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第4章 分离变量(傅里叶级数)法(补充1)

第4章 分离变量(傅里叶级数)法(补充1)
第4章 分离变量(傅里叶级数)法(补充1)

第四章 分离变量法 §4.1 分离变法介绍

1.“顾名思义,分离变量法只能求出分离变量形式的解,如果一个定解问题不是分离变量形的,用分离变量法不可能求得这个解。”试对上述说法加以评论。

解:分离变量法解方程可得到本征解,本征值说是分离变量形式的,但定解问题的一般是本征解的某个叠加,即由本征解组成的级数,这种解已不是分离变量形式的了,事实上,一个解即使不是分离变量形式的也可展为级数,所以由分离变量法得到的解,一般并不一定是分离变量形式的。

2.演奏琵琶是把弦的某一点向旁拨开一个小距离,然后放手任其自由振动。设弦长为l ,被拨开的点在弦长的

00

(1n n 为正整数)处,拨开距离为

h ,试求解弦

的振动。[注意:在解答中,不存在0n 谐音以及0n 整倍数次谐音。因此,在不同位置拨弦(0n 不同),发出的声音的音色也就不同。]

图4-1

解:定解问题为:

????

??????

?

??

??≤≤=????

?

???????? ??≤≤--???? ??≤≤===<<=-====)

4( ),0(,0)

3( ,),(,0,|)2( ,0)1( ),0(,000000002l x u l x n l x l n l l h n l x x l h n u u u l x u a u t t t l x z zx tt 第一步,分离变量:设)()(),(t T x X t x u =以此代入泛定方程和边界条件:

0)()()()(2

=''-''x X t T a t T x X , (5)

0)()()()0(==t T l X t T X , (6)

由(5)式得到

)

()()

()(2

x X x X t T a t T ''=

'', (7)

只有上式两端均等于同一常数时才有可能成立,把这个常数记为λ-,代入(7)式成为:

λ-=''=

'')

()()

()(2

x X x X t T a t T ,

,0)()(2

=+''t T a t T λ (8)

,0)()(=+''x X x X λ (9)

在(6)中,若取)(t T =0,得出0)()(==t T x X u ,显然无意义,只能取0)()0(==l X X

第二步,求解本征值问题: 由方程(9)来求解)(x X ,这要分0,0=<λλ和0=λ

三种情况。

(1)当0=λ时,由(9)式得21)(C x C x X +=以此代入0)()0(==l X X 得021==C C 则0)(≡x X ,无意义,故得到0≠λ。

(2)0<λ时,0>-λ,方程(9)的解是x

x

l

C l

C x X λλ---+=21)(以此代入

0)0()(==X l X 得到;0)(,021===x X C C ,

也是无意义,可见0<λ的情况也要排除。 (3)0>λ,方程(9)的解是

,sin

cos

)(21x C x C x X λλ+= (10)

由边界条件0)()0(==l X X 得到0sin ,021==l C C λ,这里2C 不能为0,否则得到的

解只是零,无意义。因此只能取

),3,2,1(, ,0sin

2

2

2 ==

=n l

n l πλλ

∴ ,s i n

)(2x l

n C x X n π= (11)

第三步,求解另外一个变量:再解关于t 的方程(8),用2

2

2l

n πλ=

,代入(8)

.0)()(2

2

22=+

t T l

a n t T n s

n

π (12)

(10)式的解为:

,sin

cos

)(l

at n B l

at n A t T n n n ππ+=

本征解为

,sin

sin cos ),(l x n l at n B l at n A t x u n n n πππ??? ?

?

+=

第四步,叠加:一般解应是它的叠加:

∑∞

=?

?

?

??

+=

1

.sin sin cos ),(n n

n l x n l at n B l at n A t x u πππ (13) (13)式应满足初始条件(3)和(4),则

==

1

,sin

)0,(n n l

x n A x u π

∴ ?

?

--+

=

n

l l

n

l n d l

n l l

n h n l

d l

n l

h n l

A /0

/000s i n

)()1(2s i n

2ξπξξξπξξ

02

2

2

0sin )

1(2n n n n h n ππ-=

(14)式还应满足初始条件(4)

===

1

,0sin

)0,(n n

t l

x n l

nB a x u ππ

,0=l

nB a n

π ∴ ,0=n B

∴ ∑

==

1

s i n

c o s ),(n n l

x

n l at n A t x u ππ∑

=-=1

2

022

0c o s s i n

1)1(2n l

at n n n n

n h n πππ.s i n l x

n π

由上式可以得知,不存在0kn n =次谐音,因这时.0sin

=n n π

3.两端固定的弦的长度为l ,用细棒敲击弦上0x x =点,亦即在0x x =施加冲力,设其中量为I ,求解弦的振动。[注意:上题n 次谐音的幅度∝

2

1n

,本题n 次谐音幅度∝n /1,

相比之下,细棒敲击弦发出的声音包含较多的高次谐音,比较刺耳。因此,演奏扬琴必须使用锤敲击弦而决不可用细棒]。

解:定解问题:

????

?

????

-====≤≤=-====).(|,0|,

0||),0(,000002x x I u u u u l x u a u t t t l z x zx it δρ 泛定方程的一般解为

∑∞

=??? ?

?+=

1.sin sin cos n n

n l x n l at n B l at n A u πππ 代入初始条件:

====

10,0sin

|a n t l

x n A u π

,)(sin

|1

00∑

==-=

=

n n t t x x I

l

x n B l

a n u δρ

ππ

?

-=

l

n dx x x l

x n l I B l

a n 0

0)(sin

2δπρ

π.s i n 20

l

x n l I πρ

=

∴ ,s i n

20

l

x n a

n I B n ππρ=

==

1

sin

sin

n n l

x n l

at n B u ππ∑

==

1

.sin

sin

sin

12n l

x n l

at n l

x n n

a I

πππρ

π

§4.2 齐次的泛定方程

1.长为l 的弦,两端固定,弦中张力为T ,在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开,然后突然撤除这力,求解弦的振动。

图4-2

解:定解问题为

??

??

?????

??=???????<<-<<-===<<=-=)

4( .0)3( ),(),(),0(,)0,()2( ,0),(),0()1( ),0(,000000002t t xx tt u

l x x x l l x T F x x x l x l T F x u t l u t u l x u a u 令)()(),(t T x X t x u =代入泛定方程(1)得

2

λ-=''=''aT

T X

X .

可得 ??

???===+''=+''.0)()0(,0,02

22l X X X X T a T λλ

由此可以得到有关X 的解是:

,sin )(x C x X λ=

由0)(=l X 可知,0sin =l C λ,C 不能为0,否则0≡x 。无意义,

∴ ).,3,2,1(,0sin ===n l

n l πλλ

将λ的数值)(l

n π=

代入关于T 的方程得T 的解:

∑∞

=??? ?

?

+=+=1,

sin cos )(,

sin

cos

)(n n n n n n t l a n B t l a n A t T t l

a n B t l

a n A t T ππππ

∴ )()(),(t T x X t x u =

∑∞

=??? ?

?

+=

1.sin sin cos n n

n x l n t l a n B t l a n A πππ 将u 的表达式代入初始条件(4)得:

∑∞

===??

?

?

?

+-=

10

0sin cos sin |n t n

n t t x

l n t l a n l a n B t l a n l a n A u πππππ

∞==∴==

1

.0 ,0sin

0cos n n n

B x l

n l

a n B ππ

则∑

==

1

.sin

cos

),(n n x l

n t l

a n A t x u ππ

根据初始条件(3)有:

??????

?<<-<<-=),

(),(),0(,sin 0

0000

0l x x x l l

x T F x x x l

x l T F x l n A n π ?

=

l

n d l

n l

A 0

sin

)(2ξξπξ?

?

?

-+

-=

0000sin

)1(2sin 2x l

x d l

n l

x T

F l

d l

n l

x l T F l

ξξπξξξπξ

l

x n n l

T F l 0

2

220

sin

2ππ

=

,sin

120

2

2

0l

x n n

T l F ππ

?

=

∴ x l

n t l a n A t x u n n ππs i n c o s ),(1

==

=-

=1

2

2

0.cos

sin

sin

12n t l

a n x l

n l

x n n

T l F ππππ

2.求解细杆导热问题,杆长l ,两端保持为零度,初始温度分布./)(2

l x l bx u t -==

解:定解问题为

????

?

?

???-===≤≤???? ??==-===)3( ./)()2( ,0)1( ),0(,02

01022

l x l bx u u u l x C k a u a u t z z zx i ρ 设)()(),(t T x X t x u =代入泛定方程:

,2

λ-=''=

'X

X T

a T

由此得到:???===+''=+'.

0)()0(,0,

02l X X X X T a T λλ

解X 得

∑'+'=

),sin cos

()(x B x A x X n

n

λλ

由边界条件(2)得.0)0(=X ∴ ,0='n

A

,0)(=l X ∴ ,,0s i n πλλn l l ==∴ ,2

2

2l

n πλ=

∴ ,s i n )(∑

'=

x l

n B x X n

π

根据有关T 的方程得

,

,

02

2

2

2

2

2

22i

l

a n n n n n e

C T T l

a n T ππ-==+

'

∴ .s i n

s i n

),(1

1

2

2

2222

2

2

∑∑

=-

=-='=

n i

l

a n n n i

l

a n n n

x l

n e

B x l

n e C B t x u ππππ

由初始条件(3)得:

,)

(sin

)0,(1

2

∑∞

=-=

=

n n

l

x l bx x l

n B

x u π

∴ ?

?

-=

-=

l

l

n d l

n l

b d l

n l

l b l

B 0

3

2

s i n )1(2s i n

)

(2ξπξξξπξξξ

l l l

n n l

l

n n l l l b 0

20

2

2

2

3cos sin

πξπ

ξ

ππ

-

????=

?

??+??

? ??

--

l

l l

n n l l n l n l n n l

3

302

2

2cos

2cos sin 2ξ

ππξπξπξππ

ξ ?

?????--+-+--=]1)1[(2)1()1(2333

333n

n n n l n l n l l b πππ

??

???

+=+= ),( ,0),12(,)

12(83

3为偶数时当时为奇数当n k n n k b π ∴

=+-

+=

)

12()12(s i n

),(2

22

2

k t

a l

k k x l

k e

B t x u π

π∑∞

=+++=

)12(3

3

.)

12(s i n

)

12(1

82

2

22k t

l

a k x l

k e

k b

ππ

π

3.两端固定弦,长为l ,(1)用宽为2δ的平面锤敲击弦的0x x =点。(2)用宽度为2δ的余弦式凸面锤敲击弦的0x x =,求解弦的振动。

解:(i )若锤为平面锤,定解问题为

???

?

?

??

?????+<<-<<+-<<=

===<<=-====).(,),

,0(,0|,

0|,0||),0(,0000000

0102δδδδx x x v l x x x x u u u u l x u a u t t t x z zx u 根据边界条件,可知本征函数为l

x n πsin

,故弦的一般振动可表示为:

∑∞

=?

?

?

?

?

+=

1,sin sin cos ),(n n

n l x n l at n B t l a n A t x u πππ 以此代入初始条件得:

===

1

.0sin

)0,(n n l

x n A x u π

???

??+<<-<<+-<<==

=).

(,1),

0(,0sin )0,(000

001

δδδδππx x x v x x x x l x n B l a n x u s n n t 由此可得傅里叶系数

?

=?=

l

n d l

n l

A 0

,0sin

02ξπξ

?+-+--=

=

δ

δ

δδ

πξπ

πξπξπ0000cos

2sin

2

00x x x x n l

n n l v a n d l

n v a

n B

=

,sin sin 4)(cos )(cos 20220002

20l n l x n a n l

v x l n x l n a n l v πδππδπ

δππ??

???

?+--

∴ ∑

==

1

2

2

0.s i n

s i n

s i n

s i n

14),(n l x n l

at n l

n l

x n n

a l v t x u πππδππ

(ii )若为余弦式锤,则定解问题为:

????

?

????

?

??????+<<--<<+-<<====<<=-).(,2cos ),,0(,0)0,(.

0)0,(,0),(),0(),

0(,00000002δδπδδδx x x x x v l x x x x x u x u t l u t u l x u a u t zx tt 根据边界条件可知其本征函数为l

x n πsin

,因而弦的一般解可表示为:

∑∞

=??? ?

?

+=

1,sin sin cos ),(n n

n l x n l at n B l at n A t x u πππ 代入初始条件得:

===

1

,0sin

)0,(n n l

x n A x u π

=??

?

??+<<--<<+-<<==

1

000

000),(,2cos

),

,0(,0sin )0,(n n t x x x x x v l x x x x l x n B l a n x u δδπδδδππ 从上列二式可得: ?+--=

δ

δ

ππδ

π00sin

2cos

2

00x x n dx l

x n x x v a

n B ,cos

sin

21180

2

2

0l

n l

x n l n a

n v πδπδπδ?

?

? ??-=

∴ .s i n s i n c o s s i n

21118),(0

2

1

2

0l

x

n l at n l n l x n l n n

a v t x u n πππδπδπ

δ?

?

? ??-?

=

=

4.长为l 的均匀杆,两端受压从而长度缩为)21(ε-l ,放手后自由振动,求解杆的这一振动。

解:建立如下图所示坐标系(图4-3)

其数学模型为

??

???

??

??=???

??-===<<=-====.

0|,

212|,0||),0(,000102t t t x x x x xx tt u x u u u l x u a u ε 因为是第二类边界条件,所以要用本征函数x l

n πcos

展开,设解为

∑∞

=??? ??

+=

0,cos sin cos ),(n n

n x l n l at n B l at n A t x u πππ ∵

,0c o s c o s 0

==??=∞

==∑

t n n

t x

l

n l at n l

a n B t

u π

ππ

∴ .0=n B

==

1,cos

cos

),(n n l

x n l

at n A l x u ππ

∵ ∑

=??

?

??-==

1

,212c o s )0,(n n x l x n A x u επ

∴ .0|2

2|22121

1

002

1

00

0=-=-

=-

=??

?

??-=???

l l x l

x x d x l dx dx x l A l

l l

εεεεεεε

???

? ??-=

l

dx l x n x l A 00cos 2122

πε[][]

.)1(141cos 42222n

n l n n l --=--=πεππε ??

???

++=, ,0,12,)

12(82

2为偶数时当时为奇数当n k n k l πε ∴ .)12(c o s )12(c o s )

12(1

8),(0

2

2

=+++=

n l x k l at k k l

t x u πππ

ε 5.长为l 的杆,一端固定,另一端受力F 0而伸长,求解杆在放手后的振动。

解:建立如图4-4所示的坐标系

图4-4

定解问题为

??

???

??

??=≤≤==??===≤≤=-===??.

0|),0(,)0,(,0|,0|),0(,000

000

102t t x x x x x xx tt u l x YS x F dx YS F dx x u x u u u l x u a u 令 )()(t T x X u =,代入泛定方程分离变量得

??

?='==+''=+''.

0)()0(,

0,

02

l X X X X T a T λλ (i )

若0<λ,则=x

x

e C e

C X λλ---+=21

则有021=+C C 和.021=+---+

l

l

e

C e C λλ

∴ 0,021≡==X C C 无意义,因此,不可能0<λ。 (ii )0=λ,则方程0=+''X X λ的解为

,)(21C x C x X +=

由X 边界条件便可知,,0,0212=+=C l C C ∴ 01=C 从而0)(≡x X 也没有意义,也不可能0=λ。

(iii )仅当0>λ时才有意义的解,

x C x C X λλsin

cos

21+=

利用边界条件(8)可知,01=C ,

0cos

)(2

=='l C l X λλ ∴ 0c o s =l λ

,2,1,0,212

1=??

?

?

?+

=+

=n n n l πππλ ∴ ,212

2

2

l

n π

λ??? ?

?

+=

().21sin

2x l

n C x X n π?

?? ?

?

+=

以本征值2

2

2

21πλl

n ?

?? ?

?

+=

代入到关于T 的方程得解

,21sin 21cos )(t a l

n B t a l

n A t T n

n

n ππ?

?? ?

?

+'+?

?? ?

?

+'=

∴ ∑∞

=??? ??+?????

? ????? ??+'+??? ??+'=0221s i n 21s i n 21c o s ),(n n n x l n C t a l n B t a l n A t x u πππ

.21sin 21sin 21cos 0x l n t a l n B t a l n A n n n πππ??? ?

?

+?????

???

??????? ??++??? ??+=∑∞=

利用初始条件,

,0 ,00

=∴=??=n t B t

u

再利用初始条件,,)0,(0YS

x F x u =

可得

==

??? ?

?

+0

0,21sin

n n x YS

F l

x

n A π

∴ ?

+

=

l

n d l

n YS

F l

A 0

0)21(sin 2ξξπ

ξ

?????

?

??

??

?

???? ??+??? ??

+???????????

???

?

??+??? ?

?

+=

?l n d l n l n YS F n l l πξπξπξ

π

2121sin 21212002

2

l

l

n l n l n YS F n l 0

02

2

21cos 2121sin 212??????????????? ??

+??? ??+??? ??+??? ?

?+=

πξ

πξξππ

,)1(21202

2

n

YS

F n l -??? ?

?

+=

π

∴ .)21

(s i n 21c o s )

12()1(8),(0

2

2

x l n l at n n YS

lF t x u n n

πππ∑

=+??? ??++-=

6.长为l 的理想传输线,远端开路,先把传输线充电到电位差0v ,然后把近端短路。求解线上的电压),(t x v 。

解:泛定方程 ).0(,1 ,02

2

l x LC

a v a v xx tt <<==-

边界条件 ??

?

??=??? ??

??+-===,

0),(,

0),0(l

x x

j t L R t l v t v

初始条件 ,)0,(0v x v =

,01)0,(0

=-

==t x

t j C x v

与上题(第5题)类似,具有第一类和第二类边界条件,从而知道其一般解应为:

,21sin 21sin 21cos ),(0x l n t a l n B t a l n A t x v x n n πππ+?????

?

??+++=∑∞

= 由于

,00

=??=t t

v

∴ .0=n B

∵ .21s i n )

,(00

v x l

n A t x v n n t =?

?? ?

?

+=

==π

∴ ???? ??+=l n d l n v l A 0021s i n 2ξξl

l n n l v l 00)21(c o s 212??????

??

????+-??? ?

?+=πξπ ?

???????? ??

+-+=

ππ21cos 1)12(40

n n v .)12(40+=n v π ∴ ()

()

∑∞

=++=

212s i n

121

4),(n l

n n v t x v π

()t l

a

n x 212c o s

ππ+

7.长为l 的杆,上端固定在电梯天花板,杆身竖直,下端自由、电梯下降,当速度为0

v 时突然停止,求解杆的振动。

解:泛定方程 ()l u a u xx tt ≤≤=-x 0 ,02

。 (1)

边界条件 ?

??

??=??===.0,

0|0l x x x

u u (2)

根据边界条件(2)可设(1)的解:

()∑∞

=+

=

21

sin

)(,n n

x

l

n t T

t x u π, (4)

代入泛定方程(1)有

∑∞

==+??????

??????????? ??++0222

2

''021

sin 21n n n x l n T a l n T ππ, 关于T (t )方程的解为:

at l

n B at l

n A t T n n n ππ?

?? ?

?

++?

?? ?

?

+=21sin

21cos )(,

则: ∑∞

=+???

??

?+++=

02)12(s i n 2)12(s i n 2)12(c o s ),(n n n x l n at l n B at l n A t x u πππ。 根据初始条件(3)u (x ,0)=0,可知0=n A 。

∑∞

=++=

2)12(sin

2)12(sin

),(n n

x l

n at l

n B

t x u ππ,

又从

====+++=

??0

00

2)12(2)12(cos

2)12(n t n t x

l

n n

atsi l

n aB l

n t

u υπππ,

==++0

02)12(s i n

2)12(n n x l

n aB l

n υππ,

?

++=

1

002)12(sin

)12(212ξπξυπd l

n a

n l

B

????

?

?

??+??? ?

?

+??? ?

?

+?

??? ??+=

?

πξξπ

π

πυl n d l

n n l

a n 2121sin

212121

1

02

2

021cos 212?

?????????????? ??

+-??? ?

?+=πξπυl n a n l a n l 220212πυ??? ??+=。 ∴ x l

n al l

n n a

l

v t x u n πππ

?

?? ?

?

+?

?? ?

?+?

?? ?

?

+=

∑∞

=21sin 21sin 2112),(0

2

2

8.在轴块中,除了中子的扩散运动之外,还进行着中子的增殖过程,每秒种在单位体积中产生的中子数正比于该处的中子浓度u ,从而可表为u β,(β是表示增殖快慢的常数)。

研究厚度为l 的层状铀块。求临界厚度(铀块厚度超过临界厚度,则中子浓度将随着时间而增长以致铀块爆炸)。

解:设中子的浓度为u ,扩散系数为D 。由于中子的增殖作用,产生的中子数和该处的中子浓度u 成正比,设单位体积中产生的中子数为n ,则u n β=,则

泛定方程

u u D t u β+?=??。 (1) 或 )(,02

2

D a

u u D a t

u ==-?-??β。

为了结合边界条件求解方程(1)用三种方法来解: 方法1:在临界厚度时,

0=??t

u ,则(1)式成为: 图10-5

0=+?u u D β (2)

如右图所示,将铀块看作一维的,则(2)成为:

002

2

22

=+

??=+??u D

x

u u x

u D ββ或

上式的解为:

x

D

i

x D

i

e

A e A x u β

β

-+=21)(, (3)

因为在l x x ==和0处有相等的浓度,)()0(l u u =,代入(3)式有

l

D

i

l D

i

e

A e A A A β

β

-+=+2121,

或 ,0)1()1(21=-+--l

D

i

l

D

i

e

A e

A β

β

(4)

0,21≠A A ,必然有:

?

??

?

?

??

=+-=-=--=--,0sin cos 11,0sin cos 11l D i l D e

l D i l D e

l D

i

l

D

i

βββ

ββ

β

(5) 要(5)式成立,则必须有:

πβ=l D

∴ 临界厚度)(D a a D

L ==

=

β

π

πβ

方法Ⅱ:(1)式写成如下形式:

02

=--u u a u xx t β (6)

令t xx xx t x x t t t t e v u e v u e v ve u ve u ββββββ==+==,,,1, 代入(6)式:

02=--+t

i

xx t

t t

ve

e

v a e

v e

v ββββββ,

即 02=-xx t v a v (7) 由边界条件0||10====x x u u ,即0||10====x x v v ,

再令)()(t T x X v =,利用边界条件0||10====x x v v 写出(7)的试解为

∑∞

==

1

sin

)(n n l

x n t T v π,

代入到(7)式有:

∑∞==?

??? ??+'12

220sin n n n l x n T l a n T ππ, 要上式成立,只有02

2

2

=+

'n n T l

a

n T π才行,于是

l

x n e

C v e C T t

l

a n n n t l

a n n n πππsin

,2

2

2222

2

2

-

-==,

本征解l

x n e

C e

v t x u t l a

n n t

n n ππββsin

),(2222???

? ?

?-

==,

由指数项可以看出,当2

2

2l

a πβ>

时,n=1的解将随时间增长,

设临界厚度为L ,则2

22

L

a πβ=

∴ β

πa L =。

方法Ⅲ:令 )()(t T x X u =代入泛定方程(6)

02

=-''-'XT T X T X βα,

2

2

λβ-=''=

-'X

X T

a T T ,

于是 ?????=-+'===+'')9(

.0)()8(

.0)()0(,02

22

T a T l X X X X βλλ

由(8)可得∑∞

==

=

1

2

2

22

,sin

n n

n l

n x l

n C

X πλπ。

由(9)可得t l n a n n e

C T ???

?

?

?--=β

π2222, ∴ ∑

=???

?

?

?--=

1

s i n ),(22

22n t

l n a n x l

n e

C t x u πβπ

. (10)

(10)的指数项当n=1时有三种情况: 若 022

2

>-

l

a πβ,则浓度n 将随时间而增长,便可能产生爆炸。

02

2

2<-

l

a πβ,则浓度将随时间增长而减小,反应堆可能熄灭。

02

2

2=-

l

a πβ,则浓度u 不随时间而变化,这时的l 就是临界厚度,写作L ,则有

β

π

a L =

9.求解薄膜的恒定表面浓度扩散问题。薄膜厚度为l 。杂质从两面进入薄膜。由于薄膜周围气氛中含有充分的杂质,薄膜表面上的杂质浓度得以保持为恒定的0N 。对于较大的t ,把所得答案简化。

解:定解问题为:

??

?====-,

),(.0)0,(,),0(0

002

N t l u x u N t u u a u xz t 令 0N W u +=,

则 0N u W -=,代入泛定方程:

?

??=-===-,0),(.)0,(,0),0(,002

t l W N x W t W W a W xx

t

经代换后的W 的方程组中,有齐次的边界的条件。

令 λ-=''='=X

X T

a T t T x X t x W 2

),

()(),(,

即 ?

??===+''=+')2( ,0)()0(,0)

1( ,02l X X X X T a T λλ

由(2)式得 x B x A x X n n n λλs i n c o s )(+=。

∵ ,0)0(=X ∴ .0=n A

又 ,0,0)(≠=n B l X ∴ ,0s i n =x λ 于是有:22

2

l

n πλ=

∴ .s i n

)(x l n B x X n π∑=

由关于T 的方程(1)式得

t

l

a n n n e

C T 22

2

2

π-=,

∴ ∑

=-

==

=

1

1

.s i n

),(2

2

22n t

l

a n n n n n x l

n e

B T X t x W ππ

为了确定系数n B ,可以利用初始条件:

=-==

1

0,sin

)0,(n n N l x n B x W π

[][]

,

1)1(21cos 2 cos 2sin

)(20000

00--=

-=

???

???-?-

=-=?

n

l

l

n n N n n N l n n l l

N d l

n N l

B π

ππ

ξππξξπ ??

?

??

=+=+-=),( ,0),,2,1,0,12(,)

12(40为偶数时当奇数时当n k k n k N π ∴ ∑

=+-

+??

????+-=

)12(0,)12(s i n

)12(4),(2

2

22t t

a

k l

x

k e k N t x W l πππ

W N t x u +=0),(

.)12(sin

1

21

40

)12(0

02

2

22x l

k e k N N k t

l

a

k ∑∞

=+-

++-

π

π

对于较大的t ,考虑指数因子(当0>t ):

,22

2

2

)12(t

l

a

k e π+-

它随时间t 的增大而急剧减小,u 的级数解将收敛得很快,t 越大,级数收敛得越快。当

2

218

.0a

l t >时,可以只保留k=0的一项,略去0>k 的项,其误差%1<,故t 很大时,

.sin

4),(22

2

0l

x

e N N t x u t

l

a

ππ

π--

=

10.把上题改为限定源扩散。这是说,薄膜两面的表层已含有一定的杂质,比方说,每单位表面积下杂质总量0Φ,但此外不再有杂质进入薄膜。

图4-6

解:泛定方程:,02

=-xx t u a u

对于限定源扩散问题,薄膜两面的表面上含有一定的杂质浓度,设每单位表面积下杂质总量0Φ,随着扩散时间的增长,杂质浓度具有趋向均匀的趋势,这是因为表面上不再有杂质粒子流)(x j 进入界面,这条件可写为:

,0),()

(0

=??-===x x x

t x u D x j

因为扩散系数0≠D

∴ 可以写出边界条件

,00

=??=x x

u

同理,对薄片的另一面x=l 处,同样有,0=??=l

x x

u 在初始时刻t=0时的表面杂质浓度可表示

为:

???

??<<---Φ-<<<<-Φ=)( )],0([),( ,0),

0( ),0()0,(0

0l x l l x l x x x x u εδεεεδ

以 )()(),(t T x X t x u =代入泛定方程和边界条件得:

?

?

?='='=+''=+'.0)()0(,0,

02l X X X X T a T λλ

对于X 组成的本征问题,解得本征值为,2

2

2l

k πλ=,...2,1,0=k

本征函数l

x k C x X πcos

)(1=,代入泛定方程

∑∞

=+

=1

0.cos

)()(),(k k l

x k t T t T t x u π

.0cos )()()(12

2

220=??

????+'+'∑∞

=l x

k t T l a k t T t T k k k ππ ∵ ,0)(0='t T ∴ ().00a t T =

由.0)()(22

2

2

=+'t T l

a k t T k k π解得,)(22

2

2

t

l

a k k k e

a t T π-=

于是解),(t x u 可表为:

.cos

),(1

02

2

2

l

x k e

a a t x u k t

l

a

k k ππ∑

=-+

=

求傅里叶系数,有:

∑∞

=+

=1

0cos

)0,(k k

l

x k a

a x u π

???

??<<---Φ-<<<<-Φ=).11( )],0([),1( ,0),

0( ),0(0

0x l x x x x εδεεεδ 所以有:

()()[]l

dx l x dx x l a l

l 000002001Φ=

??

??

??--Φ+-Φ=

??-ε

εδδ

()()[]()[]

n

l

l n l dx l

x n l x dx l

x

n x l a 112cos

0cos 020000-+Φ=??

????--Φ+-Φ=

??

-εε

πδπδ

=?????+==Φ1

20240

k n k n l

∴ .2c o s 42),(1

4002

2

22l

x

n e

l

l

t x u n t

l

a

n ππ∑

=--

Φ+

Φ=

傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换

傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要:根据欧拉(Euler )公式,将傅里叶级数三角表示转化为指数表示,进而得到傅里叶积分定理,在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中,都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解,对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义,是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析,线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数,就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此,傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱(Dirichlet )条件下傅里叶级数的收敛性结果,不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ,在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件:1o

)(t f 连续或只有有限个第一类间断点;2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω, (1) 其中 T πω2= , ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω, (2) ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω, (3) 根据欧拉(Euler )公式:θθθsin cos j e j +=,(1)式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω, (4) 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0,可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω, (5)

傅里叶级数通俗解析

傅里叶级数通俗解析-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

傅里叶级数 本文意在阐述傅里叶级数是什么,如何通过数学推导得出,以及傅里叶级数代表的物理含义。 1.完备正交函数集 要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果n个函数 ,…构成一个函数集,若这些函数在区间上满足 如果是复数集,那么正交条件是 为函数的共轭复函数。 有这个定义,我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。 先证明三角函数集: 设,,把代入(1)得 当n时 = = =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时 = = 再证两个都是正弦的情况 设,,把代入(1)得

当n时 = = =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时 = = 最后证明两个是不同名的三角函数的情况 设,,把代入(1)得 = = =0 (n,m为任意整数) 因为两个三角函数相乘只有以上三种情况:两个皆为余弦函数相乘;两个皆为正弦函数相乘;一个为正弦函数,另一个为余弦函数相乘;三种情况皆满足正交函数集的定义,所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以从n,m的取值为任意整数可以得出,三角函数集是完备正交函数集。证毕。 由于三角函数集是完备正交函数集,而根据欧拉公式,我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。 接着是复指数函数集的证明 设,,则把代入(2)得 当n时,根据欧拉公式

= =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时, =1 (n,m=1,2,3,…,n) 所以,复指数函数集也是正交函数集。因为n,m的取值范围是所有整数,所以复指数函数集是完备的正交函数集。 明明是讨论傅里叶级数,为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。因为,在自然界中,没有规则的信号,比如说找一个正弦信号,是完全不可能找到的。有的是一堆杂乱的信号,无规律的波形。我们要研究它,基本的思想是把它拆分,分解成一个一个有规律的可研究的波形,这些波形能用数学表达式准确表达出来。 把一个复杂的信号分解的过程,可以理解成用已知的可以准确表达的函数表示他,比如一个复杂的信号把它分解,就是 其中,…是我们所熟悉的函数, 比如二次函数,一次函数,三角函数,指数函数等等。我们的任务就是求出所分解出来的函数,以及前方的系数n,然后对其研究。那么怎么求呢。完备正交函数集给了我们提供了一种方法。完备正交函数集就像是空间直角坐标系,集合里面的每一个元素相当于坐标系的一条轴,我们知道空间直角坐标系只有3条轴,3条轴,足够表示空间上所有点的位置,不需要再多一条,但是如果只有两条轴,又不能准确地表达立体空间上所有的点,所以3条就是完备的。对于一个函数集的完备性也可以这么理解,表达任意一个周期信号只需要用不多于函数集里面元素的函数就可以表达清楚。再说其正交性,所谓正交,就是函数集里两个不同函数之乘积的积分为0,正交性可以理解成函数集内任意两函数不相关。 既然三角函数集和复指数函数集是完备的正交函数集,那么用其中的一种函数集都可以表达周期信号。 用复指数函数集来表示一个复杂信号: = 其中,(n=1,2,3,…,n)。 用三角函数集表示一个复杂信号:

傅里叶级数的数学推导

傅里叶级数的数学推导 首先,隆重推出傅里叶级数的公式,不过这个东西属于“文物”级别的,诞生于19世纪初,因为傅里叶他老人家生于1768年,死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用,这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍,动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”,弄一长串公式,让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式: 不客气地说,这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”,而且来历相当蹊跷,不知那个傅里叶什么时候灵光乍现,把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式,就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和,且每项都有不同的系数,即An和Bn,至于这些系数,需要用积分来解得,即②③④式,不过为了积分方便,积分区间一般设为[-π, π],也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式,以使傅里叶级数来得明白些,让我等能了解它的前世今生呢?下面来详细解释一下此公式的得出过程:

1、把一个周期函数表示成三角级数: 首先,周期函数是客观世界中周期运动的数学表述,如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等,大多可以表述为:f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间,A表示振幅,ω为角频率,ψ为初相(与考察时设置原点位置有关)。 然而,世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单,如方波、三角波等。傅叶里就想,能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢?因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是,傅里叶写出下式:(关于傅里叶推导纯属猜想) 这里,t是变量,其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比,5式中多了一个n,且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数,也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看,傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加,这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量(即式中An)、有不同的周期或说是频率(是原周期函数的整数倍,即n)、有不同的初相角(即ψ),当然还有一项常数项(即A0)。要命的是,这个n是从1到无穷大,也就是是一个无穷级数。 应该说,傅里叶是一个天才,想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为,式子右边一大堆的函数,其实都是最简单的正弦函数,有利于后续的分析和计算。当然,这个式能否成立,关键是级数中的每一项都有一个未知系数,如A0、An等,如果能把这些系数求出来,那么5式就可以成立。当然在5式中,唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数,上式就可以成立,也能计算了。 于是乎,傅里叶首先对式5作如下变形: 这样,公式5就可以写成如下公式6的形式:

傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述

傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述 ——老师不会这么讲,书上也不会讲很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年,关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解,只能套用公式,根本不理解为什么要这么算,也就是有什么实际含义——可以说,几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的!那么,什么是傅里叶变换,它是怎样一种变换,具体有怎么变换,有没有确切一点或者形象一点的物理解释呢?下面笔者将尝试将自己的理解比较本质和形象地讲出来,形式是思考探讨渐进的模式,也就是我自己的思考过程,希望对大家有所帮助。 首先,要知道傅里叶变换是一种变换,准确点说是投影。傅里叶变换的投影问题,一直想不明白那一系列的正交函数集,到底是什么样一个函数集合,或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴,也就是说同一个维度的分解和叠加,肯定没错,也很实用。但是要是从投影(或者说变换)的角度来说,怎么解释呢?这一系列正弦余弦的函数,在一个区间内,是一个完备的正交函数集,每一个函数所带的系数(或者叫权重),就是原函数在这个函数的方向上的一个投影(说方向不准确,但找不到其他的词)。那么,原函数到底是一个什么样的函数,和各正交基函数又是怎样的一种关系呢?这个投影又是怎么投的呢?三维或者二维空间,一个矢量在各正交基的投影很好理解,那么,傅里

叶变换的正交基函数,也是这样一种相互垂直的关系么???投影也是取余弦值么? 这可以很容易地想清,我们只用余弦或者只用正弦就可以,如cos(2pi*nf0)系列,显然每两个函数图像之间不可能是垂直关系,相反可以看出这是在同一个维度里面的!所以上面两个答案是否定的。 那么,到底是怎么正交、怎么投影的呢。出现这个问题,是因为开始看书的时候我看得太粗心太浅显,没有认真透彻地理解函数正交的含义,没想到那才是最重要最根本的,从那里面再深刻理解一下,问题就迎刃而解。 函数正交和矢量正交完全不一样,是两个概念。函数正交是两个函数,一个不变另一个取共轭值然后逐点相乘再求积分的结果,积分就涉及到一个区间,这也很重要。如果满足:当这两个函数不同时,积分值为0;当两函数相同,积分值不为0。那么这两个函数在这个区间上正交。现在再回过头去看正弦或者余弦函数序列,在各个周期内,都满足上述条件,在正弦和余弦函数之间同样满足,所以这些函数是正交的。至于完备,很明显看出,不去证明了。 第一个问题解决了,现在看怎么去投影了。为更易于理解,我们取指数傅里叶变换为例。众所周知exp(jwt)表示的是一个圆周,我们用来作傅里叶变换的因子,正是这个形式(exp(-jwt)),这里我们还要理解一下傅里叶变换和傅里叶级数的区别,前者求的是复指数傅里叶级数的系数,即每个正交函数的系数(权重),复指数傅里叶级数的正交函数集正是exp(jwt),所以求系数刚好乘以一个共轭

数学分析傅立叶级数习题讲解

第十五章 傅里叶级数 一.填空题 1. 设)(x f 是周期为π2的函数,在),[ππ-上的表达式为 ???????<<=<≤--=ππππ x x x x f 0,2 ,0,0,0,2 )(,则)(x f 的傅里叶系数=n a . 2.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑,则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数 ()=++∑∞ =1 sin cos 2n n n nx b nx a a . 3. 设, 0(),0,0 x x f x x ππ≤≤?=? -≤

分离变量法

<<电磁场与电磁波>>读书报告 姓 名: 学 院: 学 号: 专 业: 题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩: 二〇一四年四月 Xxx 工程学院 电子工程类

一.引言 分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。分布型问题是指已知场源(电荷分布、电流分布)直接计算空间各点和位函数。而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数(或其法向导数),求场内位函数的分布。求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程,即求解边值问题。这类问题的解法,例如镜像法,分离变量法,复变函数法,格林函数法和有限差分法,都是很常用的解法。这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。 二.内容 1.分离变量法的特点: 分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积,从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法,属于解析法的一种。它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中,待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积,每一函数仅是一个坐标的函数。我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法. 2.推导过程: 直角坐标系中的拉普拉斯方程: 222 222 0 x y z ??? ??? ++=??? 我们假设是三个函数的乘积,即

(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数,将上式带入拉普拉斯方程,得 然后上式同时除以XYZ ,得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数,故可分解为下列三个方程: 即 α,β,γ为分离常数,都是待定常数,与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。 由上式得2220αβγ++=,下面以X ”/X =α2式为例,说明X 的形式与α的关系 当α2=0时,则 当α2 <0时,令α=jk x (k x 为正实数),则 或 当α2 >0时,令α=k x ,则 或 a ,b ,c ,d 为积分常数,由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 3解题步骤 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+

傅里叶级数通俗解析

傅里叶级数 本文意在阐述傅里叶级数是什么,如何通过数学推导得出,以及傅里叶级数代表的物理含义。 1.完备正交函数集 要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果n个函数 φ1t,φ2t,…,φn t构成一个函数集,若这些函数在区间t1,t2上满足 φi tφj t t2 t1dt= 0 ,i≠j K i ,i=j(1) 如果是复数集,那么正交条件是 φi tφj?t t2 t1dt= 0 ,i≠j K i ,i=j(2) φj?t为函数φj t的共轭复函数。 有这个定义,我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。 先证明三角函数集: 设φn t=cos nωt,φm t=cos mωt,把φn t,φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=cos nωt cos mωt dt t0+T t0 当n≠m时 =1 2 cos n+mωt+cos n?mωt t0+T t0 dt =1 2sin n+mωt (n+m)ω +sin n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m) 当n=m时 =1 2 cos2nωt t0+T t0 dt =T 2 再证两个都是正弦的情况 设φn t=sin nωt,φm t=sin mωt,把φn t,φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=sin nωt sin mωt dt t0+T t0 当n≠m时

=1 2 cos n+mωt?cos n?mωt t0+T t0 dt =1 2sin n+mωt (n+m)ω ?sin n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m) 当n=m时 =1 2 cos2nωt t0+T t0 dt =T 2 最后证明两个是不同名的三角函数的情况 设φn t=cos nωt,φm t=sin mωt,把φn t,φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=cos nωt sin mωt dt t0+T t0 =1 2 sin n+mωt?sin n?mωt t0+T t0 dt =1 2 ?cos n+mωt (n+m)ω +cos n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m为任意整数) 因为两个三角函数相乘只有以上三种情况:两个皆为余弦函数相乘;两个皆为正弦函数相乘;一个为正弦函数,另一个为余弦函数相乘;三种情况皆满足正交函数集的定义,所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以从n,m的取值为任意整数可以得出,三角函数集是完备正交函数集。证毕。 由于三角函数集是完备正交函数集,而根据欧拉公式,我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。 接着是复指数函数集的证明 设φn t=?jnωt,φm t=?jmωt,则φj?t=??jmωt把φn t,φj?t代入(2)得 φi tφj?t t0+T t0dt=?jnωt t0+T t0 ??jmωt dt =?j(n?m)ωt t0+T t0 dt 当n≠m时,根据欧拉公式 =cos n?mωt+j sin?(n?m)ωt t0+T t0 dt =sin n?mωt n?mω?j cos?(n?m)ωt n?mωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m)

傅里叶级数的推导

傅里叶级数的推导 2016年12月14日09:27:47 傅里叶级数的数学推导 首先,隆重推出傅里叶级数的公式,不过这个东西属于“文物”级别的,诞生于19世纪初,因为傅里叶他老人家生于1768年,死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用,这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍,动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”,弄一长串公式,让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式: 不客气地说,这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”,而且来历相当蹊跷,不知那个傅里叶什么时候灵光乍现,把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式,就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和,且每项都有不同的系数,即An和Bn,至于这些系数,需要用积分来解得,即②③④式,不过为了积分方便,积分区间一般设为[-π, π],也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式,以使傅里叶级数来得明白些,让我等能了解它的前世今生呢?下面来详细解释一下此公式的得出过程: 1、把一个周期函数表示成三角级数:

首先,周期函数是客观世界中周期运动的数学表述,如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等,大多可以表述为: f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间,A表示振幅,ω为角频率,ψ为初相(与考察时设置原点位置有关)。 然而,世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单,如方波、三角波等。傅叶里就想,能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢?因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是,傅里叶写出下式:(关于傅里叶推导纯属猜想) 这里,t是变量,其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比,5式中多了一个n,且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数,也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看,傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加,这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量(即式中An)、有不同的周期或说是频率(是原周期函数的整数倍,即n)、有不同的初相角(即ψ),当然还有一项常数项(即A0)。要命的是,这个n是从1到无穷大,也就是是一个无穷级数。 应该说,傅里叶是一个天才,想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为,式子右边一大堆的函数,其实都是最简单的正弦函数,有利于后续的分析和计算。当然,这个式能否成立,关键是级数中的每一项都有一个未知系数,如A0、An等,如果能把这些系数求出来,那么5式就可以成立。当然在5式中,唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数,上式就可以成立,也能计算了。 于是乎,傅里叶首先对式5作如下变形: 这样,公式5就可以写成如下公式6的形式: 这个公式6就是通常形式的三角级数,接下来的任务就是要把各项系数an和bn 及a0用已知函数f(t)来表达出来。 2、三角函数的正交性:

第二章 分离变量法(§2.1)

第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法,分离变量法。 解常微分方程定解问题时,通常总是先求出微分方程的特解,由线性无关的特解叠加出通解,而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题,基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题,情况有些不同:即使可以先求出通解,由于通解中含有待定函数,一般来说,很难直接根据定解条件定出,因此,通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法?使用分离变量法应具备那些条件? 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题:考虑长为l ,两端固定的弦的自由振动,其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><

傅里叶级数的推导

傅里叶级数的推导

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傅里叶级数的推导 2016年12月14日09:27:47 傅里叶级数的数学推导 首先,隆重推出傅里叶级数的公式,不过这个东西属于“文物”级别的,诞生于19世纪初,因为傅里叶他老人家生于1768年,死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用,这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍,动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”,弄一长串公式,让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式: 不客气地说,这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”,而且来历相当蹊跷,不知那个傅里叶什么时候灵光乍现,把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式,就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n 倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和,且每项都有不同的系数,即An和Bn,至于这些系数,需要用积分来解得,即②③④式,不过为了积分方便,积分区间一般设为[-π, π],也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式,以使傅里叶级数来得明白些,让我等能了解它的前世今生呢?下面来详细解释一下此公式的得出过程: 1、把一个周期函数表示成三角级数:

首先,周期函数是客观世界中周期运动的数学表述,如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等,大多可以表述为: f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间,A表示振幅,ω为角频率,ψ为初相(与考察时设置原点位置有关)。 然而,世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单,如方波、三角波等。傅叶里就想,能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢?因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是,傅里叶写出下式:(关于傅里叶推导纯属猜想) 这里,t是变量,其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比,5式中多了一个n,且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数,也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看,傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加,这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量(即式中An)、有不同的周期或说是频率(是原周期函数的整数倍,即n)、有不同的初相角(即ψ),当然还有一项常数项(即A0)。要命的是,这个n是从1到无穷大,也就是是一个无穷级数。 应该说,傅里叶是一个天才,想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为,式子右边一大堆的函数,其实都是最简单的正弦函数,有利于后续的分析和计算。当然,这个式能否成立,关键是级数中的每一项都有一个未知系数,如A0、An等,如果能把这些系数求出来,那么5式就可以成立。当然在5式中,唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数,上式就可以成立,也能计算了。 于是乎,傅里叶首先对式5作如下变形: 这样,公式5就可以写成如下公式6的形式: 这个公式6就是通常形式的三角级数,接下来的任务就是要把各项系数an和bn及a0用已知函数f(t)来表达出来。 2、三角函数的正交性:

2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc

2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc

第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一,它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离,转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题,并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法,更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2.1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中,我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵,A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题(eigenvalue problem )即是求方程: ,n Ax x x R λ=∈, (1.1) 的非零解,其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ,问题(1.1)有非零解n x R λ∈,则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue),相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲,特征值问题(1.1)有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量,以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基,矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵,在线性代数中有一个重要结果,即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=, (1.2) 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =,i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤,则式(1.2)可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =, 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ (1.3) 上式说明,正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量,并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性,我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵,考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈, 则A 的所有特征值为实数,且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤,它们是相互正交的(正交性orthogonality ),可做为n R 的一组基(完备性completeness ). 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义,下面举例说明之. 为简单起见,在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵,故A 的所有特征值非零,并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈,求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关,故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此

数学分析15.3傅里叶级数收敛定理的证明

第十五章 傅里叶级数 3收敛定理的证明 预备定理1:(贝塞尔不等式)若函数f 在[-π,π]上可积,则 2a 20+∑∞=1n 2 n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π1dx ,其中a n , b n 为f 的傅里叶系数. 证:令S m (x)=2a 0+∑=+m 1 n n n sinnx )b cosnx (a ,则 ? π π-2m (x )]S -[f(x )dx=?ππ -2(x )f dx-2?ππ -m (x )f(x )S dx+?π π -2m (x )S dx. 其中 ?π π -m (x )f(x )S dx=?π π-0 f(x)2 a dx+dx cosnx f(x )a m 1 n π π-n ∑?= ??+????sinnxdx f(x)b ππ-n =20a 2π+π∑=m 1 n 2n 2n )b +(a . 由三角函数的正交性,有 ?π π-2 m (x )S dx=?∑?? ????++=π π-2 m 1n n n 0sinnx)b cosnx (a 2a dx =??? ? ??π π-2 02a dx+?∑??=??????+ππ-m 1n ππ-22n ππ-22n nx dx sin b nx dx cos a dx=20a 2π+π∑=m 1n 2n 2n )b +(a . ∴?π π-2 m (x )]S -[f(x )dx=?π π-2 (x )f dx-2 πa -2π∑∞ =1n 2n 2n )b +(a +20a 2π+π∑=m 1n 2 n 2n ) b +(a =?π π-2 (x )f dx-???20a 2π+π???∑=m 1n 2n 2n )b +(a ≥0. ∴2a 20+∑=m 1n 2 n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π 1dx 对任何正整数m 都成立. 又 ?ππ-2(x)f π 1dx 为有限值,∴正项级数2a 20+∑∞ =1n 2 n 2n )b +(a 的部分和数列有界, ∴2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a 收敛且有2a 20+∑∞=1n 2 n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π 1dx. 推论1:(黎曼-勒贝格定理)若f 为可积函数,则

第二章 分离变量法(§2.2,§2.3)

§2.2 有限杆上的热传导 定解问题:一均匀细杆,长为l ,两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热,且在端点0=x 处温度为零,而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?,求杆上的温度变化情况,即考虑下定解问题: .0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002 2 2l x x t x u t x x u a t u t l x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===? 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤,设)()(),(t T x X t x u =,代入上面的方程可得 ?????=+=+?-==. 0)()(,0)()() ()()()( 2 ' '22'2 2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ 从而可得通解 x B x A x X ββsin cos )(+= 由边界条件知 .0)()(,0)0('=+=l hX l X X 从而 ?? ???-=?=+=.tan 0sin cos , 0h l l h l A βββββ 令 αγ γαβγ=?- ==tan 1 ,hl l 上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ,αγ=2y 交点的横坐标,显然他们有无穷多个,于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,,21n γγγ 于是得到特征值问题的无穷个特征值

1,2,3...) (n ,2 2 2== l n n γβ 及相应的特征函数 x B x X n n n βsin )(= 再由方程0)()(22'=+t T a t T β, 可得 t a n n n e A t T 2 2)(β-=, 从而我们得到满足边界条件的一组特解 x e C t x u n t a n n n ββsin ),(2 2-= 由于方程和边界条件是齐次的,所以 ∑∞ =-=1 sin ),(2 2n n t a n x e C t x u n ββ 仍满足此方程和边界条件。 下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin 1 x x C n n n ?β=∑∞ = 可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性,即 ?≠=l m n xdx x 0 n m ,0sin sin ββ 证明: ) )((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( ) (2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(2 1sin sin 00=+--- =+-+---+=++- --=--+- =??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n l m n m n l m n l l l l l l l l dx x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ 完成。 令 ?=l n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ 于是, ?= l n n n xdx x L C 0 sin )(1β ?

傅里叶级数课程及习题讲解

第15章 傅里叶级数 § 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1 ()n n n f x a x ∞ ==∑,可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x 线性表出而得.不妨称 2 {1,,,,,}n x x x 为基,则不同的基就有不同的级数.今用三角函数 系作为基,就得到傅里叶级数. 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系.其有下 面两个重要性质. (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数; (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零,任意一个函数的平方在上的积分不等于零. 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:,定义两个函数的内积 为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??, 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?,则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系. 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??; sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ π-=?=?=? ≠??; cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ π-=?=?=? ≠??; sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x ππ -=?=? ; 2 1, 11d 2x ππ π -==?, 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性,故称为正交系. 利用三角函数系构成的级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数,其中011,,, ,,,n n a a b a b 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数

第四章-分离变量法1上课讲义

第四章 分离变量法 一、分离变量法的精神和解题要领 1.分离变量法的精神 将未知函数按多个单元函数分开,如,令 )()()()(),,,(t T z Z y Y x X t z y x u = 从而将偏微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解 2.分离变量法的解题步骤 用分离变量法求解偏微分方程分4步 (1)分离变量:将未知函数表示为若干单元函数的乘积,代入齐次方程和齐次边界条件,得到相应的特值问题和其它常微分方程。 (2)求解特征值问题 (3)求解其它常微分方程,并将求得的解与特征函数相乘,得到一系列含有任意常数的分离解(如Λ,2,1,=n u n )。 (4)叠加(如∑= n u u )用初始条件和非齐次边界条件确定系数(即任意常数),从 而得到偏微分方程定解问题的解。 3.特征值问题 在用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时,会得到含有参数的齐次常微分方程和齐次边界条件(或自然边界条件)组成的定解问题,这类问题中的参数,必须依据附有的边界条件取某些特定的值才能使方程有非零解。这样的参数,称为特征值,相应的方程的解,称为特征函数,求解这类特征值和相应的特征函数的问题,称为特征值问题。 常涉及到的几种特征值问题: (1)? ??===-'' 0)()0(0)()(l X X x X x X μ 特征值 222l n πμ-=,特征函数 Λ,2,1 sin )(==n x l n C x X n n π (2)? ??='='=-'' 0)()0(0 )()(l X X x X x X μ 特征值 2)( l n πμ-=,特征函数 Λ,2,1,0 cos )(==n x l n C x X n n π (3)?? ?='==-'' 0)()0(0 )()(l X X x X x X μ 特征值 2)21(πμl n + -=,特征值函数Λ,2,1,0 21 sin )(=+ =n x l n C x X n n π (4)?? ?=='=-'' 0)()0(0 )()(l X X x X x X μ

傅里叶变换的通俗解释

傅里叶变换的通俗解释 Document number:PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

傅里叶变换的通俗解释作者:韩昊(德国斯图加特大学通信与信息工程专业硕士生) 提要:这篇文章的核心思想就是:要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具,更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是,傅里叶分析的公式看起来太复杂了,所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说,这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程,不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。(您把教材写得好玩一点会死吗会死吗)所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析,有可能的话高中生都能看懂的那种。所以,不管读到这里的您从事何种工作,我保证您都能看懂,并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友,也希望不要看到会的地方就急忙往后翻,仔细读一定会有新的发现。 ———以上是开场白,下面进入正题: 抱歉,还是要啰嗦一句:其实学习本来就不是易事,我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松,充满乐趣。无论如何,耐下心,读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… 一、啥叫频域 从我们出生,我们看到的世界都以时间贯穿,股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为,世间万物都在随着时间

不停的改变,并且永远不会静止下来。但如果我告诉你,用另一种方法来观察世界的话,你会发现世界是永恒不变的,你会不会觉得我疯了我没有疯,这个静止的世界就叫做频域。 先举一个公式上并非很恰当,但意义上再贴切不过的例子: 在你的理解中,一段音乐是什么呢 这是我们对音乐最普遍的理解,一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说,音乐更直观的理解是这样的: 好的!下课,同学们再见。 是的,其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子,而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生,只是从来没意识到而已。 现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话:世界是永恒的。 将以上两图简化: 时域: 频域: 在时域,我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动,就如同一支股票的走势;而在频域,只有那一个永恒的音符。 所以,你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界,实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。 抱歉,这不是一句鸡汤文,而是黑板上确凿的公式:傅里叶同学告诉我们,任何周期函数,都可以看作是不同振幅,不同相位正弦波的叠加。在第

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