中国人口预测模型
摘要
中国占有世界上四分之一的人口，是世界上的第一人口大国。改革开放以来，我们国家享受着人口福利。但是随着改革进程的不断深化，人口过多带来的问题不断影响着我经济的发展。要解决人口问题，进行人口预测是重中之重。我们将人口预测问题划分为三个部分：人口抽样数据的统计描述、建立人口中短期预测模型、建立人口长期预测模型。
第一，人口抽样数据的统计描述。我们将附录给出的数据按照城、镇、乡，进行整理，给出了相关的统计描述：以2001年为例，城市人口中老年人占比为8.4%，镇人口老年人占比为6.71%，乡人口老年人占比为7.24%，初生儿的死亡率较大。妇女生育年龄大多在20至40岁，生育率的大小比较为：城 < 镇 < 乡，出生人口数的大小排序为：镇< 城< 乡，出生人口的性别比例，男性大于女性。死亡率的大小比较为：城 < 镇 < 乡，其中男性比女性占比大。预计接下来的年份人口的增长率一开始变化不大，但死亡率会渐渐降低，导致增长率也会慢慢上升。
第二，建立人口中短期预测模型。首先，我们根据查阅到的数据，运用回归方法建立了人口预测的一元线性预测模型。再利用GM（1,1）灰色模型，对一元线性预测模型进行了改进。最后得出，全国总人口数量依然呈现出上升的趋势，市、镇人口的增加速率也在不断地加快，人口将在2006年达到13.15亿，07年达到13.23亿，08年达到13.31亿，09年达到13.39亿，10年达到13.41亿（详细情况见表13-表16）。
第三，建立人口长期预测模型。我们根据查阅到的数据，建立了Logistic模型，模型如下：
N(t)=
141880
?0.0715t+140.90
(单位：万人)。
通过MATLAB绘制图像（图9），表明中国人口在2050年左右将达到峰值14.20亿，并且此后的人口将稳定在峰值。
我们根据预测所得，针对人口增长、人口老龄化及男女性别比不均等问题，对国家政策的调整提出了一些建议，如坚持邓小平理论、科学发展观，加强计划生育工作等。人口问题是国家之重，相应政策的调整，是能有效解决人口增长问题的关键。
关键字：回归分析一元线性预测模型灰色预测模型 Logistic模型
注：若要参考请注明来源
一问题重述
人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。一个国家人口的数量直接影响经济、社会的发展及资源的利用，因此人口的变化从来都是一个国家重点需要研究和关注的。中国作为世界第一人口大国，人口多，人均耕地面积和住地面积少，人均占有资源相对不足是我国人口现状，亦是基本国情。人口增长的变化和趋势无疑会要影响到国家政策和发展策略。
改革开放以来，中国的人口发展一直是国家所关注的重点，而近年，一些人口发展问题中，一些的特征逐步地显露。例如，人口老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长，并限制了人口素质的提高和资源的分配。同时，人口结构性矛盾对社会稳定与和谐的影响，日益显现。
人口问题关乎之重，因此国家对其进行了非常深入的研究，积累了大量数据资料。题中给出了从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。特别的是，要指出所建模型中的优点与不足之处。
二问题假设
假设一：不考虑环境因素或气候变化对人口增长的影响；
假设二：假设附录中的抽样数据能准确的反映总体人口的性质；
假设三：不考虑人口迁移对人口的影响。
三符号说明
符号说明单位
k年份 1
p(k)第t年人口线性预测值万人
x(0)(k)第t年人口万人
{x(0)}x(0)(n)时间序列 1
λ(k)时间序列{x0}的级比 1
Θ可容覆盖集 1
y(0)(k)x(0)(k)的平移值万人
{x(1)}{x(0)}的AGO运算序列 1
dx(1)(k)x(1)的灰导数万人
注：若要参考请注明来源
符号说明单位
z(1)(k)x(1)(k)的加权紧邻数列万人
x?(0)(k)第k年的人口预测值万人
?(k)第k年的人口相对残差 1
ρ(k)第k年的人口级比偏差检验 1
r增长系数 1
N0环境容纳量万人
N(k)第k年的人口预测值万人
四问题分析
由于人口预测重要性，关于人口预测的模型有很多，但由于人口变化所需要考虑的因素太多，已存的各种模型因为大多考虑的因素有限，导致了一些模型不能有效地预测，只能进行短期的预测。而最终人口数量还与很多自然因素以及综合国力有关，因此关于人口模型的研究一直没有停下过脚步[1]。
我们通过对问题的分析，决定将问题拆分为四个部分：分析给出的数据，描述人口特征；建立短期预测模型；建立长期预测模型；分析模型的优缺点。
在分析数据，描述人口特征的问题上，我们认为，跟人口变化相关的内容有：年龄结构，生育率，死亡率，自然增长率，老年人口，因此就这几个方面对数据进行统计分析，就各个年份，先对城、镇、乡的数据分别进行描述，然后再进行三类之间的对比以及年份间的对比。然后通过这些信息，对人口发展趋势做出预测。
问题的第二部分要求我们根据数据建立相应的数学模型，进而对中国人口进行中短期预测。首先，我们通过查询资料得到2001-2005年中国的总人口以及市、镇、乡的人口数据；其次，我们建立数学预测模型对2006-2010年的总人口以及市、镇、乡的人口进行预测。
问题的第二部分要求我们根据数据建立相应的数学模型，进而对中国人口进行长期预测。随着人口的急剧增长，给人类生存的质量和环境带来了诸多的问题。有效地控制人口数量，有效地人口增长，是我国的基本国策。而建立人口模型，做出准确的预报，是实现这个目标的基本前提。通过查阅参考1987年—2005年的人口统计数据，建立数学模型，对中国的总人口进行长期的预测。
五建模与求解
5.1 数据的统计描述
根据附件给出的数据，我们对各年份按照城、镇、乡分别进行了男女年龄结构和死亡率以及出生率死亡率的分析。如：2001年年龄结构及死亡率绘制的图如下：
注：若要参考请注明来源
图 1 2001年城男女年龄直方图及死亡率折线图
图 2 2001年镇男女年龄直方图及死亡率折线图注：若要参考请注明来源
图 3 2001年乡男女年龄直方图及死亡率折线图
注：男性/女性比率是指这个年龄的男/女性人数与这类人总数之比，死亡率是指的在相应龄段内的死亡人数与总人数之比。
图中信息表明：城市人口中大多集中在8至55岁，相应年龄的男女比例相差不大，65岁人口占比为8.4%，70岁以后死亡率一般激增，一般男性死亡率比女性稍高，但女性91岁的死亡率比男性高，到达1000个人中平均有337.85人死亡；镇人口大多集中在0至54岁，其中15至18岁，以及25至40岁人口最多，老年人占比为6.71%，75岁以后的死亡率都偏大，男女比例相差不大；乡人口多集中在0至53岁，65岁人口占比为7.24%，，60岁之后的死亡率都偏大，且岁年龄上升，初生儿的死亡率较大。城市人口20至50岁人偏多，若不考虑生育，人口年龄结构大致呈收缩型；而镇人口儿童和中年人口较多，人口结构年龄大致呈稳定型；乡人口年龄结构大致呈增长型。
此外，我们对生育率进行了相关统计。2001年生育率年龄分布直方图如下：注：若要参考请注明来源
注：若要参考请注明来源
图 4 2001年妇女生育率年龄分布直方图
由图可知：妇女生育年龄大多在20至40岁，其中25岁至28岁为生育率最高的年龄阶段，三个区域处于最佳生育年龄的人占比较多，生育率的大小比较为：
城 < 镇
< 乡。
然后，通过对其他年份同样关于生育率和死亡率的分析，我们通过几个图得到主观预测的模型，由于图表偏多，这里只给出市的年分析图表：
表格 1 市自然增长率
图 5 市自然增长率随年份变化折线图
表格 2 市平均生育率
图 6 市平均生育率随年份变化折线图
表格 3 市死亡率
图7 市死亡率随年份变化折线图
人口的增长主要依赖于出生率和死亡率之间的关系，同时也受到人口年龄结构的影响。从图表中我们可以得出：短期内，由于城、镇、乡在生育适龄期的妇女人数仍然偏高，生育率应该比较平稳，这使得出生率也趋于平稳。
就死亡率来说，整体呈现下降的趋势，而镇和乡的死亡率却呈现上升趋势。但由于他们的生育率也较高，所以没有影响到自然增长率。
总体来看，自然增长率随年份的变化不大，在接下来的几年内，增长率的变化依然会比较稳定。
因此我们预测，人口在接下来的几年时间里，各区域内的人口仍然会呈上升注：若要参考请注明来源
趋势，且上升速度趋于平稳。
但同时需要注意的是人口年龄结构的特点——老年人口偏多，而按照趋势来看，随着年份的增加，老年人口的占比会更大。初生儿的死亡率偏高，可能是导致农村死亡率较高的原因，这也限制了农村自然增长率。
同时，初生儿的性别比也是大问题，出生的男性多于女性，可能会加大未来男女比率的不均等，从而引发一系列社会问题。
5.2中国人口中短期人口预测
通过查阅国家统计局网站（https://www.doczj.com/doc/8e18734040.html,/）得到2001年-2005年的人口相关数据，如下：
表格 4 2001年—2005年人口统计数据
利用MATLAB绘制人口与年份之间的散点图(程序代码见附录 Myplot.m)，各个散点图如下。
图8 人口与年份的散点图
从图中直观的可以看出来：散点图大致呈直线状。其中，全国总人口数量随时间在整体上呈现上升趋势，市、镇人口数量亦然；而乡人口数量则显示出下降趋势。这建议我们考虑建立人口数量与年份之间的一元线性预测模型[2]。
注：若要参考请注明来源
5.2.1一元线性预测模型
假定k为年份，p(k)为第k年人口，则我们的一元线性预测模型为：
p(k)= α+βk
利用MATLAB编程对表格中的数据进行回归[3](程序代码见附录linear_predict.m)，得到以下结果：
市人口线性预测模型：
p1=?1368487.1+699.9k
表格 5 市人口线性预测模型结果
注：上表中人口数量单位为（：万人）。
镇人口线性预测模型：
p2=?2658793.6+1336.8k
表格 6 镇人口线性预测模型结果
注：上表中人口数量单位为（：万人）。
乡人口线性预测模型：
p3= 2595553.0?1257.4k
表格7 乡人口线性预测模型结果
注：上表中人口数量单位为（：万人）。
全国总人口线性预测模型：
p4=?1431727.7+799.3k
表格8 全国人口线性预测模型预测结果
注：若要参考请注明来源
注：若要参考请注明来源
注：上表中人口数量单位为（：万人）。
不难看出，全国总人口和乡人口的拟合度较好，而市人口和镇人口由于2002年的人口数量出现较大的波动，导致拟合度不大好。然而，我们认为2002年的数据与其他年的并没有什么异常情况。我们为了处理好出现的波动，我们利用灰色预测模型进行改进。
5.2.2利用灰色预测模型GM （1,1）对预测模型的改进
统计样本数据未免会有一些随机性，为了去除随机性产生的影响，采用灰色预测模型进行中短期的人口预测。灰色预测是利用GM （1,1）模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，适合中长期的预测，精度较高[4]。
数据检验和处理
为了保证模型的正确建立，必须要对数据进行检验和处理。设时间序列数据为:
x (0)={x (0)(1),x (0)(2),x (0)(3),?,x (0)(n)}
计算时间序列{x (0)}的级比：
λ(k )=x (0)(k ?1)
(0)()
，k =2,3,4,?,n
如果所有的级比()k 都落在可容覆盖集Θ
=(e
?
2n+2
，e
2n+2
)，则人口的时间
序列{x (0)}可以作为GM （1,1）的数据；否则，就要时间序列{x (0)}做必要的变换处理，使其落入可容覆盖集Θ内。通常，我们取适当的常数c 对{x (0)}做平移，得：
y (0)(k )=x (0)(k )+c ，k =1,2,3,?,n
使得{y (0)}的级比：
λy (k )=y (0)(k ?1)
(0)()
∈Θ，k =2,3,4,?,n
利用Excel 进行数列级比检验，发现级比λ(k )∈(0.8419,1.0303)都落在可容覆盖集Θ=(0.7515,1.3307)。所以，不用对数据进行平移，可以直接进行建模。
GM （1,1）人口预测模型的建立
对处理后的数据做一次累加运算（AGO）得到：
x(1)={x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),?,x(1)(n)}
其中：
x(1)(k)=∑x(0)(i)
k
i=1
，k=1,2,3,?,n
定义x(1)的灰导数为：
dx(1)(k)=x(0)(k)=x(1)(k)?x(1)(k?1)，k=2,3,4,?,n 记z(1)(k)为x(1)(k)的加权紧邻数列，权值为μ，则有：
z(1)(k)=μx(1)(k)+(1?μ)x(1)(k?1)，k=1,2,3,?,n 通常情况下，取μ=0.5，所以：
z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k?1)，k=1,2,3,?,n 则
z(1)={z(1)(2),z(1)(3),?,z(1)(n)}
于是可得到GM(1,1)的灰微分方程为：
x(0)(k)+az(1)(k)=b，k=1,2,3,?,n
得到相应的白化微分方程为：
dx(1)(k)
dt
+az(1)(k)=b，k=1,2,3,?,n
记u=(a,b)T，Y=(x(0)(2),x(0)(3),?,x(0)(n))T，B=
[?z(1)(2)
?z(1)(2)
1
1
?
?z(1)(n)
1
1]
。再由
最小二乘法，求得使J(u?)=(Y?Bu?)T(Y?Bu?)达到最小值的u?。得到：
u?=(a,b)T=(B T B)?1B T Y
求解白化微分方程
x?(1)(k+1)=(x(0)(1)?b
)e?ak+
b
，k=0,1,2,?,n?1
再得到预测值：
x?(0)(k+1)=x?(1)(k+1)?x?(1)(k)，k=0,,1,2,?,n?1
GM（1,1）人口预测模型的求解
利用MATLAB编程[5](程序代码见附录GrayModel.m)，得到四个灰色模型的解。
1.市人口灰色预测模型：u?=(?0.0102,32938.8)T
注：若要参考请注明来源
x?(1)(k+1)=3274527e0.0102k?3243231.0，k=0,1,2,?,n?1
2.镇人口灰色预测模型：u?=(?0.0836,14866.4)T
x?(1)(k+1)=19451.4e0.0836k?177773.0，k=0,1,2,?,n?1
3.乡人口灰色预测模型：u?=(0.0160,8008
4.7)T
x?(1)(k+1)=?4913429e?0.0160k+4992992.0，k=0,1,2,?,n?1
4.全国总人口灰色预测模型：u?=(?0.0059,127322.4)T
x?(1)(k+1)=21642643.9e0.0059k?21515016.9，k=0,1,2,?,n?1
将年份代入各个模型，即可得到一次累加序列{x?(1)(k)}。再将{x?(1)(k)}进行一次累减运算（IAGO）得到人口数量的估计值{x?(0)(k)}。
GM（1,1）人口预测模型的检验
由模型GM(1,1)所得到的2001年—2005年的人口预测数据与实际数据作相对残差和级比偏差检验。
相对残差：
?(k)=x?(0)(k)?x(0)(k)
x(0)(k)
，k=1,2,3,?,n
如果对所有的|?(k)|≤0.1，则认为达到较高的要求：否则，若对所有的|?(k)|≤0.2，则认为达到一般要求。
级比偏差检验：
ρ(k)=1?1?0.5μ
1+0.5μ
λ(k)，k=2,3,?,n
如果对所有的|ρ(k)|≤0.1，则认为达到较高的要求：否则，若对所有的|ρ(k)|≤0.2，则认为达到一般要求。
1.市人口灰色预测模型检验：
表格9 市人口灰色预测模型检验结果
注：若要参考请注明来源
注：上表中人口数量单位为（：万人）。
各年份的相对残差的绝对值|?(k)|≤0.1并且级比偏差的绝对值|ρ(k)|≤
0.1，表明该模型对市人口的预测达到了较高的要求，可以将GM(1,1)模型来
对市人口进行预测。
2.镇人口灰色预测模型检验：
表格10 镇人口灰色预测模型检验结果
各年份的相对残差的绝对值|?(k)|≤0.1并且级比偏差的绝对值|ρ(k)|≤
0.1，表明该模型对镇人口的预测达到了较高的要求，可以将GM(1,1)模型来
对镇人口进行预测。
3.乡人口灰色预测模型检验：
表格11 乡人口灰色预测模型检验结果
各年份的相对残差的绝对值|?(k)|≤0.1并且级比偏差的绝对值|ρ(k)|≤
0.1，表明该模型对乡人口的预测达到了较高的要求，可以将GM(1,1)模型来
对乡人口进行预测。
4.全国总人口灰色预测模型检验：
表格12 全国人口人口灰色预测模型检验结果
注：若要参考请注明来源
注：若要参考请注明来源
注：上表中人口数量单位为（：万人）。
各年份的相对残差的绝对值|?(k )|≤0.1并且级比偏差的绝对值|ρ(k )|≤0.1
，表明该模型对全国总人口的预测达到了较高的要求，可以将GM(1,1)模型来对全国总人口进行预测。
GM （1,1）模型的结果
通过5.2.2得到的灰色预测模型，进行一次累减运算（IAGO ）得到以下各组预测结果：
表格 13 市人口灰色预测结果
表格 14 镇人口灰色预测结果
表格 15 乡人口灰色预测结果
表格 16 全国总人口灰色预测结果
注：上表中人口数量单位为（：万人）。
结果表明：在2006年—2010年间，全国总人口数量依然呈现出上升的趋势。其中，随着城市化进程的加快，市人口的增加速率也在不断地加快；而镇人口数量也在不断地增加，说明我国的城镇化水平正在铺开；相反的，随着人们的生育观念发生变化，“重男轻女”、“多子多福”等观念从人们的生育观消失，农村人口呈现下降趋势，说明我国的人口计划生育工作做得到位。
5.3 中国人口长期预测模型
通过查阅国家统计局网站（https://www.doczj.com/doc/8e18734040.html,/）得到2001年-2005年的人口相关数据，如下表。
表格 17 1987年—2005年全国总人口
数据处理
根据总人口数量算出每年的净增长人数,如下表：
表格18 1987年—2005年全国净增人口
注：上表中人口数量单位为（：万人）。
观察发现，净增人数整体呈现下降趋势。我们假定，净增长人数按此表中规律类推下去，则必将会出现趋近于零的情况。由数学知识知，当增长人数为零时，那么此时为稳定状态，而人口又是逐年递增的，那么人口必将出现一个最大值。我们的工作即建立数学模型把最大值与出现最大值的年份预测出来。
Logistic人口模型的建立[6]
通过查阅文献，有2个模型来描述人口是比较合适的：一是Lislie模型，二是Logistic模型。从查询的数据观察，发现建立logistic人口模型是比较合适的。Logistic模型又称阻滞增长模型，通常来描述种群数量。
假定k为时间（：年），r为增长系数，N0为环境容纳量（：万人），N(k)为k 年人口数量（：万人），则Logistic模型的微分形式为：
{dN(k)
=rN(k)[1?
N(k)
] N(1987)=109300
其中，rN(k)是人口自身的增长趋势，1?N(k)
N0
体现了资源等环境对人口增长的阻滞作用，人口的增长与这两个因素的共同影响有关。
Logistic人口模型的求解
将Logistic模型的微分形式展开，得：
dN(k)
=rN(k)?rN(k)2
令e=?
r
N0
，N1(k)=N(k)2则转化为：
dN(k)
dk
=rN(k)?eN1(k)
此模型为二元线性模型。
利用MATLAB编程(程序代码见附录long_term_pridict.m)，对表格中的数据进行回归：
注：若要参考请注明来源
解得：r=0.0715，e=5.0632×10?7，N0=141880。则Logistic模型的微分形式为：
dN(k) dk =0.0715N(k)[1?
N(k)
141880
]
此外，加上微分方程初值条件N(1987)=109300
利用MATLAB编程（程序代码见附录 5.微分方程求解命令），求解微分方程解得：
N(k)=
141880
e?0.0715k+140.9+1
模型的检验和讨论
将模型的预测值和人口的实际值作残差分析，得到如下数据：
表格19 Logistic模型检验
从表中可以看出，相对残差是比较小的，说明该模型是可信的。利用MATLAB 编程绘制出的Logistic模型图如下：
图9 Logistic预测模型
注：若要参考请注明来源
从图中也可以看出，预测的结果非常不错的。此外，图像说明中国在2050年左右将进入人口的极限值14.2亿人口，并且此后的人口将稳定在峰值。
六模型的优缺点
6.1模型的优点
1 在对数据进行处理时，我们分别对市、镇、乡的人口的出生率及死亡率进行各年份的对比分析，使得结果的可信度大大提高。
2在针对人口增长的短期预测中，为了方便对比及算出结果，我们建立了两个数学模型，一个是基于线性回归一元函数预测模型，另一个是基于灰色理论的灰色预测模型。用一元函数模型，通过多组数据，可直观、快速分析出多者之间的线性关系。回归分析可以准确的剂量各个因素之间的相关程度与拟合程度的高低，提高预测方程式的效果，对于人口预测来说极为有用。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。附录中关于人口的数据，可以看做是一个模糊系统，而利用灰色预测理论，可以有效地得出结果，且偏差较小。
3 针对人口的长期预测，我们建立了logistic模型。此模型在不管在自然科学领域还是在社会科学领域中都具有非常广泛的用途，能有效地反应整个系统在接下来比较长的一段时间内的发展变化。
6.2模型的缺点
1 我们刚开始对给出的数据进行了数据描述，并通过城镇乡三部分的年份之间的对比形成了一个感性的描述。这种预测的特点是比较主观，且由于可供参考的年份较少，得出的结论也有一定的偏差。这种直观的人口预测方法，尽管能得出结论，却又显得有些苍白。这种方法是一种对问题的简化，只考虑年龄结构对人口发展的影响，将人口增长归因于出生率、死亡率各自的变化以及人口的年龄结构，无法非常准确地预测人口的数量变化，只能为进一步的建模做准备。
七对中国人口政策的建议
无论何时，人口问题总是影响着国家的发展建设。国家政策的提出，离不开现有的国情，随着国家人口的增长变化，政府的相关人口政策，自然也要做出相应的调整。只有符合现有国情的政策，才会更好地促进国家的发展和进步。
针对上面已经得出的人口预测，我们在此对国家的人口政策调整，提出几点建议：
1 人口的持续增长，人口与经济社会资源环境之间的关系将会越来越紧张，给国家带来的压力会越来越大，影响全面建设小康社会目标的实现。因而，稳定总和生育率，将是重中之重[7]。对此，国家应坚持邓小平理论和科学
发展观，加强计划生育工作，把总和生育率继续稳定在1.8左右；
注：若要参考请注明来源
2 老龄化进程加速，老年人口数量多、老龄化速度快、高龄趋势明显。人口老龄化将导致抚养比不断提高，对社会保障体系和公共服务体系的压力加大，并影响到社会代际关系的和谐。农村社会养老保障制度不健全，青壮年人口大量流入城市，使农村老龄化形势更为严峻。解决人口老龄化问题，根本在于加快经济发展，壮大国家经济实力。因此，应加强舆论宣传和引导，提高人民对老龄化问题的认识，明确老龄工作的方向，健全老年人社会保障制度；
3 出生人口性别比持续升高，城乡均出现异常，农村失调程度更为严重。查阅资料可知，新进入婚育年龄人口男性明显多于女性，婚姻挤压问题凸现，低收入及低素质者结婚难，所导致的社会秩序混乱将成为影响社会稳定的严重隐患。强烈的总男轻女思想和子女数量的限制，必然会出现对初生婴儿性别的非自然干预。这些问题显然不可能在短期内解决，国家应逐渐开放二胎，减轻对生育的限制，才能最大程度缓解性别比失衡问题[8]。
综上，人口数量问题仍然是全面建设小康社会面临的重大问题。但从更长的时期看，人口素质、结构和分布问题将逐渐成为影响经济社会协调和可持续发展的主要因素，并对新时期人口数量调控产生重大影响。着力提高人口素质、开发人力资源，已成为进一步稳定低生育水平、统筹解决人口问题、突破自然资源约束、促进经济社会发展的关键。国家对此，也应及时调整政策，以促进国家的发展与壮大。
参考文献
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[8] 王阳. 我国人口结构变化对经济社会发展的印象研究综述[J]. 西北人口, 2012. 注：若要参考请注明来源
附录：MATLAB程序代码
1.Myplot.m
clear;clc;
data = load('data.txt')';
year = (2001:2005)';
plot(year,data(:,1),'*',year,data(:,2),'+',year,data(:,3),'o',year,data(:,4),'>');
hold on
plot(year,data(:,1),'--',year,data(:,2),'--',year,data(:,3),'--',year,data(:,4),'--');
axis([2000 2006 0 150000]);
xlabel('年份');ylabel('人口数量（单位：万人）');
hold on
hleg1 = legend('市人口','镇人口','乡人口','全国人口','Orientation','horizontal'); set(hleg1, 'Position', [0.240377358490565 0.849375 0.666666666666667 0.075]); 注：若要参考请注明来源
2.linear_predict.m clear;clc;
data = load('data.txt')'; year = (2001:2005)';
pa=zeros(4,2);
for j = 1:4
x0 = data(:,j);
p = polyfit(year,x0,1);
pa(j,:) = p;
注：若要参考请注明来源
预测未来2015年到2020年的货运量 灰色预测模型 是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断. 灰色系统的定义 灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
建模原理 模型的求解
原始序列为： ) 16909 15781 13902 12987 12495 11067 10149 9926 9329 10923 7691())6(),...1(()0()0()0(==x x x 构造累加生成序列 ) 131159,114250,98469,84567,71580,59085, 48018,37869,27943,18614,7691())6(),...1(()1()1()1(==x x x 归纳上面的式子可写为 称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成. 对(1)X 作紧邻均值生成 ,.... 2)) 1()((21)()1() 1() 1(=-+=k k z k z k z MATLAB 代码如下： x=[7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159]; z(1)=x(1); for i=2:6 z(i)=0.5*(x(i)+x(i-1)); end format long g z z = Columns 1 through 3 7691 13152.5 23278.5 Columns 4 through 6 32906 42943.5 319437.5
灰色预测模型的Matlab 程序及检验程序 %灰色预测模型程序 clear syms a b; c=[a b]'; A=[46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3];% 原始序列 B=cumsum(A);%累加n=length(A); for i=1:(n-1) C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; end %计算待定参数 D=A; D(1)=[]; D=D'; E=[-C; ones(1,n-1)]; c=inv(E*E')*E*D; c=c'; a=c(1); b=c(2); %预测往后预测5个数据 F=[];F(1)=A(1); for i=2:(n+5) F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a; end G=[];G(1)=A(1); for i=2:(n+5) G(i)=F(i)-F(i-1); end t1=2002:2009; t2=2002:2014; G plot(t1,A,'o',t2,G) %灰色预测模型检验程序 function [ q,c,p ] = checkgm( x0,x1 ) %GM 检验函数 %x0 原始序列
%x1 预测序列 %·返回值 % q –- 相对误差 % c -- ·方差比 % p -- 小误差概率 e0=x0-x1; q=e0/x0; s1=var(x0); %qpa=mean(e0); s2=var(e0); c=s2/s1; len=length(e0); p=0; for i=1:len if(abs(e0(i)) < 0.6745*s1) p=p+1; end end p=p/len; end
数学模型与数学实验数 课程报告 题目：灰色预测模型介绍专业： 班级： 姓名： 学号： 二0一一年六月
1. 模型功能介绍 预测模型为一元线性回归模型，计算公式为Y=a+b。一元非线性回归模型：Y=a+blx+b2x2+…+bmxm。式中：y为预测值；x为自变量的取值；a,b1,b2……bm为回归系数。当自变量x与因变量y之间的关系是直线上升或下降时，可采用一元线性预测模型进行预测。当自变量x和因变量y之间呈曲线上升或下降时，可采用一元非线性预测模型中的y=a+b1x+b2x2+…+bmxm这个预测模型。当自变量x和因变量y之间关系呈上升一下降一再上升一再下降这种重复关系时，可采用一元线性预测模型中的Y=a+bx这个模型来预测。其中我要在这里介绍灰色预测模型。 灰色预测是就灰色系统所做的预测，灰色系统(Grey System)理论[]1是我国著名学者邓聚 龙教授20世纪80年代初创立的一种兼备软硬科学特性的新理论［95］96］。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。 公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。 公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。 公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。 公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。 公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 灰色预测模型实际上是一个微分方程, 称为GM模型。GM（1，N）[]1表示1阶的，N个 变量的微分方程型模型；则是1阶的,1个变量的微分方程型模型。在实际进行预测时, 一般选用GM(1,1) 模型, 因为这种模型求解较易, 计算量小, 计算时间短, 精度较高。 现在下面简单介绍有关于灰色预测的相关知识点： 为了弱化原始时间序列的随机性 在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。 关联度]1[
1.1.5 两岸间液体化工品贸易前景预测 从上述分析可见，两岸间液体化工品贸易总体上呈现上升的增长趋势。然而，两岸间的这类贸易受两岸关系、特别是台湾岛内随机性政治因素影响很大。因此，要对这一贸易市场今后发展的态势做出准确的定量判断是相当困难的；但从另一方面来说，按目前两岸和平交往的常态考察，贸易作为两岸经济与贸易交往的一个有机组成部分，其一般演化态势有某些规律可寻的。故而，我们可以利用其内在的关联性，通过选取一定的数学模型和计算方法，对之作一些必要的预测。 鉴此，本研究报告拟采用一定的预测技术，借助一定的计算软件，对今后10余年间大陆从台湾进口液化品贸易量作一个初步的预测。 (1) 模型的选择 经认真考虑，我们选取了灰色系统作为预测的技术手段，因为两岸化工品贸易具有的受到外界的因素影响大和受调查条件限制数据采集很难完全的两大特点，正好符合灰色系统研究对象的主要特征，即“部分信息已知，部分信息未知”的不确定性。灰色系统理论认为，对既含有已知信息又含有未知信息或不确定信息的系统进行预测，就是在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程进行的预测。尽管这一过程中所显示的现象是随机的，但毕竟是有序的，因此这一数据集合具有潜在的规律。灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 本报告以灰色预测模型，对两岸间化工品贸易进行的预测如下： 灰色预测模型预测的一般过程为： ① 一阶累加生成（1-AGO ） 设有变量为) 0(X 的原始非负数据序列 )0(X =[)1()0(x ,)2()0(x ,…)() 0(n x ] （1.1） 则) 0(X 的一阶累加生成序列 )1(X =[)1()1(x ,)2()1(x …)() 1(n x ] （1.2） 式中 ) ()(1)0() 1(i x k x k i ∑== k=1,2…n ② 对) 0(X 进行准光滑检验和对进行准指数规律检验
灰色预测模型理论及其应用 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测. 灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。 一、灰色系统及灰色预测的概念 灰色系统 灰色系统产生于控制理论的研究中。 若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。 若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。 灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。 区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。 特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。 灰色预测 灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类： (1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或
灰色预测模型原理 综合预测模型（ 灰色预测模型 (1,1)GM ） 为了是更准确的反映市场实际需求情况，我们建立综合预测模型，利用灰色模型 (1,1)GM 对平均销量做确定性增长趋势进行预测。 我们将时间序列2001—2005的实际销量值 (0)t X 累加处理生成新序列(1)t X ，则GM （1，1）模型相应的微分方程为： (1)(1)t t dX X dt αμ+= (20012005t =年 其中 α 为发展灰数 μ 为内生控制灰数 同时通过α?待估参数向量，?ααμ ??= ??? ，利用最小二乘法求解。解得： ()1?T T B B B Y α-= 矩阵B 为 (1)t X 取累加平均值所得 矩阵Y 为 (0)t X 转置矩阵 求解微分方程，即可得预测模型： ()()1011?t t X X e αμμαα-+??=-+???? ，(20012005)t =年 灰色模型算法描述： Step1. 累加处理生成新序列(1)t X Step2. 迭代计算出矩阵B 迭代计算 (1)(1)12t t t X X V ++= (20012004)t =年
得到 11,2111t t V B V --????=?????? Step3. 生成矩阵Y (0)1t t V X += ( 20012004t =年 T t t Y V = Step4. 计算系数矩阵α ? ()1 ?T T B B B Y α-= 解得,αμ Step5. 由得到的灰数,αμ 解微分方程 ()()1011?t t X X e αμμαα-+??=-+??? ? 即 预测出2006年的书号的平均销售量 Step6. 灰色模型残差检验
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题. 我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）,必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出. 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理. 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）: 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）: 所属学校（请填写完整的全名）: 河南师范大学 参赛队员(打印并签名) :1. 孔燕姿 2. 刘姣 3. 王丽娟 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): 裴永刚 日期: 2011 年 07 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）:
摘要 本文是一个灾变预测问题,针对该问题,根据旱灾界限找出原始数列中的异常值,生成对应的灾变日期序列。在级比检验不满足可容覆盖的情况下，取常数c=25,经过平移变换，新数列可以建立GM （1,1）模型. 通过最小二乘法求取参数向量?α=a b ??????=-0.075 31.996????? ?,得到GM(1,1)模型的时间相应函数模型：(1)0.075?(1)452.613426.613k T k e +=-.通过相对残差检验和级比偏差检验,确信所建模型达到较高的要求,可以用来做预测.再通过累减生成序列, 去掉常数c,即可得到下一次旱灾发生的预测时间为：从最近一次旱灾发生的时间算起，4年之后很可能发生旱灾。 关键词: 灰色模型 最小二乘法
灰色系统理论的研究 摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导GM（1,1）模型，另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计 算式具有唯一性和规范性[]4 。通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型， 并预测了1993年的传染病发病率。另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。 关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论
灰色系统理论的研究 GM(1,1)预测与关联度的拓展 1、引言 模型按照对研究对象的了解程度可分为：黑箱模型、白箱模型、灰箱模型。黑箱模型：信息缺乏，暗，混沌。白箱模型：信息完全，明朗，纯净。灰箱模型：信息不完全，若明若暗，多种成分。 1.1、研究背景 1.1.1、国内研究现状 灰色系统理论在我国提出至今已有二十几年的历史，它的应用引起了人们的广泛兴趣，不论是我国粮食发展决策中总产量预测模型，还是对湖北2000年宏观经济的发展趋势的量化分析，抑或是河南人民胜利渠的最佳灌溉决策，还是武汉汉阳火车对火车装车吨位的预测等，无一不是灰色预测系统理论杰出的硕果。 1.1.2、国外研究现状 灰色系统理论在国际上也产生了很大的影响，IBM公司要求将灰色系统软件加入其为全球服务的管理软件库。目前英国、美国、德国、日本、澳大利亚、加拿大、奥地利、俄罗斯等国家、地区及国际组织有许多学者从事灰色系统的研究和应用。 国内外84所高校开设了灰色系统课程，数百名博士、硕士研究生运用灰色系统的思想方法开展学科研究，撰写学位论文。国际、国内200多种学术期刊发表灰色系统论文，许多会议把灰色系统列为讨论专题，SCI、EI、ISTP、SA、MR、MA等纷纷检索我国灰色论著。 1.2、研究意义 邓聚龙教授提出灰色系统有着重要的意义: (1) 是系统思维和系统思想在方法论上的具体体现; (2) 是科学方法论上的重大进展, 具有原创性的科学意义和深远的学术影响，是对系统科学的新贡献。 2、灰色系统及灰色预测的概念 2.1、灰色系统理论发展概况 2.1.1、灰色系统理论的提出 著名学者邓聚龙教授于20世纪70年代末、80年代初提出。
灰色预测模型matlab程序 %下面程序是灰色模型GM(1,1)程序二次拟合和等维新陈代谢改进预测程序,mat lab6.5 ,使用本程序请注明，程序存储为gm1.m %x = [5999,5903,5848,5700,7884];gm1(x); 测试数据 %二次拟合预测GM(1,1)模型 function gmcal=gm1(x) sizexd2 = size(x,2); %求数组长度 k=0; for y1=x k=k+1; if k>1 x1(k)=x1(k-1)+x(k); %累加生成 z1(k-1)=-0.5*(x1(k)+x1(k-1)); %z1维数减1，用于计算B yn1(k-1)=x(k); else x1(k)=x(k); end end %x1,z1,k,yn1 sizez1=size(z1,2); %size(yn1); z2 = z1'; z3 = ones(1,sizez1)'; YN = yn1'; %转置 %YN B=[z2 z3]; au0=inv(B'*B)*B'*YN; au = au0'; %B,au0,au
ufor = au(2); ua = au(2)./au(1); %afor,ufor,ua %输出预测的 a u 和 u/a的值 constant1 = x(1)-ua; afor1 = -afor; x1t1 = 'x1(t+1)'; estr = 'exp'; tstr = 't'; leftbra = '('; rightbra = ')'; %constant1,afor1,x1t1,estr,tstr,leftbra,rightbra strcat(x1t1,'=',num2str(constant1),estr,leftbra,num2str(afor1),tstr,r ightbra,'+',leftbra,num2str(ua),rightbra) %输出时间响应方程 %****************************************************** %二次拟合 k2 = 0; for y2 = x1 k2 = k2 + 1; if k2 > k else ze1(k2) = exp(-(k2-1)*afor); end end %ze1 sizeze1 = size(ze1,2); z4 = ones(1,sizeze1)'; G=[ze1' z4]; X1 = x1'; au20=inv(G'*G)*G'*X1; au2 = au20'; %z4,X1,G,au20
数学建模之灰色预测模 型 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-
一、灰色预测模型 简介（P372） 特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。 优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。 缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。 1、GM(1,1)预测模型 GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 模型的应用 ①销售额预测 ②交通事故次数的预测 ③某地区火灾发生次数的预测 ④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库） ⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） ⑥网络舆情危机预警（下载的文档） 步骤 ①级比检验与判断 由原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n =计算得序列的级比为 (0)(0)(1)(),2,3, ,.() x k k k n x k λ-== 若序列的级比()k λ∈ 221 2 (,)n n e e -++Θ=，则可用(0)x 作令人满意的GM(1,1)建模。 光滑比为 (0)1 (0) 1 () ()() k i x k p k x i -== ∑ 若序列满足 [](1) 1,2,3,,1;() ()0,,3,4, ,;0.5. p k k n p k p k k n ??+<=-∈=<
则序列为准光滑序列。 否则，选取常数c 对序列(0)x 做如下平移变换 (0)(0)()(),1,2, ,,y k x k c k n =+= 序列(0)y 的级比 0(0)(1) (),2,3, ,.() y y k k k n y k λ-=∈Θ= ②对原始数据(0)x 作一次累加得 (1)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())(11+(2),,(1)()).x x x x n x x x x x n ==++（），（） 建立模型: (1) (1),dx ax b dt += （1） ③构造数据矩阵B 及数据向量Y (1)(1)(1)(2)1(3)1,()z z B z n ??- ??- ? ?=?? ????- 1??(0)(0)(0)(2)3()x x Y x n ??????=?? ?? ???? （） 其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,.z k x k x k k n =+-=） ④由 1??()?T T a u B B B Y b -??==???? 求得估计值?a = ?b = ⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为 ? (1) (0)???(1)(1)k 0,1,,1,,??ak b b x k x e n a a -??+=-+=- ? ??? ， 则模型还原值为 (0)(1)(1)???(1)(1),1,2,,1,.x k x k x k n +=+-=- ⑥精度检验和预测 残差 (0)(0)?()()(),1,2,,,k x k x k k n ε=-=
灰色系统预测 重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM （1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。 1灰色系统理论的产生和发展动态 1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。 1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。 1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。 2灰色系统的基本原理 2.1灰色系统的基本概念 我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。系统信息不完全的情况有以下四种： 1.元素信息不完全 2.结构信息不完全 3.边界信息不完全 4.运行行为信息不完全 2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别 主要在于对系统内涵与外延处理态度不同； 研究对象内涵与外延的性质不同。 灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。 “黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。
2.3灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。 公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。 公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。 公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。 公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。 公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。 2.4灰色系统理论的主要内容 灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G ，M ）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。 灰色关联分析 灰色统计 灰色聚类 3灰色系统预测模型 灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。 3.1灰色系统理论的建模思想 下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑4个数据，记为)4(),3(),2(),1()0()0()0()0(
%x=[1019,1088,1324,1408,1601];gm1(x); 测试数据%二次拟合预测GM(1,1)模型 function gmcal=gm1(x) if nargin==0 x=[1019,1088,1324,1408,1601] end format long g sizex=length(x); %求数组长度 k=0; for y1=x k=k+1; if k>1 x1(k)=x1(k-1)+x(k); %累加生成 z1(k-1)=-0.5*(x1(k)+x1(k-1)); %z1维数减1，用于计算B yn1(k-1)=x(k); else x1(k)=x(k); end end %x1,z1,k,yn1 sizez1=length(z1); %size(yn1); z2 = z1'; z3 = ones(1,sizez1)'; YN = yn1'; %转置 %YN B=[z2 z3]; au0=inv(B'*B)*B'*YN; au = au0'; %B,au0,au afor = au(1); ufor = au(2); ua = au(2)./au(1); %afor,ufor,ua %输出预测的 a u 和 u/a的值 constant1 = x(1)-ua; afor1 = -afor; x1t1 = 'x1(t+1)'; estr = 'exp'; tstr = 't'; leftbra = '(';
rightbra = ')'; %constant1,afor1,x1t1,estr,tstr,leftbra,rightbra strcat(x1t1,'=',num2str(constant1),estr,leftbra,num2str(afor1),tstr,rightbra,'+ ',leftbra,num2str(ua),rightbra) %输出时间响应方程 %****************************************************** %二次拟合 k2 = 0; for y2 = x1 k2 = k2 + 1; if k2 > k else ze1(k2) = exp(-(k2-1)*afor); end end %ze1 sizeze1=length(ze1); z4 = ones(1,sizeze1)'; G=[ze1' z4]; X1 = x1'; au20=inv(G'*G)*G'*X1; au2 = au20'; %z4,X1,G,au20 Aval = au2(1); Bval = au2(2); %Aval,Bval %输出预测的 A,B的值 strcat(x1t1,'=',num2str(Aval),estr,leftbra,num2str(afor1),tstr,rightbra,'+',lef tbra,num2str(Bval),rightbra) %输出时间响应方程 nfinal = sizex-1 + 1;（其中+1可改为+5等其他数字，即可预测更多的数字） %决定预测的步骤数5 这个步骤可以通过函数传入 %nfinal = sizexd2 - 1 + 1; %预测的步骤数 1 for k3=1:nfinal x3fcast(k3) = constant1*exp(afor1*k3)+ua; end %x3fcast %一次拟合累加值 for k31=nfinal:-1:0 if k31>1 x31fcast(k31+1) = x3fcast(k31)-x3fcast(k31-1); else if k31>0
一、灰色预测模型 简介（P372） 特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。 优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。 缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。 1、GM(1,1)预测模型 GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 模型的应用 ①销售额预测 ②交通事故次数的预测 ③某地区火灾发生次数的预测 ④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库） ⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） ⑥网络舆情危机预警（下载的文档） 步骤 ①级比检验与判断 由原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n =计算得序列的级比为 (0)(0)(1)(),2,3, ,.() x k k k n x k λ-== 若序列的级比()k λ∈ 221 2 (,)n n e e -++Θ=，则可用(0)x 作令人满意的GM(1,1)建 模。 光滑比为 (0)1 (0) 1 () ()() k i x k p k x i -== ∑ 若序列满足
[](1) 1,2,3,,1;() ()0,,3,4, ,;0.5. p k k n p k p k k n ??+<=-∈=< 则序列为准光滑序列。 否则，选取常数c 对序列(0)x 做如下平移变换 (0)(0)()(),1,2, ,,y k x k c k n =+= 序列(0)y 的级比 0(0)(1) (),2,3, ,.() y y k k k n y k λ-=∈Θ= ②对原始数据(0)x 作一次累加得 (1)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())(11+(2),,(1)()).x x x x n x x x x x n ==++（），（） 建立模型: (1) (1),dx ax b dt += （1） ③构造数据矩阵B 及数据向量Y (1)(1)(1)(2)1(3)1,()z z B z n ??- ??- ? ?=?? ????- 1??(0)(0)(0)(2)3()x x Y x n ??????=?? ?? ???? （） 其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,.z k x k x k k n =+-=） ④由 1??()?T T a u B B B Y b -??==???? 求得估计值?a = ?b = ⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为 ? (1) (0)???(1)(1)k 0,1,,1,,??ak b b x k x e n a a -??+=-+=- ? ??? ， 则模型还原值为
灰色理论预测模型及GM(1,1)matlab程序灰色预测方法简介 灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类： a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。累加前数列为原始数列，累加后为生成数列。 b、累减生成：前后两个数据之差，累加生成的逆运算。累减生成可将累加生成还原成非生成数列。 c、映射生成：累加、累减以外的生成方式。 建模步骤 a、建模机理 b、把原始数据加工成生成数； c、对残差（模型计算值与实际值之差）修订后，建立差分微分方程模型； d、基于关联度收敛的分析； e、gm模型所得数据须经过逆生成还原后才能用。 f、采用“五步建模（系统定性分析、因素分析、初步量化、动态量化、优化）”法，建立一种差分微分方程模型gm(1,1）预测模型。 GM(1,1)程序： % 本程序主要用来计算根据灰色理论建立的模型的预测值。 % 应用的数学模型是GM(1,1)。 % 原始数据的处理方法是一次累加法。 clear;clc; % load ('data.txt');
% y=data'; y=[3 4 5 4 7 7]; n=length(y); yy=ones(n,1); yy(1)=y(1); for i=2:n yy(i)=yy(i-1)+y(i); end B=ones(n-1,2); for i=1:(n-1) B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1))/2; B(i,2)=1; end BT=B'; for j=1:n-1 YN(j)=y(j+1); end YN=YN'; A=inv(BT*B)*BT*YN; a=A(1); u=A(2); t=u/a; t_test=input('请输入需要预测个数：'); i=1:t_test+n; yys(i+1)=(y(1)-t).*exp(-a.*i)+t; yys(1)=y(1); for j=n+t_test:-1:2 ys(j)=yys(j)-yys(j-1); end x=1:n; xs=2:n+t_test; yn=ys(2:n+t_test); plot(x,y,'^r',xs,yn,'*-b'); det=0; for i=2:n det=det+abs(yn(i)-y(i)); end det=det/(n-1); disp(['百分绝对误差为：',num2str(det),'%']); disp(['预测值为：',num2str(ys(n+1:n+t_test))]);
灰色预测模型的Matlab程序及检验程序%灰色预测模型程序 clear syms a b; c=[a b]'; A=[46.232.626.723.020.018.917.516.3];%原始序列B=cumsum(A);%累加 n=length(A); for i=1:(n-1) C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; end %计算待定参数 D=A; D(1)=[]; D=D'; E=[-C;ones(1,n-1)]; c=inv(E*E')*E*D; c=c'; a=c(1); b=c(2); %预测往后预测5个数据 F=[];F(1)=A(1); for i=2:(n+5) F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a; end G=[];G(1)=A(1); for i=2:(n+5) G(i)=F(i)-F(i-1); end t1=2002:2009; t2=2002:2014; G plot(t1,A,'o',t2,G) %灰色预测模型检验程序 function[q,c,p]=checkgm(x0,x1) %GM检验函数 %x0原始序列 %x1预测序列 %·返回值
%q–-相对误差 %c--·方差比 %p--小误差概率 e0=x0-x1; q=e0/x0; s1=var(x0); %qpa=mean(e0); s2=var(e0); c=s2/s1; len=length(e0); p=0; for i=1:len if(abs(e0(i))<0.6745*s1) p=p+1; end end p=p/len; end 等级相对误差q方差比C小误差概论P I级<0.01<0.35>0.95 II级<0.05<0.50<0.80 III级<0.10<0.65<0.70 IV级>0.20>0.80<0.60
灰色预测模型matlab程序 灰色模型预测是在数据不呈现一定规律下可以采取的一种建模和预测方法，其预测数据与原始数据存在一定的规律相似性 %下面程序是灰色模型GM(1,1)程序二次拟合和等维新陈代谢改进预测程序,mat lab6.5 ,使用本程序请注明，程序存储为gm1.m %x = [5999,5903,5848,5700,7884];gm1(x); 测试数据 %二次拟合预测GM(1,1)模型 function gmcal=gm1(x) sizexd2 = size(x,2); %求数组长度 k=0; for y1=x k=k+1; if k>1 x1(k)=x1(k-1)+x(k); %累加生成 z1(k-1)=-0.5*(x1(k)+x1(k-1)); %z1维数减1，用于计算B yn1(k-1)=x(k); else x1(k)=x(k); end end %x1,z1,k,yn1 sizez1=size(z1,2); %size(yn1); z2 = z1'; z3 = ones(1,sizez1)'; YN = yn1'; %转置 %YN B=[z2 z3]; au0=inv(B'*B)*B'*YN;
%B,au0,au afor = au(1); ufor = au(2); ua = au(2)./au(1); %afor,ufor,ua %输出预测的 a u 和 u/a的值 constant1 = x(1)-ua; afor1 = -afor; x1t1 = 'x1(t+1)'; estr = 'exp'; tstr = 't'; leftbra = '('; rightbra = ')'; %constant1,afor1,x1t1,estr,tstr,leftbra,rightbra strcat(x1t1,'=',num2str(constant1),estr,leftbra,num2str(afor1),tstr,r ightbra,'+',leftbra,num2str(ua),rightbra) %输出时间响应方程 %****************************************************** %二次拟合 k2 = 0; for y2 = x1 k2 = k2 + 1; if k2 > k else ze1(k2) = exp(-(k2-1)*afor); end end %ze1 sizeze1 = size(ze1,2); z4 = ones(1,sizeze1)'; G=[ze1' z4]; X1 = x1'; au20=inv(G'*G)*G'*X1;
灰色预测模型理论及其 应用 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
灰色预测模型理论及其应用灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测. 灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。 一、灰色系统及灰色预测的概念 灰色系统 灰色系统产生于控制理论的研究中。 若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。 若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。 灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。 区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。 特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。 灰色预测 灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类： (1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。 (2) 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。 (3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。 (4) 系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。 上述灰预测方法的共同特点是： （1）允许少数据预测； （2）允许对灰因果律事件进行预测，比如
§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。 为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。 一、灰色预测模型GM （1,1） 建模步骤如下： （1）GM （1,1）代表一个白化形式的微分方程： u aX dt dX =+)1() 1( （1） 式中，u a ,是需要通过建模来求得的参数；) 1(X 是原始数据) 0(X 的累加生成（AGO ）值。 （2）将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素，这就是数据处理。表示为： ∑==k n n X k X 1 )0() 1()()( （2） 不直接采用原始数据) 0(X 建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律， 然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。 （3）对GM （1,1），其数据矩阵为
?????? ? ? ?+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B M M （3） 向量T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0(Λ= （4）作最小二乘估计，求参数u a , N T T Y B B B u a 1)(?-=??? ? ??=α （4） （5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为 a u e a u X t X at +-=+-))1(()1(?)0()1( （5） 这就是要建立的灰色预测模型。 二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测 下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕变断裂时间见下表。 1、建立GM （1,1）模型 表中一次累加数列)() 1(k X 是根据断裂时间数列)()0(k X ，由公式（2）得到的。例如，