人教版全日制高中《数学》第一册(上)P70—74
一、教材分析
１．教材背景
指数函数是在学习了函数的现代定义及其图象、性质，掌握了研究函数的一般思路，并将幂指数从整数扩充到实数范围之后，学习的第一个重要的基本初等函数，是《函数》一章的重要内容。本节内容分三课时完成，第一课时学习指数函数的概念、图象、性质；第二、三课时为指数函数性质的应用，本课为第一课时。
２．本课的地位和作用
本节内容既是函数内容的深化，又是今后学习对数函数的基础，具有非常高的实用价值，在教材中起到了承上启下的关键作用。在指数函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣。
二、重难点分析
根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：
重点：本节课是围绕指数函数的概念和图象，并依据图象特征归纳其性质展开的。
因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质。
难点： 1、对于1>a 和10< 2、底数相同的两个函数图象间的关系。 三、目标分析 １．知识技能目标 掌握指数函数的概念、图象和性质。 ２．过程性目标 通过自主探索，让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法。 ３．情感、价值观目标 让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。 四、学情分析 １．有利因素 学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握了研究函数的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。 ２．不利因素 本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。 五、教法学法 根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法： 探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，类比学习函数的一般思路，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 六、教学过程设计 七、教学过程 １．复习旧知 函数的三要素是什么？函数的单调性反映了函数哪方面的特征？ 答：函数的三要素包括：定义域、值域、对应法则。函数的单调性反映了函数值随自变量变化而发生变化的一种趋势，例如：某个函数当自变量取值增大时对应的函数值也增大则表明此函数为增函数，图象上反应出来越往右图象上的点越高。 ２．新课引入 观看视频解答下面两个问题： 问题1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个……，这样的细胞分裂x次后，细胞个数y与x的函数关系式为：y=2x（x∈N*） 问题2：铀核裂变能产生巨大的能量，它的裂变方式称为链式反应，假定1个中子击打1个铀核，此中子被吸收产生能量并释放出3个中子，这3个中子又打中另外3个铀核产生3倍的能量并释放出9个中子，这9个中子又击中9个铀核……这样的击打进行了x 次后释放出的中子数y与x的关系是：y=3x（x∈N*） 提问：y=2x与y=3x这类函数的解析式有何共同特征？ 答：函数解析式都是指数形式，底数为定值且自变量在指数位置。 （若用a代换两个式子中的底数，并将自变量的取值范围扩展到实数集则得到……）３．探索新知 〈一〉指数函数的定义 一般地，函数y=a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域 是R。 提问：在本定义中要注意哪些要点？ 进一步提问：为什么规定定义中10≠>a a 且？ 将a 如数轴所示分为：0a 五部分进行讨论： (1)如果0 1 ,41== x x 等，在实数范围内函数值不存在； (2)如果0=a ，?????≤≡>无意义 时当时当x x a x a x ,00 ,0 (3)如果1=a ，11==x y ，是个常值函数，没有研究的必要； (4)如果10<< a 或1>a 即10≠>a a 且，x 可以是任意实数。 * 因为指数概念已经扩充到整个实数范围，所以在10≠>a a 且的前提下，x 可以是任意实数,即指数函数的定义域为R 。 〈二〉指数函数图象 指数函数的图象是怎样的呢？先看特殊例子（将同学们分两组用描点法分别画出下列函数的图象） 第一组：画出x y 2=，x y )21(=的图象；第二组：画出x y 3=，x y )3 1 (=的图象。 （及时指导学生作图，然后播放已经做好的函数图象，让学生比较与自己所画出来的有哪些异同点。） 提问：此两组图象有何共同特征？当底数10<a 时图象有何区别？ 〈三〉指数函数性质 根据指数函数的图象特征，由特殊到一般的推理方法提炼指数函数的性质，完成下表： （说明：教材对于指数函数性质的处理，仅是观察图象发现的，其正确性理应严格证明，但教材不做要求） 〈四〉指数函数性质的简单应用 例1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质上原来的84%。画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半（保留一个有效数字） 解：设这种物质最初的质量是1， 经过x 年后，剩留量是y 。 经过1年，剩留量1184%0.84y =?= 经过 2年，剩留量284%84%0.84y =?= ………… 一般地，经过x 年，剩留量 0.84x y = 画出指数函数0.84x y =的图象。从图上看出0.5y =只需4x ≈。 答：约经过4年，剩留量是原来的一半。 例2 说明下列函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并画出它们的示意图。 ⑴12x y +=； ⑵22x y -= 解：⑴比较函数12x y +=与2x y =的关系： 312y -+=与22y -=相等， 212y -+=与12y -=相等， 212y +=与32y =相等， ………… 由此可以知道，将指数函数2x y =的 图象向左平行移动1个单位长度，就得到 函数12x y +=的图象。 ⑵比较函数22x y -=与2x y =的关系： 122y --=与32y -=相等， 022y -=与22y -=相等， 322y -=与12y =相等， ………… 由此可以知道，将指数函数2x y =的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数 22x y -=的图象。 ４、知识扩展 〈一〉考古中的指数函数 14 C 是具有放射性的碳同位素，能够自发地进行β衰变，变成氮，半衰期为5730 年，活的植物通过光合作用和呼吸作用与环境交换碳元素，体内14 C 的比例与大气中的相同。植物枯死后，遗体内的14 C 仍在进行衰变，不断减少，但是不再得到补充。因此， 根据放射性强度减小的情况就可以算出植物死亡的时间。 测年方法进入考古学研究被誉为考古学发展史上的一次革命，它将考古学研究中得到的相对年代转变为绝对年代，给考古学带来了质的飞跃，使研究更加科学化，促 进了考古学研究的深入。其中测算公式是一个指数式5730 1()2 x y =。 〈二〉音乐中的指数函数 钢琴是一种用琴槌击弦而振动发声键盘乐器。从左往右逐个试弹所有琴键，我们听到琴声逐渐由低到高，这是因为琴声的高低与琴弦振动的频率有关，而琴弦振动的频率又与琴弦的长度有关。粗略地说，琴弦长则振动慢，频率小，故发出的声音低；琴弦短，则振动快，频率大，故发出的声音高。 音域宽度自大字二组 的A 2至小字五组的5c 。根据“十二平均律”的法则，任何两个相邻的键所发出的音相差半音阶（100音分），它们的振动频率之比是一个常数Q ，设最低的第一个音A 2的频率是a ，则第二个音#A 2的频率是a Q ，第三个音B 2的频率是 a Q 2，……另外，音高每提高八度（如A 2到A 1）频率增大为原来的2倍，而八度音域内包含12个半音（连续的7个白键和5个黑键），所以，第十三个音（A 1）的频率是第一个音（A 2）的频率的2倍。故122aQ a =?，即122Q =。 另一方面，弦振动的频率与弦长成反比。所以，从左向右，相邻两弦的长度之比是常数q=1/Q ，从而有q 12=1/2。 设左边第一根弦的长度为l ，则第二根弦的长度为l q ?，第三根弦的长度为 2l q ?，……如图，取第一根弦所在直线为y 轴，各弦靠近键盘的端点所在直线为x 轴建立坐标系，相邻两弦间的距离为长度单位。这时，将弦的另一端点（上部）连成光滑曲线，那么曲线上任意点的坐标(,)x y 都满足函数关系x y lq =。 若令log q c l =，则x y l q =?，可化为x c y q +=。 经过适当平移，就可知道光滑曲线是指数函数x y q =的图象——指数曲线。 生活中到处都有数学，我们要学会用数学的眼光观察世界，用数学发现自然界的奥秘。 ５、课堂练习 1、求下列函数的定义域： 1 1 5)2(3)1(-==x x y y 2、函数y=a 2x-3+3恒过定点 。 3、作出函数12x y -=和21x y =+的图象，并说明 这两个函数图象与2x y =图象的关系。 4、如图是指数函数①x y a =，②x y b =，③x y c =， ④x y d =的图象，则a,b,c,d 的大小关系是（ ） A ．1a b c d <<<< B ．1b a d c <<<< C ．1a b c d <<<< D ．1a b d c <<<< ６．课堂小结 设问：本课我们主要学习了哪些内容？应当注意些什么？ 本节课主要学习了指数函数的定义、图象和性质。弄清楚底数1 0< a和1 > 图象的不同特征及性质是学好本节课的关键所在。 ７．课后作业 ①课本第73页习题2.6 1、2 ②收集关于指数函数应用的相关资料，通过分析整理，写一篇800字左右的报告。 八、课后反思 〈一〉在教学过程中有几个问题值得注意： １．学生可能把自变量在指数上的函数都认为是指数函数，应予以及时纠正。 ２．若学生质疑指数函数单调性结论的正确性，应先肯定质疑是正确的，因为用图象观察归纳出来的结论，必须经过严格证明才是可靠的！但由于教材对此不作要求，因此，鼓励学有余力的同学可自己尝试证明。 〈二〉本课设计有以下几点值得借鉴： １．本课设计在注重引导学生学习书本知识的同时，还进行了知识的扩展，让学生感受到数学的实用价值。 ２．本课设计时考虑了学生在学习中最可能出现的各种情况，并采用合理方式进行引导、解决。 ３．教学过程中充分发挥学生主体作用，始终以问题的形式引导学生主动参与，在师生互动、生生互动中让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程，做到了把握重点、突破难点。 附：板书设计 附： 教 案 设 计 说 明 此教学方案是依据新课程标准、教材及本人的教学风格并考虑学生的学习兴趣来设计的，下面就本课教案做以下几点说明： 一、选材：本节课选取的内容为数学发展中具有代表性的知识。指数函数既是函数的深化，又是学习对数函数的必备，通过本节内容的学习，让学生在掌握知识的同时感受到数学的实用价值。 二、理念：本节课的教案设计体现了“以学生为主体，教师是课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育理念。在教学的每一个环节中均设计了问题，始终以教师提出问题，引导学生解决问题的方式进行，让课堂活动变得生动而愉悦。 三、注重知识扩展，本课设计时有意识的选取了“细胞分裂”、“铀核裂变”、“指数函数在考古中的应用”、“指数函数在音乐中的应用”等知识，让学生感受到生活中到处都有数学，要学会用数学的眼光观察世界，发现自然界的奥秘。 四、课堂教学中的例题、习题和课后作业具有代表性、实用性和可操作性，均围绕着教学的重点、难点选取，选取题目数字简单易于操作注重知识的运用。选题时注重知识的延续性，为以后的学习奠定了基础，同时考虑到了学生学习过程中可能出现的各种错误，预先准备好了解决的方案。 五、课堂教学模式：“特殊引例探求→一般知识探索→特殊练习题求解”符合学生认知习惯，易于学生接受。 自贡欢迎您！ 盐之都 灯之城 龙之乡 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 指数函数的定义及性质练习 1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是______． ①y ＝(－2)x ②y ＝5x ③y ＝－2x ④y ＝a x ＋2(a ＞0且a ≠1) 2．设a ＝40．9，b ＝80．48，-1.5 1=2c ?? ??? ，则a ，b ，c 的大小关系是__________． 3．若指数函数的图象经过点138??- ???，，则f (2)＝__________． 4 ．函数y __________． 5．若0＜a ＜1，记m ＝a －1，4 3=n a -，1 3=p a -，则m ，n ，p 的大小关系是__________． 6．已知集合M ＝{－1,1}，11=<24,2x N x x +?<∈??Z ，则M ∩N ＝__________． 7．如图是指数函数：①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 的 大小关系是__________． 8．已知实数a ，b 满足等式11=23a b ???? ? ?????，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ＝0．其中不可能成立的关系式有__________． 9．若函数1,0,()=1,0,3x x x f x x ? 参考答案1．答案：② 2．解析：因为a＝40．9＝21．8，b＝80．48＝21．44， -1.5 1 = 2 c ?? ? ?? ＝21．5， 所以由指数函数y＝2x在(－∞，＋∞)上单调递增知a＞c＞b．答案：a＞c＞b 3．解析：设f(x)＝a x，则a－3＝1 8 ，a＝2， 所以f(x)＝2x，f(2)＝22＝4． 答案：4 4．解析：由条件得2x－1－8≥0，即x－1≥3，x≥4．所求定义域为［4，＋∞)． 答案：［4，＋∞) 5．解析：∵0＜a＜1， ∴y＝a x在R上为单调递减函数． ∵－4 3 ＜－1＜－ 1 3 ， ∴p＜m＜n．答案：p＜m＜n 6．解析：由1 2 ＜2x＋1＜4，得－1＜x＋1＜2，－2＜x＜1． 又x∈Z，∴x＝－1或0．所以N＝{－1,0}．从而M∩N＝{－1}． 答案：{－1} 7．解析：利用特殊值法判断． 答案：b＜a＜d＜c 8．解析：在同一坐标系中作出 1 1 = 2 x y ?? ? ?? 与 2 1 3 x y ?? = ? ?? 的图象，如下图所示，由图象可 知当a＜b＜0，或0＜b＜a，或a＝b＝0时才有可能成立，故不成立的关系式为③0＜a＜b 和④b＜a＜0． 答案：③④ 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 指数函数·例题解析 3.1 指数函数【思维导图】 【微试题】 1. 下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ） A ．()12f x x = B ．()3f x x = C ．()12x f x ??= ??? D ．()3x f x = 【答案】D 2.若函数(1)(0,1)x y a b a a =-+>≠的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ A ） A ．01>>b a 且 B ．010<<<>b a 且 【答案】A 3．若函数 1 ( ),0 3 () 1 ,0 x x f x x x ? ≤ ?? =? ?> ?? ，则不等式|f(x)|≥ 1 3的解集为（） A. [) 13， B. (],3 -∞ C. []31 -， D. [)31 -，【答案】C 4. 已知函数()f x x x -+=22. (Ⅰ) 用函数单调性定义及指数函数性质证明: ()f x 是区间 ),0(+∞上的增函数； (Ⅱ) 若325)(+?=-x x f ，求x 的值. 【答案】 【解析】解：(Ⅰ) 设120x x ∈+∞，（，），且12x x <，则 )22()22()()(221121x x x x x f x f --+-+=- 121211 (22)()22x x x x =-+- 21 121222(22)22x x x x x x -=-+? =2121212) 12)(22(x x x x x x ++-- ∵120x x ∈+∞，（，），且12x x <， ∴121222220x x x x <∴-<， 1212021x x x x ++>∴> 12210x x +∴->， 又0221>+x x ∴12()()0f x f x -< （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： 43 421Λa n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()0 10a a =≠ ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 3.1.2指数函数(一) 一、基础过关 1．函数f(x)＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则a＝________. 2．函数y＝x 1 2的值域是__________________． 3．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________．4．如果某林区森林木材蓄积量每年平均比上一年增长11.3%，经过x年可以增长到原来的y 倍，则函数y＝f(x)的图象大致为________．(填序号) 5．函数y＝???? 1 2x2－2x＋2(0≤x≤3)的值域为______． 6．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________． 7．判断下列函数在(－∞，＋∞)内是增函数，还是减函数？ (1)y＝4x；(2)y＝???? 1 8 x；(3)y＝3 2 x . 8．比较下列各组数中两个值的大小： (1)0.2－1.5和0.2－1.7； (2) 3 1 ) 4 1 (和3 2 ) 4 1 (； (3)2－1.5和30.2. 二、能力提升 9．设函数f(x)＝ ?? ? ??2x，x<0， g(x)，x>0. 若f(x)是奇函数，则g(2)＝________. 10．函数y＝a|x|(a>1)的图象是________．(填序号) 11．若f (x )＝????? a x (x >1)，????4－a 2x ＋2 (x ≤1).是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为________． 12．求下列函数的定义域与值域： (1)y ＝21x －4 ；(2)y ＝????23－|x |；(3)y ＝4x ＋2x ＋1＋1. 三、探究与拓展 13．当a >1时，证明函数f (x )＝a x ＋1a x －1是奇函数． 指数函数与对数函数总结 一、[知识要点]： 1. 指数函数y＝a x与对数函数y＝a log x的比较： 定义图象 定义 域 值域 性质 奇 偶 性 单 调 性 过定 点 值的分布最值 y＝a x （a>0且a≠1）叫指数函数 a>1 （－ ∞，＋ ∞） （0， ＋∞） 非 奇 非 偶 增 函 数（0， 1） 即a0 ＝1 x>0时 y>1； 0 3. 几个注意点 （1）函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x （a>0，a ≠1）互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；（2）比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常可再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较；（3）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。研究指数、对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。 【典型例题】 例1. （1）下图是指数函数（1）y ＝a x ，（2）y ＝b x ，（3）y ＝c x ，（4）y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1 A. a ＜b ＜1＜c ＜d B. b ＜a ＜1＜d ＜c C. 1＜a ＜b ＜c ＜d D. a ＜b ＜1＜d ＜c 剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小。 解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c 。故选B 。 解法二：令x ＝1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1，∴b ＜a ＜1＜d ＜c 。 例2. 已知2x x +2 ≤（41 ）x －2，求函数 y ＝2x －2－x 的值域。 解：∵2x x +2 ≤2－2（x －2），∴x 2＋x ≤4－2x ， 即x 2＋3x －4≤0，得－4≤x ≤1。 又∵y ＝2x －2－x 是［－4，1］上的增函数， ∴2－4－24≤y ≤2－2－1。 故所求函数y 的值域是［－16255，23 ］。 例3. 要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈（－∞，1）上y ＞0恒成立，求a 的取值范围。 解：由题意，得1＋2x ＋4x a ＞0在x ∈（－∞，1）上恒成立， 即 a ＞－x x 421+在x ∈（－∞，1）上恒成立。 又∵－x x 421+＝－（21）2x －（21 ）x ＝－［（21）x ＋21］2＋41 ， 当 x ∈（－∞，1）时值域为（－∞，－43 ）， 指数函数（一） 教学目标： 使学生理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质；培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养学生发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。 教学重点： 指数函数的概念、图象、性质 教学难点： 指数函数的图象、性质 教学过程： 教学目标 (一)教学知识点 1.指数函数. 2.指数函数的图象、性质. (二)能力训练要求 1.理解指数函数的概念. 2.掌握指数函数的图象、性质. 3.培养学生实际应用函数的能力. (三)德育渗透目标 1.认识事物之间的普遍联系与相互转化. 2.用联系的观点看问题. 3.了解数学知识在生产生活实际中的应用. ●教学重点 指数函数的图象、性质. ●教学难点 指数函数的图象性质与底数a的关系. ●教学方法 学导式 引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数的概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数的性质，而且是分a＞1与0＜a＜1两种情形. ●教具准备 幻灯片三张 第一张：指数函数的图象与性质(记作§2.6.1 A) 第二张：例1 (记作§2.6.1 B） 第三张：例2 (记作§2.6.1 C） ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师］前面几节课，我们一起学习了指数的有关概念和幂的运算性质.这些知 识都是为我们学习指数函数打基础. 现在大家来看下面的问题： 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后， 指数函数知识点汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ) 1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 )1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自 变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a >1 0 2.1.2 指数函数及其性质（一） 一、学习目标：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数 的图象和性质；本节课的重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质， 本节课的难点是弄清楚底数a对于指数函数图象和性质的影响。 二、问题引领： 1、指数函数的概念、图象和性质 2、指数函数图象分布图： 如图，,,,A B C D 分别为指数函数 ,,,x x x x y a y b y c y d ====的图象，则,,,a b c d 与 0、1的大小关系为01a b c d <<<<<。 三、典例剖析： 例题1：已知指数函数()(0>=a a x f x 且)1≠a 的图象经过点()2,π，求()()()012f f f -、、的值。 分析：要求()()()012f f f -、、的值，我们需要先求出指数函数()x a x f =的解析式，也就是要先求a 的值。根据函数图象过点()2,π这一条件，可以求得底数a 的值。 解： ()x a x f =的图象经过点()2,π， ()2f π∴= 即2 a π=，解得1 2 a π= ()2x f x π∴=，即：()( )()10 12 1 01,12f f f ππππ -====-== 。 点评：求函数解析式的典型方法是待定系数法，求指数函数需要待定的系数只有一个a ，只需要一个已知条件，就可以确定一个指数函数。 例题2：1、设1111333b a ???? <<< ? ????? ，求,,a b a a a b 的大小关系。 2、 比较235 4 0.5,1.2,1的大小。 分析：利用指数函数的单调性和特殊点比较大小。 解：1、因为函数13x y ?? = ??? 在R 上为减函数，又由1111333b a ????<<< ? ?????， 所以得：01a b <<<， 因为当01a <<时，函数x y a =为减函数，又a b <， 所以a b a a >，因为函数x y a =与x y b =在R 上同为减函数且当0x >时， 随着x 的增大，函数x y a =比函数x y b =减小的快，所以a a a b <， 即b a a a a b <<。 3.1.2指数函数(二) 一、基础过关 1．函数 y＝ 16－4x的值域是 ________． 2．设 0< a<1，则关于 x 的不等式a2 x 23 x 2 >a2 x2 2x 3 的解集为 ________． 3．函数 y＝ a x在 [0,1] 上的最大值与最小值的和为3，则函数 y＝ 2ax－ 1 在 [0,1] 上的最大值是________． 4．已知函数 f(x)＝ (x－ a)(x－ b)(其中 a>b) 的图象如图所示，则函数g( x)＝ a x＋ b 的图象是________． (填图象编号 ) 5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的 2 倍，若荷叶20 天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生 长了 ________天． 6．函数 y＝1－ 3x(x∈ [－ 1,2]) 的值域是 ________． 7．解不等式： (1)9x>3x－2； (2)3× 4x－ 2×6x>0. 8．函数 f(x)＝a x(a>0，且 a≠ 1)在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大a ，求 a 的值．2 二、能力提升 9．已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足 f(x)＋ g(x)＝ a x－a－x＋ 2(a>0，且 a≠1) ．若g(2) ＝a，则 f(2) ＝________. 10．某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，则这两年的平均增长率为________． 11．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时， f(x)＝ 1－ 2 － x ，则不等式 集是 ________． a x － x )(a>0 且 a ≠ 1)，讨论 f(x)的单调性． 12．已知 f(x)＝ 2 (a － a a － 1 三、探究与拓展 b － 2x 13．已知定义域为 R 的函数 f(x)＝ 2x ＋ a 是奇函数． (1)求 a ， b 的值． (2)用定义证明 f(x)在 (－∞，＋∞ )上为减函数． (3)若对于任意 t ∈R ，不等式 f(t 2－ 2t)＋ f(2t 2－ k)<0 恒成立，求 k 的范围． 1 f(x)<－ 的解 2.2.2 指数函数 名师导航 知识梳理 1.基础知识图表 2.指数函数的定义 函数_________(a>0且a≠1)叫做指数函数.定义中对a>0且a≠1的规定，是为了保证定义域为实数集，且具有单调性. (1)如果a=0，当x>0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义； (2)如果a<0，比如y=(-4)x，对x= 2 1 , 4 1 等都无意义； (3)如果a=1，则y=1x=1是一个常数，对它没有研究的必要.此时，y=a x的反函数不存在，且不具有单调性; (4)对于无理数指数幂，过去学过的有理数指数幂的性质和运算法则都适用; (5)像y=2·3x,y=x 1 2，y=3x+4等函数都不是指数函数，要注意区分. 3.指数函数的图象和性质 熟练地掌握指数函数的图象，是记忆和理解指数函数性质的关键. 指数函数的性质如下表： a>10 指数函数与对数函数总结 一、 [知识要点]： x a log x 定义 图象 定义域 值域 性质 奇偶性 单 调 性 过定 点 值的分布 最值 y ＝a x （a>0且a ≠1） 叫指数函数 a>1 （－∞，＋ ∞） （0，＋∞） 非奇 非偶 增 函数 （0，1） 即a 0 ＝1 x>0时y>1；0 3．1.2指数函数 第1课时指数函数的概念、图象及性质 1.了解指数函数的实际背景． 2.理解指数函数的概念、意义、图象和性质．3．掌握与指数函数有关的函数定义域、值域、单调性问题． [学生用书P 41] 1．指数函数的定义 一般地，形如y＝a x(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x 为自变量，定义域为 R． 2．指数函数的图象与性质 a>10 ★★答案★★：C 3．若f (x )＝(a 2－3)a x 是指数函数，则a ＝________． ★★答案★★：2 4．函数f (x )＝2x ，x ∈[0，2]的值域是________． ★★答案★★：[1，4] 指数函数的概念[学生用书P41] 下列函数中，哪些是指数函数． ①y ＝(－8)x ；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ； ④y ＝(2a －1)x ????a >1 2且a ≠1；⑤y ＝2×3x . 【解】 ①中底数－8<0，所以不是指数函数． ②中指数不是自变量x ，所以不是指数函数． ③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数． ④因为a ＞1 2且a ≠1，所以2a －1＞0且2a －1≠1， 所以y ＝(2a －1)x ????a ＞1 2且a ≠1为指数函数． ⑤中3x 前的系数是2，而不是1， 所以不是指数函数．故只有④是指数函数． 只需判定其解析式是否符合y ＝a x (a >0，且a ≠1)这一结构形式，其具备的特点为： 1.指出下列函数中，哪些是指数函数． (1)y ＝πx ；(2)y ＝－4x ； (3)y ＝(1－3a )x ??? ?a <1 3且a ≠0； (4)y ＝(a 2＋2)－ x ；(5)y ＝2×3x ＋a (a ≠0)． 解：根据指数函数的定义，指数函数满足：①前面系数为1；②底数a ＞0且a ≠1；③指数是自变量． (1)y ＝πx ，底数为π，满足π＞0且π≠1，前面系数为1，且指数为自变量x ，故它是指数函数． 《指数函数比较大小》专题 2014年（）月（）日班级：姓名 每道错题做三遍。第一遍：讲评时；第二遍：一周后；第三遍：考试前。 【类型一】比较大小 1.比较下列各组数中两个值的大小： (1) 30.8，30.7；(2) 0.75－0.1，0.750.1；(3) 1.012.7，1.013.5；(4) 0.993.3，0.994.5. 2. (1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围． 3．已知下列不等式，比较m、n的大小． (1)2m<2n； (2)0.2m>0.2n； (3)a ma n(a>1)． 4．比较下列各组数中两个值的大小： （21）32和（21）31 （21）32和 （51）32 （21）31和 （5 1）32 5．将下列各数排列起来 （21）31，（21）32，（5 1）32 6.已知a>b,ab 0≠下列不等式①a 2>b 2, ②2a >2b , ③b a 11<, ④a 31>b 31 ,⑤(31)a <(31)b 中恒成立的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7．若a 23 指数函数知识总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念： 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作00=n 。 ③当n 是奇数时，a a n n =， 当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 题型一、计算 1.44 等于（ ） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2 a 2.⑴ 33)2(-= ⑵ 44)2(-= ⑶ 66)3(π-= ⑷ 222y xy x ++= 3.① 625625++- ② 335252-++ 4.计算（1 + 2048 21）（1 + 1024 21）…（1 + 421）（1 + 2 21）（1 + 21）. 5. 计算（0.0081）4 1 -- [3×(87)0]1-·[8125 .0-+(38 3)31 -]21 -. 题型二、化简 1. 3 2 13 2b a b a ?- ÷3 211- --??? ? ? ?a b b a 2. 322a a a ?（a ＞0）. 3.化简： 3 32 b a a b b a （a ＞0， b ＞0）. 题型三、带附加条件的求值问题 1. 已知a 2 1+ a 2 1- = 3，求下列各式的值： 指数函数及其性质教案 课题：指数函数及其性质(第1课时) 教材：普通高中课程标准试验教科书人教社A版，数学必修1 教学内容：第二章，基本初等函数（I）,指数函数及其性质 教学目标 知识目标：理解指数函数的概念，初步掌握指数函数的图像和性质 能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察，培养学生的探索发现能力，在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法 情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 | 教学重点﹑难点 重点：指数函数的概念和图像 难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质 教学流程设计 （一）指数函数概念的构建 1.探究：本节问题2中函数的解析式与问题1中函数的解析式有什么共同特征 师生活动：教师提出问题引导学生把对应关系概括到的形式，学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 & 3.剖析概念 （1）规定底数大于零且不等于1的理由： 如果=0， 如果等等时，在实数范围内实数值不存在 如果是一个常量，对它就没有研究的必要 （2）形式上的严格性 指数函数是形式定义的函数，就像初中所学的一次函数﹑反比例函数都是形式定义的概念，因此把握指数函数的形式非常重要。在指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1，自变量在指数的位置上，否则，不是指数函数，比如等，都不是指数函数 （二）指数函数的图像及性质 ) 1.提出问题：同学们能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的方法吗 师生活动：教师引导学生回顾需要研究函数的那些性质，讨论研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图像在研究性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养，学生独立思考，提出研究指数函数性质的基本思路 2.画出函数的图像 师生活动：学生用描点法独立画图，教师课堂巡视，个别辅导，展示画的较好的学生的图像 学业分层测评 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1．函数y ＝? ?? ?? 34x 的图象是________．(填序号) 【解析】 ∵a ＝34∈(0,1)，∴y ＝? ????34x 是单调递减的，过(0,1)点，选③. 【答案】 ③ 2．方程4x ＋2x －2＝0的解是________． 【解析】 设2x ＝t ，则原方程可化为t 2＋t －2＝0， 解得t ＝－2或t ＝1， 由t >0，得t ＝1. 故2x ＝1，即x ＝0. 【答案】 x ＝0 3．已知集合 M ＝{－1,1}，N ＝?????? ??? ?x ? ?? 12<2x ＋ 1<4，x ∈Z .则M ∩N ＝________. 【解析】 ∵1 2<2x ＋1<4， ∴2－1<2x ＋1<22， ∴－1 【答案】 {－1} 4．设y 1＝40.9 ，y 2＝8 0.48 ，y 3＝? ?? ??12－1.5 ，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________． 【解析】 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝? ???? 12－1.5＝21.5， ∵y ＝2x 在定义域内为增函数，且1.8>1.5>1.44， ∴y 1>y 3>y 2. 【答案】 y 1>y 3>y 2 5．为了得到函数y ＝3×? ????13x 的图象，可以把函数y ＝? ????13x 的图象向________ 平移________个单位长度． 【解析】 y ＝3×? ????13x ＝? ????13x －1，将y ＝? ????13x 的图象右移1个单位即得y ＝? ?? ?? 13x －1的图象． 【答案】 右 1 6．如图3-1-1是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是________． 图3-1-1 【解析】 令x ＝1，如图所示， 由图知c 1>d 1>a 1>b 1， ∴b 3.1 指数函数及其性质 新课标指出：学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。我将以此为基础对教学设计加以说明。 一、数学本质 探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。通过分类讨论，通过研究两个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。引导学生探究出指数函数的一般性质，从而对指数函数进行较为系统的研究。 二、教材的地位和作用 本节课是全日制普通高中标准实验教课书《数学必修1》第二章2.1 .2节的内容，研究指数函数的定义，图像及性质。是在学生已经较系统地学习了函数的概念，将指数扩充到实数范围之后学习的一个重要的基本初等函数。它既是对函数的概念进一步深化，又是今后学习对数函数与幂函数的基础。因此，在教材中占有极其重要的地位，起着承上启下的作用。 此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。 三、教学目标分析 根据本节课的内容特点以及学生对抽象的指数函数及其图象缺乏感性认识的实际情况，确定在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和由图象得出的性质为本节教学重点。本节课的难点是指数函数图像和性质的发现过程。 为此，特制定以下的教学目标： 1）知识目标（直接性目标）：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用、能根据单调性解决基本的比较大小的问题. 2）能力目标（发展性目标）：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想，增强学生识图用图的能力。 3）情感目标（可持续性目标）：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，用联系的观点看问题。体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。引导学生发现数学中的对称美、简洁美。善于探索的思维品质。 四、教学问题诊断分析高一数学指数函数知识点及练习题
苏教版数学高一苏教版必修1指数函数第1课时
指数函数知识点总结
苏教版数学高一必修1素材 3.1指数函数
指数及指数函数知识点
苏教版数学高一数学必修一练习指数函数(一)
1、指数函数与对数函数对比分析总结---答案
数学苏教版必修1指数函数(教案)
指数函数知识点汇总
指数函数及其性质
高中数学苏教版必修一指数函数.doc
苏教版数学高一苏教版必修1指数函数
指数函数与对数函数对比分析总结---答案
苏教版数学必修一新素养同步讲义：3.1 3.1.2 第1课时 指数函数的概念、图象及性质
《指数函数比较大小》专题
指数函数知识点总结(供参考)
指数函数及其性质教案
苏教版数学高一 必修1学业测评.1指数函数的概念、图象与性质
苏教版数学高一必修1素材 3.1指数函数及其性质
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