2014届高三数学一轮复习单元训练：数列
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．等比数列{}n a 中，514
5=a a ，则111098a a a a =( )
A ．10
B ．25
C ．50
D ．75
【答案】B 2．设n S 为等比数列
{}n a 的前n 项和，已知5ln 520112012201320122log 3,2ln 3-=+=S a a S ，
则公比q =( ) A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B 3．已知数列
{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2
312a a a =，且4a 与72a 的等差中项
为
5
4
，则5S =( ) A ．35 B ．33
C ．31
D ．29
【答案】C
4．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 2a 9＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值为( )
A ．12
B ．10
C ．8
D ．2＋log 35
【答案】B
5
,…
则是该数列的( )
A ． 第6项
B ． 第7项
C ． 第10项
D ． 第11项
【答案】B
6．已知
11a =,1
7b =，且满足
{
11234n n n
n n n a b a b b a ++=-=-求lim n n n
a
b →∞
=( )
A ．
1
2
B ．
14
C ． 4
D ． 2
【答案】B
7．函数29
,3()3ln(2),3x x f x x x x ?-
=-??-≥?
在3x =处的极限是( )
A ．不存在
B ．等于6
C ．等于3
D ．等于0
【答案】A
8．已知12120121()20122
n n n n a n -- ,
=?- , ≥??，n S 是数列{}n a 的前n 项和( )
A ．lim n n a →∞
和lim n n S →∞
都存在
B ． lim n n a →∞
和lim n n S →∞
都不存在
C ． lim n n a →∞
存在，lim n n S →∞
不存在
D ． lim n n a →∞
不存在，
lim n n S →∞
存在
【答案】A
9．观察数列：,7,3,1--( ),.63,31- 括号中的数字应为( )
A ．33
B ．15
C ．-21
D ．-37
【答案】B 10．已知数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且)1(2-=n n a S , 则2a 等于( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ． -2
【答案】A
11．某个命题与正整数有关，若当)
(*
N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时 该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得( )
A ．当6=n 时，该命题不成立
B ．当6=n 时，该命题成立
C ．当4=n 时，该命题成立
D ．当4=n 时，该命题不成立
【答案】D
12．类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是( )
A ．连续两项的和相等的数列叫等和数列
B ．从第一项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列
C ．从第二项起，以后每一项与前一项的差都不相等的数列叫等和数列
D ．从第二项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列 【答案】D
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知正项等比数列{}n a 满足：7
652,a a a =+若存在两14
,4,m n a a a m n
=+则
的最小值为 . 【答案】
32
14．有一列正方体，棱长组成以1为首项、12
为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞
+++=
【答案】
78
15．=++++++++∞→)122124122121(lim n n
n n n
n 【答案】2
16．已知某等差数列{}n a 共有10项，若奇数项和为15，偶数项和为30，则公差为
【答案】3
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知数列{n a }满足1a =1，1+n a =
1
2+n n
a a ，（1）计算2a ，3a ，4a 的值；
(2）归纳推测n a ，并用数学归纳法证明你的推测.
【答案】（1）∵a 1=1，a n+1=1
2+n n a a ，∴a 2=311121=+? a 3=121
3
1
+?=13515=，
a 4=121
5
1
+?=7
1
751
=
(2）推测a n =
1
21
-n
证明：1°当n=1时，由（1）已知，推测成立。 2°假设当n=k 时，推测成立，即a k =
1
21
-k 则当n=k+1时，
a k+1=21k k a a +=1
21211
21
+?--k k =
1
212121-+-k k k =
121+k =1
)1(21-+k
这说明，当n=k+1时，推测成立。 综上1°、2°，知对一切自然数n ，均有a n =1
21
-n
18．数列{}n x 满足：2
*1
10,()n n n x x x x c n N +==-++∈
(I ）证明：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c <； (II ）求c 的取值范围，使数列{}n x 是单调递增数列。 【答案】 (I ）必要条件 当0c <时，2
1n n n n x x x c x +=-++
充分条件
数列{}n x 是单调递减数列221
21110x x x x c c x ?>=-++?<=，
得：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c <。 (II ）由（I ）得：0≥c ， ①当0c =时，10n a a ==，不合题意；
②当0c >时，22
132,201x c x x c c x c c =>=-+>=?<<，
22
11010n n n n n x x c x x c x x +-=->?<
22211111()()()(1
)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ++++++-=--+-=--+-。 当14c ≤
时，1211
102
n n n n n x x x x x +++
由212100n n n n x x c x x x x ++-=>?->?>，
2
1lim lim()lim n n n n n n n x x x c x +→∞
→∞
→∞
=-++?= 当14c >
时，存在N ，使1211
12
N N N N N x x x x x +++>?+>?-与1N N x x +-异号，与数列{}n x 是单调递减数列矛盾，
得：当1
04
c <≤
时，数列{}n x 是单调递增数列。 19．用数学归纳法证明：1
12(1)3(2)1(1)(2).6
n n n n n n n ?+?-+?-++?=++
【答案】（1）当1n =时，左边111,=?= 右边1
1231,6
=
???=等式成立. (2）假设当*()n k k N =∈时等式成立，即
1
12(1)3(2)1(1)(2),6
k k k k k k k ?+?-+?-+
+?=++那么，
1(1)23(1)2(1)1
(1)[12(1)3(2)1](1)(2)21
1(1)(2)(1)(2)621
(1)(2)(3)6
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ?++?+?-++?++?=++?+?-+?-++?++-+-+++++=+++=+++
即当1n k =+时等式也成立.
根据（1）和（2），可知等式对任何*n N ∈都成立
20．数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，满足关系13(23)3n n tS t S t --+=（0t >,2n =,3,4…） (1）求证：数列{}n a 为等比数列;
(2）设数列{}n a 的公比为()f t ，作数列{}n b ，使11b =，1
1
(
)n n b f b -=.（2n =,3,4…）求n b (3）求12233445()()n T b b b b b b b b =-+-+…212221()n n n n b b b b -++-的值
【答案】(1
）
(2）由已知得23
()3t f n t
+=，1111
2312()(
)(2)3n n n n b b n f b n b b ----+∴===+≥ {}n b ∴数列是以11b =为首项，
23为公比的等比数列。2133
n b n ∴=+ (3）12233445()()n T b b b b b b b b =-+-+…212221()n n n n b b b b -++- =213435()()b b b b b b -+-+……22121()n n n b b b -++- =24225(1)42()23323n n n d b b b n -??-++
+-=-??+?????=284
93
n n --
21．用数学归纳法证明：)(3
)
2)(1()1(433221*N n n n n n n ∈++=+?+???+?+?+?．
【答案】（1）当1n =时，左边221=?，右边==??=23
3
21左边，∴等式成立． (2）假设当*()n k k =∈N 时，等式成立， 即3
)
2)(1()1(433221++=+?+???+?+?+?k k k k k ．
则当1n k =+时，
()()()()
()()()3
321213
21)2)(1()1(433221+++=
+++++=++++?+???+?+?+?k k k k k k k k k k k k
∴ 1n k =+时，等式成立．
由（1）、（2）可知，原等式对于任意*n ∈N 成立．
22．已知函数()f x 是一次函数，且(8)15,f =(2),(5),(14)f f f 成等比数列，设()n
a f n =，
（ n N *
∈） (1）求T n ； (2）设2n n
b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S 。
【答案】（1）设
()f x ax b =+，
（0a ≠）由(8)15,f =(2),(5),(14)f f f 成等比数列得
815a b +=，----------------①, 2(5)(2)(14)f f f =?得
2(5)(2)(14)a b a b a b +=++2360a ab ?+=
∵0a ≠ ∴2a b =----------------② 由①②得2,1a b ==-， ∴()21f x x =- ∴21n
a n =-，显然数列{}n a 是首项11,a =公差2d =的等差数列
∴T n ＝212(121)
2
n n n a a a n +-+++=
=
(2）∵(21)2n n n a b n =-?
∴1122n
n n S a b a b a b =++
+＝2323252(21)2n n +?+?+
+-?
2n S ＝2
3412
3252(23)2(21)2n n n n ++?+?+
+-?+-?
－n S ＝2
3122(2
22)(21)2n n n ++++
+--?＝31122(21)(21)2n n n -++?---?
∴n S ＝1
(23)26n n +-?+。