漳州师范学院
毕业论文（设计）
不确定超混沌Liu系统的自适应同步和
参数辨识
Parameter Identification and Adaptive Synchronization of Uncertain Hyperchaotic
Liu System
姓名：张婷洁
学号：050401210
系别：数学与信息科学系
专业：数学与应用数学
年级：05 级
指导教师：蔡建平教授
2009年05月06日
目录
中英文摘要…………………………………………………………（I）
1 引言 (1)
2 超混沌Liu系统 (1)
3 理论和方法 (2)
4数值仿值 (5)
5 结论 (9)
致谢 (10)
参考文献 (11)
1、引言
目前，混沌同步和控制是非线性科学研究中的一个主要内容，在信息科学、医学、生物、工程以及其他领域具有巨大的研究价值和十分诱人的应用前景，逐渐引起人们的广泛关注与兴趣。自从1990年，Pecora 和Carroll 提出一种用于同步两个初始情况不同的表达形式相同的混沌系统的方法，即驱动—响应方法[1]。迄今为止，已有许多用于处理混沌控制和同步的方法和技术，比如PC 法、OGY 法、反馈同步法、自适应同步法、观测器同步法、延时反馈控制方法等等。近年来，对超混沌系统的研究已经引起了广泛的关注，与低维混沌系统相比，超混沌系统具有更为复杂的动力学行为，其特点是至少在四维及更高维的非线性系统中具有两个或两个以上正的李雅普诺夫指数，它广泛存在与自然界、流体、生物等一大类非线性系统的众多领域中，在保密通讯及信息处理方面具有更为诱人的应用价值。此外，大部分已有的方法只对那些已知道精确参数的混沌系统有效。但是在实际情况中，无法预先准确了解某些或者所有的系统数据，这些不确定性会破坏甚至摧毁整个同步[2]。因此，存在不定参数的超混沌系统同步研究是必不可少的。
2、超混沌Liu 系统
自从1963年Lorenz 在三维自治系统中发现了第一个混沌吸引子以来，人们不断地发现新的混沌系统。2004年刘崇新等在电路实验中发现了一个新的混沌系统称为Liu 系统，其动力学方程可表示为：
2()x a y x y bx cxz z dz fx
?=-?
=-??=-+? 2008年，王发强等在Liu 系统加入一个控制器产生了四维的混沌系统，通过计算李雅普诺夫指数和电路实验证明该系统是超混沌的两个正的李雅普诺夫指数，称为超混沌Liu 系统[3]。超混沌Liu 系统非线性微分方程组表示式为：
2
()x a y x y
bx cxz w z dz fx w
rx =-??=-+??=-+??=-? （1） 其中()4,,,x y z w R ∈为状态变量。它是在混沌Liu 系统上加入了一个状态变量w 所得到的。选取参数10a =，40b =，1c =， 2.5d =，4f =，10.6r =，李雅普诺夫指数和维数分别为：1 1.1419λ=，20.12688λ=，30λ=，413.767λ=-和
3.0927L D =，此时，系统有两个正的李雅普诺夫指数，故系统呈现超混沌状态，其吸引子相图如图1所示。
图1 超混沌Liu 系统吸引子的相图
3、理论和方法
设两个具有相同表示形式的超混沌Liu 系统，分别作为驱动系统[4]
2
()m m m m m m m m
m m m m m
x a y x y
bx cx z w z dz fx w
rx =-??=-+??=-+??=-? （2） 和响应系统
11112
2
11314
()s s s s s s s s s s s s s x a y x u y
b x
c x z w u z
d z f x u w
r x u =-+??=-++??=-++??=-+? （3） 在（3）式中1a ，1b ，1c ，1d ，1f 和1r 是在响应系统中需要估算的参数，1u ，2u ，
3u 和4u 是非线性控制器，它控制驱动系统（2）和响应系统（3）渐近地达到同步[5]。
令驱动-响应系统之间的误差变量为
1234s m s m
s m s m
e x x e y y e z z e w w =-??=-??=-??=-? （4）
则有
1234s m s m s m s m e x x e y y e z z e
w w =-??=-??=-??=-?
故由（3）式减去（2）式，可得到误差系统（5）：
112111************
2
31311111341114()()()()()()()()(2)()m m m m m m m m m m m e a e e a a y x u e
b e b b x
c c x z c e e e z e x e u e
d
e d d z
f f x f e e x u e
re
r r x u =-+-++??=+----++++??=---+-+++??=---+? （5） 这里，我们对于在响应系统参数未知且与驱动系统参数不同的情况下，运用自适应控制方法，可使得两个超混沌Liu 系统达到同步[6]，即
lim 0t e →∞
=，这里()1234,,,T
e e e e e =。
因为混沌系统对初值具有敏感的依赖性，在未加控制的情况下，即10u =，20u =，30u =和40u =，对于两个完全相同的Liu 系统（2）和（3）
，如果初始
条件(((0),(0),(0),(0))((0),(0),(0),(0)))m m m m s s s s x y z w x y z w ≠，则这两个系统的轨迹将会很快相互分开，变得毫不相关。如果设计适当的控制器，就可以在任意初始条件下，使两个系统渐近地同步[7]。为了达到这个目的，我们为系统（3）提出如下控制器为：
111
2111112422
313114114
11()()()s s m m s m u a e u b a e c x z c x z e e u d e f x f x u re e =-??=-++---??=--+??=-? （6） 未知参数1a ，1b ，1c ，1d ，1f 和1r 的更新规则为：
111212132
1
314()m m m m m m m m a y x e b e x c
e x z d e z
f e x r
e x =--??=-??=??=??=-??=?
（7） BarBalat 引理[8]
令()f t 是连续光滑的实函数，对于范数2L 和L ∞，若
2()f t L L ∞∈ ，并且()f t L ∞∈，则有lim ()0t f t →∞
=。
定理 1 若根据控制器（6）式和参数更新规则（7）式，在任意初始条
件((0),(0),(0),(0))m m m m x y z w 和((0),(0),(0),(0))s s s s x y z w 下，驱动系统（2）与响应系统（3）均可以达到同步，而且响应系统（3）满足：
111111lim()lim()lim()lim()lim()lim()0t t t t t t a a b b c c d d f f r r →∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
-=-=-=-=-=-=
证明 令Lyapunov 函数为：
22222222
2212341
2
()()a b c d r f V t e e e e e e e e e e =+++++++++ （8）
参数误差
1a e a a =-，1b e b b =-，1c e c c =-，1d e d d =-，1r e r r =-和1f e f f =-。 对（8）式求导，并由（5）可得
()()()()()()()()()()11223344111211422
2311341411111()a a b b c c d d r r f f
s s m m s s s m m m s s
m m
s m a b c d r V t e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e a y x a y x u e b x c x z bx cx z e u e d z f x dz fx u e r x rx u e
a a e
b b e
c c e
d d
e r r =+++++++++=---++--+++????+-++-++-+++-+-+-+-+- ()1
f e f f +- （9）
将（6）和（7）式代入上式，可得
()()()()()()()()()()()1111211411111242222
3111311411141112
121311()s s m m s s s m m m s s m m s s m m s m s m m m m m m m V t e a y x a y x a e e b x c x z bx cx z e b a e c x z c x z e e e d z f x dz fx d e f x f x e r x rx re e a a y x e b b x e c c x z e d d z e =---+-????
+--++-++---????
??+-++-+--+??
+-++------+-+-+ ()()2141322221234m m T r r x e f f x e e e e e e e
---=----=-
由于()V t 是半负定函数，满足平衡点0i e =（1,2,3,4i =），1a a =,1b b =,1c c =,1d d =,1f f =和1r r =是一致稳定的，即i e L ∞∈（1,2,3,4i =），1a L ∞∈，1b L ∞∈，1c L ∞∈，1d L ∞∈，1f L ∞∈和1r L ∞∈。事实上，
当()0V t ≤ 时，有1e ，2e ，3e ，4e L ∞∈，a e ，b e ，c e ，d e ，f e ，r e L ∞∈。因此根据误差系统（5）可知，1e
，2e ，3e ，4e L ∞∈ 。由()T V t e e =- ，可得到 2
(0)()0t
t t
T e dt e edt Vdt
V V t ≤≤-=-≤?
?? 因此我们得到1e ，2e ，3e ，42e L ∈。根据BarBalat 引理，可知：当t →∞时，
10e →，20e →，30e →，40e →，即lim 0t e →∞
=。可见通过控制器（6）和参
数更新规则（7），误差系统（5）是渐近稳定的，即驱动系统（2）与响应系统（3）可渐近地达到同步。
从上述证明过程可以看出，控制器1234(,,,)U u u u u =的选取是不唯一的。对
于Lyapunov 函数22222222
2212341
2
()()a b c d r f V t e e e e e e e e e e =+++++++++，
只要所选取的控制器1234(,,,)U u u u u =使得V 的全导数V
负定，就能使系统达到全局同步。于是还可以设计如下的非线性控制器：
11112
2111124
22
313114114
(1)(1)s s m m s m u a e a e u b e c x z c x z e e u d e f x f x u re e =--??=-+---??=--+??=-? 4．数值仿真
为了检验提出的方法的有效性，我们进行仿真研究。驱动系统（2）与响应系统（3）的初始点分别选取为： ((0),(0),(0),(0))(0,1.5,14,1)m m m m x y z w =-和
((0),(0),(0),(0))(2,2.5,20,1)s s s s x y z w =，因此误差系统（4）的初始值为1234((0),(0),(0),(0))(2,1,6,2)e e e e =，为了使驱动系统（2）处于超混沌状态，选取参数10a =，40b =，1c =， 2.5d =，4f =和10.6r =，选取响应系统（3）的初始参数值为111111((0),(0),(0),(0),(0),(0))(12,39,8,3,2,5)a b c d f r =，通过自适应控制器（6）和参数更新规则（7），得到驱动系统（2）和响应系统（3）的同步过程模拟结果如图形2所示。响应系统（3）的参数1()a t ，1()b t ，1()c t ，1()d t ，1()f t ，
1()r t 的辨识过程如图形3所示。从图形2可以看出，在控制器（6）作用下，系统只需不到30秒时间就达到稳定状态，说明此方法是有效的。从图形3可以看出，随着t →∞，未知参数的估算值1a ，1b ，1c ，1d ，1f ，1r 趋近于10a =，40b =，
1c =， 2.5d =，4f =，10.6r =,可见利用参数更新规则（7），可以辨识出响应
系统的未知参数。
图2 控制器式（6）的作用下系统（2）和（3）的同步误差曲线
图3 系统（3）的参数
1()
a t、
1()
b t、
1()
c t、
1()
d t、
1()
f t和
1()
r t的辨识过程
5．结论
本文研究了有六个不确定参数的超混沌Liu系统的自适应同步和参数辨识。运用李雅普诺夫稳定性理论，关于逐渐混沌同步，我们设计了一个自适应控制器和参数更新规则，理论证明了该控制器可使得两个Liu系统——驱动系统和未知参数的响应系统渐近地达到同步，并且可以辨识出响应系统的未知参数。数值模拟结果进一步证明了该控制器的有效性。
参考文献
[1] Gai Guo-Liang,Zheng Song,and Tian Li-Xin.Adaptive control and synchronization of an uncertain new hyperchaotic Lorenz system [J].Chinese Physics B, 2008,,17(07)：2412-2419.
[2] 唐漾，方建安，庄梅玲，顾全.系统参数完全未知的一个新超混沌系统自适应修正投影同步[J].东华大学学报：自然科学版， 2008,34（5）：583-588.
[3] 黄娟娟.超混沌Liu系统的控制[J].沈阳化工学院学报，2008，22（2）：166-171.
[4] 刘扬正，林长圣，姜长生.新的四维超混沌Liu系统及其混沌同步[J].电子科技大学学报，2008，37（2）：235-237.
[5] 王兴元，武相军.不确定Chen系统的参数辨识与自适应同步[J].物理学报，2006，55（2）：605-609.
[6] 江浩，褚衍东，刘开明，郭丽峰.超混沌Liu系统的同步研究[J].南通大学学报：自然科学版，2008，7（2）：10-12.
[7] Xingyuan Wang，Xiangjun Wu .Parameter identification and adaptive synchronization of uncertain hyperchaotic Chen system [J].International Journal of Modern Physics B ,2008,22（8）:1015-1023.
[8] Gopalsamy K. Stability and Oscillations in Delay Differential Equations of Population Dynamics,Dordrecht: Kluwer Academic Publishers,1992, Chapt.3.