d ＿｛a ，b ，c ｝； (4)｛a ｝＿｛a ，b ，c ｝；(5)｛a ，b ｝＿｛b ，a ｝； (6)｛3，5｝＿｛1，3，5，7｝； (7)｛2，4，6，8｝＿｛2，8｝；(8) ?＿｛1，2，3｝ 5．数学概念：补集的概念和表示

问题4：观察例2中每一组的三个集合，它们之间还有一种什么关系？

A ，

B 两个集合没有公共元素，且它们的元素合在一起，恰好是集合S 的元素．

我们定义同时满足这两条性质的A ，B 两个集合在集合S 中互为补集关系．

设A ?B ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为S A (读作A 在S 中的补集)

，即S A ＝｛x │x ∈S ，且x ?A ｝

如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用字母U 表示．

如图2—2所示，阴影部分表示集合A 在集合S 中的补集S A ．

如在实数范围内讨论问题时，可以把实数集看作全集U ，那么，有理数集Q 的补集S Q 就是全体无理数的集合．

说明：（1）补集是相对全集而言，离开全集谈补集没有意义；

（2）若B ＝S A ，则A ＝S B ，即S (S A )＝A ；（3）S S ＝?，S ?＝S ．

6．数学应用

例3已知集合S ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，5}，试写出S A ．解：S A ＝｛2，4，5｝．例4 不等式组?

??2x －1＞0，3x －6≤0．的解集为A ，U ＝R ，试求A 及U A ，并把它们在数轴上表示出来．解：A ＝｛x |2x －1＞0，且3x －6≤0｝＝｛x |1

2＜x ≤2｝．

U A ＝｛x |x ≤

，或x ＞2｝，在数轴上表示如下：

说明：注意在数轴上空心点和实心点．

三、回顾小结

这一节课，我们学习了以下内容：

1．两个集合之间的关系：子集、全集、补集．2．利用V enn图和数轴求集合的子集、补集．四、布置作业

略

1．3交集、并集

教学目标

一、知识与技能

1．理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 3．能用V enn 图表达集合的关系及运算．二、过程与方法

通过引导学生经历从日常生活中现象过渡到抽象数学问题的思维过程，并通过实例的分析探究，体会图形语言的作用．三、情感态度与价值观

感受数学与实际生活的联系，并体会数学语言的简洁美．

教学重点和难点

1．重点：交集和并集的概念．

2．难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系．

第一课时

教学过程

一、问题情境１．情境

新开的一个小水果摊，第一周进货的水果有这么几样：香蕉、草莓、猕猴桃、芒果、苹果，且各进十箱．试卖了一周，店主第二次进货的水果有：猕猴桃、葡萄、水蜜桃、香蕉，也各进十箱．

问题１：大家想一想：哪些种类的水果的销路比较好？

问题２：如果店主要做一盘点，他两次共进货了哪几种水果？问题３：你能试着用集合的语言描述该问题吗？２．学生活动

（1）由两个集合，得到了一个新的集合——探讨新集合的构成法则．（2）学生举例，并总结对该运算方式尝试加以定义．二、讲解新课１．数学理论（1）交集

一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集（intersection set ），记作A ∩B ，读作：“A 交B ”．

A ∩

B ＝｛x ｜x ∈A ，且x ∈B ｝．（2）并集

一般地，由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集（union set ），记

作A ∪B ，读作：“A 并B ”． A ∪B ＝｛x ｜x ∈A ，或x ∈B ｝． 2．概念强化

问题4：对集合A ＝｛1，2，3，4，5｝，B ＝｛4，5，6，7｝．那么C ＝｛4｝是不是集合A 、B 的交集？

D ＝｛1，2，3，4，5，6｝是不是两个集合A 、B 的并集？

说明：（1）强调集合中的元素应具有确定性，新集合应由所有．．满足条件的元素构成．（2）强调并集定义中“或”字不可省，“x ∈A ，或x ∈B ”有三种情况．（3）强调符号“∩”和“∪”．

A ∩

B A

A ∪B

练习A＝｛x｜x为等腰三角形｝，B＝｛x｜x为直角三角形｝，则A∩B＝｛x｜x为等腰直角三角形｝．A∪B ＝｛x｜x为等腰三角形或直角三角形｝．

3．数学应用

例1 设A＝｛－1，0，1｝，B＝｛0，1，2，3｝，求A∩B和A∪B．

解：A∩B=｛－1，0，1｝∩｛0，1，2，3｝＝｛0，1｝；

A∪B=｛－1，0，1｝∪｛0，1，2，3｝＝｛－1，0，1，2，3｝．

说明：（1）列举法书写集合时，特别注意集合中的元素的互异性．

（2）B∩A＝A∩B；B∪A＝A∪B——集合的交、并运算满足交换律．

（3）利用Venn图，观察集合A、B、A∩B、A∪B之间的关系：

A∩B?A，A∩B?B；A?A∪B，B?A∪B，A∩B?A∪B．

例2 设A＝｛x｜x＞0｝，B＝｛x｜x≤1｝，求A∩B和A∪B．

解：A∩B=｛x｜x＞0｝∩｛x｜x≤1｝＝｛x｜0＜x≤1｝；

A∪B=｛x｜x＞0｝∪｛x｜x≤1｝＝｛x｜x＞0，或x≤1｝＝R．

说明：（1）集合的交、并运算也可以用数轴表达．

（2）利用数轴进行集合运算时，应特别注意端点处的值是否能取得．

（3）区间的概念：

设a，b∈R，且a＜b，规定

[a，b]＝｛x｜a≤x≤b｝，——闭区间

(a，b)＝｛x｜a＜x＜b｝，——开区间

[a，b)＝｛x｜a≤x＜b｝，——半开半闭区间，也读作左闭右开区间

(a，b]＝｛x｜a＜x≤b｝，——左开右闭区间

(a，＋∞)＝｛x｜x＞a｝，——“＋∞”读作“正无穷大”

(－∞，b)＝｛x｜x＜b｝，——“－∞”读作“负无穷大”

(－∞，＋∞)＝R．

其中a，b是相应区间的端点．方括号表示该区间端点取到，圆括号则表示该区间端点取不到．而“∞”只是一个记号，不代表具体的数，因此在∞处我们使用圆括号．

练习：设A＝{x|－1＜x＜8}，B＝{x| x＜－5，或x≥4}，求A∩B、A∪B，并用区间表示集合A、B、A ∩B、A∪B．

A＝{x|－1＜x＜8}＝（－1，8），

B＝{x| x＜－5，或x≥4}＝(－∞，－5) ∪[4，＋∞)，

A∩B＝{x|4≤x＜8}＝[4，8)，

A∪B＝{x| x＜－5，或x＞－1}＝(－∞，－5) ∪(－1，＋∞)．

例3 设平面内直线l 1上点的集合为L 1，直线l 2上点的集合为L 2，试用集合运算表示直线l 1和l 2的位置关系．

解：平面内直线l 1和l 2的位置关系有三种：相交、平行和重合．（1）直线l 1和l 2相交于一点P 可以表示为：L 1∩L 2＝｛点P ｝；（2）直线l 1和l 2平行可以表示为：L 1∩L 2＝?；

（3）直线l 1和l 2重合可以表示为：L 1∩L 2＝L 1＝L 2；

4．巩固练习练习：

（1）设全集S ＝｛1，2，3，4，5，6，7，8｝，A ＝｛3，4，5｝，B ＝｛4，7，8｝，求S A ∩S B ＝｛1，2，6｝，S A ∪S B ＝｛1，2，3，5，6，7，8｝．

（2）设A ＝{x ｜x 为锐角三角形}，B ＝{x ｜x 为钝角三角形}，则A ∩B ＝?，A ∪B ＝{x ｜x 为锐角三角形或钝角三角形}．

（3）求不等式组???2x ＜8，

3x －8≥7－2x

的解集为｛x ｜3≤x ＜4｝．

三、回顾小结

这一节课我们研究了集合之间的交、并两种运算，学习了这两种运算的文字、符号、图形三种表示。通过本节课的学习，同学们应该学会利用利用Venn 图和数轴求集合的交集和并集，并能用区间表示连续的数集．四、布置作业略

第二课时

教学过程

一、问题情境 1．情境：

问题1：上一节课，我们学习了集合的两种运算，请回忆一下这两种运算是如何定义的？ 2．学生活动

请用Venn 图表示两个非空集合的所有可能关系，并在图中表示出它们的交集和并集．

问题2：你从图中发现了哪些重要的结论？二、讲解新课 1．数学理论

由Venn 图，我们观察到：（1）

A ∩

B ?A ，A ∩B ?B ；

A ?A ∪

B ，B ?A ∪B ，A ∩B ?A ∪B ．

（2）如果集合A 本身是集合B 的子集：

A ?

B ? A ∩B ＝A

? A ∪B ＝B ．

思考：A ∩B ＝A 能否推出A ?B 和A ∪B ＝B ．（3）如果集合A 、B 没有公共元素： A ∩B ＝?．

2．概念强化

问题1：对后两种情况，结论A ∩B ?A ，A ∩B ?B ，A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∩B ?A ∪B 还成立吗？练习：填表：

3．数学应用

例1 设集合A ＝｛x 2，2x －1，－4｝，B ＝｛x ―5，1―x ，9｝，若A ∩B ＝｛9｝，求A ∪B ．解：因为A ∩B ＝｛9｝，因此9∈A ，（1）若x 2＝9，则x ＝±3，

x ＝3时，A ＝｛9，5，－4｝，x ―5＝1―x ，与B 集合的互异性矛盾； x ＝－3时，A ＝｛9，－7，－4｝，B ＝｛－8，4，9｝，满足题意．

（2）若2x －1＝9，则x ＝5，此时A ＝｛25，9，－4｝，B ＝｛0，－4，9｝，A ∩B ＝｛－4，9｝，与A ∩B

＝｛9｝矛盾，舍去．

说明：学习本题求解中的分类讨论和检验的方法．

例2设全集U ＝｛小于10的自然数｝，集合A ，B 满足A ∩B ＝｛2｝，(?U A )∩B ＝｛4，6，8｝，(?U A )∩(?U B )＝｛0，1，9｝，求集合A ，B ．

解：由题意知，

U ＝｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，由Venn 图可知，

A ∩(?U

B )＝｛3，5，7｝， A ＝(A ∩(?U B ))∪(A ∩B ) ＝｛2，3，5，7｝， B ＝((?U A )∩B )∪(A ∩B ) ＝｛2，4，6，8｝．

说明：集合的Venn 图表示法具有直观形象的特点，为解决一些较为复杂的涉及集合运算方面的问题提供了一条简捷的途径．

例3 学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？

解：设A ＝｛x | x 为参加排球赛的同学｝，B ＝｛x | x 为参加篮球赛的同学｝，则A ∩B ＝｛x | x 为两次比赛的同学｝．

画出Venn 图，可知没有参加过比赛的同学有 45－（12＋20－6）＝19（名）．

答：这个班共有19名同学没有参加过比赛．

说明：（1）学习用集合语言描述实际问题，建立数学应用的意识．（2）重视Venn 图的使用．（3）两个集合并集的元素个数不一定等于两个集合的元素个数和．

例4 已知非空集合A ＝｛x ｜2a ＋1≤x ≤3a －5｝，B ＝｛x ｜x ＜－1，或x ＞16｝，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．（1）A ∩B ＝?；（2）A ?A ∩B ．解：（1）若A ＝?，则A ∩B ＝?．此时2a ＋1＞3a －5，即a ＜6．

若A ≠?，则????? 2a ＋1≤3a －5，

2a ＋1≥－1， 3a －5≤16

，解得6≤a ≤7．

综上，满足条件A ∩B ＝?的实数a 的取值范围是｛a | a ≤7｝．

（2）因为A ?A ∩B ，又A ∩B ?A ，所以A ∩B ＝A ，即A ?B ．显然A ＝?满足条件，此时a ＜6．

2a ＋

若A ≠?，则??? 2a ＋1≤3a －5， 3a －5＜－1，或??? 2a ＋1≤3a －5，

2a ＋1＞16．

解??? 2a ＋1≤3a －5，

3a －5＜－1得a ∈?；

解??? 2a ＋1≤3a －5， 2a ＋1＞16

得a ＞17

2．

综上，满足条件A ?A ∩B 的实数a 的取值范围是｛a | a ＜6，或a ＞17

｝．

说明：（1）本例求解过程再一次表明数轴在数集运算中的重要作用；在讨论数轴上区间的覆盖时，要处理好端点的取舍；

（2）求解此类问题时，一定要注意考虑?是否满足条件．

三、回顾小结完成下表：

名称 A 、B 的交集 A 、B 的并集 U 中集合A 的补集

符号

定义

性质 A A ∩B ； B A ∩B ； ? ? A ． A A ∪B ； B A ∪B ； ? ? A ． ?U （?U A ）＝；

A ∩?U A ＝；

A ∪?U A ＝．

四、布置作业略

集合单元复习

教学目标

一、知识与技能

1．加深对集合、交集、并集、补集的概念和有关性质的认识；

2．学会运用集合的性质解决一些简单的问题．

二、过程与方法

通过一些具体问题的探究，让学生体会数形结合和分类讨论的方法，提高应用集合知识解决实际问题的能力．

三、情感态度与价值观

通过教学过程中，师生之间的相互交流，增强学生合作探究的能力，培养全面分析问题的思维习惯．教学重点和难点

1．重点：用集合语言表达方程的解集；分类讨论及数形结合的思想方法．

2．难点：带字母的集合问题的讨论．

教学过程

一、问题情境

1．情境

本章知识网络结构图：

2．学生活动

集合部分是高中数学的基础，请回忆并归纳本章所学到的主要知识．

二、讲解新课

1．正确认识集合，正确使用集合符号

例1 下列写法是否正确，说明理由．

（1）｛(1，2)｝＝｛(2，1)｝＝｛（x，y）|x＝1，或y＝2｝＝｛1，2｝；

（2）{ y|y＝－x2＋2，x∈R}∩{ y| y＝－x＋2，x∈R}＝｛(0，2)，(1，1)｝；

（3）0∈?，??≠｛0｝．

解：（1）错误．｛（1，2）｝表示由点｛（1，2）｝构成的单元素集合，而｛(2，1)｝则表示由点｛（2，1）｝构成的单元素集合，｛（x，y）|x＝1，或y＝2｝则是由直线x＝1和y＝2构成的集合，而｛1，2｝表示的则是数1和2构成数集，因此上述四个集合都是不相同的．

（2）错误．{ y|y＝－x2＋2，x∈R}和集合{ y| y＝－x＋2，x∈R}都是数集，而集合｛(0，2)，(1，1)｝的元素为有序实数对，它是点集．

正确写法为：{ (x，y)|y＝－x2＋2，x∈R}∩{ (x，y)| y＝－x＋2，x∈R}＝｛(0，2)，(1，1)｝，或{ y|y

＝－x 2＋2，x ∈R }∩{ y | y ＝－x ＋2，x ∈R }＝(－∞，－2] ∩R ＝{ y |y ≤－2}．

（3）0∈?是错误的，因为?不包含任何元素；??≠｛0｝是正确的，因为空集是任何非空集合的真子集，而单元素集合｛0｝非空，因此空集是其真子集．说明：（1）认识集合应从确定集合的元素开始，要明确该集合的元素是数、点还是其它．一般地，数集中的元素是数的表示形式，点集、方程组的解集中，元素是有序实数对．（2）正确认识0，｛0｝，?三者之间的关系．

例2已知集合A ＝｛x ｜ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R ｝．（1）若A 是空集，求a 的取值范围；

（2）若A 中只有一个元素，求实数a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解：（1）A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0 ①无解．

由于a ＝0时，方程①有实数解，故a ≠0，且?＝a 8)3(2--＜0，

解得 a ＞8

9．

（2）当a ＝0时，方程为一元一次方程，它有惟一解为3

2，符合题意；当a ≠0时，由?＝0，得a ＝8

9．

此时，方程有两个相等的实根，集合A 中也只有一个元素

4．综上所述，当a ＝0，或a ＝89时，集合A 中只有一个元素，分别是3

2，3

4．（3）A 中至多有一个元素包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况．综合（1）（2）得a ＝0或a ≥8

9．

说明：（1）利用集合来表示方程或方程组的所有解是集合应用的一个重要方面，准确进行集合语言和方程语言的转化，是解题的关键．（2）二次项系数含字母的“形式上”的一元二次方程利用判别式符号判别根的个数时，要注意二次项系数不为零的情况，这一点应引起足够重视．

2．数形结合

在解答一些集合问题时，借助Venn 图或数轴求解，比较形象直观，往往事半功倍，应加强这方面的训练，体会图形对解决数学问题的帮组作用．

例3 （1）如果U 是全集，集合M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）

A ．（M ∩P ）∪S

B ．（M ∩P ）∪S

C ．（M ∩P ）∩U S

D ．（M ∩P ）∪U S

（2）设I ＝{x ∣x 为不大于20的质数}，A 、B 为I 的子集，A ∩(I B )=｛3，5｝，(I A ) ∩(I B )＝｛7，19｝，(I A ) ∩B ＝｛2，17｝，则A ∩B ＝__________．解：（1）选C ．

（2）因为I ＝｛2，3，5，7，11，13，17，19｝，画出Venn 图得A ∩B ＝｛11，13｝．

例4已知集合A ＝｛x |－2≤x ≤5｝，B ＝｛x |m ＋1≤x ≤2m －1｝，且B ?A ，求m 的所有取值组成的集合．

解：（1）当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝?，

此时必有A B ?成立；

－2 5

m ＋1

2m －1

（2）当?≠B ，且A B ?时，

?????≤--≥+-≤+,512,

21,121m m m m 即??

??≤-≥≥,3,3,2m m m 所以32≤≤m ．综上所述，2

说明：（1）借助于图形来分析与解决问题是一种常用且有效的方法，处理和连续数集有关问题时，一

般将其表示在数轴上；（2）空集是任何集合的子集，在处理子集的有关问题时，务必注意这一特殊情况，本例就是要注意分集合B 是否为空集两种情况来进行讨论．

3．分类讨论

分类讨论通俗的说法就是按照一定的标准把研究对象分成几个部分，或几种情况．它采取的是一种“化整为零，各个击破”的策略，通过这种策略，可以达到将一个复杂的问题分解为若干个简单的问题，从而获得完整解答的目的．

例3就是分类讨论的典型实例，下面再举一例加以说明．例4已知集合A ＝｛x |x 2－ax ＋a 2－19＝0｝，B ＝｛x |x 2－5x ＋6＝0｝，C ＝｛x |x 2＋2x －8＝0｝．（1）若A ∩B ＝A ∪B ，求实数a 的值．（2）?≠?A ∩B ，A ∩C ＝?，求实数a 的值．解：由已知，得B ＝｛2，3｝，C ＝｛2，－4｝．

（1）因为A ∩B ＝A ∪B ，所以A ＝B ，于是2，3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，

由韦达定理知???-=?=+.

1932,322

a a

解得：a ＝5．

（2）由?≠?A ∩B ，A ∩C ＝?，得3∈A ，A ?2，A ?-4．由3∈A ，有019332

=-+-a a ，

解得a ＝5，或a ＝－2；

当a ＝5时，A ＝｛2，3｝与A ?2矛盾；当a ＝－2时，A ＝｛3，－5｝符合题意，所以a ＝－2．

说明：对于（1），必须理解A ∩B ＝A ∪B 的意义，（由B A B B A B A A ???=? ，A B A B A B A B ???=? ，所以A ＝B ）；对于（2）关键在于抓住空集这个特殊集合的含义和性质，即由?≠?A ∩B ?≠?B A ．

4．练习略

三、回顾小结

通过上述例题的讲解,集合中我们须注意的问题是：

（1）搞清集合的具体含义（从元素的一般形式出发，搞清是点集，还是数集？）；

（2）正确书写符号（补集、子集、真子集、属于、包含于、常用数集）；

（3）掌握利用图形（V enu图、数轴）解题，学会用图和符号语言来表示关系（集合与集合、元素与集合）；

（4）注意空集在解题中的作用，防止因漏掉空集而导致解题错误；

（5）正确把握一元二次方程的解集．

四、布置作业

略

1了解集合的含义元素与集合的属于关系

1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系； 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算． 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特征：． (2)元素与集合的关系是关系，用符号表示． (3)集合的表示法： 2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同子集A中任意一个元素均为B中的元素真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素空集空集是任何集合的，是任何非空集合的 3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?U A＝{x|x∈U，且x?A} 并集的性质： A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?．交集的性质： A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?．补集的性质： A∪(?U A)＝；A∩(?U A)＝?U(?U A)＝高频考点一集合的含义例1 (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) A．1B．3C．5D．9 (2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．【变式探究】(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________. 高频考点二集合间的基本关系例2、(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

高中数学必修一《集合与函数的概念》经典例题

高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测试题试题整理：周俞江一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题, 每小题5分，共60分）. 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ，则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A Y B=( ) A ． {}|0x x ≤ B ．{}|2x x ≥ C ．{0x ≤≤ D ．{}|02x x << 3 .在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（） A.x x y y ==,1 B ．1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D ．2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是（） 5.0≤f 不是映射的是A ．1:3f x y x ?? →= B ．1 :2 f x y x ??→= C ．1:4f x y x ??→= D ．1:6f x y x ??→= 6.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数，则k 的范围是（） A ．2-≥k B ．2-≤k C ．2->k D ．2-

9.有下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )．其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.图中阴影部分所表示的集合是（） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-，则函数)(x f 的解析式可以是（） A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是（） A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在),(b a 上是 A ．增函数 B ．减函数

集合知识点归纳定稿版

集合知识点归纳精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】

集合的基础知识一、重点知识归纳及讲解 1．集合的有关概念一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素 ⑴集合中的元素具有以下的特性 ①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了. 例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素；而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的. ②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}. ③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合. （2）集合的元素某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ. （3）集合的分类：有限集与无限集. （4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.

列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集. 描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集. 使用描述法时，应注意六点： ①写清集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质； ③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”； ⑤所有描述的内容都要写在大括号内；⑥用于描述的语句力求简明、确切. 图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示. 如：A={1，2，3，4} 例1、设集合A={a，a+b, a+2b},B={a,ac,ac2} ,且A=B，求实数c值．分析：欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac两种情况．解析：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a+ ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但 c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时无解．

集合概念与单独概念普遍概念

集合概念与单独概念、普遍概念【作者】王心铭【提要】集合概念与单独概念、集合概念与普遍概念之间分别表现为交叉关系要搞清它们的区别和联系首先应把握客观事物中类和分子、整体和部分、集合体和个体三种不同关系。在此基础上要把一个概念放在具体的环境中去考察才能准确判定它的类属。这样才不会在概念的使用上出现误用集合的逻辑错误。【关键词】类、整体、集合体、集合概念概念的逻辑分类，是根据概念的内涵和外延的不同特征给概念进行的划分。单独概念对应于普遍概念，划分根据是概念所反映的对象的数量。反映某一特定对象的概念，是单独概念其外延独一无二；反映某一类对象的概念是普遍概念，其外延最少两个。集合概念对应于非集合概念，划分根据是概念所反映的对象是否为一类事物的集合体。反映集合体的概念是集合概念，反映非集合体的概念是非集合概念。因而，每一种划分的子项之间是互相排斥的。即单独概念与普遍概念之间的关系是不相容的，集合概念和非集体概念之间也是不相容的。但是，由于它们是采用不同的根据从不同的方面对概念进行的两种划分，因此，两种划分所得的不同系列的子项之间并不互相排斥，其中集合概念与单独概念、集合概念与普遍概念之间分别表现为交叉关系。只有把握好这三种概念之间的区别和联系，对一个具体概念进行正确的归类，才能做到使用准确。

一弄清客观事物中类与分子、整体与部分、集合体与个体三种关系是区别三种概念的根据。客观事物中的类是许多具有相同或相似属性事物的综合，从属于类的每个对象叫做分子，属于一个类的任何分子都具有这类事物的属性并能独立存在。比如综合大学是由一所所象山东大学、山西大学、西北大学等设有文科、理科方面各种专业的大学组合而成的类，综合大学所具有的多科系的高等学校这一属性作为分子的每个具体的大学必定具有，用造句法检验时，山东大学是综合大学这样的语句必定成立。综合大学与山东大学之间就是类与分子的关系。反映类的概念和反映分子的概念在外延上表现为属种关系。整体是由部分组成，每个单独事物都可看作一个单个整体，整体依赖部分，部分不能脱离整体而独立存在，整体所具有属性部分并不具有。比如山西大学是由山西大学组织部、山西大学后勤处、山西大学哲学系等党务、业务、行政方面许多具体部门组成，任何一个部门不可脱离山西大学而独立存在。比如离开了山西大学，也就没有山西大学哲学系。同时，这些部门也都不具有山西大学所具有的高等学校这一属性。用造句法作检验时，山西大学哲学系是大学这一语句必定不能成立，山西大学与山西大学哲学系就是整体和部分的关系。反映整体的概念和反映部分的概念在外延上表现为全异关系。集合体是由许多同类个体有机构成的不可分割的统一体（或叫群体），这个统一体形成后，有着自己的本质属性，组成集合体的个体，虽然可以

集合与函数的概念测试题及答案

《集合与函数的概念》测试题一、选择题（每小题5分，60分） 1、设集合{}Z x x x A ∈<≤-=,23，{}N x x x B ∈≤+=,31，则B A ?中元素的个数是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2、若全集U N =,{}260,M x x x N =->∈,则U C M =( ) A.{}2,1 B. {}3,2,1 C.{}2,1,0 D.{}3,2,1,0 3、下列四个方程中表示y 是x 的函数的是（） (1) 26x y -= 2(2) 1x y += 2(3) 1x y += (4) x y = A.（1）（2） B.（1）（4） C.（3）（4） D.（1）（2）（4） 4、下列各组函数中，两个函数相等的是（） A.2()(1),()1f x x g x x =-=- B.2()1,()11f x x g x x x =-=+?- C.22()(1),()(1)f x x g x x =-=- D.33()1,()1f x x g x x =-=- 5、设函数221,11 (),()(2) 2,1x x f x f f x x x ?-≤=?+->?则的值为（） A.1516 B.2716- C.89 D.18 6、设集合M=},21 4|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则（） A ．M =N B ．M N ? C ．M N ù D ．M ∩=N ? 7、1)3()(2-++=x a x x f 在),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是( ) A.5-≤a B. 5-≥a C.1-a 8、下列四个函数中，满足“对任意12,(0,)x x ∈+∞，都有1212[()()]()0f x f x x x -->”的是（） A.()3f x x =- B.2()3f x x x =- C.()f x x =- D.1 ()1f x x =-+ 9、若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2) ()1f x g x x =-的定义域是（） A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1][1,4] D.(0,1) 10、若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在区间)0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使0)(