银川一中2008届高三年级第三次模拟测试
数学测试
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准
考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂基他答案标号，
非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2Ｂ铅笔在答题卡上把所选题目对应的
标号涂黑．
参考公式：
样本数据x 1,x 2, ,x n 的标准差 锥体体积公式
])()()[(1
22221x x x x x x n
s n -++-+-=
V =
3
1Sh 其中x 为样本平均数 其中S s 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V =Sh
S=4πR 2,，V=
3
4
πR 3 其中S 为底面面积，h 为高
其中R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题
共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．若bi i i -=?-44)2(（其中i 是虚数单位，b 是实数），则b= （ ）
A ．-4
B ．4
C ．-8
D ．8
2．命题“设a 、b 、b a bc ac c >>∈则若,,2
2
R ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3
π
=
x 对称的是
（ ）
侧视图
主视图
俯视图
A ．3
2sin(π
-=x y B ．)6
2sin(π
-=x y
C ．)62sin(π
+
=x y
D ．)6
2sin(
π+=x y 4．已知函数f(x)=(x-a)(x-b)（其中a>b ），若f(x)的图像如右图
所示，则函数g(x)=ax+b 的图像是
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的
弧线是半圆），根据图中标出的尺寸(单位：cm )可得这个几何体的体积是( )cm 3. A ．π+8 B ．3
28π
+
C ．π+12
D ．3
212π
+
6．如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形
木板，它的四个角的空白部分都是以正
方形的顶点为圆心，半径为
2
a
的圆弧， 某人向此板投镖，假设每次都能击中木板， 且击中木板上每个点的可能性都一样，则 他击中阴影部分的概率是 （ ）
A ．41π-
B ．
4
π
C ．8
1π
-
D ．与a 的取值有关
7．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg ）数据进行整理后分
成五组，并绘制频率分布直方图（如图所示）． 根据一般标准，高三男生的体重超过65kg 属 于偏胖，低于55kg 属于偏瘦．已知图中 从左到右第一、第三、第四、第五小组的 频率分别为0.25、0.20、0.10、0.05，第二 小组的频数为400，则该校高三年级的男生 总数和体重正常的频率分别为（ ） A ．1000,0.50 B ．800,0.50 C ．800,0.60 D ．
1000,0.60
8．设定点A （0,1），动点P(x,y)的坐标满足条件??
?≤≥x
y x 0
则|P A|的最小值是
（ ）
A ．
22 B ．2
3
C ．1
D ．2 9．已知圆(x-2)2+(y-1)2=25被直线l :y=kx+b 截得的弦长为8,则圆心到直线l 的距离为（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
10．设函数n n n f x x f ax x x f m
的前则数列的导数)}(2
)(1
{
,32)()(*N ∈++='+=项和
是
（ ）
A ．
1
+n n
B ．
)1(21+-n n C ．)
2(2+n n D ．)2)(1(++n n n
11．已知函数y=f(x)是偶函数，当x>0时，有x
x x f 4
)(+
=，且当x ∈[-3,-1]，f(x)的值域是[n,m ]，则m-n 的值是
（ ）
A ．
3
1
B ．
3
2 C ．1
D ．
3
4 12．已知双曲线的两个焦点为F 1(-10,0)、F 2(10,0)，M 是此双曲线上的一点，且满足
021=?MF MF ，2||||21=?MF MF ，则该双曲线的方程是
（ ）
A ．1922
=-y x
B ．19
2
2
=-y x C ．17
32
2=-y x
D ．13
72
2=-y x
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填 在题中横线上. 13．二项式)0()1(6
≠-
x x
x 的展开式中常数项等于 ．
14．设向量a=(1,x),b=(2,1-x)，若a·b<0，则实数x 的取值范围
是 。 15．右面的流程图可以计算
∑=-100
1
2
)
12(n n 的值，则在判断框中可以
填写的表达式为 .
（第15题）
16．观察下列不等式：,2
37131211,131211,211>++++>++>
,215131211>++++ ,2
531131211>++++ ，
由此猜想第n 个不等式为 ____.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
设函数=)(x f ?p q ,其中向量)sin cos ,(sin x x x p +=,)sin cos ,cos 2(x x x q -=,x ∈R. （I ）求)3
(π
f 的值及函数)(x f 的最大值；
（II ）求函数)(x f 的单调递增区间. 18．（本小题共12分）
在三棱锥ABC S -中，
90=∠=∠=∠ACB SAC SAB ，
24,4,2===SB BC AC .
（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ； （Ⅱ）求二面角A-BC-S 的大小； （Ⅲ）求直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值.
S
A
B
C
某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3
题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为
3
2． （Ⅰ）求选手甲可进入决赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望． 20．（本小题满分12分） 已知函数.ln )(2
x a x x f +=
（I ）当)(,2x f e a 求函数时-=的单调区间和极值； （II ）若函数x
x f x g 2
)()(+=在[1，4]上是减函数，求实数a 的取值范围.
已知椭圆C:122
22=+b y a x （a ＞b ＞0），点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P(2,3)
在直线x=c
a 2
上，且|F 1F 2|=|PF 2|,直线l :y=kx+m 为动直线，且直线l 与椭圆C 交于不同
的两点A 、B 。 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若在椭圆C 上存在点Q ，满足OQ OB OA λ=+（O 为坐标原点），求实数λ的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当λ取何值时，△ABO 的面积最大，并求出这个最大值．
22．选做题。(本小题满分10分。请考生在A 、B 、C 三题中任选一题作答，如果多做，则
按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．) A ．（几何证明选讲选做题）
自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ， M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B,C 两点． 求证:∠MCP=∠MPB ． B ．（坐标系与参数方程选做题）
已知椭圆C 的极坐标方程为θ
θρ2
22
sin 4cos 312
+=
， 点F 1、F 2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为???
????=+=t y t x 22222(t 为参数，t ∈R)． （Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）求点F 1、F 2到直线l 的距离之和.
C ．（不等式选讲选做题） 设a ∈R 且a≠-2,比较a
22与2-a 的大小．
参考答案
一、选择题：
CBBAA ， ADADC ， CA 二、填空题：.
13．-20 14．x ＜－1，或x ＞2 15．I ＞199,I ＞200, I ≥200,I ≥201 等 16．111123212
n n
+++???+?- 三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17．（共12 分）解：（I ） ()sin ,cos sin x x x =+p ，()2cos ,cos sin x x x =-q ，
∴=)(x f ?p q =()sin ,cos sin x x x + ·()2cos ,cos sin x x x -
x x x x 22sin cos cos sin 2-+= 2
分
x x 2cos 2sin += 4分
∴)3
(π
f =
2
1
3-. 5分 又()f x =sin 2cos 2x x +=)4
2sin(2π
+x 6分
∴函数)(x f 的最大值为2. 7分
当且仅当8π
x k π=+（∈k Z ）时，函数)(x f 取得最大值为2.
（II ）由222 242πππ
k πx k π-++≤≤（∈k Z ）， 9分
得388
ππ
k πx k π-+≤≤ （∈k Z ）. 11分 ∴函数)(x f 的单调递增区间为[8
,83π
k ππk π+-](∈k Z ). 12
18．（共12分）解法一：
解：（Ⅰ） , ,SA AB SA AC ⊥⊥ 且,AB AC A SA =∴⊥ 平面ABC .-------------2分
AC 为SC 在平面ABC 内的射影. --------3分
又AC ⊥BC , ∴BC ⊥SC . ----------4分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）BC ⊥SC ，又BC ⊥AC ，
∴SCA ∠为所求二面角的平面角. -------6分 又∵SB =,24BC =4,
∴SC =4 . ∵AC =2 , ∴SCA ∠=60°. -------8分
即二面角A BC S --大小为60°. （Ⅲ）过A 作SC AD ⊥于D ，连结BD ,
由（Ⅱ）得平面BC ⊥平面SAC ,又BC ?平面SBC ,
∴平面SAC ⊥平面SBC ,且平面SAC 平面SBC SC =, ∴⊥AD 平面SBC .
∴BD 为AB 在平面SBC 内的射影.
所成角与平面为SBC AB ABD ∠∴. --------10分
在ABC ?Rt 中，52=AB ， 在SAC ?Rt 中，3222=-=
AC SC SA ，3AD =.
S A B
C
D
∴ABD sin =
10
5
15
23=
. ------------11分 所以直线B A 与平面SBC
所成角的大小为arcsin
----12分 解法二：解：（Ⅰ）由已知
90=∠=∠=∠ACB SAC SAB ，
以C 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.
则 (0,2,0),(4,0,0),(0,0,0)A B C
,S . -------2分
则(0,2,SC =-- ，(4,0,0)BC =-
. 0SC BC ∴?=
.
SC BC ∴⊥. ----------------4分
（Ⅱ）
90=∠=∠SAC SAB ，SA ∴⊥平面ABC
.
AS ∴=
是平面ABC 的法向量. -------5分 设侧面SBC 的法向量为n ),,(z y x =
, (0,2,SC =-- ,(4,0,0)BC =-
. 0,0SC BC ?=?= n n ,
?
??=-=--,04,
0322x z y 0=∴x .令1=z 则3-=y .
则得平面SBC 的一个法向量n ()
1,3,0-=. ---------6分
1
cos ,2
||||AS AS AS ?<>===
n n n . 即二面角A BC S --大小为60°. ----------8分
（Ⅲ）由（II ）可知n ()
1,3,0-=是平面SBC 的一个法向量. --------10分
又(4,2,0)AB =- ，
∴cos ,||||AB AB AB ?<>===
n n n . -----11分 所以直线AB 与平面SBC
所成角为 ---------12分 19．【解】 (Ⅰ) 选手甲答3道题进入决赛的概率为27
8
)32(3=； ……………1分
选手甲答4道题进入决赛的概率为27
83231)32(223=??C ；…………………………3分
选手甲答5道题进入决赛的概率为811632)31()32(22
24=??C ； …………………5分
∴选手甲可进入决赛的概率278=p +278+811681
64
=． …………………7分
(Ⅱ)依题意，ξ的可能取值为3,4,5．则有3
1
)31()32()3(22=+==ξP ，
27
10
3132)31(3231)32()4(223223=??+??==C C p ξ，
27
831)31()32(32)31()32()5(22
242224=??+??==C C p ξ， …………………………10分
因此，有
C
27
32727527433==?+?+?=∴ξE ． (12)
分
20．解：（I ）函数).,0()(+∞的定义域为x f 当.)
)((222)(,2x
e x e x x e x x
f e a -+=-
='-=时 …………2分
当x 变化时，'的变化情况如下：
单调递增区间是).,(+∞e 极小值是.0)(=e f
…………6分
（II ）由.2
2)(,2ln )(22
x x a x x g x x a x x g -+='+
+=得 …………7分 又函数x
x a x x g 2ln )(2
++=为[1，4]上单调减函数，
则0)(≤'x g 在[1，4]上恒成立，所以不等式0222≤+-x a
x
x 在[1，4]上恒成立.
即2
22x x a -≤在[1，4]上恒成立. …………10分
又2
22)(x x
x -=?在[1，4]为减函数，
所以.2
63)4()(-=??的最小值为x 所以.2
63
-≤a …………12分
21．【解】椭圆C 的左、右焦点分别为),0,(1c F -、)0,(2c F ， ……2分
又122||||F F PF =，2
2
2
)2()3()2(c c -+=∴ , 2
2a c
=………3分 解得1,2,12
2===b a c ，
∴椭圆C 的方程为12
22
=+y x ． ………4分
（Ⅱ）由???=++=2
2,2
2y x m kx y ，得0224)21(2
22=-+++m kmx x k ．
设点A 、B 的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，则???
????
+-=+-=+.2122,21422
21221k m x x k
km x x ……5分 2
21212122)(k
m
m x x k y y +=++=+． （1）当0=m 时，点A 、B 关于原点对称，则0=λ． （2）当0≠m 时，点A 、B 不关于原点对称，则0≠λ，
由OQ OB OA λ=+，得???????+=+=).(1),(12121y y y x x x Q Q λλ 即???
????+=+-=.)21(2,)21(422k m y k km x Q Q λλ 点Q 在椭圆上，∴有2])
21(2[2])21(4[22
22=+++-k m
k km λλ， 化简，得22222)21()21(4k k m +=+λ．
0212≠+k ，∴有)21(4222k m +=λ．………………① ……………7分
又)21(8)22)(21(416222222m k m k m k -+=-+-=? ，
∴由0>?，得2221m k >+．……………………………② 将①、②两式，得2
224m m λ>．
0≠m ，42<∴λ，则22<<-λ且0≠λ． 综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是22<<-λ． ………………8分
（Ⅲ）212
1x x k AB -+= ，点O 到直线AB 的距离2
1k
m d +=，
AOB ?∴的面积2121x x m S -=212214)(2
1
x x x x m -+=
2
2
221212k
m k m +-+=
． ………………………… 10分
由①有2
2
2
421λm k =
+，代入上式并化简，得)4(4
2
22λλ-=
S ． 2)4(22≤-λλ ，2
2
≤
∴S ． ……………………… 11分 当且仅当2
24λλ-=，即2±=λ时，等号成立．
∴当2±=λ时，ABO ?的面积最大，最大值为22
． ……………………… 12分 22．A （几何证明选讲选做题）
证明：∵PA 与圆相切于A ，
∴2MA MB MC =?， ………………2分 ∵M 为PA 中点，
∴PM M A =， ………………3分 ∴2PM MB MC =?， ∴PM MB MC PM
= ． ………………5分
∵BMP PMC ∠=∠， ………………6分 ∴△BMP ∽△PMC ，………………8分 ∴MCP MPB ∠=∠． ………………10分 22．B （坐标系与参数方程选做题）
解: (Ⅰ) 直线l 普通方程为 2y x =-； ………………………………2分
曲线C 的普通方程为22
143
x y +=． ………………………………4分
(Ⅱ) ∵1(1,0)F -,2(1,0)F ，
∴点1F 到直线l 的距离12
d ==
………………………………6分
点2F 到直线l 的距离22
d =
=
………………………………8分
∴12d d += ………………………………10分 22．C （不等式选讲选做题）
解:
a 2………………………………………………3分
当a >0a ≠时,∵ 20
>,>a ． ………………6分
当0a =时, ∵ 20
=,a ． …………………………7分
当a <,∵ 20