专题：数形结合思想
【思想方法诠释】
一、数形结合的思想
所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．
数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．
二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：
1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；
2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；
3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
5．构建立体几何模型研究代数问题；
6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
7．构建方程模型，求根的个数；
8．研究图形的形状、位置关系、性质等。
三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：
1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；
2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。
四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：
1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；
2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；
3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；
4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。
【核心要点突破】
要点考向1：利用数学概念或数学式的几何意义解题例1：实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：
（1）点（a,b）对应的区域的面积；
（2）的取值范围；
（3）(a-1)2+(b-2)2的值域．
思路精析：列出a,b满足的条件→画出点(a,b)对应的区域→求
面积→根据的几何意义求范围→根据(a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域．
解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和（1，2）上的几
何意义分别是：函数y=f(x)= x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分
别在区间（0，1）和（1，2）内，
由此可得不等式组
由，解得A（-3，1）．由，解得C（-1，0）．∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC（不包括边界）．
（1）△ABC的面积为（h为A到Oa轴的距离）．
（2）几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率．
由图可知
（3）∵(a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方，
注：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：
（1）连线的斜率；
（2）之间的距离；
（3）为直角三角形的三边；
（4）图象的对称轴为x=．只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．
要点考向2：用数形结合求方程根的个数，解决与不等式有关的问题例2：（1）已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是（）
(A)5 (B)7 (C)9 (D)10
(2)设有函数f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x∈[-4,0]时，恒有f(x)≤g(x)，求实数a的范围．
思路精析：（1）画出f(x)的图象→画出y=lgx的图象→数出交点
个数．
（2）f(x)≤g(x)变形为→画出的图象→画出的图象→寻找成立的位置解析：（1）选C．由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数．又f(x) =lgx，则x∈（0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．
（2）f(x)≤g(x)，即，变形得
，令…………①，
………………②
①变形得，即表示以（-2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆；
②表示斜率为，纵截距为1-a的平行直线系．设与圆相切的直
线为AT，其倾斜角为α，则有tanα=,,
要使f(x)≤g(x)在x∈[-4,0]时恒成立，则②成立所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1-a≥6,∴a≤-5．注：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、
根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．
（2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．
（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．
要点考向2：数形结合在解析几何中的应用
例3：已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F，且长轴长与短
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；
（Ⅲ）求PAB
?面积的最大值．
解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为
22
22
1(0)
y x
a b
a b
+=>>
．
由题意222,:a b c a b c ?=+??
=??
=?? ………………………………………………2分
解得 2
4a
=，22b =．
所以椭圆C 的方程为
22
142y x +=． (4)
分
（Ⅱ）由题意知，两直线PA ，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k ，则
PB
的直线方程为(1)y k x =-
.
由22
(1),
1.42y k x y x ?=-??+
=??得
222(2)2))40k x k k x k +++-= (6)
分
设(,)A A A x y ，(,)B B B x y
，则222
12B B k x x k --=?=
+，
同理可得22
22A k x k +-=+，
则22A B x x k -=+，
2
8(1)(1)2A B A B k
y y k x k x k -=----=
+.
所以直线AB
的斜率
A B
AB A B
y y k x x -=
=-值. ……………………………………8分 （Ⅲ）设AB
的直线方程为y m =
+.
由22
,1.42y m y x ?=+??+=??
得22
440x m ++-=.
由
22
)16(4)0m ?=-->，得28m <.……………………………………10分
此时
2A B x x +=-
，244A B m x x -?=. P 到AB
的距离为
d =
，
AB =
=
则
12PAB
S AB d ?==
2282m m -+=≤=因为2
4m =使判别式大于零，所以当且仅当2m =±时取等号，[
所
以
PAB
?面积的最大值
为
13
分
注：1．数形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形，通过方程等代数的方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效．
2．此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息或结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程（组）或不等式（组），从而将问题解决．
要点考向2：数形结合在立体几何中的应用
例
4
：
如
图
1,
在
直
角
梯
形
ABCD
中,90ADC ∠=?,//CD AB ,4,2AB AD CD ===, M 为线段AB 的中点.将ADC ?沿
AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图
2所示.
(Ⅰ) 求证:BC ⊥平面ACD ；
(Ⅱ) 求二面角A CD M --的余弦值
.
解析:（Ⅰ）在图1
中,
可得AC BC ==从而222
AC BC AB +=,故AC BC ⊥.
取AC 中点O 连结DO ,则DO AC ⊥,又面ADC ⊥面ABC , 面
ADC
面
ABC AC
=,
DO ?
面
ACD
,从而
OD ⊥
平面
ABC . …………………4分
∴OD BC ⊥，又AC BC ⊥,AC OD O = . ∴
BC ⊥
平面
ACD
.
………………………………………………6分 （Ⅱ）建立空间直角坐标系
O xyz
-如图所示,
则
M
,(C
,D
CM =
,CD =
. …………………………………………
……8分
设1(,,)n x y z =
为面CDM 的法向量,
则1100n CM n CD ??=???=??
即00+=+=,解得y x z x =-??=-?.
令1x =-,可得1(1,1,1)n =-
.
又2(0,1,0)n = 为面ACD
的一个法向量，∴121212cos ,3||||n n n n n n ?<>===
.
∴二面角A CD M --
的余弦值为
3
.
注：1．应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置．其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算．
2．立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口．
【跟踪模拟训练】
一、选择题（每小题6分，共36分） 1.方程lgx=sinx 的根的个数( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
2．已知全集U=R ，集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|x>3},则右图中阴影部分表示的集合为( )
A ．(3,5)
B ．(-2,+∞)
C ．(-2,5)
D ．(5,+ ∞) 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A={(x,y)|x+y ≤1,且x ≥0,y ≥0}，则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为（ ） (A)2 (B)1 (C)12
(D) 14
4．函数32()f x x bx cx d =+++图象如图，则函数 223
3
c y x bx =++的单调递增
区间为（ ）
A ．]2,(--∞
B ．),3[+∞
C ．]3,2[-
D ．),2
1[+∞
5．不等式组2142x a x a ?->?
-
A ．(1,3)-
B ．(,1)(3,)-∞-+∞
C ．(3,1)-
D ．(,3)(1,)-∞-+∞
6．已知f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当0 二、填空题（每小题6分，共18分） 7．复数(x-2)+yi ，其中x 、y 均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是 8.已知关于x 的方程x 2-4|x|+5=m 有四个不相等的实根，则实数m 的范围是_______. 9.设A={(x,y)|x 2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m ≥0}，则使A B 成立的实数m 的取值范围是______. 三、解答题（10、11题每题15分，12题16分，共46分） 10．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且 2PA AD ==，点M 、N 分别在侧棱PD 、PC 上，且PM MD = （Ⅰ）求证：AM ⊥平面PCD ； （Ⅱ）若12PN NC = ，求平面AMN 与平面PAB 的所 成锐 二面角的大小 11．如图，1l ，2l 是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道 路，连接M 、N 两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1对称．M 到L1、L2的距离分别是2 km 、4km ，N 到L1、L2的距离分别是3 km 、9 kin ． （1）建立适当的坐标系，求抛物线弧MN 的方程； （Ⅱ）该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题， 要求厂址到点0的距离大于5km 而不超过8km ，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 6km ．求 此厂离点 0的最 近距离．（注：工厂视为一个点） 12．已知函数f(x)=-x 2+8x,g(x)=6lnx+m. (1)求f(x)在区间［t,t+1］上的最大值h(t); (2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 参考答案 1．【解析】选C.在同一坐标系中作出y=lgx与y=sinx的图象，如图.其交点数为3. 2．答案：B 3． 作出不等式组表示的平面区域B，如图所示，根据图形可知该区域为 等腰直角三角形，可求出面积，所以平面区域B的面积为1． 4．答案：D 5．答案：A 6．【解析】选B.根据对称性画出f(x)在（-3,0） 上的图象如图，结合y=cosx在(-3,0), (0,3)上函数值的正负, 易知不等式f(x)cosx<0的解集是 7．【解析】由题意知，设，则k为过圆(x-2)2+y2=1上的点及原点的直线斜率，作图如下： 又由对称性，可得答案： 答案： 8．【解析】令f(x)=x2-4|x|+5=(|x|-2)2+1，其图象如图. 画直线y=m,由图象知当1 答案：（1，5） 9．【解析】由于集合A，B都是点的集合,故可结合图形进行分析、求解.集合A是一个圆x2+(y-1)2=1上的点的集合,集合B是一个不等式x+y+m≥0表示的平面区域内的点的集合, 要使A B，则应使圆被平面区域所包含（如图）， 即直线x+y+m=0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有 故m的取值范围是m ≥-1.答案：m ≥-1 10．解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系, xyz A-又 PA=AD=2，则有P（0，0，2），D（0，2，0）(0,1,1),(2,2,0). M C (2,2,2). PC ∴=- (0,1,1) AM= ……3分 （Ⅰ）0,0, AM CD AM PC AM CD AM PC ==∴⊥⊥ 又,. PC CD C AM PCD =∴⊥ 平面……………7分 （Ⅱ）设 1 (,,),, 2 N x y z PN NC = 则有 12 0(2),. 23 x x x -=-∴= 同理可得 24 ,. 33 y z == 即得 224 (,,). 333 N ………………9分 由 448 0,. 333 PC AN PC AN ?=+-=∴⊥ (2,2,2). AMN PC ∴=- 平面的法向量为而平面PAB的法向量可为(0,2,0), AD= cos, PC AD PC AD PC AD ? ∴<>=== ? 故所求平面AMN与PAB所成锐二面角的大小为 . 3 3 arccos …………12分 11．解析：（1）分别以1l 、2l 为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐 标系，则M （2，4），N （3，9） 设MN 所在抛物线的方程为c ax y +=2 ，则有???+=+=c a c a 9944，解得???==01 c a ∴所求方程为2 x y =（2≤x ≤3） 5分 （说明：若建系后直接射抛物线方程为)0(22 >=p py x ，代入一个点 坐标求对方程，本问扣2分） （2）设抛物线弧上任意一点P （x ，2 x ）（2≤x ≤3） 厂址为点A （0，t ）（5＜t ≤8)，由题意得2 22)(||t x x PA -+= ≥6 ∴)6()21(224 -+-+t x t x ≥0 7分 令2 x u =，∵2≤x ≤3，∴4≤u ≤9 ∴对于任意的]9,4[∈u ，不等式 )6()21(2 2-+-+t u t u ≥0恒成立（*） 8 分 设)6()21()(22-+-+=t u t u u f ，∵t <5≤8∴22129t -- <≤215 . 要使（*）恒成立，需△≤0，即 )6(4)12(2 2---t t ≤0 10分 解得t ≥425 ，∴t 的最小值为4 25 所以，该厂距离点O 的最近距离为6.25km 12分 12．【解析】（1）f(x)=-x 2+8x=-(x-4)2+16. ①当t+1<4即t<3时，f(x)在［t,t+1］上单调递增(如图①). h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7. ②当t≤4≤t+1即3≤t≤4时，f(x)的最大值为h(t)=f(4)=16(如图 ②) ③当t>4时，f(x)在［t,t+1］上单调递减（如图③），h(t)=f(t)=-t2+8t. (2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点. ∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m, [ 当x∈(0,1)时φ′(x)>0,φ(x)是增函数; 当x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数; 当x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数; 当x=1或x=3时，φ′（x）=0. ∴φ(x)极大值=φ（1）=m-7,φ(x)极小值=φ（3）=m+6ln3-15. ∵当x充分接近0时，φ（x）<0，当x充分大时,φ(x)>0, ∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点， 即7 所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7,15-6ln3). 【备课资源】 4.已知函数f(x)=|x2+2x|,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个 不同的实数根，则b，c的大小关系是( ) (A)b>c (B)b≥c或b≤c中至少有一个正确 (C)b (D)不能确定 【解析】选 C.f(x)=|x2+2x|的图象如图.要使关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数根，则关于f(x)的一元二次方程f2(x)+bf(x)+c=0有两个不同的根.且一个根在（0,1）内，另一个根为1. ∴b 5.若直线y=kx-1与曲线y=有公共点，则k的取值范围是________. 【解析】∵曲线y=的定义域为［1,3］，且其图象为圆(x-2)2+y2=1的下半圆，如图所示， 则直线y=kx-1要与曲线有公共点，则直线只能处于l1,l2之间，且可与l1、l2重合，则k的取值范围是［0，1］.答案：［0，1］ 6.已知有向线段PQ的起点P与终点Q的坐标分别为P(-1,1)， Q（2,2）.若直线l:x+my+m=0与有向线段PQ延长线相交，求实数m 的取值范围.
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