2010临沂数学中考解直角三角形复习
第一课时(锐角三角函数)
课标要求
1、 通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA 、cosA 、tanA 、
cotA ）
2、 熟知300、450、600
角的三角函数值
3、 会用计算器求锐角的三角函数值，以及由已知的三角函数值求相应的锐角。
4、 通过特殊角三角函数值，知道互余两角的三角函数的关系。
5、 了解同角三角函数的平方关系。sin 2α+cos 2
α=1，倒数关系tan α·cot α=1.
6、 熟知直角三角形中，300
角的性质。
中招考点
1、 锐角三角函数的概念，锐角三角函数的性质。
2、 300、450、600
角的三角函数值及计算代数式的值。
3、 运用计算器求的三角函数值或由锐角三角函数值求角度。 典型例题
[例题1] 选择题（四选一）
1、如图19-1，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下
列线段比中不等于sinA 的是（ ）
A. AC CD
B. CB BD
C.AB CB
D.CB
CD
分析：sinA=AC CD , sinA=sin ∠BCD=BC BD ;sinA= AB
BC
,从
而判断D 不正确。故应选D.。
2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900
，∠A ＝∠B ，则cosA 的值是（ ） A.
21
B. 2
2 C.2
3 D.1
分析：先求出∠A 的度数，因为∠C ＝900
，∠A ＝∠B ，故∠A ＝∠B ＝450
，再由特殊角的三
角函数值可得：cosA=cos450
=
2
2
故选B.。 3、在△ABC 中，∠C ＝900
，sinA=2
3 ,则cosB 的值为（ ）
A. 2
1
B. 22
C.23
D.33
分析：方法一：因为sinA=2
3,故锐角A ＝600。因为∠C ＝900，所以∠B ＝300
.
cosB=2
3
.故选C.
方法二：因为 ∠C ＝900
，故 ∠A 与 ∠B 互余.所以cosB=sin A ＝2
3.故选C..
4、如图19-2，在△ABC 中，∠C ＝900
，sinA=5
3.则BC ：AC 等于（ ）
A C
图19-1
A. 3：4
B. 4：3
C.3：5
D.4：5 分析： 因为∠C ＝900
，sinA ＝
53 ,又sinA=AB BC .所以AB BC ＝5
3, 不妨设BC ＝3k,AB=5k,由勾股定理可得AC ＝
22BC AB -＝4k,所以BC ：
AC ＝3k:4k=3:4故选A.。 注意：由
AB BC ＝5
3
，不能认为BC ＝3，AB ＝5。 5、如图19-3，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落
在CB 的延长线上的D /处，那么tan ∠BAD /
等于（ ）
A. 1
B.2
C.2
2
D.22 分析： 根据勾股定理得
BD ＝2
2CD BC +=2222+=22
又BD /
＝BD ＝22，AB ＝2，
在Rt △ABD /
中，tan ∠BAD /
=
222
2/==AB
BD 故选B.。
6、在?ABC 中，若｜sinA-
2
2 |+(23-cosB)2
=0, ∠A.∠B 都是锐角，则∠C 的度数是
（ ）
A. 750
B. 900
C.1050
D.1200
分析： 由｜sinA-2
2 |+(23-cosB)2
=0可得，
sinA-22=0 23-cosB=0 即 sinA=2
2 23
=cosB ,又∠A 、∠B 都是锐角，
∴∠A ＝450
，∠B ＝300
.由三角形内角和知，∠C ＝1800
-∠A-∠B ＝1050
.故选C.
评注： 解决此题的关键是利用利用非负数性质，求sinA 、cosB 的值，得出∠A 、∠B 的度数。
[例2] 填空题：
1、计算tan600sin600-cot300tan450
=_________
分析 熟记300、450、600
这些特殊角的三角函数值是解决本题的关键。
原式＝32
3
13233-=?-?
2、在?ABC 中，∠C=900
.若tanA= 12
5 则sinB 的值等于_________
分析 依据条件tanA= 125,可求出cotB=cot(900
-A )=tanA= 12
5,再由cotB= B B sin cos
及sin 2
B+cos 2
B=1得 cotB ＝B B sin sin 12- 可求出sinB= 13
12
3、在?ABC 中，∠C=900
，若∠B ＝2∠A ，则cotB 的值为_______.
图19-2
D 图19-3
分析 因为∠A+∠B ＝900，且∠B ＝2∠A ，故∠B ＝600. 所以 cotB=cot600
=3
3
4、 若α为锐角，且cos(900
-α)＝
2
1
，则α的度数是＿＿＿＿ 分析把900
-α当作一个整体，由特殊角的三角函数值，易得900
-α=600
,所以α＝300
.
5、 已知00＜α＜400，且sin(α+100)=cos(500
+α)，则α＝＿＿＿＿＿＿＿＿
分析 根据互余两角的三角函数关系，因为00＜α＜400，所以100＜α+100＜500，500
＜500+α＜900，从而有（α+100）+（500+α）＝900 ∴α＝150.
6、 用计算器计算：sin56050/+cos39030/-tan46010/
=_______
分析 会用计算器求任意一个锐角的三角函数值，然后进行计算。原式＝0.5671.
7、已知方程4x 2
-2(m+1)x+m=0的两根恰为一个直角三角形两锐角的余弦，则m=______
分析 设这个直角三角形的两个锐角分别为α、β，且α+β＝900
。cos β=sin α.由一元二次方程根与系数的关系得：cos α+cos β=21+m ，cos αcos β=4
m
∴ cos α+sin α=
21+m . cos αsin α=4
m
又因∵sin 2
α+cos 2
α=1，(sin α+cos α)2
-2sin αcos α=1.
∴
14
24)1(2=-+m m .∴(m+1)2-2m=4 ∴m=±3 ∵α、β都是锐角，
∴ cos α＞0，sin α＞0
∴m=-3应舍去.故m=3.
[例3] 在 ?ABC 中，AB ＝AC. 且AB ＝2BC. 求∠B 的四个三角函数值。
分析 根据锐角的三角函数的定义知，锐角三角函数值是锐角所在的直角三角形相应边的比值。因此必须把∠B 放入直角三角形中，由题可知，?ABC 中没有说是直角三角形，所以要想法构造出直角三角形。
解： 如图19-4，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D 。 ∵AB ＝AC ∴BD ＝DC ＝2
1
BC. 又AB ＝2BC ∴AB ＝4BD
在Rt ?ABD 中，AD ＝
BD BD AB 1522=-
∴ sinB=415
415==BD BD AB AD cosB=
41
4==BD BD AB BD tanB=1515==BD BD
BD AD cotB=151515
1=
=AD BD A
图19-4
［例4］计算0
0030cot .60sin 60cos 45tan 1
21-++ 分析： 本题主要是考察特殊角的三角函数值和分母有理化知识
解： 原式＝2
3
211)12)(12(12-
+-+-.3 =3.3
1
12+-=112+- =2
［例5］ 要求tan300
的值.可构造如图19-5所示的直角三角形进行计算，作Rt ?ABC ，使∠C=900
，斜边AB ＝2，直角边AC ＝1，那么BC ＝3 ∠ABC ＝300
，所以
tan300
=
33
3
1=
=BC AC 在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan150
的值。请你就此图添加辅
助线，并求出tan150
的值。
分析：只需找出一个150
的角，并放入一个可求出各边长的直角三角形中。 解：延长CB 至D ，使BD ＝AB 。连结AD ，如图19-6
则BD ＝2，∠D ＝150
所以 DC ＝DB+BC ＝2+3 在Rt ?ADC 中tanD=tan150
=
323
21
-=+=DC AC 评注： 利用含300
角的直角三角形巧妙地构造出含150
角的直角三角形，从而求出15
角的三角函数值。利用此图还可以求出750
的各三角函数值。
A
1
B C 图19-5 图19-6
强化训练
一、填空题：
⒈ 在?ABC 中，若AC ＝2。BC ＝7 AB ＝3，则cosA=____________. ⒉ 在Rt ?ABC 中，∠C ＝900
. tanA=5
2
. AC ＝4. 则 BC=__________。 ⒊ 已知sin α＝
23 α为锐角。则tan 2
α
=______________ ⒋ 在?ABC 中，若｜sin β-2
1
|+(cosA-23 )2=0. 则∠C 的度数为＿＿＿＿＿＿＿ ⒌ 若∠α的余角为380
，则∠α＝＿＿＿度，sin α=________(结果保留4个有效数字)
⒍ 在?ABC 中，∠C ＝900
. AC ＝
13
5
AB. 则sinA=___________tanB=___________. ⒎ 已知2+1是方程x 2
-(3tan θ)x+2 =0的一个根，θ为锐角三角形的一个内角，
那么θ＝＿＿＿
⒏ 若α+β＝900
. 则tan α·tan β-tan
2
β
α+ =___________
⒐ 在Rt ?ABC 中，∠C ＝900
.AB ＝c. BC ＝a. 且a 、c 满足3a 2
-4ac+c 2
=0. 则sinA=________
⒑ 在菱形ABCD 中，∠A ＝600
. 对角线AC ＝63cm. 则菱形的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿
二、选择题（四选一）
⒈ 在?ABC 中，∠C ＝900.
tanA=1，那么cotB 等于（ ）
A.3
B.2
C.1
D.3
3 ⒉ 已知α为锐角，且tan(900
-α)= 3 ，则α的度数为（ ）
A.300
B. 450
C.600
D.750
⒊ 在 Rt ?ABC 中，∠C ＝900
.AC=12，cosA=13
12
,则 tanA 等于( ). A.
135 B.1213 C.512 D.12
5 ⒋ 下列等式不成立的是( )。 A. tanA ·cotB=1 B.tanA=
A A cos sin C.tanA=A
cot 1 D.sin 2600+sin 2300
=1 ⒌ 下列各式计算错误的是( ) A.
2
1cos300+sin600cos60+22sin450=231+ B.21)160(cos 2
0=-
C. sin300tan420tan480+tan500tan400cos600
=1 D. 3
3
3130tan 230tan 0
2
-=
+- ⒍ 在?ABC 中，sinB=cos(900
-C)=
2
1
那么?ABC 是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
⒎ 已知α为锐角，下列结论：⑴ sin α+cos α=1 ⑵ 如果α＞450
，那么sin α＞cos α. ⑶ 如果cos α＞
2
1,那么α＜600
⑷ 2)1(sin -α=1-sin α,正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
⒏ 菱形ABCD 的对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论正确的是( ) A.sin α=
54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=3
4 ⒐ 已知点P(3，sin600
)，则点P 关于原点对称的点的坐标是( ) A.(3，-
23) B.(-3，- 23) C.(3，sin600
) D.(-3,- 2
1) ⒑ 已知α、β都是锐角，且α+β=900
，则关于x 的一元二次方程
x 2
·cot α-2x+cot β=0的根的情况是( )。
A.有两个不等实数根
B.有两个相等实数根
C.无实数根
D.根的情况由α、β值确定。 三、解答下列各题：
⒈ 计算：sin300+cos600-cot 2450-tan600tan300
⒉ 当x=2sin450
+tan600
时。先将代数式
1
2-x x
÷(1+11-x )化简后再求值。
⒊ 在Rt ?ABC 中，∠C ＝900
. a-b ＝2. tanA= 3
4,求a 、b 、c 的值。
⒋ 如图 19-7，已知?ABC 中，∠BAC ＝900
.AB=AC. BD 是AC 边上的中线. 求cot ∠DBC 的值.
⒌ 在?ABC 中，已知BC=1+3 ∠B=600
∠C ＝450
.求AB 的长.
⒍ 身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出的线分别为300m 、250m 、200m ，线与
平面所成的角分别为300、450、600
(假定风筝线是拉直的)。问三人中谁放的风筝最高？ ⒎ ?ABC 中，∠C ＝900
，BC=8cm ，sinB=
5
3
，一只蜜蜂从点B 开始沿BC 向点C 以2cm/s 的速度移动。另一只蜜蜂从点C 开始沿CA 边向点A 以1cm/s 的速度移动。如果两只 蜜蜂分别从B 、C 点同时出发各自运动到P 、Q ，如图19-8，第几秒钟时PQ ∥AB ？
第二课时(勾股定理、解直角三角形及有关知识解决实际问题)
课标要求
图19-7
图19-8
1、 熟悉勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单的实际问题。
2、 运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题。
3、 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。 中招考点
1、 用勾股定理解决实际问题。
2、 直角三角形的基本解法(运用三角函数、勾股定理)。
3、 运用解直角三角形知识解决与生活、生产相关联的应用题。 典型例题
［例1］ 如图19-9，在垂直于地面的墙上2m 的点A 斜放一个长2.5m 的梯子，由于不
小心梯子在墙上下滑0.5m ，求梯子在地面上滑出的距离BB /
的长度。
分析： BB /的长度应等于B /
C 的长度减去BC 的长度。因为在Rt ?ABC 中，已知斜边AB 和
直角边AC 的长，由勾股定理可求得BC 的长，又由AA /=0.5m ，A /B /
=AB ，再次运用勾股定
理可求出B /
C 的长。 解： 因为∠ACB=900
，AB=2.5m ，AC=2m ，所以BC=2222252-?=-AC AB =1.5(m) 所以 A /C=2-0.5=1.5(m)，A /B /=AB=2.5(m)
∴ B /C= 2
2225.15.2-='-''C A B A = 2(m) ∴ B /B= B /
C-BC=2-1.5=0.5(m). 评注: 本题在理解题意的基础上，抓着梯子的长度不变，两次使用勾股定理，使问题得到解决。 ［例2］ 如图19-10，已知在?ABC 中，∠ACB ＝900
.AB=5cm ，BC=3cm. CD ⊥AB 于D ，求CD 的长。 分析：先运用勾股定理求AC ，再根据S ?ABC =
21AB ·CD=2
1
AC ·BD ，求出CD 之长。 解： 因为?ABC 是直角三角形，AB=5 ，BC=3
由勾股定理有AC 2=AB 2-BC 2
∴ AC=2235-=4
又S ?ABC =
21AB ·CD=2
1
BC ·AC 得 CD=5
12534=?=?AB BC AC (cm).
所以CD 的长是 5
12
cm 。
评注: 已知直角三角形任意两边长或两边关系及第三边的
长，就可以求出三角形的未知边长，并可运用面积关系式求出斜边上的高(即弦高公式：两直角边的积等于弦与弦上高的积)。
［例3］在一棵树的10m 高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m 池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘。如果两只猴子经过的距离相等，问这一棵树有多高？ ［分析］ 根据题意画出图形。在直角三角形中运用勾股定理求解。
A /
B / B C
图19-9 B D A
图19-10
解：如图19-11，D 为树顶，AB=10m ，C 为池塘，AC=20m 。 设BD 的长为x m ，则树高为(x+10) m.
因为 AC+AB=DB+DC
所以 DC= AC+AB-DB=20+10-x=30-x 在?ACD 中，∠A ＝900。所以AC 2+AD 2=DC 2 故202+(x+10)2=(30-x)2。
解得 x=5 所以 x+10=15. 即这一棵树的高为15m.
评注: 把实际问题变成几何问题，先画出符合题意的图
形，设出某线段的长度，列出方程(组)来求解。
［例4］ 如图19-12所示，在?ABC 中，∠C ＝900
，a=33，c=63，解这个三角形。 解： b 2
=c 2
-a 2
=(63)2-(33)2=81 ∴ b=9
又因为sinA=
2
13633==c a 所以∠A ＝300. 又因为∠A+∠B ＝900
. 所以∠B ＝600
.
∴ b=9. ∠A ＝300 . ∠B ＝600
.
评注: ⑴ 弄清直角三角形的边角关系是解直角三角形的关键。⑵在应用边角关系求未知边时，应尽是使用已知量，要避免使用中间求出的量，以便减少误差。⑶ 已知两边解直角三角形的思路：①已知两直角边a 、b ，直角三角形解法为 c=22b a +,由
tanA=
b
a 得∠A ，∠B=900
-∠A 。 ②已知一直角边a 和斜边c ，直角三角形解法为 b=22a c -,由sinA=c
a 得∠A ，∠B=900
- ∠A 。
⑷ 已知一边和一锐角解直角三角形的思路：① 已知一条直角边a 和一个锐角A ，直角三角形的解法是：∠B=900
-∠A ，c=
A
a
sin b=acotA(或b=22a c -) ② 已知斜边c 和一个锐角B ，直角三角形的解法是：已∠A=900
- ∠B ，b=csinB, a=ccosB(或a=
22b c -)。⑸ 要特别注意：凡是“解直角三角形 ”的题目，除题目中的已知元素，
须把所有的未知元素全部求出来。
［例5］ 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图19-13所示的△ABC 空地上种植草
皮以美化环境。已知∠B=300，∠C=450
，AB=20米，且知道这种草皮每平方米售价a 元，请你算一算购买这种草皮共需要多少钱？
分析： 要求草皮的费用，关键是求S △ABC .故过点A 作AD ⊥BC 于D ，构造直角三角形分别求出AD 、BD 、CD 即可。
解：作 AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 中，∠B=300
∴AD=2
1
AB=10m
∴BD=
31010202222=-=-AD AB m
在Rt △ADC 中，cotC=AD
DC DC=AD ·cot450
=10m.
B
图19-11 图19-12
A
图19-13
∴S △ABC =
21(BD+CD)·AD=2
1(103+10)×10=50(3+1)(m 2
) ∵每平方米售价为a 元，
∴共需要50(3+1)a 元
评注:采用“分割法”来构造直角三角形是解决问题的关键，但要特别注意，不要破坏题目中的已知条件。(即不能从B 、C 两点作高)。
［例6］ 某山区计划修建一条通过小山的公路，经测量，如图19-14，从山底B 到山顶
A 的坡角是300
，斜坡AB 长为100米，根据地形，要求修好的公路路面BD 的坡比=1：5，为了减少工程量，若AD ≤20米，则直接开挖修建公路；若AD ＞20米，就要重新设计，问这段公路是否需要重新设计？
［分析］是否需要重新设计，需比较AD 与20的大小关系。即求出AD ，由题意.AD=AC-CD.故先求出AC 和CD 。
解： 在Rt ?ABC 中，∠ABC ＝300
.AB ＝100 ∴ AC=2
1
AB=50。BC=
222250100-=-AC AB =503
在Rt ?BCD 中，i=
5
1
350==DC BC DC . CD=103 ∴ AD=AC-DC=50-103＞20.
故这条公路需要重新设计。
评注:弄清名词术语的含义，画出正确的示意图，是解题的关键。
［例7］台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每离台风中心20km ，风力就会减弱一级。该台风中心现
正以15km/h 的速度沿北偏东300
方向往C 移动。且台风中心风力不变，如图19-15，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响。
⑴ 该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。
⑵ 若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多
长？
⑶ 该城市受到台风影响的最大风力为几级？
分析： 该城市是否会受到这次台风的影响，取决于该城市距台风中心的最近距离，若大于160km ，则不受台风的影响。
因风力达到或超过4级称受台风影响，故可计算出该城市从
开始受台风影响到结束受台风影响之间的距离除以其速度。即为影响的时间，在离台风中心最近处风力最大。
解：⑴ 如图19-16。由点A 作AD ⊥BC ，垂足为D 。 因为AB=220. ∠B=300
.所以AD=2
1AB=110.
即点A 距台风中心的最近距离为110km ，由题意知，
当点A 距台风中心不超过160km 时，将会受到台风的影响。故
该城市会受到这次台风的影响。
⑵在BC 上取两点E 、F ，使AE=AF=160，当台风中心从E 处移
到F 处时，该城市都要受到这次台风的影响。由勾股定理得，DE=
15301101602222=-=-AD AE
图19-14
图19-15 A C
F D E B 图19-16
所以EF=6015(km) ,因为台风中心以15km/h 的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为
15415
15
60=(h) ⑶ 当台风中心位于D 处时，A 市所受的这次台风的风力最大，其最大风力为12-
20
110
=6.5(级) 评注:① 此类题目联系生活实际，文字长，数据多，解题时要认真读题，理解题意，注意观察实践与想象，建立数学模型(画出图形)把抽象的问题转化为解直角三角形的问题。
②此题若换成噪音干扰或航海中遭遇暗礁或沙尘暴是否影响的问题。解决问题的方法同上。具体来讲，一是正确画出图形，弄清题意；二是判断会不会受影响的标准是点A 到BC 的距离是否大于半径。
［例8］今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位。一条船在
松花江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东600
方向上，前进100m
到达B 处。又测得航标C 在北偏东450
方向上(如图19-17)。在以航标C 为圆，120m 长为半径的圆形区域内有浅滩。如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？( 3≈1.73)
分析： 过C 作CD ⊥AB 于D ，求出CD 的长。若CD ＞120m ，则无危险；若CD ＜120m ，则有被浅滩阻碍的危险。可设CD=x ，利用Rt ?ACD 、Rt ?CBD 结合AB=100m 求解。 解：如图19-18，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，设CD=x 。 在Rt △ADC 中，AD=CD ·cot ∠CAD=CD ·cot300=3x .
在Rt △BDC 中，BD=CD ·cot ∠CBD=CD ·cot450
= x 。
所以 AB=AD-BD= 3x-x=(3-1)x=100
故CD=x=1
3100
- =50(3 +1)≈136.5(m)＞120m
所以，若船继续前进没有被浅滩阻碍和危险。
评注:⑴ 这是一道现实生活会遇到的题目，解题的关键是弄清题意，将实际问题转化为数学模型，即转化为解直角三角形。⑵ 此题型可归纳为一个基本图
形，如图19-18，在Rt △ABC 中，CB=AB cot α……
①在Rt △ADB 中，DB=AB ·cot β……②
由①-②得 CB-DB=AB(cot α- cot β) 即 h=
β
αcot cot -a
［例9］如图19-19，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6m 的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m 处要盖一栋高20m 的新楼，当冬季正午的阳光与水平线
的夹角为320
时，问：
① 超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？
北
图19-18
D
②若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？(结果保留整数，参考数据 sin320
≈
10053,cos320
≈125
106,tan320≈85) 分析：① 采光是否受影响即指此时太阳光能否照射到居民家中，即太阳光照射到居民楼的高度是否大于6m 。② 要不受影响，太阳光线要正好照
射到居民楼底，即图中C 处。
解：① 如图19-20，设CE=x m, 则AF=(20-x)m 。 在Rt △AEF 中，tan320
=EF AF 即 20-x=15×tan320
, 解得 x ≈11
因为11m ＞6m ，所以居民住房的采光受影响。 ② 如图19-21 在Rt △ABF 中，tan320
=BF AB
AB=20，则 BF=
32
tan 20
≈32 所以两楼应相距32m 。
评注:① 解此类实际问题必须理解题意，学会建立数学模型，运用所学知识求解。② 如果题中没有给出
sin320.cos320.tan320
的函数值，同学们可以使用计算器求到解题过程中需要的值。
［例10］ 如图19-22，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，且建筑物周围没有开阔平坦地带。该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得，从A 、D 、C 三点都可看到塔顶端H ，可供使用的测量工具有皮尺、测角器。
① 请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶到地面高度HG 的方案，具体要求如下：⑴ 测量数据尽量少；⑵ 在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A 、D 间距离用m 表示；如果测C 、D 间距离用n 表示，如果测角用α.β.γ表示)
② 根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度HG(用字母表示，测角器高度忽略不计)。
解：方案一：①如图19-23-⑴(测三个数据α.β.n) ② 解 设HG=x ，在Rt △CHG 中，CG=x ·cot β 在Rt △DHM 中，DM=(x-n)·cot α ∴ x ·cot β=(x-n)·cot α
∴ x=β
αα
cot cot cot -?n
方案二：① 如图19-23-⑵。(测四个数据α.γ.m.n) ② 设HG=x,在Rt △AHM 中，AM=(x-n)·cot γ 在Rt △DHM 中， DM=(x-n) ·cot α
∴ (x-n)·cot γ=(x-n) ·cot α+m ∴ x=α
γαγcot cot cot cot -+?-?m
n n
图19-20 D
A 20
E
32
B 15
C F
图19-21
图19-22
图19-23-⑴
B C G 图19-23-⑵
评注:熟读题目、理解题意是解题的前提，设计方案时要尽可能和已学过的基本图形联系起来。设计的方案要科学实用。
强化训练
一、填空题：
⒈ 在Rt △ABC 中，斜边AB=2。则AB 2+BC 2+CA 2
=_____________.
⒉ 若一直角三角形三边的长是三个连续的整数，那么这三边的长为_______________ ⒊ 直角三角形三边长为x 、3、4，则x=_____________ ⒋ 等边三角形的边长是a ㎝，则它的高等于________cm
⒌ 受台风影响，马路边一棵大树在离地面6m 处断裂，大树顶落在离大树底部8m 处，则大树折断之前高___________m
⒍ 如图19-24 ，要修建一个育苗棚，棚宽a=3m ，高b=4m ，底
d=10m ，覆盖在顶上的塑料薄膜的面积为_______________
⒎ 如图19-25所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有
的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm 。则
正方形A 、B 、C 、D 的面积的和是____________。
⒏ 如图19-26，是2002年8月北京第二十四届国际数学大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积为52和4，则直角三角形的两条直角边长分别为___________
⒐ Rt △ABC 中，∠C ＝900
.若
a=4,sinA= 31
,则C=___________
⒑ 如图19-27，水坝横断面为梯形ABCD ，迎水坝BC 的坡角B 为300
，
背水坡AD 坡度为1：1.5，坝顶宽DC=2米，坝高CF=4米，则坝底AB 的长为_________背水坡AD 长为_______。
⒒ 小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如图19-28，量得CD=4m ，BC=10m,CD 与地面成300
角，且此时测得1m 杆的影长为2m 。则电线杆的高度约为_______m(结果保留两位有效数字，2≈1.41 ，3≈1.73) ⒓ 一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该
船在A 处，测得某灯塔位于它的北偏东300
的B 处(图19-29)，上午9时行至C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是___________海里(结果保留根号) 二、选择题(四选一)
⒈ 把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的( )
A. 2倍
B. 2倍
C. 4倍
D.3倍
⒉ 直角三角形的周长为12cm ，斜边长为5cm ，则其面积为( )
A. 12cm 2
B. 6cm 2
C. 8 cm 2
D. 10 cm 2
⒊ 如图19-30 △ABC 中，CD ⊥AB 于D ，若AD=2BD ，AC=3，BC=2，则BD 的长为( ) A.
35 B.315 C. 1 D. 2
1
图19-24
图19-25
图19-26 图19-27
图19-28
⒋ 一个三角形的一边是2 m ，这边上的中线为m ，另两边之和为m+3 m ，那么这个三角形的面积是( ) A. m 2
B.
2
3m 2 C. 3m 2 D. 3m 2
⒌ 如图19-31 两条宽为1的带子，相交成α角，那么重叠部分的面积即阴影部分面积为( ) A. sin α B.
αsin 1 C. α2
sin 1 D. α
cos 1 ⒍ 如图19-32，是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面作成角∠AMC=300
，在教室地面的影长MN=23米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC 为( )
A. 23米
B. 3米
C. 3.2米
D.
2
3
3米 ⒎ 在距楼房30m 的A 处测楼房BC 的高，测得楼顶B 的仰角
为α，则楼房BC 的高为( )m A.30tan α B. αtan 30 C. 20sin α D. α
sin 30
⒏ 如图19-33,在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时梯子的倾斜角为750
，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶
端距地面的距离NB 为b 米，梯子的倾斜角为450
，这间房子的宽AB 是( )
A. 2b a + 米
B.2
b
a -米 C. a 米 D.
b 米
三、解答下列各题
1、已知一个直角三角形的斜边长为2，两直角边长的和为6。 求这个直角三角形的面积。
2、在平静的湖面上有一支红莲高出水面1m ，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m.求这里的水深是多少？
3、如图19-34，已知∠ABC=∠BCD=900
.AB=6，sinA=54 ,CD=12,求∠D 的四个三角函数值。
4、如图19-35，在△ABC 中，∠A=300
，tanB=31 BC=10,求
AB 的长
5、已知如图19-36所示，折叠矩形的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长。
6、一艘渔船正以每小时30海里的速度由西向东航行，在A 处看见小岛C 在船的北偏东600，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300
。若以小岛C 为中心周围10海里是危险区，问这艘渔船继续向东航行是否有进入危险区的可能？
A D B
图19-30
M N C
图19-32
图19-33
A B
C D 图19-34
7、如图19-37，城市规划期间，欲拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14m 的D 处有一大坝，背水坡CD 的坡度i=2:1，坝高CF=2 m ，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为300
，D 、E 之间是宽为2m 人行道，试问在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由。
8、如图19-38，小丽的家住在成都市锦江河畔的电梯公寓AD 内。她家的河对岸新建了一座大厦BC ，为了测得大厦的 高度，小丽在她家的楼底A 处测得大厦顶部B 的仰角为600，爬上楼顶 D 处测得大厦顶部B 的仰角为300
。已知小丽所在的电梯公寓高82米。请你帮助小丽计算出大厦高度BC 及大厦与小丽所住的电梯公寓间的距离AC 。
第25部分《解直角三角形》综合测试题A
一、填空题：(每空2分，共30分)
1、 sin 2300+cos 2300
=___________
2、 计算：(sin300)-1-(cot600)0
=______________
C
A B 图19-35
B F C
图19-36
图19-37
3、 已知 cosA-
2
3
=0，则锐角∠A=___________度 4、 Rt △ABC 中，∠C=900
，AB=17，sinA=17
8，则
BC=___________
5、 如图19-1，在△ABC 中，∠ACB=900
，BC=4，AC=5，CD ⊥AB ，
则 sin ∠ACD=_______，tan ∠BCD=_________
6、 在Rt △ABC 中，∠C=900，b ：a=1：2，则cos(900-A)=_____________
7、 如图19-2是河堤的横断面，堤高BC=5m ，迎水斜坡AB
的坡度为1：2，那么AB 的长为___________m
8、 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300
，腰长
为a ，则其底边上的高是_________ 9、 已知直角三角形的两直角边之和为26，面积为2，
则该直角三角形的斜边长为_______
10、 油田高级中学升国旗时，李明同学站在离旗杆底部12米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的
仰角恰为450
，若他的双眼离地面1.3米，则旗杆的 高度是________米。 11、已知∠A 为锐角，cotA=
33 则sin 2
A
=__________ 12、用计算器计算cos350
=__________(保留两个有效数字)
13、一船向西航行，上午9时30分在小岛A 南偏东300
的B 处，已知AB 为60海里，上午11时整，船到达小岛A 的正南方向，则该船的航行速度为____________
14、学校校园内有一块如图19-3所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园需要投资_____________元(精确到1元)
二、选择题(四选一)(每小题3分，共24分)
15 、△ABC 中，∠C=900
，BC=2，AB=3，则下列结论中正确的
是( )
A. sinA=35
B. cosA=32
C. sinA=32
D.tanA=2
5
16、在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且|sinA-2
1
|+ 21cos B =0，则△ABC 的形状
是( )
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D. 等腰三角形
17、在△ABC 中，∠C=900
，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列等式成立的是( )
A.b=c ·cosA
B. b=a ·sinB
C. a=b ·tanB
D. b=c ·cotA 18、已知∠A 为锐角，且cosA ≤
2
1
,那么( )
B D A
图19-1
图19-2
20米 1200 30米 图19-3
图19-4
A. 00＜A ≤600
B. 600 ≤A ＜900
C. 00＜A ≤300
D. 300≤A ＜900
19、如图19-4，Rt △ABC 中，∠ACB=900
，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=α，则tan α的值为( ) A.
43 B.34 C.53 D. 5
4 20、如图19-5，Rt △ABC 中，∠C=900
，D 为BC 上一点， ∠DAC=300
，BD=2，AB=23,则AC 的长是( ) A. 3 B.22 C. 3 D.32
3
21、如图19-6，两建筑物的水平距离为a m ，从A 点测得C 点的俯角为α，测得D 点的俯角为β,则较低建筑物CD 的高为( )
A. a m
B.atan α m
C. a cot αm
D. a(tan β-tan α)m
22、如图19-7是一块长宽高分别为6cm 、4cm 和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处沿着长方体的表面到长方体上和A 点相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是( )
A.(3+213)cm
B.97cm
C. 85cm
D.9 cm 三、解答题：(共46分)
23、(8分)如图19-8，D 是△ABC 的边AC 上一点，CD=2AD ，AE ⊥BC ，交BC 于点E ，若BD=8，sin ∠CBD=
4
3
求AE 的长。
24、(6分)如图19-9，设火柴盒ABCD 的两边之长为a 和b ，对角线长为c ，推倒后的火柴盒是AB /C /D /
，试用该图形验证勾股定理的正确性。
25、(10分) (参考数据：sin65
≈0.9,cos650
≈0.4
，tan650
≈
2.1,2≈1.4) 如图19-10，某海滨浴场岸边可近似地看成直
线，位于岸边A 处的救生员发现海中B
处有人求救，1号救生员没有直接从A 处游向B 处，而是在岸边自A 处跑300米到距离B 最近的D 处，然后游向B 图19-6
C D B
图19-5
图19-7
B E C
图19-8
D
图19-9
处；假定所有的救生员在岸边的跑行的速度这6米/秒，在海中游进的速度为2米/秒，∠BAD=450
。
① 请根据以上条件分析1号救生员的选择是否正确；
② 若2号救生员同时从A 处在岸边跑到C 处，再游向B 处，已知∠BCD=650，问哪位救生员先赶到B 处救人？(为
了便于计算，计算过程中的数值均可精确到0.1)。 26、(10分) 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
(1)2
+1=2，S 1=
21； (2)2
+1=3，S 2=22；
(3)2
+1=4，S 3=2
3；
…… ……
① 请用含有n(n 为正整数)的等式表示上述变化规律；
② 推算出OA 10的长
③ 求出S 12+ S 22+ S 32+…+ S 102
的值。
27、(12分) 如图19-12。公路AB 和铁路CD 在点P 处交汇，且∠BPD=600
，点Q 在∠BPD 的平分线上，且在Q 点处有一疗养院，PQ=240米，设大型运输车在行驶时。110米范围内都会受到噪声影响，火车在铁路上行驶时，周围200米以内都受噪声影响。
① 当大型运输车和火车分别沿PB 、PD 方向行驶时，疗养院是否会受到噪声的影响？请你与同学交流说明理由。
② 如果受到影响，已知大型运输车的平均速度为60千米/小时，火车的平均速度为90千米/小时，那么疗养院影响的时间为多少秒？ ③ 如果公路AB 上大型运输车的通过率为10辆/小时，铁路CD 上火车的通车率为5列/小时，请你计算一下该疗养院是否应该搬迁，并说明理由。
第25部分《解直角三角形》综合测试题B
图19-10
1 A 6 2
1
图19-11
图19-12
一、填空题：(每空2分，共30分)
1、 如图19-1，正方形A 的面积是16，正方形的面积B 为
9，那么正方形C 的面积为_______ 2、 计算：cos450
+tan600
-2sin300
=_____________
3、 若α为锐角，且cos α=sin400
，则α=____________
4、 已知tan(400-2α)=cot(800
+α)，则tan α=________
5、 用计算器计算sin180
=_______________
6、 计算：2sin600
-(
2
1 )-1+(2-1)0
=___________ 7、 如图19-2，一个小球由地面沿着坡度为i=1:2的坡面
向上前进10米，此时小球距离地面的高度为_________________
8、 如图19-3，P 是OA 上一点，且P 点在坐标为(3，4)，
则sin α=___________ 9、 在Rt △ABC 中，∠C=900
， sinA=
13
12 ,则sinB=____________
10、 在Rt △ABC 中，∠C=900，a=2, sinA=
3
1,则c=____________
11、 在△ABC 中，已知∠B 为锐角，AB=2cm ，BC=5cm ，S △ABC =4cm 2
，则cosB=__________ 12、 已知△ABC 中，∠C=900
，则tan
2
B
A =____________ 13、 青岛位于北纬3604/
，通过计算可以求得，在冬至日
正午的太阳入射角为300
(如图19-4)，因此，在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的距离最小为___________米，才能保证不挡光？(结果保留四位小数) 14、 如图19-5，某建筑物BC 直立于水平地面，AC=9米，需建造阶梯AB ，使每阶高不超过20cm ，则此阶梯最少
需要建________阶(最后一阶的高若不是20cm ，按一阶计算)。
15、 如图19-6，小明将一张矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B
点恰好落在AD 边上，设此点为F ，若AB ：BC=4：5，
则cos ∠DCF 的值为__________ 二、选择题(每小题3分，共24分)(四选一) 16、 设直角三角形的边长分别为a 、b 、c ，那么a ：b ：c
不可能等于( )
A. 3：5：4
B. 5：12：13
C. 2：3：4
D. 8：15：17 17、 在Rt △ABC 中，如果各边的长度扩大2倍，那么锐角∠A 的各三角函数值 A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 不能确定 18、 若sin α-cos α=m 则sin α·cos α的值为( )
图19-1
图19-3
图19-4
A C 图19-5 A E
B 图19-6
A.1+m 2
B.1-m
2
C.
21(1+m 2) D. 2
1 (1-m 2
) 19、 如图19-7，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点E 反射后照射到B 点，若
入射角为α(入射角等于反射角)。AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D 。且AC=3，BD=6，CD=11，则tan α的值为( )
A.311
B.113
C.119
D.9
11 20、 在Rt △ABC 的斜边AB 上另作Rt △ABD ，并以AB 为斜边，若BC=1，AC=b ，AD=2，则BD 的长为( ) A.12+b B. 32-b C. 12
+b +2 D.
52+b
21、
育人中学的师生准备测量某段渠水的深度，他们把一根竹竿插到离岸边1米远的水底，只见竹竿高出水面1尺，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，如图19-8，则渠水的深度与竹竿的长度分别为
A. 5米，4米
B. 5尺，4尺
C. 1尺，2尺
D.1米，2
米
22、 已知，如图19-9，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=450
，∠
C=1200
，AB=8，则CD 的长为( ) A.
368 B.46 C.3
2
8 D.42 23、 已知在Rt △ABC 中，∠C=900
，则关于x 的一元二次方程x 2
cotA-2x+cotB=0的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 根的情况由∠A 、∠B 的值确定。 三、解答题：(共46分)
24、 (7分)如图19-10。A 、B 、C 三个村庄在一条东西走向的公路上，AB=2千米，在B
村的正北方向有一个D 村，测得∠DAB=450，∠DCB=280
，
今将△ACD 区域进行规划，除其中面积为0.5平方千米的
水塘外，准备把剩余区域的一半作绿化用地，试求绿化
用地的面积(结果精确到0.1平方千米，
sin280=0.4695,cos280=0.8829,tan280=0.5317,cot280
=1.
8808)
25、 (7分)某片绿地的形状如图19-11，∠A=600
。AB ⊥
BC ， AD ⊥CD ，AB=200m ，CD=100m ，求AD 、BC 的长(精确到1m ，3≈1.732)
26、 (8分) 某村计划开挖一条长为1500m 的水渠，渠道的断
面为等腰梯形，渠道深0.8m ，下底宽1.2m ，坡度为450
，(如
图19-12)，实际开挖渠道时，每天比原计划多挖土20m 3
,结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米？
B
A
α
C E D
图19-7
图19-8
A D 45
0 120
0 图19-9
图19-10 图19-11
2019年中考数学专题复习 第十九讲解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数 【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
三、解直角三角形： 1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形 2、解直角三角形的依据： Rt ∠ABC 中，∠C=900 三边分别为a 、b 、c ⑴三边关系： ⑵两锐角关系 ⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA sinB cosB tanB 【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯 角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i= 坡面 与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=tanα=h l 。 ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA 表示 OB 表示 铅直 水平线 视线
2019年山东省临沂市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共42分） 1．（2019·临沂）|－2019|＝（） A．2019 B．－2019 C．D．－ 【解答】解：|－2019|＝2019． 故选：A． 【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．2．（2019·临沂）如图，a∥b，若∠1＝100°，则∠2的度数是（） A．110°B．80°C．70°D．60° 【解答】解：∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝100°． ∵∠2＋∠3＝180°， ∴∠2＝180°－∠3＝80°， 故选：B． 【点评】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．注意两直线平行，同位角相等．3．（2019·临沂）不等式1－2x≥0的解集是（） A．x≥2 B．x≥C．x≤2 D．x 【解答】解：移项，得－2x≥－1 系数化为1，得x≤；
所以，不等式的解集为x≤， 故选：D． 【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错． 解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 4．（2019·临沂）如图所示，正三棱柱的左视图（） A． B． C．D． 【解答】解：主视图是一个矩形，俯视图是两个矩形，左视图是三角形， 故选：A． 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．5．（2019·临沂）将a3b－ab进行因式分解，正确的是（） A．a（a2b－b） B．ab（a－1）2 C．ab（a＋1）（a－1）D．ab（a2－1） 【解答】解：a3b－ab＝ab（a2－1）＝ab（a＋1）（a－1）， 故选：C． 【点评】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；即：一提二套三分组． 6．（2019·临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF ＝3，则BD的长是（）
（第3题图） 2013年临沂市初中学生学业考试试题 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I 卷1至4页，第II 卷5至12页.共120分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共42分） 注意事项: 1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他的答案，不能答在试卷上. 3. 考试结束，将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.2-的绝对值是 （A ）2.（B ）2-. （C ） 12 . （D ）12-. 2.拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓.据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千克， 这个数据用科学计数法表示为 (A)110.510?千克. (B)95010?千克. (C)9510?千克. (D) 10510?千克. 3．如图，已知AB ∥CD ，∠2=135°，则∠1的度数是 (A) 35°. (B) 45°. (C) 55°. (D) 65°. 4．下列运算正确的是 (A)2 3 5 x x x +=. (B)4)2(2 2 -=-x x . (C)235 22x x x ?=. (D)() 74 3 x x =.
（第10题图） E D C B A 5 (A) (C) 6．化简 2 12 (1)211 a a a a +÷+-+-的结果是 (A) 11a -. (B)1 1a +. (C) 211a -. (D)2 1 1 a +. 7.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是 （A ）212cm π （B ）28cm π (C)26cm π (D)23cm π 8．不等式组20, 1 3.2 x x x ->?? ?+≥-??的解集是 (A)8x ≥. (B)2x >. (C)02x <<. (D)28x <≤ 9.在一次歌咏比赛中，某选手的得分情况如下：92, 88, 95, 93, 96, 95, 94. 这组数据的众数和中位数分别是 (A) 94，94 . (B) 95，95. (C) 94，95. (D) 95，94. 10.如图，四边形ABCD 中,AC 垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定．．． 成立的是 （A ） AB=AD. 3cm
2011年山东省临沂市中考数学试卷 一、选择题（本大题共14小题，毎小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中.只有一项是符合题目要求的。 1、（2011?临沂）下列各数中，比﹣1小的数是（） A、0 B、1 C、﹣2 D、2 考点：有理数大小比较。 专题：探究型。 分析：根据有理数比较大小的法则进行比较即可． 解答：解：∵﹣1是负数， ∴﹣1＜0，故A错误； ∵2＞1＞0， ∴2＞1＞0＞﹣1，故B、D错误； ∵|﹣2|＞|﹣1|， ∴﹣2＜﹣1，故C正确． 故选C． 点评：本题考查的是有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2、（2011?临沂）下列运算中正确的是（） A、（﹣ab）2=2a2b2 B、（a+b）2=a2+1 C、a6÷a2=a3 D、2a3+a3=3a3 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。 分析：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式：两数和的平方等于它们的平方和加上它们积的2倍；同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；根据法则一个个筛选． 解答：解：A、（﹣ab）2=（﹣1）2a2b2=a2b2，故此选项错误； B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
C、a6÷a2=a6﹣2=a4，故此选项错误； D、2a3+a3=（2+1）a3=3a3，故此选项正确． 故选D． 点评：此题主要考查了积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项的计算，一定要记准法则才能做题． 3、（2011?临沂）如图．己知AB∥CD，∠1=70°，则∠2的度数是（） A、60° B、70° C、80° D、110 考点：平行线的性质。 分析：由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数，又由邻补角的性质，即可求得∠2的度数． 解答：解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠3=70°， ∵∠2+∠3=180°， ∴∠2=110°． 故选D． 点评：此题考查了平行线的性质．注意数形结合思想的应用． 4、（2011?临沂）计算﹣6+的结果是（） A、3﹣2 B、5﹣ C、5﹣ D、2
2012年临沂市中考数学试卷一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分） 1．－1 6 的倒数是（） A．6 B．－6 C．1 6 D．－ 1 6 2．太阳的半径大约是696000千米，用科学记数法可表示为（） A．696×103千米B．69.6×104千米C．6.96×105千米D．6.96×106千米3．下列计算正确的是（） A．2a2+4a2=6a4B．（a+1）2=a2+1 C．（a2）3=a5D．x7÷x5=x2 4．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（） A．40°B．50°C．60°D．140° 5．化简 4 1+ 22 a a a ÷ -- （）的结果是（） A． 2 a a + B． 2 a a+ C． 2 a a - D． 2 a a- 6．在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（） A．1 4 B． 1 2 C． 3 4 D．1 7．用配方法解一元二次方程x2－4x=5时，此方程可变形为（） A．（x＋2）2 =1 B．（x－2）2 =1 C．（x＋2）2 =9 D．（x－2）2 =9 8．不等式组 215 31 1 2 x x x -< ? ? ?- +≥ ?? ， 的解集在数轴上表示正确的是（） A ．B ．C ．D ． 9．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（） A．18cm2B．20cm2 C．（ cm2 D．（ cm2 10．关于x、y的方程组 3, x y m x my n -= ? ? += ? 的解是 1, 1. x y = ? ? = ? 则|m－n|的值是（） A．5 B．3 C．2 D．1 11．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（） A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD 12．如图，若点M是x轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数y=1 k x （x＞0）和y=2 k x （x＞0）的图象于点P和Q，连接OP和OQ．则下列结论正确的是（） A．∠POQ不可能等于90°B．1 2 k PM QM k = C．这两个函数的图象一定关于x轴对称D．△POQ的面积是 1 2 （|k1|+|k2|） 13．如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（） A．1 B ． 2 C D． 14．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C 和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（） A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 15．分解因式：a－6ab+9ab2= ． 16 ．计算：= ． 17．如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= °．
解直角三角形应用篇 1．（2019山东泰安中考）（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km． A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30 2．（2019山东淄博中考）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（） A．130°B．120°C．110°D．100° 3.（2019山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45?，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4?（如图② ?≈，所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米（精确到1米）（参考数据：sin63.40.89 ?≈，tan63.4 2.00 ?≈ 1.41 cos63.40.45 ≈） ≈ 1.73 4. (2019甘肃中考 7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这-课题进行了探究，过程如下: 问题提出: 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计: 如图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD 数据收集: 通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA 与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大(∠ADC=°):冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角 ∠BDC最小(∠BDC=°);窗户的高度AB=2m 问题解决: 根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长. (结果精确到,参考数据:°≈，°≈, °≈
初三解直角三角形基本模型复习
课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角 度； 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10分钟） 1.（2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学 楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离 AB=30m． （1）求∠BCD的度数． （2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0 1.解直角三角形的定义：
在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则： ①三边关系：a 2＋b 2= c 2 ； ②两锐角关系：∠A ＋∠B= 90°； ③边与角关系：sin A=cos B= a c ，cos A=sin B=b c ，tan A=a b ； ④平方关系：1cos sin 2 2=+A A ⑥倒数关系：tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系：tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长； ②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.（2017?恩施州）如图，小明家在学校O 的北偏东60°方向，距离学校80米的A 处，小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） 例2（2017?海南）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE 的坡度i=1：1（即DB ：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC ． （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
2018年山东临沂中考数学试卷 一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）（2018?临沂）在实数﹣3，﹣1，0，1中，最小的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1 2．（3分）（2018?临沂）自2013年10月习近平总书记提出“精准扶贫”的重要思想以来．各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度．全国脱贫人口数不断增加．仅2017年我国减少的贫困人口就接近1100万人．将1100万人用科学记数法表示为（） A．1.1×103人B．1.1×107人C．1.1×108人D．11×106人 3．（3分）（2018?临沂）如图，AB∥CD，∠D=42°，∠CBA=64°，则∠CBD的度数是（） A．42°B．64°C．74°D．106° 4．（3分）（2018?临沂）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（）A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2=D．（y﹣）2= 5．（3分）（2018?临沂）不等式组＜ 的正整数解的个数是（） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（3分）（2018?临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m 7．（3分）（2018?临沂）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（） A．12cm2B．（12+π）cm2 C．6πcm2D．8πcm2 8．（3分）（2018?临沂）2018年某市初中学业水平实验操作考试．要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是（） A．B．C．D． 9．（3分）（2018?临沂）如表是某公司员工月收入的资料． 能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（） A．平均数和众数B．平均数和中位数 C．中位数和众数D．平均数和方差 10．（3分）（2018?临沂）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（） A．=B．= C．=D．=
2019年山东省临沂市中考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共42分） 1．（3分）|﹣2019|＝（） A．2019B．﹣2019C．D．﹣ 2．（3分）如图，a∥b，若∠1＝100°，则∠2的度数是（） A．110°B．80°C．70°D．60° 3．（3分）不等式1﹣2x≥0的解集是（） A．x≥2B．x≥C．x≤2D．x 4．（3分）如图所示，正三棱柱的左视图（） A．B． C．D． 5．（3分）将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（） A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2 C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1） 6．（3分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF ＝3，则BD的长是（）
A．0.5B．1C．1.5D．2 7．（3分）下列计算错误的是（） A．（a3b）?（ab2）＝a4b3B．（﹣mn3）2＝m2n6 C．a5÷a﹣2＝a3D．xy2﹣xy2＝xy2 8．（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是（）A．B．C．D． 9．（3分）计算﹣a﹣1的正确结果是（） A．﹣B．C．﹣D． 10．（3分）小明记录了临沂市五月份某周每天的日最高气温（单位：℃），列成如表：天数（天）1213 最高气温（℃）22262829 则这周最高气温的平均值是（） A．26.25℃B．27℃C．28℃D．29℃ 11．（3分）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（） A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π 12．（3分）下列关于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0）的说法，错误的是（）A．图象经过第一、二、四象限
解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结） 1、解直角三角形的类型与解法 已知、解法 三角 类型 已 知 条 件 解 法 步 骤 Rt △ABC B c a A b C 两 边 两直角边（如a ，b ） 由tan A ＝a b ，求∠A ；∠B ＝90°－A ， c ＝ 2 2b a + 斜边，一直角边（如c ，a ） 由Sin A ＝a c ，求∠A ；∠B ＝90°－A ，b ＝22a -c 一 边 一 角 一角边 和 一锐角 锐角，邻边 （如∠A ，b ） ∠B ＝90°－A ，a ＝b ·Sin A ，c ＝b cosA cosA 锐角，对边 （如∠A ，a ） ∠B ＝90°－A ，b ＝a tanA ，c ＝a sinA 斜边，锐角（如c ，∠A ） ∠B ＝90°－A ，a ＝c ·Sin A ， b ＝c ·cos A 2、测量物体的高度的常见模型 1）利用水平距离测量物体高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 侧倾器 皮尺 α、β、 水平距离a tan α＝1 x ι ，tan β＝2x ι ι＝a ·tan α·tan βtan α＋tan β 直角 三角 形的 边角 关系 tan α＝ x a +ι tan β＝ x ι ι＝a ·tan α·tan β tan β－tan α 2)测量底部可以到达的物体的高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 皮尺 镜子 目高a 1 水平距离a 2 3a h ＝2 1a a ，h ＝231a a a 反射 定律 β α a x 1 x 2 ι α β x a ι 镜子 1a 2a 3a h
2007年山东省临沂市初中毕业与高中招生考试 数 学试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至12页。满分120 分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共42分) 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。不能答在试卷上。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题(本大题共14小题，每小题3分，共42分)在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 01．－5的绝对值是（ ）。 A 、－5 B 、5 C 、5 1 D 、51- 02．据了解，我市每年用于校舍维护维修的资金约需7300万元，用科学记数法表示这一数据为（ ）。 A 、7.3×106元 B 、73×106元 C 、7.3×107元 D 、73×107元 03．下列运算正确的是（ ）。 A 、x 3＋x 5＝x 8 B 、(x 3)2＝x 9 C 、x 4·x 3＝x 7 D 、(x ＋3)2＝x 2＋9 04．如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点D 、E 分别在AB 、AC 上，则∠1＋∠2的大小为（ ）。 A 、130° B 、230° C 、180° D 、310° 05．计算)4831375(12-+的结果是（ ）。 A 、6 B 、34 C 、632+ D 、12 06．如图表示一个用于防震的L 形的包装用泡沫塑料，当俯视这一物体时看到的图形形状是（ ）。 07．若a ＜b ＜0，则下列式子：①a ＋1＜b ＋2；② b a ＞1；③a ＋b ＜ab ；④a 1＜b 1中，正确的有（ ）。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 08．已知反比例函数x k y =的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点A (72，y 1)、B (5，y 2)，则y 1与y 2的大小关系为（ ）。 A 、y 1＞y 2 B 、y 1＝y 2 C 、y 1＜y 2 D 、无法确定 A 1 C D E 2 (第04题图 ) A B C D (第06题图) y k 2x
2017年山东省临沂市中考数学试卷 一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分） 1.﹣的相反数是（）A．B．﹣C．2017 D．﹣2017 2.如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是 （） A．50°B．60°C．70°D．80° 3.下列计算正确的是（）A．﹣（a﹣b）=﹣a﹣b B．a2+a2=a4 C．a2?a3=a6 D．（ab2）2=a2b4 4.不等式组中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（）A． B. C．D． 5.如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（） A．B．C．D． 6.小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（）A．B．C．D．
7.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形 8.甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（）A．=B．=C．=D．= 9.某公司有15名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示： 部门人数每人创年利润（万 元） A110 B38 C75 D43 这15名员工每人所创年利润的众数、中位数分别是（）A．10，5 B．7，8 C．5，6.5 D．5，5 10.如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（） A．2 B．﹣πC．1 D．+π 11.将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是（） A．11 B．12 C．13 D．14
WORD格式 解直角三角形应用篇 1．（2019 山东泰安中考）（ 4 分）如图，一艘船由 A 港沿北偏东65°方向航行30km 至 B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至 C 港， C 港在 A 港北偏东 20°方向，则A， C 两港之间的距离为（）km． A． 30+30B． 30+10C． 10+30D． 30 2．（2019 山东淄博中考）如图，小明从 A 处沿北偏东40°方向行走至点 B 处，又从点 B 处沿东偏南 20 方向行走至点 C 处，则∠ ABC等于（） A． 130° B． 120° C． 110 ° D． 100 ° 3（.2019 山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点 A 处测得大楼部分楼体 CD的顶端 C 点的仰角为45，底端 D 点的仰角为 30°，在同一剖面沿水平地面向前走20 米到达 B 处，测得顶端 C 的仰角为63.4 （如图② 所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到 1 米）（参考数据：sin63.40.89，
cos63.40.45 ，tan63.42.00，21.41， 31.73 ） 专业资料整理
WORD格式 的
专业资料整理
WORD格式4. ( 题出: 2 进1 行是 1 炎了某 9 热探方案设计 : 甘住 的究2 肃户 :阳, 中数窗据收集 : 光该 考户 ，通 7数上 与 又过 分学方 遮 能 阳篷 CD查的夹角 )课安 阳 最阅 题 某∠ BDC最装小 ( ∠ BDC=30.56° ); 窗户的高度 篷: 大 数研的决: 限C兰 学究， D度根 州 课小要 的 地据 市 题组求 夹 使上 结一 研通设 角述 冬 果年 究过计 ∠°≈ 0.51 天方 中 小调0.1m, 参考数据 :sin30.56的 A温案， 组查遮 D暖及夏 针研阳 C的数至 对究篷 最 阳据 这 兰设既 大 光， 一 州AC的遮阳篷 CD能 (射求 市天最 ∠的遮 .住大 A阳 房正限 D篷 窗午度 C C时 户夏天 =.刻 设计遮阳篷”这 - 课 7， 7太 .DA 4 4 ° ) : 冬 至 这 一 天 的正 午 时 刻 ， 太 DB与遮
课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角度； 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10分钟） 1.（2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼 顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m． （1）求∠BCD的度数． （2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0
1.解直角三角形的定义： 在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则： ①三边关系：a 2＋b 2= c 2 ； ②两锐角关系：∠A ＋∠B= 90°； ③边与角关系：sin A=cos B= a c ，cos A=sin B= b c ，tan A=a b ； ④平方关系：1cos sin 2 2 =+A A ⑥倒数关系：tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系：tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长； ②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.（2017?恩施州）如图，小明家在学校O 的北偏东60°方向，距离学校80米的A 处，小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
2012年临沂市初中学生考试试卷 数学 第Ⅰ卷(选择题共42分) 一、选择题(本大题共14小题，每小题3分，共42分)在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2012山东临沂，1，3分） 1 6 -的倒数是( ) A.6 B.－6 C.1 6 D. 1 6 - 【答案】B 2.（2012山东临沂，2，3分）太阳的半径约为696000千米，把这个数据用科学记数法表示为( ) A. 696×103千米 B. 69.6×104千米 C.6.96×105千米 D.6.96×106千米 【答案】C 3.（2012山东临沂，3，3分）下列计算正确的是( ) A. 2a2＋4a2＝6a4 B.(a＋1)2＝a2＋1 C.(a2)3＝a5 D.x7÷x5＝x2 【答案】D 4.（2012山东临沂，4，3分）如图，AB∥CD，OB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 140° 【答案】B 5.（2012山东临沂，5，3分）化简(1+ 4 2 a- )÷ 2 a a- 的结果是( ) A. 2 a a + B. 2 a a+ C. 2 a a - D. 2 a a- 【答案】A 6.（2012山东临沂，6，3分）在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中 随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是( ) A.1 4 B. 1 2 C. 3 4 D.1 【答案】B 7.（2012山东临沂，7，3分）用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( ) A.(x＋2)2＝1 B.(x－2)2＝1 C.(x＋2)2＝9 D.(x－2)2＝9
（第10题图） E D C B A （第3题图） 2013年临沂市初中学生学业考试试题 数 学 一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.2-的绝对值是 （A ）2. （B ）2-. （C ） 12. （D ）12 -. 2.拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓.据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千 克，这个数据用科学计数法表示为 (A)110.510?千克. (B)95010?千克. (C)9510?千克. (D) 10510?千克. 3．如图，已知AB ∥CD ，∠2=135°，则∠1的度数是 (A) 35°. (B) 45°. (C) 55°. (D) 65°. 4．下列运算正确的是 (A)2 3 5 x x x +=. (B)4)2(22-=-x x . (C)23522x x x ?=. (D)() 74 3x x =. 5 (A) (C) . 6．化简2 12 (1)211 a a a a +÷+-+-的结果是 (A) 11a -. (B)11a +. (C)211a -. (D)211 a +. 7.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是 （A 23cm π 8．不等式组1 3.2 x x x ? ?+≥-??的解集是 (A)8x ≥. (B)2x >. (C)02x <<. (D)28x <≤ 9.在一次歌咏比赛中，某选手的得分情况如下：92, 88, 95, 93, 96, 95, 94.这组数据的众数和中位数分别是 (A) 94，94 . (B) 95，95. (C) 94，95. (D) 95， 3cm
中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示，则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （2012?内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB，
课题解直角三角形模型 教学目标 1.熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角度； 2.学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10 分钟） 1. （ 2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口 C 测得教学楼 顶部 D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为 20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m． （ 1）求∠ BCD的度数． （ 2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20 °≈ 0.36 ， tan18 °≈ 0.32 ） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sin α01 cos α10 tan α0无穷大 cot α无穷大10
1.解直角三角形的定义： 在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素，即 3 条边和 2 个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在 Rt △ ABC中，∠ C=90°，则：① 三边关系： a2＋ b2= c 2；②两锐角关 系：∠ A＋∠ B= 90 °； ③边与角关系： sin A=cos B=a ， cos A=sin B= b ， tan A=a ； c c b ④平方关系： sin 2 A cos2 A1 ⑥倒数关系： tan A? tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系： tan A=sin A cos A 3. 解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长；②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一背靠背 例 1. （ 2017?恩施州）如图，小明家在学校 O的北偏东 60°方向，距离学校 80 米的 A 处，小华家在学校 O的南偏东 45°方向的 B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距 离．（结果精确到 1 米，参考数据：≈ 1.41，≈ 1.73，≈ 2.45）
2012年临沂市初中学生学业考试试题 数 学 一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，满分42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2012临沂）1 6 -的倒数是（ ） A ．6 B ．﹣6 C ．16 D ．1 6 - 考点：倒数。 解答：解：∵（﹣）×（﹣6）=1， ∴﹣的倒数是﹣6． 故选B ． 2．（2012临沂）太阳的半径大约是696000千米，用科学记数法可表示为（ ） A ．696×103千米 B ．696×104千米 C ．696×105千米 D ．696×106 千米 考点：科学记数法—表示较大的数。 解答：解：696000=696×105 ； 故选C ． 3．（2012临沂）下列计算正确的是（ ） A ． 224 246a a a += B ． ()2 211a a +=+ C ． () 3 25a a = D ． 752 x x x ÷= 考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法。 解答：解：A ．2a 2+4a 2=6a 2 ，所以A 选项不正确； B ．（a +1）2=a 2 +2a +1，所以B 选项不正确； C ．（a 2）5=a 10 ，所以C 选项不正确； D ．x 7÷x 5=x 2 ，所以D 选项正确． 故选D ． 4．（2012临沂）如图，AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠1=40°，则∠2的度数是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．140° 考点：平行线的性质；直角三角形的性质。 解答：解：∵AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠1=40°， ∴∠3=∠1=40°， ∵DB ⊥BC ， ∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣40°=50°．
秘密★启用前 试卷类型：A 2020年临沂市初中学业水平考试试题 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共42分） 一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列温度比2-℃低的是（ ） A. 3-℃ B. 1-℃ C. 1℃ D. 3℃ 2.下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3.如图，数轴上点A 对应的数是32 ，将点A 沿数轴向左移动2个单位至点B ，则点B 对应的数是（ ） A. 12- B. 2- C. 72 D. 12 4.根据图中三视图可知该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 5.如图，在ABC 中，AB AC =，40A ?∠=，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）
A. 40? B. 50? C. 60? D. 70? 6.计算()23 22a a -÷的结果是（ ） A. 32-a B. 42a - C. 34a D. 44a 7. 设2a =，则（ ） A. 23a << B. 34a << C. 45a << D. 56a << 8.一元二次方程2480x x --=的解是（ ） A. 12x =-+ 22x =-- B. 12x =+ 22x =- C. 12x =+ 22x =- D. 1x = ，2x =-9.从马鸣、杨豪、陆畅，江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（ ） A. 112 B. 18 C. 16 D. 12 10.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x 人，y 辆车，可列方程组为（ ） A. 2392x y x y ?=+????+=?? B. 2392x y x y ?=-???-?=?? C. 2392x y x y ?=+???-?=?? D. 2392 x y x y ?=-????-=?? 11.下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图，比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是（ ） A. 甲平均分高，成绩稳定 B. 甲平均分高，成绩不稳定