选修2-1,2.3.2直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线问题选讲

一、教学目标：

1．知识与技能：

①运用用代数的方法来研究，直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线公共点个数问题.

②能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题.

③掌握相交时的弦长，弦中点或相关轨迹问题，三角形面积问题，对称性问题，存在性问题,与向量综合等问题.

2．过程与方法：

根据诱思探究学科教学论，改变“老师滔滔讲，学生默默听”的传统教学模式，变教师的“满堂教”为学生的“满堂学” .让“教堂”变为“学堂”。在本节课教学中充分安排回忆、尝试、讨论、发言、实物演示，让学生参与到数学知识的探索、发现过程中去，体验知识的形成过程.

二、教学重点、难点：

重点：理解并掌握直线与双曲线的位置关系，并能类比直线与椭圆的位置关系进行求解.

难点：让学生掌握利用代数方法研究解析几何的基本方法. 理解分类讨论、数形结合等数学思想.

三、学情分析

1．能力分析：

①学生已掌握用双曲线简单几何性质的工具.

②学生学生能理解并掌握直线与双曲线的位置关系，并能类比直线与椭圆的位置关系进行

求解.

2.认知分析：学生已熟悉从方程讨论曲线几何性质的基本步骤.

四、教学程序

1. 复习引入，创设问题情境

前面我们学习了直线与椭圆的位置关系，那么请同学们回答：

直线与椭圆的位置关系有几种？想一想如何通过图像来表示?它的理论依据是什么?

（简要实录：由于刚学过大家很齐声的回答三种：相离、相交、相切.

请一位同学板演草图，虽不规范但能反映出位置关系.

第三问是理论知识，再请一同学回答应为：联立方程组，得到一元二次方程通过判别式（或解的个数）来说明.

当判别式大于零（或两个不等的根），相交；当判别式等于零（或两个等根），相切；当判别式小于零（或无根），相离.回答的比较完整.

设计意图：通过回忆、总结加强对直线与椭圆位置关系的感性和理性认知，并为学习直线与双曲线的位置关系这节课作下铺垫。） 2.探索研究，体验感悟 一、直线与双曲线的位置关系：

例1. 已知双曲线422=-y x ，直线)1(-=x k y 试讨论k 的取值范围，使直线与双曲线

①有两个公共点； ②有且只有一个公共点； ③没有公共点.

设计意图：三个题中前两个类似直线与椭圆的位置关系，但变式二既要考虑直线是否存在，又要对二次项的系数加以讨论.而且位置关系不同于前面的情况，比较特殊.为此通过多媒体演示其位置关系，给以直观的感受，从而使抽象问题直观化，帮助其理解.

直线l 与双曲线有两个公共点. ②当??

?

≠-=?0

10

2

k

或012

=-k

时，直线l 与双曲线只有一个公共点,解得

1,3

32±=±

=k k 或.

③当??

?≠-

10

2

k

时, 即3

323

32>

-

归纳总结：让学生分组讨论，进行小结，比赛看哪个组总结的最好.学生有了亲身的体验，学生们非常积极，举手回答：

学生1：在联立方程组变为一元的方程后，要对二次项系数加以讨论. 学生2：对于有关直线方程的设的问题，注意对直线是否存在要讨论.

学生3：既要联立方程组，又要考虑直线设法及二次项系数是否为零. （设计意图：大家发言都很好，通过多媒体演示小结.）

延伸拓广：

思考：过平面内一定点作直线，这样的直线的条数问题.

深化问题 例2.

直线)1(:+=x k y l 与双曲线122=-y x 的右支交于不同的两点，求l 斜率的取值范围.

变式：过点)3,0(的直线l 与双曲线

13

4

2

2

=-

y

x

只有一个公共点，求直线l 的方程.

设计意图：由于在上面的基础上解决此题，不同的地方就是交点在右支上，教师可以巡回引导，对于程度较好的提出结合图象理解，最后把两组学生的作品用实物投影机展示，并加以点评，同学们有了清晰的认识，“相交”与“相交于右支”都可以联立方程，由韦达定理来求得.）

学生分组讨论，互相补充很快得出结论，摘录如下：

学生1：联立方程组，通过有两个正根的等价条件.注意直线的斜率及二次项系数. 学生2：数形结合思想.这样的话对于数学思想的运用有了深刻的理解.

提醒：本题还可拓展延伸：若相交于左支或是左右各一支，怎么求斜率的范围？ 二、直线与双曲线的相交弦问题： 例3.过双曲线

16

3

2

2

=-

y

x

的右焦点2F ,倾斜角为0

30的直线交双曲线与AB 两点，求弦

||AB 的长.

设计意图：

运用直线与圆锥曲线的弦长公式，并引导学生学会类比直线与椭圆的相交情况，通过分类讨论，引导学生形成结论：不管直线与双曲线交于同一支还是不同支，弦长公式仍然适用. 过中点的双曲线弦的直线方程：

例3答案：联立方程：??

???=---=-062)

3(3

3022y x x y ，消去y 得：027652=-+x x ，由弦长公式5

3

165

5763

11|

|1||2

=

+

=?+=a k

AB .

例4.已知双曲线

12

4

2

2

=-

y

x

.

①过点)1,1(M 的直线交双曲线于B A ,两点，若M 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程. ②是否存在直线l ，使得)21

,1(N 是被双曲线所截弦的中点？

设计意图：

在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，若能利用中点求出直线方程，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”. 点差法：适应的常见问题：弦的斜率与弦的中点问题 例4答案：①04

32

1=+

-y x ②不存在

归纳：

①注意：点差法的检验方法：有意义的范围为中点),(y x M 满足

12

22

2>-

b

y a

x 或

02

22

2<-

b

y a

x .

②“点差法”常见题型有：（1）求中点弦方程、（2）求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、③垂直平分线问题.

三、直线与双曲线位置关系的综合问题：

例5.直线1:+=kx y l 与双曲线12:2

2

=-y x C 的右支交于不同的两点B A ,. ①求实数k 的取值范围；

②是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.

设计意图：

培养学生分析、归纳、推理、类比等能力，使学生进一步掌握利用代数方法研究解析几何的基本方法，加深对解析几何本质的理解及其应用。 例6答案：

① 直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点B A ,,联立方程组：

???=-+=1

21

2

2y x kx y 整理得： 022)2(22=--?-kx x k 由???

?

?????

>-=+>--=?>-=-+-=?022*******)2(8)2(2212

21222k k x x k x x k k k 所以，k 的范围为： 22-<<-k

②假设存在这样的k ，则根据圆的性质， AF 与BF 垂直. 先求F 的坐标.双曲线的2

6,1,2

2=

==

c b a 则，F 的坐标为(

2

6, 0)

设B A ,坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ，则由AF 与BF 垂直，得：AF 的斜率 * BF 的

斜率1-=因此：02

32

6)(212121=+?

+-+x x y y x x

由于1:+=kx y l ，所以：1)()1)(1(21212

2121+++?=++=x x k x x k kx kx y y 而2

212

2122,22k

x x k

k x x --=

-=

+

代入，得： 066252

=-+k k ，解得0(5

)

66(<--=k k ），舍去正根.

比较得到，这个k 落在)2,2(--范围内.

所以k 存在，且5

)

66(--=k .

教学反思：

学生已经有了直线和双曲线联立方程用△法判断位置关系的思想.但没有一个学生考虑到二次项系数为0的情况,因此例1两个班级没有一个人全对.直线和双曲线交点个数问题也有部分学生错误的认为最多有4个.这些问题很糟糕,但也在意料之中.

双曲线中交点的个数和位置关系的联系和椭圆\圆不一样,相交可以是1个交点也可以2个交点,一个交点的情况不一定相切.但判定方法依旧不变△=0相且,△>0相交,△<0相离.这一点学生表面上好象已经明白,但我相信还有一大部分的人依旧不清楚,需要通过明天的课来进一步强化.

在这节课的教学中“点差法”是由弦的两端点坐标代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子，（也称中点和斜率结合公式）再结合有关条件来求解．当题目涉及弦的中点、斜率时，一般都可以用点差法来解．这种方法可以减少运算量，优化解题过程，达到“设而不求”的目的．

高中数学 选修1-1 18.直线与双曲线的位置关系

18.直线与双曲线的位置关系 教学目标 班级_____姓名________ 1.了解直线与双曲线的位置关系. 2.掌握双曲线中弦长问题的解法. 教学过程 一、直线与双曲线的位置关系. 1.直线与双曲线的位置关系. （1）相交：①有两个交点:交点在双曲线同一支或交点在双曲线两支上； ②有一个交点；（直线与渐近线平行时） （2）相切：直线与双曲线相切，只有一个交点.（直线只能与双曲线的一支相切） （3）相离：直线与双曲线无交点. 2.分析直线与双曲线的位置关系. （1）通过斜率分析.（已知直线恒过定点） （2）通过?分析.（注意特殊情况） 3.弦长公式. 设直线方程m kx y +=，直线与双曲线相交，两交点分别为),(11y x A ，),(22y x B . 则 （1）2122124)(1||x x x x k AB -+?+=（联立方程，消y ，应用韦达定理）； （2）2122124)(11||y y y y k AB -+?+ =（联立方程，消x ，应用韦达定理）. 二、例题分析. 1.直线与双曲线的位置关系. 例1：已知双曲线C ：122 2 =-y x ，直线l 过点P )1,1(，当斜率k 为何值时，直线l 与双曲线C ：（1）有一个公共点；（2）有两个公共点；（3）无公共点.

2.双曲线中的弦长问题. 例2：双曲线的两条渐近线的方程为x y 2±=，且经过点)32,3(-，若过双曲线的右焦点F 且倾斜角为 60的直线交双曲线于A 、B 两点，求AB 弦长. 作业：已知斜率为2的直线l 在双曲线12 32 2=-y x 上截得的弦长为4，求直线l 的方程.

直线与双曲线位置关系

直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程 知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 设直线y=kx+b ，双曲线x 2a 2－ y 2b 2 ＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B 2 －4AC 。 若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点； 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题 设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y→ax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。 弦长公式：12||PP =1212x y y -=-（k 为直线斜率） 例题选讲： 例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．求实数k 的取值范围； 解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，

故????? k 2－2≠0， Δ＝(2k )2 －8(k 2 －2)>0，－2k k 2－2>0， 2 k 2 －2>0. 解得k 的取值范围是－2

直线与圆锥曲线的位置关系专题复习

直线与圆锥曲线的位置关系 一.知识网络结构： 2. 直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax2 bx c 0。 ① .若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合； 当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。 ② .若a 0，设b2 4ac。a . 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 b. 0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。 c. 0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。 二.常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系： 2 2 例1.椭圆—J 1上的点到直线X 2y .2 0的最大距离是（） 16 4 A.3 B. ,11 C. 2 2 D. . 10 2 2 例2.如果椭圆—y 1的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在的直线方程是（） 36 9 A. x 2y 0 B. x 2y 4 0 C. 2x 3y 12 0 D. x 2y 8 0 题型二：直线与双曲线的位置关系： 例3.已知直线L:y kx 1与双曲线C:x2 y2=4。 ⑴若直线L与双曲线C无公共点，求k的范围；⑵若直线L与双曲线C有两个公共点，求k 的范围； ⑶若直线L与双曲线C有一个公共点，求k的范围；⑷若直线L与双曲线C的右支有两个公共点，求k的范围；⑸若直线L与双曲线C的两支各有一个公共点，求k的范围。 题型三：直线与抛物线的位置关系： 例4.在抛物线y2 2x上求一点P,使P到焦点F与P到点A（3,2）的距离之和最小。

巩固练习直线与双曲线的位置关系文基础

【巩固练习】 一、选择题 1．双曲线2233x y -=的渐近线方程是( ) A ．3y x =± B ．1 3y x =± C ．y = D ．y x = 2．椭圆22214x y m +=与双曲线22 212 x y m -=有相同的焦点，则m 的值是( ) A ．±1 B ．1 C ．－1 D ．不存在 3．已知双曲线方程为22 1205 x y -=，那么它的半焦距是( ) A ．5 B ．2.5 C. D. 4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D. 14 5. 已知双曲线的两个焦点为F 1(0)、F 20)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A. 22123x y -= B. 22132x y -= C. 2 214x y -= D ．2 2 14y x -= 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16 B ．18 C ．21 D ．26 二、填空题 7．已知双曲线22 1124 x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．

8．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条． 9．已知双曲线22 221x y a b -= (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率e 的最大值为________． 10．设一个圆的圆心在双曲线22 1916 y x -=的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O 到该圆圆心的距离是________． 三、解答题 11.已知双曲线的中心在原点，焦点为F 1 ，F 2（0，），且离心率2e =，求双曲线 的标准方程及其渐近线． 12．设双曲线C ：1:)0(1222 =+>=-y x l a y a x 与直线相交于两个不同的点A 、B ；求双曲线C 的离心率e 的取值范围： 13．设双曲线22 22b y a x -=1（00，b >0)的两个焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°，求双曲线的渐近线方程．

直线与圆锥曲线的位置关系详解

直线与圆锥曲线的位置关系 ●知识梳理 本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式. ●点击双基 1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况. 答案：B 2.已知双曲线C ：x 2－4 2y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：数形结合法，与渐近线平行、相切. 答案：D 3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是 A.（－∞，0） B.（1，＋∞） C.（－∞，0）∪（1，+∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）

解析：数形结合法，与渐近线斜率比较. 答案：C 4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________. 解析：由题意知抛物线焦点F （1，0）.设过焦点F （1，0）的直线为y =k （x －1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）. 代入抛物线方程消去y 得k 2x 2－2（k 2+2）x +k 2=0. ∵k 2≠0，∴x 1+x 2=2 2)2(2k k +，x 1x 2=1. ∵|AB |=2212))(1(x x k -+ =]4))[(1(212212x x x x k -++ =]4)2(4)[1(42 22 -++k k k =8， ∴k 2=1. ∴△OAB 的重心的横坐标为x = 3 021x x ++=2. 答案：2 5.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +9 2y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____________. 解析：设直线l 与椭圆交于P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）， 将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率k =2121x x y y --=－) (42121y y x x ++=

直线与双曲线位置关系典例精析

直线和双曲线的位置关系 一、要点精讲 1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离. 2．弦长公式：设直线 y kx b 交双曲线于 P 1 x 1 , y 1 ， P 2 x 2 , y 2 ， 则 P 1P 2 x 1 x 2 1 k 2 1 k 2 x 1 x 2 2 4x 1 x 2 ， 或 P 1P 2 y 1 y 2 1 1 1 1 y 1 y 2 2 4y 1 y 2 k 0 ． k 2 k 2 二、基础自测 1．经过点 P 1 ,2 且与双曲线 4x 2 y 2 1仅有一个公共点的直线有（ ） 2 (A)4 条 (B) 3 条 (C) 2 条 (D) 1 条 2．直线 y= kx 与双曲线 4x 2 y 2 16 不可能（ ） （ A ）相交 （ B ）只有一个交点 （ C ）相离 （ D ）有两个公共 点 3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线 y 2 x 2 的通径长是 16 1 9 (A) 9 (B) 9 (C)9 (D)10 4 2 4 ． 若 一 直 线 l 平 行 于双 曲 线 的 一 条 渐 近线 ， 则 l 与 双 曲线 的公 共 点 个 数 为 ． 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与 双曲线不是相切 5．经过双曲线 x 2 y 2 8 的右焦点且斜率为 2 的直线被双曲线截得的线段的长

是． 6．直线l在双曲线x 2y21上截得的弦长为4，且l的斜率为 2，求直线l的方程．32 三、典例精析 题型一：直线与双曲线的位置关系 1.如果直线y kx 1 与双曲线 x 2y 2 4 没有公共点，求k的取值范围．有两个公共点呢？ 解，所以△ =(b )240 ，所以 b 2 ，e c a2b2 1 ( b )2 5 ，故选D. a a a a a 2．(2010 ·安徽 )若直线 y＝kx＋2与双曲线 x2－ y2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是() A.15 ,15 B. 0,15 C.15 ,0 D.15 ,1 33333 y＝kx＋ 2， 1k 20 2216k2 4 1k210 0 解：由 得 (1－ k )x －－＝，∴，解 x2－y2＝ 64kx 10 0x1x20 x1x20 15 得－3

圆锥曲线-直线与圆锥曲线位置关系

直线与圆锥曲线位置关系 一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定， 下面以直线y kx m =+和椭圆：()22 2210x y a b a b +=>>为例 （1）联立直线与椭圆方程：222222 y kx m b x a y a b =+??+=? （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：() 2 22 2 22b x a kx m a b ++=，整理可得： ()22 222222220a k b x a kxm a m a b +++-= （3）通过计算判别式?的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ 0?>为例： （1）联立直线与双曲线方程：22 2 2 22 y kx m b x a y a b =+?? -=?，消元代入后可得： ()()2 2222222220b a k x a kxm a m a b ---+= （2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2 2 2 0a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为2 2 2 b a k -，有可能为零。所以要分情况进行讨论

A 知识讲解 直线与双曲线的位置关系(理)

直线与双曲线的位置关系 编稿：张希勇 审稿：李霞 【学习目标】 1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程； 2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题； 3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】 【要点梳理】 【高清课堂：双曲线的性质 371712一、复习】 要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义 在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 双曲线的标准方程： 焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 22 221(0,0) x y a b a b -=>>2 2 22 1(0,0)y x a b a b -=>>

说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2 要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值. 要点二、双曲线的几何性质 标准方程 22 2 21x y a b -=(0,0)a b >> 22 2 21y x a b -=(0,0)a b >> 图形 性质 焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c 焦距 2212||2()F F c c a b ==+ 2212||2()F F c c a b ==+ 范围 {}x x a x a ≤-≥或，y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或，x R ∈ 对称 性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 轴 实轴长=a 2，虚轴长=2b 离心率 (1)c e e a = > 渐近线方程 x a b y ± = a y x b =± 要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22 221x y a b -=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x

高中数学破题致胜微方法直线与双曲线的位置关系：12-双曲线的焦点弦长公式推导一 含解析 精品

今天我们介绍双曲线的焦点弦。如果过双曲线焦点的直线与该双曲线相交于两点，那么 这两个交点间的线段就叫做双曲线的焦点弦。关于直线与双曲线相交求弦长，通用方法是将直线方程代入双曲线方程，消元化为一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。但是对于过焦点的弦长计算比较特殊，利用双曲线的第一定义推导出双曲线的焦点弦长公式，在相关计算中就更为简捷。 先看例题： 例：设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>，其中两焦点坐标为21(),,()0,0F c F c －，经过右焦点 的直线交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB |。 解： （1）当弦AB 所在直线的斜率k 存在时, 设直线AB 为y = k ( x- c ) , 双曲线方程22 221x y a b -=可化为2222220b x a y a b --=……①， 将直线y = k ( x- c ) 代入①整理得， ()2 2 222222222()0a k b x a ck x a c k b -++-+=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，22 1222 2 2,a ck x x a k b +=- 当b k a > 时, 弦AB 的两个端点同在右支曲线上(如图1) , 于是 ∴22221212222 2(1) ||||||()()()2ab k AB AF BF ex a ex a e x x a a k b +=+=-+-=+-=-， 图1

当0b k a ≤< 时, 弦AB 的两个端点在左右两支曲线上(如图2) , 于是 图2 22222112222 2(1) ||||||()()2()ab k AB BF AF a ex ex a a e x x b a k +=-=---=-+=- （2）当弦AB 所在直线的斜率k 不存在时, 弦AB 与x 轴垂直, 22 2||2()a b AB c e c a =-= 当弦A B 过左焦点时,其结论与过右焦点是相同的. 若直线l 的倾斜角为θ，则有： 2 2222|cos | ab AB a c θ=-……焦点弦长公式 整理： 设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>，其中两焦点坐标为21(),,()0,0F c F c －，经过右焦点的直 线且倾斜角为θ交双曲线于A 、B 两点，则有： 2 2222|cos | ab AB a c θ=-……焦点弦长公式 特殊情形；倾斜角为=90θ，即为双曲线的通径，2 2=b AB a 。 再看一个例题，加深印象： 例：过双曲线2 2 4-=x y 的右焦点F 作倾斜角为150的直线，交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB|。

巩固练习直线与双曲线的位置关系文提高

【巩固练习】 一、选择题 1.平面内两定点的距离为10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为12的点的轨迹为( ) A ．双曲线 B ．线段 C ．射线 D ．不存在 2．已知双曲线方程为22 1205 x y -=，那么它的半焦距是( ) A ．5 B ．2.5 C. D. 3．双曲线2233x y -=的渐近线方程是 A ．3y x =± B ．1 3y x =± C ．y = D ．y x = 4. 已知双曲线的两个焦点为F 1(0)、F 20)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A. 22123x y -= B. 22132x y -= C. 2 214x y -= D ．2 2 14y x -= 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16 B ．18 C ．21 D ．26 6.双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝2 ，F 1、F 2分别为它的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，，则|AB |等于( ) A ． B ． C ． D ．8 二、填空题

7．已知双曲线 22 1 124 x y -=的右焦点为 F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________． 8．过点P(3,0)的直线l与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线l共有________条．9．已知双曲线 22 22 1 x y a b -=(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为________． 10．设一个圆的圆心在双曲线 22 1 916 y x -=的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O 到该圆圆心的距离是________． 三、解答题 11．设双曲线C：1 : )0 (1 2 2 2 = + > = -y x l a y a x 与直线相交于两个不同的点A、B；求双曲线C的离心率e的取值范围： 12．设双曲线 2 2 2 2 b y a x -=1（00，b>0)的两个焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求双曲线的渐近线方程．

直线与双曲线的位置关系

襄阳一中 2013届 高二数学 学科学导案 学习时间 2012年2月 日 学案编号 学习内容 直线与双曲线位置关系 主笔人 宋华 审核人 包雪 学 习 目 标 1.掌握直线与双曲线位置关系． 2．掌握直线与双曲线有关的弦长，中点等问题，会求与双曲线有关的简单的 轨迹方程. 知 识 结 构 学 习 方 法 直线与双曲线位置关系 探究，观察，归纳总结 学习过程 不看不讲 不议不讲 不练不讲 知识回顾 （1）：直线与椭圆的位置关系有几种？ （2）：如何判断直线与椭圆的位置关系？ （3）：弦长公式 【探究与思考1】 1直线与双曲线的位置关系有几种？ 2如何判定直线与双曲线的位置关系？ 类型一 直线与双曲线的交点问题 [例1]求直线1-=kx y 与双曲线 422=-y x 在下列条件下k 的取值范围? ⑴无交点 ⑵一个交点 ⑶两个交点 类型二 弦长问题 [例2] 过双曲线x 2－y 2 3 ＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π 6 的弦AB ，求|AB|的长． 【探究与思考2】 如何求弦长|AB|？ ()22 22 1 0x y a b a b +=>>

类型三 中点弦问题 例：已知双曲线2 2 31x y -=，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A 、B 两点．若P 为AB 的中点， (1)求直线AB 的方程； (2)求弦AB 的长． 变式：已知双曲线方程221 12 x y -=，试 问过点A(1,1)能否作直线了，使与双曲线交于两点P 1P 2且A 是线段P 1P 2中点，这样的直线存在吗？若存在，求出它的方程。若不存在，说明理由。 【探究与思考3】 椭圆的中点弦问题用什么方法解决？这里的解决方法一样吗？ 课堂检测 1已知双曲线方程为x 2－y 2 4 ＝1，过P(1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．直线3x －y ＋3＝0被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦AB 的长为________． 3．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________． 4设双曲线C ：x 2 a 2－y 2＝1(a>0)与直线l ： x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B. (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范 围； (2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA → ＝5 12PB →，求a 的值． 5已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为 (2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ， 且OA →·OB → >2(其中O 为原点)，求k 的取值范围． 课堂小结： 通过本节课学习,你有那些收获？

直线与圆锥曲线的位置关系(附答案)

直线与圆锥曲线的位置关系 一.选择题 (1)与直线2x-y+4=0平行的拋物线y= x 2的切线方程是 ( ) A 2x -y+3=0 B 2x -y -3=0 C 2x-y+1=0 D 2x-y-1=0 (2) 椭圆2 2 x + y 2 = 1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为 P, 则 | 2 PF | = ( ) A. 2 3 B. 3 C. －57 D. 4 (3) 设双曲线122 22=-b y a x (0

直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程 知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 设直线y=kx+b ，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B 2 －4AC 。 若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点； 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题 设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y→ax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。 弦长公式：12||PP = 1212x y -=-（k 为直线斜率） 例题选讲： 例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．求实数k 的取值范围； 解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点， 故????? k 2－2≠0， Δ＝(2 k )2－8(k 2－2)>0，－2k k 2－2 >0，2k 2－2>0. 解得k 的取值范围是－2

直线和双曲线的位置关系.doc

学习必备 欢迎下载 直线和双曲线的位置关系 1．经过点 P 1 ,2 2 (A)4条 且与双曲线 4x 2 y 2 1仅有一个公共点的直线有（ ） (B)3条 (C)2条 (D)1条 2．直线 y= kx 与双曲线 4x 2 y 2 16 不可能（ ） （A ）相交 （ B ）只有一个交点 （C ）相离 （ D ）有两个公共点 3 ．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做 双曲线的通径，则双曲线 y 2 x 2 的通径长是 16 1 9 (A) 9 9 (C) 9 (D) 10 4 (B) 2 4．若一直线 l 平行于双曲线的一条渐近线，则 l 与双曲线的公共点个数为 ． 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点， 应注意直线与双曲线不是 相切 5 ． 经 过 双曲 线 x 2 y 2 8的右焦点且斜率为 2 的直线被双曲线截得的线段的长 是 ． x 2 y 2 4，且 l 的斜率为 2，求直线 l 的方程． 6．直线 l 在双曲线 1上截得的弦长为 3 2 三、典例精析 题型一：直线与双曲线的位置关系 1. 如果直线 y kx 1 与双曲线 x 2 y 2 4 没有公共点，求 k 的取值范围．有两个公共点

呢？ 解，所以△ = (b ) 2 4 0 ， 所以 b 2 ， e c a 2 b 2 1 ( b )2 5 ，故选 D. a a a a a 2． (2010 安·徽 )若直线 y ＝ kx ＋2 与双曲线 x 2－y 2 ＝ 6 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范 围是 ( ) A. 15 , 15 B. 0, 15 C. 15 ,0 D. 15, 1 3 3 3 3 3 1 k 2 0 解：由 y ＝ kx ＋2， 得 (1－ k 2)x 2－4kx － 10＝0，∴ 16k 2 4 1 k 2 10 x 2－ y 2＝ 6 ，解得 x 1 x 2 0 x 1 x 2 0 15 － 3

直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理

直线与圆锥曲线的位置关系 知识梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定 (1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0. (2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系． 2．圆锥曲线的弦长 / 设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k 2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， |x 2－x 1|＝ ||a ?，|y 2－y 1|＝| |a ? 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解． (1)点差法 设而不求，借用中点公式即可求得斜率． (2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0 ； （ 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0 ； 在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0 .

题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用 例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条 变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________． 。 题型二 中点弦问题 例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________． 变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________． 题型三 弦长问题 例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________． ] 课堂练习 1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________． 2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________． ` 3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________． 4．(四川文)过双曲线x 2－ y 23＝1的右焦点与x 轴垂直的直线， 交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________． 5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________． !

直线与双曲线位置关系

直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程 知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 设直线y=kx+b ，双曲线x 2a 2－ y 2b 2 ＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B 2 －4AC 。 若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点； 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题 设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y→ax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。 弦长公式：12||PP =1212x y -=-（k 为直线斜率） 例题选讲： 例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．求实数k 的取值范围； 解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，

故????? k 2－2≠0， Δ＝(2k )2 －8(k 2 －2)>0，－2k k 2－2>0， 2 k 2 －2>0. 解得k 的取值范围是－2

直线与圆锥曲线的位置关系【专题复习】

直线与圆锥曲线的位置关系 一．知识网络结构： ?? ? ???? ?? ??? ?繁琐） 利用两点间距离公式（ 易）利用一般弦长公式（容 弦长问题直线与圆锥曲线相交的系） 直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有位置关系主要适用于直线与圆的 几何角度关系直线与圆锥曲线的位置直线与圆锥曲线 )(.1 2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到02=++c bx ax 。 ①. 若a =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合； 当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。 ②.若0≠a ，设ac b 42-=?。a .0>?时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 b.0=?时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。 c.0

高中数学破题致胜微方法直线与双曲线的位置关系：11-过双曲线上一点的切线方程 含解析 精品

今天我们研究过双曲线上一点的切线方程。过椭圆C:22 221x y m n +=(m>n>0)上一点Q(x 0,y 0) 的切线方程为00221x x y y m n +=。对于双曲线122 22=-b y a x ,可以利用导数的几何意义求得经过双 曲线上一点M （x 0，y 0）的切线的方程是12020=-b y y a x x 。 先看例题： 例：已知双曲线的方程是122 22=-b y a x ,求经过双曲线上一点M （x 0，y 0）的切线的方程。 解:由122 22=-b y a x 求导数得02222=' ?- b y y a x 假设y ≠0，则y a x b y 22=' 由导数的几何意义知过点M （x 0，y 0）的切线的斜率为k =020 2y a x b 故所求切线方程为y -y 0=0 20 2y a x b (x -x 0) 化简得2 22020202y a x b y y a x x b -=- 又点M （x 0，y 0）在双曲线12222=-b y a x 上 ∴122 0220=-b y a x 即222 02202b a y a x b =- 所以切线方程为220202b a y y a x x b =- 即12020=-b y y a x x (可验证对y 0=0此方程也适用) 整理： 双曲线122 22=-b y a x ,过双曲线上一点M （x 0，y 0）的切线的方程: 12020=-b y y a x x ；

双曲线22 221y x a b -=,过双曲线上一点M （x 0，y 0）的切线的方程: 00221y y x x a b -=。 再看一个例题，加深印象： 例：设双曲线 C ：2 213 x y -= 上点 P ) . 求双曲线C 在点P 处的切线l 的方程. 解: 12020=-b y y a x x 1l y -= 总结： 1.双曲线122 22=-b y a x ,过双曲线上一点M （x 0，y 0）的切线的方程: 12020=-b y y a x x ； 2.双曲线22 221y x a b -=,过双曲线上一点M （x 0，y 0）的切线的方程: 00221y y x x a b -=。 练习： 1.设双曲线 C ：2 2 x 2y 1-= 上点 P ) . 求双曲线C 在点P 处的切线l 的方程. 2.过点P (3),1作双曲线 C ：2 2 x y 1-= 的两条切线，切点分别为A ，B ， 求直线AB 的方程. 答案： 1. 解 12 y = 210y --=。

直线与双曲线的位置关系教案

直线与双曲线的位置关系 xx 中学 教者xxx 教学目标: 1、知识目标: 直线与双曲线的位置关系。 2、能力目标: 深化双曲线性质,提高分析问题,解决问题的能力。 3、德育目标: 事物之间即有区别又有联系的辩证观点。 教学重点: 直线与双曲线的位置关系及判断方法。 教学难点: 学生解题综合能力的培养。 教学时数: 两课时 教学方法: 启发式 教学过程: 一、课题导入 回忆直线与椭圆的位置关系及判断方法(将直线方程代入椭圆方程中 得到一个一元二次方程,然后用判别式来判断)。 二、讲授新课 通过观察第一组动画演示,学生能够直观的发现直线与双曲线的位 置关系： 相离:没有公共点。 相切:有一个公共点。 相交:有两个公共点。 通过观察第二组动画演示,使学生能够发现，当直线与双曲线的渐 近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个公共点。 练习：判断直线x y 2 1=与双曲线322=-y x 的位置关系。 例：已知直线l :1+=kx y ,双曲线422=-y x 。问k 取何值时，直 线与双曲线相交、相切、相离？ 分析：结合前面观察的结果和直线与椭圆位置关系的判断方法引导学生将

直线方程代入双曲线方程中，得到一个方程,研究方程解的情况。 解： 结论：直线与双曲线的位置关系的判断方法：把直线方程与双曲线方程 联立，消去x （或y ）后得到一个方程。若方程的二次项系数不 为零，则方程为一元二次方程。此时，当⊿ ＞0时，直线与双曲 线相交；当⊿=0时，直线与双曲线相切；当 ⊿＜0时，直线与双 曲线相离。若方程的二次项系数为零，则方程为一元一次方程。 此时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交，只有一个 公共点。 得由???=-+=4122y x k x y 052122=---kx x k ）（。是它们只有一个公共点直线与双曲线相交，但平行与双曲线的渐近线时，直线，即：当,101)1(2l k k ±==-时，即当101:)2(2±≠≠-k k 2016)1(20)2(222+-=-+=?k k k ()个公共点。线与双曲线相交，有两时，直且，即125250102016:22±≠<<-???≠->+-=?k k k k a ()切，只有一个公共点。时，直线与双曲线相，即250102016:22±=???≠-=+-=?k k k b ()曲线相离，无公共点。 时，直线与双或，即25250102016:22>-