华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案

第9章（之1） （总第44次）

教学内容:§9.1微分方程基本概念

*1． 微分方程7359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ）

解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．

*2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ）

解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ；

（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；

（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了

x C x C y 2sin 12cos 2

++=，实质上只有一个任意常数；

（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．

*3．在曲线族 x

x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线．

解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x

x

e c e c y -+=21， x

x

e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ，

故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2

1

x x e e y --=，即x y sinh =．

*4．证明：函数y e x x =-233321

2

sin 是初值问题???

????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y

x y 的解．

证明 '=-+--y e x e x x x 33323

2

1

21

2s i n c o s ，

''=----y e x e x x x 33323

2

121

2sin cos ，

代入方程得

''+'+=y y y 0， 此外

，，1)0(0)0(='=y y

故y e x x =-2333

2

1

2sin 是初始值问题的解．

*5．验证y e e t Ce x

t x

x

=+?

2

d （其中C 为任意常数）是方程'-=+y y

e x x 2

的通解．

证明 '=+?+?

y e

e t e e Ce x

t x

x x x

2

2

d =++y

e x x 2， 即 2

x x e y y +=-'，说明函数确实

给定方程的解．

另一方面函数y e

e t Ce x

t x x

=+?

2

d 含有一任意常数C ，所以它是方程的通解．

**6．求以下列函数为通解的微分方程： （1）31+=Cx y ；

解 将等式31+=Cx y 改写为13+=Cx y ，再在其两边同时对x 求导，得C y y ='23，代入上式，即可得到所求之微分方程为1332-='y y xy ． （2）x

C x C y 2

1+

=． 解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x 求两次导数，得

221x C C y -

='，3

2

2x

C y =''． 从以上三个式子中消去任意常数1C 和2C ，即可得到所求之微分方程为

02=-'+''y y x y x ．

**7．建立共焦抛物线族)(42

C x C y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x 轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．

解 在方程)(42

C x C y +=两边对x 求导有C y y 42='，从这两式中消去常数所求方程为)2(y y x y y '+'=．

**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线)(x y y =上任一点处的法线都经过坐标原点．

解 任取)(x y y =上的点 ),(y x ，曲线在该点处的切线斜率为 y '=dx

dy ． 所以过点),(y x 的法线斜率为

y '-1， 法线方程为y Y -=y '

-1)(x X -， 因为法线过原点，所以=-y 0y '

-1

)0(x -从而可得所求微分方程为0='+y y x ．

第9章（之2）（总第45次）

教学内容：§9.2 .1可分离变量的方程； §9.2 .2一阶线性方程

**1．求下列微分方程的通解：

（1）2

1)

1(x y x y +-=

'；

解： 分离变量

2

1d 1d x x x y y +=-，两边积分??+=-21d 1d x x

x y y ， 得C x y ln )1ln(21)1ln(2-+=

--，即211x

C y +-=．

（2）2

22y x e y

x y -=

'； 解：分离变量x xe y ye x y d d 222

=，两边积分就得到了通解

)d (21222x e xe e x x y ?

-=c e xe x x +-=)2

1

(2122．

（3）042)12(=-+'+y y e y e x ．

解： 12d 4

2d +-=-x x

e y e y

y ， C x e y ln 2

1

)12ln(21)2ln(21++-=-， 即 ()()e x C y

-+=221．

**2．试用两种不同的解法求微分方程xy y x y +--='1的通解．

解法一 （可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易． 分离变量，)1)(1(y x y --='，

x x y

y

d )1(1d -=-，并积分 x x y y

d )1(1d -=-?

?

得c x x y +-=--2

2

1)1ln(，所求通解为 x x ce y -+=221

1．

解法二 （线性方程的常数变易法）将原方程改写为x y x y -=-+'1)1(，这是一个一阶线性非齐次方程．

对应的齐次方程为0)1(=-+'y x y ，其通解为○1x x e C y -=2

2

1．

代入原非齐次方程得x e C x x -='

-122

1，解得○

2C e C x x +=-2

2

1

，○

2代入○1即可得原方程的通解

x

x Ce

y -+=22

1

1．

*3．求解下列初值问题：

（1）2

1x y

y -='，6)21

(π

e y -=．

解： y '=

2

1x

y -，∴

21d d x

x

y y -=

(0≠y )， 2

1d d x

x y

y

-=??

，

∴C x y +=arcsin ln ， ∴ x Ce y arcsin =，

π6)2

1(e y -=，∴2

1

arcsin 6Ce

e =-π，∴1-=C ， ∴ x e y arcsin -=．

（2）2

2x e xy y -=+'，1)0(=y ；

解: 2

2x e xy y -=+'， x x p 2)(=∴，2

)(x e x q -=，

=∴)(x y ?

-x

x e

d 2

??????+??-C dx e e x x x d 222x e -=??

????+??-C dx e e x x x d 2222x x Ce xe --+=， 1)0(=y ， 101=?+=∴c c ， 2

)1(x e x y -+=∴．

（3）x e x y y cos cot =+'，1)2

(=π

y ；

解： x e x y y cos cot =+'， ∴x x P c o t )(=，x e x Q cos )(=．

∴ ??

???

??+?

=?

-x C y x

x x x x d e e e d c o t c o s d c o t )d e e (e sin ln cos sin ln ?

+=-x C x x x

)d sin e

(csc cos ?

+=x x C x x

x C x csc )e (cos -=， 由1)2

(=π

y ， 可确定 2=C ，所以

x y x csc )e 2(cos -=．

（4）0d )12(d 2=+-+x x xy y x ，01

==x y ．

解： 方程变形为 21

12x

x y x y -=+'，是一阶线性非齐次方程，其通解为

??

????

?-+?=?

-

dx e

x x c e y dx x dx x 2

22)11( ??????-+=

?

dx x x x c x 222

)11(1

??????-+=x x c x 22211x x

c 1212-+= 由 0)1(=y ， 得 21=c ， 所以特解为：x x

y 121212

-+=．

**4．求微分方程 0d )ln (d ln =-+y y x x y y 的通解（提示将x 看作是y 的函数）． 解：将x 看作是y 的函数，原方程可化为

y

x y y dy dx 1

ln 1=+，这是一阶线性方程，将其中y

y Q y y y P 1

)( ,ln 1)(==

代入一阶线性方程求解公式，得通解 1

e 1)ln(ln )ln(ln ln 1

ln 1??????+=???

??????+?=??--

dy e y c dy e

y c e x y y dy y y dy y y y y c dy y y c y ln 21

ln ln ln 1+=??

????+=?．

**5．求满足关系式

)(d )(22

x y x u u uy x +=?

的可导函数)(x y ．

解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对x 求导，可得微分方程xy x x y

x

()d d =+

2，即 d d y x xy x -=-2，分离变量得d d y

y x x -=2

，积分得y Ce x

=+2

22， 在原方程两边以2=x 代入，可得初试条件22

-==x y

．据此可得14--=e C ，所

以原方程的解为 2412

2

+-=-x e y ．

**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为k ），求降落伞的下落速度与时间的函数关系． 解：根据牛顿运动第二定理有kv mg t

v

m -=d d ．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得

-

-=+1k mg kv t

m

C ln()． 由初始条件0)0(=v ， 得)ln(1mg k C -=，即得 v mg k e k

m

t =-?? ??

?-1．

**7．求一曲线，已知曲线过点)1,0(，且其上任一点),(y x 的法线在x 轴上的截距为kx ． 解：曲线在点(,)x y 处的法线斜率为y '

-

1

，所以法线方程为Y y y X x -=-'-1()．

只要令0=Y ，就可以得到法线在x 轴上的截距为 y y x X '+= ．

据题意可得微分方程x yy kx +'=，即x k y y )1(-='．这是一个可分离变量方程，分

离变量并积分得所求曲线C x k y =-+2

2)1(，由于曲线过点)1,0(，所以1=C ，所以所求

曲线方程为 y k x 2211+-=()．

***8．求与抛物线族2

Cx y =（C 是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的方程．

解：在给定曲线2

cx y =上任意一点),(y x 处切线斜率为cx y k 20='=，从上面两式中消

去c 得x y y k 20=

'=，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程x

y y 2='． 设所求曲线方程为 )(x y y =，在同一点),(y x 处切线斜率为y k '=，则根据正交要

求有10-=k k ，这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程y

x y 2-

='． 这是一个可分离变量方程，分离变量xdx ydy -=2，积分得所求曲线族c x y +-=2

2

2

1，即椭圆族c x y =+

2

2

2

1． ***9．作适当变换，求微分方程 1

22

4+-

='-x e y y

的通解． 解 原方程可化为4122=++

'y y

e x y e ，在换元y e z =下方程可化为41

22=++'x z

z ，这是一个一阶线性方程，其通解为

??????+=?+?

+-?x e

C e

z x x

x x

d 41

2d 21

2d 2}44{1

212x x C x +++=．

***10．作适当变换，求微分方程

d d tan y x y x y y x =+?? ??

?21

22的通解． 解：令ux y =2

，代入方程整理得 x x u u d tan d =，积分得 Cx u =sin ，以 x

y u 2

= 代入上式，即得原方程的通解： Cx x

y =2sin ．

第9章 （之3） （总第46次）

教学内容：§9.2 .3齐次型方程；9.2.4伯努利方程．

**1．求下列微分方程的通解：

(1) )ln ln 1(d d x y x

y

x y -+=； 解： )ln ln 1(d d x y x y x y -+=， ∴ dx dy =x y (1+x

y ln )，这是一个一阶齐次型方程．

令 x

y

u =

，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为u u u x ln ='．这是一个可分离变量方程．

分离变量x dx u u du =ln ，并积分??=x

dx

u u du ln ，得c x u ln ln ln ln +=，即cx e u =． 以 x

y u =

代入，得所求的通解为cx

xe y =．

（2）()arctan xy y y

x

x '-=． 解：方程可化为x

y x

y y arctan

1+=

'，这是一个一阶齐次型方程．

令 x

y u =

，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为u x u x arctan 1

d d =，这是一个可分离变量方程．

分离变量后积分得 x u Ce u u 12+=arctan ．

以 x

y u =代入上式得原方程的通解：x y Ce y

x

y

x 22+=arctan ． **2．求解下列初值问题：

（1）0d )2(d 22=+-y y x x xy 满足初始条件 1)2(=y 的特解． 解: 0d )2(d 22=+-y y x x xy ，

dy dx =

x y y x +2， 令 y

x

u = ， 则 u u dy du y

u 12+=+， u u du 1+=y dy ， ∴?+u

u du 1=?y dy

，

c y u ln ln )1ln(2

1

2+=+∴， cy u =+∴12， 即 2221y c u =+ ， 代回即得22y

x +1=22y c ， 1)2(=y ， ∴52

=c ， 因此 22y x +=54y ．

（2）??

?==-++=.

0,0d )(d )(0x y y y x x y x

解：原方程可表为

1

1d d -+

=-+=x

y x y

x y y x x y ，令 x y u =，u x u y '+='， 代入方程，有 1

1-+='+u u

u x u ，即 121d d 2--+=

u u u x u x ， 分离变量

x x u u u u d 1d 2112

=-+-，积分得 C x u u ln ln )21ln(2

1

2-=-+- ?通解 C y xy x =-+222，令 0,0==y x ，得 0=C ．

所以初值问题的解为 0222=-+y xy x ．

***3．试证明：当1221b a b a ≠时，总能找到适当的常数h ，k ，使一阶微分方程

)(

2

221

11c y b x a c y b x a f y ++++='

在变换k y s -=，h x t -=之下，可化为一阶齐次型方程

)(d d 2211s

b t a s b t a f t s

++=． 并求方程 0d )32(d )12(=++++y y x x y x 的解．

证明：令???+=+++=++s b t a c y b x a s

b t a

c y b x a 2222211111 1221b a b a ≠ ，

∴可解得：???????---=---=1221122112212112b a b a c b c b x t b a b a c a c a y s 因此可取：???

?

??

?

--=--=1

221122112212

112b a b a c b c b h b a b a c a c a k

解：0)32()12(=++++dy y x dx y x ，令???-=+=32x t y s ?

??==?x t y

s d d d d

[][]0)2(3)3(21)2(23=-++++-++∴ds s t dt s t ，()0)32(2=+++ds s t dt s t ，

t

s t s

dt ds dt

ds

t s t s 32210)32(21++

-

=?=+++

?， 令dt du t u dt ds t s u +=?=

， 2

3)

1)(13(3221+++-=?++-=+∴u u u dt du t u u dt du t u ，

??-=??

????+++∴-=+++?

t dt

du u u t dt du u u u )13(23)1(21,)1)(13()23(， c t u u ln ln )13)(1ln(2

1

+-=++即，

c t

s

t s t c t u u =++?

=?++∴)13)(1()13)(1(，

c x xy x y c x y x y x 243)3

6

31)(321()3(22=+++?=-++-++

-∴

．

**4．求下列微分方程的通解

（1）0ln 2=+-'x y y y x ；

解： 0ln '2=+-x y y xy x

x

y x y y ln 1'12

-=-

∴-- 令x x t x dx dt y t ln 11

=+?=-， ,ln )Q( ,1)(x

x x x x P ==∴

ln 1 d ln )(d 1

d 1???????+=??

????

?+?=∴??-

xdx x x C x x e x x C e x t x x x x

1ln C )ln (C 11-+=-+=---x x x x x x x x ， 111ln --+-=Cx x y ．

（2）0d d )2(=+-y x x xy y ．

解： 0d d )2(=+-y x x xy y ， x y d d +y x 1=2

12y x

， y y '-21+21

1y x =

x 2， 2

1

y u =，

x u d d +x 21x u 1=， ∴x x P 21)(=，x

x Q 1

)(．

∴??

????

?+?=?-

x e x C e x u x x x x d 1)(d 21d 2121-=x ??????+?x x x C d 121[]x C x +=-21

， ∴ []x C x

y +=-

2

12

1

， ∴

x

C x y +

=．

（3）'=-y y xy x 3

222()

解一：令u y =2

，原方程化为： d d u x u x u x =

?? ????? ?

?

?-2

1，解此方程得 u Ce u x =， 以u y =2

代入上式，原方程通解为 y Ce y x

22=．

解二：原方程写成

d d x y y x y

x -=-22

32， 令x

z -=1

，则方程化为：

32

2d d y

z y y z =+， 则通解 z e

C y e

y y

y y y

=+????????-???2

32

2d d d ]ln 2[12y C y

+= ， 故原方程通解：

11

22x y

C y =+[ln ]． **5．求下列伯努力方程满足初始条件的特解：y

x

y y 2-

='，1)0(=y ． 解：x y yy', xy y y 22'21-=-∴-=- ，

令 x t dx

dt

y t 42 2

-=-?

=， x x Q x P 4)( ,2)(-=-=∴， []

1

20

10211)0(121

2 )]2[ d 4 d )4()(2022222222d 2d 2+=∴=?++?=∴=++=∴++=++=-=??

?????-+?

=∴----??x y C Ce y Ce x y x Ce e xe C e x

xe C e x e x C e x t x

x x x x x x x x

，

****6．作适当的变换求方程

122222

12

+?'=++x y y x y e x sin sin 的通解．

解：原方程化为：

122

222

12

+=++x y

x

x y e x d sin d sin ，

令z y =sin 2

，得

d d z x x x z

e x x -+=++2112

2122

，

故 ??

???

??

???

++=?

?

+-+?

+x e

x

e

C e

z x

x x x x x x d 1d 122

12d 122

2

2

)1ln(212

12

2

2

x x e Ce x x +++=++

原方程的通解为 sin ln()2212

122

2

1y Ce e x x x x =+++++．

***7．已知)(2d )(1)(2

20

2x y x y y x

+='+?

ξξξ，求y x ()．

解：两边关于x 求导得 212yy y '-=-，

解得 y Ce x 21=+，

由y

x ==0

0，求得 C =-1，

故原方程的解为：y e x 21=-．

***8．曲线过点(,)11

，其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的曲线的法线在x 轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程． 解：

x y x x yy y 22211+=+'=(),(), 212

yy x

y x '-

=- 令y z 2=，解得 z y x C x ==-2()

由y ()11=， 得 C =2， 曲线方程为： x y x 222+=．

***9．根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为 gh A v 2α=，其中 g 为重力加速度，h 为液面与底部孔口之间的距离，A 为孔口面积，α为孔口收缩系数，实验确定其取值为 62.0=α．现有一直径为1m ，高为2m 的直立圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为1=d cm 的圆孔流出，要多长时间容器内的水才会完全流尽？

解：设在时刻t 时， 容器中液面高度)(t h ，则经过t ?后液面高度为)(t t h ?+， 于是有

t t gh A t t h t h r ?=?+-)(2))()((2απ，

即 2

2)()(r

gh

A t t h t t h πα=?-?+-

， 令0→?t ， 得

??

???==-200)0(2d d 2

h gh r A

t h πα

解得

200222

+=

t g r

A

h πα， 代入0=h ， 980=g ， 50=r ， 4

π

=

A ， 62.0=α， 得10304=t （秒）．

第9章 （之4）（总第47次）

教学内容：§9.3可降阶的高阶微分方程

**1．解下列问题：

（1）．微分方程'+''=''y y xy 满足条件'==y y (),()2121的解是 （ ） （A ）y x =-()12

（B ）y x =+-

()1221

42

（C ）

y x =

-+1211

2

2()

（D ）y x =--()125

4

2

解：（C ）

（2）．微分方程''-'=y yy 203满足条件'=-=y y (),()0101的解是 （ ）

（A ）y x 331

3

=+

（B ）x y 3

31=- （C ）y x 3313

=-+

（D ）x y 3

3

1=-+ 解：（C ）

**2．求下列微分方程的通解． （1）0='+''y y x ；

解： 0='+''y y x 是一不显含因变量y 的二阶方程， 令 y p '= ? y ''x p d d =

∴0=+'p p x ， ?p

p d =x x d -，

?

??-=x x

p p d d ? 1ln ln ln C x p +-= ?x

C p 1=， ∴

=x y d d x C 1

， x x C y d d 1=， ??=x x

C y d d 1 ，21ln C x C y +=． （2）()1212

+''+'=x y xy ； 解：''+

+'=+y x x y x 211122，

'=++y x x C 1

121()， y x C x C =+++1

2

1212ln()arctan ．

（3）()02

='+''y y y ；

解：∵()02

='+''y y y ， 令 y p '=， 则 y

p

p

y d d =''，代入方程有 0d d 2=+?

?p y

p

p y ， 0)d d (=+?

?p y

p

y p ， 因为求通解，所以 p 满足 0d d =+?

p y

p

y ． 由

??-=?

-=y y

p p y

y p p d d d d ， y C p C y p 11ln ln ln '=?+-=?， ?

?'=?'=?

'=?

x C y y x C y y y

C x y d d d d d d 11

1

212

C x C y +=?． ∴ 通解：212C x C y +=． （4）()1222+''='y y yy

解：令：'=''='y p y y pp (),，得

()1222+?'=y p p p y ， 即

d d p p y

y y =+212

， 得 p C y =+121()，

所以 d d y

y

C x 12

1+=，通解为：arctan y C x C =+12．

第9章 （之5）（总第48次）

教学内容：§9 .4 .1二阶线性方程和解的存在性；§9 .4 .2二阶线性方程解的结构

**1．若21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的两个解，试证12y y - 必是其对应齐次方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．

证明：因为21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的解． 所以成立下式：

)

2()()()()1()()()(222

111

x R y x Q y x P y x R y x Q y x P y =+'+''=+'+''

将 (1)、(2) 两式相减，得

)3(0))(())(()(212121

=-+'-'+''-''y y x Q y y x P y y

(3 式可写为

0))(())(()(212121=-+'-+''-y y x Q y y x P y y ，

所以 21y y - 是齐次方程 0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．

***2．已知23211,1,1x y x y y +=+==是方程222

22x

y x y x y =+'-''的三个特解，问能否求出该方程得通解？若能则求出通解来．

解：按（1）证明可知 21312,

x y y x y y =-=- 分别是其对应齐次方程

02

22=+'-

''y x

y x y 的解，并且线性无关，所以221x C x C + 为齐次方程的通解． 所以原方程的通解可以表示为：1221++=x C x C y ．

*3．验证：2

2,t t e e -是微分方程''-'-=x t

x t x 1

402的两个线性无关特解，并求此方程的通解．

证明：因为

()()

222241t t t e t e t

e -'-"0421********=-?-+=t t t t e t te t e t e ，

()()

222

2"

41t t t e t e t

e ----'

-=-+-?--=--241240222222e t e t te t e t t t t ()，

故2

2

,t t e e -是方程的解，且

≠=-2

2

2

2t t t e e

e 常数．

于是2

2

,t t e e -是方程线性无关的解（构成基本解组），故方程的通解为

2

221t t e C e C x -+=，

其中21,C C 为任意常数．

*4．已知函数 x y e y x ==21, 是方程 0)1(=-'+''-y y x y x 的两解，试求该方程满足初始条件 0)0(,1)0(='=y y 的特解．

解：方程的通解为 x c e c y x 21+=，将初始条件代入，有：

，

，

0)0('1)0(21211=+=+===c c c e c y c y x

解得21,c c 为： 1,121-==c c ，

所以特解为：

x e y x -=．

**5．设x t 1()是非齐次线性方程

''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()

()1211

的解．x t 2()是方程

''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()

()1222

的解．试证明 x x t x t =+12()()

是方程

''+'+=+x t a t x t a t x t f t f t ()()()()()()()

()12123

的解．

解：因为)(2),(1t x t x 分别为方程（1）和方程（2）的解，所以

)1()()()()()()(112111

'≡+'+''t f t x t a t x t a t x

''+'+≡'x t a t x t a t x t f t 2122222()()()()()()()

()()12'+'得：

()()())()()()()()()()()()(2121221121t f t f t x t x t a t x t x t a t x t x +=

'++'++"+

即 x x t x t =+12()() 是方程（3）的解．

第9章 （之6）（总第49次）

教学内容：§9 .4 .3二阶线性常系数方程的解法

**1．解下列问题：

（1）方程08=+''y y 的通解为=y _______________．

解：x c x c y 22sin 22cos 21+=．

（2）方程025'6"=++y y y 的通解为=y _______________． 解：)4sin 4cos (213x c x c e y x +=-．

（3）方程0158=+'-''y y y 的通解为=y _______________． 解：x x C C y 5231e e +=．

（4）方程031525=+'+''y y y 的通解为=y _______________． 解：)(215

15C x C e y x +=-．

（3）方程06=+'+''py y y 的通解为)2sin 2cos (e 21x C x C y kx +=，则=p ___，

=k _____． 解：11，3-．

**2．求解下列初值问题：

（1）0)1(,

)1(,

01684='==+'-''y e y y y y ；

解：∵0)4(1682

2

=-=+-λλλ， ∴421=，λ， 通解为：x

e x c c y 421)(+=．

将初始条件代入，有 4421)()1(e e c c y =+=，

04)(4)(4)1('4424214242142=+=++=++=e e c e c c e c e x c c e c y x x

得到：45

21-==c c ，

所以特解为：x

e

x y 4)45(-=．

（2）3)2

(,1)2(,

0294='==+'+''π

πy y y y y ；

解：02942

=++λλ， i i

522

1042116164±-=±-=-±-=

λ，

通解为：)5sin 5cos (212x c x c e

y x

+=-．

代入初始条件有： ππ

π

e c c e

y =?=+=-221)0()2

(，

)5c o s 55s i n 5()5s i n 5c o s (2)2

(212212x c x c e x c x c e

y x x

+-++-='--π

，

得：πe c -=1． 特解为：)5sin 5cos (2x x e y x +-=-π．

（3）10)0(,6)0(,

034='==+'+''y y y y y ；

解： 0342

=++λλ， 0)3)(1(=++λλ， 所以通解为 x x e c e c y 321--+=． 代入初始条件有：

6)0(21=+=c c y ，

1033)0('21321=--=--=--c c e c e c y x x ，

特解为：x x e e y 3814---=．

**3．求解初值问题

'++==??

??

?≥?y y y x y x x

21

0100d () 解：将原方程对x 求导得

''+'+=y y y 20

1()

且有

'=-=-y y ()()01201

微分方程（1）的通解为：

y e C x C x =+-()12，

代入初始条件1)0(,1)0(-='=y y ，得1,021==C C ， 故所求问题的解为：x

e y -=．

***4．设函数)(x ?二阶连续可微，且满足方程?-+=x

u u u x x 0d )()(1)(??，求函数?()x ．

解：原方程关于x 求导得

?

?

=-+='x

x

u u x x x x u u x 0

d )()()(d )()(?????,0)0(='?，

再求导得： )()(x x ??=''， 且由原方程还有：1)0(=?，

微分方程的通解为：

x x e C e C x -+=21)(?，

代入条件0)0(,1)0(='=??，得2

121==C C ， 故所求函数为： x e e x x x

ch )(2

1)(=+=

-?．

***5．长为100cm 的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑．设运动开始时，链条已有20cm 垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间．

解：设链条单位长度的质量为ρ，则链条的质量为ρ100．再设当时刻 t 时，链条的下端距桌面的距离为)(t x ，则根据牛顿第二定律有：

gx dt x d ρρ=22100， 即 01002

2=-x g

dt

x d ． 又据题意知：20)0(=x ， 0)0(='x ，所以 )(t x 满足下列初值问题：

??

???='==-

0)0(20)0(0100

22x x x g

dt x d ， 解得方程的通解为：t

g t

g

e

c e

c x 10

210

1-

+=．

又因为有初始条件： ()()???==????==1010

020021'c c x x

所以 t

g t

g

e

e

x 10

10

1010-

+=．

又当链条全部从桌子边缘滑下时，100=x ，求解t ，得：t

g t

g e e 10101010100-+=，

即： 510

=t g

ch

， 510arch g

t =

．

***6．设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为2千克的物体，使弹簧伸长2厘米达到平衡，现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所产生的振动的周期． 解：取物体的平衡位置为坐标原点，x 轴竖直向下，设t 时刻物体m 位于x t ()处，由牛

顿第二定律：

22222d d ()x

t

g g x gx =-+=- ， 其中g =980厘米/秒2 其解为：

x C g t C g t =+1222

cos

sin ， 振动周期为 T g ==≈222490

028π

π

.．

第9章 （之7）（总第50次）

教学内容：§9.4.3二阶线性常系数方程的解法； §9.4.4高阶线性常系数微分方程 **1．微分方程x x y y sin =+''的一个特解应具有形式 （ ）

（A ）()sin Ax B x +

（B ）x Ax B x x Cx D x ()sin ()cos +++ （C ）x Ax B x x ()(cos sin )++ （D ）x Ax B C x D x ()(sin cos )++ 解：（B ）

**2．设A B C D ,,,是待定常数，则微分方程''+=+y y x x cos 的一个特解应具有形式 （ ）

（A ）Ax B C x ++cos

（B ）Ax B C x D x +++cos sin

（C ）Ax B x C x D x +++(cos sin ) （D ）Ax B Cx x ++cos 答：（C ）

**3．求下列非齐次方程的一个解 （1）122+=-'-''x y y y ； 解：∵ 022

=--λλ， ∴1,22,1-=λ， 0 不是特征根．

设 01b x b y p +=， 代入原方程，得：1222011+=---x b x b b ，

有：1,010-=b b ，

特解为：x y -=．

（2）x

e y y y -=+'+''2． 解： ∵ 1- 是二重特征根， ∴ 设 02b e x y x

p -=， 0202b e x b xe y x

x

p ---='，

02002022b e x b xe b e x b e y x x x x p

----+--=''， 代入 x

e y y y -=++'2''， 解得：2

1

0=

b ，

特解为：x

e x y -=

22

1．

微积分课后题答案第九章习题详解

第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质

知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??

华东理工大学继续教育学院《高等数学》(下)练习试卷(答案)

华东理工大学继续教育学院成人教育 《高等数学》（下）（专升本68学时）练习试卷（1）（答案） 一、单项选择题 1、设xy e y z 2 =，则=)1,1(dz 答（ A ） （A ）)3(dy dx e + （B ）)3(dy dx e - （C ）)2(dy dx e + （D ）)2(dy dx e - 解 （知识点：全微分的概念、全微分的计算方法） 因为 32 , 2xy xy xy x y z y e z ye xy e ==+，得 (1,1) , (1,1)3x y z e z e ==， 所以 (1,1)(1,1)(1,1)3(3)x y dz z dx z dy edx edy e dx dy =+=+=+ 2、设方程0yz z 3y 2x 22 2 2 =-++确定了函数z=z （x ，y ），则 =??x z 答（ B ） （A ） y z x -64 （B ） z y x 64- （C ） y z y +64 （D ）y z y -64 解 （知识点：多元隐函数的概念、隐函数求导法） 将方程两边对x 求导得 460z z x z y x x ??+-=??，解得 46z x x y z ?=?- 3、平面0D Cz By Ax =+++过y 轴，则 答（ C ） （A ）A=D=0 （B ）B=0，0D ≠ （C ）0D ,0B == （D ）C=D=0 解 （知识点：平面0D Cz By Ax =+++中的系数是否为零与平面位置的关系） 由平面0D Cz By Ax =+++过y 轴知平面平行于y 轴 0B ?=. 平面过原点 0D ?=，所以有 0D ,0B ==， 选（C ）. 4、 设u =(0,0) u x ?=? 答（ A ） （A ）等于0 （B ）不存在 （C ）等于1- （D ）等于1

(完整)同济版高等数学下册练习题(附答案)

第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面； 面面面 5、2 ()αβ→ → ±=( ) (A)22αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122 232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .

高数下典型习题及参考答案

第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知　，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式 中正确的是（ ）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（ ）

中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解

高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<<

∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<<

∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<<

华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案

第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （ （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ， 故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解．

高等数学(下)课后习题答案

高等数学（下） 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则

222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M（0，0， 14 9 ）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：()() ++=++ a b c a b c. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解： 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D 1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接， 试以AB=c，BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解： 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M'，则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量

高等数学上复旦第三版 课后习题答案

283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??

284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ；

华东理工大学高等数学答案第11章

第 11 章（之1）（总第59次） 教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题： **（1）. 函数f x y x y (,)ln()=+-221连续区域是 ??????? ． 答：x y 221+> **（2）. 函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=? ?? ? ?22 2222000 ， 则（ ） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ） **2. 画出下列二元函数的定义域： （1）= u y x -； 解：定义域为：{ } x y y x ≤) ,(，见图示阴影部分： （2）)1ln( ),(xy y x f +=； 解：{} 1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包 括 边 界 ， 双 曲 线 1 -=xy 用虚线表 示）． （3）y x y x z +-= ． 解 ： ．

***3. 求出满足2 2, y x x y y x f -=?? ? ??+的函数()y x f ,. 解：令?? ? ??=+=x y t y x s ， ∴?? ???+=+=t st y t s x 11 ∴()() ()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22 222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限： ()() 2 2 0,0,11lim y x xy y x +-+→． 解：()( )( ) ( )( ) 2 222 2 22 2 112111110y x xy y x y x xy xy y x xy ++++≤ +++= +-+≤ () 01 122 2→+++= xy y x （()()0,0,→y x ） ∴ ()() 011lim 2 2 0,0,=+-+→y x xy y x ． **5. 说明极限()()2 22 20,0, lim y x y x y x +-→不存在． 解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同． 首先，0=x 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ， 其次，0=y 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ， 故极限()()2 22 20,0,y y lim +-→x x y x 不存在． **6. 设1 12sin ),(-+= xy x y y x f ，试问极限 ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？ 解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数 1 12sin ),(-+= xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．

华理高数全部复习资料之数列与无穷级数

第8章 数列与无穷级数 （一） 数列 1． 数列极限的定义 若ε?>0，?正整数N ，使得当N n >时成立n a L -<ε,则称常数L 是数列}{n a 的极限， 或称数列}{n a 收敛于L ，记为L a n n =∞→lim 。否则称数列}{n a 发散。 2． 数列极限的运算法则 若 ()1 lim L a n n =∞ →，2 lim L b n n =∞ →，c 是常数，则 ()1 lim cL ca n n =∞ →； ()21lim L L b a n n n ±=±∞→； ()2 1lim L L b a n n n =∞ →； ()0,lim 221 ≠=∞→L L L b a n n n 。 3． 数列极限的性质 (1)若L a n x =∞→lim >0则正整数?N ，当N n >时成立n a >0；L b a N n N n n n =≥>?∞→lim ,0且时成立，当正整数若，则0≥L 。 (2) 收敛数列是有界数列。 4．数列极限的存在性准则 (1) 夹逼准则（夹逼定理）: L b L c a c b a N n N n n n n n n n n n ===≤≤>?∞ →∞ →∞ →lim ,lim lim ,则且时成立，当正整数若（2）单调有 界准则（数列的单调有界收敛定理）: 单调有界数列必有极限。 5． 数列极限与函数极限的联系

对于数列{} n a，若存在定义域包含[)∞ ， 1的函数()x f，使()n f n a=，且()L x f x = +∞ → lim ， 且 L a n n = ∞ → lim 。 6．数列与数列的关系 （1）若 L a n n = ∞ → lim ， {} k n a是{}n a的一个子数列，则L a k n k = ∞ → lim 。 （2）若 L a a k k k k = = + ∞ → ∞ → 1 2 2 lim lim ，则 L a n n = ∞ → lim 。 （二）无穷级数的基本概念1．级数敛散性的定义 称 ∑ = = n k k n u s 1为级数 ∑∞ =1 n n u 的前n项部分和 () ,2,1=n，而称数列{} n s为级数 ∑∞ =1 n n u 的部 分和数列。 若级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列 {} n s收敛，即s s n n = ∞ → lim ，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，称s为该级 数的和，记为 s u n n = ∑∞ =1，同时称 ∑∞ + = = - = 1 n k k n n u s s r 为级数 ∑∞ =1 n n u 的余和。 若级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列 {} n s发散，则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散。 2．级数的基本性质 （１）若 s u n n = ∑∞ =1，c是常数，则 cs cu n n = ∑∞ =1。 （2）若∑∞ =1 n n u =s， σ = ∑∞ =1 n n v ，则 ()σ+ = + ∑∞ = s v u n n n 1。 （3）若∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ + =1 m n n u 也收敛，其中m任一正整数；反之亦成立。 （4）收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和。

吉林大学作业及答案-高数A1作业答案

高等数学作业 AⅠ 吉林大学数学中心 2017年8月

第一次作业 学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题 1．下列结论正确的是( A )． （A ）x arctan 是单调增加的奇函数且定义域是），（∞+∞- ； （B ）x arc cot 是单调减少的奇函数且定义域是），（π0； （C ）x arctan 是无界函数； （D ）4 -22arccos π =． 2．下列函数中不是奇函数的为( B )． （A ）x x x x e e e e --+-；（B ）x x cos 3+；（C ）)1ln(2 x x ++；（D ）x arcsin ． 3．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( C )． （A ）π； （B ）π3 2 ； （C ）π2； （D ）π6． 4．. ??? ??-??? ??-??? ? ? -∞→22211311211lim n n Λ=（ C ） （A ）0； （B ）1； （C ）0. 5； （D ）2． 5.已知数列{}n x 是单调增加的.则“数列{}n x 收敛”是“数列{}n x 有上界”的（ A ）条件 （A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 6．设数列{}n a （Λ,2,1,0=>n a n ）满足,0lim 1 =+∞→n n n a a 则( D )． （A ）{}n a 的敛散性不定； （B ）0lim ≠=∞ →c a n n ； （C ）n n a ∞ →lim 不存在； （D ）0lim =∞ →n n a ． 二、填空题

1．=???? ??-+ +-+-∞→n n n n n 2 2241 2 411 41 lim Λ 0. 5 ． 2．设? ? ?<+≥+=,0,2, 0,12)(2 x x x x x f 42)(-=x x g . 则)]([x g f = ? ??<+-≥-2,181642, 742x x x x x ． 3．函数1 )(+=x x e e x f 的反函数)(1x f -= )1,0(,1ln ∈-x x x ． 4．“数列{}n x 2及数列{}12+n x 同时收敛”是“数列{}n x 收敛” 必要 条件. 5. =++--+++∞ →])2()11(1sin [lim 1 n n n n n n n n n 22e + ． 三、计算题 1．设6 331 34)11(x x x f ++=+ ，求)(x f ． 解：令31 1x t +=，则3 1 1-=t x 代入已知的式子中得， 2)1)1(34)(-+-+=t t f t 即有 22)(t t f ++=t 2．求n n n x 13)|1(lim | +∞ →， 解：(1)当1||>x 时 由于311 33||2)||1(|| x x x n n n <+< 以及 331||||2lim x x n n =∞ → 所以有 313||)|1(lim x x n n n =+∞ →| （2）当1||≤x 时

高等数学下册复习题及答案

一、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、( 本 大 题5分 ) 设L 由y =x 2及y =1所围成的区域D 的正向边界， 求 ?+++L dy y x x dx y x xy )()(2 4233 2、(本小题5分) 设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分??2 3 ),(10x x dy y x f dx 的积分次序。 3、(本小题5分) 设()f x 是以2π为周期的函数，当 x ∈-?? ?? ?ππ232, 时， ()f x x =。又设()S x 是()f x 的 以2π为周期的Fourier 级数之和函数。试写出()S x 在 []-ππ,内的表达式。 二、解答下列各题(本大题共7小题，总计42分) 1、(本小题6分) 设z=z(x,y)由方程x 2 +y 2 +z 2 =ln(y z )确定，求z z x y ,。 2、(本小题6分) 设z y xy x =++232 ()，求z z x y ,。 3、(本小题6分) 设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。

利用极坐标计算二次积分 5、(本小题6分) 求微分方程''-'+=y y y x e x 22的一个特解。 6、(本小题6分) 求幂级数n n x n )3 2(11 -∑ ∞ =的收敛域。 7、(本小题6分) 求微分方程0)42()2(32=-+++dy y x y x dx y y 的通解。 三、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题7分) 求曲面x xy xyz ++=9在点(,,)123处的切平面和法线方程 。 2、(本小题6分) 试求由x 2+y 2+z 2≤4与x 2+y 2≤3z 所确定的立体的体积。 四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分)

微积分课后题答案习题详解

微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=，

高等数学(上下册)自测题及参考答案

高等数学标准化作业参考答案（内部使用）山东交通学院土木工程学院，山东济南 SHANDONG JIAOTONG UNIVERSITY

第一章 自测题 一、填空题（每小题3分，共18分） 1. () 3lim sin tan ln 12x x x x →=-+ . 2. 2 1 lim 2 x x x →=+- . 3.已知212lim 31 x x ax b x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1 ,0,0ax x x f x x a x ?+-≠? =??=? 在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线21 ()43 x f x x x -= -+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 . 6. 曲线() 121e x y x =-的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 . A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 设()2,0 2,0x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0 , x x f x x x ?<=? -≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+

华丽高数上作业答案

第12次作业 教学内容：§3.1微分 **1. ． 求，设　dy x x x x y x ),4 0(2tan )(cos )(sin π < <+= 解: dy y x dx ='() []{} dx x x x x x x x 2sec 2tan sin )ln(cos cos )(cos 2sin +?-=　. **2. 设　求．y x e e dy x x ()ln()=++--241 解: du u du du dy dy e u x 2211,+===-则　令　dx e e x x 4212--+-=　. **3. 设　且处处可微求?????(),(),ln ()()x x d x x >???? ??0 解: )() (ln x x u ??= 记， 则du u x x d )()()(ln ????'=??????dx x x x x u )() (ln )()()(2 ??????'-'?'= []dx x x x x x ??????'?-'= )()(ln )(ln 1)() (2??????　. **4. ．的微分所确定隐函数求由方程dy x y y a axy y x )(,)0(033 3 =>=-+ 解: 由 033 3=-+axy y x , 得 0)d d (3d 3d 322=+-+y x x y a y y x x x ax y x ay y d d 22 --=∴.

**5. .)(0)cos(sin dy x y y y x x y 的微分所确定隐函数求由方程==+- 解: 0)()sin(cos sin =+?+++?dy dx y x xdx y x dy 由　 得　dy y x x y x x y dx =- ++++cos sin() sin sin(). **6. .26 3 的近似值用微分方法计算 解:127)()()()(0003 -=?=??'+≈∴=x x x x f x f x f x x f ．，令　 959.2271 3263 =- ≈. **7. .151cos ,0 的值计算用微分代替增量 解: f x x x x ()cos === ==．，000150561180ππ ?, 8747.036023180 )150(sin 150cos )151(000-≈-- =? -≈π π f . **8.cm cm cm 005.02.55一层厚的空心铁球的表面上镀 外半径为在一个内半径为 量。 个金球中含铁和金的质，试用微分法分别求这，金的密度为已知铁的密度为的金33g/cm 9.18g/cm 86.7, 解: ， ．．，86.72.0534 1113==?==ρπr r r V )(6.4932086.7486.712 11g r r m ≈?=???≈ππ， ，，，9.18005.02.5222==?=ρr r )(1.32005.0)2.5(49.1822g m =??≈π. **9. ，要使周期，摆长，其中单摆振动周期cm 8.9cm/s 98022===l g g l T π

高数下册第十一章第七次作业答案

第七次作业 1.函数3 2z xy u = 在点A )2,1,5(处沿到点B )14,4,9(的方向 → AB 上的方向导数为 。 解 填13 992 802,8)2,1,5(3 )2,1,5()2,1,5(32)2,1,5(====xyz u z y u y x {}12,3,4,603) 2,1,5(22 )2,1,5(====→AB T z xy u z ,13 12 cos ,133cos ,134cos ===γβα 则u 在点A 处沿→ AB 的方向导数为： 13 992131260133801348)2,1,5(=?+?+?=??T u 2.函数 ()2 2 2 ln z y x u -+=在点 M )1,1,1(-处的梯度 =M gradu 。 解 填{}2,2,2-- 2 22222222z y x z 2z u ,z y x y 2y u ,z y x x 2x u -+-=??-+=??-+=??

2,2,2) 1,1,1()1,1,1()1,1,1(=??-=??=??∴---z u y u x u {}2,2,2-=∴M gradu 3.对二元函数(,)z f x y =而言（ ） 。 A.,x y f f 存在且连续，则(,)f x y 沿任一方向的方向导数存在； B. (,)f x y 的偏导数都存在，则(,)f x y 沿任一方向的方向导 数存在； C.沿任一方向的方向导数存在，则函数(,)f x y 必连续； D ．以上结论都不对。 解 填（A ） x y f f ，存在且连续f ?可微?沿任一方向的方向导数存在。 4.若函数(,,)u u x y z = 在点(,,)x y z 处的三个偏导数都存在 且不全为0，则向量,,u u u x y z ????????????的方向是函数u 在点 (,,)x y z 处的（ ） 。 A ．变化率最小的方向； B ．变化率最大的方向； C ．可能是变化率最小的方向，也可能是变化率最大的方向； D ．既不是变化率最小的方向，也不是变化率最大的方向。 解 填（B ）

高数作业本答案(上册)

第一章 答案 习题1.1 1．判断题：1）× 2）× 3）√ 4）× 5）× 6）× 7）× 8）× 2．1）不同；2）不同；3）相同；4）不同；5）不同； 3．1）],0[],4(ππ?--；2）? ?????±±=-π+π≠+∞-∞∈ 2,1,0,12),,(|k k x x x 且； 3）当]1,[21a a a -≤ 时，为,当φ时，为2 1 >a 。 4.1）13-=x y ；2）]2,2[,3arcsin 31-∈=x x y ；3）)1,0(,1log 2 ∈-=x x x y ； 4）? ??≤<-≤≤-+=10,1 1,1x x x x y . 5.? ??≠==1,01,1))((x x x g f ;1,21 ,1))((>≤???=x x x f g . 习题1.2~1.3 1． 1)(lim 0 =- →x f x ,1)(lim 0 =+ →x f x ,1)(lim 0 =→x f x ; 1)(lim 0 -=?- →x x ,1)(lim 0 =?- →x x ,)(lim 0 x x ?-→不存在. 2. 1)极限不存在；2）2 )1cot 1(arctan lim 0 π=+→x arc x x . 3. 略 习题1.4 1．判断题：1）× 2）× 3）√ 4）× 2.C ；D. 习题1.5 1.1)1；2） 21；3）21；4）21. 2. 1)41；2）)(21m n mn -；3）2 1 ；4）6. 3.1）0；2）1；3）0；4）1；5）不存在；6）1；7）0 习题1.6 1.1）1；2） 2 5 1+； 2.1）2 e ；2）4 -e 3.1）2；2） 32；3）2 2-；4）e ；5）e 1；6）6π.

高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解

习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ;

解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：