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平面向量应用举例

平面向量应用举例（课时1）

一、教学目标

1. 掌握用向量方法解答几何中的平行、垂直、夹角和距离问题，体会解析法与向量法的区别与联系，培养应用所学知识解决问题的能力。

2. 通过用向量方法解决平面几何问题的过程，培养观察、分析、比较和判断的习惯，寻找问题捷径的能力。

3. 增强战胜困难的信心和百折不挠的人生观。

二、重、难点

重点：（体现向量的工具作用），用向量的方法解决简单的平面几何问题，体会向量在几何中的应用。

难点：（体现向量的工具作用），用向量的方法解决简单的平面几何问题，体会向量在几何中的应用。

三、教学方法：

（1）自主性学习方法+探究式学习法

（2）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出为掌握的内容及存在的差距。

四、教学过程

（一）课题引入

1、提问：向量的加减运算和数量积运算是怎样的？

2、讨论：①若O 为ABC ?的重心，则0OA OB OC ++= ;

②水渠横断面是四边形ABCD ，,DC AB AD BC == 且,则这个四边形为等腰梯

形，类比几何元素之间的关系，你会想到向量运算之间都有什么关系？

（二）新知探究

（1）平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来。

例如：平行四边形ABCD 中，设=a AB ，AD b = ，则A C A B B C =+ ,DB AB AD =- ,

向量,AD AB 的夹角为DAB ∠。

（2）讨论：①向量运算与几何中的结论“若a b = ，则a b = ，且,a b 所在直线平行或

重合”相类比，你有什么体会？

②由学生举出几个具有线性运算的几何实例。

（3）用向量方法解平面几何问题的步骤

① 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。

② 通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等。

③ 把运算结果“翻译”成几何关系。

（三）典型例题

例1：求证：

ABC ?的三条高交于一点。

【证明】设P 为ABC ?内一点，令PA a = ，,PB b PC c == ，则A B b a =- ，

,BC c b CA a c =-=- ，

当,PA BC PB CA ⊥⊥ 时，有()0a c b ?-= ，()0b a c ?-= 。

∴0a c a b ?-?=

0b a b c ?-?= 。

①+②得 0a c b c ?-?=

即 ()0c a b ?-= ，所以0PC BA ?= .

可得PC BA ⊥,即P 为三条高的交点，则ABC ?的三条高交于一点。

变式（或跟踪）训练

在ABC ?中，P 是BC 的中点，角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若0cAC aPA bPB ++= ，则

ABC ?为（）

A 直角三角形

B 钝角三角形

C 等边三角形

D 等腰三角形但不等边

例2 在平面直角坐标系xoy 中,已知点A （-1，-2），B （2,3），C （-2，-1）.

（1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长。

（2）设实数t 满足()0AB tOC OC -?= ，求t 的值。

（1）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==- ,则

(2,6)AB AC += , (4,4)AB AC -= ,所以0A B A += ,

AB AC -= 故所求的两条对角线长分别为

（2）由题设知(2,1),(32,5)OC AB tOC t t =---=++ 。

由()0AB tOC OC -?= ,得(32,5)(2,1)0t t ++?--=

从而5t=-11,所以115

t =-.

变式（或跟踪）训练

例2：设平面向量(cos ,sin )a αα= ，（02απ≤≤），1(2b =- ，b a 与不共线。（1）证明：向量a b a b +- 与垂直

（2） a b + 与的模相等时，求a

(四)拓展提升

例3 若()cos ,sin ,(cos ,sin ),a b ααββ== 且(0)ka b kb k +=-> 。

（1）用k 表示数量积a b ? 。

（2）求a b ? 的最小值，并求出此时a b 与的夹角θ。

（1）由ka b kb +=- 得22()3()ka b a kb +=- ，

22222

22363k a ka b b a ka b k b ∴+?+=-?+ ， 222

2(3)8(13)0k a ka b k b ∴-+?+-= 221,1,38130a b k ka b k ==∴-+?+-= ，

2222184k k a b k k

++∴?== （2）2111()44k a b k k k

+?==+ 由函数单调性的定义容易证明11()()4f k k k =

+在(0,1]上单调递减，在[1, +∞)上单调递增。 1k ∴=，min 11()(1)(11)42

f k f ==+=，此时a 与b 的夹角为θ，1

12cos ,6012

o a b a b θθ?===∴= 。（五）归纳小结

1、用向量方法解决平面几何问题的基本方法。

2、向量知识在解析几何中的应用，主要涉及直线中的平行、垂直。

五、作业布置

1、书面作业：课本P113 习题2.5A 组1、2

六、教学反思现行高中"平面向量"是高中数学内容之一。该内容的引入既丰富了高中数学的内容，又体现了向量作为数学工具的重要性。通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高中数学奠定了良好的基础。

七、超级链接

1.若向量b a ,满足,1||||==b a b a ,的夹角为060，则

?+?等于（） A.21 B.23 C.2

31+ D.2 2.已知向量b a ,满足,2,4||,1||=?=

=则b a ,的

夹角为（）。 3.若向量,满足,2||,2||==b a 且,)(⊥- 则)(+等于（） A.3 B.22 C.10 D.10

4.若非零向量b a ,满足|,|||b a

=0)2(=?+，则,的夹角为（）。

A.030

B.060

C.0120

D.0150

5.已知向量)1,3(=a ,是不平行于x 轴的单位向量，且,3=?则等于（） A.)2

1,23( B.)23,21( C.)433,41( D.)0,1( 6.在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为O(0,0),B(1,1),则=?（）。

答案：B A C D B

第二课时平面向量应用举例（课时2）

学校凤城高中姓名张家滢高群

一、教学目标

1．会用向量方法解决简单的力学问题和其他一些实际问题；

2．体会向量是一种处理几何问题、物理问题等工具，发展运算能力和解决实际问题的能力；

3．增强战胜困难的信心和百折不挠的人生观。

二、重、难点

掌握用向量解决物理问题的基本思路和步骤。

三、教学方法

（1）自主性学习方法+探究式学习法

（2）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出为掌握的内容及存在的差距。

四、教学过程

（一）课题引入

（1）讨论：①两个人提一个旅行包，夹角越大越费力。

②在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力。

（2）提问：类比物理元素之间的关系，你会想到向量运算之间有什么关系？

（二）1.教学物理中的向量

①物理中有许多量，比如力、速度、加速度都具有大小和方向。

②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则。力、速度、加速度、位移的分解就是向量的分解。

用向量研究物理问题的方法：首先把物理问题转化为数学问题，然后利用建立起来的数学模型解释和回答相关物理现象。

（三）典型例题例1．原点O 在正六边形ABCDEF 的中心，A (－1，－1)，D (1，－1)，则O 的坐标是

( )

A ．(2，0)

B ．(－2，0)

C ．(0，－2)

D ．(0，-1)

[答案] D

变式（或跟踪）训练

作用于同一点O 的三个力123,,F F F 处于平衡状态，已知11F = ,22F = ,12F F 与夹角

为23

π，求3F 的大小。

例2.在风速为75

km /h 的西风中，飞机以150km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时，飞机的航速和航向。解：设w =风速，a v =有风时飞机的航行速度，b v =无风时飞机的航行速度，

b a v v w =-

,,b a v v w ∴ 构成三角形。

,,a b AB v CB w AC v === 作//AD BC ,.CD AD D BE AD E ⊥⊥与，于

则0

45BAD ∠=

设150,AB CB ==

则

CD BE EA ∴===

DA =

30/,

b AC CAD v h =∠=∴= 方向为北偏西060。变式（或跟踪）训练

已知3a b == ，a b 与的夹角为045，求使向量a b a b λλ++ 与的夹角是

锐角时，λ的取值范围。

（四）拓展提升

例3已知)()(1,,1,1λ=-=b a ，若b a ,的夹角α为钝角，求λ的取值范围.

（五）归纳小结

1、向量知识在解析几何中的应用，主要涉及直线中的平行、垂直。

五、作业布置

2、课本P113 习题2.5A 组

3、

4、5

六、教学反思向量的基础知识较多，且与其他很多部分知识都有联系，如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系、向量与立体几何的联系、向量与解析几何的联系等。因此，有必要加强对向量这一章节的进一步研究和总结。

七、超级链接

1．一物体受到相互垂直的两个力f 1、f 2的作用，两力大小都为5N ，则两个力的合力的大小为( )

A ．10N

B ．0N

C ．N D.1N

答案：C

2、a 与b 为平面内互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0b c a c -?-= ，则c 的最

大值为（）

A 、1

B 、2

C D

、2

答案：C

3、若向量a 与b 不共线，0a b ?≠ ，且()a a c a b a b

?=-? ，则向量a 与c 的夹角为（） A 、0 B 、6π C 、3π D 、2

答案：D

4、已知向量(1,2)a = ，(2,3)b =- ，若向量c 满足()//c a b + ，()c b a ⊥+ ，则c =（）

A 、77(,)93

B 、77(,)39--

C 、77(,)39

D 、77(,)93

-- 答案：D

5、已知单位向量1e 、2e 的夹角为60 ，则122e e -= （）

6、已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量k a -b 垂直则k=( ) 答案：1

人教版高中数学必修四 2.5平面向量应用举例

一、选择题 1．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为( ) A ．(9,1) B ．(1,9) C ．(9,0) D ．(0,9) 解析：F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)．又因为起点坐标为(1,1)，所以终点坐标为(9,1)．答案：A 2．初速度为v 0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为1 2v 0，则发射角θ应为( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 解析：炮弹的水平速度为v ＝v 0·cos θ＝12v 0?cos θ＝12?θ＝60°. 答案：D 3．△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，则AD ＋BE ＋CF ＝( ) A ．0 B ．0 C ．AB D ．AC 解析：设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD ＝12a ＋1 2 b ， BE ＝BA ＋12AC ＝－a ＋1 2b ， CF ＝CA ＋1 2AB ＝－b ＋1 2a . ∴AD ＋BE ＋CF ＝0. 答案：B 4．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则下列向量中与AD 同向的是( ) A.a ＋b |a ＋b | B.a |a |＋b |b | C.a －b |a －b | D.a |a |－a |b | 解析：AD ＝12AB ＋12AC ＝1 2(a ＋b )，而a ＋b |a ＋b | 是与a ＋b 同方向的单位向量．

答案：A 二、填空题 5．平面上有三个点A (－2，y )，B (0，y 2)，C (x ，y )，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方程为________．解析：AB ＝(2，－y 2)，BC ＝(x ，y 2 )． ∵AB ⊥BC ，∴A AB ·BC ＝2x －1 4y 2＝0，即y 2＝8x . 答案：y 2＝8x 6．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC · CB ＝________. 解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°， AC ·CB ＝－CA ·CB ＝－|CA ||CB |cos ∠ACB ＝－5 2. 答案：－5 2 7．质量m ＝2.0 kg 的物体，在4 N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ，则水平力在3 s 内对物体所做的功为________．解析：水平力在3 s 内对物体所做的功：F·s ＝F ·12at 2＝12F ·F m t 2＝12m F 2t 2＝12×1 2×42×32 ＝36(J)．答案：36 J 8．设坐标原点为O ，已知过点(0，12)的直线交函数y ＝1 2x 2的图像于A 、B 两点，则OA · OB 的值为________．解析：由题意知直线的斜率存在，可设为k ，则直线方程为y ＝kx ＋12，与y ＝1 2x 2联立得12x 2＝kx ＋1 2 ， ∴x 2－2kx －1＝0，∴x 1x 2＝－1，x 1＋x 2＝2k ， y 1y 2＝(kx 1＋12)(kx 2＋12) ＝k 2x 1x 2＋14＋k (x 1＋x 2) 2 ＝－k 2＋k 2＋1 4 ＝14 ， ∴OA · OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－1＋14＝－3 4.

北师大版数学高一 2.7《平面向量应用举例》教案(必修4)

2.7平面向量应用举例一.教学目标： 1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力. 2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化. 3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想【探究新知】同学们阅读教材P116---118的相关内容思考： 1.直线的向量方程是怎么来的？ 2.什么是直线的法向量？【巩固深化，发展思维】教材P118练习1、2、3题例题讲评（教师引导学生去做）例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。证：设BE、CF交于一点H， ?→ ? AB= a, ?→ ? AC= b, ?→ ? AH= h, 则 ?→ ? BH= h-a , ?→ ? CH= h-b , ?→ ? BC= b-a ∵ ?→ ? BH⊥ ?→ ? AC, ?→ ? CH⊥ ?→ ? AB B C

北京四中数学必修四平面向量应用举例基础版

平面向量应用举例编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力．【要点梳理】要点一：向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：//λ?=a b a b （或x 1y 2－x 2y 1=0）．（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0⊥??=a b a b （或x 1x 2+y 1y 2=0）．（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos |||| θ?=a b a b ．（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．要点诠释：用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．要点二：向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x ，y ）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．常见解析几何问题及应对方法：

平面向量应用举例

平面向量应用举例【学习目标】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力．【要点梳理】要点一：向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：//λ?=a b a b （或x 1y 2－x 2y 1=0）．（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0⊥??=a b a b （或x 1x 2+y 1y 2=0）．（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos |||| θ?= a b a b ．（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．要点诠释：用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．要点二：向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x ，y ）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．常见解析几何问题及应对方法：（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．（4）夹角问题：利用公式cos |||| θ?= a b a b ．要点三：向量在物理中的应用（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv 是数乘向量；④功即是力F 与所产生位移s 的数量积．（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．【典型例题】类型一：向量在平面几何中的应用

第4讲平面向量应用举例

第4讲平面向量应用举例一、选择题 1．△ABC 的三个内角成等差数列，且(AB → ＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( )． A ．等腰直角三角形 B ．非等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形解析 △ABC 中BC 边的中线又是BC 边的高，故△ABC 为等腰三角形，又A ，B ，C 成等差数列，故B ＝π3 . 答案 C 2. 半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则(PA →＋PB →)·PC →的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．2 D ．无法确定，与C 点位置有关解析 (PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2. 答案 A 3. 函数y ＝tan π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝ ( )． A ．4 B ．6 C ．1 D ．2 解析由条件可得B (3,1)，A (2,0)， ∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6. 答案 B 4．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则

AE →·AF →＝( )． A.53 B.54 C.109 D.158 解析法一依题意，不妨设BE →＝12 E C →，B F →＝2FC →，则有AE →－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13 AC →； AF →－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23 AC →. 所以AE →·AF →＝? ????23AB →＋13AC →·? ?? ??13AB →＋23AC → ＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC →) ＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC →) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，选A. 法二由∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1可得∠ACB ＝90°，如图建立直角坐标系，则A (0,1)，E ? ????－233，0，F ? ?? ??－33，0， ∴AE →·AF →＝? ????－233，－1·? ????－33，－1＝? ????－233·? ????－33＋(－1)·(－1)＝23＋1＝53，选A. 答案 A 5．如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ， N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC → ，则x ·y x ＋y 的值为( )．

平面向量的应用举例

平面向量应用举例课型：新课设计人：设计时间：2011.3.2 使用时间：学习目标： 1.通过应用举例，学会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强积极主动的探究意识，培养创新精神。重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 学习过程：例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD ．求证：2 2 2 2 2 2 AC BD AB BC CD DA +=+++．利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？（1）建立平面几何与向量的联系，（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，（3）把运算结果“翻译”成几何关系。变式训练：ABC ?中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，设,.AB a AC b == （1）证明A 、O 、E 三点共线；（2）用,.a b 表示向量AO 。例2，如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？例3.如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km/h ，水流的速度|v 2|=2km/h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到 0.1min)？变式训练：两个粒子A 、B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为(4,3),(2,10)A B s s ==，（1）写出此时粒子B 相对粒子A 的位移s; (2)计算s 在A s 方向上的投影。当堂检测 1.已知0 60,3,2===?C b a ABC 中，，求边长c 。 2.在平行四边形ABCD 中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC 的长。 3.在平面上的三个力321,,F F F 作用于一点且处于平衡状态， 2121,2 2 6,1F F N F N F 与+= =的夹角为o 45，求：（1）3F 的大小；（2）1F 与3F 夹角的大小。课后练习与提高一、选择题 1.给出下面四个结论： ① 若线段AC=AB+BC ，则向量AC AB BC =+； ② 若向量AC AB BC =+，则线段AC=AB+BC ； ③ 若向量AB 与BC 共线，则线段AC=AB+BC; ④ 若向量AB 与BC 反向共线，则 BC AB BC AB +=+.其中正确的结论有（） A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.河水的流速为2s m ，一艘小船想以垂直于河岸方向10s m 的速度驶向对岸，则小船的静止速度大小为（） A.10s m B. 262s m C. 64s m D.12s m 3.在ABC ?中，若)()(CB CA CB CA -?+=0，则ABC ?为（） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定二、填空题 4.已知ABC ?两边的向量21,e AC e AB ==，则BC 边上的中线向量AM 用1e 、2e 表示为 5.已知10321321=++=++OP OP OP ，OP OP OP ，则1OP 、 2OP 、3OP 两两夹角是反思总结：

高中数学-2.5《平面向量应用举例》教学设计

2.5《平面向量应用举例》教学设计【教学目标】 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题； 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神. 【导入新课】回顾提问：（1）若O 为ABC ?重心,则OA +OB +OC =0. （2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12 AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来. 新授课阶段探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b =，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行 ABCD 中，设AB ＝a ,AD ＝b ，则AC AB BC a b =+=+（平移），DB AB AD a b =-=-，2 22||AD b AD ==（长度）．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果 “翻译”成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD ．

平面向量应用举例#精选.

平面向量应用举例一.教学目标： 1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力. 2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化. 3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想【探究新知】 [展示投影] 同学们阅读教材P116---118的相关内容思考： 1.直线的向量方程是怎么来的？ 2.什么是直线的法向量？【巩固深化，发展思维】教材P118练习1、2、3题 [展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。证：设BE、CF交于一点H， ?→ ? AB= a, ?→ ? AC= b, ?→ ? AH= h, 则 ?→ ? BH= h-a , ?→ ? CH= h-b , ?→ ? BC= b-a ∵ ?→ ? BH⊥ ?→ ? AC, ?→ ? CH⊥ ?→ ? AB B C

平面向量的应用举例

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2．5平面向量的应用举例班级学号姓名 .一选择题 1．已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若 + + +，则点P与△ABC的位置关系是（） A、点P在△ABC内部 B、点P在△ABC外部 C、点P在直线AB上 D、点P在AC边上 2．已知三点A（1，2），B（4，1），C（0，-1）则△ABC的形状为（） A、正三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰锐角三角形 3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F|，若 |F|=|G|，则θ的值为（） A、300 B、600 C、900 D、1200 4．某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风速相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为（） A、v-a B、a-v C、v+a D、v 二、填空题 5．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为 km/h。 6．两个粒子a，b从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为S a =（3，-4），S b =（4，3），（1）此时粒子b相对于粒子a 的位移；（2）求S在S a 方向上的投影。三、解答题 7．如图，点P是线段AB上的一点，且AP︰PB=m︰n，点O是直线AB外一点，设OA =a，OB =b，试用,,, m n a b的运算式表示向量OP．

8．如图，△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，设AD 与BE 相交于G ，求证：AG ︰GD=BG ︰GE=2︰1． G E D C B A 9．如图， O 是△ABC 外任一点，若1 ()3 OG OA OB OC =++，求证：G 是△ABC 重心（即三条边上中线的交点）． 10．一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10mile 处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东750，以9mile/h 的速度向前航行，货船以21mile/h 的速度前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货的位移。