中学解题数学思想方法与解题方法 第一部分：数学思想方法 数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的结果,它是对数学事实与数学理论的本质认识,而数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法。数学思想与数学方法是数学知识中莫基性成分,是学生获得数学能力必不可少的。 一、函数与方程思想 函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。 所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。 所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。 高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。 二、数形结合思想 数形结合的思想和方法数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。 数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题;而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。 数形结合思想研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面由数思形，由形思数数形结合，用形解决数的问题。在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。 三、分类与整合思想 分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。 1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法 2)从具体出发，选取适当的分类标准；划分只是手段，分类研究才是目的
初一数学整体代入法求代数式的值专项训练 1、若m n 、互为相反数，则5m+5n-5的值是 2、已知b a 、互为相反数，c d 、互为倒数，则代数式2()3a b cd +-的值为 3、已知2x-y=3,则1-4x+2y= 3、 若m 2-2m= 1，求代数式2m 2-4m+2011的值. 4、已知2x-3y-4=0，求代数式（2x-3y ）—4x+6y-7的值？ 5、当1 3b a +=,则代数式212(1) )1b b a a ++-+（的值为 6、已知2135b a +=-，求代数式2( 2) 3 33(2)b a a b +---+的值 7、已知14a b a b -=+，求代数式2()3()a b a b a b a b -+-+-的值 8、当2a b +=时，求代数式2()2()3a b a b +-++的值。 9、当4,1a b ab +==时，求代数式232a ab b ++的值。 10、若3a b ab -=，求代数式222a b ab a b ab ---+的值。
11、当110,5 x y xy +=-= 时，求7157x xy y -+的值。 12、若2232x y +-的值为6，求28125x y ++的值。 13、已知代数式23x x ++的值为7，求代数式2223x x +-的值 。 例14、若1x =时，代数式34ax bx ++的值为5，则当1x =-时，代数式34ax bx ++的值为 多少？ 15、已知y ax bx =++3 3，当x =3时y =-7，则求x =-3时，y 的值。 16、若-2x =时，代数式535ax bx cx ++-的值为9，则2x =时，代数式53+7 ax bx cx ++的值是多少？
分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0 《解二元一次方程组》典型例题 例1 解方程组???=++=++)2( .0765 (1) ,0432y x y x 例2 解方程组 ??? ??-=-++=-+)2(52 25123)1(0 223x y x y x 例3 解方程组???=--=)2(123) 1(12y x x y 例4 用代入法解方程组???≠=-+-=+).3()2(2)2(, 5a x y a x y x 例5 解下列方程组：（1）???=-++=--+6)(4)(22)(3)(5y x y x y x y x （2）?????? ?-=- =+197 543 2 y x y x 例6 解方程组???=-+--=-）（）（2 .5)1()2(21 ),1(22y x y x 例7 若???-==23y x 是方程组????? =+=+531 2 1ny mx ny mx 的解，求n m 2-的值. 例8 解方程组???????=-=+）（）（2 .2 3 431 ,2 13 32y x y x 例9 用代入法解二元一次方程组???=+=-) 2(825) 1(73y x y x 参考答案 例 1 分析： 先从方程组中选出一个方程，如方程（1），用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，把它代入另一个方程中，得到一个一元一次方程，解这个方程求出一个未知数的值，再代入求另一个未知数的值. 解： 由（1），得2 4 3--= y x ， （3） 把（3）代入（2）中，得0762 4 35=++--? y y ，解得2-=y 把2-=y 代入（3）中，得2 4 )2(3--?-=x ，∴ 1=x ∴ ? ??-==.2,1y x 是原方程组的解. 例2 解：由（1）得 223=+y x （3） 把（3）代入（2），得 522512-=-+x ，解得 2 1 =x . 把21=x 代入（3），得 22213=+?y ，解得 4 1=y . ∴ 方程组的解为 ???? ?? ? ==.4 1,21 y y 说明： 将y x 23+作为一个整体代入消元，这种方法称为整体代入法，本题把y x 23+看作一个整体代入消元比把（1）变形为2 32x y -=再代入（2）简单得多. 例3 分析：由于方程（1）和（2）中同一字母（未知数）表示同一个数，因此将（1）中y 的值代入（2）中就可消去y ，从而转化为关于x 的一元一次方程. 解：将（1）代入（2），得 1)12(23=--x x ，解得，1=x . 把1=x 代入（1）得 1112=-?=y ， ∴ 方程组的解为 ? ??==.1, 1y x 例4 分析：首先观察方程组，发现方程x y a x =-+-)2(2)2(的形式不是很好， 中考复习——化简求值问题（整体代入法） 一、选择题 1、已知a 2+3a =1，则代数式2a 2+6a -1的值为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2、已知a -b =2，则代数式2a -2b -3的值是（ ）． A. 1 B. 2 C. 5 D. 7 3、已知x 2-2x -3=0，则2x 2-4x 的值为（ ）． A. -6 B. 6 C. -2或6 D. -2或30 4、已知a +b =1 2，则代数式2a +2b -3的值是（ ）． A. 2 B. -2 C. -4 D. -31 2 5、若2a -3b =-1，则代数式4a 2-6ab +3b 的值为（ ）． A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 6、如果a 2+2a -1=0，那么代数式（a -4 a ）·2 2a a -的值是（ ）． A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 7、已知：11a b -=13，则ab b a -的值是（ ）． A. 13 B. -1 3 C. 3 D. -3 8、已知1 1 x y -=3，则代数式232x xy y x xy y +---的值是（ ）． A. -7 2 B. -11 2 C. 9 2 D. 3 4 9、若2a =3b =4c ，且abc ≠0，则2a b c b +-的值是（ ）． A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 10、已知x +y x -y x -y +4xy x y -）（x +y -4xy x y +）的值是（ ）． A. 48 B. C. 16 D. 12 二、填空题 11、已知a 2+a =1，则代数式3-a -a 2的值为______． 高中数学解题基本方法——换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉 的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin2α，α∈[0,π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中 主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S 2 ＋t，y＝ S 2 －t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例 中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x2＋1)＝log a (4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n+1 ·a n ＝a n+1 －a n ，则数列通项a n ＝___________。 4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程13 13 + + -x x ＝3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x－1) ·log 2 (2x+1－2)〈2的解集是_______________。 整式的化简求值（整式的乘除）-整体代入法专题练习 一、选择题 1、如果代数式3x2-4x的值为6，那么6x2-8x-9的值为（）． A. 12 B. 3 C. 3 2 D. -3 答案：B 解答：6x2-8x-9=2（3x2-4x）-9=2×6-9=3． 2、已知a2-3=2a，那么代数式（a-2）2+2（a+1）的值为（）． A. -9 B. -1 C. 1 D. 9答案：D 解答：原式=a2-4a+4+2a+2 =a2-2a+6 ∵a2-3=2a， ∴a2-2a=3， ∴原式=3+6=9． 选D. 3、若代数式x2-1 3 x的值为6，则3x2-x+4的值为（）． A. 22 B. 10 C. 7 D. 无法确定答案：A 解答：∵x2-1 3 x=6， ∴3x2-x+4=3（x2-1 3 x）+4=3×6+4=18+4=22． 选A. 4、如果3a2+5a-1=0，那么代数式5a（3a+2）-（3a+2）（3a-2）的值是（）． A. 6 B. 2 C. -2 D. -6 答案：A 解答：5a（3a+2）-（3a+2）（3a-2） =15a2+10a-9a2+4 =6a2+10a+4 =2·1+4 =6． 5、已知a-b=1，则代数式-2a+2b-3的值是（）． A. -1 B. 1 C. -5 D. 5答案：C 解答：-2a+2b-3 =-2（a-b）-3 =-2×1-3=-5，选C. 6、已知代数式3x2-4x的值为9，则6x2-8x-6的值为（）． A. 3 B. 24 C. 18 D. 12答案：D 解答：∵3x2-4x=9， ∴6x2-8x=18， ∴6x2-8x-6=12， 选D. 7、如果a2+4a-4=0，那么代数式（a-2）2+4（2a-3）+1的值为（）． A. 13 B. -11 C. 3 D. -3答案：D 解答：由a2+4a-4=0可得：a2+4a=4， 原式=a2-4a+4+8a-12+1=a2+4a-7=4-7=-3． 选D. 8、已知2x-3y+1=0且m-6x+9y=4，则m的值为（）． A. 7 B. 3 C. 1 D. 5答案：C 解答：∵2x-3y+1=0， ∴2x-3y=-1， 又∵m-6x+9y=4， ∴m-3（2x-3y）=4， ∴m+3=4， ∴m=1． 9、已知a+b=3，ab=1，则a2b+ab2的值为（）． 初中数学解题思想方法 数学解题思想方法有配方法、换元法、判别式法、待定系数法、消元法。以上是解题技 巧上的思想方法，比它们更具有普遍意义的思想方法有转化与化简思想方法、数学结合思想方法、归纳猜想、分类讨论、函数与方程思想等。在数学解题过程中我们要养成灵活运用数学思想方法的意义和习惯。 联想在解题中起着重要的作用，从自己的大脑知识仓库中找出与要解题目接 很相似 的原理、方法或结论，变通使用这些知识使问题得以解决。 一、配方法：是指将代数式通过配凑等途径，得到完全平方式或立方式，它广泛应用于 初中数学的各个方面，代数式的化简求值、解方程（组）、求最值等方面。 例1、求5245422 2-+-++y x y xy x 的最小值。 例2、设a ，b 为实数，求b a b ab a 222--++的最小值。 例3、在直角坐标中，有三点A （0，1），B （1，3），C （2，6），已知b ax y +=上横 坐标为0，1，2的点分别为D 、E 、F ，试求：222CF BE AD ++的最小值。 例4、已知x ，y ，z 是实数，且 0))((4)2=----z y y x x z （，求y z x 2+的值。 例5．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ ）（2012） A ．18-. B ．0. C ．1. D ． 98. 例6 .已知a<0,动点11(,),(1,0),,A a a B A B AB a a +-定点则两点距离的最小值为 二、换元思想方法 根据问题的特征或关系适当引进辅助的元素，替换原问题中的数、字母或式子，从而使 原问题得以解决，这种通过引用变量替换来解决问题的思想方法叫做换元思想方法，它是数学解题的一种基本思想方法，有着广泛的应用。 例722011 例8、已知12433++=a ，求 32133a a a ++的值。 （其中0402≥-≠mq ，n m ） [跨国经营] 跨国公司外汇风险管理 刘胜军 张媛媛 (哈尔滨商业大学,黑龙江哈尔滨150028) [摘 要]外汇风险包括折算风险、交易风险和经济风险,是跨国公司在国际经营活动中面临的重要风险 之一。跨国公司可以利用资产负债表避险策略、合约性避险策略、经营性避险策略对外汇风险进行管理。本 文重点对转移定价和期权两种避险方法进行了介绍。 [关键词]跨国公司;外汇风险;避险策略 [中图分类号]F276.7 [文献标识码]A [文章编号]1002-2880(2009)01-0092-03 汇率波动对于有着大量国际交易活动、不可避免地频繁发生资本流动的跨国公司来说产生重大的影响,使跨国公司未来的经营成果和现金流量面临很大的不确定性,这种不确定性就称之为外汇风险。因此,跨国公司要经常预测汇率变化对公司收益稳定性可能的影响,并采取相应的措施避免或减少汇率风险所带来的损失。 一、外汇风险的分类 外汇风险主要有三种类型:折算风险、交易风险和经济风险。 (一)折算风险 跨国公司是由不同地域的母、子公司构成的经济实体,为了反映跨国公司整体的财务状况、经营成果和现金流量,母公司会在会计年末将子公司的财务报表与母公司进行合并。通常情况下海外子公司的财务报表采用所在国当地货币作为计账本位币,所以当母公司以本币计账的会计报表合并时,就会出现发生交易日的汇率与折算日汇率不一致的情况,从母公司的角度看,海外子公司按照国外当地货币计量的资产、负债的价值也将发生变化,这就是跨国公司所面临的折算风险。其中,承受本外币转换风险的资产与负债成为暴露资产和暴露负债,由于暴露资产与暴露负债的风险可以相互抵消,故企业总的折算风险就取决于二者之间的差额。折算损益的大小,主要取决于两个因素:一是暴露在汇率变动风险之下的有关资产和负债项目相比的差额;二是汇率变动的方向,即外汇是升值还是贬值。如果暴露资产大于暴露负债,当外汇升值时将会产生折算利得,贬值时将会产生折算损失。反之亦然。 (二)交易风险 交易风险指一个经济实体在其以外币计价的跨国交易中,由于签约日和履约日之间汇率导致的应收资产或应付债务的价值变动的风险,是汇率变动对将来现金流量的直接影响而引起外汇损失的可能性。例如,在国际市场活动中发生的以外币计价的、凡已经成立或达成合同的外币事项,像应收、应付账款、外币借贷款项、远期外汇合约以及已经签订的贸易合同或订单等,因汇率变动造成的损失称之为交易风险。其风险的产生源于两点: 一是期间性。即外币事项自交易发生时点至结清时点相距一定时间,对于交易双方来说,在此期间的汇率变动有可能产生损益;二是兑换性。即指外币事项在收付实现时,将外币兑换为本国货币(或另一种外币)或将本国货币兑换为外币过程中发生的损益。对于跨国公司来讲,只要发生以外币计价的对外销售的交易日与实际结算的收汇日不一致,就会存在由于汇率变动产生的实际多收或少收外币的可能性。 (三)经济风险 经济风险是指意料之外的汇率变化对公司未来国际经营的盈利能力和现金流量产生影响的一种潜在风险。汇率变动通过对公司未来产品价格、成本和数量等的影响,导致企业的收益发生变化。既包括潜在的汇率变化对企业产生的现金流动所造成的现期和潜在的影响,也包括在这些变化发生的会计期间以外对整个企业获利能力的影响。 二、跨国公司外汇风险管理 针对跨国公司面临的不同类型的外汇风险,相应的管理措施包括:资产负债表避险策略、合约性避险策略和经营性避险策略。 (一)资产负债表避险策略 资产负债表避险策略是通过调整公司暴露资产和暴露负债的大小来降低风险的方式。由于折算风险的根源在于用同一种外币计量的净资产和净负债不匹配,一般可以采用资产负债表抵补保值的风险管理策略,即调整处于不平衡状态的外币资产与负债,使暴露资产与暴露负债达到均衡。当预期子公司所在国货币相对于母公司所在国货币升值时,应尽可能增加资产和减少负债;反之,应尽可能减少资产和增加负债,应该尽可能减少暴露在外汇风险中的净资产。而该策略当子公司国货币预期贬值时对于交易风险和经济风险的规避的方法为:A.保持维持公司当前经营活动所需的最小水平的当地货币现金余额;B.将超过资本扩张所需的利润转移到母公司;C.加速当地货币应收账款的收款;D.延迟当地货币应付账款的付款;E.将过量资金投资于当地货币存货或其他受货币贬值影响较小的资产;F.投资于较坚挺的外币资产。 — 29— 2009年第1期 总第175期黑龙江对外经贸 H LJ F oreign Economic Relations &T rade N o.1,2009 Serial N o.175 高中数学19种答题方法及6种解题思想一．十九种数学解题方法 1.函数 函数题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。 2.方程或不等式 如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 3.初等函数 面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……； 4.选择与填空中的不等式 选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法； 5.参数的取值范围 求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法； 6.恒成立问题 恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏； 7.圆锥曲线问题 圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式； 8.曲线方程 求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）； 9.离心率 求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可； 10.三角函数 三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围； 11.数列问题 数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想； 12.立体几何问题 立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题； 13.导数 导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上； 高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用 函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。 函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例) 本文列举几例分类剖析： 一、方程思想 1.知三求二 等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的. 例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值. 解(1)由a10=a1+9d=30， a20=a1+19d=50， 解得a1=12， 因为n∈N*，所以n=11. 2.转化为基本量 在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得. 例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8. 解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1) 由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8. 将a1q3=―8代入(1)， 得q2=―2(舍去); 将a1q3=8代入(1)，得q=±2. 当q=2时，a1=1，S8=255; 当q=―2时，a1=―1，S8=85. 第2 西瓜开门 滚到成功 ●计名释义 比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”. 数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号. ●典例示范 ［题1］ (2006年赣卷第5题) 对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f '(x )≥0，则必有 A. f (0)＋f (2)< 2f (1) B. f (0)＋f (2)≤2 f (1) C. f (0)＋f (2)≥ 2f (1) D. f (0)＋f (2)>2f (1) ［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件(x -1)f ＇(x )≥0中暗示得极为显目. 其一，对f ＇(x )有大于、等于和小于0三种情况； 其二，对x -1，也有大于、等于、小于0三种情况. 因此，本题破门，首先想到的是划分讨论. ［解一］ (i)若f ＇(x ) ≡ 0时，则f (x )为常数：此时选项B 、C 符合条件. (ii)若f ＇(x )不恒为0时. 则f ＇(x )≥0时有x ≥1，f (x )在[)∞,1上为增函数；f ＇(x )≤0时x ≤1. 即f (x )在(]1,-∞上为减函数. 此时，选项C 、D 符合条件. 综合(i)，(ii)，本题的正确答案为C. ［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f ＇(x ) ≡ 0的可能. 以为(x-1)f ＇(x ) ≥0中等号成立的条件只是x -1=0，其实x-1=0与f ＇(x )=0的意义是不同的：前者只涉x 的一个值，即x =1，而后是对x 的所有可取值，有f ＇(x ) ≡ 0. ［再析］ 本题f (x )是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f (0)，f (1)，f (2). 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想. ［解二］ (i)若f ＇(x )=0，可设f (x )=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件. (ii)f ＇(x )≠0. 可设f (x ) =(x-1)2 又 f ＇(x )=2(x-1). 满足 (x-1) f ＇(x ) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x )= (x-1)2. 有f (0)= f (2)=1，f (1)=0 选项C ，D 符合条件. 综合(i)，(ii)答案为C. ［插语］ 在这类 f (x )的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x -1)2. 如果在同类中找到了(x -1)4 ，(x-1)3 4 ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化. ［再析］ 本题以函数(及导数)为载体. 数学思想①——“函数方程(不等式)思想”. 贯穿始终，如由f '(x )= 0找最值点x =0，由f '(x )>0(<0)找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题. 由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到. ［解三］ (i)若f (0)= f (1)= f (2)，即选B ，C ，则常数f (x ) = 1符合 条件. (右图水平直线) (ii)若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.(右图上拱曲线)，但不满足条件(x -1) 目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 《解二元一次方程组》典型例题 例1解方程组 2x 3y 4 0, 5x 6y 7 0. 3x 2y 2 0 例2解方程组 3x 2v 1 2x 5 v 2x 1 例3解方程组V 3x 2y 1 例4用代入法解方程组 x y 5, (x 2)a 2(y 2) x(a 3). 3mx ny 5 △上空（1） 例8解方程组 232 八 3 （2） 3 4 2 例5解下列方程组：（1） 5(x y) 3(x y) 2 2(x y) 4(x y) 6 (2) 2 3 x y 5 7 x y 4 19 解方程组 x 2 2(y 1), 2(x 2) (y 1) (1 ) 3 3 是方程组 1 mx ny 2 1 的解，求m 2n 的值. (1) 3x y 7 (1) 例9 用代入法解二元一次方程组 5x 2y 8 (2) 参考答案 例1分析： 先从方程组中选出一个方程，如方程（1），用含有一个未知数的 代数式表示另一个未知数，把它代入另一个方程中，得到一个一元一次方程，解 1 '是原方程组的解. 2. y ???方程组的解为 y 说明：将3x 2y 作为一个整体代入消元，这种方法称为整体代入法，本题 2 3x 把3x 2y 看作一个整体代入消元比把（1）变形为y 再代入（2）简单得 2 多. 例3分析：由于方程（1）和（2）中同一字母（未知数）表示同一个数，因此 将（1）中y 的值代入（2）中就可消去y ，从而转化为关于x 的一元一次方程. 解：将（1）代入（2），得 3x 2（2x 1） 1，解得，x 1. 把x 1代入（1）得y 2 1 1 1， 这个方程求出一个未知数的值，再代入求另一个未知数的值 3y 4 处6y 7 2 3 （ 2） 4 解：由（1），得x 把（3） 代入（2）中，得5 2代入（3）中，得x (3) 例2解：由（1）得3x 2y (3) 把（3）代入（2），得 1 把x 2代入（3） ，得 2 "~5 3丄 2 2x 2y 2，解得y 1 2 1 4. 1 2, 4. 方程组的解为 x 1, y 1. 例4分析：首先观察方程组，发现方程 （x 2）a 2（y 2） x 的形式不是很好, 正难则反的“补集思想” 在集合运算中，大家都知道这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到底有何作用吗？本文将通过几个例题与大家一起探讨其作用。 例1．向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3个，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 分析:画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系． 解:赞成A 的人数为50×53=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A;赞成事 件B 的学生全体为集合B. 设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x,则对 A 、 B 都不赞成的学生人数为 3 x ＋1，赞成A 而不赞成B 的人数为30-x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33-x.依题意（30-x ）＋（33-x ）＋x ＋(3x ＋1)= 50，解得x=21.所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人． 评注：在学习集合知识的过程中，经常利用的数形结合方法有Venn 图法、数轴法等，运用数形结合能直观、准确地理解全集、补集的含义以及进行求补集的运算。如果一个问题正面入手困难时,可以运用补集思想,考虑其反面。 例2．若方程①x 2-2mx+m 2-m=0；②x 2-（4m+1）x+4m 2+m=0；③4x 2-（12m+4）x+9m 2+8m+12=0中至少有一个 有实根，求m 的范围。 分析：结论中“至少有一个方程有实根”的含义为：可能有一个方程有实根；可能有两个方程有实根；可能三个方程都有实根。若直接求,须分三大类七种情况,其过程不仅繁杂,而且极易出错,故不宜采用.不妨考虑结论的反面：三个方程都无实根时的情况。 解析：设原问题的反面：三个方程都无实根的范围为A,则原问题的所求m 的范围即为C R A. 三个方程都无实根等价于 ?????<+-=++?-+=?<+=+-+=?<=--=?01121612894441201444140444223222212）（）（ ）（）（）（）（m m m m m m m m m m m m 解得41211-<<-m . 即A=(41,211--),∴C R A=),41[]211,(+∞-?--∞.∴使原结论成立的m 的范围应为21141-≤-≥m m 或. 评注：如果一个问题正面入手困难时,可以运用补集思想,考虑其反面.也就是正难则反的策略.具体地说，就是将所研究对象的全体视为全集,求出使问题反面成立的集合A,则C u A 便为所求. 例3、已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围。 分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，同样也可以求解。 解：易解得A={y|y>a 2+1或y 初中数学思想方法专题讲座——整体思想解题策略 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想 【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 相应练习： 1. 若代数式2425x x -+的值为7，那么代数式2 21x x -+的值等于（ ）． A ．2 B ．3 C ．－2 D ．4 2.若3a 2-a-2=0,则 5+2a-6a 2= 3.先化简，再求值 222142442a a a a a a a a +--??-÷ ?--+-??，其中a 满足a 2－2a －1=0． 总结：此类题是灵活运用数学方法解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解。 【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值等于（ ） A.6 B.6- C. 125 D.27- 分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出 11a b -的形式，再整体代入求解． “补集思想”在解题中的应用 在集合运算中，大家都知道这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到底有何作用呢？ 本文将通过几个例题与大家谈谈其作用。 例1、 已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}， 若A ∩B ≠φ，求实数a 的 取值范围。 分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补 集，同样也可以求解。 解：易解得A={y|y>a 2 +1或yq D.当a>1时，p>q；当0
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