目录 2004年东南数学奥林匹克 (2) 2005年东南数学奥林匹克 (4) 2006年东南数学奥林匹克 (6) 2007年东南数学奥林匹克 (9) 2008年东南数学奥林匹克 (11) 2009年东南数学奥林匹克 (14) 2010年东南数学奥林匹克 (16) 2011年东南数学奥林匹克 (18) 2012年东南数学奥林匹克 (20)
2004年东南数学奥林匹克 1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3?a+9?b+27?c≥1. 2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作 一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN. 3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. (2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. 4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,?,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值. 5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ?π4)+6ssnθ+ccsθ?2csn2θ<3a+ 6对于θ∈?0,π2?恒成立，求a的取值范围. 6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的 圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD?EE+DE?AE=AD?AE. 7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有 一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进
第十届东南数学奥林匹克解答 第一天 (2013年7月27日 上午8：00－12：00) 江西 鹰潭 1. 实数,a b 使得方程3 2 0x ax bx a -+-=有三个正实根．求32331 a a b a b -++的 最小值． （杨晓鸣提供） 解 设方程320x ax bx a -+-=的三个正实根分别为123,,x x x ，则由根与系数的关系可得 123122313123,,x x x a x x x x x x b x x x a ++=++==， 故0,0a b >>． 由2123122313()3()x x x x x x x x x ++≥++知：23a b ≥． 又由123a x x x =++≥= a ≥ 32331a ab a b -++23(3)31 a a b a a b -++= +332333113 a a a a a a b ++≥≥=≥++ 当9a b == 综上所述，所求的最小值为． 2. 如图，在ABC ?中，AB AC >，内切圆I 与BC 边切于点D ，AD 交内切圆I 于另一点E ，圆I 的切线EP 交BC 的延长线于点P ，CF 平行PE 交AD 于点 F ，直线BF 交圆I 于点,M N ，点M 在线段BF 上，线段PM 与圆I 交于另一 点Q ．证明：ENP ENQ ∠=∠． （张鹏程提供） 证法1 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T 联结,,ST AI IT ，设ST 与AI 交 于点G ，则,I T A T T G A I ⊥⊥，从而有2AG AI AT AD AE ?==?，所以,,,I G E D 四点共圆． 又,IE PE ID PD ⊥⊥，所以,,,I E P D 四点共圆，从而,,,,I G E P D 五点共圆． 所以90IGP IEP ∠=∠=，即IG PG ⊥ ，
首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题 第一天 （2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州） 一、设实数a 、b 、c 满足2 2 2 3232 a b c ++= ，求证：39271a b c ---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、 PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ， 求证：DM=DN 三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 （2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2 n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。 第二天 （2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 五、已知不等式63)cos()2sin 2364 sin cos a a π θθθθ+- + -<++对于0,2πθ?? ∈?? ?? 恒成立，求a 的取值范围。 六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证：CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。 注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。 八、求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++，且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。
1．求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有2()(1)(1)a b ab b kab +++≥． 2．如图，两圆1Γ，2Γ交于A ，B 两点，C ，D 为1Γ上两点，E ，F 为2Γ上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交．设CF 与1Γ，2Γ分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1Γ，2Γ分别交于点()M D ≠，()N E ≠． 证明：若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等． 3．函数**:f →N N 满足：对任意正整数a ，b ，均有()f ab 整除(){} max ,f a b ．是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论． 4．将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示． 现有一个固定放置的918?方格表．若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由．
5．称集合{1928,1929,1930,,1949}S =的一个子集M 为“红色”的子集，若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除．用x ，y 分别表示S 的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数．试比较x ，y 的大小，并说明理由． 6．设a ，b ，c 为给定的三角形的三边长．若正实数x ，y ，y 满足1x y z ++=，求axy byz czx ++的最大值． 7．设ABCD 为平面内给定的凸四边形．证明：存在一条直线上的四个不同的点P ，Q ，R ，S 和一个正方形A B C D ''''，使得点P 在直线AB 与A B ''上，点Q 在直线BC 与B C ''上，点R 在直线CD 与C D ''上，点S 在直线DA 与D A ''上． 8．对于正整数1x >，定义集合()(){},,,mod 2x p S p p x p x v x αααα=≡为的素因子为非负数且，其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和．约定()11f =． 今给定正整数m ．设正整数数列1a ，2a ，，n a ，满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,,n n n n m a f a f a f a m +??=++． （1）证明：存在常数A ，B ()01A <<， 使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数Q ，使得对所有*n ∈N ，n a Q <． 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 参考答案 1．原不等式 ()() 2221(1)a b b a b b kab ?++++≥ ()221(1)b ab b b kb a ???++++≥ ?? ? 单独考虑左边，左边可以看成是一个a 的函数、b 为参数，那么关于a 取最小值的时候有 ()()2231(1)1(1)(1)b ab b b b b b a ????++++≥++=+ ? ? ????? 于是我们只需要取32(1)k b b ?≤+即可．
第三届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2006年7月27日， 8：00－12：00， 南昌） 一、 设0,a b >>2()2()4a b x ab f x x a b ++= ++．证明：存在唯一的正数x ，使得 113 3 3 ()()2 a b f x +=． 二、 如图所示，在△ABC 中，90,,ABC D G ∠=?是 边CA 上的两点，连接BD ，BG 。过点A ，G 分别作BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，连接CF 。若BE ＝EF ，求证：ABG DFC ∠=∠。 三、 一副纸牌共52张，其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种 花色的牌各13张，标号依次是2,3,,10,,,,J Q K A ，其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”，并且A 与2也算是顺牌（即A 可以当成1使用）. 试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含“同花顺牌”的取牌方法数。 四、 对任意正整数n ，设n a 是方程3 1x x n +=的实数根，求证： (1) 1n n a a +>； (2) 2 11 (1)n n i i a i a =<+∑。 第二天 （2006年7月28日， 8：00－12：00， 南昌） 五、 如图，在ABC ?中，60A ∠=?，ABC ?的内切圆I 分 别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、 CI 相交于点F 、G ，证明：1 2 FG BC =。 六、 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a ，b ，c ，都有333222(61m a b c a b c ++≥+++） （）。 七、 （1）求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整数解(,,)m n r 的组数。 （2）对于给定的整数k >1，证明：不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至 少有3k +1组正整数解(,,)m n r 。 B A
2007年女子数学奥林匹克 第一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证： （1）1，2，…，17都是好数； （2）18不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？ 第二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点， F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。 6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证： .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？
8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2， .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而，).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在
第六届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2009年7月28日 上午8：00－12：00） 江西·南昌 1. 试求满足方程2221262009x xy y -+=的所有整数对(,)x y 。 2. 在凸五边形ABCDE 中，已知AB =DE 、BC =EA 、AB EA ≠，且B 、C 、D 、E 四点共圆。证明：A 、B 、C 、D 四点共圆的充分必要条件是AC =AD 。 3. 设,,x y z R +∈，222(), (), ()a x y z b y z x c z x y =-=-=-。求证： 2222()a b c ab bc ca ++≥++。 4. 在一个圆周上给定十二个红点；求n 的最小值，使得存在以红点为顶点的n 个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边。 第二天 （2009年7月29日 上午8：00－12：00） 江西·南昌 5. 设1、2、3、…、9的所有排列129(,,,)X x x x = 的集合为A ；X A ?∈，记 1239()239f X x x x x =++++ ，{()}M f X X A =∈；求M 。(其中M 表示集合M 的元素个数) 6. 已知O 、I 分别是ABC ?的外接圆和内切圆。证明：过O 上的任意一点D ，都可以作一个三角形DEF ，使得O 、I 分别是DEF ?的外接圆和内切圆。 7. 设(2)(2)(2) (,,)131313x y z y z x z x y f x y z x y y z z x ---= ++++++++， 其中,,0x y z ≥ ，且 1x y z ++=。求(,,)f x y z 的最大值和最小值。 8. 在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块？ F E I O B C A D
2016女子数学奥林匹克 （2016年8月12‐8月13日） 1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足 PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点， 则60BAC ∠
5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n ，都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心，,AO BC 交于L ，AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。
首届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州） 一、设实数a 、b 、c 满足2 2 2 3232 a b c ++= ，求证：39271a b c ---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、 PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ， 求证：DM=DN 三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 （2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。 四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2 n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。 第二天 （2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 五、已知不等式63)cos()2sin 2364 sin cos a a π θθθθ+- + -<++对于0,2πθ?? ∈?? ?? 恒成立，求a 的取值范围。 六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证：CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。 注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。 八、求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++，且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。
The 15th China Southeast Mathematical Olympiad 福建，泉州 第一天（2018年7月30日8:00-12:00） 高一年级试卷 1. 设c 是实数,若存在[]1,2x ∈,使得max ,25c c x x x x ? ?+++≥???? ．求c 的取值范围．这里{}max ,a b 表示实数a 、b 中的较大者． 2. 在平面直角坐标系中,若某点的横坐标与纵坐标均为有理数,则称该点为有理点,否则称之为无理点．在平面直角坐标系中任作一个五边形,在它的五个顶点中,有理点和无理点哪个多？请证明你的结论． 3. 锐角ABC △内接于⊙O ()AB AC <,BAC ∠的平分线于BC 相交于点T ,AT 的中点是M ,点P 在ABC △内,满足PB PC ⊥．过P 作AP 的垂线,D 、E 是该垂线上不同于P 的两点,满足BD BP =,CE CP =．若直线AO 平分线段DE ．证明：直线AO 与AMP △的外接圆相切． 4. 是否存在集合*A N ?,使得对每个正整数n ,{},2,3,,15A n n n n ?恰含有一个元素？证明你的结论．
The 15th China Southeast Mathematical Olympiad 福建，泉州 第二天（2018年7月31日8:00-12:00） 高一年级试卷 5. 设{}n a 为非负实数列．定义21k k i i X a ==∑,212k k k i i Y a i =??=???? ∑,1,2, k =．证明：对任意正整数n ,有100n n n n i i i i X Y Y X ?==≤? ≤∑∑．这里,[]x 表示不超过实数x 的最大整数． 6. 在ABC △中,AB AC =,⊙O 的圆心是边BC 的中点,且与AB 、AC 分别相切于点E 、F ．点G 在⊙O 上,使得AG EG ⊥,过G 作⊙O 的切线,与AC 相交于点K ．证明：直线BK 平分线段EF ． 7. 一次会议共有24人参加,每两人之间或者握手一次,或者不握手．会议结束后发现,总共出现了216次握手,且任意握过手的两个人P 、Q ,在剩下的22人中,恰与P 、Q 之一握过手的不超过10人．一个朋友圈指的是会议中3个两两之间握过手的人所构成的集合．求这24个人中朋友圈个数的最小可能值． 8. 设m 为给定的正整数,对正整数l ,记()()()()4142451m l A l l l =+?+? ?+．证明：存在无穷多个正整数l ,使得55 m l l A 且515m l +不整除l A ．并求出满足条件的l 的最小值．
第一天 2018年8月12日上午8∶00～12∶00 长春 我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础. ——华罗庚 1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证： 2 2BF CE =F ··K AK JE AJ . 2.求方程组 的所有实数解. 3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？ 4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥i a . ?? ???=++??? ?? +=???? ? ?+=??? ??+1 ,11311215zx yz xy z z y y x x
第二天 2018年8月13日上午8∶00～12∶00 长春 数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。 ——华罗庚 5.设正实数x ，y 满足3 x +3y =x -y ,求证： .1422＜y x + 6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，，?21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数； (2)问：2018是否为好数？ 7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证： .11121m n m a a a n ++?++＜ 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的 边至少为多长？
第十六届中国东南地区数学奥林匹克 1. 求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有()()()2 11a b ab b kab +++≥. 2. 如图，两圆1P ，2P 交于A ，B 两点，C ，D 为1P 上两点，E ，F 为2P 上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交.设CF 与1P ，2P 分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1P ，2P 分别交于点()M D ≠，()N E ≠. 证明：若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等. 3. 函数:f N N **→满足：对任意正整数a ，b 均有()f ab 整除(){} max ,f a b .是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论. 4. 将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示. 现有一个固定放置的918?方格表.若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由. 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西g 吉安 高二年级 第一天
2019年7月30日 上午8:00-12:00 1. 对任意实数a ，用[]a 表示不超过a 的最大整数，记{}[] a a a =-.是否存在正整数m ，n 及1n +个实数0x ，1x ，…，n x ，使得0428x =，1928n x =， 110105k k k x x x m +????=++???????? (0k =，1，…，1n -)成立？证明你的结论. 2. 如图，在平行四边形中ABCD ，90BAD ∠≠?，以B 为圆心，BA 为半径的圆与AB ，CB 的延长线分别相交于点E ，F ，以D 为圆心，DA 为半径的圆与AD ，CD 的延长线分别相交于点M ，N ，直线EN ，FM 相交于点G ，直线AG ，ME 相交于点T ，直线EN 与圆D 相交于点()P N ≠，直线MF 与圆B 相交于点()Q F ≠.证明：G ，P ，T ，Q 四点共圆. 3. 今有n 人排成一行，自左至右按1，2，…，n 的顺序报数，凡序号为平方数者退出队伍；剩下的人自左至右再次按1，2，3，…的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出. 用()f n 表示最后一个退出队伍的人在最初报数时的序号.求()f n 的表达式(用n 表示)；特别地，给出()2019f 的值. 4. 在55?矩阵X 中，每个元素为0或1.用,i j x 表示中第行第列的元素(，，…，).考虑的所有行、列及对角线上的元有序数组(共个数组)： （,1i x ，,2i x ，...，,5i x ），（,5i x ，,4i x ，...，,1i x ，）（1i =，2， (5) （1,j x ，2,j x ，...，5,j x ），（5,j x ，4,j x ，...，1,j x ）（1j =，2， (5) （1,1x ，2,2x ，…，5,5x ，），（5,5x ，4,4x ，…，1,1x ）， （1,5x ，2,4x ，…，5,1x ），（5,1x ，4,2x ，…，1,5x ）. 若这些数组两两不同，求矩阵X 中所有元素之和的可能值.
第2届中国东南地区数学奥林匹克 第1天 （2005年7月13日8：00～12：00 福州） 1 （1）设a R ∈，求证抛物线()1222+-++=a x a x y 都经过一个定点，且顶点都 落在一条抛物在线。 （2）若关于x 的方程()22210x a x a ++-+=有两个不等实根，求其较大根的取 值范围。 2 如图，圆O （圆心为O ）与直线l 相离，作OP l ⊥，P 为垂足。设点Q 是l 上任意一点（不与点P 重合），过点Q 作圆O 的两条切线QA 和QB ，A 和B 为切点，AB 与OP 相交于点K 。过点P 作PM QB ⊥，PN QA ⊥，M 和N 为垂足。求证：直线MN 平分线段KP 。 3 设n 是正整数，集合{1,2,3,,2}M n = 。求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一 个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n +1。 4 试求满足2222005a b c ++=，且a b c ≤≤的所有三元正整数组(a , b , c )。 第2天 （2005年7月14日8：00～12：00福州） 5 已知直线l 与单位圆S 相切于点P ，点A 与圆S 在l 的同侧，且A 到l 的距离为h (h >2)，从点A 作S 的两条切线，分别与l 交于B , C 两点。求线段PB 与线段PC 的长度之乘积。 6 将数集12{,,...,}n A a a a =中所有元素的算术平均值记为()P A ， （12...()n a a a P A n +++=）。若B 是A 的非空子集，且()()P B P A =，则称B 是A 的一个“均衡子集”。试求数集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =的所有“均衡子集”的个数。 7 （1）讨论关于x 的方程|1||2||3|x x x a +++++=的根的个数。 （2）设12,,...,n a a a 为等差数列，且12n a a a ++???+=1211a a ++++???+1n a += 12222507n a a a -+-+???+-=求项数n 的最大值。 8 设0,,2 π αβγ<< ，且3 3 3 s i n s i n s i n 1αβγ+ += ， 求证：2 2 2 tan tan tan 2 αβγ++≥
第五届中国女子数学奥林匹克试题 第一天 2006年8月8日 下午15：30——19：30 乌鲁木齐 中国在国际数学奥林匹克竞赛中，连续多年取得很好的成绩，这项竞赛是高中程度，不 包括微积分，但题目需要思考，我相信我是考不过这些小孩子的，因此有人觉得，好的数学家未必长于这种考试，竞赛胜利者也未必是将来的数学家，这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的；匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。 ——陈省身 一、设a ＞0，函数 f : （0，＋∞） → R 满足f （a ）＝1．如果对任意正实数x ，y 有 ()()()2a a f x f y f f f xy x y ?? ??+= ? ????? ，①求证： f （x ）为常数． 证明： 在①中令x ＝y ＝1，得 f 2（1）＋f 2（a ）＝2 f （1）， （f （1）－1）2 ＝0， ∴ f （1）＝1。 在①中令y ＝1，得 f （x ）f （1）＋f （a x ）f （a ）＝2 f （x ）， f （x ）＝f （ a x ），x ＞0。 ② 在①中取y ＝a x ，得 f （x ）f （a x ）＋f （a x ）f （x ）＝2 f （a ）， f （x ）f （ a x ）＝1。 ③ 由②，③得：f 2（x ）＝1，x ＞0。 在①中取x ＝y ，得 f 2 ）＋f 2 ）＝2 f （t ）， ∴ f （t ）＞0。 故f （x ）＝1，x ＞0。 二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点．△OAD ，△OBC 的外接圆交于O ，M 两点，直线 OM 分别交△OAB ，△OCD 的外接圆于T ，S 两点．求证：M 是线段TS 的中点． 证法1： 如图，连接BT ，CS ，MA ，MB ，MC ，MD 。 ∵ ∠BTO ＝∠BAO ，∠BCO ＝∠BMO ，
目录 2002年女子数学奥林匹克 (1) 2003年女子数学奥林匹克 (3) 2004年女子数学奥林匹克 (5) 2005年女子数学奥林匹克 (7) 2006年女子数学奥林匹克 (9) 2007年女子数学奥林匹克 (11) 2008年女子数学奥林匹克 (13) 2009年女子数学奥林匹克 (16) 2010年女子数学奥林匹克 (19) 2011年女子数学奥林匹克 (21) 2012年女子数学奥林匹克 (24)
2002年女子数学奥林匹克 1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+200 2. 2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次. （1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数. 3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式 k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2) 4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC. 5.设P1，P2，?，P n(n≥2)是1，2，?，n的任意一个排列.求证： 1P 1+P2+1P2+P3+?+1P n?2+P n?1+1P n?1+P n>n?1n+2. 6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x?y. 7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半. 8.设A1，A2，?，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，?，A8在该直线上的摄影分别是
1985-2012年国际数学奥林匹克中国参赛人数按地区、学校统计 国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。由罗马尼亚罗曼(Roman)教授发起。1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行第一届竞赛。 我国第一次派学生参加国际数学奥林匹克是1985年，当时仅派两名学生，并且成绩一般。我国第一次正式派出6人代表队参加国际数学奥林匹克是1986年。 2012年第53届国际数学奥林匹克竞赛将于今年7月4日至16日在阿根廷马德普拉塔（Mar del Plata , Argentina）举行。入选国家队的六名学生是：（按选拔成绩排名） 陈景文（中国人民大学附属中学)、吴昊（辽宁师范大学附属中学）、左浩（华中师范大学第一附属中学）、 佘毅阳（上海中学）、刘宇韬（上海中学）、王昊宇（武钢三中） --------------------------------------------------------- 历届IMO的主办国，总分冠军及参赛国（地区）数为： 年份届次东道主总分冠军参赛国家（地区）数 1959 1 罗马尼亚罗马尼亚7 1960 2 罗马尼亚前捷克斯洛伐克5 1961 3 匈牙利匈牙利 6 1962 4 前捷克斯洛伐克匈牙利7 1963 5 波兰前苏联8 1964 6 前苏联前苏联9 1965 7 前东德前苏联8 1966 8 保加利亚前苏联9 1967 9 前南斯拉夫前苏联13 1968 10 前苏联前东德12 1969 11 罗马尼亚匈牙利14 1970 12 匈牙利匈牙利14 1971 13 前捷克斯洛伐克匈牙利15 1972 14 波兰前苏联14 1973 15 前苏联前苏联16 1974 16 前东德前苏联18 1975 17 保加利亚匈牙利17 1976 18 澳大利亚前苏联19
2011女子数学奥林匹克 2011年8月1日 上午8:00 ~ 12:00广东 深圳市第三高级中学 1．求出所有的正整数n ，使得关于,x y 的方程 111x y n += 恰有2011组满足x y ≤的正整数解(,)x y ． 解：由题设，20()()xy nx ny x n y n n --=?--=．所以，除了x=y=2n 外，x n -取2n 的小于n 的正约数，就可得一组满足条件的正整数解(x , y )．故2n 的小于n 的正约数恰好为2010． 设1 1k k n p p α α= ，其中1,,k p p 是互不相同的素数，1,,k αα 是非负整数．故2n 的 小于n 的正约数个数为 1(21)(21)1 2 k αα++- ， 故1(21)(21)4021k αα++= ． 由于4021是素数，所以1k =，1214021α+=，12010α=． 所以，2010n p =，其中p 是素数．
2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q．若M F C D N F AB ?=?且DQ BP AQ CP ?=?，求证：PQ BC ⊥． 证明：连接AF、BF、CF、DF．由题目条件可知△AFB和△CFD都是等腰三角形，FM 和FN分别为这两个等腰三角形底边上的高．由M F C D N F AB ?=?，知△AFB∽△DFC，从而∠AFB=∠CFD，∠FAB=∠FDC． 由∠AFB=∠CFD可得∠BFD=∠CFA，又因FB=FA，FD=FC，所以△BFD≌△AFC．由此可得∠FAC=∠FBD，∠FCA=∠FDB．从而A、B、F、E四点共圆，C、D、E、F四点共圆． 由上可得∠FEB=∠FAB=∠FDC=∠FEC，即直线EP是∠BEC的角平分线，从而EB/EC=BP/CP．同理，ED/EA=QD/AQ．由于DQ BP AQ CP ?=?，所以EB ED EC EA ?=?．由此可得ABCD为圆内接四边形，且点F为其外接圆的圆心．这时，因为 ∠EBC=1 2∠DFC=1 2 ∠AFB=∠ECB，所以E P B C ⊥． Q P M N F E D C B A A B C D E F N M P Q
第一天 1.对任意实数a ，用[a ]表示不超过a 的最大整数，记{a }=a ?[a ]. 是否存在正整数m,n 及n +1个实数x 0,x 1,...,x n ，使得 x 0=428,x n =1928,x k +110=[x k 10]+m +{x k 5 }(k =0,1,···,n ?1)成立？证明你的结论. 2.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD =90?，以B 为圆心，BA 为半径的圆与AB ，CB 的延长线分别相交于点E,F ，以D 为圆心，DA 为半径的圆与AD,CD 的延长线交于点M,N ，直线EN,F M 相交于点G ，直线AG,ME 相交于点T ，直线EN 与圆D 相交于点P (=N )，直线MF 与圆B 相交于点Q (=F )，证明：G,P,T,Q 四点共圆. 3.今有n 人排成一行，自左至右按1,2,···,n 的顺序报数，凡序号为平方数者退出队伍；剩下的人自左至右再按1,2,3,···的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出. 用f (n )表示最后一个退出队伍的人在最初报数是的序号.求f (n )的表达式（用n 表示）；特别地，给出f (2019)的值. 4.在5×5矩阵X 中,每个元素为0或1.用x i,j 表示X 中第i 行第j 列的元素(i,j =1,2,···,5).考虑X 的所有行、列及对角线上的五元有序数组(共24个数组)： (x i,1,x i,2,...,x i,5),(x i,5,x i,4,...,x i,1)(i =1,2, (5) (x 1,j ,x 2,j ,...,x 5,j ),(x 5,j ,x 4,j ,...,x 1,j )(j =1,2, (5) (x 1,1,x 2,2,···,x 5,5),(x 5,5,x 4,4,···,x 1,1) (x 1,5,x 2,4,···,x 5,1),(x 5,1,x 4,2,···,x 1,5) 若这些数组两两不同，求矩阵X 所有元素之和的可能值.
第四届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2007年7月27日， 8：00－12：00， 浙江g 镇海） 一、 试求实数a 的个数，使得对于每个a ，关于x 的三次方程31x ax a =++都 有满足1000x <的偶数根。 二、 如图，设C 、D 是以O 为圆心、AB 为直 径的半圆上的任意两点，过点B 作O e 的切线交直线CD 交于P ，直线PO 与直线CA 、AD 分别交于点E 、F 。证明：OE =OF 。 三、 设*min i i a k k N k ?? =+∈???? ，试求 [][]2212n n S a a a ??=+++??L 的值，其中 []2, n x ≥表示不超过x 的最大整数。 四、 求最小的正整数n ，使得对于满足条件1 2007n i i a ==∑的任一具有n 项的正整 数数列12,,,n a a a L ，其中必有连续的若干项之和等于30。 第 二 天 （2007年7月28日， 8：00－12：00， 浙江g 镇海） 五、 设函数()f x 满足：()()121f x f x x +-=+(x R ∈)，且当[]0,1x ∈时有 ()1f x ≤，证明：当x R ∈时，有()22f x x ≤+。 六、 如图，直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的 中点，MB AB ⊥，MD 交AC 于N ；MC 的延长线交AB 于E 。证明：DBN BCE ∠=∠。 七、 试求满足下列条件的三元数组(a , b , c )： (i) a
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