第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 系统的结构如图所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u 、y 分别为系统的输入、输出，1α、2α、3α均为标量。 图系统结构图 解 图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分 器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。 着眼于求和点①、②、③，则有 ①：2111x x x +=α ②： 3222x x x +=α ③：u x x +=333α 输出y 为1y x du =+，得 11 12223331000100 1x a x x a x u x a x ???????? ????????=+???????????????????????? []123100x y x du x ?? ??=+?? ???? 》 已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++ ；(2) u u y y -=+ 32； (3) u u y y y y 75532+=+++ 。试列写出它们的状态空间表达式。
(1) 解 选择状态变量1y x =，2y x =，3y x =，则有： 1223 31231 543x x x x x x x x u y x =??=?? =---+??=? 状态空间表达式为：[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ????????????????=+????????????????---???????? ????=?????? (2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件 下取拉氏变换得： 3222332()3()()() 11()1223()232 s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s +=---== ++ 由公式、可直接求得系统状态空间表达式为 1122330100001031002x x x x u x x ?? ????????????????=+? ?????????????????????-?? ?? 123110 2 2x y x x ?????? =- ?????????? [ (3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件 下取拉氏变换得：
第2章 状态空间表达式的解 第1节 线性定常齐次状态方程的解 线性定常齐次状态方程 0(0)x Ax x x ==& 的解为 0()At x t e x = (0)t > 式中，2 2 () 2!!k At k t At e I At A k ∞ ? ==+++=∑ L 证明： 用拉普拉斯变换法。 对 x A x =& 作拉氏变换，得 0()()sX s x AX s -=
1 0()()X s sI A x -=- 11 0()[()]x t L sI A x --=- 因为 2 23111()()sI A I A A I s s s -+++=L 故 1 223111()sI A I A A s s s --=+++L 12023111()[]x t L I A A x s s s -=+++L 2201()2! I At A t x =+++L 0At e x = 顺便可知 ])[(1 1---=A sI L e At 第2节 矩阵指数函数At e 1、At e 的定义和性质
（1）定义 2 2 () 2!!k At k t At e I At A k ∞ ==+++=∑ L 式中 A —线性定常系统系统矩阵，n n ?阶； At e —矩阵指数函数，n n ?阶时变矩阵。 若A 中各元素均小于某定值，At e 必收敛；若A 为实矩阵，At e 绝 对收敛。 （2）基本性质： ◆组合性质： ) (2121t t A At At e e e += 其中21,t t 为相衔接的两时间段。 推论1：I e e e e A t t A t A At ===--0 ) () ( 推论2：) (1 ][t A At e e --=
2-3 由控制系统的方块图求系统状态空间表达式 系统方块图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。 要将系统方块图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成： 第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s ）、比例器（k ）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。 第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s ）的输出作为一个独立的状态变量i x ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数 dt dx i 。 第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。 例2-5 某控制系统的方块图如图2-6所示，试求出其状态空间表达式。 解： 该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。 图2-6所示方块图经等效变换后如下图所示。我们取每个积分器的输出端 信号为状态变量1x 和2x ，积分器的输入端即1x 和2x 。 图2-6 系统方块图
从图可得系统状态方程： ()??? ??? ?+--=-+-==u T K x T x T K K x K u T K x T x x T K x 11211131131121222 2111 取y 为系统输出，输出方程为：1x y = 写成矢量形式，我们得到系统的状态空间表达式： []?????????? ?=???? ??????+? ???????=x y u T K x K K T K x 010********
2.5 控制系统的状态空间表达式 2.5 控制系统的状态空间表达式 随着科学技术的发展，被控制的对象越来越复杂，对自动控制的要求也越来越高。面对时变系统，多输入多输出系统、非线性系统等被控量和对控制系统高精度、高性能的严格要求，传统的控制理论已不能适用。同时，计算机技术的发展也要求控制系统地分析，设计中采用计算机技术并在控制系统的组成中使用计算机。因此，适用这些要求的控制系统的另一种数学描述方法----状态空间就应运而生。 2.5.1 状态变量 在对系统动态特性描述中，足以表征系统全部运动状态的最少一组变量，称之为状态变量。只要确定了这组变量在t=时刻的值以及时的输入函数，则系统在任何时刻的运动 状态就会全部确定。状态变量互相间是独立的，但对同一个系统，状态变量的选取并不是唯一的。一个用n 阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，这n个独立变量就是该系统的状态变量。 若用表示这n个状态变量，则可以把这n个状态变量看作是向量x(t) 的分量。我们称x(t)为状态变量，它是一个n维向量，记为 分别以状态变量作为坐标而构成的n维空间，称为状态空间。系统在t时刻的状态，就是状态空间的一点。系统在时刻的状态称为初始点，随着时间的变化， x(t)从初始点出发在状态空间描述出一条轨迹，称为状态轨迹。状态魁及表征了系统状态的变化过程。 2.5.2 状态空间表达式 1. 状态方程 由系统的状态变量和输入函数构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。 对于线性系统，可以写成如下形式
(2.59) 记为 (2.60) 式中x(t)是n维列向量 u(t)是r维输入向量 A是n*n维矩阵，称为系数矩阵 B是n*r矩阵，称为输入矩阵或控制矩阵