第三章 函数
第13课时 反比例函数的图象、性质及应用
(建议答题时间:120分钟)
基础过关
1. (2016哈尔滨)点(2,-4)在反比例函数y =k
x 的图象上,则下列各点在此函数图象上的是
( )
A. (2,4)
B. (-1,-8)
C. (-2,-4)
D. (4,-2)
2. (2016厦门)已知压强的计算公式是P =F
S .我们知道,刀具在使用一段时间后,就会变钝,
如果刀刃磨薄,刀具就会变得锋利,下列说法中,能正确解释刀具变得锋利这一现象的是( )
A. 当受力面积一定时,压强随压力的增大而增大
B. 当受力面积一定时,压强随压力的增大而减小
C. 当压力一定时,压强随受力面积的减小而减小
D. 当压力一定时,压强随受力面积的减小而增大
3. (2016沈阳)如图,在平面直角坐标系中,点P 是反比例函数y =k
x (x >0)图象上的一点,分
别过点P 作P A ⊥x 轴于点A ,PB ⊥y 轴于点B. 若四边形OAPB 的面积为3,则k 的值为( ) A. 3 B. -3 C. 32 D. -3
2
第3题图
4. (2016铜仁)如图,在同一直角坐标系中,函数y =k
x
与y =kx +k 2的大致图象是( )
5. (2016临沂)如图,直线y =-x +5与双曲线y =k
x
(x >0)相交于A ,B 两点,与x 轴相交于C
点,△BOC 的面积是52.若将直线y =-x +5向下平移1个单位,则所得直线与双曲线y =k
x (x >0)
的交点有( )
第5题图
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 0个,或1个,或2个 6. (2016荆州)若12x m -
1y 2与3xy n
+1
是同类项,点P(m ,n)在双曲线y =a -1
x
上,则a 的值为
______.【
7. (2016天门)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I (单位:A)与电阻R (单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.如果以此蓄电池为电源的用电器,其限制电流不能超过10 A ,那么用电器可变电阻R 应控制的范围是________.
第7题图 第8题图
8. (2016漳州)如图,点A 、B 是双曲线y =6
x 上的点,分别过点A ,B 作x 轴和y 轴的垂线段,
若图中阴影部分的面积为2,则两个空白矩形面积的和.
为________. 9. (2016陕西)已知一次函数y =2x +4的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点.若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C ,且AB =2BC ,则这个反比例函数的表达式为________.
10. (2016江西)如图,直线l ⊥x 轴于点P ,且与反比例函数y 1=k 1x (x >0)及y 2=k 2
x (x >0)的图
象分别交于点A ,B ,连接OA ,OB ,已知△OAB 的面积为2,则k 1-k 2=__________.
第11题图 第10题图
11. (2016南通一模)如图,矩形ABCD 中,AB =2AD ,点A (0,1),点C 、D 在反比例函数y =k
x (k >0)的图象上,AB 与x 轴的正半轴相交于点E ,若E 为AB 的中点,则k 的值为________. 12. (2016鄂州)如图,已知直线y =k 1x +b 与x 轴、y 轴相交于P 、Q 两点,与y =k 2
x 的图象相
交于A (-2,m )、B (1,n )两点,连接OA 、OB .给出下列结论:①k 1k 2<0;②m +1
2n =0;③S △AOP
=S △BOQ ;④不等式k 1x +b>k 2
x
的解集是x <-2或0 第12题图 13. (2015衡阳)某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物实验,首次用于临床人体试验,测得成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药时间x (时)之间函数关系如图所示(当4≤x ≤10时,y 与x 成反比例). (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式; (2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时? 第13题图 14. (2016武汉)已知反比例函数y =4 x . (1)若该反比例函数的图象与直线y =kx +4(k ≠0)只有一个公共点,求k 的值; (2)如图,反比例函数y =4 x (1≤x ≤4)的图象记为曲线C 1,将C 1向左平移2个单位长度,得曲 线C 2.请在图中画出C 2,并直接写出C 1平移至C 2处所扫过的面积. 第14题图 15. (2016枣庄)如图,在矩形OABC 中,OA =3,OC =2,F 是AB 上的一个动点(F 不与A ,B 重合),过点F 的反比例函数y =k x 的图象与BC 边交于点E . (1)当F 为AB 的中点时,求该函数的解析式; (2)当k 为何值时,△EF A 的面积最大,最大面积是多少? 第15题图 16. (2016重庆A 卷)在平面直角坐标系中,一次函数y =ax +b (a ≠0)的图象与反比例函数y =k x (k ≠0)的图象交于第二、第四象限内的A ,B 两点,与y 轴交于C 点.过点A 作AH ⊥y 轴,垂足为H ,OH =3,tan ∠AOH =4 3,点B 的坐标为(m ,-2). (1)求△AHO 的周长; (2)求该反比例函数和一次函数的解析式. 第16题图 17. (2016安徽)如图,一次函数y =kx +b 的图象分别与反比例函数y =a x 的图象在第一象限交 于点A (4,3),与y 轴的负半轴交于点B ,且OA =OB . (1)求函数y =kx +b 和y =a x 的表达式; (2)已知点C (0,5),试在该一次函数图象上确定一点M ,使得MB =M C.求此时点M 的坐标. 第17题图 18. (2016贵阳)如图,在平面直角坐标系中,菱形OBCD 的边OB 在x 轴上,反比例函数y =k x (x >0)的图象经过菱形对角线的交点A ,且与边BC 交于点F ,点A 的坐标为(4,2). (1)求反比例函数的表达式; (2)求点F 的坐标. 第18题图 满分冲关 1. (2016杭州)设函数y =k x (k ≠0,x >0)的图象如图所示,若z =1 y ,则z 关于x 的函数图象可 能为( ) 第1题图 第2题图 2. (2016长春)如图,在平面直角坐标系中,点P (1,4)、Q (m ,n )在函数y =k x (x >0)的图象上, 当m >1时,过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足为点A 、B ;过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足为点C 、D .QD 交P A 于点E.随着m 的增大,四边形ACQE 的面积( ) A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 3. (2016淄博)反比例函数y =a x (a >0,a 为常数)和y =2 x 在第一象限内的图象如图所示,点M 在y =a x 的图象上,MC ⊥x 轴于点C ,交y =2x 的图象于点A ;MD ⊥y 轴于点D ,交y =2 x 的图 象于点B .当点M 在y =a x 的图象上运动时,以下结论: ①S △ODB =S △OCA ; ②四边形OAMB 的面积不变; ③当点A 是MC 的中点时,则点B 是MD 的中点. 其中正确结论的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第3题图 第4题图 4. (2016昆明)如图,反比例函数y =k x (k ≠0)的图象经过A 、B 两点,过点A 作AC ⊥x 轴,垂 足为C ,过点B 作BD ⊥x 轴,垂足为D ,连接AO ,连接BO 交AC 于点E ,若OC =CD ,四边形BDCE 的面积为2,则k 的值为________. 5. (2016滨州)如图,已知点A ,C 在反比例函数y =a x 的图象上,点B ,D 在反比例函数y =b x 的图象上,a>b>0,AB ∥CD ∥x 轴,AB ,CD 在x 轴的两侧,AB =34,CD =3 2,AB 与CD 间 的距离为6,则a -b 的值是________. 第5题图 第6题图 6. (2016眉山)如图,已知点A 是双曲线y = 6 x 在第三象限分支上的一个动点,连接AO 并延长交另一分支于点B ,以AB 为边作等边三角形ABC ,点C 在第四象限内,且随着点A 的运动,点C 的位置也在不断变化,但点C 始终在双曲线y =k x 上运动,则k 的值是__________. 7. (2016黄冈)如图,已知点A (1,a )是反比例函数y =-3x 的图象上一点,直线y =-12x +1 2与 反比例函数y =-3 x 的图象在第四象限的交点为点B . (1)求直线AB 的解析式; (2)动点P (x ,0)在x 轴的正半轴上运动,当线段P A 与线段PB 之差达到最大时,求点P 的坐标. 第7题图 8. (2016金华)如图,直线y = 33x -3与x ,y 轴分别交于点A ,B ,与反比例函数y =k x (k >0)图象交于点C ,D ,过点A 作x 轴的垂线交该反比例函数图象于点E. (1)求点A 的坐标; (2)若AE =AC . ①求k 的值; ②试判断点E 与点D 是否关于原点O 成中心对称?并说明理由. 第8题图 9. (2016兰州)如图,在平面直角坐标系中,OA ⊥OB ,AB ⊥x 轴于点C ,点A (3,1)在反比例函数y =k x 的图象上. (1)求反比例函数y =k x 的表达式; (2)在x 轴的负半轴上存在一点P ,使得S △AOP =1 2 S △AOB ,求点P 的坐标; (3)若将△BO A 绕点B 按逆时针方向旋转 60°得到△BDE ,直接写出点E 的坐标,并判断点E 是否在该反比例函数的图象上,说明理由. 第9题图 答案 基础过关 1. D 【解析】对于反比例函数图象上的点,横纵坐标的乘积为一定值,即为k ,由题知,A (2,-4)在反比例图象上,则k =2×(-4)=-8,所以只需要某个点的横纵坐标的乘积等于-8,则该点就在这个反比例函数图象上.不难得到,只有D 选项中4×(-2)=-8. 2. D 【解析】由P =F S 可知,当受力面积S 一定时,压强P 和压力F 是正比例函数, 因为S >0,所以压强随压力的增大而增大,排除B 选项;当压力F 一定时,压强P 和受力面积S 是反比例函数,因为F >0,所以压强随受力面积的减小而增大,排除C 选项.但根据题意刀刃磨薄,刀具就会变得锋利,可以知道是受力面积变小,其压力不变时,压强随受力面积的减小而增大,则D 正确. 3. A 【解析】根据反比例函数k 的几何意义可知|k |=S =3,∵反比例函数图象在第一象限,∴k =3. 4. C 【解析】当k >0时,反比例函数y =k x 图象的两个分支分别位于第一、三象限,直 线y =kx +k 2经过第一、二、三象限,没有符合题意的选项;当k <0时,反比例函数y =k x 图 象的两个分支分别位于第二、四象限,直线y =kx +k 2经过第一、二、四象限,只有C 符合题意. 5. B 【解析】由直线y =-x +5可知C(5,0),即OC =5,设点B 的坐标为(m ,n ).如解图,过点B 作BD ⊥OC 于点D.则BD =n.∵△BOC 的面积是52,∴12×5n =5 2.解得n =1.将(m , 1)代入y =-x +5,求得m =4.∴点B 的坐标为(4,1).∵点B(4,1)在双曲线y =k x 上,∴k =4,即双曲线的解析式为y =4 x .将直线y =-x +5向下平移1个单位所得直线的解析式为y =-x +4.建立方程组?????y =-x +4y =4x ,消去y ,得-x +4=4 x ,即x 2-4x +4=0.其判别式b 2-4a c =(-4)2-4×1×4=0.∴此一元二次方程有两个相等的实数根,从而可知双曲线与平移后的直线有且只有一个交点. 第5题解图 6. 3 【解析】由同类项的定义,得m -1=1,n +1=2,解得m =2,n =1.∴a -1=m·n =2,∴a =3. 7. R ≥3.6(不考虑单位) 【解析】∵电流I 与电阻R 是反比例函数关系,且函数图象过点(9,4),∴该反比例函数解析式为I =36R ,当I ≤10时,36 R ≤10,解得R ≥3.6. 8. 8 【解析】设两个空白矩形面积分别为S 1、S 2,则根据反比例函数的几何意义得S 1 +2=S 2+2=6,∴S 1=S 2=4,所以两个空白矩形的面积的和为S 1+S 2=8. 9. y =6 x 【解析】根据题意画出图象如解图,过点C 作CD ⊥y 轴于点D ,分别令y =0, x =0,得x =-2,y =4,∴点A (-2,0),B(0,4),则OB =4,OA =2,又∵CD ∥OA ,∴△CDB ∽△AOB ,∴CD AO =BD BO =BC BA ,∵AB =2BC ,∴BC AB =12,∴CD 2=BD 4=1 2,解得CD =1, BD =2,∴OD =6,∴点C 的坐标为(1,6),设反比例函数的解析式为y =k x ,将点C 的坐标 代入得6=k 1,解得k =6,∴反比例函数的解析式为y =6 x . 第9题解图 10. 4 【解析】设点A 的横坐标为m ,根据题意,得点A (m ,k 1m ),点B (m ,k 2 m ),∵S △ABO =12·AB·OP ,即12·(k 1-k 2 m )·m =2,解得k 1-k 2=4. 11. 3+5 2 【解析】如解图,过点D 作DF ⊥y 轴于点F ,过B 点作x 轴的平行线与过C 点垂直于x 轴的直线交于点G ,CG 交x 轴于点K ,作BH ⊥x 轴于点H ,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD =90°,∴∠DAF +∠OAE =90°,∵∠AEO +∠OAE =90°,∴∠DAF = ∠AEO ,∵AB =2AD ,E 为AB 的中点,∴AD =AE ,在△ADF 和△EAO 中,???? ?∠AFD =∠AOE ∠DAF =∠AEO AD =AE , ∴△ADF ≌△EAO (AAS),∴DF =OA =1,AF =OE ,∴D (1,k ),∴AF =k -1,同理:△AOE ≌△BHE ,△ADF ≌△CBG ,∴BH =BG =DF =OA =1,EH =CG =OE =AF =k -1,∴OK =2(k -1)+1=2k -1,CK =k -2,∴C (2k -1,k -2),∴(2k -1)(k -2)=1·k ,解得:k 1=3+52,k 2=3-52,∵k -1>0,∴k =3+5 2 . 第11题解图 12. ②③④ 【解析】∵直线y =k 1x +b 图象经过第二、三、四象限,反比例函数y = k 2 x 图象经过第二、四象限,∴k 1<0,k 2<0,于是k 1k 2>0,故①错误;把A 、B 坐标代入反比例函数解析式得,m = k 2-2,n = k 2,∴m =n -2 ,即:m +1 2n =0,故②正确;由②得,m = -12n ,即A (-2,-1 2n ),B(1,n ),将它们代入y = k 1x +b 中,得?????-12n =-2k 1+b n =k 1+b ,解得???k 1=1 2n b =12n ,∴直线的解析式为y =12nx +12n ,∴P (-1,0)、Q (0, 12n ),S △AOP =12×1×(-12n ),S △BOQ =12×(- 12n)×1,∴S △AOP =S △BOQ ,故③正确;根据图象可知不等式k 1x +b>k 2 x 的解集为:x <-2或0<x <1,故④正确;综上可知,正确的有②③④. 13. 解:(1)当0≤x ≤4时,设直线解析式为y =kx , 将(4,8)代入得8=4k , 解得k =2, 故直线解析式为y =2x ; 当4≤x ≤10时,设反比例函数解析式y =a x , 将(4,8)代入得8=a 4 , 解得a =32, 故反比例函数解析式为y =32 x ; 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y =2x (0≤x ≤4); 下降阶段的函数关系式为y = 32 x (4≤x ≤10); (2)当y =4时,代入y =2x ,得4=2x ,解得x =2, 代入y =32x ,得4=32 x ,解得x =8, ∵8-2=6(小时), ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为6小时. 14. 解:(1)由?????y =4x y =kx +4,得kx 2+4x -4=0, ∵反比例函数的图象与直线y =kx +4只有一个交点, ∴b 2-4ac =16+16k =0,解得k =-1; (2)作图如解图,连接AB 、DE ,则C 1平移到C 2处所扫过的面积等于平行四边形ABED 的面积为2×3=6. 第14题解图 15. 解:(1)在矩形OABC 中,OA =3,OC =2, ∴B (3,2), ∵F 为AB 的中点, ∴F (3,1), ∵点F 在反比例函数y =k x (k >0)的图象上, ∴k =3, ∴该函数的解析式为y =3 x (x >0); (2)由题意知E ,F 两点坐标分别为E (k 2,2),F (3,k 3 ), ∴S △EFA =1 2AF·BE =12×k 3(3-12k ) =12k -112 k 2 =-1 12(k 2-6k +9-9) =-112(k -3)2+34 , ∴当k =3时,S 有最大值,即此时△EF A 的面积最大,最大面积为34. 16. 解:(1)在Rt △AOH 中,tan ∠AOH =4 3,OH =3, ∴AH =OH ·tan ∠AOH =4, ∴AO =OH 2+AH 2=5, ∴△AOH 的周长=AO +OH +AH =5+3+4=12. (2)由(1)得,A (-4,3), 把A (-4,3)代入反比例函数y =k x 中,得k =-12, ∴反比例函数解析式为y =- 12x ; 把B(m ,-2)代入反比例函数y =-12 x 中,得m =6, ∴B(6,-2), 把A (-4,3),B (6,-2)代入一次函数y =ax +b 中,得 ?????6a +b =-2 -4a +b =3, 解得?? ???a =-1 2b =1 , ∴一次函数的解析式为y =-1 2x +1. 17. 解:(1)∵点A (4,3), ∴OA =42+32=5. ∵OB =OA =5, ∴B(0,-5), 将点A (4, 3)、点B (0,-5)代入函数y =kx +b 得, ?????4k +b =3b =-5,解得? ????k =2b =-5, ∴一次函数y =kx +b 的解析式为y =2x -5; 将点A(4, 3)代入y =a x 得,3=a 4, ∴a =12, ∴所求反比例函数的表达式为y =12 x ; (2)∵点B 的坐标为(0,-5),点C 的坐标为(0, 5), 第17题解图 ∴x 轴是线段BC 的垂直平分线, 又∵MB =MC , ∴点M 在x 轴上, 又∵点M 在一次函数图象上, ∴点M 为一次函数的图象与x 轴的交点,如解图, 令2x -5=0,解得x =5 2, ∴此时点M 的坐标为(5 2 , 0). 18. 解:(1)∵反比例函数y =k x (k >0)图象过点A (4,2), ∴k =4×2=8. ∴反比例函数的表达式为y =8x ; (2)如解图,分别过点A 、F 、C 作AM ⊥x 轴于点M ,FE ⊥x 轴于点E ,CN ⊥x 轴于点N. 第18题解图 ∵A (4,2), ∴AM =2. ∵四边形OBCD 是菱形, ∴OB =CB ,OA =AC . ∵AM ∥FE ∥CN , ∴△OAM ∽△OCN ,且A 为OC 中点, ∴CN =2AM =4,ON =2OM =8. 在Rt △BCN 中,设CB =x , 则BN =8-x ,由勾股定理知,x 2-(8-x )2=42. 解得x =5,∴BN =3. 设F (a ,b ), a >0,b >0. ∵EF ∥CN ,易证△BFE ∽△BCN , ∴FE ∶CN =BE ∶BN . ∴b ∶4=(a -5)∶3, 又∵F (a ,b )在反比例函数y =8 x 图象上, ∴b =8a . ∴8 a 4=a -53,解得a 1=6,a 2=-1(舍去). ∴ b =86=43 . ∴点F 的坐标为(6,4 3). 满分冲关 1. D 【解析】函数y =k x (k ≠0,x >0)的图象在第一象限,则k >0,x >0.由已知得z =1 y = 1k x =x k ,所以z 关于x 的函数图象是一条射线且取不到原点,且在第一象限. 2. B 【解析】设矩形BDEP 和矩形OAED 的面积分别为S 1、S 2.∵S 1+S 2=S 阴+S 2=k ,∴S 阴=S 1,∵P (1,4),∴当m >1时,点Q 在点P 的右侧.此时y 随x 的增大而减小,∴BP 不变,PE 增大,则S 1增大,故S 四边形ACQE 增大. 3. D 【解析】S △DBO =S △OCA = |k| 2 =1,故①正确;S 四边形OAMB =a -S △ODB -S △OCA =a -2,∴四边形OAMB 的面积不变,故②正确;如解图,连接OM ,∵四边形DOCM 是矩形,∴S △MDO =S △MCO ,∵S △ODB =S △OCA ,∴S △BMO =S △AMO ,∵A 是MC 的中点,∴S △MOA =S △COA ,∴S △BDO =S △BMO ,∴DB =BM ,∴点B 是MD 的中点,故③正确,故选D. 第3题解图 4. -16 3 【解析】∵AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,∴AC ∥BD ,∴△OCE ∽△ODB ,∴ S △OCE S △ODB =( OC OD )2,∵OC =CD =1 2OD ,∴S △OCE S △ODB =(12 )2=14,设S △OCE =a ,则S △ODB =4a ,∴S 四边形BDCE =3a ,∴3a =2,解得a =23,∴S △OBD =4a =83.∵12|k |=S △ODB ,即12|k |=83,解得k =±16 3,∵反 比例函数图象的一支在第二象限,∴k <0,∴k =-16 3 . 5. 3 【解析】设点A 的纵坐标为y 1,点C 的纵坐标为y 2,∵AB ∥CD ∥x 轴,∴点B 的纵坐标为y 1,点D 的纵坐标为y 2,∵点A 在函数y =a x 的图象上,点B 在函数y =b x 的图象 上,且AB =34,∴a y 1-b y 1=3 4,∴y 1=4(a -b )3,同理y 2=2(b -a )3,又∵AB 与CD 间的 距离为6,∴y 1- y 2=4(a -b )3-2(b -a ) 3 =6,解得a -b =3. 第6题解图 6. -36 【解析】∵随着点A 的运动,点C 始终在双曲线上运动,因此只需得到一个特殊的点C 的坐标,即可得到双曲线解析式,∵点A 、B 关于原点O 对称,△ABC 是等边三角形,∴OC ⊥AB ,由此不妨设∠BOx =30°,如解图,过点B 作BD ⊥x 轴于点D ,则OD =3BD ,BO =2BD ,CO =3BO =23BD .∵点B 在双曲线y = 6 x 上,∴OD·BD =6,解得BD =42,则OC =23×4 2.如解图,过点C 作CE ⊥x 轴于点E ,则∠COE =60°,∴OE =12OC =3×42,CE =32OC =342,∵点C 在第四象限,∴点C 的坐标为(3×42,-342),∴k =3×42×(-342)=-3 6. 7. 解:(1)将点A (1,a )代入y =-3 x 中,得a =-3, 则点A 为(1,-3). 第7题解图 联立方程???y =- 3x y =-12x +1 2 , 解得?????x 1=3 y 1=-1或? ????x 1=-2 y 1= 3 2. ∵点B 在第四象限, ∴点B 为(3,-1). 设直线AB 的解析式为y =kx +b ,将点A (1,-3)和点B (3,-1)代入得: ?????k +b =-33k +b =-1,解得? ????k =1b =-4, 故直线AB 解析式为y =x -4; (2)当点P 、A 、B 三点不在同一直线上时,总有P A -PB <AB ; 当点P 、A 、B 三点在同一直线上时,有P A -PB =AB ; 综上知P A -P B ≤AB. ∴点P 、A 、B 三点共线时,线段P A 与线段PB 之差最大,即点P 在直线AB 上,如解图, 在y =x -4中,当y =0时,x =4, ∴点P 的坐标为(4,0). 8. 解:(1)当y =0时,得0= 3 3 x -3,解得x =3, 第8题解图 ∴点A 的坐标为(3,0); (2)①如解图,过点C 作CF ⊥x 轴于点F . 设AE =AC =t , 则点E 的坐标是(3,t ). 在Rt △AOB 中, tan ∠OAB =OB OA =3 3, ∴∠OAB =30°. 在Rt △ACF 中,∠CAF =30°, ∴CF =12t ,AF =AC cos30°=32t , ∴点C 的坐标是(3+32t ,1 2 t ). ∴(3+ 32t )×1 2 t =3t , 解得t 1=0(舍去),t 2=2 3. ∴k =3t =63; ②点E 的坐标为(3,23), 设点D 的坐标是(x ,3 3 x -3), ∴x ( 3 3 x -3)=63,解得x 1=6(舍去),x 2=-3, ∴点D 的坐标是(-3,-23), ∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称. 9. 解:(1)∵点A (3,1)在反比例函数y =k x 的图象上, ∴k =3×1= 3. ∴反比例函数的表达式为y =3x ; (2)∵A (3,1), ∴OC =3,AC =1, 易证△AOC ∽△OBC ,可得OC 2=AC·BC , ∴BC =3,∴B (3,-3), ∴S △AOB =12OC·AB =12×3×4=23, ∵S △AOP =1 2S △AOB =3, 设P (m ,0), ∴12·|m |·AC =3, ∴|m |=23, ∵P 是x 轴负半轴上一点, ∴m =-23, 第9题解图 ∴P (-23,0); (3)将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转60°得到△BDE ,如解图. 此时E(-3,-1),点E 在反比例函数y =3 x 的图象上,理由如下: ∵(-3)×(-1)=3, ∴点E 在反比例函数y =k x 的图象上.