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人教版八年级数学上册第一章教案

第十一章：全等三角形

第1课时：全等三角形

教学目标

1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．

教学重点

全等三角形的性质．

教学难点

找全等三角形的对应边、对应角．

教学过程

一．提出问题，创设情境

1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？

A A1

这两个三角形是完全重合的．

2．学生自己动手（同桌两名同学配合）

取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样．

3．获取概念

让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．

形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．

要是把两个图形放在一起，能够完全重合，?就可以说明这两个图形的形

状、大小相同．

概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求．

二．导入新课

将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

甲

A B

E 乙

丙

议一议：各图中的两个三角形全等吗？

不难得出：△ABC ≌△DEF ，△ABC ≌△DBC ，△ABC ≌△AED ．（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．观察与思考：

寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）

得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．全等三角形的对应角相等．

[例1]如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?说出这两个三角形中相等的边和角．

问题：△OCA ≌△OBD ，说明这两个三角形可以重合，?思考通过怎样变换可以使两三角形重合？

将△OCA 翻折可以使△OCA 与△OBD 重合．因为C 和B 、A 和D 是对应顶点，?所以C 和B 重合，A 和D 重合．

∠C=∠B ；∠A=∠D ；∠AOC=∠DOB ．AC=DB ；OA=OD ；OC=OB ．

总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．

[例2]如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，?指出其他的对应边和对应角．

分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE 和△ACD 从复杂的图形中分离出来．

根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，?然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

解：对应角为∠BAE 和∠CAD ．

对应边为AB 与AC 、AE 与AD 、BE 与CD ．

[例3]已知如图△ABC ≌△ADE ，试找出对应边、对应角．（由学生讨论完成）

C A

借鉴例2的方法，可以发现∠A=∠A ，?在两个三角形中∠A 的对边分别是BC 和DE ，所以BC 和DE 是一组对应边．而AB 与AE 显然不重合，所以AB?与AD 是一组对应边，剩下的AC 与AE 自然是一组对应边了．再根据对应边所对的角是对应角可得∠B 与∠D 是对应角，∠ACB 与∠AED 是对应角．所以说对应边为AB 与AD 、AC 与AE 、BC 与DE ．对应角为∠A 与∠A 、∠B 与∠D 、∠ACB 与∠AED ．

做法二：沿A 与BC 、DE 交点O 的连线将△ABC?翻折180°后，它正好和△ADE 重合．这时就可找到对应边为：AB 与AD 、AC 与AE 、BC 与DE ．对应角为∠A 与∠A 、∠B 与∠D 、∠ACB 与∠AED ．三．课堂练习课本练习1．四．课时小结

通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，?并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的．五．作业

课本习题1 第2、3题教学反思：

第2课时：三角形全等的条件（一）

教学目标

1．三角形全等的“边边边”的条件．2．了解三角形的稳定性．

3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程．教学重点

三角形全等的条件．教学难点

寻求三角形全等的条件．教学过程

一．创设情境，引入新课

出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形．

已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，找出其中相等的边与角．

C '

B 'A '

C B A

图中相等的边是：AB=A ′B 、BC=B ′C ′、AC=A ′C ．相等的角是：∠A=∠A ′、∠B=∠B ′、∠C=∠C ′．

展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？现在我们就来探究这个问题．二．导入新课

1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），?画出的两个三角形一定全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做． ①三角形一内角为30°，一条边为3cm ． ②三角形两内角分别为30°和50°． ③三角形两条边分别为4cm 、6cm ．

学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．结果展示：

1．只给定一条边时：

只给定一个角时：

2．给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．

①

3cm

30?

②

50?

30?30?

③

6cm

4cm

6cm

可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．

已知一个三角形的三条边长分别为6cm 、8cm 、10cm ．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？ 1．作图方法：

先画一线段AB ，使得AB=6cm ，再分别以A 、B 为圆心，8cm 、10cm 为半径画弧，?两弧交点记作C ，连结线段AC 、BC ，就可以得到三角形ABC ，使得它们的边长分别为AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm ．

2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．?这说明这些三角形都是全等的．

3．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC ，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A ′B ′C ′，使AB=A ′B ′、AC=A ′C ′、BC=B ′C ′．将△A ′B ′C ′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”．

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题．

[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：△ABD≌△ACD．

[分析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．证明：因为D是BC的中点

所以BD=DC

在△ABD和△ACD中

(

AB AC

BD CD

AD AD

?公共边)

所以△ABD≌△ACD（SSS）．

生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，?而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．?例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．

三．随堂练习

如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？

2．课本练习．

四．课时小结

本节课我们探索得到了三角形全等的条件，?发现了证明三角形全等的一

个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

五．作业

1．复习巩固1、2．课后作业：《新课堂》

教学反思：

第3课时：三角形全等的条件（二）

教学目标

1．三角形全等的“边角边”的条件．

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程．

3．掌握三角形全等的“SＡS”条件，了解三角形的稳定性．

4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．

教学重点

三角形全等的条件．

教学难点

寻求三角形全等的条件．

教学过程

一、创设情境，复习提问

1．怎样的两个三角形是全等三角形？2．全等三角形的性质？

3．指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：

图(1)中：△ABD≌△ACE，AB与AC是对应边；

图(2)中：△ABC≌△AED，AD与AC是对应边．

４．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？

二、导入新课

1．三角形全等的判定（二）

(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：

如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD， OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：

(1)读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取 B、C，使 AB＝3.1cm， AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？

3．边角边公理．

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)

三、例题与练习

1．填空：

(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．

(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD ≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．

2、例1 已知： AD∥BC，AD＝ CB(图3)．

求证：△ADC≌△CBA．

问题：如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5)，那么要证明△ADF≌△CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个

什么条件(AF＝ CE或AE ＝CF)？怎样证明呢？

例2 已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD≌△ACE．四、小结：

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．五、作业：

1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：△ABE≌△ACF．

2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．

教学反思：

第4课时：三角形全等的条件（三）

教学目标

1．三角形全等的条件：角边角、角角边．

2．三角形全等条件小结．

3．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．

4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

教学重点

已知两角一边的三角形全等探究．

教学难点

灵活运用三角形全等条件证明．

教学过程

一．提出问题，创设情境

1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

三种：①定义；②SSS ；③SAS ．

2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？二．导入新课

问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？ 1．两角和它们的夹边． 2．两角和其中一角的对边．

问题2：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm ，?你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．提炼规律：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）．

问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC ，?能不能作一个△A ′B ′C ′，使∠A=∠A ′、∠B=∠B ′、AB=A ′B ′呢？ ①先用量角器量出∠A 与∠B 的度数，再用直尺量出AB 的边长． ②画线段A ′B ′，使A ′B ′=AB ． ③分别以A ′、B ′为顶点，A ′B ′为一边作∠DA ′B ′、∠EB ′A ，使∠D ′AB=∠CAB ，∠EB ′A ′=∠CBA ．

④射线A ′D 与B ′E 交于一点，记为C ′ 即可得到△A ′B ′C ′．将△A ′B ′C ′与△ABC 重叠，发现两三角形全等．

C '

A '

B '

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）．

思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA ”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

探究问题4：

如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，∠B=∠E ，BC=EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？

D C

证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180° ∠A=∠D ，∠B=∠E ∴∠A+∠B=∠D+∠E ∴∠C=∠F

在△ABC 和△DEF 中

B E B

C EF C F ∠=∠??

=??∠=∠?

∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）．

[例]如下图，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ．求证：AD=AE ．

[分析]AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证AD=AE ，只需证明△ADC ≌△AEB 即可．

证明：在△ADC 和△AEB 中

A A AC A

C B ∠=∠??

=??∠=∠?

所以△ADC ≌△AEB （ASA ）

所以AD=AE ．三．随堂练习

（一）课本练习1、2．四．课时小结

至此，我们有五种判定三角形全等的方法： 1．全等三角形的定义

2．判定定理：边边边（SSS ）边角边（SAS ）角边角（ASA ）角角边（AAS ）五．作业

1．课本习题5、6、题．教学反思：

D C

B E

第5课时：三角形全等的条件（四）---直角三角形全等的判定

教学目标

1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；

2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。

3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

教学重点

运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点

熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学过程

一．提出问题，复习旧知

1、判定两个三角形全等的方法：

2、如图，Rt△ABC中，直角边是，

斜边是

二．导入新课

（一）探索练习：（动手操作）：已知线段a ，c (a

AB=c ，CB= a

1、按步骤作图： a c

作∠MCN=∠α=90°，

在射线 CM上截取线段CB=a，

③以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A，α

④连结AB

2、与同桌重叠比较，是否重合？

3、从中你发现了什么？

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）

（二）巩固练习：

如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，

则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，

（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，

根据

（2）若AC//DB ，且AE=BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据（3）若AE=BF ，且CE=DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据

（4）若AC=BD ，AE=BF ，CE=DF 。则△ACE ≌△BDF ，根据（5）若AC=BD ，CE=DF （或AE=BF ），则△ACE ≌△BDF ，根据 3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）两条直角边对应相等（B ）斜边和一锐角对应相等（C ）斜边和一条直角边对应相等（D ）两个锐角对应相等

4、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ， AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由答：

理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）

∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）在Rt △ 和Rt △ 中

?==_______________________________

∴ ≌ （）

∴∠ = ∠ （）

∴ （内错角相等，两直线平行）

5、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB 与DE 是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。

三、提高练习： 1、判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（）（2）一个锐角和锐角相邻的一直角

边对应相等的两个直角三角形全等（）

（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（）（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（）（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（）（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（）

（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（）

（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）

四、课时小结

至此，我们有六种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义

2．边边边（SSS）

3．边角边（SAS）

4．角边角（ASA）

5．角角边（AAS）

６．ＨＬ（仅用在直角三角形中）

五、作业1．课本习题课后作业：

教学反思：

第6课时：角的平分线的性质（一）教学目标

1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．2．会用尺规作一个已知角的平分线．

教学重点

利用尺规作已知角的平分线．

教学难点

角的平分线的作图方法的提炼．

教学过程

一．提出问题，创设情境

问题1：三角形中有哪些重要线段．

问题2：你能作出这些线段吗？

二．导入新课

在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：

在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，

NC⊥OB．MC与NC交于C点．

求证：∠MOC=∠NOC．

通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．

受这个题的启示，我们能不能这样做：

在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N

作MC⊥OA，NC⊥OB，MC?与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了．

思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思

想，认为可行）

议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？

要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ． ∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．

看看条件够不够．

AB AD BC DC AC AC =??

=??=?

所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．所以∠CAD=∠CAB ．

即射线AC 就是∠DAB 的平分线．作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB ．

求作：∠AOB 的平分线．作法：

（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．

（2）分别以M 、N 为圆心，大于1

2MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部

交于点C ．

（3）作射线OC ，射线OC 即为所求．

练一练：

任意画一角∠AOB ，作它的平分线．探索活动

按以下步骤折纸

1．在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A 、B 、C 。把角A 对折，使得这个角的两边重合。2、在折痕（即平分线）上任意找一点C ，

过点C 折OA 边的垂线，得到新的折痕CD ，其中，点D 是折痕与OA 的交

点，即垂足。4、将纸打开，新的折痕与OB边交点为E。

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．

下面用我们学过的知识证明发现：

如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。

求证：OE=OD。

三．随堂练习

课本练习．

四．课时小结

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，?探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质．

五．课后作业课本习题

教学反思

第7课时：角的平分线的性质（二）

教学目标

1、角的平分线的性质

2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．

教学重点

角平分线的性质及其应用．

教学难点

灵活应用两个性质解决问题．

教学过程

一．创设情境，引入新课

拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？

二．导入新课

角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．

折出如图所示的折痕PD、PE．

画一画：

按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．

结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．

问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？

[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．

问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．

由已知事项推出的事项：PD=PE．

于是我们得角的平分线的性质：

在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO （HL）．于是可得∠PDE=∠POD．

由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．

由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这两个性质有什么联系吗？

分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．

思考：

如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，?离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？

1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？

2．比例尺为1：20000是什么意思？

结论：

1．应该是用第二个性质．?这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．

2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，?这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm?表示实际距离200m的意思．作图如下：

第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．

第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．

总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，?使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，?我们可以直接利用性质解决问题．

三、例题与练习

例如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

练习：

1．课本练习． 2．课本习题

强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．

四．课时小结

今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．五．课后作业

1、课本习题

2、《新课堂》教学反思：

第8课时《全等三角形》复习课

教学目标：

1．了解图形的全等，经历探索三角形全等条件及性质的学习过程，掌握两个三角形全等的条件与性质。

2．能用三角形的全等和角平分线性质解决实际问题 3．培养逻辑思维能力，发展基本的创新意识和能力教学重点难点：

1．重点：掌握全等三角形的性质与判定方法 2．难点：对全等三角形性质及判定方法的运用教学过程：

1、全等三角形的概念及其性质

1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2）全等三角形性质：

（1）对应边相等（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等

例1.已知如图（1），A

B C ?≌DCB ?,其中的对应边:____与____,____与

____,____与____,

对应角:______与_______,______与_______,______与_______. 例2.如图（2），若BOD ?≌C B COE ∠=∠?,.指出这两个全等三角形的对应边；

若ADO ?≌AEO ?,指出这两个三角形的对应角。

（图1）（图2）（图3）

例3．如图（3）, ABC ?≌ADE ?，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G,

105=∠=∠AED ACB ,

25,10=∠=∠=∠D B CAD ,求DFB ∠、DGB ∠的度

数.

2.全等三角形的判定方法 1）、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS )

例1．如图，在ABC ?中,

90=∠C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE ⊥AB 。

例2.如图，AB=AC,BE 和CD 相交于P ，PB=PC,求证：PD=PE.

例3. 如图，在ABC ?中,M 在BC 上，D 在AM 上，AB=AC , DB=DC 。

八年级上册数学教案人教版(全册)

八年级上册数学教案人教版(全册) 第十一章全等三角形 11.1 全等三角形教学容本节课主要介绍全等三角形的概念和性质．教学目标 1．知识与技能领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念． 2．过程与方法经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角． 3．情感、态度与价值观培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值．重、难点与关键 1．重点：会确定全等三角形的对应元素． 2．难点：掌握找对应边、对应角的方法． 3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．教具准备四大小一样的纸片、直尺、剪刀．教学方法采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程一、动手操作，导入课题

1．先在其中一纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 2．重新在一纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论．【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形．学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两纸，注意整个过程要细心．【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等．【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边．【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论： 1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合．2．这时它们的三个顶点、三条边和三个角分别重合了． 3．完全重合说明三条边对应相等，三个角对应相等，?对应顶点在相对应的位置．【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规． 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1

新版人教版八年级数学上册全册教案

八年级2016—2017学年度第一学期数学教案第十三章：轴对称 2016年10月-11月教师：李治民第11章三角形

教学目标〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和等于1800 ，了解三角形外角的性质。4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。重点难点三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800 的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点 11.1.1三角形的边 [教学目标] 〔知识与技能〕 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心 [重点难点]三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 [教学过程] 一、情景导入三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。那么什么叫做三角形呢？二、三角形及有关概念不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。 a b c (1) C B A

初中数学试卷(八年级上册第一章) (含答案)

初中数学试卷（八上第一章）一、单选题（共17题；共34分） 1、在△ABC中，已知∠A=2∠B=3∠C，则三角形是（） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、形状无法确定【答案】C 【考点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：设∠A、∠B、∠C分别为3k、3k、2k，则6k+3k+2k=180°，解得k=°，所以，最大的角∠A=6×°＞90°，所以，这个三角形是钝三角形．故选C．【分析】根据比例设∠A、∠B、∠C分别为6k、3k、2k，然后根据三角形内角和定理列式进行计算求出k 值，再求出最大的角∠A即可得解． 2、某同学手里拿着长为3和2的两个木棍，想要装一个木棍，用它们围成一个三角形，那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是（） A、1,3,5 B、1,2,3 C、2,3,4 D、3,4,5 【答案】C 【考点】三角形三边关系【解析】【分析】首先根据三角形三边关系定理：①三角形两边之和大于第三边②三角形的两边差小于第三边求出第三边的取值范围，再找出范围内的整数即可．【解答】设他所找的这根木棍长为x，由题意得： 3-2＜x＜3+2， ∴1＜x＜5， ∵x为整数， ∴x=2，3，4，故选：C．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系定理是解题的关键．

3、若三条线段的比是①1：4：6；②1：2：3，；③3：3：6；④6：6：10；⑤3：4：5；其中可构成三角形的有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个【答案】B 【考点】三角形三边关系【解析】【解答】①1+4＜6，不能构成三角形； ②1+2=3，不能构成三角形； ③3+3=6，不能够成三角形； ④6+6＞10，能构成三角形； ⑤3+4＞5，能构成三角形；故选：B．【分析】此题主要考查了三角形的三边关系.解此题不难，可以把它们边长的比，看做是边的长度，再利用“若两条较短边的长度之和大于最长边长，则这样的三条边能组成三角形”去判断，注意解题技巧． 4、根据下列条件，能确定三角形形状的是（） ①最小内角是20°；②最大内角是100°； ③最大内角是89°；④三个内角都是60°； ⑤有两个内角都是80°． A、①②③④ B、①③④⑤ C、②③④⑤ D、①②④⑤ 【答案】C 【考点】三角形内角和定理【解析】【解答】（1）最小内角是20°，那么其他两个角的和是160°，不能确定三角形的形状；（2）最大内角是100°，则其为钝角三角形；（3）最大内角是89°，则其为锐角三角形；（4）三个内角都是60°，则其为锐角三角形，也是等边三角形；（5）有两个内角都是80°，则其为锐角三角形．【分析】此题是三角形内角和定理和三角形的分类，关键是要知道钝角三角形、直角三角形和锐角三角形角的特征. 5、如图小明做了一个方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案（）

人教版八年级上册数学第一章知识点

人教版八年级上册数学第一章知识点为了帮助大家能够在考前对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇八年级上册数学第一章知识点，希望可以帮助到大家! 一、全等形 1、定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，简称全等形。 2、一个图形经过翻折、平移和旋转等变换后所得到的图形一定与原图形全等。反之，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合。二、全等多边形 1、定义：能够完全重合的多边形叫做全等多边形。互相重合的点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 2、性质： (1)全等多边形的对应边相等，对应角相等。 (2)全等多边形的面积相等。三、全等三角形 1、全等符号："≌"。如图，不是为：△ABC≌△A′B′C′。读作：三角形ABC全等于三角形A′B′C′。 2、全等三角形的判定定理： (1)有两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等。(即SAS，

"边角边"); (2)有两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等。(即ASA，"角边角") (3)有两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等。(即AAS，"角角边") (4)有三边对应相等的两三角形全等。(即SSS，"边边边") (5)有斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等。(即HL，"斜边直角边") 3、全等三角形的性质： (1)全等三角形的对应边相等、对应角相等; (2)全等三角形的周长相等、面积相等; (3)全等三角形对应边上的中线、高，对应角的平分线都相等。 4、全等三角形的作用： (1)用于直接证明线段相等，角相等。 (2)用于证明直线的平行关系、垂直关系等。 (3)用于测量人不能的到达的路程的长短等。 (4)用于间接证明特殊的图形。(如证明等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形等)。 (5)用于解决有关等积等问题。小编为大家提供的八年级上册数学第一章知识点就到这里

人教版八年级数学上册教案全套

人教版八年级数学上册教案全套第十一章三角形 11．1 与三角形有关的线段 11．1.1 三角形的边【出示目标】 1．通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和表达能力． 2．通过具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素． 3．学会三角形的表示及根据“是否有边相等”对三角形进行的分类． 4．掌握三角形三条边之间的关系．【预习导学】自学指导：阅读教材P2—4，完成下列各题．【自学反馈】一、三角形 1．定义：由不在__同一条直线上__的三条线段首尾__顺次相接__所组成的图形叫做三角形． 2．有关概念如图，线段AB ，BC ，CA 是三角形的__边__，点A ，B ，C 是三角形的__顶点__，∠A ，∠B ，∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的__内角__，简称三角形的角． 3．表示方法：顶点是A ，B ，C 的三角形，记作“__△ABC __”，读作“__三角形ABC __”．二、三角形的分类 1．等边三角形：三条边都__相等__的三角形． 2．等腰三角形：有两边__相等__的三角形，其中相等的两条边叫做__腰__，另一边叫做__底边__，两腰的夹角叫做__顶角__，腰和底边的夹角叫做__底角__． 3．不等边三角形：三条边都__不相等__的三角形． 4．三角形按边的相等关系分类三角形???? ?不等边三角形等腰三角形?????底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形【合作探究】活动1 自主学习三角形的相关概念 (1)什么是三角形：

如图，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． (2)三角形的有关概念： ①边：组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边． ②角：三角形相邻两边的夹角叫做三角形的内角，简称三角形的角． ③顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． (3)三角形的表示：如图，以A 、B 、C 为顶点的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”．【教师点拨】(1)三角形的表示方法中“△”代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序可以自由安排，即△ABC ，△ACB ，△BAC ，△BCA ，△CAB ，△CBA 为同一个三角形． (2)角的两边为射线，三角形的三条边为线段． (3)由于在三角形内一个角对着一条边，那么这条边就叫这个角的对边，同理，这个角也叫做这个边的对角．如图，∠A 的对边是BC (经常也用a 表示)，∠B 的对边是AC (经常也用b 表示)，∠C 的对边为AB (经常也用c 表示)；AB 的对角为∠C ，AC 的对角为∠B ，BC 的对角为∠A . 活动2 跟踪训练 1．小强用三根木棒组成下列图形，其中符合三角形概念是( C ) 2．找一找，图中有多少个三角形，并把它们写下来．解：图中有5个三角形．分别是：△ABE 、△DEC 、△BEC 、△ABC 、△DBC . 活动3 三角形的分类三角形按角分类如下：三角形???? ?锐角三角形直角三角形纯角三角形三角形按边分类如下：三角形?????等腰三角形??? ??腰和底边不相等的等腰三角形等边三角形不等边三角形

人教版八年级数学上册第一章教案

第十一章：全等三角形第1课时：全等三角形教学目标 1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．教学重点全等三角形的性质．教学难点找全等三角形的对应边、对应角．教学过程一．提出问题，创设情境 1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？ 1 1C A B A 1 这两个三角形是完全重合的． 2．学生自己动手（同桌两名同学配合）取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下

来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 3．获取概念让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．要是把两个图形放在一起，能够完全重合，?就可以说明这两个图形的形状、大小相同．概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求．二．导入新课将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC ；将△ABC 旋转180°得△AED ．甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出：△ABC ≌△DEF ，△ABC ≌△DBC ，△ABC ≌△AED ．（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．观察与思考：寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．全等三角形的对应角相等． [例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，?说出这两个三角形中相等的边和角． C B O D 问题：△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，?思考通过怎样变换可以使两三角形重合？将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合．因为C和B、A和D是对应顶点，?所以C和B重合，A和D重合． ∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB．总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．

八年级数学上册第一章勾股定理测试题含答案

八年级上北师大版第一章勾股定理测试题一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组中，不能构成直角三角形的是（）. （A ）9，12，15 （B ）15，36，39 （C ）16，30，32 （D ）9，40，41 2. 如图1，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，则AC= （）. （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 3. 已知：如图2，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为（）. （A ）9 （B ）3 （C ） 49 （D ）2 9 4. 如图3，在△ABC 中，AD ⊥BC 与D ，AB=17，BD=15，DC=6，则AC 的长为（）. （A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）8 5. 若三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(2 2 =-+，则此三角形是（）. （A ）锐角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）直角三角形 6. 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为（）. （A ）6 （B ）8.5 （C ） 1320 （D ）13 60 7. 高为3，底边长为8的等腰三角形腰长为（）. （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 8.△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长是（A ）42 （B ）32 （C ）37或33 （D ）42或32 9. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图4所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2 )(b a + 的值为（）. （A ）49 （B ）25 （C ）13 （D ）1 10.如图5，长方体的长为15，宽为10，高为20点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（） D （A ）25 （B ）25 （C ）5510+ （D ）35 二、填空题（每小题3分，共21分） B C 11. 写出两组直角三角形的三边长 .（要求都是勾股数） 12. 如图6（1）、（2）中，（1）正方形A 的面积为 . A （2）斜边x= . 图5 E

人教版八年级数学上册第一章三角形

人教版八年级数学（上册）第一章：三角形（一）、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角． 3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线． ②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部． ③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点． ②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段 ②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理 ①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b． ②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：（四）三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° （1）构造平角 ①可过A点作MN∥BC(如图) ②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）

人教版八年级数学上册教案全册

com 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

六、课堂小结 1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。 2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。作业：课本69面3、4；70面8、9题。 11.1.3三角形的稳定性 [教学目标] 1、知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用。 [重点难点] 三角形稳定性及应用。[教学过程]一、情景导入盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？二、三角形的稳定性https://www.doczj.com/doc/9e480071.html, 〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？不会改变。 2 、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？会改变。 3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？不会改变。从上面的实验中，你能得出什么结论？三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用。如：（2）

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。你还能举出一些例子吗？四、课堂练习3、课本68面练习。作业：69面5；70面10题。 11.2.1三角形的内角 [教学目标]掌握三角形内角和定理。 [重点难点] 三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点。[教学过程] 一、导入新课我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？二、三角形内角和的证明回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD 的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。[投影1] 图1想一想，还可以怎样拼？ ①剪下∠A ，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。图2 ②把和剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。 B ∠ C ∠

北师大版八年级上册数学第一章练习题

八年级上册数学第一章《勾股定理》测试题班级：学号：姓名：成绩：一、选择题：（每小题4分，共40分） 1、下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（） A 、6，8，10 B 、5，12，13 C 、12，18，22 D 、1，12，15 2、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（） A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等腰三角形 3、如图，带阴影的矩形面积是60，则图中直角三角形的斜边长为（） A 、9 B 、12 C 、17 D 、24 4、如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（） A 、12米 B 、13米 C 、14米 D 、15米 5、等腰三角形的一腰长为13，底边长为10，则它的面积为（） A 、65 B 、60 C 、120 D 、130 6、已知三角形的三边分别为ａ、ｂ、ｃ，且满足，那么这个三角形是（）Ａ、锐角三角形Ｂ、钝角三角形Ｃ、直角三角形Ｄ、不能确定 7、等边三角形的边长是10，它的高的平方等于（） A 、50 B 、75 C 、125 D 、200 8、直角三角形的两直角边分别为5厘米，12厘米，则斜边上的高是（） A 、6厘米 B 、厘米 C 、厘米 D 、 9、已知Rt ⊿ABC 中，已知∠C=900 ，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt ⊿ABC 的面积是（） A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2 10、如图，在直角三角形中，∠C=900 ，AC=3，将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA ，BC 为半径的圆形成一环，该圆环的面积为（）第3题第5题 4cm

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此文档下载后即可编辑初二上册数学第一章习题 1．填空： (1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD ＝CB(已知)，二是( )＝( )；还需要一个条件( )＝( )(这个条件可以证得吗？)． (2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：( )＝( )，( )＝( )；还需要一个条件（）=（）(这个条件可以证得吗？)． 2、已知：AD∥BC，AD＝CB(如图3)．求证：△ADC≌△CBA． 3、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE ＝DF．求证：△ADF≌△CBE． 4、如图19.2.4，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求证：△ABD≌△ACD．

图19.2.4 5、如图所示, 根据题目条件，判断下面的三角形是否全等．（1）AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF；（2）BC＝BD，∠ABC＝∠ABD． 6、小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？ D E F H

7、点M 是等腰梯形ABCD 底边AB 的中点，求证DM=CM ，∠ADM ＝∠BCM ． 8、如图,已知AC 和BD 相交于O,且BO ＝DO,AO ＝CO,下列判断正确的是（） A ．只能证明△AO B ≌△COD B ．只能证明△AOD ≌△COB C ．只能证明△AOB ≌△COB D ．能证明△AOB ≌△COD 和△AOD ≌△COB 9、如图,已知△ABC 的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（） A ．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙 10．如图,已知MB ＝ND,∠MBA ＝∠NDC,下列不能判定△ABM ≌△CDN 的条件是（） A ．∠M ＝∠N B ．AB ＝CD C ．AM ＝CN D ．AM ∥CN 11、某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块, 现在要到玻璃店去 O C B A D

湘教版新版八年级上册数学教案全册

湘教版八年级上册数学全册教案

八年级上学期数学教学计划一、指导思想：以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。二、学生的基本情况：上学期学生学习了一元一次方程及其应用，二元一次方程组及其应用，整式的乘法，相交线与平行线以及统计的一些简单知识，学生数学上的计算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，对图形及图形间数量关系有初步认识，逻辑思维与逻辑推理能力得到了发展与培养，学生从形象思维到抽象思维的过渡阶段，抽象思维得到了较好的发展。绝大部分学生能够认真对等每次作业，及时纠正作业中的错误，课堂上能专心致至的进行学习和思考问题，学生学习数学的兴趣得到了激发与进一步的发展，但学习习惯上，学生的课前预习、课堂上记笔记的习惯培养得很不理想，应该在课堂上充分发挥学生的想象与思考，敢于大胆思考，课堂上就把时间有在思考问题上。本学期要思考如何克服课前预习、课堂上记笔记的弊端，发挥其有利的一面，学生对思考规律的小结，及时复习、总结上的习惯，还需要加强，课堂上专心致至的听讲，想在老师和同学的前面，及时纠正作业和试卷中的错误的习惯还需要加强，表扬和鼓励阅读与数学有关的课外读物，引导学生自主拓展和加深自己的知识的广度与深度；在学习方法上，一题多解，多题一解，从不同的角度看问题，从对称的角度思考问题，用不同的方法检验答案，需要加强训练与培养。三、教材分析：本学期的教学内容共计五章：

人教版八年级上数学第一章测试题

八年级上册数学第一章测试题一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．?在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm 2．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（） A．17 B．22 C．17或22 D．13 3．适合条件∠A=1 2 ∠B= 1 3 ∠C的△ABC是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（） A．30° B．75° C．105° D．30°或75° 5．一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（） A．5 B．6 C．7 D．8 6．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 7．下列命题正确的是（） A．三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部B．三角形中至少有一个内角不小于60° C．直角三角形仅有一条高 D．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半 8.能把一个三角形分成两个面积相等的三角形是三角形的（） A. 高线 B. 中线 C. 角平分线 D. 以上都不对 9．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，│AC-BC│=2cm，则腰AC的长为（） A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 10、在一个四边形中，如果有两个内角是直角，那么另外两个内角( )． (A)都是钝角(B)都是锐角(C)一个是锐角，一个是直角(D)互为补角 11．下列图形中，是正多边形的是() A．三条边都相等的三角形 B．四个角都是直角的四边形 C．四边都相等的四边形 D．六条边都相等的六边形（14题）（18题）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在题 - 1 - / 3

八年级数学上册第一章习题

直角三角形与三角形有关的定理 1. 三角形内角和 ____________ 2. 三角形的一个外角等于_____________ 3. 三角形的一个外角大于_________________________ 4. 根据已学的公理和已证明的定理，可以证明下面的推论和定理：（1）___________________ 对应相等的两个三角形全等（AAS （2）等腰三角形__________________________________ 互相重合。（简称“三线合一”）（3）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于______________ 。（4）有一个角等于60°的____________ 是等边三角形。（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于 ____________ （6 ）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于（7）三个角都相等的三角形是___________ 三角形。（8）等腰三角形的__________ 相等（简称为“等边对等角”）（9）有__________ 相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）（10）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的______________ 。（11）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是___________ （12） ____________________ 对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”）例题1.已知△ ABC中，/ ABC=90 , CD± AB于D点，AD=?AC,且AD=2 厘米，求AB的长. 例题2.如图，D为直角三角形ABC斜边上一点，DE I BC于E点, 1 BE=AC若BD=±厘米，DE+ BC=1厘米，试求/ B的大小. 2

新人教版数学八年级上册教案(全册整理版)

11.1.1三角形的边 [教学目标] 〔知识与技能〕 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心 [重点难点] 三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 [教学过程] 一、情景导入三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。那么什么叫做三角形呢？二、三角形及有关概念不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。三角形ABC 用符号表示为△ABC 。三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 三、三角形三边的不等关系探究：[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？有两条路线：（1）从B→C ，（2）从B→A→C ；不一样， AB+A C ＞BC ①；因为两点之间线段最短。同样地有 AC+BC ＞AB ② AB+BC ＞AC ③ 由式子①②③我们可以知道什么？三角形的任意两边之和大于第三边. 四、三角形的分类我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。 a b c (1) C B A

八年级数学上册总复习教案

初二数学上册总复习训练复习内容：第15章《整式的乘除和因式分解》本章要掌握的知识： 1.会推导整式乘除法的一些法则，会熟练的进行整式的乘除法。 2.会将多项式进行添括号和去括号。 3.会将多项式熟练的进行因式分解。本章知识结构： 1. 整式的乘法幂的运算性质: 同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方单项式乘以单项式单项式乘以多项式多项式乘以多项式乘法公式 2.整式的除法幂的运算性质：同底数幂的除法单项式除以单项式多项式除以单项式 3.因式分解提公因式法公式法十字相乘法分组分解法

【练习1】口答： (1) x3x2 = (103)5= (-3x)3= (2) 105.103.10= (a m)2 = (-5ab)2= (3) -y3y4 = -(x4)3 = (xy2)2 = (4) X m+2.x3m= (a4)4= (-2xy3z2)4= 【练习2】计算（1）5x2y2(-3x2y) （2）(-2ax2)2.(-3a2x)3 （3）5b2c.(3ab-2b3) （4) (4x2-3x+6).2x (5) 先化简，再求值：x2(x-1)-x(x2+2x-6), 其中x=2 【练习3】计算 1. x(4x-y)-(2x+y)(2x-y) 2. (a+2b)2+(a-2b)2 3. (a-b)2-(a+b)(a-b) 4. (x+y+z)(x-y-z) 5. (x-y-z)2 【练习4】计算

643522332322122132121(1)()24 1(2)6()[()]3 (3)(546)613(4))(0.5)34 m n m m m a b c a c a b a b x y x y x x x y x y x y x y -+--÷-÷--+÷-+÷- 【练习5】因式分解 1. a 2-ab 2. 3a 3+12ab 2-9a 4b 3 3. -8x 4y+6x 3y-2x 2y 4. m(4x+y)-2mn(4x+y) 5. 3a(a-2b)2-18b(2b-a)2 6. x 2-81 7. x 3-4x 8. 25m 2-10mn+n 2 9. 4(x-y)2+12(y-x)+9 10. x 2-4x-5

北师大版数学八年级上册第一章测试题及答案

北师大版数学八年级上册第一章测试题（时间：90分钟分值：100分）姓名：班级：等级：一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．（2018?南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（） A ．3，4，5 B ．2，3，4 C ．4，6，7 D ．5，11，12 2．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，则△ABC 的面积为( )． A ．84 B ．24 C ．24或84 D ．84或24 3．如图，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ∶BC ＝5∶3，则AC 的长为( )． A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 4．（2018?泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab ＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（） A ．9 B ．6 C ．4 D ．3 5．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝17，BD ＝15，DC ＝6，则AC 的长为( )． A ．11 B ．10 C ．9 D ．8 6．若三角形三边长为a ，b ，c ，且满足等式(a ＋b )2－c 2＝2ab ，则此三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形 7．一直角三角形两直角边分别为5,12，则这个直角三角形斜边上的高为( )． A ．6 B ．8.5 C ． 2013

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