习题二十九 平面图形的面积
1．求由下列各曲线所围成的图形的面积： （1）2
21x
y =与82
2
=+y
x （两部分都要计算）
； （2）x
y 1=与直线x y =及2=x ；
（3）x
y e
=，x
y
-=e
与直线1=x ；
（4）x y ln =，y 轴与直线a y ln =，b y ln =（0>>a b ）；
（5）2x y =，x y =与x y 2=.
2．求抛物线 34 2-+-=x x y 及其在点)3 , 0(-和)0 , 3(处的切线所围成图形的面积.
3．求求抛物线px y 22=及其在点??
?
??p p
, 2
处的法线所围成图形的面积.
4．求由下列各曲线所围成的图形的面积： （1）θcos 2a r =；
（2）t a x 3cos =，t a y 3sin =；
（3）)
=a
r.
+
2θ
2(
cos
5．求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：（1）θ
1+
=
r；
cos
r及θ
3
=
cos
（2）θsin 2=r 及θ2cos 2=r .
6. 求位于曲线x y e =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积．
习题三十 体 积
1．证明：由平面图形b x a ≤≤≤0，)(0x f y ≤≤绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为x x xf V b
a d )(2?=π.
2．由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得的两个旋转体的体积.
3．由星形线32
32
32
a y x =+所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得的两个旋转体的体积.
4．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2x y =，2y x =，绕x 轴；
（2）16)5(22=-+y x ，绕x 轴；
（3）摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t ，0=y ，绕直线
a y 2=.
5．求圆盘222a y x ≤+绕b x -=（0>>a b ）旋转所成的旋转体的体积.
6．计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积．
习题三十一 平面曲线的弧长
1．计算曲线()x x y -=
33
1上相应于31≤≤x 的一段弧的长度．
2．计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长．
3．将绕在半径为a的圆上细线放开拉直，使细线始终与圆周相切，细线的端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线，它的方程为)
x+
t
=，
a
(c o s t
t
s i n a
=。计算这曲线上相应于t从0变到π的一段弧的长度.
t
y-
(sin t
t
)
cos
4．求心形线)
r的全长．
=a
cos
1(θ
+
习题三十二 功 水压力及引力 平均值
1．作直线运动的质点在任意位置x 处所受的力为x x F --=e 1)(，试求质点从点01=x 处沿x 轴运动到12=x 处时力)(x F 所作的功．
2．一物体按规律3ct x =作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比．计算物体由0=x 移至a x =处克服媒质阻力所作的功．
3．一个等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐．计算闸门一侧所受的水压力．
4．设有一长度为l、线密度为 的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a处有一质量为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力。
5．设有一半径为R、中心角为?的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力。
6．设有盛满水的圆锥形蓄水池，深15米，口径20米，今用抽水机将水抽尽，问要作多少功？
7．计算函数x
=在]2,0[上的平均值。
2-
y2
x
e
第六章 自测题
1． 求由抛物线()122
-=-x y 与该抛物线相切于纵坐标3
0=y 的点的切线以
及ox 轴所围成的平面图形的面积。 2． 由曲线2
1x
x y +=
绕x 轴旋转一周而成的旋转体，它在点0=x 与ξ=x 之
间的体积记为()ξV ，问a 为何值时，()()ξξV a V ∞
→=
lim 2
1。
3． 半径为r 的球沉入水中，球的上部与水相切，球的比重与水相同，现将球
从水中取出，需作多少功？
4． 水坝中有一直立的矩形闸门，宽10米，高6米，闸门的上边平行于水面，
试求：（1）水面在闸门顶上8米时，闸门所受的压力。（2）如欲使所受的压力加倍，则水面应上升多少米？
5． 一金属棒长3米，离棒左端x 米处的线密度为()()m kg x
x /11+=
ρ，问x
为何值时，[]x ,0一段的质量为全棒质量的一半。
6． 设星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =上每一点处的线密度的大小等于该点到
原点距离的立方，在原点处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力。
第六章 参考题
1． 抛物线22
1y x =
分割圆82
2=+y x 所围成的平面图形成两部分，
求较小部分的面积。
2． 求曲线()
21ln x y -=相应于2
10≤
≤x 的弧长。
3． 求由()3cos 1≤+θr 与1cos ≥θr 所围图形的面积。 4． 用定积分方法证明椭球
12
22
22
2≤+
+
c
z b
y a
x 的体积为：abc V π3
4=
。
5． 试证：由平面图形b x a ≤≤≤0，()x f y ≤≤0绕y 轴旋转的旋转体体积
为()dx x xf V b
a ?=π2。并利用上式计算由()π≤≤=x x y 0sin ，0=y 所围
图形绕y 轴旋转的旋转体体积。
6． 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度
成正比，在击第一次时将铁钉击入木板1厘米；如果铁锤每次击打铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？
7． 将半径为a 米的半圆板竖直放入水中，使其直径与水面相齐，求该板一侧
所受的压力。
8． 求圆盘()1122≤+-y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积。 9． 求抛物线2
2
1x y =
被圆32
2
=+y x 所截下的有限部分的弧长。
10． 设抛物线y ax bx c =++2
通过点)0 ,0(，且当]1 ,0[∈x 时，0≥y .试确
定a b c ,, 的值，使得该抛物线与直线1=x ，0=y 所围图形的面积为9
4，
且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小。
参考答案
习题二十九
1、（1）243π+；643π-；（2）32
2-ln ；（3）e e +-1
2；（4）b a -；
（5）7
6
2、
94 3、
163
2
p 4、（1）πa 2；（2）38
2πa ；（3）182
πa
5、（1）54π；；（2）1613
2
π+-； 6、e 2
习题三十
2、1287π，645π
3、321053πa ；32105
3πa 4、（1）310
π；（2）2160π；（3）327a π； 5、222
πa b ； 6、433
3
R ；
习题三十一
1、2343
- 2、6a 3、122
πa 4、8a
习题三十二
1、1e
2、
277
2
37
3
kc a （k 为比例系数） 3、14373（kN ） 4、取
y 轴通过细直棒，???
? ?
?+-
ρ=2
2
11
l
a a Gm F y
； 2
2
l
a a l Gm F x +ρ-
=；
5、引力的大小为
22
G m R ρ?
sin ，方向是M 指向圆弧的中点。 6、57697.5（kJ ） 7、4
4541--e
第六章 自测题
1、 9；
2、a =1；
3、43
4
πr g ； 4、（1）6468(kN)；（2）11米； 5、x =5
4
米； 6、?
??
???=225
3
,5
3
Ga Ga F
第六章 参考题
1、243π+
2、ln 312-
3、23
5、22
π 6、21- 7、3
3
2ga ρ
8、82
π 9、(
)
32ln 6++
10、a =-5
3
；b =2，c =0