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2020年湖南省长沙市中考数学三模试卷

中考数学三模试卷

2020年湖南省长沙市中考数学三模试卷

一、选择题(本大题共12小题,共36.0分)

1.下列各数是2019的倒数的是()

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A. -2019

B.

C.

D.

2.某种植物细胞的直径约为0.00015mm,用科学记数法表示这个数为()mm.

A. 1.5×104

B. 15×10-3

C. 1.5×10-3

D. 1.5×10-4

3.下列计算正确的是()

A. a3?a2=a6

B. b4+b4=b8

C. 23=6

D. 27÷2=26

4.如果一个几何体的三视图都是正方形,这个几何体是()

A. 长方体

B. 正方体

C. 圆柱

D. 球

5.将平面直角坐标系中点(-1,2)向右平移1个单位后得到的点的坐标是()

A. (0,2)

B. (-2,2)

C. (-1,3)

D. (-1,1)

6.一次函数y=-x+1的图象不经过的象限是()

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

7.一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为()

A. (y+)2=1

B. (y﹣)2=1

C. (y+)2=

D. (y﹣)2=

8.按一定规律排列的单项式:a、-a2、a3、-a4、a5、-a6、……,第12个单项式是()

A. a12

B. -a12

C. -a11

D. a11

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9.如图,△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的中点,点E在AD上,

那么下列结论不一定正确的是()

A. AD⊥BC

B. ∠EBC=∠ECB

C. ∠ABE=∠ACE

D. AE=BE

10.我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题:今有三人共车,二车空;

二人共车,九人步.问人与车各几何?其大意是:每车坐3人,两车空出来;每车坐2人,多出9人无车坐.问人数和车数各多少?设车x辆,根据题意,可列出的方程是()

A. 3x-2=2x+9

B. 3(x-2)=2x+9

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C. D. 3(x-2)=2(x+9)

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11.如图,已知圆O的半径为a,点A,B,C均在圆O上,且

OB⊥AC,则图中阴影部分的面积是()

A. (+π)a2

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B. πa2

C. (+1)a2

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D. πa2

12.已知二次函数y=ax2-bx-2(a≠0)的图象的顶点在第四象限,且过点(-1,0),给

出下列叙述:

①式子b2>8a;

②式子a-b-2<0;

③存在实数k,满足x≤k时,函数y的值都随x的值增大而增大;

④当a-b为整数时,ab的值为1;

其中正确的是()

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)

13.方程=的解是______.

14.一组数据:1、3、4、5、x、8的众数是5,在这组数据的中位数是______.

15.已知是整数,则满足条件的最小自然数n的值为______.

16.连接三角形各边中点所得的三角形面积与原三角形面积之比为:______.

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17.如图所示,小芳在中心广场放风筝,已知风筝拉线长

100米(假设拉线是直的),且拉线与水平地面的夹

角为60°,若小芳的身高忽略不计,则风筝离水平地

面的高度是______米(结果保留根号).

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18.如图,在平面直角坐标系中,已知四个定点A(-3,0)、

B(1,-1)、C(0,3)、D(-1,3),点P在四边形

ABCD内,则到四边形四个顶点的距离的和

PA+PB+PC+PD最小时的点P的坐标为______.

三、计算题(本大题共1小题,共6.0分)

19.先化简,再求值:(n+m)(m-n)-(4m3n-2mn3)÷2mn,其中m=-2,.

四、解答题(本大题共7小题,共56.0分)

20.计算:.

21.某校为了解九年级学生课堂发言情况,随机抽取该年级部分学生,对他们某天在课

堂上发言的次数进行了统计,其结果如下表,并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图,已知B、E两组发言人数的比为5:2,请结合图中相关数据回答下列问题:

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()求出样本容量,并补全直方图;

(2)该年级共有学生400人,请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数;

(3)已知A组发言的学生中恰有1位女生,E组发言的学生中有2位男生.现从A 组与E组中分别抽一位学生写报告,请用列表法或画树状图的方法,求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率.

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22.如图,?ABCD的两条对角线相交于O点,过O点作

OE⊥AB,垂足为E,已知∠DBA=∠DBC,AB=5.

(1)求证:四边形ABCD为菱形;

(2)若sin∠ADB=,求线段OE的长.

23.《复仇者联盟4:终局之战》上映后,场场爆满,上映17天票房突破40亿,梅溪

湖某影院有两种不同的票价:3D票和iMax票,其中iMax票每张比3D票贵60元,购买3张3D票和2张iMax票共需270元.

(1)购买一张3D票和一张iMax票共需要多少元?

(2)某班45位同学组织一起去观影,预计费用为2500元,则至多有多少位同学将观看iMax电影?

24.如图,M、N是线段AB上的两点,AB=16,MN=6,将线段AM绕点M旋转,将线

段BN绕点N旋转,点A、点B的对应点恰好重合,记为点C,设AM=x.

(1)求x的取值范围;

(2)过点C作CH⊥AB于点H,若CM+MH=CN+NH,试判断△CMN的形状,并说明理由;

(3)在(2)的前提下,以C为圆心,CH为半径的圆的内接正三角形、正方形、正六边形边心距分别为d1、d2、d3,求以d1、d2、d3为三边长的三角形面积.

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25.如图,∠APB与y轴正半轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,已知O为坐标原点,

P(-1,-1),且∠PAO+∠PBO=45°.

(1)求∠APB的度数;

(2)判断OA?OB是否为定值,如果是,求出该定值,如果不是,请说明理由;

(3)射线PA、PB分别与反比例函数的图象交于M(x1,y1)、N(x2,y2)两点,设A(0,m),令T=(x1-x2)(y1-y2-1),当m≤4时,求T的取值范围.

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26.若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°,我们称这样的凸四边形为“美丽四边

形”.

(1)①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中,一定不是“美丽四边形”的有______;

②若矩形ABCD是“美丽四边形”,且AB=3,则BC=______;

(2)如图1,“美丽四边形”ABCD内接于⊙O,AC与BD相交于点P,且对角线AC为直径,AP=1,PC=5,求另一条对角线BD的长;

(3)如图2,平面直角坐标系中,已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A(-3,0)、C(2,0),B在第三象限,D在第一象限,AC与BD交于点O,且四边形ABCD的面积为,若二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)的图象同时经过这四个顶点,求a的值.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:2019的倒数是:.

故选:B.

直接利用倒数的定义:乘积是1的两数互为倒数,进而得出答案.

此题主要考查了倒数,正确把握相关定义是解题关键.

2.【答案】D

【解析】解:0.00015=1.5×10-4.

故选:D.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10-n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10-n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

3.【答案】D

【解析】解:a3?a2=a5,故选项A不合题意;

b4+b4=2b4,故选项B不合题意;

23=8,故选项C不合题意;

27÷2=26,正确,故选项D符合题意.

故选:D.

分别根据同底数幂的乘法法则,合并同类项的法则,幂的乘方的定义以及同底数幂的除法法则逐一判断即可.

本题主要考查了幂的运算、有理数的乘方以及合并同类项的法则,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

4.【答案】B

【解析】解:三视图均为正方形的几何体是正方体.

故选:B.

依题意,一个几何体的三视图都是正方形,则只有正方体符合条件.

本题考查由三视图确定几何体的形状,主要考查学生空间想象能力及对几何体的认识.5.【答案】A

【解析】解:将平面直角坐标系中点(-1,2)向右平移1个单位后得到的点的坐标是(-1+1,2),即(0,2).

故选:A.

将点(-1,2)的横坐标加1,纵坐标不变即可求解.

本题考查了坐标与图形变化-平移.平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.

6.【答案】C

【解析】解:∵一次函数y=-x+1中k=-1<0,b=1>0,

∴此函数的图象经过一、二、四象限,不经过第三象限.

先根据一次函数y=-x+1中k=-1,b=1判断出函数图象经过的象限,进而可得出结论.本题考查的是一次函数的性质,即一次函数y=kx+b(k≠0)中,当k<0,b>0时,函数图象经过一、二、四象限.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查一元二次方程的配方法,解题的关键是熟练运用配方法,本题属于基础题型.根据配方法即可求出答案.

【解答】

解:y2-y-=0

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y2-y=

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y2-y+=

(y-)2=1

故选:B.

8.【答案】B

【解析】解:由题意知,第n个等式为(-1)n+1?a n,

当n=12时,(-1)n+1?a n+1=-a12,

即第12个单项式为-a12,

故选:B.

根据已知单项式得出第n个等式为(-1)n+1?a n,将n=12代入可得答案.

本题主要考查数字的变化规律,解题的关键是根据已知整式得出第n个等式为(-1)

n+1?a n.

9.【答案】D

【解析】解:∵AB=AC,点D是BC边上的中点,

∴AD⊥BC,故A选项正确;

∴EB=EC,

∴∠EBC=∠ECB,故B选项正确;

又∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB,

∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB,

即∠ABE=∠ACE,故C选项正确;

根据题目条件无法得到∠ABE=∠BAE,

所以,AE=BE不一定正确,故D选项错误.

因为本题选择不正确的,故选:D.

根据等腰三角形三线合一,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等解答即可.本题考查了等腰三角形三线合一的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,找准等量关系,正确列出一元一次方程是

设车x辆,根据乘车人数不变,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.

【解答】

解:设车x辆,

根据题意得:3(x-2)=2x+9.

故选B.

11.【答案】C

【解析】解:如图连接OB.

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∵OA=OC,OB⊥AC,

∴S△ABC=a2,S半圆=πa2,

∴S阴=a2+πa2=(+1)a2,

故选:C.

根据阴影部分的面积=半圆面积+△ABC的面积,计算即可;

本题考查扇形的面积公式、三角形的面积公式等知识,解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积;

12.【答案】A

【解析】解:∵二次函数y=ax2-bx-2(a≠0)的图象的顶点在第四象限,且过点(-1,0),∴抛物线的开口向上可得a>0,抛物线与x轴有两个交点,a+b-2=0,->0,

∴b>0,b2-4ac>0,

∴b2-4a×(-2)>0,

∴b2>-8a;故①错误;

由a+b-2=0,b<0可知:a+b-2-2b>0,

即a-b-2>0,故②错误;

当x<-时,函数y的值都随x的增大而减小,

当k=-时,当x<k时,函数y的值都随x的值增大而减小;故③错误;

∵a+b-2=0,b<0,

∴b=2-a,a-b=a-(2-a)=2a-2,

于是0<a<2,

∴-2<2a-2<2,

又a-b为整数,

∴2a-2=-1,0,1,

故a=,1,,

b=,1,,

∴ab=或1,故④错误.

故选:A.

根据题意可确定a的符号,根据抛物线的对称轴的位置可确定b的符号,进而确定与x 轴的交点情况即可判断①;代入(-1,0)求得a+b-2=0,进而求得a+b-2+2b<0,即可判断②;根据二次函数的性质即可判断③;根据a、b的符号,然后进一步确定a的取值范围,根据a-b为整数确定a、b的值,从而确定④.

本题主要考查了抛物线的性质(开口、对称轴等)、抛物线上点的坐标特征等知识,运用数形结合的思想是解决本题的关键.

13.【答案】x=-4

【解析】解:去分母得:x=2x+4,

解得:x=-4,

经检验x=-4是分式方程的解,

故答案为:x=-4

分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.

此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.

14.【答案】4.5

【解析】解:∵这组数据的众数为5,

∴x=5,

则这组数据为1、3、4、5、5、8,

∴其中位数为=4.5,

故答案为:4.5.

先根据众数的定义求出x的值,再根据中位数的概念求解可得.

此题考查了中位数和众数,将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数.

15.【答案】2

【解析】解:∵是整数,n为最小自然数,

∴18-n=16,

∴n=2,

故答案为:2.

根据自然数和二次根式的性质得出18-n=16,求出即可.

本题考查了二次根式的定义和自然数,能根据题意得出18-n=16是解此题的关键.16.【答案】1:4

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【解析】解:如图所示:

∵D、E、F分别AB、AC、BC的中点,

∴DE、EF、DF是△ABC的中位线,

∴DE=BC,EF=AB,DF=AC,

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∴=,

∴△DEF∽△CBA,

∴△DEF的面积:△CBA的面积=()2=.

故答案为:1:4.

证出DE、EF、DF是△ABC的中位线,由三角形中位线定理得出=,证出

△DEF∽△CBA,由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果.

本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质;熟练掌握三角形中位线定理,证明三角形相似是解决问题的关键.

17.【答案】50

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【解析】解:如图,作AC⊥OB于点C,

∵AO=100米,∠AOC=60°,

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∴AC=OA?sin60°=100×=米.

故答案为:50.

根据解直角三角形的方法即可得到结论.

本题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握直角三角形

的边角关系是解题的关键.

18.【答案】(-,)

【解析】解:如图,设AC与BD交于F点,则|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|,

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|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|,

因此,当动点P与F点重合时,|PA|+|PB|+|PC|+|PD|≥|AC|+|BD|=,此时P的坐标为:(-,)

故答案为:(-,)

设AC与BD交于F点,则由不等式的性质可得,|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|,

|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|,可求最小值.

本题主要考查了轴对称问题,关键是根据不等式的性质在求解最值中的应用解答.19.【答案】解:原式=m2-n2-2m2+n2=-m2,

当m=-2,n=-时,原式=-4.

【解析】原式利用平方差公式,多项式除以单项式法则计算,去括号合并得到最简结果,把m与n的值代入计算即可求出值.

此题考查了整式的混合运算-化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.【答案】解:

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=2-1+4×-2

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=1+2-2

=1

【解析】首先计算乘方、开方,然后计算乘法,最后从左向右依次计算,求出算式的值是多少即可.

此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

21.【答案】解:(1)∵B、E两组发言人数的比为5:2,E组发言人数占8%,

∴B组发言的人数占20%,

由直方图可知B组人数为10人,

所以,被抽查的学生人数为:10÷20%=50人,

∴样本容量为50人.

F组人数为:50×(1-6%-20%-30%-26%-8%)

=50×(1-90%)

=50×10%,

=5(人),

C组人数为:50×30%=15(人),

E组人数为:50×8%=4人

补全的直方图如图;

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(2)F组发言的人数所占的百分比为:10%,

所以,估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数为:400×(8%+10%)=72(人);

(3)∵A组发言的学生为:50×6%=3人,有1位女生,

∴A组发言的有2位男生,

∵E组发言的学生:4人,

∴有2位女生,2位男生.

∴由题意可画树状图为:

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∴共有12种情况,所抽的两位学生恰好是一男一女的情况有6种,

∴所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为.

【解析】(1)求得B组所占的百分比,然后根据B组有10人即可求得总人数,即样本容量,然后求得C组的人数,从而补全直方图;

(2)利用总人数乘以对应的百分比即可求解;

(3)分别求出A、E两组的人数,确定出各组的男女生人数,然后列表或画树状图,再根据概率公式计算即可得解.

本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题,本题根据B 组的人数与所占的百分比求解是解题的关键,也是本题的突破口.

22.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,

∴∠ADB=∠DBC,

∵∠DBA=∠DBC,

∴∠ADB=∠DBA,

∴AD=AB,

∴四边形ABCD为菱形;

(2)解:∵四边形ABCD为菱形,

∴AC⊥BD,AD=AB=5,OB=OD,

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∵sin∠ADB==,

∴OA=4,

∴OB=OD==3,

∵OE⊥AB,△OAB的面积=AB×OE=OA×OB,

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∴OE===.

【解析】(1)由平行四边形的性质和已知条件得出∠ADB=∠DBA,证出AD=AB,即可得出四边形ABCD为菱形;

(2)由菱形的性质得出AC⊥BD,AD=AB=5,OB=OD,由三角函数得出OA=4,由勾

股定理得出OB=OD==3,由△OAB的面积=AB×OE=OA×OB,即可得出结果.

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、解直角三角形以及三角形面积公式;熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

23.【答案】解:(1)设购买一张3D票需要x元,购买一张iMax票共需要y元,依题意有

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解得,

16+76=92(元).

答:购买一张3D票和一张iMax票共需要92元;

(2)设m位同学将观看iMax电影,则(45-m)位同学观看3D电影,依题意有

92m+16(45-m)≤2500,

解得m≤23,

∵m为整数,

∴至多有23位同学将观看iMax电影.

【解析】(1)设购买一张3D票需要x元,购买一张iMax票共需要y元,根据题意由等量关系:①iMax票每张比3D票贵60元,②购买3张3D票和2张iMax票共需270元;建立方程求出其解即可;

(2)设m位同学将观看iMax电影,则(45-m)位同学观看3D电影,根据题意由费用为2500元建立不等式组求出其解就可以了.

本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用,列一元一次不等式组解实际问题的运用,解答时根据等量关系及不等关系建立方程组或不等式组是关键.

24.【答案】解:(1)如图1,∵AM=x,BN=16-6-x=10-x,

依题意得:AM+AN≥MN≥|AM-BN|,

∴10>6≥|x-(10-x)|,

解得:2≤x≤8.

(2)结论:△CMN是等腰三角形.

理由如下:

设AM=CM=x.MH=y,

∴BN=CN=16-6-x=10-x,NH=6-y.

∵CH⊥AB,

∴CM2-MH2=CN2-NH2,

又∵CM+MH=CN+NH,

依题意得:,

解得:,

∴MC=NC=5,

∴△CMN是等腰三角形.

(3)由(2)得CH===4,

则CH为半径的圆的内接正多边形的边心距:

正三角形的边心距为d1=4×cos60°=2.

四边形的边心距为d2=4×cos45°=2,

正六边形的边心距为d3=4×cos30°=2.

∵,

∴d1、d2、d3为三边长的三角形是直角三角形,

∴三角形面积==.

【解析】(1)由旋转性质可知,线段AM绕点M旋转,将线段BN绕点N旋转,点A、点B的对应点分别在以点M为圆心,AM为半径的圆上和以点N为圆心,AN为半径的圆上,点A、点B的对应点恰好重合,故两圆相交或相切,即R-r≤d≤R+r,即可求解.(2)由CH⊥AB可知CM2-MH2=CN2-NH2,设AM=CM=x.MH=y,结合已知可列方程组求出MC=NC=5.即可判断△CMN是等腰三角形.

(3)由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形,可构造直角三角形分别求出边心距的长,由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形,进而可得其面积.此题考查了圆与圆的位置关系、圆与多边形的关系、方程组的解法.题(2)注意掌握

两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系是解此题的关键.题(3)解决本题的关键是构造直角三角形,得到用半径表示的边心距;注意:正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决.

25.【答案】解:(1)如图1中,连接PO,延长PO到K.

2020年湖南省长沙市中考数学三模试卷

∵∠AOK=∠OPA+∠OAP,∠KOB=∠OPB+∠OBP,

∴∠POPA+∠OAP+∠OPB+∠OBP=90°,

∵∠PAO+∠PBO=45°,

∴∠OPA+∠OPB=45°,

∴∠APB=45°.

(2)结论:OA?OB=2,

理由:∵P(-1,-1),

∴KO平分∠AOB,OP=,

∴∠AOK=∠BOK=45°,

∵∠AOK=∠OPA+∠OAP=45°,∠OPA+∠OPB=45°,

∴∠OAP+∠OPB,

∵∠AOP=∠BOP=135°,

∴△POA∽△BOP,

2020年湖南省长沙市中考数学三模试卷

∴=,

∴OA?OB=OP2=2.

(3)∵A(0,m),

∴OA=m,

∵OB?OA=2,

∴OB=,

∴B(,0),

∴直线PA的解析式为y=(m+1)x+m,直线PB的解析式为y=x-,

由,相切y得到:(m+1)x2+mx-1=0,

∵x1?(-1)=-,

2020年湖南省长沙市中考数学三模试卷

∴x1=,y1=m,

同法可得x2=,y2=,

∴T=(x1-x2)(y1-y2-1)=(-)(m--1)=-,

∵0<m≤4,

∴T<0,

∵T(m+2)=-(m2+2m+2),

∴m2+(2+T)m+2+2T=0,

∵△≥0,

∴4+4T+T2-4(2+2T)≥0,

∴T2-4T-4≥0,

解得T≤2-2或T≥2+2,

∵T<0,

2020年湖南省长沙市中考数学三模试卷

∴T≤2-2.

【解析】(1)如图1中,连接PO,延长PO到K.利用三角形的外角的性质解决问题即可.

(2)利用相似三角形的性质解决问题即可.

(3)构建一次函数,求出点M,N的坐标,两条二次函数的性质解决问题即可.

本题属于反比例函数综合题,考查了三角形内角和定理,三角形的外角的性质,相似三角形的判定和性质,一次函数的应用,二次函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.

26.【答案】菱形、正方形3或

【解析】解:(1)①∵菱形、正方形的对角线互相垂直

∴菱形、正方形不是“美丽四边形”.

故答案为:菱形、正方形.

②设矩形ABCD对角线相交于点O

2020年湖南省长沙市中考数学三模试卷

∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∠ABC=90°

∴AO=BO=CO=DO

∵矩形ABCD是“美丽四边形”

∴AC、BD夹角为60°

i)如图1,若AB=3为较短的边,则∠AOB=60°

∴△OAB是等边三角形

∴∠OAB=60°

∴Rt△ABC中,tan∠OAB=

2020年湖南省长沙市中考数学三模试卷

∴BC=AB=3

ii)如图2,若AB=3为较长的边,则∠BOC=60°

∴△OBC是等边三角形

∴OCB=60°

∴Rt△ABC中,tan∠OCB=

∴BC=

故答案为:3或.

(2)过点O作OH⊥BD于点H,连接OD

2020年湖南省长沙市中考数学三模试卷

∴∠OHP=∠OHD=90°,BH=DH=BD

∵AP=1,PC=5

∴⊙O直径AC=AP+PC=6

∴OA=OC=OD=3

∴OP=OA-AP=3-1=2

∵四边形ABCD是“美丽四边形”

∴∠OPH=60°

∴Rt△OPH中,sin∠OPH=

∴OH=OP=

∴Rt△ODH中,DH=

∴BD=2DH=2

2020年湖南省长沙市中考数学三模试卷

(3)过点B作BM⊥x轴于点M,过点D作DN⊥x轴

于点N

∴∠BMO=∠DNO=90°

∵四边形ABCD是“美丽四边形”

∴∠BOM=∠DON=60°

∴tan∠DON=,即

∴直线BD解析式为y=x

∵二次函数的图象过点A(-3,0)、C(2,0),即与

x轴交点为A、C

∴用交点式设二次函数解析式为y=a(x+3)(x-2)

∵整理得:ax2+(a-)x-6a=0

∴x B+x D=-,x B?x D=-6

∴(x B-x D)2=(x B+x D)2-4x B?x D=(-)2+24

2020年湖南省长沙市中考数学三模试卷

∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AC?BM+AC?DN=AC(BM+DN)=AC(y D-y B)=AC (x D-x B)=(x B-x D)

2020年湖南省长沙市中考数学三模试卷

∴(x B-x D)=15

∴x B-x D=6

∴(-)2+24=36

解得:a1=,a2=

∴a的值为或.

(1)①由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断.

②矩形ABCD对角线相等且互相平分,再加上对角线夹角为60°,即出现等边三角形,所以得到矩形相邻两边的比等于tan60°.由于AB边不确定是较长还是较短的边,故需要分类讨论计算.

(2)过O点作OH垂直BD,连接OD,由∠DPC=60°可求得OH,在Rt△ODH中勾股定理可求DH,再由垂径定理可得BD=2DH.

(3)由BD与x轴成60°角可知直线BD解析为y=,由二次函数图象与x轴交点为A、C可设解析式为y=a(x+3)(x-2),把两解析式联立方程组,消去y后得到关于x的一元二次方程,解即为点B、D横坐标,所以用韦达定理得到x B+x D和x B?x D进而得到用a表示的(x B-x D)2.又由四边形面积可求得x B-x D=6,即得到关于a的方程并解方程求得a.

本题考查了新定义的理解和性质应用,菱形、正方形的性质,矩形的性质,特殊三角函数的应用,垂径定理,一次函数的性质,二次函数的性质,一元二次方程根与系数的关系,解一元二次方程.

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